ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 198-204

РАССЕЯНИЕ СВЕТА ОДНОМЕРНЫМ ПОГЛОЩАЮЩИМ

СЛОЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

МЕЖДУ ДВУМЯ ДИЭЛЕКТРИКАМИ

Н. А. Ванюшкин^*, А. А. Геворгян, С. С. Голик

Дальневосточный федеральный университет

690922, Владивосток, Россия

Поступила в редакцию 26 февраля 2022 г.,

после переработки 12 марта 2022 г.

Принята к публикации 12 апреля 2022 г.

Рассмотрено прохождение плоской электромагнитной волны через одномерный поглощающий слой, ко-

торый зажат между двумя, в общем случае различными, полубесконечными диэлектриками. На основе

метода трансфер-матрицы и метода, основанного на решении задачи Коши для системы из двух диффе-

ренциальных уравнений первого порядка, были получены спектры пропускания, отражения и поглоще-

ния падающей волны, а также распределения интенсивности электрического поля внутри поглощающего

слоя.

DOI: 10.31857/S0044451022080041

рассмотрения. Кроме того, этот метод может быть

EDN: EFYUUG

распространен на среды с неоднородными слоями,

например, с линейным или параболическим профи-

1. ВВЕДЕНИЕ

лем.

Задача распространения электромагнитных

Метод функции Грина также часто использует-

волн в неоднородных слоистых средах часто встре-

ся, особенно при решении задач для 2D- и 3D-струк-

чается во многих приложениях. В особенности

тур. Он также позволяет вычислить фотонную

важную роль она играет при разработке различных

плотность состояний внутри исследуемого слоя, что

слоистых фотонных структур, включая диэлект-

является полезным инструментом при анализе раз-

рические зеркала [1, 2], оптические датчики [3, 4],

личных фотонных структур. Стоит отметить, что

метаматериалы [5, 6], устройства на основе жидких

каждый из упомянутых методов имеет свои недо-

кристаллов [7, 8] и другие [9, 10]. По этой причине

статки и ограничения, а потому продолжают появ-

было разработано множество методов решения этой

ляться новые методы [17-21], которые более опти-

задачи, которые включают в себя прямое решение

мизированы с точки зрения численных вычислений

волнового уравнения

[11], классические методы

или позволяют упростить аналитические выраже-

трансфер-матрицы [12,13] и функции Грина [14,15],

ния для задач с определенными условиями.

метод инвариантного погружения [16] и другие.

Ранее был предложен [22-24] новый метод на-

Метод трансфер-матрицы заслуживает особого

хождения коэффициентов пропускания и отраже-

внимания, поскольку является одним из самых по-

ния для неоднородного слоя с непрерывной зависи-

пулярных методов, а также используется при вы-

мостью показателя преломления, который основан

воде многих других методов. Он особенно эффек-

на решении системы двух обыкновенных дифферен-

тивен при работе со слоистыми средами, посколь-

циальных уравнений первого порядка. Среди пре-

ку трансфер-матрица, связывающая амплитуды по-

имуществ можно привести его применимость для

лей на разных границах раздела, может быть лег-

среды с произвольной непрерывной зависимостью

ко получена для каждого однородного слоя. В этом

показателя преломления от координаты. В частно-

случае метод трансфер-матрицы очень удобен как

сти, в методе, разработанном в работе [24], предпо-

для численных расчетов, так и для аналитического

лагается, что неоднородный слой граничит с дву-

^* E-mail: vaniuschkin.nick@ya.ru

мя диэлектриками, показатели преломления кото-

198

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Рассеяние света одномерным поглощающим слоем. . .

рых совпадают со значениями внутри слоя на соот-

ветствующих границах, благодаря чему достигает-

ся непрерывность коэффициента преломления n на

обеих границах, а также отсутствие вклада границ в

отражение проходящей волны. Это упрощает реше-

ние задачи рассеяния и нахождения распределения

поля внутри слоя в упомянутых выше условиях, од-

нако часто на практике условие непрерывности по-

казателя преломления на границах слоя не выпол-

няется. Поэтому необходимо дополнительно учиты-

вать рассеяние волн на границах.

Подобная проблема уже рассматривалась други-

ми авторами, например, в работе [25], однако там, в

частности, предполагалось отсутствие поглощения и

усиления излучения внутри среды, которые требуют

Рис. 1. Прохождение плоской электромагнитной волны че-

отдельного учета при выводе выражений. В настоя-

рез изотропный 1D-слой с произвольной зависимостью по-

казателя преломления

щей работе мы получим выражения для коэффи-

циентов отражения и пропускания, а также распре-

деления интенсивности электрического поля внут-

коэффициенты пропускания и отражения для s- и

ри неоднородного слоя с поглощением (усилением),

p-волн могут быть записаны в виде

после чего применим полученные формулы при ре-

E^s,pr

E^s,pt

шении различных задач.

r^s,p =

t^s,p =

(2)

s,p

E^s,pi

2.1. Неоднородный слой с непрерывным

2. МОДЕЛЬ И МЕТОДОЛОГИЯ

показателем преломления на границах

В соответствии с подходом, разработанным ра-

Сначала рассмотрим задачу рассеяния плоской

нее [24], комплексные амплитудные коэффициенты

световой волны на неоднородном одномерном слое

ts,p и rs,p для слоя с показателем преломления n(z),

(рис. 1), который имеет бесконечную протяженность

который граничит с обеих сторон с изотропными ди-

вдоль осей x и y и расположен между плоскостями

электриками с показателями преломления n_l = n(0)

z = 0 и z = L, а его показатель преломления n яв-

и n_r = n(L), могут быть представлены в виде

ляется произвольной непрерывной функцией только

z. Допустим также, что плоскость падения совпада-

2 exp(-ikL)

t^s,p =

ет с плоскостью xz, а волна падает под углом α к

Q^s,p(L) + F^s,p(L)

нормали границы слоя, которая совпадает с плос-

(3)

(Q^s,p(L) - F^s,p(L))^∗

костью xy. Считаем, что среда слоя изотропная и

r^s,p =

Q^s,p(L) + F^s,p(L)

немагнитная (µ = 1). Также предположим отсутст-

вие поглощения в среде (Im n ≡ 0). Области z < 0

где символ ¾∗¿ обозначает комплексное сопряжение,

и z > L заполнены однородными диэлектриками с

k(z) = (2π/λ)n(z) cos β(z), β(z) угол преломления,

показателями преломления соответственно n_l и n_r.

λ длина волны падающего излучения. Функции

Напряженность электрического поля падающей,

Q^s,p и F^s,p являются решением системы дифферен-

отраженной и прошедшей волн обозначим соответ-

циальных уравнений

ственно E_i, E_r и E_t. Эти поля представимы в виде

s,p

1 dk

= -ikQ^s,p + A^s,p

F^s,p,

(4)

(

)

k dz

E^si,r,t

E_i,r,t = E^si,r,tn_s + E^pi,r,tn_p =

(1)

E^p

i,r,t

dQ^s,p

1 dk

= -ikF^s,p + B^s,p

Q^s,p

(5)

k dz

где n_s и n_p единичные орты s- и p-поляризации,

с начальными условиями

E^si,r,t и E^pi,r,t

соответствующие амплитуды падаю-

щей, отраженной и прошедших волн. Комплексные

F^s,p(0) = 1, Q^s,p(0) = 1.

199

Н. А. Ванюшкин, А. А. Геворгян, С. С. Голик

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

В системе уравнений (4), (5)

и справа от неоднородного слоя. Сделать это мож-

но, например, при помощи метода сложения слоев

2π

(6)

Амбарцумяна [27,28] или метода трансфер-матрицы

λ cosβ dz

[12,13]. Приведем здесь выкладки для метода тран-

сфер-матрицы.

A^s = 1, B^s = 0, A^p = cos²β, B^p = sin²β.

Трансфер-матрица M^s,p всей структуры, кото-

Полное поле в каждой из сред может быть пред-

рая связывает между собой амплитуды падающей,

ставлено следующим образом:

отраженной и прошедшей волн, может быть пред-

ставлена в следующем виде:

E₀ = E_i + E_r, E₁ = E_in, E₂ = E_t,

(7)

(

)

k_l

1/t^s,pr

-r^s,pr/t^s,pr

где индексы ¾0¿, ¾1¿ и ¾2¿ обозначают поля, со-

M^s,p =

k_r

-r^s,pr/t^s,pr

1/t^s,p

ответствующие средам слева от 1D-слоя фотонного

(

)

кристалла, внутри слоя и справа от слоя. Полное по-

1/t^s,p-k

-r^s,p-k/t^s,p-k

ле E_in внутри 1D-слоя связано с остальными полями

−r^s,pk/t^s,pk

1/t^s,p

(1) через граничные условия. Для E_in имеем

(

)

s,p

1/t^s,pl

-r^s,pl/t

(12)

k(0)

[

]

s,p

−r_l

/t^s,pl

1/t^s,p

E^s,pin(z) =

(F^s,p(z))^∗ + r^s,pF^s,p(z)

E^s,pi.

(8)

k(L)

Вторая матрица определяет изменение амплитуды

Наконец, интенсивность электрического поля в слое

поля при распространении внутри неоднородного

определяется как

слоя, а первая и третья изменения амплитуды по-

ля при отражении соответственно от правой и левой

I^s,pin(z) = |E^s,pin(z)|².

(9)

границ. Коэффициенты в первой и третьей матри-

цах легко получаются с помощью формул Френеля:

Теперь предположим, что внутри слоя присутст-

вует поглощение (усиление) излучения (Im n = 0).

k_l + k(0)

r^sl

k_l - k(0)

В соответствии с результатами работы [26], чтобы

t^sl

2k_l

t^sl

k_l + k(0)

(13)

правильно учесть поглощение (или усиление) излу-

k(L) + k_r

r^sr

k(L) - k_r

чения, необходимо во всех формулах заменить комп-

t^sr

2k(L)

t^sr

k(L) + k_r

лексное сопряжение на инверсию волнового вектора

Здесь k_l = (2π/λ)n_l cos α и k_r = (2π/λ)n_r cos γ. Вы-

k → -k. Тогда выражения (3) и (8) примут вид

ражения для p-поляризации получаются аналогич-

2 exp(-ikL)

но. С другой стороны, матрица M^s,p может быть

t^s,pk =

Q^s,pk(L) + F^s,pk(L)

выражена через коэффициенты отражения и про-

s,p

(10)

(L) - F^s,p-k(L)

пускания всей структуры:

−k

r^s,pk =

(

)

Q^s,pk(L) + F^s,pk

(L)

s,p

k_l

1/T_-

-R^s,p-k/T^s,p-k

M^s,p =

(14)

-R^s,pk/T^s,pk

1/T^s,p

k(0)

[

]

E^s,p(z) =

F^s,p-k(z) + r^s,pkF^s,pk(z)

E^s,pi.

(11)

k(L)

Таким образом, вычислив матрицу (12) и приравняв

Здесь функции Q^s,pk и F^s,pk являются решением сис-

ее матрице (14), мы можем получить искомые вели-

темы (4), (5), а функции Q^s,p-k и F^s,p-k решениями

чины T^s,pk и R^s,pk. Приведем здесь явные выражения

системы уравнений, которая получается из (4), (5)

для s-поляризации:

после замены k → -k.

(k_l - k (0)) Q^s-k(L) + (k_l + k (0)) Q^sk(L)

T^sk

2k_l

2.2. Учет отражения на границах слоя

k_r (k (0)-k_l)F^s-k(L)+k_r (k (0)+k_l)F^sk(L)

(15)

Напомним, что до сих пор мы рассматривали

2k (L)k_l

ситуацию, когда показатель преломления непреры-

вен на границах слоя, т.е. n_l = n(0) и n_r = n(L).

[k (0)k_rF^sk(L) - k_lk_rF^s-k(L)

Это условие зачастую не выполняется на практи-

R^sk = 1 -

k (L) k_l

ке, например, когда слой граничит с обеих сторон с

]

k (0) (

)

воздухом (n_l = n_r = 1). Поэтому важно обобщить

Q^sk(L) - Q^s-k(L)

T^sk.

(16)

данный метод на случай произвольных сред слева

k_l

200

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Рассеяние света одномерным поглощающим слоем. . .

Схожим образом можно получить выражение

для распределения поля внутри неоднородного слоя.

Для этого выразим амплитуды волны в точке z

внутри слоя (0 < z < L) через поле в точке z = 0:

(

)

E^s,p+(z)

E^s,p-(z)

(

)

s,p

k_l

1/t

(z)

-r^s,p-k(z)/t^s,p-k (z)

−k

k(z)

-r^s,pk(z)/t^s,pk(z)

1/t^s,pk(z)

(

)(

)

s,p

1/t

-r^s,pl/t^s,pl

E^s,pi.

(17)

−r^s,pl/t^s,pl

1/t^s,p

R^s,p

Здесь t^s,pk(z) и r^s,pk(z) коэффициенты пропускания

и отражения для части слоя толщиной z, E^s,pi амп-

литуда поля падающей волны в точке z = 0, E^s,p+(z)

и E^s,p-(z) амплитуды волн, распространяющиеся

внутри слоя соответственно вправо и влево. Ампли-

туда полного поля в точке z определяется как сумма

волн, E^s,p(z) = E^s,p+(z) + E^s,p-(z):

(z)

(k(0)+k_l)F^s-k(z)+(k(0) - k_l)F^sk

E^s(z) =

2k(z)

(k(0) - k_l)F^s-k(z) + (k(0) + k_l) F^sk(z)

R^sk.

(18)

2k(z)

Рис. 2. (В цвете онлайн) Спектры пропускания (a) и по-

глощения (b) аподизированного ФК с коэффициентом по-

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И

глощения κ = 0.003 (синяя линия) и без поглощения (чер-

ОБСУЖДЕНИЕ

ная линия). Параметры структуры: n1 = 1.5, n02 = 0.3,

δn = 0.3, L = 6000 нм, Λ = 200 нм, n_l = nr = 1

В данном разделе мы применим наш модифици-

рованный метод для двух задач рассеяния плоской

волны на различных структурах. Сначала рассмот-

имеет более сложную структуру по сравнению с иде-

рим поглощающий фотонный кристалл (ФК) с ме-

альным ФК. Это связано с тем, что на этих длинах

няющейся по длине амплитудой модуляции показа-

волн поле имеет повышенную локализацию внутри

теля преломления (аподизированная решетка):

ФК, но слабое пропускание. Этим же объясняются и

(

)

максимумы поглощения на длинноволновой границе

n(z) = n₁ + n₂(z)sin²

+ iκ,

(19)

ФЗЗ.

На рис. 3a показано распределение поля внутри

где κ коэффициент поглощения и

активного ФК на длине волны λ = 629 нм. Видно

n₂(z) = n₀₂ + δn

(20)

постепенное уменьшение огибающей распределения

по мере распространения в глубь ФК. На рис. 3b

На рис. 2 показаны спектры пропускания |T|² и по-

показан спектр поглощения в случае падения элект-

глощения A = 1 - |T |² - |R|² при нормальном паде-

ромагнитной волны из среды справа от того же са-

нии в случаях без поглощения (κ = 0) и при погло-

мого ФК. Спектры пропускания при падении волны

щении, равном κ = 0.003. На спектре пропускания

слева и справа от ФК полностью совпадают, однако

хорошо виден характерный диапазон 650-800 нм с

спектры отражения и поглощения могут проявлять

минимумом пропускания, известный как фотонная

значительную асимметрию. В нашем случае это про-

запрещенная зона (ФЗЗ). Добавление поглощения

является в положении мод с большим поглощением:

приводит к снижению пропускания через структуру

при падении справа они расположены на коротко-

во всем спектральном диапазоне, кроме ФЗЗ. Так-

волновой границе ФЗЗ, а при падении слева на

же за счет аподизации длинноволновый край ФЗЗ

длинноволновой границе.

201

Н. А. Ванюшкин, А. А. Геворгян, С. С. Голик

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Рис. 3. (a) Распределение поля внутри аподизированного

Рис. 4. (В цвете онлайн) Спектры пропускания (a) и отра-

ФК с поглощением κ = 0.003 на длине волны λ = 629 нм

жения (b) чирпированного ФК при нормальном падении с

(показано зелеными штрихами на рис. 2). (b) Спектр по-

коэффициентом усиления g = 0.0045 (синяя линия) и без

глощения аподизированного ФК, как на рис. 2, но при па-

усиления (черная линия). Параметры структуры: n1 = 1.5,

дении излучения в обратном направлении (из среды спра-

= 0.6, L = 5980 нм, Λ0 = 200 нм, δΛ = 30 нм,

ва от ФК)

n_l = nr = 1

Теперь перейдем к рассмотрению активного ФК

На рис. 5a показано распределение поля внут-

с переменным по длине периодом модуляции пока-

ри активного ФК для одной из этих мод с длиной

зателя преломления (чирпированная решетка):

волны λ = 859 нм. На рис. 5b приведен спектр от-

(

)

ражения в случае падения электромагнитной вол-

n(z) = n₁ + n₂sin²

- ig,

(21)

ны из среды справа от того же ФК. Аналогично

Λ(z)

предыдущему случаю с поглощением, мы снова име-

где g коэффициент усиления и

ем асимметрию спектров отражения для ¾левой¿ и

¾правой¿ задач. Стоит также отметить, что моды с

Λ(z) = Λ₀ + δΛ

(22)

большим усилением на коротковолновой границе в

правой задаче сливаются в относительно широкую

На рис. 4 показаны спектры пропускания |T|² и от-

полосу.

ражения |R|² в случаях без усиления (g = 0) и

при усилении, равном g = 0.0045. Как видно из

представленных спектров, активный ФК увеличива-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ет амплитуды отраженной и прошедшей волн. Осо-

бенно большое усиление наблюдается для отражен-

В данной работе нами был модифицирован и

ной волны на нескольких длинах волн на длинно-

обобщен представленный ранее метод решения за-

волновом краю ФЗЗ. На этих длинах волн данная

дачи рассеяния плоской волны на неоднородном по-

структура ведет себя как отражающий оптический

глощающем (усиливающем) слое с произвольной за-

усилитель.

висимостью показателя преломления, а именно, бы-

202

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Рассеяние света одномерным поглощающим слоем. . .

Финансирование. Работа выполнена при

поддержке Фонда содействия развитию теорети-

ческой физики и математики

¾БАЗИС¿ (грант

№21-1-1-6-1) и Министерства науки и высше-

го образования Российской Федерации (проект

FZNS-2020-0003 № 0657-2020-0003).

ЛИТЕРАТУРА

D. M. Calvo-Velasco and R. Sánchez-Cano, Curr.

Appl. Phys. 35, 72 (2022).

F. Wu, M. Chen, D. Liu et al., Appl. Opt. 59, 9621

(2020).

I. M. Efimov, N. A. Vanyushkin, A. H. Gevorgyan et

al., arXiv:2202.01509.

Z. A. Zaky, A. M. Ahmed, A. S. Shalaby et al., Sci.

Rep. 10, 1 (2020).

Z. Li, Z. Ge, X. Y. Zhang et al., Indian J. Phys. 93,

511 (2019).

L. Ju, X. Xie, W. C. Du et al., Phys. Stat. Sol. (b)

256, 1800382 (2019).

Рис. 5. (a) Распределение поля внутри чирпированного ФК

A. H. Gevorgyan, S. S. Golik, N. A. Vanyushkin et

al., Materials 14, 2172 (2021).

с усилением g = 0.0045 на длине волны λ = 859 нм (по-

казано зелеными штрихами на рис. 4). (b) Спектры отра-

V. A. Belyakov, Liq. Cryst. 48, 2150 (2021).

жения чирпированного ФК, как на рис. 4, но при падении

излучения в обратном направлении (из среды справа от

N. A. Vanyushkin, A. H. Gevorgyan, and S. S. Golik,

ФК)

Optik 242, 167343 (2021).

10.

H. B. Tanaue, E. Reyes-Gómez, and A. Bruno-Al-

fonso, Photonics Nanostr.-Fundam. Appl. 47, 100958

(2021).

ли получены выражения для коэффициентов про-

пускания и отражения излучения для неоднородно-

11.

L. Ge, Photonics Res. 5, B20 (2017).

го слоя, расположенного между двумя различными

12.

P. Yeh, Optical Waves in Layered Media, Wiley, New

диэлектриками, а также выражение для распределе-

York (1988).

ния электрического поля внутри такого слоя. Дан-

ные коэффициенты выражаются через пару ком-

13.

A. Yariv and P. Yeh, Optical Waves in Crystals,

плексных функций, которые являются решением

Wiley, New York (1984).

задачи Коши для системы из двух обыкновенных

14.

F. R. Di Napoli and R. L. Deavenport, J. Acoust.

дифференциальных уравнений, а также параметров

Soc. Amer. 67, 92 (1980).

слоя и внешней среды. Данный метод имеет преиму-

щество по сравнению с прямым решением волново-

15.

G. Barton, Elements of Green’s Functions and Pro-

го уравнения с точки зрения численного решения

pagation, Clarendon Press, Oxford (1989).

задачи, так как решить систему из двух уравнений

16.

R. Bellman and G. M. Wing, An Introduction to Inva-

первого порядка легче, чем одно уравнение второ-

riant Imbedding, John Wiley & Sons, Inc, New York

го порядка. Наконец, нами было продемонстриро-

(1975).

вано использование данного метода на примере за-

дачи рассеяния плоской волны на двух фотонных

17.

J. X. Liu, Z. K. Yang, L. Ju et al., Plasmonics 13,

кристаллах с градиентными параметрами.

1699 (2018).

203