ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 760-766

РАВНОВЕСНЫЕ КИРАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ТОКИ

СПИНОВЫХ ПОДУРОВНЕЙ ЛАНДАУ

С. И. Дорожкин^*

Институт физики твердого тела Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 5 декабря 2021 г.,

после переработки 5 декабря 2021 г.

Принята к публикации 12 января 2022 г.

Для двумерных электронных систем, помещенных в перпендикулярное квантующее магнитное поле, вы-

полнен расчет равновесных краевых токов, возникающих вследствие изменения заполнения электронами

отдельных спиновых подуровней Ландау около края образца. Расчет прямо применим к модели краевых

полосок сжимаемой и несжимаемой электронных фаз, учитывающей самосогласованную экранировку

электрического потенциала, формирующего границу образца. В такой модели рассматриваемые токи

переносятся состояниями, находящимися на уровне Ферми, и текут в пространственно-разделенных по-

лосках сжимаемой электронной фазы, в которых электрическое поле полностью заэкранировано. Вели-

чины токов в каждой из полосок сжимаемой фазы универсальны и определяются циклотронной частотой

электронов, величиной g-фактора, номером уровня Ландау и проекцией спина на направление магнит-

ного поля. Показано, что за исключением специальных случаев рассмотренные краевые токи создают

диамагнитный момент образца.

DOI: 10.31857/S0044451022050145

результате чего они создают магнитный момент об-

EDN: DTFHUH

разца при нулевом суммарном токе через образец. В

широко изучавшихся бесспиновых двумерных элек-

1. ВВЕДЕНИЕ

тронных системах известны три механизма возник-

новения равновесных краевых киральных токов.

Значительная роль краевых бездиссипативных

Механизм 1 состоит в образовании токонесу-

транспортных токов в режиме квантового эффек-

щих краевых состояний вследствие обрезания цик-

та Холла является хорошо установленным фактом

лотронных орбит около резкого края образца [4, 5]

(см., например, обзор [1]). Связанные с ними эффек-

(см. также недавнюю работу [6]). В этом случае кра-

ты обычно проявляются в случаях, когда в образ-

евой ток сосредоточен на масштабе циклотронного

це присутствуют области с различными фактора-

радиуса электрона около края образца. Этот меха-

ми заполнения уровней Ландау, что, очевидно, име-

низм лежит в основе формализма Бюттикера [7],

ет место около краев ограниченных образцов, где

широко используемого для интерпретации резуль-

происходит обеднение двумерного электронного га-

татов в режиме квантового эффекта Холла.

за (ДЭГ). Так, в квантующем магнитном поле опи-

В случае плавного электростатического потенци-

сание результатов в терминах удельного сопротив-

ала, формирующего край образца, около него могут

ления может стать неприменимым [2, 3], а измеря-

образовываться полоски сжимаемой и несжимаемой

емое диссипативное сопротивление — связанным с

электронных фаз [8] (рис. 1). В полоске сжимаемой

холловским [3]. Бездиссипативные краевые транс-

(сверхсжимаемой) фазы уровень Ландау заполнен

портные токи возникают в результате модификации

частично, и его заполнение меняется с координа-

равновесных киральных краевых токов, происходя-

той, а электрическое поле полностью заэкранирова-

щей при приложении к образцу разности потенци-

но. Ток в такой полоске возникает за счет изменения

алов от внешнего источника. Направление равно-

плотности электронов с координатой (механизм 2).

весных токов различно на разных краях образца, в

В полосках несжимаемой фазы плотность элект-

^* E-mail: dorozh@issp.ac.ru

ронов постоянна и соответствует заполнению цело-

760

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Равновесные киральные краевые токи. . .

Образец

f (y₂₀)+2

Здесь представляется уместным отметить, что,

–W

хотя в механизмах 1 и 2 краевые токи переносят-

W y

[f (y )+2]

1–

ся электронами на уровне Ферми, они создают ка-

f (y₁₀)+1

чественно различный (соответственно, парамагнит-

[f (y )+1]

ный и диамагнитный) отклик бесспиновой электрон-

ной системы на внешнее магнитное поле и не могут

f0(y

)

переходить друг в друга при изменении масштаба

[f (y )]_0-0

изменения потенциала около границы. В механиз-

ме 3 краевой ток является парамагнитным. Реализа-

ция конкретного механизма возникновения бездис-

сипативного транспортного тока в реальных образ-

–W0

–W1

–W2

W₂

W₁

W₀

[–W ]0--[–W ]0++[–W ]1--

y₀,

[W ]_1--[W

][W ]0--

цах до сих пор остается предметом дискуссий [9].

Необходимо отметить, что возникновение поло-

Рис. 1. Схематическая зависимость заполнения состояний

сок сжимаемой и несжимаемой электронных фаз

на трех нижних уровнях Ландау бесспиновой электронной

является следствием градиента плотности электро-

системы около краев образца согласно расчету [8], опи-

нов в образце и необязательно связано с его кра-

сываемая функциями распределения электронов fn(y0) на

ями. Равновесные токи противоположных кираль-

уровне Ландау с номером n (сплошные линии). Функции

ностей, текущие в соседних сжимаемой и несжимае-

f1 и f2 сдвинуты вверх соответственно на 1 и 2, так что в

мой полосках, недавно были обнаружены в образцах

результате внешняя огибающая всех кривых представля-

графена [10] с искусственно созданной неоднород-

ет собой зависимость плотности электронов ns от коорди-

ностью электронной плотности, что стимулировало

наты y, нормированную на вырожденность одного уровня

Ns0 = |e|H/hc. В массиве образца два нижних уровня за-

новую волну интереса к таким токам.

полнены полностью (f0,1(y0 = 0) = 1), а третий — частич-

Расчет равновесных токов в сжимаемых и

но (f2(y0 = 0) = 0.8). Горизонтальные участки огибающей

несжимаемых полосках был выполнен в работе [11]

соответствуют полоскам несжимаемой электронной фазы

для бесспиновой системы на основании модельной

(IS) [8], образованным областями ДЭГ, в которых запол-

функции Грина. В этой работе были получены

нено целое число уровней Ландау и уровень электрохими-

универсальные значения парамагнитного тока

ческого потенциала находится в щели между уровнями.

Изменение функций fn(y0) происходит в полосках сжима-

I_par = ν|e|ω_c/2π

емой фазы (CS), где электрическое поле заэкранировано.

Пунктирные линии представляют соответствующие зави-

в полоске несжимаемой фазы с целочисленным зна-

симости для случая резких краев уровней. Аналогичная

чением фактора заполнения уровней Ландау ν =

картина для распределения плотности электронов ожида-

= 1, 2, . . . и диамагнитного тока

ется в случае ДЭГ со спином с тем отличием, что пред-

ставленные зависимости отражают заполнение отдельных

Idia = (n + 1/2)|e|ωc/2π

зеемановских подуровней, обозначения для которых даны

в квадратных скобках. Показанное взаимное расположе-

в сжимаемой полоске, соответствующей опусто-

ние подуровней соответствует положительному g-фактору

шению на краю уровня Ландау с номером n

и случаю, когда спиновое расщепление меньше циклотрон-

(n = 0, 1, . . .), полностью заполненного в массиве

ного. На вставке приведены рассматриваемая геометрия

образца. Здесь ω_c — циклотронная частота электро-

прямоугольного образца шириной 2W , лежащего в плос-

нов. На рис. 1 отмечены две из таких полосок (IS и

кости рисунка и вытянутого вдоль оси x, а также ориен-

CS), соответствующие ν = 2 и n = 1.

тации осей и магнитного поля, которое перпендикулярно

плоскости рисунка и направлено на читателя

2. РАСЧЕТ

В данной работе нами выполнены расчеты то-

го числа уровней Ландау. В такой полоске ток воз-

ков, обусловленных изменением плотности электро-

никает за счет дрейфа в скрещенных магнитном и

нов на разрешенных по спину уровнях Ландау (зе-

электрическом полях электронов всех заполненных

емановских подуровнях), происходящим около края

уровней Ландау, находящихся под уровнем Ферми

длинного образца с ДЭГ. Расчеты выполнены с ис-

(механизм 3). В результате токи в соседних (сжима-

пользованием волновых функций и применимы к

емой и несжимаемой) полосках текут в противопо-

системам как с плавным, так и с резким профи-

ложные стороны.

лем спинового подуровня. Расчеты основаны на вы-

761

С. И. Дорожкин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

ражении для плотности тока [12], модифицирован-

В полосках сжимаемой фазы электрическое по-

ном введением эффективной массы m^∗ и g-фактора

ле ограничивающего потенциала полностью экрани-

электронов. Рассматриваемые токи являются сум-

руется электронами частично заполненного уровня

мой двух разных вкладов, InL) и I(S)n,±, обусловлен-

Ландау [8]. В результате энергетический спектр (1)

ных соответственно орбитальным движением элек-

в этих полосках сдвигается на величину потенциаль-

тронов и их спиновой поляризацией. Задача рас-

ной энергии электронов, а вид волновых функций не

сматривается для образца с ДЭГ, находящегося в

изменяется.

плоскости xy и имеющего форму полоски шири-

Плотность тока, создаваемого одним электрон-

ной 2W , вытянутой вдоль оси x. Вектор-потенциал

ным состоянием, j_n,± = jnL) + j(S)n,±, где [12]

A магнитного поля H, направленного вдоль оси

ieℏ

e²

z, выбирается в калибровке Ландау: Ax = -Hy,

j(L)n =

[(∇ψ^∗n)ψ_n - ψ^∗n∇ψ_n)] -

Aψ^∗nψ_n

(5)

A_y = A_z = 0, наилучшим образом соответствую-

2m^∗

m^∗c

щей рассматриваемой геометрии задачи. Ориента-

— плотность тока, связанная с орбитальным движе-

ция осей показана на вставке к рис. 1.

нием электрона на уровне Ландау с номером n, оди-

Энергетический спектр однородного ДЭГ в пер-

наковая для обоих зеемановских подуровней,

пендикулярном квантующем магнитном поле хо-

(

)

рошо известен и для нижней подзоны размерного

j(S)n,± = -gμ_Bc rot

Ψ^∗n,±ŝΨ_n,±

(6)

квантования имеет вид

— плотность тока, связанная с соответствующим

(

)

gμ_BH

спиновым состоянием. Здесь ŝ = (1/2)σ — оператор

ε_n,± = E₀ + ℏω_c n +

(1)

спина и

(

)

(

)

Здесь E₀ — энергия нижнего уровня размерного

-i

σx =

σy =

квантования, ω_c = |e|H/m^∗c — циклотронная час-

тота электрона с эффективной массой m^∗, μB =

(

)

= |e|ℏ/2mc — магнетон Бора, g — g-фактор элект-

рона, равный 2 для свободных электронов, n

σz =

-1

= 0, 1, 2, . . . — номер уровня Ландау, индекс «плюс»

— матрицы Паули.

(«минус») соответствует проекции спина на направ-

ление магнитного поля, равной +1/2 (-1/2). Соот-

Нетрудно проверить, что в выбранной калибров-

ке обе компоненты тока направлены вдоль оси x и

ветствующие волновые функции являются спино-

рами и имеют следующий вид, обеспечивающий их

имеют следующий вид:

нормировку:

|φ(z)|² ∂χ2n(y - y₀)

(

)

j(S)n,±(y - y₀, z) = ∓gμBc

1/2 ± 1/2

L_x

∂y

Ψ_n,± =

ψ_n,

(2)

gμ_Bc ∂|ψ_n|²

1/2 ∓ 1/2

=∓

(7)

∂y

√

ψ_n = e^ikxφ(z)χ_n(y - y₀)/

L_x.

(3)

Здесь L_x — размер образца в направлении оси x,

j(L)n(y-y₀, z) = |e|ω_c|φ(z)|²(y-y₀)χ2n(y-y₀)/L_x =

φ(z) — нормированная волновая функция размер-

= |e|ω_c(y - y₀)|ψ_n|².

(8)

ного квантования,

Согласно соотношению (7), в каждом электрон-

(

)

λ_n

(y - y₀)²

ном состоянии плотность тока j(S)n,± пропорциональ-

χ_n(y - y₀) =

√l_H exp

2l²

на производной от плотности электронов, ∂|ψ_n|²/∂y,

^H (

)

однако знак коэффициентов пропорциональности

y-y₀

×H_n

(4)

различен для состояний с противоположными про-

l_H

екциями спина на направление магнитного поля.

где H_n

— полином Эрмита порядка n, l_H

Таким образом, плотность тока, связанного со

= (ℏc/|e|H)1/2

— магнитная длина, λ_n

спиновой поляризацией электронов и создавае-

√

= 1/π1/4

2ⁿn!, параметр y₀ играет роль центра

мого любым пространственным распределением

электронных орбит и связан с волновым вектором

электронов данного зеемановского подуровня,

k соотношением y₀ = kl2H.

пропорциональна градиенту плотности электронов

762

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Равновесные киральные краевые токи. . .

∫

∞

на этом подуровне. Подобная пропорциональность

gμ_Bc λ2n

j(S)

(y) = ∓

f_n,±(y-l_Ht)exp(-t²)×

имеет место и для плотности тока j(L)n=0 на нижнем

n,±

2πl³

уровне Ландау:

H -∞

[

]

-2tH2n (t) + 4nH_n (t)Hn-1 (t)

dt.

(12)

)

λ²⁰

⁽y-y₀

j(L)(y - y0, z) = |e|ωc

|φ(z)|²

L_x

l_H

Основной вклад в этот интеграл дает область около

(

)

t = 0, что позволяет провести разложение функции

(y - y₀)²

|e|ℏ ∂|ψ0|2

× exp

(9)

f_n,±(y -l_Ht) в ряд Тейлора по t и с учетом нечетно-

l2H

2m^∗

∂y

сти входящей в интеграл функции, стоящей в квад-

Из формул (7) и (9) следует также взаимная ком-

ратных скобках в выражении (12), и получить сле-

дующее выражение для плотности тока:

пенсация плотностей тока j(S)0,- и j(L)0 в каждом из

электронных состояний при выполнении соотноше-

gμ_Bc λ2n

df_n,±(y)

ния gm^∗/2m = 1, справедливого для свободных

j(S)

n,±

(y) = ∓

2πl²

электронов.

∫

∞

В дальнейшем нас будет интересовать полные

[

]

поверхностные плотностиj(L)n,± и j(S)n,± каждой из ком-

× exp(-t²)

2t²H2n (t)-4ntH_n (t)Hn-1 (t)

dt =

понент тока (5) и (6), создаваемые электронными со-

−∞

стояниями, принадлежащими одному зеемановско-

1 |e|ω_c gm^∗ df_n,±(y)

=∓

(13)

му подуровню. Эти величины получаются интегри-

2π

2m dy

рованием соответствующих плотностей тока отдель-

Отметим, что этот вклад в плотность тока зави-

ных состояний вдоль оси z и суммированием по

заполненным электронным состояниям подуровня,

сит от номера уровня Ландау только через распре-

деление электронов на зеемановском подуровне, а

т. е. по соответствующим центрам орбит y₀. Оста-

новимся подробнее на вычислении плотности тока

знак определяется проекцией спина на ось z и зна-

j(S)

, даваемой формулой

ком g-фактора. Аналогичным образом получается

n,±

выражение для плотности тока, связанной с орби-

∫

∞

тальным движением электронов на уровне Ландау

gμ_Bc λ2n

j(S)

с номером n:

(y) = ∓

|φ(z)|² dz×

n,±

l_HL_x

-∞

[

(

)

)]

|e|ω_c

df_n,±(y)

∑

∂

(y - y₀)²

⁽y-y₀

j(L)

(y) = -

λ²

n,±

exp

H²

(10)

2π

ⁿ dy

∂y

l2H

l_H

∫

∞

t² exp(-t²)H2n(t)dt =

Для орбитального тока соответствующее выраже-

-∞

ние имеет вид

(

|e|ω_c

⁾ df_n,±(y)

(14)

∫

∞

2π

λ2n

j(L)

(y) = |e|ω_c

|φ(z)|² dz ×

n,±

L_x

Из полученного результата видно, что обе компонен-

-∞

(

)

ты тока сосредоточены в областях изменения запол-

∑

y-y₀

(y - y₀)²

⁽y-y₀

нения подуровней и плотность тока пропорциональ-

exp

H²

(11)

l_H

l2H

l_H

на градиенту плотности электронов на подуровне.

Таким образом, в картине чередующихся сжимае-

Интегрирование нормированной функции |φ(z)|² да-

мых и несжимаемых полосок, показанной на рис. 1,

ет единицу. Суммирование по занятым состояниям

токи, создаваемые состояниями на различных под-

в случае плавного изменения на масштабе магнит-

уровнях, разделены в пространстве. В плавном по-

ной длины функции f_n,±(y₀), описывающей запол-

тенциале пропорциональность плотности тока гра-

нение состояний на соответствующем подуровне, мо-

диенту плотности электронов возникает и для ор-

жет быть заменено интегрированием по центрам ор-

битальной компоненты тока

j(L)

. Существенно, что

n,±

бит с учетом расстояния между ними Δy₀ = Δkl2H =

эта компонента тока всегда приводит к диамагнит-

= 2πl2H/L_x. В результате выражение для плотности

ному отклику системы и обычно доминирует над

тока (10) может быть преобразовано к следующему

компонентой

j(S)

. Исключение составляют матери-

n,±

интегралу:

алы с большим g-фактором и нижний зеемановский

763

С. И. Дорожкин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

подуровень нижнего (n = 0) уровня Ландау при вы-

приближении остаются неизменными. Сдвиг по

полнении соотношения gm^∗/2m = 1, справедливого

энергии приведет к изменению пространственного

для свободных электронов. В последнем случае ор-

положения краев подуровней (величин ±W_n,±), од-

битальная и спиновая компоненты токов компенси-

нако не изменит выражение для краевого тока (15),

руют друг друга, как это уже отмечалось выше.

в которое по-прежнему будет входить неусиленный

Легко видеть, что токи в направлении оси x в

g-фактор.

разных половинах образца (y ≤ 0 и y ≥ 0),

Последовательное использование приближения

∫⁰

Хартри - Фока может привести к заметным измене-

I(S,L,<)n,± =

j(S,L)

(y) dy

ниям полученных результатов (см., например, ра-

n,±

боты [15, 16]). Так, в работе [15] предсказывается

−∞

полная спонтанная спиновая поляризация в самой

∞

нижней по энергии краевой сжимаемой полоске да-

∫

j(S,L)

же в отсутствие зеемановской энергии (при нулевом

I(S,L,>)n,± =

(y) dy,

n,±

g-факторе) (см. рис. 3с и 3d в работе [15]). Для это-

го конкретного случая при g = 0 мы ожидаем со-

равны друг другу и имеют разные знаки. Для запол-

хранение вычисленной величины вклада I(S)0,- в ток,

ненного в массиве образца зеемановского подуровня

текущий в этой полоске.

величина f_n,±(y₀ = 0) = 1 и ток, переносимый им

около каждого из краев образца, принимает универ-

В настоящее время возможность образования по-

сальное значение, в правой половине (y ≥ 0) образца

лосок сжимаемой фазы отдельными зеемановскими

равное

подуровнями не вызывает сомнений и подтвержда-

ется экспериментальными данными (см., например,

работу [17]). Количественная проверка полученных

I(>)n,± = I(L,>)n,± + I(S,>)n,± =

(

)

результатов для величин краевых токов может вы-

|e|ω_c

1 |e|ω_c gm^∗

(15)

полняться на материалах с большой абсолютной ве-

2π

личиной g-фактора (например, на двумерных элект-

Это соотношение составляет основной результат

ронных системах, создаваемых в квантовых ямах

данной работы. Отметим, что значение орбитальной

узкозонных полупроводников) при большой плотно-

компоненты краевого тока

сти электронов в них, обеспечивающей малое значе-

(

)

ние параметра взаимодействия.

|e|ω_c

I(L)n,± =

Наиболее прямым методом проверки получен-

2π

ных нами результатов является измерение измене-

совпадает с полученным в работе [11] для бесспино-

ния магнитного поля около краев образца, допус-

вой системы. Нетрудно видеть, что ток I(L)n,± всегда

кающее восстановление распределения и величины

диамагнитный (т. е. создает магнитный момент с от-

краевых токов (см., например, работу [10], а также

рицательной проекцией на направление магнитного

обзор [18]). Другим возможным методом является

поля), а ток I(S)n,± диамагнитный в случае s_z = 1/2 и

измерение магнитного момента образца и его кван-

парамагнитный при s_z = -1/2 (при g > 0).

товых осцилляций (осцилляций де Гааза - ван Аль-

фена). Этот метод базируется на связи магнитно-

Проведенное выше рассмотрение игнорирует все

го момента с суммарным краевым током. В этом

эффекты электрон-электронного взаимодействия

случае изменение магнитного момента при измене-

кроме экранировки, приводящей к формированию

нии плотности электронов, сопровождающемся за-

самосогласованного потенциала около края образца.

полнением или опустошением одного зеемановского

Отметим, однако, что полученные выражения для

подуровня, определяется током, переносимым этим

краевых токов не изменятся, если учесть обменное

подуровнем.

взаимодействие в низшем порядке теории возмуще-

ний [13]. В этом случае происходит только сдвиг

Приведенные выше результаты справедливы для

по энергии зеемановских подуровней на величину

плавного изменения плотности электронов на мас-

вклада обменного взаимодействия в собственную

штабе магнитной длины. Использованный подход,

энергию (self-energy), что, в частности, приводит к

однако, может быть применен и к рассмотрению рез-

известному эффекту «усиления g-фактора электро-

кого края уровня Ландау, моделируемого ступенча-

нов» [13, 14]. Волновые функции электронов в этом

тыми пунктирными линиями f_n,±(y₀) на рис. 1. Про-

764

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Равновесные киральные краевые токи. . .

странственное распределение плотности тока в этом

случае получается интегрированием по всем заня-

тым состояниям и описывается формулами

∫

gμ_Bc

∂χ2n(y - y₀)

j(S)

n,±

(y) = ±

dy₀ =

4πl2H

∂y

-Wn,±



y+Wn,±

∗

[

]

1 |e|ω_c

 lH

=∓

λ²

exp(-t²)H2n(t)



(16)

2 2πl_H

ⁿ 2m

y-W

n,±

∫

|e|ω_c

⁽y-y₀)

j(L)

n,±

(y) =

χ2n(y-y₀)dy₀ =

2πl_H

l_H

-Wn,±

[

|e|ω_c

λ2n exp(-t²) t Hn+1(t)H_n(t)-

H2n+1(t) -

2πl_H



y+Wn,±

]



2n + 1



H2n(t)



(17)

y-Wn,±

Рис. 2. Пространственное распределение поверхностных

Формула (17) здесь получена с использованием сле-

плотностей токаj(S)1,+ (а) и j(L)1,+ (б), создаваемых электрона-

дующего выражения для интеграла:

ми подуровня n = 1, + около правой границы заполненных

∫

состояний y = W1,+ и текущих в направлении оси x. Рас-

пределение около левой границы отличается знаком про-

t exp(-t²)H2n(t) dt = exp(-t²) ×

екции тока на ось x. На вставке показаны взаимные ори-

[

H2n+1(t)

ентации осей координат и магнитного поля

× tHn+1(t)H_n(t) -

]

H2n(t)

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- (2n + 1)

(18)

Таким образом, в данной работе получены выра-

Отметим, что

j(L)

(y) = -j(S)0,- при gm^∗/2m = 1, т. е.

жения для краевых токов, создаваемых отдельными

0,-

полная взаимная компенсация орбитальной и спино-

зеемановскими подуровнями уровней Ландау и про-

вой компонент поверхностной плотности тока проис-

текающих в пространственно-разделенных полосках

ходит и в случае резкого края подуровня (0, -).

сжимаемой электронной фазы.

Пространственные распределения токов, описы-

Финансирование. Работа выполнена в рамках

ваемые формулами (16) и (17), показаны на рис. 2

госзадания Института физики твердого тела РАН.

для случая n = 1 и нижнего спинового подуровня.

Необходимо отметить, что в случае резкого края за-

полнения уровня, показанного на рис. 1 пунктирны-

ЛИТЕРАТУРА

ми линиями, изменение плотности электронов не яв-

ляется ступенчатым в силу конечной ширины волно-

1. Э. В. Девятов, УФН 177, 207 (2007).

вой функции, а также происходит сложным образом

на пространственном масштабе порядка магнитной

2. B. E. Kane, D. C. Tsui, and G. Weimann, Phys. Rev.

длины.

Lett. 59, 1353 (1987).

Нетрудно проверить, что краевые токи в случае

3. С. И. Дорожкин, Ш. Кох, К. фон Клитцинг,

резкого края заполнения уровня совпадают с тока-

Г. Дорда, Письма в ЖЭТФ 52, 1233 (1990).

ми, которые были получены для случая плавного из-

менения плотности электронов (см. формулу (15)).

4. B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).

765