ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 691-701

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННОГО

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ШАРА С ПЛОСКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ

ГРАНИЦЕЙ ОДНОРОДНЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

А. В. Филиппов^*

ГНЦ РФ Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований

108840, Троицк, Москва, Россия

Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 18 ноября 2021 г.,

после переработки 30 ноября 2021 г.

Принята к публикации 30 ноября 2021 г.

Рассматривается взаимодействие двух заряженных диэлектрических шаров, радиус одного из которых

много больше радиуса второго, на малых расстояниях между их поверхностями. Найдены аналитические

решения для коэффициентов разложения потенциала для больших мультипольных моментов. Получены

точные аналитические выражения для силы взаимодействия в методе разложения потенциала в бисфе-

рической системе координат в случае совпадения диэлектрической проницаемости одного из шаров с

диэлектрической проницаемостью среды, в которой они находятся. Выполнен переход к случаю беско-

нечного радиуса шара с диэлектрической проницаемостью, отличной от диэлектрической проницаемости

среды. Показано, что эти решения совпадают с известными решениями задач о взаимодействии точечно-

го заряда с диэлектрическим шаром и с плоской заряженной границей диэлектриков. Выполнен переход

к бесконечному радиусу одного из шаров в случае, когда диэлектрические проницаемости обоих шаров

отличны от диэлектрической проницаемости среды, и найдено аналитическое решение задачи о взаимо-

действии заряженного диэлектрического шара с плоской заряженной границей однородных диэлектриков.

DOI: 10.31857/S0044451022050078

ный случай плоской границы между однородными

EDN: DSUFFC

диэлектриками.

Точное описание взаимодействия двух заряжен-

1. ВВЕДЕНИЕ

ных диэлектрических шаров с сильно различающи-

Задача об электростатическом взаимодействии

мися радиусами является актуальной задачей в свя-

заряженных диэлектрических частиц сферической

зи с тем, что такая задача возникает при описании

формы, несмотря на давнюю историю, которая на-

процесса взаимодействия наночастиц со стенкой в

чинается с Пуассона (см. работы [1, 2]), Кельвина

технологиях производства наночастиц с уникальны-

[3] и Максвелла [4], продолжает привлекать внима-

ми свойствами [14,15] и в технологии нанесения на-

ние исследователей и появляются все новые работы,

нослоев [16], при калибровке атомных силовых мик-

посвященные решению различных аспектов и раз-

роскопов и при точном выделении ван-дер-ваальсо-

витию методов решения данной задачи (см. работы

ва взаимодействия на малых расстояниях [17-21],

[5-11] и цитированную в них литературу). В послед-

при изучении адгезии заряженных частиц тонера

ние годы появился ряд работ [7, 11-13], в которых

к пластине [22], при моделировании процесса уда-

изучается взаимодействие заряженных диэлектри-

ления мелких пылевых частиц из воздуха [23] и

ческих шаров на малых расстояниях между их по-

т. д. Эта задача может быть решена с использова-

верхностями в случае, когда радиус одного из них

нием бисферической системы координат, в которой

много больше радиуса второго, включая предель-

система уравнений для коэффициентов разложе-

ния потенциала по мультипольным моментам имеет

^* E-mail: fav@triniti.ru

блочно-диагональный вид и ее численное решение

691

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

может быть найдено методом матричной прогонки.

становится блочно-диагональной, которая при срав-

При этом в случае сильно различающихся радиу-

нимых размерах шаров успешно решается, напри-

сов частиц возникает проблема задания значений

мер, методом матричной прогонки [5]. Но при силь-

коэффициентов разложения при больших номерах

но различающихся размерах и здесь, как будет пока-

мультипольного момента, которая вызвана медлен-

зано ниже, возникают проблемы, которые остались

ным убыванием выражений вида exp{- (2ℓ + 1) ξ₁}

незамеченными в работах [7, 11].

(более подробно см. в работе [5]). Здесь ℓ — номер

мультипольного момента, ξ₁ — координата поверх-

ности шара большего радиуса в бисферической си-

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О

стеме координат, которая является малой величи-

ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВУХ

ной при малых расстояниях между поверхностями

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ

макрочастиц L. Например, при радиусе малого ша-

ШАРОВ С СИЛЬНО РАЗЛИЧАЮЩИМИСЯ

РАДИУСАМИ

ра a₂ = 100 нм, радиусе большого шара a₁ = 10⁴a₂ и

L = 0.1 нм имеем ξ₁ = 4.473·10-6, а координата по-

2.1. Взаимодействие точечного заряда с

верхности малого шара равна ξ₂ = 4.473·10-2. Имен-

диэлектрическим заряженным шаром и

но на расстояниях L = 0.1-1 нм силы электростати-

плоской границей диэлектриков

ческого и ван-дер-ваальсова взаимодействия оказы-

ваются сравнимыми друг с другом [18], поэтому эти

Сначала приведем хорошо известные решения

расстояния и вызывают повышенный интерес.

задачи о взаимодействии точечного заряда с диэлек-

Настоящая работа посвящена решению задачи о

трическим заряженным шаром и плоской границей

взаимодействии двух заряженных диэлектрических

диэлектриков (см. [24,25]), которые в настоящей ра-

шаров на малых расстояниях между их поверхно-

боте будут использованы для проверки получаемых

стями в случае, когда радиус одного из них мно-

результатов. Сила взаимодействия точечного заряда

го больше радиуса второго, включая предельный

с диэлектрическим заряженным шаром, которая мо-

случай плоской границы между однородными ди-

жет быть найдена методом разложения по мульти-

электриками. Для решения задачи используется ме-

польным моментам с использованием сферических

тод разложения потенциала по полиномам Лежанд-

координат или методом изображений (см. [24, 25]),

ра (по мультипольным моментам) в бисферической

описывается выражением (в настоящей работе при-

системе координат. Этим же методом данная зада-

водится сила, действующая на первую частицу, ко-

ча решалась в работах [7, 11], а в работах [12, 13]

торая положительна в случае отталкивания и от-

решалась с использованием разложения в сфериче-

рицательна в случае притяжения; в случае отсут-

ской системе координат. В последних работах отме-

ствия внешнего электрического поля эта сила равна

чается трудность решения данной задачи методом

по абсолютной величине силе, действующей на вто-

разложения в сферической системе координат. Нуж-

рую частицу)

но отметить, что во всех этих работах взаимодей-

ствие заряженного шара с плоской границей между

q₁q₂

Fps =

однородными диэлектриками рассматривалось как

εR²

∑

)2n+1

взаимодействие заряженного шара с другим шаром

q²²

n (n + 1) (ε₁ - ε)⁽ a₁

(1)

заметно большего радиуса (например, в работе [12]

εR²

ε₁n + ε (n + 1) R

n=1

радиус большего шара был в 64 раза больше радиу-

са малого). Трудность решения рассматриваемой за-

где a₁, a₂, q₁, q₂, ε₁, ε₂ — соответственно радиусы, за-

дачи связана с тем, что при использовании метода

ряды и диэлектрические проницаемости частиц, ε —

разложения в сферической системе координат для

диэлектрическая проницаемость среды, R — рассто-

коэффициентов разложения потенциала получает-

яние между центрами частиц. При больших a₁ и,

ся система уравнений с квадратной матрицей, по-

соответственно, R их отношение стремится к едини-

рядок которой для достижения требуемой точности

це: a₁/R → 1, и ряд (1) медленно сходится. Поэтому

при уменьшении межчастичного расстояния быст-

преобразуем сумму в выражении (1), выделив в ко-

ро растет, а коэффициенты разложения все медлен-

эффициенте перед (a₁/R)2n+1 постоянную и линей-

нее убывают с увеличением номера. При использо-

ную по n составляющие. Выделенные члены (чле-

вании метода разложения в бисферической системе

ны со знаком минус в определении f_n ниже) просто

координат система уравнений для коэффициентов

суммируются (как геометрическая прогрессия и ее

разложения потенциала, как уже отмечалось выше,

производная) и в итоге получим

692

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Электростатическое взаимодействие. . .

q₁q₂

q²²

⁽a₁)3

F_ps =

εR²

ε R R² -a²

ε₁ + ε

[

]

ε₁

(ε₁ - ε) +

- δf_ps,

(2)

R² - a²¹

ε₁ + ε

где поправка δf_ps определена выражением

∑

)2n+1

q²²

⁽a₁

δf_ps =

f_n

(3)

εR²

n=1

n (n + 1) (ε₁ - ε)

f_n =

ε₁n + ε (n + 1)

[

]

ε₁

(ε₁ - ε)n +

ε₁ + ε

Рис. 1. Геометрия взаимодействия двух макрочастиц ради-

Когда a₁ → ∞, R → ∞, a₁/R → 1, но при этом оста-

усами a1 и a2 в бисферической системе координат (ξ, η, ϕ)

ется конечной величина R-a₁ = L+a₂ (в наших обо-

значениях), поправка δf_ps обращается в нуль. Также

систему координат так, чтобы вектор напряженно-

исчезающе малым по сравнению с первым становит-

сти внешнего поля лежал в плоскости xz, а ось z

ся второй член в квадратных скобках в выражении

была направлена вдоль линии, соединяющей центры

(2) (как 2L/a₁) и для силы взаимодействия точечно-

частиц (см. рис. 1).

го заряда с заряженной плоской границей диэлект-

Далее введем бисферические координаты (см.

риков получается выражение (см. [24], задача 144)

[24, 26] и рис. 1):

4πσ₁q₂

q²²

ε₁ - ε

a sinη cosϕ

a sinη sinϕ

F_pp =

(4)

4ε(L + a₂)2 ε1 + ε

ch ξ - cos η

(5)

a shξ

где σ₁ — плотность поверхностного свободного за-

ch ξ - cos η

ряда. Проделанный переход к случаю a₁ → ∞ по-

В бисферических координатах поверхности мак-

казывает сложность этого перехода в общем случае,

рочастиц определяются соотношениями ξ = ξ₁, ξ =

когда аналитическое выражение для вычисления си-

= - ξ₂, где

лы отсутствует, а члены ряда (1) с ростом номера

растут пропорционально номеру и при строгом ра-

R² + a²¹ - a²²

R² + a²² - a²¹

ch ξ₁ =

ch ξ₂ =

(6)

венстве a₁/R = 1 этот ряд вообще расходится.

2Ra₁

2Ra₂

R — расстояние между центрами макрочастиц, a —

2.2. Решение методом разложения в

параметр, определенный выражением a = a₁ sh ξ₁ =

бисферической системе координат

= a2 shξ₂.

Электростатическое взаимодействие частиц в

Переход к пределу a₁ → ∞ при конечных L =

однородном диэлектрике определяется уравнением

= R-a₁-a₂ и σ₁ = q₁/(4πa²¹) в сферической системе

Лапласа Δφ = 0, которое в бисферических коорди-

координат затруднен (см., например, [12,13]), поэто-

натах может быть решено методом разделения пе-

му рассмотрим задачу с использованием бисфериче-

ременных введением новой величины

ской системы координат [5]. Здесь не будем приво-

√

дить общее решение задачи, которое представлено,

φ(ξ, η, ϕ) = ψ(ξ, η, ϕ)

ch ξ - cos η.

(7)

например, в работе [5], а запишем окончательные

Здесь φ — потенциал электростатического поля.

уравнения для определения коэффициентов муль-

Рассматриваем аксиально-симметричную зада-

типольного разложения потенциала по полиномам

чу. В этом случае решение для потенциала в одно-

Лежандра.

родной диэлектрической среде (вакууме) в области

Геометрия рассматриваемой задачи приведена

вне частиц определяется выражением [24]

на рис. 1. Две сферические частицы с радиусами a₁,

√

a₂, зарядами q₁, q₂ и диэлектрическими постоянны-

φ(ξ, η) =

ch ξ - cos η ×

ми ε₁, ε₂ помещены в однородный диэлектрик про-

[

]

∑

ницаемостью ε и в однородное до введения частиц

C_ℓe-(ℓ+1/2)ξ + D_ℓ

e(ℓ+1/2)ξ P_ℓ(cosη),

(8)

внешнее электрическое поле E₀. Введем декартову

ℓ=0

693

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

C_ℓ, D_ℓ — искомые коэффициенты разложения, P_ℓ —

- ℓe-ξ1Dℓ-1 + [-τ₁ shξ₁ + (2ℓ + 1)chξ₁] D_ℓ -

√

полиномы Лежандра.

2shξ

- (ℓ + 1)eξ1Dℓ+1 =

q₁ e-(2ℓ+1)ξ1 +

Из граничных условий непрерывности потенци-

ε+ε₁

a₁

ала и разрыва нормальных составляющих вектора

{

+τ₁

ℓeξ1 Cℓ-1 + [shξ₁ - (2ℓ + 1)chξ₁] C_ℓ +

электрической индукции для нахождения коэффи-

}

циентов разложения (8) при однородном распреде-

+ (ℓ + 1)e-ξ1Cℓ+1

e-(2ℓ+1)ξ1 ,

(15)

лении свободных зарядов по поверхностям частиц

для аксиально-симметричной задачи получим урав-

− ℓe-ξ2Cℓ-1 + [-τ₂ shξ₂ + (2ℓ + 1)chξ₂] C_ℓ -

нения [5]

√

2sh ξ₂

- (ℓ + 1) eξ2Cℓ+1 =

q₂ e-(2ℓ+1)ξ2 +

A_ℓyℓ-1 + C_ℓy_ℓ + B_ℓyℓ+1 = F_ℓ, ℓ = 0, 1, . . ., ∞, (9)

ε+ε₂

a₂

{

+τ₂

ℓeξ2 Dℓ-1 + [shξ₂ - (2ℓ + 1)chξ₂] D_ℓ +

где вектор неизвестных y_ℓ = (C_ℓ, D_ℓ)^T , а матрицы

}

+ (ℓ + 1) e-ξ2Dℓ+1

e-(2ℓ+1)ξ2 .

(16)

A_ℓ, B_ℓ, C_ℓ и столбец F_ℓ определены соотношениями

(

)

Выражение для силы в случае аксиально-сим-

τ₁e-(ℓ-1/2)ξ1 e

(ℓ-1/2)ξ1

метричной задачи имеет вид [5]

A_ℓ = -ℓ ×

(10)

e(ℓ-1/2)ξ2

τ₂e-(ℓ-1/2)ξ2

∑

[

F1z =

D_ℓ

(2ℓ + 1) C_ℓ -

(C_ℓ)₁₁ = τ₁ [- sh ξ₁ + (2ℓ + 1) ch ξ₁] e-(ℓ+1/2)ξ1 ,

ℓ=0

]

(C_ℓ)₁₂ = [-τ₁ sh ξ₁ + (2ℓ + 1) ch ξ₁] e(ℓ+1/2)ξ1 ,

- ℓCℓ-1 - (ℓ + 1)Cℓ+1

(17)

(11)

(C_ℓ)₂₁ = [-τ₂ sh ξ₂ + (2ℓ + 1) ch ξ₂] e(ℓ+1/2)ξ2 ,

Обратим внимание, что внешнее поле явно не входит

(C_ℓ)₂₂ = τ₂ [- sh ξ₂ + (2ℓ + 1) ch ξ₂] e-(ℓ+1/2)ξ2 ;

в выражение для определения силы, входит только

через коэффициенты разложения потенциала.

Далее рассмотрим сначала простые случаи.

B_ℓ =

(

)

2.2.1. Случай ε1 = ε2 = ε

(ℓ+3/2)ξ1

τ₁e-(ℓ+3/2)ξ1 e

= -(ℓ+1) ×

(12)

В этом случае τ₁ = τ₂ = 0 и из (15), (16) вытека-

e(ℓ+3/2)ξ2

τ₂e-(ℓ|3/2)ξ2

ют уравнения

√

- ℓe-ξ1Dℓ-1+ (2ℓ+1)chξ₁D_ℓ- (ℓ+1)eξ1Dℓ+1 =

(F_ℓ)₁ = 2

^{ 4πσ₁ -

√

ε+ε₁

}

4π

2a₁σ₁

sh ξ₁e-(2ℓ+1)ξ1 ,

(18)

- τ₁E0 [chξ₁ - (2ℓ + 1)shξ₁] e-(ℓ+1/2)ξ1,

(13)

√

(F_ℓ)₂ = 2

^{ 4πσ₂ +

− ℓe-ξ2Cℓ-1+(2ℓ+1)chξ₂C_ℓ- (ℓ+1)eξ2Cℓ+1 =

ε+ε₂

√

}

4π

2a₂σ₂

+ τ₂E0 [chξ₂ - (2ℓ + 1)shξ₂] e-(ℓ+1/2)ξ2.

sh ξ₂e-(2ℓ+1)ξ2 .

(19)

Решение уравнений (18) и (19) имеет вид

Здесь σ₁, σ₂ — плотности свободных зарядов на по-

√

верхностях частиц: σ_i = q_i/4πa2i, i = 1, 2; величины

4π

2a₂σ₂

τ₁ и τ₂ определены соотношениями

C_ℓ =

e-(2ℓ+1)ξ2 ,

√

(20)

4π

ε₁ - ε

ε₂ - ε

1σ1

τ₁ =

τ₂ =

(14)

D_ℓ =

e-(2ℓ+1)ξ1 .

ε₁ + ε

ε₂ + ε

Суммы, входящие в выражение для силы (17) с

Далее для упрощения выкладок рассмотрим случай

коэффициентами (20), легко находятся и для силы

без внешнего электрического поля, учет которого

взаимодействия имеем

не сильно изменит следующие ниже выкладки. В

этом случае система уравнений (9) принимает вид

1 q₁q₂

shξ₁ shξ₂

F1z =

(21)

(ℓ = 0, 1, . . . , ∞)

ε a₁a₂ sh2 (ξ₁ + ξ₂)

694

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Электростатическое взаимодействие. . .

Используя следующие соотношения, связывающие

Решение уравнения (25) будем искать в виде

бисферические координаты с радиусами частиц и

D_ℓ = α exp{- (2ℓ + 1)ξ₁}, где α — независящая от

расстояниями между их центрами (см. [27, 28]):

ℓ величина. В итоге получаем решение, совпадаю-

z₁

z₂

щее со вторым выражением (20). Соответственно, в

ch ξ₁ =

ch ξ₂ =

shξ₁ =

a₁

a₂

a₁

случае ε₂ = ε на больших расстояниях сила опреде-

ляется выражением (21), что говорит о выходе силы

shξ₂ =

a₂

на больших расстояниях на кулоновскую асимпто-

(22)

тику.

sh(ξ₁ + ξ₂) =

shξ₁ =

shξ₂,

a₂

a₁

z₁ + z₂ = R,

2.2.3. Общий случай ε2 = ε, ε1 = ε

из (21) легко получается закон Кулона:

q₁q₂

Из решения (20) видно, что множителями при

FC =

(23)

εR

τ1 и τ2 в конце уравнений (15) и (16) при срав-

нимых радиусах частиц и, соответственно, сравни-

2.2.2. Случай ε2 = ε

мых ξ₁ и ξ₂ при достаточно больших ℓ

> ℓ

min

В этом случае только τ₂ = 0 и из уравнения (16)

можно пренебречь, поскольку они убывают как

для C_ℓ получаем уравнение (19), решением которо-

exp{-(2ℓ + 1)(ξ₁ + ξ₂)} и решение при больших

го является первое выражение (20). Подставим это

ℓ > ℓ_min будет тем же самым. В работе [5] система

решение в уравнение (15) и для D_ℓ получим уравне-

уравнений (15), (16) решалась методом матричной

ние

прогонки с использованием нулевых значений коэф-

в качестве граничных значений

фициентов C_ℓ и D_ℓ

- ℓe-ξ1Dℓ-1 + [-τ₁ shξ₁ + (2ℓ + 1)chξ₁] D_ℓ -

при ℓ = ℓ_min, что, как видно из (20), оправдано при

√

2q₁

сравнимых радиусах частиц. Отметим, что нулевые

- (ℓ + 1) eξ1Dℓ+1 =

sh ξ₁e-(2ℓ+1)ξ1 -

a₁ (ε + ε₁)

граничные значения можно использовать при доста-

√

[

точно больших ℓ ≳ ℓ_max, где число ℓ_max определено

2q₂

τ₁e-(2ℓ+1)(ξ1+ξ2)

ℓeξ1+2ξ2 +

соотношением

a₂ (ε + ε₂)

]

(

)

+ shξ₁ - (2ℓ + 1)chξ₁ - (ℓ + 1)e-(ξ1+2ξ2)

(24)

ℓ_max ≈ -

ξ_min = min{ξ₁, ξ₂}.

(27)

Это уравнение при достаточно больших ℓ > ℓ_min

ξ_min

приобретает следующий вид:

Для упомянутых выше радиусов малого шара a₂ =

ℓe-ξ1 Dℓ-1 + [-τ₁ shξ₁ + (2ℓ + 1) chξ₁] D_ℓ -

= 100 нм и большого a₁ = 10⁴a₂ при L = 0.1 нм и

√

2q₁

δ = 10-31 из (27) находим, что ℓ_max

≈ 7.98 · 10⁶, в

- (ℓ + 1) eξ1Dℓ+1 =

sh ξ₁e-(2ℓ+1)ξ1 .

(25)

то время как (26) дает на четыре порядка меньшее

a₁ (ε + ε₁)

число: ℓ_min ≈ 798.

Значение ℓ_min определяет точность вычисления си-

В настоящей работе решение системы уравнений

лы взаимодействия. В настоящей работе значение

для коэффициентов разложения методом матрич-

ℓ_min определялось из выражения

ной прогонки проводилось со значениями коэффи-

ln δ

ℓ_min ≈ -

(26)

циентов C_ℓ и D_ℓ при ℓ = ℓ_min, задаваемых выраже-

2 ξ₁ +ξ₂

ниями (20). В случае сильно различающихся ради-

В расчетах задавалось δ = 10-31, следовательно, от-

усов частиц при малых расстояниях между поверх-

брасываемые члены в выражении (24) будут величи-

ностями частиц, как уже отмечалось во Введении,

нами именно такого порядка или меньше. При этом

координата поверхности большей частицы оказыва-

точность вычисления силы будет не такой высокой,

ется малой величиной и коэффициенты разложения,

но число учитываемых членов разложения потенци-

«связанные» с ней, медленно убывают. Поэтому за-

ала в расчетах будет достаточной, чтобы при сумми-

дание нулевого граничного значения при ℓ = ℓ_min

ровании ряда для определения силы получить хоро-

для него приводит к значительной ошибке в опре-

шую точность до 11-13 знаков. Конечно, такая вы-

делении силы, а при задании граничного значения

сокая точность обычно не требуется, но для сравне-

D_ℓ при ℓ = ℓ_max блочно-диагональная система ста-

ния точности вычисления силы разными методами и

новится чрезвычайно большой и появляются слож-

в различных приближениях она бывает необходима.

ности при ее точном решении.

695

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

2.3. Переход к пределу a₁ → ∞

Найдем решение уравнения (32) для больших ℓ,

когда становятся пренебрежимо малыми β_ℓ и ими

Из определения координат поверхностей частиц

можно пренебречь. Решение будем искать в виде

в бисферической системе координат (6) следует, что

C_ℓ = (α + βℓ)e-(2ℓ+1)ξ2 ,

lim

ξ₁ = 0,

lim

ch ξ₂ = 1 +

(28)

где α и β — независящие от ℓ величины. В итоге

a1→∞

a₂

находим следующее решение уравнения (32):

При этом произведение a₁ sh ξ₁ = a₂ sh ξ₂ ≡ a остает-

{_√

}

ся конечной величиной, что учитывается в выклад-

2q₂

ε₂-ε

[

]

C_ℓ =

+α₂

(2ℓ+1)shξ₂- chξ₂

ках ниже.

εa₂

2ε+ε₂

При выполнении условия ℓ > ℓ_min решением

×e-(2ℓ+1)ξ2.

(34)

уравнений (15) и (16) будет (20). Из первого выраже-

ния (20) в пределе a₁ → ∞ для D_ℓ можно получить

Появление дополнительного члена в выражении

√

(34) по сравнению с (20) связано с тем, что при a₁ ≫

4π

[

]

≫ a₂ величина exp{-2(ℓ+1)ξ₁} практически не убы-

D0ℓ = lim

D_ℓ =

σ₁

a₁ - (2ℓ + 1)a

(29)

a1→∞

вает (в пределе a₁ → ∞, который мы здесь рассмат-

риваем, она равна единице).

Поэтому введем новые коэффициенты

Отметим, что в рассматриваем случае сила через

d_ℓ = D_ℓ - D0ℓ,

(30)

коэффициенты d_ℓ определяется выражением

∑

[

подставим в уравнение (15) и после несложных пре-

F_z∞ = C_ℓ

-ℓdℓ-1 + (2ℓ + 1)d_ℓ -

образований в пределе a₁ → ∞ найдем, что

ℓ=0

]

- (ℓ + 1) dℓ+1 + α₂ sh ξ₂

(35)

- ℓdℓ-1 + (2ℓ + 1) d_ℓ - (ℓ + 1)dℓ+1 =

Используя приближенное решение (34), из (35) на-

= τ1 [ℓCℓ-1 - (2ℓ + 1)C_ℓ + (ℓ + 1)Cℓ+1].

(31)

ходим

Из (31) следует, что коэффициенты τ₁C_ℓ и d_ℓ раз-

4πσ₁q₂

ε₁ - ε

^[q²²

личаются только на постоянную (не зависящую от

F^az∞ =

εa²²ch²ξ2 ε + ε1

ℓ) величину, которая из вида решений (20) при ℓ >

(

]

> ℓ_min должна быть положена равной нулю, поэто-

ε₂ - ε 2πq2σ1a22

ε₂ - ε

)₂ 6π²σ²¹a⁴²

−

(36)

му имеем равенство

2ε + ε₂

ch ξ₂

2ε + ε₂

ch²ξ2

Подставив вместо ch ξ₂ его значение (28), из (36) лег-

d_ℓ = -τ₁C_ℓ.

(32)

ко получим выражение

Подставим D_ℓ из (30) с решением (32) в уравне-

4πσ₁q₂

ε₁ - ε

q²²

ние (16):

F^az∞ =

ε + ε₁ (L + a₂)2 4ε

{

ε₁ - ε ε₂ - ε

2πσ₁a³²

- ℓe-ξ2 (1 - βℓ-1)Cℓ-1 +

(1 - τ₂) sh ξ₂ +

}

ε + ε₁ 2ε + ε₂ ε(L + a₂)³

+ (1 - β_ℓ)[(2ℓ + 1)chξ₂ - shξ₂]

C_ℓ -

[

]

ε₂ - ε 3πa32σ1

- (ℓ + 1) eξ2 (1 - βℓ+1) Cℓ+1 =

× q₂ -

(37)

{

2ε + ε₂ L + a₂

=e-(2ℓ+1)ξ2

α₁ shξ₂ + 2α₂τ₂ shξ₂ ×

}

Верхняя строка в этом выражении совпадает с вы-

× [(2ℓ + 1) sh ξ₂ - ch ξ₂]

(33)

ражением для силы взаимодействия точечного заря-

да с заряженной плоской границей (см. выражение

здесь введены обозначения

(4)), которое автоматически получается при ε₂ = ε.

√

q₂

А при ε₁

= ε остается только первый член вне зави-

β_ℓ = τ₁τ₂e-(2ℓ+1)ξ2 , α₁ =

ε+ε₂ a₂

симости от значения ε₂, поскольку в этом случае за-

√

ряд на поверхности диэлектрика не поляризуется и

4π

однородное распределение свободного заряда созда-

α₂ =

a₂σ₁.

ет однородное же электрическое поле. Под действи-

Мы получили для нахождения коэффициентов си-

ем этого поля на второй частице наводится диполь-

стему с трехдиагональной матрицей, которая может

ный момент, сила взаимодействия которого с одно-

быть успешно решена методом простой прогонки.

родным полем равна нулю.

696

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Электростатическое взаимодействие. . .

Рис. 3. Зависимости силы взаимодействия частиц от рас-

стояния между их поверхностями при ε1 = ε2 = 4. Кривая

1 — из (17) при a1 = 10⁴a2, 2 — сила взаимодействия то-

чечных зарядов (23), 3 — из (35) при a1 = ∞, 4 — сила

взаимодействия точечного заряда с плоской заряженной

границей диэлектриков из (4), 5 — сила взаимодействия

точечного заряда с шаром (1), 6 — из (17) при a1 = 10⁴a2

и Cℓmin

= Dℓmin = 0, 7 — из (17) при a1 = 10⁴a2 и

Cℓmin = 0, Dℓmin из (20)

В таблице приведены значения силы взаимодей-

ствия частиц при L = 0.1 нм, а на рис. 2 и 3 — зави-

симости силы взаимодействия от расстояния между

поверхностями частиц, рассчитанные для различ-

ных параметров и в различных приближениях. Из

Рис. 2. Зависимости силы взаимодействия частиц от рас-

стояния между их поверхностями: a) ε1 = 1, ε2 = 4,

первого ряда таблицы видно, что конечный размер

б) ε1 = 4, ε2 = 1. Кривая 1 — из (17) при a1 = 10⁴a2, 2 —

второй частицы (или учет ее поляризуемости) ока-

сила взаимодействия точечных зарядов (23), 3 — из (35)

зывает заметное влияние на силу взаимодействия

при a1 = ∞, 4 — сила взаимодействия точечного заряда с

(отличие значений как F1z и F_ps друг от друга, так

плоской заряженной границей диэлектриков (4), 5 — сила

и F_z∞ и F_pp составляет почти 8%). В то же вре-

взаимодействия точечного заряда с шаром (1)

мя различие между F1z при a₁ = 10⁴a₂ и F_z∞ при

a₁ = ∞ проявляется только в третьем знаке после

десятичной точки и относительное их отличие со-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И

ставляет величину порядка 0.03 %. Такого же поряд-

ОБСУЖДЕНИЕ

ка относительное отличие имеет место для сил вза-

имодействия точечного заряда со сферой радиусом

Основные расчеты в настоящей работе проведе-

a₁ = 1 мм и точечного заряда с плоской границей

ны для следующих параметров: радиус малой час-

диэлектриков. Это отличие связано с тем, что для

тицы a₂ = 100 нм, радиус крупной — a₁ = 10⁴a₂, для

двух шаров основной составляющей силы является

крупной частицы задается однородная плотность

кулоновская зависимость (23), а при a₁ = ∞ вели-

поверхностного свободного заряда σ₁ = 10-3e/нм²

чина

(при такой плотности свободного заряда при a₁ = a₂

4πσ₁q₂

F_C∞ =

(38)

заряд первой частицы будет q₁ ≈ 125.6e), заряд ма-

лой частицы q₂ = 100e, их диэлектрические про-

Сила Кулона при ε₁ = ε₂ = 4 для двух шаров при

ницаемости, если не оговорено иное, ε₁ = ε₂ = 4,

a₁ = 10a₂ составляет F_C = 2.89857829708 · 10-10 Н,

диэлектрическая проницаемость среды (вакуума)

а для сферы и плоской границы

— F_C∞

ε = 1, расстояние между поверхностями частиц ме-

= 2.89915862150 · 10-10 Н. Отличие между ними

нялась от 0.1 нм до 1 см.

при L ≪ a₂ составляет величину порядка

697

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Таблица. Сила взаимодействия частиц (в 10-10 Н) при L = 0.1 нм, a2 = 100 нм, вычисленная с ℓmin = 1081

a₁ = 1 мм

a₁ = ∞

F1z из (17)

F_ps из (1)

F_z∞ из (35)

F_pp из (4)

ε₁ = 4, ε₂ = 4

2.77719582129

2.55322165285

2.77812264405

2.55378813877

C_ℓ = D_ℓ = 0 при ℓ = ℓ_min

0.23691354841

C_ℓ = 0 при ℓ = ℓ_min

2.77719582129

ε₁ = 1, ε₂ = 4

2.89821402039

2.89818502941

2.89915862150

ε₁ = 4, ε₂ = 1

2.55322151314

2.55322165285

2.55378813877

ε₁ = ε₂ = 1

2.89857815821

2.89857829708

2.89915862150

)₂

F_C∞

⁽L+a₁ +a₂

2a₂

ствия. Отметим, что при сравнимых радиусах час-

≈1+

F_C

a₁

тиц, как было показано в работе [5], этот метод ока-

зывается значительно точнее.

т. е. отличие составляет 0.02 %.

При увеличении расстояния между поверхностя-

При задании нулевых значений для коэффици-

ми частиц L отмеченные в таблице особенности со-

ентов разложения потенциала Cℓ = Dℓ = 0 при

храняются, что хорошо видно из рис. 2 и 3. Из

ℓ = ℓmin, как видно из таблицы, сила взаимодей-

рис. 2a видно, что при ε₁ = ε в случае a₁ = ∞ сила

ствия оказывается на порядок меньше, чем при за-

взаимодействия остается постоянной при всех L, а

дании асимптотических значений этих коэффици-

при a₁ = 10⁴a₂ на всех расстояниях совпадает с ку-

ентов из (20). В то же время, если задавать нуле-

лоновской зависимостью. При ε₂ = ε на малых рас-

вое значение только для C_ℓ, то для силы взаимодей-

стояниях значения силы как при a₁ = ∞, так и при

ствия получается не отличающаяся в 11 десятичных

a₁ = 10⁴a₂ оказываются близкими и заметно отлич-

знаках величина.

ными от кулоновской силы. При больших L, L ≫ a₂,

При задании ε₁ = 1 первая частица (или плос-

сила F_z∞ принимает постоянное значение, так как

кая граница) не поляризуется, поэтому она высту-

эффект от поляризации поверхностного заряда на

пает как точечная частица (или только создает од-

плоской границе точечным зарядом становится пре-

нородное электрическое поле). В этом случае учет

небрежимо малым, а сила F1z при L ≫ a₂ выходит

размера второй частицы при a₁ = 10⁴a₂ приводит к

на кулоновскую асимптотику по той же причине.

незначительному изменению силы взаимодействия

(в четвертом знаке после десятичной точки), при-

Из рис. 3 видно, что учет поляризации обеих

чем сила оказывается больше при a₂ = 0. В то же

частиц приводит к отличию значений силы от си-

лы взаимодействия в случае, когда одна из частиц

время при a₁ = ∞ значения силы совпадают в обо-

их случаях: как при конечном a₂, так и при точеч-

является точечным зарядом. Это отличие по мере

увеличения L постепенно уменьшается и становится

ном заряде a₂ = 0, причина чего отмечалась в конце

разд. 2.3.

пренебрежимо малым при L ≫ a₂. На больших рас-

В случае ε₂ = 1 вторая частица выступает как

стояниях сила взаимодействия хорошо описывается

точечная частица в том смысле, что распределение

выражением (1) в случае конечного радиуса a₁ и вы-

поля вне второй частицы точно совпадает с полем

ражением (4) в случае плоской границы. Из рис. 3

точечного заряда q₂, помещенного в ее центр. В этом

видно также, к какой ошибке приводит решение сис-

случае должны совпадать значения силы как при

темы (15), (16) с нулевыми значениями коэффици-

a₁ = 10⁴a₂, рассчитанные из (1) и (17), так и при

ентов разложения потенциала при ℓ = ℓ_min.

a1 = ∞, рассчитанные из (4) и (35). Из таблицы

На рис. 4 проводится сравнение решений систе-

видно, что значения силы совпадают с высокой точ-

мы (15), (16) методом матричной прогонки при раз-

ностью при a₁ = ∞, а при a₁ = 10⁴a₂ отличие по-

личных радиусах большей частицы и уравнения (33)

является в седьмом знаке после десятичной точки,

методом простой прогонки при ε₁

= ε₂ = 4 и

что позволяет судить о точности решения блочно-

ε1 = ε2 = 80. Видно, что различие этих решений

диагональной системы (15), (16) методом матричной

на малых расстояниях становится заметным при

прогонки и точности вычисления силы взаимодей-

a₁ = 100a₂ и отклонения растут по мере уменьшения

698

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Электростатическое взаимодействие. . .

Рис. 4. Сила взаимодействия как функция расстояния

между поверхностями частиц L при следующих парамет-

рах: а) ε1 = ε2 = 4, б) ε1 = ε2 = 80; кривая 1 — a1 = 10⁴a2,

2 — a1 = 10³a2, 3 — a1 = 10²a2, 4 — a1 = 10a2, 5 —

a1 = a2, 6 — a1 = ∞ из (35)

радиуса большей частицы. На больших расстояни-

ях сила взаимодействия частицы с плоской границей

медленнее убывает и, как видно из рис. 4, переходит

в решение (4) на расстояниях L ∼ a₂. Следователь-

но, можно сделать вывод, что для получения хоро-

шей точности для силы взаимодействия заряженно-

го шара с плоской заряженной границей задачу о

взаимодействии двух шаров необходимо решать при

a₁ ≳ 10³a₂ и расстояниях L ≲ a₂. Отметим, что при

Рис. 5. Сила взаимодействия как функция расстояния

ε₁ = ε₂ = 80 переход от отталкивания на больших

между поверхностями частиц L при следующих парамет-

расстояниях к притяжению на малых для рассмот-

рах: а) ε1 = ε2 = 16, б) ε1 = ε2 = 32, в) ε1 = ε2 = 64; кри-

вая 1 — из (17) при a1 = 10⁴a2, 2 — сила взаимодействия

ренных здесь зарядов не наблюдается только при

точечных зарядов (23), 3 — из (35) при a1 = ∞, 4 — сила

a₁ = a₂, а при ε₁ = ε₂ = 4 этот переход вообще не

взаимодействия точечного заряда с плоской заряженной

имеет места.

границей диэлектриков из (4), 5 — сила взаимодействия

На рис. 5 проводится сравнение численных реше-

точечного заряда с шаром (1)

ний друг с другом и с аналитическими формулами

(1) и (4) при трех значениях диэлектрической про-

699

А. В. Филиппов

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

циала в бисферической системе координат для

больших номеров мультипольного момента. Вы-

полнен переход к бесконечному радиусу одного из

шаров и впервые найдено аналитическое решение

данной задачи. Найденное решение позволяет с вы-

сокой точностью рассчитать силу взаимодействия

заряженной диэлектрической частицы сфериче-

ской формы с частицей значительно большего

радиуса или с плоской границей диэлектриков при

расстояниях между их поверхностями в области

0.1-1 нм, в которой силы электростатического и

ван-дер-ваальсова взаимодействия сравнимы друг с

другом.

Рис. 6. Поправка к кулоновской силе как функция рассто-

Финансирование. Настоящая работа выпол-

яния между поверхностями частиц L: сплошные кривые —

нена при финансовой поддержке Министерства

a1 = ∞, штриховые — a1 = 10⁴a2, 1 — ε1 = ε2 = 2, 2 —

науки и высшего образования РФ (соглашение

ε1 = ε2 = 4, 3 — ε1 = ε2 = 8, 4 — ε1 = ε2 = 32, 5 —

№075-15-2020-785).

ε1 = ε2 = 256

ЛИТЕРАТУРА

ницаемости материала частиц. Видно хорошее со-

гласие сил F1z и F_z∞ и все возрастающее с ростом

R. W. Home, British J. Hist. Sci. 16(3), 239 (1983).

диэлектрической проницаемости отличие их от F_ps

J. R. Hoffman and A.-M. Ampére, Poisson’s 1812

и F_pp. При этом интересно отметить хорошее совпа-

Electricity Memoir, Cambridge Univ. Press (1995),

дение F_ps и F_pp при ε₁ = ε₂ > 16. Это связано с тем,

pp. 113-118.

что при больших ε₁ величина f_n в выражении (3),

которая определяет поправку δf_ps, стремится к ну-

W. Thomson, Reprint of Papers on Electrostatics

and Magnetism, Macmillan, London, UK (1884),

лю. Из рис. 5 видно, что при ε₁ = ε₂ = 32 происходит

pp. 86-97.

переход от отталкивания к притяжению на малых

расстояниях, при ε₁ = ε₂ = 64 этот переход проис-

J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magne-

ходит на больших расстояниях, а при ε₁ = ε₂ = 16

tism, Clarendon Press, Oxford, UK (1891).

он не имеет места.

В. Р. Муниров, А. В. Филиппов, ЖЭТФ 144, 931

На рис. 6 проводится сравнение поправки к ку-

(2013).

лоновской силе, в качестве которой при a₁ = ∞ вы-

ступает величина F_C∞ -F_z∞, а при a₁ = 10⁴a₂ — ве-

E. B. Lindgren, H. K. Chan, A. J. Stace, and E. Bes-

личина F_C - F1z. Видно, что эти величины при всех

ley, Phys. Chem. Chem. Phys. 18, 5883 (2016).

рассмотренных значениях диэлектрической прони-

A. Khachatourian, H.-K. Chan, A. J. Stace, and

цаемости материала частиц на малых расстояни-

E. Bichoutskaia, J. Chem. Phys. 140, 074107 (2014).

ях до L ∼ a₂ практически сливаются. На боль-

ших расстояниях эти поправки зависят от отноше-

A. V. Filippov, X. Chen, C. Harris, A. J. Stace, and

ния (ε₁ - ε) / (ε₁ + ε) и отличие кривых по мере ро-

E. Besley, J. Chem. Phys. 151, 154113 (2019).

ста ε₁ становится все меньше и меньше. Также от-

M. Majic, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 276,

метим, что поправка на всех расстояниях положи-

107945 (2021).

тельна, следовательно, сила взаимодействия всегда

меньше, чем F_C∞ или F_C в случае конечного ради-

10.

J. Baptiste, C. Williamson, J. Fox, A. J. Stace,

M. Hassan, S. Braun, and E. Besley, Atmosph. Chem.

уса большой частицы.

Phys. 21, 8735 (2021).

11.

A. T. Pérez and R. Fernández-Mateo, J. Electrosta-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

tics 112, 103601 (2021).

В настоящей работе найдены ряд аналитических

12.

Y. Nakajima and T. Sato, J. Electrostatics 45, 213

решений для коэффициентов разложения потен-

(1999).

700

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Электростатическое взаимодействие. . .

13. E. Bichoutskaia, A. L. Boatwright, A. Khachatourian,

21. M. C. Stevenson, S. P. Beaudoin, and D. S. Corti, J.

and A. J. Stace, J. Chem. Phys. 133, 024105 (2010).

Phys. Chem. C 125, 20003 (2021).

14. T. B. Jones and T. B. Jones, Electromechanics of

22. H. Zhou, M. Götzinger, and W. Peukert, Powder

Particles, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2005).

Technology 135-136, 82 (2003).

15. A. Castellanos, Adv. Phys. 54(4), 263 (2005).

23. Y. Gao, E. Tian, and J. Mo, ACS EST Engg. 1, 1449

(2021).

16. X. Meng, J. Zhu, and J. Zhang, J. Phys. D 42, 065201

(2009).

24. В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин, Сборник задач по

электродинамике, Наука, Москва (1970).

17. B. Gady, D. Schleef, R. Reifenberger, D. Rimai, and

25. В. Смайт, Электростатика и электродинамика,

L. P. DeMejo, Phys. Rev. B 53, 8065 (1996).

Изд-во иностр. лит., Москва (1954) [W. R. Smythe,

18. B. Gady, R. Reifenberger, D. S. Rimai, and L. P. De-

Static and Dynamic Electricity, Taylor and Francis,

Mejo, Langmuir 13, 2533 (1997).

New York-Toronto-London (1950)].

26. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical

19. Y. Liu, C. Song, G. Lv, N. Chen, H. Zhou, and

Physics, McGraw Hill, New York (1953).

X. Jing, Appl. Surf. Sci. 433, 450 (2018).

27. А. В. Филиппов, ЖЭТФ 136, 601 (2009).

20. M. C. Stevenson, S. P. Beaudoin, and D. S. Corti, J.

Phys. Chem. C 124, 3014 (2020).

28. A. V. Filippov, Contrib. Plasma Phys. 49, 433 (2009).

701