ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 753-759

СТРУКТУРЫ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ МОДЕЛИ ИЗИНГА НА

СЛОИСТОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

М. К. Бадиев^*, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов

Институт физики Дагенстанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367003, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 17 января 2022 г.,

после переработки 17 января 2022 г.

Принята к публикации 19 января 2022 г.

На основе репличного алгоритма метода Монте-Карло выполнены исследования магнитных структур ос-

новного состояния, магнитных и термодинамических свойств трехмерной антиферромагнитной модели

Изинга на слоистой треугольной решетке с учетом обменных взаимодействий следующих за ближайшими

соседей. Получены магнитные структуры основного состояния во внешнем магнитном поле в интервале

0 ≤ h ≤ 16. Обнаружено, что в рассмотренном интервале значений поля наблюдаются неупорядоченная,

частично упорядоченная и полностью упорядоченная фазы. Показано, что магнитные структуры основ-

ного состояния зависят от знака (ферромагнитного (J2 > 0) и антиферромагнитного (J2 < 0)) обменного

взаимодействия вторых соседей. На зависимости намагниченности от магнитного поля обнаружено пла-

то, равное 1/3 намагниченности насыщения для J2 > 0, а для J2 < 0 плато равно 1/2 намагниченности

насыщения.

DOI: 10.31857/S0044451022050133

дуется уже давно [6-13]. Эта модель представляет,

EDN: DTDJPC

как теоретический, так и экспериментальный инте-

рес. Модель Изинга на слоистой треугольной решет-

1. ВВЕДЕНИЕ

ке можно применить к описанию реальных матери-

алов, таких как Ca₃Co₂O₆, CsCoCl₃, CsCoBr₃ и FeI₂

В последние годы исследование моделей магнит-

Эти материалы демонстрируют многоступенчатое

ных материалов с различной кристаллической ре-

поведение намагничивания [14, 16]. В подобных ма-

шеткой вызвали значительный интерес. Это связа-

териалах отклонение физических величин встреча-

но с уникальностью их магнитных и критических

ются в двух температурных точках. Исследования,

свойств, а также с возможностью широкого при-

проведенные разными методами, показывают, что

менения подобных материалов в области микро-

в промежуточном состоянии одна из трех магнит-

электроники и спинтроники [1-4]. По причине ма-

ных подрешеток не упорядочена и такое неупорядо-

лого энергопотребления и компактности создание

ченное состояние описывается изменяющейся в про-

устройств с использованием таких материалов яв-

странстве и во времени фазой [17-19]. В работе [20]

ляется крайне востребованной задачей. Кроме то-

исследованы ориентированные фазы и фазовые пе-

го, в области технологий они позволяют создавать

реходы (ФП) в модели Изинга на слоистой треуголь-

сверхсильные постоянные магниты, такие как мо-

ной решетке с сильным межплоскостным взаимо-

лекулярные датчики, устройства магнитной записи

действием. Авторы обнаружили, что в промежуточ-

сверхвысокой плотности, устройства визуализации

ном состоянии одна из трех магнитных подреше-

[5] и другие. В данной работе нами проводятся ис-

ток частично не упорядочена. Было показано, что

следования антиферромагнитной модели Изинга на

низкотемпературная фаза исследуемых соединений

слоистой треугольной решетке с учетом взаимодей-

представляет собой так называемую двухподреше-

ствий вторых соседей во внешнем магнитном поле.

точную ферримагнитную фазу. Результаты по ис-

Данная модель представляет собой геометрически

следованию изинговских антиферромагнетиков на

фрустрированную спиновую модель, которая иссле-

многослойных треугольных решетках с фрустриро-

ванными (abc и abab) спинами, а также сравнение

^* E-mail: m_zagir@mail.ru

753

ЖЭТФ, вып. 5

М. К. Бадиев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

с нефрустрированной (aaa) конфигурацией спинов

(J₂ < 0). Решетка состоит из двумерных треуголь-

представлены в работе [21]. Авторами показано, что

ных слоев, сложенных по ортогональной оси. Все

если межслоевые взаимодействия намного слабее,

параметры приводятся в безразмерных величинах.

чем взаимодействия внутри плоскости, то парамаг-

Расчеты проводились для систем с периодически-

нитная фаза моделей с фрустрированными спинами

ми граничными условиями и линейными размера-

имеет классический режим спиновой жидкости при

ми L × L × L = N, L = 12-90, где L приводится в

низкой температуре, в котором корреляции силь-

размерах элементарной ячейки. Магнитная струк-

ны как внутри, так и между плоскостями, но от-

тура основного состояния рассматриваемой модели

сутствует дальний порядок. Несмотря на множество

сильно вырождена. Из-за геометрии решетки обмен-

работ и полученные результаты, при исследовании

ные связи препятствуют формированию обычного

ФП и критического поведения антиферромагнитной

двухподрешеточного антиферромагнитного поряд-

модели Изинга на слоистой треугольной решетке до

ка. Это наглядно проявляется в классическом пре-

сих пор остается множество спорных вопросов. Од-

деле: если мы направим спины в двух вершинах тре-

ним из них является вопрос о влиянии возмущений

угольника антипараллельно, то третий спин не мо-

различной природы, таких как внешнее магнитное

жет одновременно быть антипараллелен обоим —

поле, взаимодействие вторых соседей, немагнитные

но при этом его взаимодействие с обоими спина-

примеси, тепловые и квантовые флуктуации на при-

ми одинаково. Это вырождение может быть нару-

роду ФП, магнитные и термодинамические свойства

шено введением в систему обменной анизотропии,

этой модели. Включение этих возмущающих факто-

учета взаимодействий вторых соседей или же внеш-

ров может привести к совершенно новому физиче-

ним магнитным полем, что приводит к стабили-

скому поведению в магнитных спиновых системах с

зации коллинеарного антиферромагнитного состоя-

фрустрациями. Причина такого поведения заключа-

ния. В настоящее время спиновые системы с фруст-

ется в высокой чувствительности фрустрированных

рациями на основе микроскопических гамильтони-

систем к внешним возмущающим факторам. В свя-

анов успешно изучаются на основе метода Монте-

зи с этим, в данном исследовании мы изучаем влия-

Карло (МК) [22-28]. В последнее время разработано

ние магнитных полей типа обменного взаимодейст-

много новых вариантов алгоритмов метода МК. Од-

вия вторых соседей на магнитные и термодинамиче-

ними из наиболее эффективных для исследования

ские свойства фрустрированной модели Изинга. Ис-

подобных систем является репличный обменный ал-

следования проводятся на основе современных ме-

горитм [29]. Репличный обменный алгоритм был ис-

тодов и идей, что позволит получить ответ на ряд

пользован нами в следующем виде:

вопросов, связанных с физикой фрустрированных

1. Одновременно моделируются N реплик X₁,

спиновых систем.

X₂, . . . , X_N с температурами T₁, T₂, . . ., T_N .

2. После выполнения одного МК-шага/спин для

всех реплик проводится обмен данными между па-

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

рой соседних реплик X_i и Xi+1 в соответствии со

схемой Метрополиса с вероятностью

Гамильтониан антиферромагнитной модели

{

Изинга на слоистой треугольной решетке может

если Δ ≤ 0,

w(X_i → Xi+1) =

быть представлен в следующем виде:

exp(-Δ), если Δ > 0,

где

∑

H = -J₁

S_iS_j-J₂

S_iS_k-h S_i,

(1)

Δ = -(U_i - Ui+1)(1/T_i - 1/Ti+1),

〈i,j〉,i=j

〈i,k〉,i=k

i=1

U_i и Ui+1 — внутренние энергии реплик. Преиму-

щество этого метода в том, что вероятность обмена

где S_i,j,l = ±1 — изинговский спин, J₁ и J₂ — конс-

априори известна, тогда как для других алгоритмов

танты обменного взаимодействия соответственно

определение вероятности очень утомительно и отни-

первых и вторых соседей. Первый член в этой фор-

мает много времени.

муле характеризует антиферромагнитное (J₁ < 0)

взаимодействие всех ближайших соседей, которое

берется одинаковым внутри слоя и между слоями.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Второй член характеризует взаимодействие вторых

соседей внутри слоев, которое может быть как фер-

На рис. 1 и 2 приведены магнитные структу-

ромагнитным (J₂ > 0), так и антиферромагнитным

ры основного состояния, полученные нами для фер-

754

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Структуры основного состояния модели Изинга...

Рис. 3. Зависимости намагниченности от магнитного по-

ля h

Рис. 1. Магнитная структура основного состояния для

ной подрешетке и ↓↓↑ (спин вниз, спин вниз и спин

J2 > 0

вверх) с одинаковой вероятностью. В этом состо-

янии система может быть шестикратно вырожде-

на. Магнитная структура модели образована чере-

дованием слоев, приведенных на рис. 1 и 2. Ког-

да взаимодействие вторых соседей антиферромаг-

нитное (J₂ < 0), в системе наблюдается полосовая

структура. Это видно на рис. 2. Анализ рис. 1 и

2 показывает, что изменение типа обменного взаи-

модействия вторых соседей приводит к изменению

динамики конкуренции. Энергия, необходимая для

переворота спинов в разных слоях, зависит от зна-

ка взаимодействия. Этим обусловлено изменением

магнитной структуры основного состояния.

Намагниченность системы вычислялась по фор-

муле

∑

S_i.

(2)

i=1

На рис. 3 приведены графики зависимости на-

магниченности от магнитного поля h для исследуе-

мой модели при J₂ > 0 и J₂ < 0. На рисунке вид-

Рис. 2. Магнитная структура основного состояния для

но, что с увеличением магнитного поля на графи-

J2 < 0

ках намагниченности наблюдается плато. Плато со-

храняется вплоть до поля насыщения, что приво-

дит к двухступенчатому поведению намагниченно-

ромагнитного и антиферромагнитного взаимодей-

сти, экспериментально обнаруженному в несколь-

ствий вторых соседей при слабых магнитных полях.

ких классических и квантовых треугольных спи-

На рисунках мы видим, что для J₂ > 0 и J₂ < 0 си-

новых системах [30-32]. На графиках можно заме-

стема принимает разные спиновые конфигурации.

тить, что плато намагниченности для случая, когда

В случае, когда J₂ > 0, появляются структуры ↑↑↓

J₂ > 0, наблюдается в интервале полей 2 ≤ h ≤ 8.

(спин вверх, спин вверх и спин вниз) в треуголь-

Для случая J₂ < 0 плато намагниченности наблю-

755

М. К. Бадиев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 5. Магнитная структура основного состояния для

J2 < 0 в интервале 4 ≤ h ≤ 10

Аналогично спиновым структурам при слабых маг-

нитных полях видно, что спины двух подрешеток

направлены в одну сторону, а спины третей подре-

шетки направлены противоположно. Можно заме-

тить, что спиновая конфигурация второго слоя сме-

щена относительно первой. Это и приводит к воз-

никновению плато намагниченности на графиках,

величина которой равна 1/3 намагниченности на-

сыщения. Упорядоченная фаза образована чередо-

ванием смещенных друг относительно друга таких

слоев.

Для случая, когда взаимодействие вторых со-

седей — антиферромагнитное, мы также получили

спиновые структуры в разных слоях. На рис. 5 при-

ведена одна из таких структур, которая представля-

Рис. 4. Магнитная структура основного состояния для

ет собой чередующиеся антиферромагнитные и фер-

J2 > 0 в интервале полей 2 ≤ h ≤ 8

ромагнитные полосы. С этим связано то, что плато

намагниченности приходится на 1/2 намагниченно-

сти насыщения. На рис. 6 и 7 представлены графики

дается в интервале 4 ≤ h ≤ 10. При ферромагнит-

зависимости минимальной энергии системы от вели-

ном взаимодействии вторых соседей плато намагни-

чины магнитного поля. На рисунках мы наблюдаем

ченности приходится на 1/3 намагниченности насы-

три разные области зависимости энергии от магнит-

щения, а при антиферромагнитном взаимодействии

ного поля. В первой области, где наблюдается неупо-

вторых соседей плато намагниченности приходится

рядоченная область, энергия системы не зависит от

на 1/2 намагниченности насыщения.

величины поля. Во второй области происходит ча-

На рис. 4 приведены магнитные структуры двух

стичное упорядочение системы. В этой области мы

слоев в интервале магнитного поля 2 ≤ h ≤ 8, где

наблюдаем медленный спад энергии при увеличе-

наблюдается плато намагниченности при J₂ > 0.

нии внешнего магнитного поля. В третьей области,

756

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Структуры основного состояния модели Изинга...

Рис. 8. Зависимость намагниченности m от температуры

Рис. 6. Зависимость энергии от поля для J2 > 0: 0 ≤

при разных значениях h для J2 > 0

≤ h ≤ 2 — неупорядоченная область, 2 ≤ h ≤ 8 — час-

тично упорядоченная область, 8 ≤ h ≤ 18 — полностью

упорядоченная область

Рис. 9. Зависимость намагниченности m от температуры

при разных значениях h для J2 < 0

Рис. 7. Зависимость энергии от поля для J2 < 0: 0 ≤

≤ h ≤ 4 — неупорядоченная область, 4 ≤ h ≤ 10 — час-

представлены на рис. 8 и 9. На этих рисунках про-

тично упорядоченная область, 10 ≤ h ≤ 18 — полностью

демонстрировано поведение намагниченности в по-

упорядоченная область

лях, величины которых меняются в интервале от

0 ≤ h ≤ 16. Можно заметить, что между кривы-

ми намагничивания имеется заметное расхождение.

где происходит полное упорядочение системы, мы

На рисунках видно, что намагниченность при T → 0

наблюдаем при увеличении поля более резкий спад

принимает значения 0, 1/3, 1 для J₂ > 0 и 0, 1/2 и

энергии. На рисунках можно заметить, что интерва-

1 для J₂ < 0. Такое поведение по-видимому связано

лы поля, в которых мы наблюдаем магнитное упо-

с тем, что в рассматриваемой модели имеются маг-

рядочение, различаются и зависят от знака вторых

нитные подрешетки, связанные с симметрией кри-

соседей.

сталлической решетки. При увеличении температу-

Зависимости намагниченности от температуры

ры и поля слабая магнитная подрешетка разруша-

при различных значениях поля для J₂ > 0 и J₂ < 0 ется или же выстраивается вдоль направления маг-

757

М. К. Бадиев, А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. А. Магомедов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

нитного поля. С этим связано то, что мы наблюдаем

Y. El Krimi, R. Masrour, and A. Jabar, Materials

провалы или же резкий рост в зависимостях намаг-

Today Energy 20, 100685 (2021).

ниченности на рисунках. Поскольку подрешетки на-

S. D. Bader, Rev. Mod. Phys. 78, 1 (2006).

шей модели для J₂ > 0 и J₂ < 0 обладают разной

жесткостью по отношению к внешнему магнитному

A. N. Berker, G. S. Grest, C. M. Soukoulis et al., J.

полю, эти провалы и скачки намагниченности при-

Appl. Phys. 55, 2416 (1984).

ходятся на разные магнитные поля и разные темпе-

D. Blankschtein, M. Ma, A. N. Berker et al., Phys.

ратуры. При более высоких полях система упорядо-

Rev. B 29, 5250 (1984).

чивается уже при нулевых температурах. Отметим,

что учет взаимодействия вторых соседей J₂ оказал-

S. N. Coppersmith, Phys. Rev. B 32, 1584 (1985).

ся очень эффективным для модуляции поведения

А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Бадиев,

намагниченности в фрустрированной спиновой си-

ЖЭТФ 132, 1152 (2007).

стеме.

10.

А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, М. К. Бадиев,

ЖЭТФ 142, 338 (2012).

11.

O. Heinonen and R. G. Petschek, Phys. Rev. B 40,

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

9052 (1989).

12.

J.-J. Kim, Y. Yamada, and O. Nagai, Phys. Rev.

С помощью репличного алгоритма метода Мон-

B 41, 4760 (1990).

те-Карло получены магнитные структуры основно-

го состояния для фрустрированной трехмерной мо-

13.

R. R. Netz and A. N. Berker, Phys. Rev. Lett. 66,

дели Изинга на слоистой треугольной решетке с уче-

377 (1991).

том ферромагнитного и антиферромагнитного об-

14.

H. T. Diep, Frustrated Spin Systems, World Scientific,

менного взаимодействия вторых соседей при раз-

Singapore (2004).

личных значениях магнитного поля. Полученные

данные свидетельствуют о том, что знак взаимодей-

15.

Y. B. Kudasov, Phys. Rev. Lett. 96, 027212 (2006).

ствия вторых соседей приводит к изменению маг-

16.

O. A. Starykh, Rep. Prog. Phys. 78, 052502 (2015).

нитной структуры основного состояния данной мо-

дели. Обнаружено плато намагниченности, величи-

17.

H. Shiba, Prog. Teor. Phys. 64, 466 (1980).

на которого равна 1/3 намагниченности насыщения

для J₂ > 0 и 1/2 намагниченности насыщения для

18.

M. Kaburagi, T. Tonegawa, and J. Kanamori, J.

J₂

< 0. Показано, что температурные зависимо-

Phys. Soc. Jpn 51, 3857 (1982).

сти намагниченности при одинаковых полях зави-

19.

P. Matsubara and S. Ikeda, Phys. Rev. B 28, 4064

сят от знака обменного взаимодействия вторых со-

(1983).

седей. Можно предположить, что знак и величина

обменного взаимодействия вторых и более далеких

20.

D. M. Blankschtein and A. N. Berker, Phys. Rev.

соседей играют важную роль в формировании сту-

B 29, 5250 (1984).

пенчатого поведения намагниченности в магнитном

21.

D. T. Liu, F. J. Burnell, L. D. C. Jaubert et al., Phys.

поле.

Rev. B 94, 224413 (2016).

22.

A. K. Murtazaev, M. K. Badiev, M. K. Ramazanov

et al., Physica A 555, 124530 (2020).

ЛИТЕРАТУРА

23.

А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов, Ф. А. Кас-

сан-Оглы, М. К. Бадиев, ЖЭТФ 144, 1239 (2013).

1. Q.A. Pankhurst, J. Connolly, S. K. Jones et al., J.

24.

A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov, and M. K. Ba-

Phys. D: Appl. Phys. 36, 167 (2003).

diev, Physica A 507, 210 (2018).

2. A. Jabar, R. Masrour, G. Kadim et al., Commun.

25.

A. K. Murtazaev, M. K. Ramazanov, K. S. Murtazaev

Theor. Phys. 73, 115702 (2021).

et al., Phys. Solid State 62, 229 (2020).

3. T. Sahdane, R. Masrour, and A. Jabar, Physica

26.

A. K. Murtazaev, M. K. Badiev, M. K. Ramazanov

A 572, 125882 (2021).

et al., Phase Transitions 94, 394 (2021).

758