ЖЭТФ, 2022, том 162, вып. 2 (8), стр. 181-197

О ГЕНЕРАЦИИ ЧЕТНЫХ ГАРМОНИК ОНДУЛЯТОРНОГО

ИЗЛУЧЕНИЯ ПУЧКАМИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ

И. А. Федоров^*, К. В. Жуковский^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 8 февраля 2022 г.,

после переработки 8 февраля 2022 г.

Принята к публикации 25 марта 2022 г.

Теоретически исследуется генерация гармоник спонтанного и вынужденного ондуляторного излучения

(ОИ) в плоских ондуляторах лазеров на свободных электронах (ЛСЭ). Проводится сравнительный анализ

теоретических результатов излучения четных гармоник ОИ, следуя собственным теоретическим расчетам

и расчетам других авторов. Анализируется и сравнивается с экспериментом излучение второй гармоники

в ондуляторах LCLS, хорошо документированное с учетом всех характеристик ЛСЭ. Исследуется влияние

на генерацию гармоник таких характеристик, как сечение пучка, его отклонение от оси, эмиттанс и раз-

брос энергий. Проводится сравнение результатов расчета с имеющимися экспериментальными данными

по генерации гармоник. Исследуется также возможность использования и усиления четных гармоник

в ЛСЭ SwissFEL и LCLS-II с выделенными каскадами группирователя и усилителя второй и третьей

гармоник.

DOI: 10.31857/S004445102208003X

полдлины волны, при этом оба вектора магнитного

EDN: EFWFAZ

поля ондулятора и волны меняют свои направления

и направление силы Лоренца, действующей на элек-

1. ВВЕДЕНИЕ

трон, сохраняется на каждом периоде ондулятора.

Таким образом, сила Лоренца ускоряет электроны

Ондуляторное излучение (ОИ) было предсказано

позади узлов волны и замедляет электроны впереди

Гинзбургом в середине 20 века [1]. Гинзбург также

узлов волны; в результате электроны в ондуляторе

высказал гипотезу [2], что электроны могут излу-

группируются на длине волны. Группировка на дли-

чать когерентно, если они сгруппированы в банчи

нах волн гармоник также происходит, но она слабее,

размером меньше длины волны. Первый ондулятор

чем группировка на длине волны основного тона.

был построен Мотцем [3], который продемонстри-

Современные ЛСЭ позволяют генерировать импуль-

ровал генерацию спонтанного ОИ. Строгую теорию

сы фемтосекундной длительности в рентгеновском

вынужденного излучения электронов в ондуляторе

диапазоне на длине волны порядка ангстрем. Из-за

как следствие их группировки из-за взаимодействия

отсутствия отражающих элементов на таких длинах

электронов с электромагнитной волной, предложил

волн трудно сделать оптический резонатор. Поэто-

Мадэй [4]; он построил первый лазер на свобод-

му в рентгеновском и ультрафиолетовом диапазонах

ных электронах и продемонстрировал генерацию ко-

в основном применяют однопроходные ЛСЭ высо-

герентного излучения в миллиметровом диапазоне.

кого усиления, в которых взаимодействие с пучком

Теория ЛСЭ представлена во многих работах, на-

электронов происходит за один проход излучения

пример, [5-13]. В основе группировки электронов в

в ондуляторах. Недостатком однопроходных рент-

ЛСЭ лежит тот факт, что электроны движутся со

геновских ЛСЭ являются очень большие размеры и

скоростью меньше скорости света и немного отстают

стоимость: длина ускорителя доходит до 1 км, энер-

от фотонов. Когда электроны проходят полпериода

гия электронов до 15 ГэВ, ток до 5 кА, длина

ондулятора, фотоны проходят это расстояние и еще

ондуляторов до 100 м. Уменьшение размеров и

стоимости является приоритетной задачей в разви-

^* E-mail: fedorov.ia15@physics.msu.ru

тии источников излучения четвертого поколения и

^** E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru

181

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

может быть достигнуто, например, путем использо-

другие характеристики излучения. Согласно [18],

вания гармоник излучения. Резонансы гармоник ОИ

дифференциальное распределение плотности чис-

под углом θ к оси ондулятора с периодом λ_u и па-

ла фотонов dN_p и связанная с этим мощность dP

раметром дипольности k происходят на следующих

на единицу площади dS в спектральном интервале

длинах волн:

dω/ω рассчитываются численно с помощью интегра-

(

)

ла свертки [18]:

λ_u

k^2eff

λ_n =

+ (γθ)²

2nγ²

(1)

d²N_p

d²P

dS dω/ω

ℏdS dω

k^2eff = k²̟,

̟ = 1 + (d/h )².

∞

∫

dω^′

где γ

релятивистский фактор электронов, k =

NS_N (ω - ω^′) Φ|_ω=ω′

(2)

ω₁

= H₀λ_ue/2πmc² ≈ 0.9337H₀[Tл]λ_u[см] параметр

-∞

дипольности, а ̟ > 1 учитывает возможное при-

где

сутствие гармоник магнитного поля с амплитудой

d и номером гармоники h. В ондуляторах период

S_N(x) = (sinc πNx)² ≡ (sinπNx/πNx)²,

обычно составляет несколько сантиметров; значи-

тельно уменьшить его не представляется возмож-

ω₁

основной тон ОИ, N число периодов ондуля-

ным. Получить более коротковолновое излучение

тора, Φ = d²N_p∞/dS dω/ω плотность потока фо-

с электронами меньшей энергии можно, исполь-

тонов [18]:

зуя излучение гармоник [14-17]. Однако, чем вы-

ше номер гармоники n, тем больше потери, связан-

4πγ²c/λ_u

Φ=

ные с конечным эмиттансом пучка, разбросом энер-

4πσ_xσ_y

гии электронов, дифракцией и другими фактора-

∫

∑

ми. Особенно сильно это сказывается на вынужден-

dϕf_k [ρ_k(ω) cos(ϕ), ρ_k(ω) sin(ϕ)] ×

ном излучении, где электрон-фотонное взаимодей-

k>ω/ω1₀

ствие на длинах волн гармоник сильнее подвержено

× G_k (X,Y,ϕ,ω),

(3)

влиянию потерь. В источниках излучения четвер-

того поколения пучки имеют высокий релятивист-

λ_u период ондулятора, ϕ полярный угол вокруг

ский фактор γ ∼ 10³-10⁴, низкий разброс энергии

оси ондулятора [18] и

σ_e ∼ 10^-3-10^-4, малые эмиттанс ǫ_x,y ∼ 0.5 мм· мрад

)_1/2

и сечение σ_x,y ∼ 10-30 мкм. Это открывает возмож-

(4πγ²ck

ρ_k(ω) = Z

- (γβ)²

-1

ность использовать гармоники излучения в рентге-

ωλ_u

(

новском диапазоне.

(X - ρ_k(ω) cos ϕ)²

Целью работы является анализ генерации гармо-

G_k (X, Y, ϕ, ω) = exp

(4)

2σ²

ник, в особенности четных, как спонтанного ОИ, так

)

и вынужденного излучения ЛСЭ, и сравнительный

(Y - ρ_k(ω) sin ϕ)²

анализ различных методов расчета мощности гар-

2σ²

моник путем сравнения соответствующих результа-

тов с данными рентгеновского ЛСЭ LCLS, который

f_k (X, Y ) =

|F_k|²,

4π²

выбран в качестве референтной установки ввиду на-

∫

(5)

личия обширной документации по излучению гар-

F_k =

(β(z) - n) eikω1t(z)dz,

моник. Также мы теоретически исследуем возмож-

cRT

ности усиления и излучения второй гармоники ЛСЭ

в выделенных каскадах ондуляторов, настроенных в

где σ_x, σ_y размеры пучка, γ его релятивистский

резонанс.

фактор, c скорость света, α ≃ 1/137 постоянная

тонкой структуры,

2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОИ С

E ∫λ^u

(

) dz

ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ SPECTRA

(γβ)²

(γβ_x)² + (γβ_y)²

λ_u

Программа SPECTRA [18-21] позволяет прово-

дить численное моделирование ОИ; она считает по-

β = v/c скорость электрона, t = t′ +R(t^′)/c за-

ток фотонов, спектрально-угловое распределение и

паздывающее время, n = R/R, R = |R|, R = r-r^′

182

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

(

вектор от заряда к наблюдателю, r = (X, Y, Z),

∑

)^k (

r′ = (x, y, z). Разброс энергий электронов и эмит-

g^(k-1)(t₁)eiωt1 -

iω

танс учитываются в коде SPECTRA и вычисляются

k=1

)

в обеих поперечных плоскостях. Эмиттанс учиты-

- g^(k-1)(t_m+1)eiωtm+1

вается в свертке для излучения одного электрона

∑

(

)

с двумерной функцией распределения электронов.

g⁽³⁾ (t_j+1) - g⁽³⁾ (t_j) eiωtj+1 ,

(7)

Разброс энергий σ_e вызывает уширение линий спек-

ω⁴

j=1

тра и учитывается в свертке с гауссовым распре-

делением со средним квадратичным 2ℏωσ_e/E, где

где g^(k)(x)

производная порядка k от функ-

ℏω энергия фотона, E энергия электрона. Чис-

ции g(x).

ленный счет ведется, как обычно, в волновой зоне:

Описанная выше схема численного счета да-

|Z - z| ≫ |X - x| , |Y - y|. Ближнюю зону можно

ет высокую точность результатов. Учет конечного

также включить в расчет, но это существенно за-

эмиттанса проводится при интегрировании по ради-

медляет вычисления. Мы использовали во всех чис-

усу, которое ведется со сверткой по разбросу энергий

ленных и аналитических вычислениях приближения

и при азимутальном интегрировании. В диапазоне

волновой (дальней) зоны.

энергий фотонов, где доминируют высшие гармо-

ники, свертка с функцией S_N мало меняет форму

Интегрирование по частотам ω^′ в (2) сводится

спектра, и в этом случае программа SPECTRA не

к взятию свертки с обычной для ОИ функцией sinc

считает свертки и счет ускоряется без существенно-

линии спектра S_N , что позволяет осуществить быст-

го ухудшения точности. В расчете использовалась

рый счет с помощью алгоритмов SPECTRA для пре-

опция “Energy Dependence → Angular Flux Density”

образований Фурье [18] в свертке. При интегриро-

для счета интегралов описанным выше способом.

вании быстроосциллирующих функций по времени

Другие детали работы программы SPECTRA содер-

движения электрона в ондуляторе, интервал инте-

жатся в [18].

грирования разбивается в SPECTRA на несколь-

ко отрезков, на каждом из которых проводится ап-

проксимация функции полиномами третьего поряд-

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОИ С

ка. Для функции g(t) в аппроксимации полиномом

ПОМОЩЬЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ БЕССЕЛЯ

порядка n в области интегрирования, n-я производ-

ная dⁿg/dtⁿ будет константой. Тогда, интегрируя

Простейшей аппроксимацией магнитного поля

∫

g(t)e^iωtdt по частям n раз, получим

по длине ондулятора является чисто синусоидаль-

ная зависимость H

= H0 sin(k_λz), k_λ

= 2π/λ_u,

где H₀

амплитуда поля на оси z. Поле реально-

(

)_n ∫

dⁿg (t)

го ондулятора более сложное, в нем могут присут-

e^iωtd-

iω

dtⁿ

ствовать гармоники и непериодические компоненты

(

)_k [

]

[23-30]; кроме того, пучок имеет конечный размер,

∑

d^kg (t)

e^iωt

(6)

и простейшее гармоническое поле не удовлетворяет

iω

dt^k-1

k=1

уравнениям Максвелла во всем зазоре ондулятора

[31-35]. Для генерации в рентгеновском и ультра-

фиолетовом диапазонах используются пучки мало-

С учетом dⁿg/dtⁿ = const, первый член имеет вид

го сечения: σ_e ∼ 0.2-0.5 мм для UV-ЛСЭ, σ_e ∼ 10-

(

)_n+1

50 мкм для рентгеновского ЛСЭ. Вблизи оси по-

dⁿg (t)

(

)

eiωt1 - eiωt2

ле ондулятора близко к идеально синусоидальному

iω

dtⁿ

и может быть представлено единственной гармони-

кой. Поле H₀ на оси ондулятора слабее, чем поле

где t ∈ [t₁, t₂]

малый интервал времени, на кото-

H_max у полюсов магнитов: H₀ ≃ H_max/ch(πg/λ_u) ,

ром g(t) аппроксимирована полиномом третьего по-

где g

зазор ондулятора. В пучке конечного се-

рядка. В SPECTRA производные до третьего поряд-

чения происходят бетатронные колебания, которые

ка определяются методом интерполяции кубичес-

расщепляют линию излучения n-й гармоники ОИ

кими сплайнами [22]. Тогда [18] весь интервал ин-

на частоте ω_n = 2πc/λ_n на бетатронные гармони-

тегрирования t ∈ [t₁, t_m+1] оказывается разбит на m

ки p, отстоящие друг от друга на частоту, значи-

отрезков, и интегрирование в G сводится к сумми-

тельно меньшую, чем сам резонанс ОИ [29, 33, 34]:

√

рованию:

ω_β ≃ ω_nk/

2nγ. Для релятивистских электронов

183

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

γ ≪ 1 и ω_β ∝ ω_n/γ , так что в рентгеновском и ульт-

с гармониками поля. Аналитические выражения

рафиолетовом диапазонах ω_β ≪ ω_n и бетатронные

для ондулятора с тремя гармониками поля в двух

гармоники, составляющие линию излучения, распо-

взаимно-ортогональных плоскостях представлены в

ложены очень близко друг к другу. В то же время,

работе [41], для эллиптического ондулятора

поскольку длина волны излучения λ_n мала, уши-

[26,27], учет и анализ влияния гармоник поля эллип-

рение расщепленной линии излучения может быть

тического и плоского ондуляторов проведен также

заметно. Бетатронные колебания в пучке конечно-

в [42-47]. Для плоского ондулятора и узких пучков

го размера вызывают четные гармоники ОИ на оси

релятивистских электронов сложные формулы для

(см. [33, 34] и др.).

коэффициентов Бесселя упрощаются до следующих

Отметим, что возможные непериодические ком-

выражений (см. [47, 48]):

поненты магнитного поля ондулятора тщательно



компенсируются после вычислений интегралов по-

∑

(

)



f_n;x =

J_p



Jⁿⁿ⁺¹ + J^nn-1

γθcosϕJⁿⁿ

ля, так как они уводят пучок с оси и вызывают



,

расстройку когерентности осцилляций электрона по

(

длине ондулятора. Индуцированный угол изгиба то-



∑

2



же вызывает четные гармоники ОИ на оси [36-39],

f_n;y =

J_p



θ sinϕJⁿⁿ

(9)

+

kγ

нечетные гармоники ослабевают, линия спектра ис-

√

)

кажается и вместо привычной функции sinc(ν_n/2),

(

)

2πy₀

+ Jⁿ

J_p+1 -

J_p-1

где ν_n = 2πnN ((ω/ω_n ) - 1) параметр расстройки

λ_u

относительно резонансов ОИ (ω_n = 2πc/λ_n), полу-

чается обобщенная функция Эйри

где y₀

расстояние от оси ондулятора, p номер бе-

∫¹

татронной гармоники расщепления линии ОИ, ϕ

S (ν_n, η, β) ≡ eⁱ(νn τ+η τ2+β τ3) dτ

угол вокруг оси ондулятора, J^mn и

J_p

функции

Бесселя:

(см., например, [40]). Спектрально угловые характе-

∫

dα

ристики ОИ аналитически описываются с помощью

J^mn ≡ J^mn (ζ, ξ) =

2π

коэффициентов Бесселя f_n;x,y x- и y-поляризаций

-π

(10)

излучения, которые выражаются через обобщенные

× exp[i (nα + mζ sinα + mξ sin(2α))] ,

функции Бесселя. Интенсивность излучения одного

электрона записывается следующим образом:

J_p ≡ J^1p (-κ, -η),

d²I

e²γ²N²k²

(

)

)×

dω dΩ

λ_uk

λ_uk²

1+ k^2eff/2

+ (γΘ)²

ζ = θcosϕ

ξ=

nλ_nγ

8nλ_nγ²

(11)

∑

)(

)

(ν_n

4πθy₀γ²

π²γy²k

n²sinc²

f^2n;x + f^2n;y

(8)

κ=

η=

√

n=-∞

λ_u (1+(k²/2))

2λ^2u (1+ (k²/2))

Влияние разброса энергий в реальном пучке элект-

Четные гармоники появляются из-за угловых эф-

ронов на излучение описывается сверткой

фектов и бетатронных колебаний; угловые эффек-

∫

ты и конечный размер пучка учитываются также

√

в аргументах функций Бесселя. Ниже мы сравним

d²I (ν_n + 4πnNε)e-ε2/2σe dε/dω dΩ

2πσ_e;

вклады бетатронных колебаний и угловых эффек-

-∞

тов в рентгеновское излучение плоского ондулято-

учет угловых и бетатронных эффектов ведется в

ра ЛСЭ LCLS. Выбор установки диктуется обилием

коэффициентах Бесселя f_n;x,y. В [41] было показа-

информации по излучению гармоник в LCLS. Мы

но соответствие аналитического расчета излучения

оценим влияние бетатронных и угловых вкладов на

гармоник численному моделированию SPECTRA

излучение четных и нечетных гармоник спонтанно-

для различных ондуляторов; там же была под-

го и вынужденного ОИ и сравним с результатами

тверждена справедливость аналитических резуль-

численного моделирования спектра и с данными по

татов и коэффициентов Бесселя для ондуляторов

ЛСЭ.

184

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

мощность ЛСЭ может также происходить от затра-

МОЩНОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ

вочного когерентного излучения, которое стабили-

ОДНОПРОХОДНОГО ЛСЭ

зирует фазу и временные характеристики излуче-

Когерентное излучение ЛСЭ генерируется элект-

ния. Разного рода потери, связанные с дифракцией,

ронами в банчах, разделенных длиной волны излу-

разбросом энергии, эмиттансом и др., уменьшают

чения в точном соответствии с гипотезой Гинзбурга

мощность излучения ЛСЭ, увеличивают длину уси-

[2]. Группировка электронов в ондуляторе происхо-

ления и насыщения. Дифракция может быть учтена

дит вследствие взаимодействия электромагнитной

с помощью поправки κ к параметру Пирса, предло-

волны с электронами банча. Строгая теория этого

женной в работах [14, 38, 39, 52-54]:

явления была развита Мадейем [4]. Сила Лоренца в

√

ρ_n

λ_uλ_n

ондуляторе группирует электроны около узлов вол-

ρ_n →

κ=³ 1+

(13)

ны в банчи размером менее длины волны, и излуче-

16πρ_nΣ

ние становится близким к когерентному (детальное

Влияние разброса энергий и эмиттанса пучка на

описание см. [5-13,49]). В начале ЛСЭ присутствует

длину усиления и мощность излучения описывается

сильная некогерентная составляющая излучения и

феноменологически с помощью следующих коэффи-

происходит квадратичный рост напряженности по-

циентов:

ля излучения и мощности. В результате взаимодей-

(

)

ствия электронов и излучения происходит модуля-

Φ_n ≃

ζⁿ + 0.165µ^2ε,n

e0.034µε,n ,

ция энергии электронов и затем развивается моду-

µ_ε,n ≃ 2σ_ε/n^1/3 ρ_n,

(14)

ляция электронной плотности банча. Это приводит

(

)

к экспоненциальному росту мощности:

η_n ≃ 0.942 e-Φn(Φn-0.9)+1.57 (Φ_n-0.9)/Φ³

P (z) ∝ P₀ez/Lg0 .

√

где σ_e

разброс энергий, а эмиттанс учитывается

Длина усиления ЛСЭ L_g0 = 1/

3g₀

обратно про-

в ζ [52,53]; для согласованного пучка ζ ≈ 1-1.1, а в

порциональна коэффициенту усиления g₀ и входит

рентгеновском диапазоне ζ ≈ 1. Коэффициенты (14)

в безразмерный параметр Пирса ρ = (λ_ug₀)/4π

были выверены в ходе сравнительного анализа тео-

[5-7], который является фундаментальным для опи-

ретических результатов, численных симуляций (см.

сания процессов в ЛСЭ. Параметр Пирса зависит

[43,55,56]) и экспериментальных данных ЛСЭ в диа-

от параметров ондулятора и плотности тока (см.

пазоне от видимого до рентгеновского [41,42,47,48].

[5-9, 49-51]):

(

)

Длина усиления L_n,g и мощность насыщения P_n,F

1/3

гармоник в режиме их независимого роста в одно-

ρ_n =

(λ_uk_eff |f_n|)^2/3 ,

(12)

2γ

4πi

проходном ЛСЭ записываются с учетом потерь и со-

где i = 4πε₀mc³/e ≃ 1.7045 · 10⁴

размерная по-

ответствующих им коэффициентов (13), (14) следу-

стоянная тока Альфвена [А], λ_u

период онду-

ющим образом [52, 53]:

лятора, f_n коэффициент Бесселя n-й гармоники

L_n,g → L_n,gκ Φ_n,

(15)

ОИ, J = I₀/Σ плотность тока, I₀ ток, Σ =

√

(

)

= 2π

β_xε_xβ_yε_y

сечение пучка, ε_x,y = σ_x,yθ_x,y

√

P_n,F ≃

2ρ_nP_beam η₁

(16)

эмиттансы, σ_x,y =

ε_x,yβ_x,y

поперечные разме-

κ²

ры, β_x,y = ε_x,y/θ^2x,y

параметры Твисса, θ_x,y

Независимый рост мощности гармоник обычно про-

расходимости пучка; в ЛСЭ обычно применяется

исходит медленнее роста мощности основного то-

фокусировка квадрупольными магнитными линза-

на. В то же время, n-я гармоника может быть

ми, которые задают фокусные расстояния β_x,y и

индуцирована основным тоном в режиме нелиней-

эмиттансы ǫ_x,y. Параметр Пирса ЛСЭ ρ_n опреде-

ной генерации. Тогда ее мощность растет быстрее,

ляет максимально возможную мощность излучения

√

как n-я степень основного тона, пропорционально

гармоники P_F,n ≈

2ρ_nP_beam, где P_beam = EI₀

e^nz/Lg [5-7,14,15]. Насыщение n-й гармоники в ре-

мощность электронного пучка, а также длину уси-

(

√

)

жиме нелинейной генерации определяется насыще-

ления L_n,g

≃ λ_u/

4π

3n^1/3 ρ_n

и длину на-

нием основного тона. Соответствующая мощность

сыщения ЛСЭ: L_s

∼ λ_u/ρ ∼ 10-20 L_g. Отме-

насыщения приближенно записывается следующим

тим, что начальная мощность в ЛСЭ с самоуси-

образом [52,53]:

лением спонтанного излучения SASE задается ко-

(

)₂

герентной составляющей шума электронного бан-

P_1,F

P_n,F ≃ η_n

√

(17)

ча: P_noise ≈ 1.6ρ²e4πcP_e/(I₀λ)

[49, 50]. Начальная

n nf₁

185

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

Экспоненциальный рост мощности излучения в кон-

значения какой гармоники n, первой или третьей,

це ЛСЭ переходит в осцилляции около мощности

используются в (19), и используются ли измеренные

насыщения. Насыщение гармоник в режиме нели-

или вычисленные значения. Мы продемонстрируем

нейной генерации начинается несколько раньше на-

это на примере ЛСЭ LCLS. В работах [61,62] анали-

сыщения основного тона и развивается постепенно.

тически рассчитаны мощность второй гармоники P₂

Приближенное аналитическое описание этого про-

в терминах мощности основного тона P₁ следующим

цесса дано в [57].

образом:

Влияния разного рода потерь на излучение ЛСЭ

было учтено в работах [58, 59] посредством феноме-

P₁

1 A² +B²

P_2,[61] ≈

нологической коррекции Λ к длине усиления L_g0:

450π Ξ F²

(

))

L_g = L_g0 (1 + Λ), где Λ описывает влияние дифрак-

1 + 1/

4Γ²

(20)

ции, разброса энергий и эмиттанса пучка. Формулы

arctg (1/Γ) + (Γ/2)ln(Γ²/(1 + Γ²) )

(13)-(15) проще, а результаты хорошо согласуются

(

)

с высокоточной аппроксимацией Λ [58,59]. Выраже-

где Ξ = k²/

2+k²

, A = 2Ξ(J0 (Ξ) - J2 (Ξ))+J1 (Ξ),

ние для Λ представляет полином нецелой степени из

B = J₁(Ξ), F = J0 (Ξ/2) - J1 (Ξ/2) [61], J_i обыч-

семи слагаемых с девятнадцатью различными чис-

ные функции Бесселя, Γ = 4πσ^2x,y/Nλ_uλ₁

число

ленными коэффициентами (не приводим для крат-

Френеля электронного пучка с сечением σ_x,y на

кости). Коррекция длины усиления также коррек-

длине ондулятора Nλ_u. Мы проведем сравнитель-

тирует мощность и длину насыщения ЛСЭ.

ный анализ мощности гармоник ЛСЭ LCLS по

Аналитическое описание мощности гармоник

формуле (17) и результатов, полученных на основе

ЛСЭ в режиме нелинейной генерации было пред-

теорий других авторов: по формулам (18), (19) из

ложено, например, в работе [60]; для отношения

работы [60] и по формуле (20) из работы [61]. Выбор

мощности третьей гармоники P₃ к мощности ос-

ЛСЭ LCLS объясняется тем, что, в отличие от

новного тона P₁, в [60] предложена следующая

других рентгеновских ЛСЭ, на этой установке наи-

формула:

более полно и хорошо документировано излучение

(

)₃

гармоник, например, в работах [63-65].

P₁

P₃ = ΘρP_beam

(18)

ρP_beam

5. СПОНТАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

где численный множитель Θ определяется сложным

ОНДУЛЯТОРА LCLS

интегральным выражением и имеет порядок около

10^-1. Отметим, что оценки мощности нечетных гар-

Первый рентгеновский лазер на свободных элек-

моник (18) дают результаты, сильно отличающиеся

тронах был построен в США в 2009 г. на установке

от экспериментальных. Однако основные вопросы

Linac Coherent Light Source (LCLS). Излучение ЛСЭ

вызывает генерация четных гармоник, так как на

LCLS формируется в 33 ондуляторах с постоянными

оси плоского ондулятора в идеальном пучке четные

магнитами; длина каждого ондулятора 3.4 м [63-65],

гармоники практически не излучаются: излучение

период λ_u = 3 см, параметр дипольности фиксиро-

на их длинах волн идет в противофазе с соседних

ванный, k = 3.5, электронный ток достигает 1 кА с

периодов ондулятора. Авторы [60] оценивают мощ-

пучком энергии E = 4.3 ГэВ и 3.5 кА с E = 13.6 ГэВ;

ность насыщения P₂ второй гармоники ЛСЭ на ос-

некоторые данные собраны в табл. 1.

нове мощности P_n соседней первой или третьей гар-

ЛСЭ LCLS излучает в жестком и мягком рентге-

моники, банчинга b_n и коэффициентов Бесселя f_n

новском диапазонах на длине волны λ₁ = 0.15 нм с

вовлеченных гармоник; формула учитывает также

энергией электронов E = 13.6 ГэВ и на длине волны

сечение пучка σ_x,y и записывается следующим об-

λ₁ = 1.5 нм с E = 4.3 ГэВ. В спектре ЛСЭ зареги-

разом:

(

)₂

стрированы и измерены вторая и третья гармони-

λ_ukf₂

b₂

P_2,[60] ≈ P_n

(19)

ки, зарегистрирована также пятая гармоника. Рас-

γ2πσ_x,yf_n b_n

смотрим ОИ в ондуляторе LCLS, например, с пуч-

Отметим, что в идеале, мощности всех гармоник со-

ком энергии E = 4.3 ГэВ. Результаты моделирова-

гласованы, но в реальности расчетные результаты

ния представлены на рис. 1, 2 с учетом сечения пуч-

для мощности гармоник могут отличаться от изме-

ка, разброса энергии и других характеристик (см.

ренных величин на порядок и более. Расчетные ре-

табл. 1). Спектр ОИ на оси в дальней зоне рассчи-

зультаты для n = 2 будут сильно зависеть от того,

тан аналитически и численно с помощью SPECTRA

186

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

Таблица 1. Параметры электронного пучка и плоского ондулятора LCLS

Параметр

Значение

Параметр

Значение

8400

Ipeak

1 кА

√

γǫ_x,y

0.4 мкм · рад

θ_div =

σ/β

2.2 мкрад

σ^expx,y

20-25 мкм

σ_e

0.3 · 10^-3

σ^modelx,y

23 мкм

β_x,y

10 м

Примечание. Пучок электронов LCLS энергии E = 4.3 ГэВ, где σ^expx,y сечение в эксперименте, σ^modelx,y

сечение, использованное в модели, I_peak ток, σe разброс энергий, βx,y параметр Твисса.

Параметр

Значение

Параметр

Значение

26600

Ipeak

3.5 кА

√

γǫ_x,y

0.4 мкм · рад

θ_div =

σ/β

0.9 мкрад

σ^expx,y

20-40 мкм

σ_e

0.1 · 10^-3

σ^modelx,y

30 мкм

β_x,y

25 м

Примечание. Пучок электронов LCLS энергии E = 13.6 ГэВ.

Параметр

Значение

Параметр

Значение

λ_u

3 см

113

3.4 м

3.5

Примечание. Ондулятор LCLS, λu период, L длина, N число периодов, k параметр ондулятора.

и показан соответственно на рис. 1 и рис. 2. Отме-

Спектр ОИ, полученный нами с учетом только эмит-

тим большое количество высших нечетных гармо-

танса пучка и без учета бетатронных эффектов,

ник и малое содержание четных гармоник в спек-

практически ничем не отличается от спектра на

тре (см. рис. 1а, 2а). Для сравнения на рис. 1б,

рис. 1; мы не приводим его для краткости. Таким

2б показан спектр ОИ ондулятора LCLS под углом

образом, аналитически выделив вклады различных

γθ = 0.07, который соответствует углу электрон-

физических эффектов, мы получили, что излучение

фотонного взаимодействия на длине усиления ЛСЭ;

четных гармоник происходит главным образом из-

четные гармоники ОИ под углом γθ = 0.07 на поря-

за конечного эмиттанса и угловых эффектов, а не

док сильнее, чем на оси.

за счет бетатронных колебаний в пучке конечного

На оси ондулятора коэффициенты Бесселя для

размера. Вклад бетатронных колебаний в мощность

гармоник n = 1, 2, . . . , 9 таковы:

гармоник ОИ пренебрежимо мал.

f^{emmitancen=1,2,...,9} = {0.74, 0.02, 0.34, 0.02, 0.23, 0.02,

Бетатронные колебания могут влиять на ширину

линии излучения, расщепляя ее на бетатронные гар-

0.18, 0.02, 0.14}.

(21)

моники (см. (9)). Мы провели теоретическую оцен-

В LCLS вклад бетатронных колебаний в коэффи-

ку этого эффекта для ондулятора LCLS. Основ-

циенты Бесселя нечетных гармоник ничтожен: око-

ной вклад дают пять бетатронных гармоник с p =

√



ло 10^-18. Для четных гармоник в LCLS вклад бе-

= -2, . . ., 2 на расстоянии δλ ≃ kλ/n

2γ

≃

n=1

татронных колебаний больше и составляет f^beta2 ∼

≃ 0.45 пм друг от друга. Ширине бетатронного

∼ 0.002, однако это значение на порядок меньше

расщепления равной примерно 1.8 пм соответству-

вклада угловых эффектов; коэффициенты Бессе-

ет спектральная плотность 4δλ/λ ≈ 0.1 %; в то же

ля первых четных гармоник таковы: f_2,4,6 ∼ 0.02.

время естественная спектральная плотность ОИ та-

187

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Е, 10

эВ

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Рис. 1. Аналитическое моделирование с помощью про-

Е, 10

эВ

граммы SPECTRA: а спектр ОИ ондулятора LCLS с

E = 4.3 ГэВ на оси с учетом эмиттанса пучка, б

Рис. 2. Численное моделирование с помощью программы

спектр ОИ ондулятора LCLS под углом γθ = 0.07 электрон-

SPECTRA: а спектр ОИ ондулятора LCLS с E = 4.3 ГэВ

фотонного взаимодействия ЛСЭ

на оси с учетом эмиттанса пучка, б спектр ОИ ондуля-

тора LCLS под углом γθ = 0.07 электрон-фотонного взаи-

модействия ЛСЭ

кова: 1/N|_N=113 = 0.9 %. Таким образом, ширина

бетатронного расщепления почти на порядок мень-

ше естественной ширины линии спектра ОИ.

ного банча τ_e = 0.2 пс, получаем мощность ЛСЭ

P ≈ 8.5 ГВт, что в точности соответствует значе-

нию, полученному нами аналитически. Измеренное

6. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ЛСЭ

LCLS

на ЛСЭ LCLS содержание третей гармоники: око-

ло 2 % [63]; в некоторых случаях отмечалось умень-

Излучение ЛСЭ LCLS хорошо документирова-

шение ее содержания до 0.2 %. На рис. 3а зеле-

но в работах [63-65], которые мы используем для

ная область соответствуют диапазону измеренных

сравнительного анализа с теоретическими резуль-

значений мощности третьей гармоники без учета

татами, полученными в рамках различных подхо-

этих флуктуаций, т.е. представлен наиболее узкий

дов к исследованию мощности гармоник. Послед-

диапазон значений согласно [63]. Непосредственные

ние представлены на рис. 3а для LCLS с пучком

измерения пятой гармоники на LCLS не проводи-

энергии E = 4.3 ГэВ и на рис. 3б для излучения

лось, ее содержание было оценено авторами [63] как

с пучком энергии E = 13.6 ГэВ. Мощность основ-

приблизительно 10 % мощности третьей гармоники.

ного тона обозначена красной областью на рис. 3а,

Соответствующий диапазон мощности пятой гар-

согласно результатам серии экспериментов с дли-

моники обозначен синей областью на рис. 3а. Из-

ной волны λ = 1.5 нм, где энергия излучения со-

меренное содержание второй гармоники составля-

ставляла 1-2 мДж при длительности банчей около

ло около 0.04-0.1 %, и оно показано оранжевой об-

100-250 фс. Исходя из измеренной энергии фотон-

ластью на рис. 3а. Вторая гармоника измерялась

ного импульса E_γ = 1 мДж при длине электрон-

только в диапазоне мягкого рентгеновского излу-

188

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

P,Вт

чения ввиду технических особенностей детекторов;

на рис. 3б оранжевая область показывает предпо-

10¹⁰

лагаемую мощность второй гармоники для жест-

кого рентгеновского излучения LCLS с электрон-

l = 1.5 нм

ным пучком энергии E = 13.6 ГэВ, где содержа-

10⁹

ние второй гармоники предполагается схожим: око-

ло 0.04-0.1 %.

Результаты теоретического расчета также пред-

10⁸

ставлены на рис. 3: красная сплошная линия по-

казывает мощность основного тона ЛСЭ, зеленая

штриховая линия

мощность третьей гармони-

10⁷

n = 2 Теория [61] форм (20)

ки, синяя пунктирная линия пятой гармоники.

Мощность второй гармоники рассчитана с учетом

n = 2 (угол)

эффективного угла электрон-фотонного взаимодей-

10⁶

n = 2 (3)Теория [60] форм (19)

ствия на длине усиления ЛСЭ оранжевый штрих-

n = 2 (1)Теория [60] форм (19)

пунтир. Все рассчитанные нами значения хорошо

согласуются с экспериментом, что подтверждает

10⁵

правильный учет физических явлений и параметров

установки в нашем расчете.

Поскольку главная неопределенность теоретиче-

ских расчетов обычно касается четных гармоник,

10⁴

мы исследовали влияние различных параметров на

z, м

их излучение. В частности, мы рассчитали мощ-

P,Вт

ность второй гармоники, аналитически выделив и

учтя только влияние эмиттанса и бетатронных ко-

10¹⁰

лебаний в пучке; соответствующее значение отмече-

l = 0.15 нм

но на рис. 3а штриховой оранжевой линией. Рассчи-

танная мощность второй гармоники ЛСЭ при этом

10⁹

оказалась почти на три порядка ниже измеренной.

Соответствие расчета эксперименту восстанав-

ливается, если учесть эффективный угол электрон-

10⁸

n = 2 (угол)

фотонного взаимодействия в пучке на характерной

длине усиления. Он является определяющим, как

показывает расчет, для генерации четных гармоник

10⁷

в ЛСЭ. С учетом этого, получаем значения коэффи-

n = 2 Теория [61] форм (20)

циентов Бесселя гармоник n = 1, 2, . . . , 9:

f^{e-γn=1,2,...,9} = {0.74, 0.07, 0.33, 0.08, 0.22,0.09,

n = 2 (3)Теория [60] форм (19)

0.15, 0.09, 0.11}.

(22)

n = 2 (1)Теория [60] форм (19)

Сравнение значений коэффициентов Бесселя (22)

с соответствующими значениями в (21), где учтен

только эмиттанс пучка, показывает, что для низших

нечетных гармоник n = 1, 3, 5 разница невелика, а

z, м

для высших нечетных гармоник разница становится

Рис. 3. Мощность гармоник ЛСЭ LCLS; гармоники показа-

значимой, что выражается в заметном ослаблении

ны цветными линиями и обозначены номерами; диапазо-

излучения высших нечетных гармоник. Для четных

ны экспериментальных значений мощности показаны цвет-

гармоник, напротив, значения коэффициентов Бес-

ными областями: а для пучка энергии E = 4.3 ГэВ,

селя с учетом угла электрон-фотонного взаимодей-

разброс энергий σe = 3 · 10^-4, ток I0 = 1 кА, эмиттанс

ствия f^{e-γn=2,4,6,8} ≃ 0.08 больше соответствующих зна-

γǫx,y

= 0.4 мкм, βx,y = 10 м; б для пучка энергии

чений с учетом только эмиттанса f^{emmitancen=2,4,6,8} ≃ 0.02 в

E = 13.6 ГэВ, разброс энергий σe = 1·10^-4, ток I0 = 3 кА,

четыре раза (!). Спектр ОИ под углом электрон-фо-

эмиттанс γǫx,y = 0.4 мкм, βx,y = 25 м

189

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

тонного взаимодействия выглядел бы как на рис. 1б

рентгеновском диапазоне по той же формуле (20)

и содержал бы на порядок больше четных гармоник

получаем мощность второй гармоники P₂ ≈ 2.5 МВт

(ср. с рис. 1а). Поскольку для излучения ЛСЭ суще-

(см. рис. 3б), т. е. 0.01 %, что меньше ожидаемого

ственно электрон-фотонное взаимодействие, спек-

0.04-0.1 %. С другим подходом [60], вычисляя мощ-

тру ОИ ондуляторов LCLS соответствует рис. 1а,

ность второй гармоники ЛСЭ LCLS по формуле

а мощности гармоник ЛСЭ показаны на рис. 3а с

(19), получаем в жестком рентгеновском диапазоне

учетом значений коэффициентов Бесселя f^{anglen=1,2,...,9}

мощность второй гармоники P₂ ∼ 100-200 кВт, что

(22); результаты расчета соответствует измерениям

еще на порядок меньше, чем по теории [61] и на два

на ЛСЭ LCLS [63-65].

порядка ниже ожидаемого. Итак, в жестком рентге-

новском диапазоне расхождение между эксперимен-

Независимые оценки мощности гармоник LCLS

том и расчетом по теории [60] или [61] увеличива-

были сделаны в различных работах, см., например,

ются почти на порядок, в то время как результаты

[60, 61]. Мощности гармоник n = 1, 2, 3, 5, рассчи-

по формулам (с учетом эффективного угла элект-

танные нами с учетом основных параметров ЛСЭ,

рон-фотонного взаимодействия на длине усиления

соответствуют экспериментальным значениям, как

ЛСЭ) остаются в пределах экспериментальных зна-

показано выше. Для сравнения мы рассчитали и по-

чений.

казали на рис. 3а мощности гармоник по формуле

Отметим противоречивые выводы разных авто-

(19) в соответствии с теорией в [60] и по формуле

ров о причинах генерации четных гармоник в ЛСЭ.

(20) в соответствии с теорией [61]. В [61] теорети-

Так, авторы работы [66] заключают, что ¾угол от-

ческая мощность ЛСЭ LCLS: P₁ = 8 ГВт, что хо-

клонения увеличивает излучение второй гармони-

рошо соответствует экспериментам [63-65]. Однако

ки¿ в ЛСЭ. Напротив, авторы [61, 62] делают вы-

оценка мощности третьей гармоники в [60]: P_3,[60]=

вод о том, что ¾полная мощность второй гармони-

= 15 МВт, примерно на порядок меньше, чем в экс-

ки ЛСЭ не зависит от углов отклонения пучка от

перименте [65]. Более того, оценка мощности второй

оси и даже может уменьшиться, если пучок име-

= 15 кВт, соответствует

гармоники в [60]: P_2,[60]

ет углы отклонения¿. Последний вывод представ-

ее содержанию порядка 2 · 10^-4 %, что на три по-

ляется нам спорным, так как характеристики ОИ

рядка меньше измеренного в экспериментах около

определяются свойствами физической системы за-

0.1 % [65]. Мы учли ошибочное значение мощности

рядов и поля; выше нами аналитически показано,

третьей гармоники в [60] и пересчитали по формуле

что именно угловые вклады в основном вызывают

(19) в соответствии с теорией [60] мощность второй

четные гармоники ОИ. Обсуждение и количествен-

гармоники на основе мощности первой или третьей

ные оценки вкладов различных эффектов в гене-

гармоник; сплошные оранжевые линии соответ-

рацию четных гармоник даны выше. В результате

ственно сплошные толстая и тонкая оранжевые ли-

анализа различных вкладов в генерацию гармоник

нии на рис. 3. При этом расчете мощность второй

мы приходим к выводу, что мощность четных гар-

гармоники ЛСЭ оказалась на один-полтора порядка

моник в ЛСЭ определяется не только размером пуч-

ниже измеренной на LCLS. Отметим, что формула и

ка и его отклонением, как считается в [60, 66], хотя

соответствующая теория [60] применительно к ЛСЭ

центровка пучка на оси, конечно, имеет значение;

LEUTL также дает мощность второй гармоники на

например, принимая во внимание эксперименталь-

один-два порядка ниже измеренной в эксперимен-

но зарегистрированное в ЛСЭ LCLS [63, 63] откло-

тах.

нение пучка от оси примерно до 10-15 мкм на длине

Другой теоретический подход использован в

последних ондуляторных секций, получаем угол от-

[61, 62]. В нем вычисляются электрическое поле из-

клонения, примерно соответствующий эффективно-

лучения, распространение фронта волны в различ-

му углу электрон-фотонного взаимодействия, и это

ных направлениях и другие характеристики; при

дает реалистичную оценку мощности второй гармо-

этом авторы используют специфические параметры,

ники. Однако в других экспериментах не было заре-

такие как глубина модуляции электронного пучка

гистрировано отклонения пучка, сравнимого с его

и др., доступные только разработчикам ЛСЭ. Рас-

сечением. Теоретический результат, соответствую-

чет по формуле дает результат, близкий к диапазону

щий экспериментам, получается во всех случаях, ес-

экспериментальных значений: оранжевая пунктир-

ли учесть углы электрон-фотонного взаимодействия

ная линия на рис. 3а показывает мощность второй

на характерной длине усиления в ЛСЭ. Это вызыва-

гармоники LCLS, рассчитанную по формуле (20),

ет вторую гармонику мощностью, соответствующей

соответствующей теории в [61]. Однако в жестком

измеренной в экспериментах как на ЛСЭ LCLS, так

190

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

и на ЛСЭ LEUTL и на других установках. Таким

ка параметра Пирса ЛСЭ SACLA для излучения

образом, мы в определенном смысле подтвержда-

с λ = 0.1 нм дает значения ρ₁ = 0.00077 в груп-

ем заключение работы [66] о том, что в ЛСЭ ¾угол

пирователе и ρ_1×2 = 0.00058 в усилителе; условие

отклонения увеличивает излучение второй гармо-

стабильной генерации не удовлетворяется уже с на-

ники¿, замечая, что нужно учитывать эффектив-

чальным разбросом энергий. Если в группирователе

ный угол электрон-фотонного взаимодействия, а не

электронов генерация возможна с начала ЛСЭ, то в

только отклонение от оси.

усилителе второй гармоники она невозможна уже в

Отметим, что мощность излучения второй гар-

начале усилителя даже без учета индуцированного

моники ЛСЭ зависит от параметров пучка и онду-

разброса энергии. Поэтому усиление второй гармо-

ляторов и напрямую не отражает то значение мощ-

ники в ЛСЭ SACLA в настоящей конфигурации не

ности, которое может индуцироваться основным то-

представляется возможным. Рассмотрим ниже воз-

ном на длине волны второй гармоники, но не излу-

можность усиления гармоник в современных ЛСЭ с

чаться. Эквивалентная мощность второй гармони-

малыми эмиттансом и разбросом энергий и с изме-

ки за счет индуцированного банчинга может быть

няемым параметром дипольности ондуляторов.

большой, но она не излучается, так как для вто-

Рентгеновский ЛСЭ SwissFEL [77-81] излучает

рой гармоники излучение приходит в противофазе

на длинах волн от 1.5 до 0.1 нм. Пучок имеет ма-

с каждого периода ондулятора. Однако если такой

лый абсолютный разброс энергий σ_e = 350 кэВ; от-

пучок электронов с индуцированной группировкой

носительный разброс энергией электронов с энерги-

на длине волны второй гармоники подать в следую-

ей E = 5.8 ГэВ: σ_e ≈ 0.006 %, стандартный эмит-

щий ондулятор, у которого основной тон настроен в

танс γǫx,y = 0.4 мм· мрад. В эксперименте банчи

резонанс со второй гармоникой банчера, то индуци-

электронов с зарядом Q = 0.2 нКл и энергией E =

рованная и эквивалентная банчингу мощность ста-

= 5.8 ГэВ генерировали фотонные импульсы дли-

новится реальной, может быть усилена и излучена

тельностью τ_γ = 24 фс с энергией E_γ = 1 мДж на

в следующих ондуляторах.

длине волны λ₁ = 0.1 нм [79]; оценка длительности

Работа ЛСЭ в режимах SASE и HLSS может

электронного банча: τ_e = 40 фс. Мы рассчитали тео-

быть реализована на одной установке, если исполь-

ретически мощность насыщения: P₁ ≈ 40 ГВт; это

зовать ондуляторы с изменяемым параметром ди-

хорошо согласуется со значением, которое получа-

польности. Ондуляторы LCLS имеют фиксирован-

ется с измеренной энергией E_γ = 1 мДж импуль-

ный параметр k = 3.5, и численное моделирова-

са длительностью τγ = 24 фс. Длина насыщения

ние каскадного усиления второй гармоники на ЛСЭ

SwissFEL, L_s ≈ 30 м, меньше чем в других ЛСЭ в

LCLS проводилось для дополнительных ондулято-

жестком рентгеновском диапазоне, длина усиления

ров с другим параметром k в [66]; насколько нам из-

по нашим расчетам: L_g ∼ 1.4 м. Из-за малого раз-

вестно, проект не был реализован. Усиление гармо-

броса энергий и эмиттанса получаем высокую мощ-

ник HLSS возможно в SwissFEL, строящемся ЛСЭ

ность третьей гармоники P₃ ≈ 0.25 ГВт, ее содер-

LCLS II и в других установках.

жание около 0.7 % близко к максимально возмож-

ному для ондуляторов с периодом λ_u = 1.5 см и

параметром дипольности k = 1.2. Рассчитанное со-

7. УСИЛЕНИЕ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В

держание второй гармоники в ЛСЭ SwissFEL око-

РЕНТГЕНОВСКОМ ЛСЭ SWISSFEL

ло 0.4 % определяется сечением пучка и эффек-

Использование самозатравочного лазерного из-

тивным углом электрон-фотонного взаимодействия

лучения гармоник (HLSS) в мягком рентгеновском

θ = σ_photon/L_gain

∼ 6 мкрад на длине усиления.

диапазоне было впервые осуществлено на ЛСЭ

Рассчитанная нами спектральная плотность излуче-

FLASH II с ондуляторами с изменяемым парамет-

ния Δλ/λ ∼ 0.1 % находится в середине измеренного

ром дипольности [67, 68]. В жестком рентгенов-

диапазона 0.05-0.15 % [78]. Рассчитанный параметр

√

ском диапазоне работают ЛСЭ с изменяемым па-

Пирса ρ₁ ≈ 0.0005 = δλ/λ ≈

ρλ_u/L_s примерно со-

раметром дипольности SACLA, SwissFEL, European

ответствует спектральной плотности SASE. В экспе-

X-FEL, вводится в строй LCLS II. Из действую-

рименте с номинальным током I₀ = 2 кА измерен-

щих в настоящее время ЛСЭ SACLA после апгрэй-

ный эмиттанс пучка ǫ_x,y = 0.2 мм · мрад, был мень-

да [69-76] является наиболее сильноточным; в нем

ше стандартного, а разброс энергий пучка равный

течет огромный ток, I₀ = 27 кА, но пучок SACLA

0.0125 % больше стандартного [81].

имеет большой разброс энергий: σ_e ≈ 0.093 % с E =

Рассмотрим возможность излучения и усиления

= 6 ГэВ [73], и σ_e = 0.1% с E = 7.8 ГэВ [69]. Оцен-

второй гармоники на длине волны λ₂ = 0.07 нм в

191

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

P,Вт

чение второй гармоники приходит в противофазе с

10¹⁰

соседних периодов ондуляторов, а излучается толь-

ко мощность за счет угловых эффектов, эмиттан-

10⁹

са и др., обозначенная штрихпунктирной линией на

10⁸

рис. 4а.

l = 0.7 нм

Диапазон изменения параметра дипольности k

10⁷

позволяет выбрать для ондуляторов в усилителе k =

10⁶

= 0.7874, получив резонанс со второй гармоникой

банчера, где k = 1.8. Мощность в усилителе на

10⁵

длине волны основного тона λ = 0.07 нм быстро рас-

10⁴

тет и на чуть большей длине усиления достигает эф-

фективного значения, индуцированного в банчере.

z, м

Далее рост мощности в усилителе продолжается до

100s_e

насыщения; на длине ондуляторов более 35 м вторая

гармоника банчера излучается с мощностью поряд-

0.05

ка 6 ГВт. Для сравнения, в режиме SASE на длине

волны λ = 0.07 нм насыщение происходит примерно

0.03

на 10 м дальше, чем в режиме HLSS. Отметим, что в

0.02

конце банчера ЛСЭ SwissFEL индуцированная эф-

фективная мощность второй гармоники на порядок

0.015

превышает мощность третьей гармоники (ср. оран-

0.01

жевую точку с концом зеленой линии на рис. 4а),

и это делает предпочтительным выбор второй гар-

моники для дальнейшего усиления. При этом в ре-

жиме усиления второй гармоники HLSS требуется

z, м

меньшая длина ондуляторов, чем в режиме SASE

Рис. 4. а) Эволюция мощности гармоник ЛСЭ SwissFEL в

на той же длине волны, а длина волны излучения,

режиме HLSS с усилением второй гармоники λ = 0.07 нм,

λ = 0.07 нм короче, чем стандартная длина волны

E = 5.8 ГэВ, I0

= 2.7 кА, σe

= 0.006 %, ǫx,y

λ ∼ 0.1 нм ЛСЭ SwissFEL.

= 0.4 мм · мрад, β = 15 м. Банчер: λ1 = 0.14 нм красная

сплошная линия 1, λ3 = 0.05 нм зеленая штриховая 3,

λ2 = 0.07 нм оранжевая штрихпунктирная линия 2; уси-

8. УСИЛЕНИЕ ГАРМОНИК В

литель второй гармоники: λ1×2 = 0.07 нм оранжевая

РЕНТГЕНОВСКОМ ЛСЭ LCLS-II

сплошная линия 12. б) Эволюция разброса энергии пучка

по длине ондуляторов ЛСЭ

В строящемся ЛСЭ LCLS-II используется пу-

чок электронов с энергией E = 4 ГэВ для генера-

ции рентгеновского излучения на длинах волн 6.2-

ЛСЭ SwissFEL в режиме HLSS усиления самозатра-

0.25 нм (см. [82]). Для более жесткого излучения с

вочного излучения второй гармоники группировате-

длиной волны менее ангстрема планируется моди-

ля. Мощность второй гармоники в банчере достига-

фикация LCLS-II-HE с пучком энергии 4 ГэВ. Чис-

ет примерно 1 МВт на длине 17 м (штрихпунктир-

ленное моделирование LCLS-II проводилось в ра-

ная оранжевая линия 2 на рис. 4а). Длина банчера

ботах [82-85]. В LCLS-II используются ондулято-

z_c = 17 м выбрана, исходя из требования гаранти-

ры с изменяемым параметром дипольности. Для ге-

рованно стабильного усиления второй гармоники в

нерации рентгеновского излучения с длиной волны

усилителе, где параметр Пирса ρ_1×2 ≈ 0.00033; при

λ = 1.2-0.25 нм используются ондуляторы с перио-

этом разброс энергии электронов в конце банчера

дом λ_u = 2.6 см, полем примерно до 1.1 Тл и мини-

с учетом индуцированного ЛСЭ вклада составляет

мальным зазором около 7 мм. В ЛСЭ предполагает-

половину параметра Пирса в усилителе: σ_e (z_c) =

ся довольно слабый ток менее 1 кА, и малые эмит-

= 0.00017 = ρ_1×2/2 (см. рис. 4б). Банчинг основного

танс и разброс энергий; с током I ∼ 400 А эмит-

тона индуцирует на длине волны второй гармони-

танс минимален, ǫ_x,y ≈ 0.17 мкм, и σ_e ≈ 0.4 МэВ,

ки эффективную мощность около 50 МВт на длине

с током I

∼ 850 А минимален разброс энергий,

ондуляторов 17 м, обозначенную оранжевой точкой

σ ≈ 0.36 МэВ, и ǫ_x,y ≈ 0.45 мкм [82-85]. Это обеспе-

на рис. 4а. Она не излучается в банчере, где излу-

чит малые потери и возможность использовать гар-

192

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

Таблица 2. Параметры электронного пучка и плоского ондулятора LCLS-II

Параметр

Значение

Параметр

Значение

7828

Ipeak

850 А

√

γǫ_x,y

0.45 мкм · рад

θ_div =

σ/β

2 мкрад

σ_x,y =

√σβ

27 мкм

σ_e

0.1 · 10^-3

θ_e-γ

13 мрад

β_x,y

13 м

Примечание. Пучок электронов LCLS-II энергии E = 4 ГэВ.

Параметр

Значение

Параметр

Значение

λ_u

2.6 см

k_amp2harm

1.9108

k_buncher

3.0516

k_amp3harm

1.3307

Примечание. Ондулятор LCLS-II.

моники как в LCLS-II SASE, так и в режиме усиле-

Отметим также, что использовать вторую гармо-

ния HLSS. Исследуем возможное усиление второй и

нику целесообразно только в самом конце банчера,

третьей гармоник банчера в выделенном усилителе-

так как банчинг на ее длине волны индуцируется

излучателе. Некоторые данные для моделирования

основным тоном; его значение в начале ЛСЭ очень

представлены в табл. 2.

мало. Более того, укоротив банчер всего на несколь-

ко метров максимально возможного и создав тем

Результаты аналитического расчета эволюции

самым запас для роста индуцированного разброса

мощности гармоник ЛСЭ HLSS с усилением вто-

энергии в следующих ондуляторах для умножения

рой гармоники на длине волны λ₂ = 0.6 нм и тре-

гармоник, получаем на выходе короткого банчера

тьей гармоники на длине волны λ₃ = 0.4 нм пред-

значение мощности третьей гармоники больше, чем

ставлены соответственно на рис. 5а и 5б. Отметим,

эффективное значение мощности второй гармони-

что реальная мощность излучения второй гармони-

ки за счет банчинга, индуцированного основным то-

ки банчера (оранжевая штрихпунктирная линия на

ном на ее длине волны. Это видно на рис. 5а: зна-

рис. 5a) гораздо меньше индуцированной эффектив-

чения эффективной мощности второй гармоники на

ной мощности на длине волны второй гармоники

длине банчера 15 м (см. оранжевую пунктирную ли-

(пунктирная оранжевая линия на рис. 5а). Усиление

нию) меньше мощности третей гармоники на той

второй гармоники происходит в ондуляторах усили-

же длине ондуляторов (см. зеленую штриховую ли-

теля, где основной тон резонирует со второй гар-

нию). Таким образом, если необходимо сократить

моникой банчера и достигает насыщения на длине

длину банчера, например, для возможного дополни-

около 30 м с мощностью около 3 ГВт. Отметим, что

тельного роста разброса энергий, индуцированного

на длине ондуляторов 19 м индуцированный бан-

ЛСЭ в следующих каскадах, то использование вто-

чинг на длине второй гармоники создает эффек-

рой гармоники в коротком банчере становится неце-

тивное значение мощности (пунктирная оранжевая

лесообразным. Мощность третьей гармоники оказы-

линия на рис. 5а) только немного больше мощно-

вается выше, чем эффективная мощность второй, и

сти третьей гармоники (зеленая штриховая линия

использование третьей гармоники тогда предпочти-

на рис. 5а, 5б). Вторая или третья гармоники могут

тельно.

быть усилены в следующих ондуляторах, настроен-

ных в резонанс. Основной тон усилителя, например,

третьей гармоники λ_1×3 = 0.4 нм достигает насыще-

9. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ния на длине L_s = 35 м с мощностью P_1×3 ≈ 3 ГВт

(см. рис. 5б); мощность насыщения второй гармони-

В настоящей работе исследована генерация гар-

ки λ_1×2 = 0.6 нм на длине L_s ≈ 30 м примерно такая

моник, в особенности четных, в ондуляторах рент-

же (см. рис. 5а).

геновских ЛСЭ. Для спонтанного излучения прове-

193

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

P, Вт

ны и отдельно исследованы вклады эффектов

дифракции, эмиттанса, бетатронных колебаний и

10⁹

угловых эффектов в пучке конечного сечения, а

также их влияние на излучение гармоник на оси

l = 0.7 нм

и под углом электрон-фотонного взаимодействия

10⁷

ЛСЭ. Полученные результаты показали, что вто-

рая и другие четные гармоники в ондуляторах

рентгеновских ЛСЭ происходят в основном из-за

10⁵

угловых эффектов в пучке конечного сечения.

Вклад бетатронных колебаний в генерацию четных

eff

гармоник ОИ в узких пучках электронов высоких

энергий значительно меньше чем вклад расходимо-

z, м

P, Вт

сти. Рассматривая спектр под эффективным углом

электрон-фотонного взаимодействия, находим, что

10⁹

вклад в мощность четных гармоник от эмиттанса в

целом примерно на порядок меньше вклада от угла

электрон-фотонного взаимодействия, а вкладом

10⁷

бетатронных колебаний можно пренебречь.

В излучении однопроходного ЛСЭ четные гар-

моники появляются за счет нескольких факторов.

Нами аналитически показано, что бетатронные ко-

10⁵

лебания дают ничтожный вклад в мощность четных

гармоник ЛСЭ. Конечное сечение пучка и его рас-

ходимость дают около процента экспериментально

z, м

измеренной мощности второй гармоники ЛСЭ. От-

клонение пучка электронов от оси ондуляторов ЛСЭ

Рис. 5. Эволюция мощности гармоник ЛСЭ LCLS II в

режиме HLSS усиления второй гармоники (а) и третьей

измерено экспериментально и в некоторых случаях

гармоники (б); энергия электронов E = 4 ГэВ, разброс

может быть сравнимым с сечением пучка; это может

энергий σe = 0.009 %, ток I0 = 850 А, эмиттанс ǫx,y =

вызывать четные гармоники с мощностью, близкой

= 0.45 мм · мрад, β = 13 м. Мощность в ондуляторах

к измеренной. Таким образом, в некоторых случа-

банчера: основной тон λ1 = 1.2 нм красная сплош-

ях существенное отклонение пучка может давать

ная линия 1, третья гармоника λ3 = 0.4 нм

зеленая

определяющий вклад в генерацию четных гармо-

штриховая линия 3, реальная мощность второй гармоники

ник в ЛСЭ. Реальная мощность второй гармоники,

λ2 = 0.6 нм оранжевая штрихпунктирная линия 2, эф-

рассчитанная с учетом эффективного угла элект-

фективная мощность за счет банчинга, индуцированного

рон-фотонного взаимодействия на длине усиления

основным тоном на длине волны λ2 = 0.6 нм оранжевая

ЛСЭ в пучке конечного сечения, во всех случаях

пунктирная линия 2_eff , пятая гармоника λ5 = 0.24 нм

соответствует экспериментальным значениям.

синяя штрихпунктирная линия 5; усилитель второй гар-

моники λ1×2 = 0.6 нм оранжевая сплошная линия 12,

Мощность второй гармоники, рассчитанная по

усиление третьей гармоники λ1×3 = 0.4 нм оранжевая

формулам работ [60,66], отличается от измеренной

сплошная линия 13

в LCLS на один-два порядка; оценка мощности по

формулам работ [61,62] отличается от эксперимен-

ден аналитический расчет и численное моделирова-

тальных данных LCLS не более чем на порядок.

ние SPECTRA; для излучения однопроходных ЛСЭ

Представления о физических причинах генерации

проведены расчеты по различным теориям несколь-

четных гармоник ЛСЭ вследствие углов отклоне-

ких авторов и аналитический расчет с коэффициен-

ния пучка от оси, данные в [60,66], являются непол-

тами Бесселя (9), где учтены все основные харак-

ными. Противоречивым представляется вывод авто-

теристики ЛСЭ; проведено сравнение результатов

ров работ [61, 62] о том, что углы отклонения пуч-

с данными хорошо документированных эксперимен-

ка могут уменьшить мощность четных гармоник.

тов ЛСЭ LCLS.

Нами аналитически показано, что угловые эффек-

Полученные численные и аналитические спект-

ты электрон-фотонного взаимодействия порождают

ральные распределения излучения согласуются

четные гармоники излучения ЛСЭ с мощностью, со-

друг с другом. В аналитических расчетах учте-

ответствующей экспериментальным значениям.

194

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

Теоретическое исследование генерации гармоник

ЛИТЕРАТУРА

в каскадном рентгеновском ЛСЭ показало, что вто-

В. Л. Гинзбург, Изв. АН СССР, Серия физ. 11, 165

рая гармоника может быть усилена почти до мощ-

(1947). Isvestia Akademii Nauk SSSR (Fizika), 11N2,

ности основного тона и излучена в следующих кас-

1651 (1947).

кадах ондуляторов, настроенных в резонанс с ней.

Эффективная мощность второй гармоники проис-

H. Motz, J. Appl. Phys. 22, 527 (1951).

ходит от банчинга на ее длине волны, индуциро-

H. Motz, W. Thon, and R. N. J. Whitehurst, Appl.

ванного первой гармоникой в нелинейном режиме;

Phys. 24, 826 (1953).

эта мощность не излучается, она значительно боль-

ше реальной мощности второй гармоники в банчере

J. M. Madey, J. Appl. Phys. 42, 1906 (1971).

за счет угловых и других эффектов. Эффективная

B. W. J. McNeil and N. R. Thompson, Nature

мощность, соответствующая банчингу, является за-

Photonics 4, 814 (2010).

травочной для усилителя на резонирующей длине

волны его основного тона. Мы показали, что для

C. Pellegrini, A. Marinelli, and S. Reiche, Rev. Mod.

усиления второй гармоники в усилителе целесооб-

Phys. 88, 015006 (2016).

разно использовать максимально длинный банчер,

Z. Huang and K. J. Kim, Phys. Rev. ST-AB 10,

так как эффективная мощность индуцируется толь-

034801 (2007).

ко в нелинейном режиме и растет как квадрат мощ-

ности основного тона. В коротком банчере мощность

E. L. Saldin, E. A. Schneidmiller, and M. V. Yurkov,

третьей гармоники в режиме ее независимого роста

The Physics of Free Electron Lasers, Springer-Verlag,

может превышать эффективное значение мощности

Berlin, Heidelberg (2000).

второй гармоники. В ЛСЭ SwissFEL и LCLS-II на-

R. Bonifacio, C. Pellegrini, and L. Narducci, Opt.

ми теоретически продемонстрирована возможность

Comm. 50, 373 (1984), DOI:10.1016/0030-4018(84)

усиления второй и третьей гармоник банчера в кас-

90105-6.

кадах усилителя с самозатравочным лазерным из-

лучением гармоник HLSS с использованием ондуля-

10.

P. Schmüser, M. Dohlus, J. Rossbach, and C. Beh-

торов с изменяемым параметром дипольности. Дли-

rens, Free-Electron Lasers in the Ultraviolet and

на волны при этом в ЛСЭ LCLS-II составляет 0.4 нм

X-Ray Regime, Springer Tracts in Modern Physics,

258, Cham (ZG), Springer International Publishing

и 0.6 нм соответственно для второй и третьей гар-

(2014).

моник, а в ЛСЭ SwissFEL равна 0.07 нм для второй

гармоники. Мощность гармоник на выходе усили-

11.

C. Pellegrini, Phys. Scripta 169, 014004 (2017).

теля составляет 3-6 ГВт, полная длина насыщения

ондуляторов равна 30-35 м для обоих ЛСЭ.

12.

G. Margaritondo and P. R. Ribic, J. Synchrotron

Rad. 18, 101 (2011).

Проведенное теоретическое исследование объяс-

няет физические причины генерации четных гар-

13.

G. Margaritondo, Rivista del Nuovo Cimento 40, 411

моник: для ОИ это конечный эмиттанс, для излу-

(2017).

чения однопроходного ЛСЭ это угловые эффекты

14.

G. Dattoli, P. L. Ottaviani, and S. Pagnutti, J. Appl.

электрон-фотонного взаимодействия и в некоторых

Phys. 97, 113102 (2005).

случаях отклонение пучка от оси. Продемонстри-

рованы возможности использования, усиления и

15.

F. De Martini, in Laser Handbook, Vol. 6, ed.

излучения гармоник ЛСЭ с изменяемым парамет-

by W. B. Colson, C. Pellegrini, and A. Renieri,

ром дипольности. Полученные результаты могут

North-Holland, Amsterdam (1990), p. 195.

использоваться в работающих, строящихся и пла-

16.

R. Bonifacio, L. De Salvo, and P. Pierini, Nucl.

нируемых ЛСЭ с целью уменьшения размеров и

Instrum. A 293, 627 (1990).

стоимости установок и генерации высокочастотного

излучения с более коротким блоком ондуляторов и

17.

Z. Huang and K.-J. Kim, Phys. Rev. E 62, 7295

электронами с меньшей энергией.

(2000).

18.

T. Tanaka and H. Kitamura, J. Synchrotron Rad. 8,

Благодарности. Авторы благодарят A. Бори-

1221 (2001).

сова, В. Багрова и A. Лобанова за советы и обсуж-

дения математических и физических аспектов излу-

19.

T. Tanaka, Phys. Rev. ST Accel. Beams 17, 060702

чения релятивистских зарядов.

(2014).

195

ЖЭТФ, вып. 2 (8)

И. А. Федоров, К. В. Жуковский

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

20.

T. Tanaka, Opt. Lett. 42, 1576 (2017).

40.

K. V. Zhukovsky, J. Math. Anal. Appl. 446, 628

(2017).

21.

T. Tanaka, Phys. Rev. Accel. Beams. 21, 110704

(2018).

41.

K. Zhukovsky and I. Fedorov, Symmetry 13(1), 135

(2021).

22.

J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical

42.

K. Zhukovsky, Results in Physics 13, 102248 (2019).

Analysis, Springer-Verlag, New York (1991).

43.

K. Zhukovsky and A. Kalitenko, J. Synchrotron Rad.

23.

V. I. Alekseev and E. G. Bessonov, in Proc. of the 6th

26, 159 (2019).

All-Union Workshop on Use of Synchrotron Radia-

tion SR-84, IYaF SO AN SSSR, Novosibirsk (1984),

44.

K. V. Zhukovsky, Russan Phys. J. 62, 1043 (2019).

p. 92.

45.

K. Zhukovsky, J. Synchrotron Rad. 27, 1648 (2020).

24.

A. A. Kolomenskii, I. V. Sinil’shchikova, E. G. Bes-

46.

А. М. Калитенко, К. В. Жуковский, ЖЭТФ 157,

sonov et al., Tr. FIAN 214, 193 (1993). http://

394 (2020).

proceedings.lebedev.ru/0214-1993/

47.

К. В. Жуковский, УФН 191, 318 (2021).

25.

E. G. Bessonov, PhIAS Preprint No. 18, Phys. Inst.

Acad. Sci. USSR, Moscow (1982).

48.

K. Zhukovsky, Opt. Laser Technol. 131,

106311

(2020).

26.

E. G. Bessonov, Nucl. Instr. Meth. A 282, 405 (1989).

49.

L. Giannessi, in Synchrotron Light Sources and

27.

V. I. Alexeev and E. G. Bessonov, Nucl. Instr. Meth.

Free-Electron Lasers, ed. by E. J. Jaeschke et al.,

A 308, 140 (1991).

Springer International Publishing Switzerland 2016.

DOI:10.1007/978-3-319-14394-1_3.

28.

V. G. Bagrov, V. F. Zal’mezh, M. M. Nikitin, and

V. Y. Epp, Nucl. Instr. Meth. A 261, 54 (1987).

50.

K.-J. Kim, Z. Huang, and R. Lindberg, Synchrotron

Radiation and Free Electron Lasers; Principles of

29.

B. Prakash, V. Huse, M. Gehlot, G. Mishra, and

Coherent X-Ray Radiation, Cambridge University

S. Mishra, Optik 127, 1639 (2016).

Press, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom (2017).

DOI:10.1017/9781316677377.

30.

F. Bazouband and B. Maraghechi, J. Plasma Phys.

81, 905810305 (2015).

51.

R. Bonifacio, C. Pellegrini, and L. M. Narducci, Opt.

Comm. 50(6), 373 (1984).

31.

D. F. Alferov, Yu. A. Bashmakov, and E. G. Besso-

nov, Zh. Tekh. Fiz. 43, 2126 (1973) [Sov. Phys.-Tech.

52.

G. Dattoli and P. L. Ottaviani, Opt. Comm. 204, 283

(2002).

Phys. 18, 1336 (1974)].

53.

G. Dattoli, L. Giannessi, P. L. Ottaviani, and C. Ron-

32.

D. F. Alferov, Y. A. Bashmakov, E. G. Bessonov,

sivalle, J. Appl. Phys. 95, 3206 (2004).

P. A. Cherenkov, and K. A. Belovintsev, Part. Accel.

9, 223 (1979).

54.

G. Dattoli, V. V. Mikhailin, P. L. Ottaviani, and

K. Zhukovsky, J. Appl. Phys. 100, 084507 (2006).

33.

D. F. Alferov, Yu. A. Bashmakov, and P. A. Cheren-

kov, Sov. Phys. Usp. 32,N3 200 (1989).

55.

K. Zhukovsky and A. Kalitenko, Russ. Phys. J. 62,

354 (2019).

34.

N. A. Vinokurov and E. B. Levichev, Phys.-Usp. 58,

56.

K. V. Zhukovskiy and A. M. Kalitenko, Radiaphys.

850 (2015).

Quant. Electr. 62, 52 (2019).

35.

Y. A. Bashmakov and E. G. Bessonov, Radiation

57.

К. В. Жуковский, Вестник МГУ Физика Астроно-

Effects 66, 85 (1982).

мия № 5, 60 (2019).

36.

K. Zhukovsky, J. Electromagn. Waves Appl. 28, 1869

58.

M. Xie, Nucl. Instrum. Methods Phys. Res., Sect.

(2014).

A 445, 59 (2000).

37.

K. V. Zhukovsky, J. Electromagn. Waves Appl. 29,

59.

M. Xie, in Proc. of the 1995 Particle Accelerator-

132 (2015).

Conference, IEEE, Piscataway, NJ (1995), p. 183.

38.

G. Dattoli, V. V. Mikhailin, and K. Zhukovsky,

60.

Z. Huang and K.-J. Kim, Nucl. Instrum. Meth. Phys.

J. Appl. Phys. 104, 124507 (2008).

Res. A 475, 112 (2001).

39.

G. Dattoli, V. V. Mikhailin, and K. V. Zhukovsky,

61.

G. Geloni, E. Saldin, E. Schneidmiller, and M. Yur-

Mosc. Univ. Phys. Bull. 64, 507 (2009).

kov, Opt. Comm. 271, 207 (2007).

196

ЖЭТФ, том 162, вып. 2 (8), 2022

О генерации четных гармоник ондуляторного излучения...

62. E. Saldin, E. Schneidmiller, and M. Yurkov, Nucl.

74. T. Ishikawa et al., Nature Photon. 6, 540 (2012).

Instr. and Meth. A 539, 499 (2005).

75. K. Tono et al., J. Synchrotron Rad. 26, 595 (2019).

63. P. Emma, R. Akre, J. Arthur et al., Nature, Photonics

4, 641 (2010).

76. K. Tono et al., New J. Phys. 15, 083035 (2013).

64. P. Emma, Proc. of PAC09, Vancouver, BC, Canada

77. C. J. Milne et al., Appl. Sci. 7, 720 (2017).

(2009).

78. R. Abela et al., Struct. Dyn. 4, 061602 (2017).

65. D. Ratner, A. Brachmann, F. J. Decker et al., Phys.

Rev. ST-AB 14, 060701 (2011).

79. P. Juranic et al., J. Synchrotron Rad. 26, 906 (2019).

66. Z. Huang and S. Reiche, in: Proc. of the FEL 2004

80. R. Abela et al., J. Synchrotron Rad. 26, 1073 (2019).

Conference, ed. by R. Bakker et al., Trieste, Italy

81. E. Prat et al., Nature Photonics 14, 748 (2020).

(2004), p. 201.

82. https://portal.slac.stanford.edu/sites/lcls_public/

67. B. Faatz et al., Appl. Sci. 7, 1114 (2017).

lcls_ii/acc_phy/Lists/technotes/Public_view.aspx

68. E. A. Schneidmiller et al., Phys. Rev. AB 20, 020705

(2017).

83. T. O. Raubenheimer, 60th ICFA Advanced Beam

Dynamics Workshop on Future Light Sources

69. Ichiro Inoue, Nature Photon. 13, 319 (2019).

FLS2018, Shanghai, China (2018), DOI:10.18429/

JACoW-FLS2018-MOP1WA02.

70. S. Owada, K. Togawa, T. Inagaki et al., J.

Synchrotron Rad. 25, 282 (2018).

84. G. Marcus and J. Qiang, LCLS-II SCRF start-to-end

simulations and global optimization as of Septem-

71. I. Tetsuya, A. Hideki, A. Takao, A. Yoshihiro, A. No-

ber 2016, SLAC National Accelerator Lab, LCLS-II

riyoshi, B. Teruhiko, E. Hiroyasu, F. Kenji, F. Toru,

TN-17-04, February (2017).

F. Yukito et al., Nature Photonics 6, 540 (2012).

85. G. Marcus and J. Qiang, LCLS-II SCRF start-to-end

72. http://xfel.riken.jp/eng/users/bml02-11.html

simulations as of August

2015, SLAC National

73. H. Ego, Proc. of IPAC2016, Busan, Korea,

Accelerator Lab, LCLS-II TN-15-33, February

MOPMW009.

(2017).

197