ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 215-225

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОТЕПЛОВОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ, ФОРМИРУЕМОГО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ

МОДУЛЯТОРОМ СВЕТА

Д. П. Агапов^*, И. А. Беловолов, П. П. Гостев,

С. А. Магницикй, Д. Н. Фроловцев, А. С. Чиркин

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 15 апреля 2022 г.,

после переработки 15 апреля 2022 г.

Принята к публикации 27 апреля 2022 г.

Представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований статистических свойств

псевдотеплового излучения, формируемого при отражении от фазового пространственного модулятора

света. Получены выражения для пространственной корреляционной функции и радиуса корреляции слу-

чайного псевдотеплового поля. В общем случае поле оказывается статистически неоднородным радиус

корреляции в поперечной плоскости рассеянного пучка в одном из ортогональных направлений зависит

от угла падения когерентного пучка на модулятор. С помощью расчета кумулянтов функции распреде-

ления поля строго показано, что в дальней зоне случайное поле подчиняется гауссовской статистике.

Приведены результаты экспериментов по преобразованию когерентного лазерного пучка в излучение с

псевдотепловой статистикой с помощью жидкокристалического фазового модулятора света. Результаты

экспериментов, полученные с помощью проприетарного программного обеспечения, хорошо согласуются

с теоретическими выводами.

DOI: 10.31857/S0044451022080065

нала, в котором распространяется случайное излу-

EDN: EGHINP

чение, пространственно-коррелированное с изучени-

ем, освещающим объект. Такая необычная возмож-

1. ВВЕДЕНИЕ

ность получения информации об объекте была впер-

вые предсказана в статьях [9,10] и продемонстриро-

В последние десятилетия источники так назы-

вана в работах [11,12], в которых коррелированные

ваемого псевдотеплового излучения вызывают зна-

между собой пучки в объектном и восстанавливаю-

чительный интерес в фантомной оптике [1-4]. Гаус-

щем каналах формировались в процессе спонтанно-

совская статистика таких полей позволяет выра-

го параметрического рассеяния света.

зить корреляционные функции высокого порядка

через произведение всевозможных парных корре-

В настоящее время кроме неклассического пара-

метрически рассеянного излучения широкое распро-

ляций [5-8]. Именно это свойство классических, а

также и квантовых гауссовских световых полей на-

странение для получения ФИ находят так называ-

емые псевдотепловые источники излучения с гаус-

ходит широкое применение при регистрации фан-

томных изображений (ФИ). В фантомной оптике

совской статистикой поля. Обсуждение особенно-

стей квантовых и классических ФИ можно найти в

излучение, прошедшее через объект или отражен-

ное от него, регистрируется детектором, не обла-

[1]. Недавно предложено и продемонстрировано при-

дающим пространственным разрешением. Инфор-

менение неполяризованного псевдотеплового излу-

мация об объекте извлекается из взаимной прост-

чения для исследования поляризационных свойств

ранственной корреляционной функции интенсивно-

объектов [13,14] методом ФИ, что послужило нача-

стей объектного канала и восстанавливающего ка-

лом нового направления в фантомной оптике фан-

томной поляриметрии [15]. Интересным применени-

^* E-mail: dimaagapov@mail.ru

ем фантомного принципа является возможность за-

215

Д. П. Агапов, И. А. Беловолов, П. П. Гостев и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

щищенной связи на основе поляризационных состо-

та, изучался в работе [18]. В ней рассчитана кор-

яний [16].

реляционная функция поля, формируемая при фа-

В классических ФИ используются псевдотепло-

зовой многопиксельной модуляции когерентного из-

вые источники следующих типов: источники, осно-

лучения, и приведена оценка радиуса корреляции

ванные на пространственной модуляции когерент-

такого излучения. Однако на данном этапе разви-

ного излучения вращающимся матовым диском; ис-

тия технологии с использованием пространственных

точники, использующие случайную пространствен-

модуляторов света имеющейся в литературе инфор-

ную модуляцию света с помощью либо фазового, ли-

мации о статистических свойствах получаемых та-

бо амплитудного многопиксельного пространствен-

ким образом пучков недостаточно, и требуется более

ного модулятора света.

детальное исследование статистических характери-

Первый тип источников обстоятельно исследо-

стик самого источника псевдотеплового света. В

ван достаточно давно (см., например, [5,8] и цити-

частности, насколько нам известно, строго не пока-

руемую там литературу). С многочисленными при-

зано, что формируемое рассматриваемым способом

менениями псевдотепловых источников излучения в

поле источника действительно подчиняется гауссов-

фантомной визуализации объектов можно познако-

ской статистике.

миться по ссылкам в работе [17].

Цель настоящей работы детальное теорети-

Стартом для разработки источников второго ти-

ческое и экспериментальное исследование процесса

па, который инициировал разработку нового типа

формирования псевдотеплового излучения с помо-

ФИ вычислительных ФИ, явилась работа [18].

щью многопиксельных пространственных модуля-

В схеме вычислительных ФИ [18] канал восстанов-

торов света, осуществляющих случайную фазовую

ления является виртуальным. Развитием этой идеи

модуляцию когерентного лазерного излучения.

является однопиксельная визуализация (single-pixel

Структура статьи следующая. В разд. 2 изуче-

imaging [19]).

на пространственная когерентность световых полей

Можно выделить две основные схемы реализа-

при многопиксельной модуляции. Раздел 3 посвя-

ции вычислительных ФИ. Одна из них основана

щен доказательству гауссовской статистики поля,

на использовании света с детерминированным про-

формируемого при фазовой пространственной моду-

странственным распределением, другая использу-

ляции когерентного пучка. В разд. 4 описана экспе-

ет случайно модулированный свет с псевдотепловой

риментальная установка, условия проведения экспе-

статистикой. В первом случае для получения ФИ ис-

римента и представлены его результаты. В Заключе-

пользуются различные типы алгоритмов сжатых из-

нии подведены итоги теоретических и эксперимен-

мерений (compressed sensing [20]). Во втором случае

тальных исследований.

ФИ строятся за счет вычисления корреляционных

функций используемого случайного поля. Обычно

в однопиксельной визуализации для формирования

2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ

СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ ПРИ

излучения используются пространственные модуля-

МНОГОПИКСЕЛЬНОЙ МОДУЛЯЦИИ

торы света, которые могут генерировать как детер-

минированные структуированные пучки (см. [21,22]

Рассмотрим схему (рис. 1) использования прост-

и цитируемую там литературу), так и случайные

ранственного модулятора света (spatial light modula-

световые пучки [18]. Оба направления в настоящее

tor, SLM) для формирования псевдотеплового излу-

время активно развиваются [19,26]. Каждый из них

чения из когерентного пучка света, падающего под

имеет свои преимущества и свои недостатки. Ка-

углом θ к нормали поверхности SLM.

кой из подходов выиграет это соревнование, пока-

После отражения от SLM распространение све-

жет ближайшее будущее.

тового пучка в квазиоптическом приближении опи-

В данной работе идет речь о генерации случай-

сывается параболическим уравнением, решение ко-

ных световых пучков с помощью пространствен-

торого дается выражением [5]

ных модуляторов света. Эта проблема является цен-

тральной при практической реализации вычисли-

∫

∞

тельных ФИ, основанных на использовании случай-

A(r, l) =

A⁽⁰⁾(ρ)H(r - ρ, l)d²ρ,

(1)

ных световых пучков. В литературе имеется ряд ра-

−∞

бот, посвященных этой проблеме [18-22,24,26]. Во-

прос о статистических свойствах световых полей, ге-

где

нерируемых пространственными модуляторами све-

A⁽⁰⁾(r) = R(r)A₍₀₎(r),

(2)

216

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Статистические свойства псевдотеплового излучения. . .

Рис. 1. Геометрия падения когерентного лазерного пуч-

ка на SLM; θ угол падения лазерного пучка на поверх-

ность SLM

A₍₀₎(r)

амплитуда падающего когерентного пуч-

ка, R(r) коэффициент отражения от SLM,

]

Рис. 2. Структура поверхности SLM. Начало декартовой

ik₀

[ik₀(r - ρ)

H (r - ρ, l) =

exp

(3)

системы координат x, y выбрано в центральном пикселе

2πl

SLM, которому присвоен номер [0; 0]; Λ ширина пиксе-

функция Грина для свободного пространства.

ля; d расстояние между ними

В дальней зоне отдельного пикселя выражение (1)

принимает вид

∫∞

A(r, l) = H(r, l)

R(ρ)A₍₀₎(ρ) ×

-∞

(

)

ik₀r · ρ

× exp

d²ρ.

(4)

В качестве модели SLM будем использовать мо-

дель двумерной решетки, изображенной на рис. 2.

Для удобства расчетов число пикселей N² будем

считать нечетным, а их форму будем полагать квад-

ратной с шириной Λ и расстоянием между ними d.

Представим аналитически коэффициенты отра-

жения от решетки пикселей в виде R(ρ) = R(x)R(y),

при этом





Рис. 3. К геометрии размера пучка, отраженного от SLM

R^pΛ), x^pΛ) -Λx

≤x≤x^pΛ) +Λx,

R(x) =

d_x

1,

x^pd) -

≤x≤x^pd) +

Λ_x = Λ cosθ, d_x = dcosθ. Здесь θ угол падения

пучка на SLM (рис. 3).

где p = -N, . . . , -1, 0, 1, . . . , N и

Аналогичные выражения имеем вдоль оси y:



x^(Λ)p = p(Λ_x + d_x), x^(d)p = p(Λ_x + 1/2) + d_x/2

(5)

RqΛ), yqΛ) -Λ

≤y≤y^qΛ) +Λ,

координаты центра вдоль оси x соответственно

R(y) =

пикселя и промежутка между ними с номером p,

1,

y^qd) -

≤y≤y^qd) +

217

Д. П. Агапов, И. А. Беловолов, П. П. Гостев и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

где q = -N, . . . , -1, 0, 1, . . . , N и

Произведение функций sinc(κ_Λx)sinc(κ_Λy) опре-

деляет ширину распределения дифрагированного

y^(Λ)q = q(Λ + d), y^(d)q = q(Λ + 1/2) + d/2.

(6)

пикселем поля вдоль направлений x, y в дальней

зоне пикселя на расстоянии l от него. Величины этих

Формируемое поле представляет собой суперпо-

размеров можно оценить для простоты, например,

зицию полей, рассеянных от отдельных пикселей,

по первым нулям этих функций как

коэффициенты отражения которых можно записать

как матрицу отражения пикселей R_pq = R^pΛ)R^qΛ)

λl

x^(Λ)0 =

y^(Λ)0 =

(13)

(коэффициент отражения) и матрицу коэффициен-

Λ_x

тов отражения от промежутков между пикселями

Аналогично получаем размер поля, рассеянного

(матрица R^p

= 1). Коэффициенты R_pq в общем

промежутками между пикселями:

случае имеют комплексные значения.

Комплексная амплитуда суммарного поля имеет,

λl

x^(d)0 =

y^(d)0 =

(14)

таким образом, вид

d_x

∑

{

}

Прежде всего отметим, что в рассматриваемом

A(r, l) = H(r, l)

A^(Λ)p,q(x, y)+A^(d)p,q(x, y)

(7)

здесь случае в дальней зоне рассеянные пикселями

p,q=-M

поля не зависят от их местоположения, т. е. от ин-

дексов p, q. Для параметров λ = 1 мкм, l = 1 см и

Здесь Ap,q (x, y) и Ap,q(x, y) амплитуды полей, рас-

Λ = 10 мкм имеем x^(Λ)0 ≃ y^(Λ)0 = 1 мм.

сеянных соответственно пикселем площадью Λ² и

Для получения наглядных аналитических ре-

промежутком площадью d². Эти амплитуды опре-

зультатов сделаем два упрощения.

деляются формулами

1. Если нас интересуют поля в области размером

меньше, чем 1 мм, то функции sinc(κ_Λx) и sinc(κ_Λy)

x^(Λ)p+^Λx2∫

y^(Λ)q+^Λ2∫

можно заменить постоянным максимальным значе-

A^(Λ)pq(x, y) = R_pq

A₍₀₎(ρ)×

нием, равным 1.

x^pΛ)-^Λx

y^qΛ)-^Λ

2. Если ширина лазерного пучка больше размера

(

)

SLM, то и амплитуды полей на пикселях можно счи-

−ik₀r · ρ

× exp

d²ρ,

(8)

тать практически одинаковыми, A₍₀₎(x^pΛ), y^qΛ)) =

= A₍₀₎(0).

В этих условиях выражения (10), (11) принимают

простой вид:

x^(d)p+^dx2∫

y^(d)q+^d2∫

[

]

A^(d)pq(x, y) =

A₍₀₎(ρ)×

A^(Λ)pq(x, y) = Λ²R_pqA₍₀₎(0)exp -iΦ(Λ)pq(x, y) ,

(15)

x^pd)-^dx

y^qd)-^d

[

]

(d)

(-ik₀r · ρ)

A^(d)pq(x, y) = d²A₍₀₎(0)exp

-iΦ

(x, y)

(16)

× exp

d²ρ.

(9)

Для интенсивности излучения, таким образом, по-

В предположении слабого изменения амплитуды

лучаем

падающего поля в пределах одного пикселя выра-

жения (7), (9) можно преобразовать к виду

I(r, l) = |A(r, l)|² = |B(r, l)|² ×



∑

[

]

A^(Λ)pq(x, y) = Λ²R_pqA₍₀₎(x^(Λ)p, y^(Λ)q)sinc(κΛx x)×

×

d² exp iΦ^(d)pq(x, y)

× sinc(κ_Λy)exp[-iΦ(Λ)pq (x, y)],

(10)

p,q=-M



[

]

+ Λ²R_pq exp iΦ^(Λ)pq(x, y)

×

A^(d)pq(x, y) = d²A₍₀₎(x^(d)p, y^(d)q)sinc(κdx x)×



× sinc(κ_dy)exp[-iΦ(d)pq (x, y)].

(11)

∑

[

]

×

d² exp -iΦ(d)pq(x, y)

Здесь sinc x

= (1/x) sin x, κ_Λ

= (k₀/2l)Λ, κ_d

p,q=-M

= (k₀/2l) d и введены обозначения



[

]

Φ^(Λ)pq(x, y) = (k₀/l)(x^(Λ)px + y^(Λ)qy),

+ Λ²R_pq exp -iΦ^(Λ)pq(x, y)

,

(17)

(12)

Φ^(d)pq(x, y) = (k₀/l)(x^(d)px + y^(d)qy).

218

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Статистические свойства псевдотеплового излучения. . .

где B(r, l) = H(r, l)A₍₀₎(0).

и r₂ = s, дается выражением

При перемножении выражений в правой части

Γ(s) = 〈A(s, l)A^∗(0, l)〉 = B(0, l)B(s, l)Λ⁴ ×

(17) появляются следующие слагаемые:



*

∑

1) пропорциональные d⁴, дающие постоянную



R_p′_,q′ ×

часть интенсивности, относительный вклад которой

p^′,q^′=-M

составляет (d/Λ)⁴ ≪ 1;





∑

[

]

2) пропорциональные d²Λ², дающие вклад в

×

R_p,q exp iΦ^(Λ)pq(x, y)

 =

флуктуации интенсивности, относительный вклад

p,q=-M

которых тоже порядка (d/Λ)⁴ ≪ 1;

∑ [

]

= B(0, l)B(s, l)Λ⁴

R²+(N²-1)R2

3) пропорциональные Λ⁴, которые дают флукту-

p,q=-M

ационную часть интенсивности.

[

]

× exp iΦ^(Λ)pq(x, y)

Пренебрегая вкладами 1 и 2, выражение для интен-

[

]

= B(0, l)B(s, l)Λ⁴

R²+(N²-1)R2

γ(x, y; N),

(21)

сивности (17) можем преобразовать к виду

где нормированная корреляционная функция (сте-

пень когерентности)

∑

I(r, l) = Λ⁴|B(r, l)|²

R_pqR_p′_q′ ×

p,q=-M p^′,q^′=-M

γ(x, y; N) =

[ (

)]

× exp i Φ(Λ)pq (x, y) - Φ^(Λ)p′_q′ (x, y)

(18)

[k₀(Λ_x + d_x)Nx]

[k₀(Λ + d)Ny]

sin

[

]

(22)

k₀(Λ_x + d_x)x

[k₀(Λ + d)y].

N²sin

sin

Для дальнейшего анализа необходимо знание

статистических характеристик коэффициентов от-

Из анализа формулы (22) следует, что радиусы кор-

ражения пикселей. Естественно считать ¾поле¿ пик-

реляции поля, рассчитанные по уровню 0.5 от γ(0) =

селей статистически изотропным: среднее значение

= 1, вдоль осей x, y различны:

〈R_pq 〉 = 〈R〉, дисперсия R_pqR^∗pq

= R²

и модуля-

ции в пикселях статистически независимы,

6λl

r^(x)cor =

r^(y)cor =

(23)

N (Λ + d) cos θ

N (Λ + d)

R^∗pqR_p′_q′

= R^∗pq 〈R_p′_q′〉 = | R|²,

Другими словами, рассеянное поле при падении ко-

(19)

герентного пучка на SLM под углом θ = 0 оказыва-

p=p^′, q=q^′.

ется статистически неизотропным. При числе пиксе-

лей N² = 10⁶ и угле θ = 0 имеем r^cor ≈ r^cor ≈ 1 мкм.

Угловыми скобками обозначено усреднение по реа-

Особенности фазовой модуляции сказываются на

лизациям. При времени измерения одной выборки,

значениях параметров 〈R〉, R² и ярко проявляют-

меньшем чем время изменения коэффициента отра-

ся при расчете функции распределения.

жения пикселей, коэффициенты отражения можно

считать постоянными (¾замороженные¿ неоднород-

ности).

3. СТАТИСТИКА РАССЕЯННОГО ПОЛЯ

ПРИ ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

Пользуясь свойством эргодичности по простран-

ству, для средней интенсивности получим

Имея в виду сравнение полученных теоретичес-

ких результатов с результатами экспериментальных

исследований, в этом разделе мы изучим статистику

〈I(r, l)〉 = Λ⁴ R¯²N²|A₍₀₎(0)|².

(20)

рассеянного поля при фазовой модуляции. Коэффи-

циент отражения от каждого пикселя SLM предста-

вим в виде

При тех же условиях корреляционная функция по-

лей, например, между значениями в точках r₁ = 0

R_pq(t) = exp[iφ_pq(t)] .

(24)

219

Д. П. Агапов, И. А. Беловолов, П. П. Гостев и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Флуктуации фаз в пикселях полагаем статистичес-

где J₀(z)

функция Бесселя нулевого порядка

ки независимыми, многомерная функция распреде-

от действительного аргумента, а v действитель-

ления фаз в этом случае

ный параметр. При расчете (29) использовано свой-

ство (25).

w(φ_-M,-M , φ_-M+1,-M+1, . . . , φ_M-1,M-1, φ_M,M ) =

Функция распределения w(E) находится с помо-

щью обратного преобразования Фурье:

∏

w(φ_pq ).

(25)

∫

∞

p,q=-M

w(E) =

θ(v)e^-ivEdv.

(30)

2π

Функции распределения фаз считаем равномерно

-∞

распределенными на интервале периодичности как

в пространстве при изменении индексов p, q, так и

Чтобы вычислить w(E), воспользуемся следующим

по времени:

приемом [5]. Согласно (28), значения E лежат в ин-

тервале -A ≥ E ≤ A, A = N²a, поэтому w(E) мож-

w(φ_pq (t)) = 1/2π,

-π ≥ φ_pq ≤ π,

но разложить в ряд Фурье:

(26)

p, q ∈ [-M, M].

(

)

∑

iπkE

Естественно полагать, что скачки фазы во времени

w(E) =

c_k exp

(31)

k=-∞

подчиняются диффузионному закону:

Коэффициенты c_k равны

(Δφ_pq (t + τ, t))²

= Dτ,

(27)

∫

(

)

где Δφ_pq (t + τ, t) = φ_pq(t + τ) - φ_pq (t), D коэффи-

iπkE

c_k =

w(E) exp

(32)

циент диффузии.

Считаем также, что случайный процесс φ_pq (t) об-

−A

ладает эргодическим свойством. В дальней зоне слу-

и с точностью до множителя 1/2A совпадают с ха-

чайное поле представляет собой суперпозицию по-

рактеристической функцией E для величины πk/A.

лей от отдельных пикселей со случайной фазой, и,

Для распределения w(E) в результате получаем

согласно центральной предельной теореме, суммар-

ное поле подчиняется гауссовской статистике. Дока-

w(E) =

жем это.

[

∑

Формула для интенсивности (18) соответствует

(πka)

(πkE)]

1+2

JN2

cos

(33)

следующему выражению для действительного поля:

k=1

∑

(

)

Формула (33) справедлива для произвольного числа

E(r, l) =

a cos φ_pq(t) - Φ^(Λ)pq(x, y) ,

(28)

N. Численный анализ выражения (33) показывает,

pq=-M

что с ростом числа N распределение w(E) стремит-

где амплитуда a не зависит от индексов pq в силу

ся к гауссовскому.

принятых выше приближений. В дальнейшем, что-

Убедиться в этом можно и аналитически, ис-

бы не загромождать формулы, не будем выписывать

пользуя кумулянтный анализ. Введем новую слу-

в явном виде переменные, от которых зависит E.

чайную переменную ξ(r) = E(r, l)/N и найдем за-

Удобный способ нахождения функции распреде-

кон ее распределения. Характеристическая функ-

ления w(E) основан на характеристической функ-

ция случайного процесса ξ(r) равна

ции

∫

θ_ξ(v) = e^ivξ

(34)

= JN20 (av/N).

θ(v) = e^ivE

= e^ivEw(E)dE =





Найдем кумулянты распределения:

∑

(

)

[

]

= expiv

a cos φ(t)-Φ^(Λ)pq(x, y)



d^m

κ_m = (-i)^m

ln θ_ξ(v)

(35)

pq=-M

dv^m

v=0

∏

[

(

)]E

Удобно воспользоваться разложением функции Бес-

exp iva cos φ(t)-Φ^(Λ)pq(x, y)

селя

pq=-M

∑

z²ⁿ

J₀(z) =

(-1)ⁿ

(36)

= JN20 (av),

(29)

2²ⁿ(n!)²

n=0

220

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Статистические свойства псевдотеплового излучения. . .

F₁

F₂

SLM

He-Ne

CMOS

Рис. 4. Экспериментальная схема формирования излучения с псевдотепловой статистикой с помощью SLM. а) Излуче-

ние He-Ne-лазера после прохождения через расширитель пучка, состоящий из двух линз с фокусными расстояниями

F1 = -1.5 см и F2 = 20 см, и квадратную диафрагму D падает на поверхность SLM. Отраженное излучение регистри-

руется CMOS-камерой. б) Фотография экспериментальной установки

Все нечетные кумулянты оказываются равными ну-

с помощью фазового жидкокристаллического про-

лю. Для первых двух четных кумулянтов имеем

странственного модулятора света модели SLM-100

от Santec.

)₂

3( a

κ₂ = -

a², κ₄ = -

a².

(37)

В качестве источника выбран He-Ne-лазер с дли-

ной волны излучения 632.8 нм, работающий в непре-

Отсюда следует, что при N ≫ 1 отношение κ₄/κ₂ ≪

рывном режиме. Пучок излучения имеет вертикаль-

≪ 1 и можно ограничиться учетом только кумулян-

ную поляризацию в лабораторном базисе, а его диа-

та κ₂. Тогда для характеристической функции име-

метр на выходе лазера составляет 0.4 мм. После ла-

ем

[

]

зера излучение проходит через расширитель, кото-

θ_ξ(v) = exp

-(av)²/4

(38)

рый увеличивает диаметр лазерного пучка до 5 мм.

Выполняя преобразование Фурье

(38), находим

функцию распределения w(ξ) и, учитывая связь

Расширенный пучок падает на квадратную

между ξ и E, получаем функцию распределения

диафрагму, установленную параллельно плоскости

гауссовского вида:

SLM, что обеспечивает неизменность засвеченной

площади поверхности SLM при его повороте во

[

]

E²

время эксперимента. Сам SLM, как и диафрагма,

w(E) =

√

exp -

(39)

2πσ

2σ²

установлен на вращающейся микрометрической

платформе, которая позволяет задать угол падения

где дисперсия σ² = N²a²/2.

пучка с точностью примерно 2^′′. Диафрагма задает

Таким образом, пространственная фазовая мо-

размер рабочей области SLM, т. е. определяет

дуляция когерентного излучения при помощи SLM

количество задействованных пикселей SLM. Моду-

формирует поле в дальней зоне с гауссовской статис-

лированное излучение фиксируется в отраженном

тикой, подобной тепловому излучению. Иначе гово-

от SLM свете в области между первым и вторым

ря, SLM является источником так называемого псев-

горизонтальными дифракционными максимумами

дотеплового излучения. Заметим, что гауссовская

8-битной CMOS-камерой Thorlabs с квадратными

статистика упрощает расчет корреляционных функ-

пикселями размером

5.2

мкм. Полный размер

ций поля высокого порядка.

матрицы модулятора 1440 × 1050 пикселей. Та-

кой выбор области наблюдения обусловлен тем,

что в дифракционных максимумах присутствует

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

остаточная компонента когерентного излучения

На рис. 4 изображена схема экспериментальной

лазера, которая искажает статистические свойства

установки для изучения особенностей статистиче-

получаемого света. Расстояние до камеры меняется

ских свойств псевдотеплового света, генерируемого

в зависимости от условий эксперимента.

221

Д. П. Агапов, И. А. Беловолов, П. П. Гостев и др.

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

ветствуют фазовой задержке в диапазоне от 0 до

2π. Затем маска подается на SLM, а в памяти ком-

пьютера сохраняется распределение интенсивности

в отраженном от SLM свете. Последняя процеду-

ра повторяется 1000 раз. Таким образом, после за-

вершения работы первой программы в памяти ком-

пьютера оказывается сохраненным набор распреде-

лений интенсивности, полученных для случайно сге-

нерированных масок, поданных на SLM. В резуль-

тате обработки сохраненных снимков вычисляются

значения нормированной корреляционной функции

интенсивности g⁽²⁾ (см. ниже) и значения радиусов

корреляций вдоль ортогональных направлений в по-

Рис. 5. Пример случайной маски, которая подается на

перечной плоскости пучка.

SLM для фазовой модуляции лазерного излучения (цифры

Типичный профиль распределения интенсивно-

вдоль осей номера пикселей)

сти света при его отражении от случайного фазо-

вого экрана представлен на рис. 6a. Распределение

Управление SLM, камерой и обработка итого-

интенсивности представляет собой спекл-структуру.

вых изображений проводятся при помощи разрабо-

Корреляционная функция g⁽²⁾ вычисляется из изме-

танного в лаборатории программного обеспечения,

ренных профилей интенсивности следующим обра-

установленного на персональном компьютере. Про-

зом. На всех кадрах в центральной области пучка

грамма позволяет задать фазовую маску или набор

выбирались пиксель с координатами (x₀, y₀) и пик-

случайных фазовых масок на SLM, провести съем-

сель с координатами (x_l, y_l). Расстояние между пик-

ку промодулированного излучения для каждой мас-

селями по горизонтальной (x) и вертикальной (y)

ки и обработку полученных изображений. В резуль-

осям: Δx = x_l - x₀, Δy = y_l - y₀. Усреднение прово-

тате обработки программа выдает информацию, в

дилось по реализациям (по 1000 кадрам) по следу-

частности, значение нормированной автокорреляци-

ющей формуле:

онной функции интенсивности g⁽²⁾ и значения ради-

∑

усов корреляций вдоль ортогональных направлений

J_n (x₀, y₀)J_n (x_l, y_l)

в поперечной плоскости пучка.

n=1

g⁽²⁾ (Δx, Δy) =

(40)

Для управления SLM, а также для получения и

∑

обработки изображений с CMOS-камеры использу-

J_n (x₀, y₀)

J_n (x_l, y_l)

ется проприетарное программное обеспечение, напи-

n=1

санное на языке Python. Заранее сгенерированные

где n номер кадра, N общее количество кад-

маски выводятся на пространственный модулятор

ров, J_n (x₀, y₀) и J_n (x_l, y_l) измеренные интенсив-

света с помощью библиотеки OpenCV. Для получе-

ности в пикселях (x₀, y₀) и (x_l, y_l) в n-м кадре. Опи-

ния изображения с камеры используется программ-

санная выше процедура повторялась для заданного

ный интерфейс. Для создания маски на простран-

пикселя (x₀, y₀) и всех возможных (x_l, y_l). Типичный

ственном модуляторе света для каждого его пиксе-

вид g⁽²⁾ (Δx, Δy) представлен на рис. 6б. Видно, что

ля генерируется случайное число в диапазоне от 0

величина функции g⁽²⁾ (Δx, Δy) близка к 2 только

до 1023 (соответствует 10-битной разрядности моду-

в ограниченной области пространства. Размер этой

лятора). Полученная таким образом маска подает-

области определяется радиусом корреляции излуче-

ся на матрицу модулятора, а также сохраняется в

ния вдоль осей x и y.

памяти компьютера для дальнейшего анализа изоб-

Радиусы корреляции вдоль осей x и y вычис-

ражений, полученных на CMOS-камере. Типичный

лялись как полуширины функций g⁽²⁾ (Δx, 0) и

вид случайной маски представлен на рис. 5.

g⁽²⁾ (0, Δy). Для увеличения точности выбирались

Методика измерений заключается в следующем.

различные 30 пикселей и строились 30 корреляци-

Сначала устанавливаются угол падения излучения

онных функций. При этом радиусы корреляции вы-

на рабочую плоскость SLM, расстояние от SLM до

числялись как средние по 30 измерениям. Время вы-

камеры и размер квадратной диафрагмы. Затем с

держки при съемке кадров выбиралось таким об-

помощью программного обеспечения генерируется

разом, чтобы был задействован весь динамический

случайная маска, значения чисел в которой соот-

диапазон камеры.

222

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Статистические свойства псевдотеплового излучения. . .

Δy, мм

Δx, мм

Рис. 6. (В цвете онлайн) Пространственная структура излучения, сформированного SLM: а) распределение интенсивно-

сти в спекл-структуре пучка; по осям x и y отложены величины Δx и Δy, цветом обозначена величина интенсивности в

пикселях; б) автокорреляционная функция g⁽²⁾ (Δx, Δy) для центрального пикселя на расстоянии 20 см от SLM при угле

падения пучка 15^◦

Была исследована зависимость радиуса корреля-

статистика поля остается тепловой и не зависит от

ции от экспериментально изменяемых параметров:

угла падения.

угла падения лазерного пучка на SLM, количества

задействованных пикселей SLM, расстояния от SLM

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

до плоскости наблюдения. Экспериментально обна-

ружен теоретически предсказанный эффект анизо-

В работе впервые детально теоретически и экс-

тропии радиуса корреляции при наклонном падении

периментально исследованы статистические свойст-

когерентного света на SLM (рис. 7а). При увеличе-

ва псевдотеплового источника света, формируемо-

нии угла падения наблюдается увеличение радиуса

го при модуляции когерентного лазерного излуче-

корреляции по одной из осей, при этом наблюдает-

ния многопиксельным пространственным модуля-

ся лишь незначительное уменьшение параметра g⁽²⁾.

тором света. С помощью аппарата теории случай-

При этом величина g⁽²⁾ (рис. 7б), остается близкой

ных процессов и кумулянтного анализа аналитиче-

к 2, что свидетельствует о том, что статистика по-

ски показано, что распределение случайного поля,

ля остается близкой к тепловой при изменении угла

формируемого при случайной многопиксельной фа-

падения от 0 до 45^◦. Эксперименты также показали,

зовой модуляции когерентного излучения, является

что радиус корреляции, как и следовало ожидать,

гауссовским. Обнаружено, что при наклонном паде-

уменьшается при увеличении количества задейство-

нии модулируемого пучка случайное поле статисти-

ванных пикселей (рис. 7в), а при увеличении рассто-

чески анизотропно, т. е. площадь пространственной

яния до плоскости наблюдения радиус корреляции

когерентности представляет собой эллипс. Это свой-

растет (рис. 7г).

ство псевдотеплового источника излучения следует

Таким образом, все представленные выше теоре-

иметь в виду при анализе его распространения в сво-

тические предсказания были подтверждены экспе-

бодном пространстве и в оптических волноводных

риментально. В частности, впервые было показано,

устройствах, а также при определении разрешаю-

что радиус корреляции рассеянного поля в одном из

щей способности фантомного изображения. Одним

направлений зависит от угла падения когерентного

из факторов, влияющих на качество последнего, яв-

излучения на SLM, т. е. площадь пространственной

ляется соотношение характерных размеров изобра-

когерентности представляет собой эллипс. При этом

жения и радиуса пространственной корреляции.

223

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Статистические свойства псевдотеплового излучения. . .

Обнаружение эффекта анизотропии радиуса

Д. Н. Клышко, ЖЭТФ 105, 1574 (1994).

корреляции кроме очевидного научного интереса

10.

А. В. Белинский, Д. Н. Клышко, ЖЭТФ 105, 487

имеет и важное прикладное значение в свете прак-

(1994).

тической реализации метода вычислительных фан-

томных изображений, в частности, развиваемой на-

11.

D. V. Strekalov, A. V. Sergienko, D. N. Klyshko et

ми в настоящее время волоконной фантомной опти-

al., Phys. Rev. Lett. 74, 3600 (1995).

ки.

12.

T. B. Pittman, Y. Shih, D. V. Strekalov et al., Phys.

Rev. A 52, R3429 (1995).

Финансирование. Исследование выполнено за

счет гранта Российского научного фонда (проект

13.

A. S. Chirkin, P. P. Gostev, D. P. Agapov et al., Laser

№21-12-00155).

Phys. Lett. 15, 115404 (2018).

14.

S. Magnitskiy, D. Agapov, and A. Chirkin, Opt. Lett.

192, 3641 (2020).

ЛИТЕРАТУРА

15.

S. Magnitskiy, D. Agapov, and A. Chirkin, Opt. Lett.

1. A. Gatti, E. Brambilla, M. Bache, and L. A. Lugiato,

47(4), 754 (2022).

in Quantum Imaging, ed. by M. I. Kolobov, Springer

(2007), Ch. 5.

16.

M. Rosskopf, T. Mohr, and W. Elsäßer, Phys. Rev.

Appl. 13, 034062 (2020).

2. B. I. Erkmen and R. W. Boyd, Adv. Opt. Photon. 2,

405 (2010).

17.

T. Jiang, W. Tan, X. Huang et al., J. Opt. 23, 075201

(2021).

3. K. W. C. Chan, M. N. O’Sullivan, and R. W. Boyd,

Opt. Express 18, 5562 (2010).

18.

J. H. Shapiro, Phys. Rev. A 78, 061802(R) (2008).

4. J. H. Shapiro and R. W. Boyd, Quant. Inf. Process.

19.

G. M. Gibson, S. D. Johnson, and M. J. Padgett, Opt.

11, 949 (2012).

Express 28, 28190 (2020).

5. С. А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин Вве-

20.

V. Katkovnik and J. Astola, JOSA A 29(8), 1556

дение в статистическую радиофизику и оптику,

(2012).

Наука, Москва (1981).

21.

J. Pinnell, I. Nape, B. Sephton et al., JOSA A 37,

6. L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and

C146 (2020).

Quantum Optics, Cambridge Univ. Press (1995).

22.

A. A. Pushkina, J. I. Costa-Filho, G. Maltese et al.,

7. H. Cummins, Photon Correlation and Light Beating

Meas. Sci. Technol. 31 125202 (2020).

Spectroscopy (Vol. 3), Springer Science and Business

Media (2013).

23.

Ch. Wang, R.-J. Lan, Ch. Ren et al., Phys. Rev.

A 101, 033819 (2020).

8. B. Crosignani, P. di Porto, and M. Bertolotti,

Statistical Properties of Scattered Light, Acad. Press

24.

H. C. Liu, B. Yang, Q. Guo et al., Sci. Adv. 3,

(1975).

e1701477 (2017).

225