ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 737-745

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА НА СПИНОВУЮ

ПОЛЯРИЗАЦИЮ ЭЛЕКТРОНОВ В МАТЕРИАЛАХ

С НЕОДНОРОДНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТЬЮ

Н. Г. Бебенин^*

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620137, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 13 декабря 2021 г.,

после переработки 10 января 2022 г.

Принята к публикации 10 января 2022 г.

Теоретически изучается неравновесная намагниченность (спиновая поляризация) электронов проводимо-

сти, движущихся в материалах с неоднородным распределением намагниченности. Рассматриваются как

стационарные состояния, так и переходные процессы при включении или выключении тока. Из-за нали-

чия координатной зависимости намагниченности протекание электрического тока приводит к отклонению

намагниченности носителей заряда от ее равновесного значения. В рамках простой модели для неравно-

весной намагниченности получено выражение, описывающее координатную зависимость неравновесной

намагниченности в терминах дрейфовой длины, длины спиновой диффузии. Показано, что эффект яв-

ляется наибольшим там, где производная намагниченности по координате максимальна. Рассмотрены

различные примеры сред с неоднородной намагниченностью, включая периодические структуры — волны

спиновой плотности и искусственные сверхрешетки.

DOI: 10.31857/S004445102205011X

мости (намагниченность электронного газа) вблизи

EDN: DTASQS

контакта отличается от своего равновесного значе-

ния (спиновая инжекция и спиновая аккумуляция).

1. ВВЕДЕНИЕ

Обнаружение этих эффектов показывает, что ес-

ли намагниченность материала, а значит, и величи-

Спиновая электроника (спинтроника) являет-

на равновесной намагниченности носителей заряда

ся частью твердотельной электроники, посвящен-

по каким-либо причинам меняется в пространстве,

ной изучению эффектов, в которых существенную

то электрический ток заметно влияет на (нерав-

роль играют спиновые степени свободы. Интенсив-

новесную) намагниченность электронов. Такой эф-

ное развитие спинтроники началось после открытия

фект должен иметь место, например, в различных

эффекта гигантского магнитосопротивления в маг-

наноструктурах с ферромагнитными слоями, в ма-

нитных сверхрешетках Fe/Cr, и к настоящему вре-

териалах с длиннопериодическими модулированны-

мени опубликовано не только огромное число ори-

ми структурами, в неоднородных ферромагнетиках.

гинальных статей, но и множество обзоров и мо-

Во всех случаях на спиновый транспорт влияют не

нографий [1-5]. Одним из направлений спинтрони-

только магнитная неоднородность, но и множество

ки является изучение спиновых потоков, генери-

других факторов, например, различие проводимо-

руемых в металлах и полупроводниках, с целью

стей кристаллов, образующих структуру, эффекты

их использования в различного рода микроустрой-

на интерфейсах и т. д., что затрудняет вычленение

ствах. Например, теоретически и экспериментально

роли именно магнитной неоднородности.

было показано, что при протекании электрическо-

го тока в среде, составленной из ферромагнетика

Любой электронный прибор включают и выклю-

и неферромагнитного металла или полупроводника

чают, однако переходные процессы в спин-транс-

[6-11], спиновая поляризация электронов проводи-

портных структурах изучены сравнительно слабо,

причем численными методами и в сравнительно

^* E-mail: bebenin@imp.uran.ru

сложных системах [12-15].

737

ЖЭТФ, вып. 5

Н. Г. Бебенин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Цель предлагаемой работы состоит в исследова-

где τ_s — время спиновой релаксации. В немагнит-

нии неравновесной намагниченности электронов и

ных материалах J_zx = V_z M_x - D∂M_x/∂z, где D —

электронного спинового транспорта в материалах

коэффициент диффузии [1]. В равновесном состо-

с неоднородной намагниченностью в рамках про-

янии, т. е. при отсутствии электрического тока, все

стой модели, допускающей аналитическое решение

потоки должны быть равны нулю. Если равновесное

как для стационарного случая, когда электрический

значение электронной намагниченности зависит от

ток, протекающий в материале, не зависит от време-

координаты z, эта формула дает отличное от нуля

ни, так и для переходных процессов, имеющих место

значение J_zx при V_z = 0, т. е. в отсутствие электри-

при включения или выключения тока.

ческого тока. Правильное выражение для J_zx таково

(см., например, [6]):

∂(M_x - M^equx)

J_zx = V_zM_x - D

(2)

2. МОДЕЛЬ

∂z

Рассмотрим сначала стационарный случай, ко-

Рассмотрим материал, в котором намагничен-

гда все величины не зависят от времени. Подставляя

ность M = (M_x, 0, 0) носителей заряда зависит толь-

(2) в (1) и полагая ∂M_x/∂t = 0, получаем

ко от одной координаты z: M_x = M_x(z). Магнитное

поле считаем равным нулю. Электроны движутся

∂M_x

∂²(M_x - M^equx)

M_x - M^equx

вдоль оси z с дрейфовой скоростью V_z > 0, кото-

V_z

-D

(3)

∂z

∂z²

τ_s

рую мы будем считать не зависящей от z; иначе го-

воря, мы предполагаем, что магнитная структура

Это уравнение удобно записать в виде

«погружена» в проводящий материал. В отсутствие

∂²δM_x

∂δM_x

∂M^equx

электрического тока электронная намагниченность

L²

-l_d

- δM_X = l_d

(4)

^D ∂z²

∂z

M^equx, очевидно, определяется эффективным полем,

действующим на носители заряда, а при V_z = 0,

где δM_x = M_x - M^equx, l_d = V_zτ_s — дрейфовая длина

очевидно, M_x = M^equx. Возможность использования

иL_D =

√Dτ_s — длина спиновой диффузии. Ограни-

столь простой модели для описания материалов с

ченное при всех z решение этого уравнения таково:

волной спиновой плотности (например, типа TSW,

∫

∞

см. обзор [16]) сомнений не вызывает. В случае бес-

ek1zl_d

(z^′)

δM_x = -√

e-k1z^′ ∂

dz^′ -

конечно тонкого ферромагнитного слоя (ферромаг-

l2d + 4L²

∂z^′

нитного δ-слоя), помещенного в однородную немаг-

D z

∫

нитную матрицу, в расчете фигурируют электричес-

ek2zl_d

(z^′)

кие характеристики только немагнитного материа-

√

e-k2z^′ ∂

dz^′,

(5)

l2d + 4L²

∂z^′

ла, поэтому использование модели в этом случае

D-∞

также вряд ли может вызвать возражения. Слож-

где

нее обстоит дело со наноструктурами, образованны-

√

ми различными металлами. Многие авторы исследо-

l_d +

l2d + 4L2D

l_d -

l2d + 4L2D

k₁ =

k₂ =

(6)

вали, например, сверхрешетки Fe/Cr. Согласно [4],

2L2D

2L²

длина спиновой диффузии в железе равна пример-

Из (5) следует, что максимальное отклонение намаг-

но 9 нм, а в хроме около 5 нм, удельные сопротив-

ниченности электронного газа от равновесного зна-

ления тонких слоев железа и хрома также разли-

чения следует ожидать там, где величина производ-

чаются не слишком сильно, поэтому можно думать,

ной ∂M^equx(z)/∂z максимальна.

что для такого рода структур модель может дать ес-

Используя экспериментальные данные о диф-

ли не количественные, то качественные результаты.

фузионной длине и времени спиновой диффузии

Это должно быть верно и для систем, состоящих из

[4, 7-11], легко показать, что практически всегда

ферромагнитных и немагнитных полупроводников.

ld ≪ LD, поэтому ниже мы будем полагать k1 =

Зависимость M_x от координаты z определяется

= 1/L_D и k₂ = -1/L_D, т. е. ограничиваться ли-

потоком J_zx намагниченности в направлении этой

нейным приближением по l_d. Многими авторами

оси и релаксацией. Уравнение непрерывности для

влияние электрического тока на спиновую поляри-

M_x можно записать в следующем виде:

зацию изучается в рамках исследования спиновой

∂M_x

∂J_zx

M_x - M^equ

инжекции из ферромагнетика в немагнитный ме-

(1)

талл или полупроводник. Решение соответствующих

∂t

τ_s

738

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Влияние электрического тока на спиновую поляризацию электронов. . .

уравнений ищется отдельно для ферромагнетика и

неферромагнитного материалов, после чего прово-

дится «сшивка» решений при условии непрерывно-

сти потока частиц и спинового тока на границе раз-

дела. Такой подход неприменим, если резкая грани-

ца между материалами с разной намагниченностью

отсутствует. В формуле (5) какие-либо ограничения

на вид зависимости M^equx от z отсутствуют, что поз-

воляет анализировать различные случаи с единой

точки зрения.

3. ФЕРРОМАГНИТНЫЕ СЛОИ В

НЕМАГНИТНОМ МАТЕРИАЛЕ

В настоящее время активно исследуются полу-

проводниковые структуры с δ-легированными сло-

ями, в которых примесь расположена в слое тол-

щиной порядка 1 нм. Возможны и металлические

структуры такого типа. Предположим, что δ-слой

является ферромагнитным. В рамках используемо-

го макроскопического подхода такой слой следу-

ет считать плоскостью, вставленной в немагнитную

матрицу. Будем считать, что это x-y-плоскость, а

ток течет вдоль ее нормали. Равновесную намагни-

ченность, которую считаем направленной вдоль оси

x, в этом случае можно записать в виде M^equx =

Рис. 1. Намагниченность электронов при их прохождении

= m₀δ(z), где m₀ — магнитный момент единицы

через ферромагнитные δ-слои. Носители заряда движутся

слева направо вдоль оси z, направление магнитного мо-

площади слоя. Используя формулу (5) и учитывая,

мента слоев показано вертикальными стрелками. На встав-

что M^equx = 0 при z = 0, получаем

ке: поляризация электронов одиночным δ-слоем. Панель

а: координатная зависимость намагниченности при парал-

m₀l_d

M_x(z) =

F (z),

лельных магнитных моментах слоев; панель б — то же при

L²

антипараллельных магнитных моментах

где в рассматриваемом случае

⎧

⎨

ek1z ≈ ez/LD , z < 0,

зуя формулу (5), для случая параллельных момен-

F (z) =

(7)

⎩1

тов δ-слоев получаем

ek2z ≈ e-z/LD , z > 0.

Ферромагнитный δ-слой действует как спиновый по-

F (z) =

ляризатор, точнее, как спиновый фильтр, см. встав-

⎧

⎪- ch (tg/2LD) ez/LD , z < -tg/2,

ку на рис. 1. Поскольку δ-слой пропускает носите-

⎨

лей заряда преимущественно с магнитным момен-

-e-tg/2LD sh(z/L_D),

-t_g/2 < z < t_g/2,

(8)

⎪

том, направленным параллельно магнитному мо-

^⎩ch (t_g/2L_d) e^-z/LD ,

z > t_g/2.

менту слоя, справа от δ-слоя электронная намагни-

ченность M_x(z) оказывается положительной, а сле-

ва отрицательной.

На рис. 1a показан график этой функции для t_g =

Рассмотрим теперь намагниченность электрон-

= L_D/2. В промежутке между двумя слоями вели-

ного газа в материале с двумя ферромагнитными

чина намагниченности электронного газа меньше,

δ-слоями, магнитные моменты которых параллель-

чем вблизи слоев вне этой области, причем вблизи

ны. Будем считать, что δ-слои расположены на рас-

первого слоя F (z) > 0, а вблизи второго эта функ-

стоянии t_g друг от друга при z = ±t_g/2. Исполь-

ция отрицательна, F (z) > 0.

739

Н. Г. Бебенин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Записывая δM_x(z) в виде δM_x = l_dM_F /L_DΦ(z), для

функции Φ(z) получаем

Φ(z) =

⎧

⎪- sh(tg/2LD)ez/LD , z < -tg/2,

⎨

e-tg/2LD sh(z/L_D),

-t_g/2 < z < t_g/2,

(10)

⁼⎪⎪

⎩

sh(t_g/2L_d)e-z/LD , z > t_g/2.

Очевидно, функция Φ(z) является непрерывной

при всех z, соответствующие кривые для различ-

ных соотношений между длиной спиновой диффу-

зии и толщиной пластины показаны на рис. 2. Если

t_F ≪ L_D, то пластина ведет себя, очевидно, как δ-

слой с m₀ = M_F t_F . На границах ферромагнетика

и немагнитного материала функция Φ(z) достига-

Рис. 2. Изменение намагниченности электронов при их

прохождении через слой ферромагнетика при различных

ет минимального (при z = -t_F /2) и максимального

соотношениях между толщиной ферромагнитного слоя tF

(при z = +t_F /2) значений:

и длиной спиновой диффузии LD. Носители заряда дви-

(

)

t_F

1⁽

жутся слева направо

Φ z=±

=±

1-e-tF/LD

Это есть не что иное, как известный эффект спи-

Если магнитные моменты слоев направлены про-

новой аккумуляция, т. е. возникновение неравновес-

тивоположно друг другу т. е.

ной спиновой плотности вблизи поверхности разде-

(

)

(

)

ла сред с различной намагниченностью при проте-

t_g

M^equx = m₀δ z +

-m₀δ z -

кании электрического тока через эту поверхность.

Поскольку функция Φ на левом и правом концах ин-

тервала (-t_F /2, +t_F /2) имеет разные знаки, можно

то ситуация обратная (рис. 1б):

сказать, что при t_F > 0 имеет место положительная,

а при t_F < 0 отрицательная аккумуляция.

F (z) =

Заметим, что, в отличие от M_x(z), функция

⎧

⎪- sh(tg/2LD)ez/LD , z < -tg/2,

δM_x(z) является непрерывной при всех z, в том чис-

⎨

ле и при z = ±t_F /2, а из непрерывности δM_x(z)

e-tg/2LD ch(z/L_D),

-t_g/2 < z < t_g/2,

(9)

⎪

следует и непрерывность потока намагниченности в

^⎩- sh(t_g/2L_d)e^-z/LD, z > t_g/2.

этих точках, см. (1). Иначе говоря, если функция

M^equx(z) испытывает конечный скачок в какой-либо

Функция F (z) положительна в промежутке меж-

точке z₀, то δM_x(z) и J_zx(z) в этой точке непрерыв-

ду слоями и отрицательна вне его; при t_g < L_D эта

ны. Если же при z = z₀ имеет место более сильная

функция близка к единице в интервале -t_g/2 < z <

особенность функции M^equx(z), то δM_x(z) и J_zx(z)

< t_g/2 и мала по величине как при z < -t_g/2, так

непрерывными, вообще говоря, не являются. Так, в

и при z > t_g/2, т. е. пара δ-слоев с противоположно

случае δ-слоя δM_x(z) испытывает скачок, см. (7), а

направленными магнитными моментами приводит к

потоки намагниченности справа и слева от δ-слоя

концентрации неравновесной электронной намагни-

различаются.

ченности в узкой области пространства между сло-

Величина

|Φ|

на границах интервала

ями.

(-t_F /2, +t_F /2) зависит от отношения толщины

Перейдем к рассмотрению намагниченности но-

ферромагнитного слоя к длине спиновой диффу-

сителей тока, движущихся через ферромагнитную

зии, возрастая при увеличении t_F . Следовательно,

пластину толщиной t_F , помещенную в немагнитную

для того чтобы спиновая инжекция была эффек-

среду, см. рис. 2. Полагая, что равновесная намаг-

тивной, толщина ферромагнитного слоя (спинового

ниченность электронов равна M_F внутри ферромаг-

инжектора) должна превышать длину спиновой

нетика, т. е. при -t_F /2 < z < t_F /2, и нулю вне этого

диффузии. В реальных экспериментах это условие

интервала, с помощью (5) легко вычислить δM_x(z).

не всегда выполняется; так, в [7] толщина слоя

740

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Влияние электрического тока на спиновую поляризацию электронов. . .

4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Интенсивное развитие спинтроники было стиму-

лировано обнаружением гигантского магнитосопро-

тивления в магнитных сверхрешетках [17], которые

являются примером проводящих структур с перио-

дически меняющейся в пространстве намагниченно-

стью. Другим примером являются материалы с маг-

нитным упорядочением типа статических спиновых

волн (продольных или поперечных), см., например,

обзор [6]. Во многих материалах (например, в редко-

земельных металлах) наблюдаются спиральные (ге-

ликоидальные) магнитные структуры. Хотя такие

структуры в настоящее время привлекают большое

внимание, эффекты, связанные с протеканием в них

электрического тока, оказываются существенно бо-

Рис. 3. Отклонение намагниченности электронов при про-

лее сложными, см. недавно опубликованную статью

хождении немагнитного слоя толщиной tg. Области, заня-

[18] и ссылки в ней. В данной работе они рассмат-

тые ферромагнетиком, заштрихованы. Электроны движут-

риваться не будут.

ся слева направо из ферромагнетика, намагниченность ко-

Предположим, что функция M^equx(z) является

торого считается положительной, проходят немагнитный

периодической с периодом d. Рассмотрим сна-

слой и попадают во второй слой ферромагнетика, намаг-

чала статическую поперечную спиновую волну

ниченность которого либо положительна, как у первого

(TSW-структуру). Равновесная намагниченность в

ферромагнетика (кривая 1), либо отрицательна (кривая 2).

этом случае меняется следующим образом:

Длина спиновой диффузии LD = 2tg

M^equx(z) = μ sinQz,

где Q = 2π/d — волновой вектор структуры. Под-

ставляя это выражение в (5) и считая, что l_d ≪ L_D,

получаем

железа была 5 нм, тогда как в железе L_D около

l_d

QL_D

9 нм [4].

δM_x = -μ

cosQz.

(11)

L_D 1 + (QL_D)²

Очевидно, если неравенство t_F ≫ L_D выполня-

Амплитуда осцилляций δM_x определяется не

ется, то эффекты вблизи краев пластины можно

только отношением l_d/L_D, но и отношением дли-

рассматривать независимо, что существенно упро-

ны спиновой диффузии к периоду структуры. Ес-

щает расчет. Рассмотрим, например, электронную

ли QL_D ≪ 1, то δM_x ≪ μ, поскольку равновес-

намагниченность в промежутке между двумя фер-

ная намагниченность почти постоянна на расстоя-

ромагнитными слоями толщиной t_F ≫ L_D. Будем

ниях порядка L_D и ситуация близка к той, что ре-

считать, что области z < -t_g/2 и z > t_g/2 заняты

ализуется в однородном ферромагнетике. Если же

ферромагнетиками, а щель между ними (-t_g/2 <

QL_D ≫ 1, на расстоянии порядка L_D происходит

< z < t_g/2) заполнена немагнитным материалом.

усреднение осцилляций, в результате чего отклоне-

На рис. 3 показана функция Φ(z) для случаев, ко-

ние намагниченности электронов от ее равновесного

гда равновесные намагниченности в ферромагнети-

значения опять оказывается малым. Амплитуда ко-

ках параллельны (кривая 1), либо направлены про-

лебаний δM_x максимальна, когда QL_D = 1.

тивоположно друг другу. Легко видеть, что в про-

Полученные формулы остаются, очевидно, спра-

межутке между двумя толстыми пластинами фер-

ведливыми и в случае продольной волны спино-

ромагнетиков характер зависимости δM_x от z такой

вой плотности, когда в пространстве изменяется не

же, как и в промежутке между двумя ферромагнит-

x, а z-компонента намагниченности и M^equz(z) =

ными δ-слоями. В частности, как и в случае двух

= μsinQz, в приведенных формулах нужно лишь

δ-слоев, при протекании электрического тока пара

заменить индекс поляризации x на z.

ферромагнитных платин с противоположно направ-

Теперь рассмотрим влияние электрического то-

ленными намагниченностями работает как концент-

ка на намагниченность электронов в сверхрешет-

ратор неравновесной спиновой плотности.

ках, образованных чередованием ферромагнитных и

741

Н. Г. Бебенин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 4. Зависимость неравновесной намагниченности элек-

Рис. 5. Зависимость неравновесной намагниченности элек-

тронов в сверхрешетке, образованной чередованием фер-

тронов в сверхрешетке, в которой магнитные моменты со-

ромагнитных δ-слоев, магнитные моменты которых парал-

седних δ-слоев направлены противоположно друг другу.

лельны. Длина спиновой диффузии LD = 2a; дрейфовая

Длина спиновой диффузии LD = 2a; дрейфовая длина

длина l_d ≪ LD

l_d ≪ LD

Легко видеть, что в обоих рассмотренных слу-

немагнитных слоев. Выше было показано, что коор-

чаях имеет место периодическая зависимость элек-

динатная зависимость намагниченности электронов

между двумя ферромагнитными слоями аналогич-

тронной намагниченности от координаты z, име-

ющая антиферромагнитный характер, т. е. магнит-

на зависимости между ферромагнитными δ-слоями,

помещенными в немагнитную матрицу. В связи с

ный момент электронного газа в расчете на период

структуры равен нулю. Этот результат есть след-

этим ниже мы ограничимся рассмотрением сверх-

решеток, образованных чередованием δ-слоев.

ствия предположения о том, что время спиновой ре-

лаксации не зависит от z. Действительно, если маг-

Предположим, что магнитные моменты ферро-

нитная структура является периодической с перио-

магнитных δ-слоев, находящихся на расстоянии a

дом d, то интегрируя уравнение (1) от 0 до d и учи-

друг от друга, параллельны друг другу. Для опре-

тывая, что J_zx(z) = J_zx(z + d), для стационарного

деленности будем считать, что δ-слои расположены

случая получаем

при z = a/2 ± na, n = 0, 1, 2, . . . Как и в случае двух

δ-слоев, результат вычисления δM_x(z) с помощью

∫

(5) можно записать в виде

M_x - M^equx

dz = 0.

(12)

τ_s

l_dm₀

M_x(z) =

F (z).

L²

Очевидно, это соотношение справедливо при лю-

бой периодической зависимости M^equx(z). Если τ_s не

Даже в этом случае формулы для F(z) получают-

зависит от z, то интеграл от δM_x оказывается рав-

ся довольно громоздкие, поэтому мы их не выпи-

ным нулю.

сываем. Вместо этого на рис. 4 приведены кривые,

Влияние тока на намагниченность электронно-

рассчитанные при L_D = 2a. Как и в случае двух

го газа должно иметь место не только в регуляр-

слоев, в промежутке между ферромагнитными сло-

ных структурах, но и в том случае, когда распре-

ями M_x(z) существенным образом зависит от z, а в

деление намагниченности имеет случайный харак-

середине этого промежутка обращается в нуль.

тер. Прежде всего это относится к сильнонеоднород-

Обратимся к рассмотрению сверхрешетки, в ко-

ным магнетикам. Очевидно, что в этом случае эф-

торой магнитные моменты соседних слоев направле-

фект зависит от функции распределения производ-

ны противоположно друг другу. Период такой маг-

ной ∂M^equx/∂z. Детальное рассмотрение этой ситуа-

нитной структуры d = 2a. График функции F (z)

ции выходит за рамки настоящей работы, но анализ

для этого случая показан на рис. 5.

на качественном уровне провести несложно. Если

742

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Влияние электрического тока на спиновую поляризацию электронов. . .

намагниченность плавно меняется на длине, мень-

Легко видеть, что если электрический ток вклю-

шей чем длина спиновой диффузии, то, очевидно,

чается при t = 0, то

ситуация близка к той, что имеет место в случае ста-

тической волны спиновой плотности при QL_D ≫ 1

δM_x(ζL_D, ττ_s) = δM^steadyx(ζL_D) - U(ζ, τ).

и, следовательно, влияние тока на намагниченность

В качестве примера рассмотрим эволюцию

будет слабым, см (11). Слабым будет эффект и в том

неравновесной намагниченности электронного газа

случае, когда намагниченность меняется на длине,

при выключении электрического тока, который при

большей чем L_D. Наиболее заметным он будет, оче-

t < 0 тек через ферромагнитный δ-слой вдоль его

видно, когда характерная длина изменения намаг-

нормали. Стационарное решение дается формулой

ниченности порядка L_D.

(7). Поскольку

[

]

F (z) =

-e^ζθ(-ζ) + e^-ζθ(ζ)

5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ

ВКЛЮЧЕНИИ И ВЫКЛЮЧЕНИИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

(здесь θ(ζ) — ступенчатая функция) является нечет-

ной функцией, то A(κ) = 0. Определим ϕ(ζ, τ) ра-

До сих пор мы рассматривали только стационар-

венством

m₀l_d

ные состояния и полагали, что δM_x зависит только

U =

ϕ.

от z. Любой электронный прибор, однако, включа-

L²

ют и выключают, поэтому необходимо исследовать

Для ϕ(ζ, τ) получаем

не только стационарный случай, но и переходные

процессы.

∫

e^-τ

Предположим, что при t < 0 скорость электро-

ϕ(ζ, τ) =

e-κ2 sinκζdκ.

(16)

1+κ²

нов не зависит от времени, а в момент t = 0 элек-

−∞

трический ток выключается. При t > 0 зависимость

δM_x от z и t описывается соотношениями (1) и (2),

С учетом [19] ϕ(ζ, τ) можно записать в виде

в которых следует положить V_z = 0. Для удобства

[

)

введем переменные ζ = z/L_D и τ = t/τ_s и функцию

ϕ(ζ, τ) =

e^-ζErfc

⁽√τ -

U (ζ, τ) = δM_x(ζL_D, ττ_s). Поскольку l_d = 0, функция

2√τ

)]

U (ζ, τ) является решением уравнения

− e^ζErfc

⁽√τ +

(17)

2√τ

∂U

∂²U

+ U = 0.

(13)

∂τ

∂ζ²

где функция ошибок определяется следующим об-

разом:

∞

∫

В момент τ = 0 функция U(ζ, 0) равна δM_x в ста-

ционарном состоянии и U → 0 при τ → ∞. Решение

Erfc(x) =

e-ξ2 dξ.

(18)

√π

(13) нетрудно найти методом разделения перемен-

ных. Результат можно записать в виде

Из (17) следует, что зависимость M_x от време-

ни не является экспоненциальной. На рис. 6 показа-

+^∞

ны кривые ϕ(ζ, τ)/ϕ(ζ, 0) для точек вблизи ферро-

U (ζ, τ) =

e-(1+κ2)^τ ×

магнитного δ-слоя и при удалении от него. Вблизи

-∞

δ-слоя намагниченность электронов быстро убыва-

× [A(κ) cos κζ + B(κ) sin κζ] dκ,

(14)

ет при росте τ, тогда как вдали от слоя в течение

некоторого времени намагниченность практически

где

не изменяется. На первый взгляд, отсутствие умень-

шения ϕ(ζ, τ) со временем противоречит наличию

∫

спиновой релаксации. Дело в том, что M_x изменя-

A(κ) =

U (ζ, 0) cos κζdζ,

ется не только из-за релаксации, но и благодаря спи-

2π

-∞

новой диффузии. Для точек правее δ-слоя поток на-

(15)

∫∞

магниченности направлен от слоя, что и приводит к

B(κ) =

U (ζ, 0) sin κζdζ.

быстрому уменьшению M_x при z < L_D и к замедле-

2π

нию убывания M_x при z > L_D.

−∞

743

Н. Г. Бебенин

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

В магнитных материалах с длиннопериодически-

ми магнитными структурами типа статической спи-

новой волны (TSW- и LSW-структуры) амплитуда

колебаний δM_x максимальна, когда QL_D = 1.

В магнитных сверхрешетках, образованных че-

редованием ферромагнитных и немагнитных слоев,

электрический ток индуцирует формирование пе-

риодической структуры неравновесной электронной

намагниченности в немагнитных слоях. Эта струк-

тура является антиферромагнитной как при парал-

лельной, так и антипараллельной ориентации маг-

нитных моментов соседних ферромагнитных слоев.

Исследование переходных процессов как при

включении, так и при выключении электрического

тока показало, что зависимость электронной намаг-

Рис. 6. Зависимость намагниченности электронного газа

ниченности от времени в магнитно-неоднородной

от времени при выключении электрического тока вблизи

среде не описывается экспоненциальной зависимо-

ферромагнитного δ-слоя и при удалении от него

стью и определяется не только временем спиновой

релаксации, но и спиновой диффузией.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Благодарности. Автор признателен В. В. Усти-

Сформулируем основные результаты работы.

нову и И. А. Ясюлевичу за обсуждение работы.

В рамках использованной простой модели уда-

Финансирование. Работа выполнена в рам-

лось с единой точки зрения описать влияние элек-

ках государственного задания Министерства нау-

трического тока на неравновесную электронную на-

ки и высшего образования России (тема «Спин»

магниченность в структурах, в которых равновес-

№ АААА-А18-118020290104-2) при частичной под-

ная намагниченность меняется в пространстве. Из

держке Российского фонда фундаментальных ис-

полученных формул следует, что влияние элект-

следований (проект № 19-02-00038).

рического тока на электронную намагниченность

является наиболее сильным там, где производная

ЛИТЕРАТУРА

∂M^equx/∂z имеет особенность.

Величина намагниченности электронов, инжек-

1. Spin Physics in Semiconductor, ed. by M. I. Dyako-

тированных из ферромагнетика в немагнитный ма-

nov, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2008).

териал, является наибольшей, т.е. инжекция наибо-

2. Spin Current, ed. by S. Maekawa, S. O. Valenzuelo,

лее эффективна, когда толщина ферромагнитного

S. Saitoh, and T. Kimura, Oxford University, Oxford,

слоя заметно больше длины спиновой диффузии.

United Kingdom Press (2017).

В промежутке между двумя ферромагнитными

слоями неравновесная намагниченность электронов

3. Spintronics for Next Generation Innovative Devices,

существенным образом зависит от координаты. Ес-

ed. by K. Sato and E. Saitoh, John Wiley and Sons

ли промежуток между слоями меньше длины спино-

(2015).

вой диффузии, а моменты слоев параллельны друг

4. J. Bass and W. P. Pratt Jr. J. Phys.: Condens.

другу, то M_x меняет знак в середине указанного

Matter. 19, 183201 (2007).

промежутка. Если же магнитные моменты ферро-

5. A. Hirohata, K. Yamada, Y. Nakatani, I.-L. Prej-

магнитных слоев направлены противоположно друг

beanu, B. Dieny, P. Pirro, and B. Hillebrands, J.

другу, то внутри немагнитного слоя величина нерав-

Magn. Magn. Mat. 509, 166711 (2020).

новесной намагниченности значительно больше, чем

в случае параллельных магнитных моментов, а за-

6. M. Johnson and R. H. Silsbee, Phys. Rev. B 37, 5312

висимость M_x от z значительно слабее. Иными сло-

(1988).

вами, пара ферромагнитных слоев с противополож-

7. X. H. Lou, C. Adelmann, S. A. Cooker, E. S. Garlid,

но направленными магнитными моментами рабо-

J. Zhang, K. S. M. Reddy, S. D. Flexner, C. J. Palm-

тают как концентратор неравновесной электронной

strom, and P. A. Crowwell, Nature Phys. 3, 197

намагниченности.

(2007).

744

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Влияние электрического тока на спиновую поляризацию электронов. . .

8. O. M. J. van ’t Erve, A. L. Friedman, E. Cobas,

14. Е. А. Вилков, Г. М. Михайлов, С. А. Никитов,

C. H. Li, J. T. Robinson, and B. T. Jonker, Nature

А. Р. Сафин, М. В. Логунов, V. N. Korenivskii,

Nanotechnol. 7, 737 (2012).

С. Г. Чигарев, Л. А. Фомин, ЖЭТФ 154, 1108

(2018).

9. Y. Fujita, M. Yamada, S. Yamada, T. Kanashima,

15. M. Baumgartner, K. Garello, J. Mendil, C. O. Avci,

K. Sawano, and K. Hamaya, Phys. Rev. B 94, 245302

E. Grimaldi, C. Murer, J. Feng, M. Gabureac,

(2016).

C. Stamm, Y. Acremann, S. Finizio, S. Wintz,

10. N. A. Viglin, V. V. Ustinov, S. O. Demokritov,

J. Raabe, and P. Gambardella, Nature Nanotechnol.

12, 980 (2017).

A. O. Shorikov, N. G. Bebenin, V. M. Tsvelikhov-

skaya, T. N. Pavlov, and E. I. Patrakov, Phys. Rev.

16. Ю. А. Изюмов, УФН 144, 439 (1984).

B 96, 235303 (2017).

17. M. N. Baibich, J. M. Broto, A. Fert, F. Nguyen van

11. N. A. Viglin and N. G. Bebenin, Phys. Met.

Dau, F. Petroff, P. E. Eitenne, G. Creuzet, A. Fried-

Metallogr. 119, 1289 (2018).

rich, and J. Chazelas, Phys. Rev. Lett. 61, 2472

(1988).

12. I. Appelbaum, Phil. Trans. R. Soc. A 369, 3554

(2011).

18. V. V. Ustinov and I. A. Yasyulevich, Phys. Rev.

B 102, 134431 (2020).

13. A. I. Nikitchenko and N. A. Pertsev, Phys. Rev. Appl.

19. Tables of Integral Transforms, Vol. I, McGraw-Hill

14, 034022 (2020).

Book Company, Inc. (1954).

745