ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 657-667

ЛАЗЕРНАЯ НАКАЧКА ЩЕЛОЧНЫХ АТОМОВ В

УСЛОВИЯХ СОХРАНЕНИЯ СПИНОВОГО СОСТОЯНИЯ ЯДРА

ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ В ГАЗОВОЙ ЯЧЕЙКЕ

К. А. Баранцевa*, А. Н. Литвинов^a, А. С. Пазгалёв^b, А. К. Вершовский^b

^a Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

195251, Санкт-Петербург, Россия

^b Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 16 сентября 2021 г.,

после переработки 6 декабря 2021 г.

Принята к публикации 6 декабря 2021 г.

Исследуется поляризация полного момента щелочных атомов в газовой ячейке с буферным газом при

накачке одночастотным циркулярно поляризованным лазерным излучением. В математической модели

учитывается движение атомов и столкновения, сохраняющие спин ядра при хаотизации момента внеш-

ней электронной оболочки, полная сверхтонкая и зеемановская структуры. Анализируются стационарное

решение уравнений для матрицы плотности щелочных атомов и влияние на него доли неупругих столк-

новений, при которых происходит тушение атомного возбуждения. Исследуется вклад различных сверх-

тонких состояний в поляризацию щелочных атомов. Проводится сравнение результатов с результатами

модели мгновенного перемешивания населенностей в возбужденном состоянии.

DOI: 10.31857/S0044451022050042

сти, для задач биологии и медицины основным тре-

EDN: DSLCKC

бованием является сочетание высокой чувствитель-

ности и пространственного разрешения. До недавне-

1. ВВЕДЕНИЕ

го времени этому требованию удовлетворяли толь-

ко сверхпроводящие интерференционные датчики

Магнитометрия, в первую очередь квантовая,

SQUID. Однако подобные магнитометры имеют су-

является одним из наиболее прецизионных разде-

щественный недостаток — это необходимость под-

лов современной физической метрологии. Измере-

держивать низкие температуры (единицы кельви-

ние магнитного поля имеет широкое применение в

нов) во время их работы. Поэтому используемые

таких областях, как геомагнетизм и геофизика [1-5],

для задач магнитоэнцефалографии массивы датчи-

картрирование магнитного поля Земли [6], физика

ков SQUID являются крупногабаритными и дорого-

космоса [7,8], магнитокардиография и магнитоэнце-

стоящими, а также лишены мобильности.

фалография [9-11], проверка границ применимости

фундаментальных физических законов [12,13], оке-

Оптическая накачка щелочных атомов позво-

анография [14], дистанционное отслеживание дви-

ляет получить неравновесную поляризацию спинов

(ориентацию или выстраивание) в атомарном газе.

жущихся магнитных микро- и наночастиц [15], в

задачах гироскопии и навигации [16-18]. Каждая

Если на ансамбль ориентированных спинов воздей-

ствовать резонансным радиочастотным полем, то

из перечисленных выше задач требует применения

средств измерения магнитного поля, характеризую-

это приведет к изменению оптических свойств ато-

щихся определенным сочетанием чувствительности,

марной среды, причем резонансная частота опреде-

точности, быстродействия и пространственного раз-

ляется величиной локального магнитного поля. На

решения. С этим связано разнообразие применяе-

этом принципе работают оптические квантовые маг-

мых в магнитометрии средств и методов. В частно-

нитометры [19-24]. Более четверти века назад был

сделан большой шаг вперед по повышению чувстви-

^* E-mail: kostmann@yandex.ru

тельности таких магнитометров, в результате че-

657

ЖЭТФ, вып. 5

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв, А. К. Вершовский

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

го она оказалась сопоставима с чувствительностью

том числе в ячейках без буферного газа) и со стен-

SQUID-магнитометров. При этом квантовые опти-

ками ячейки. Так, в работе [30] авторами изучался

ческие магнитометры имеют существенное преиму-

механизм оптической ориентации в парах атомов це-

щество — они не требуют низких (гелиевых) тем-

зия на D₂-линии при комнатной температуре в пара-

ператур, а могут эксплуатироваться при температу-

финовой ячейке. Оптическая ориентация исследова-

рах порядка комнатных. Кроме того, объем чувстви-

лась, когда имели место оптическая накачка, нели-

тельного элемента оптического магнитометра может

нейная спиновая динамика и спин-обменные столк-

варьироваться (в зависимости от задачи) от деся-

новения. Анализ процессов оптической накачки в

тых долей до тысяч кубических сантиметров. Бла-

атомах Cs на D₁-линии при наличии спин-обменной

годаря этим особенностям, оптическим квантовым

релаксации проведен в работе [31].

магнитометрам отводится особая роль в квантовой

Теоретическое исследование светового сдвига в

магнитометрии. Спектр их применений в последнее

атомах Cs при наличии релаксации, вызванной

время непрерывно расширяется.

столкновениями активных атомов и буферных, а

В работе [25] исследован магнитометр на атомах

также активных между собой проведено в рабо-

Cs с оптической накачкой в миниатюрной ячейке,

те [32].

содержащей буферный газ N₂. Применение мето-

При оптической накачке проявляются и другие

да, основанного на разделении фаз накачки и де-

особенности [33,34], а именно, при столкновении ак-

тектирования по времени, позволяет анализировать

тивных атомов в возбужденном состоянии с атома-

свободную ларморовскую прецессию. Авторы ра-

ми буферного газа электронный спин разрушается,

боты [26] представили схему двухосевого магнито-

а ядерный спин может сохраняться. Этот факт су-

метра Ханле, использующего однопроходную схему,

щественным образом влияет на достижение макси-

где лучи накачки и детектирования находятся под

мальной поляризации атомов. Таким образом, ис-

небольшим углом друг к другу. Магнитометр с опти-

следования оптической накачки щелочных атомов

ческой накачкой, работающий в режиме “light-shift

представляют прикладной интерес в области магни-

dispersed M_z”, представлен в работе [27]. Здесь авто-

тометрии и позволяют глубже понять физику про-

рам удалось при объеме магнитометра 50 мм³ по-

цессов на фундаментальном уровне.

лучить разрешение не хуже 10 фТл/Гц1/2. В ра-

В настоящей работе мы развиваем теорию оп-

боте [28] представлен компактный векторный атом-

тической накачки щелочных атомов. Мы учитыва-

ный магнитометр на основе эллиптически поляри-

ем движение щелочных атомов, наличие сверхтон-

зованного света. Авторам удалось достичь чувстви-

кой и зеемановской структур как основного, так и

тельности магнитного поля 20 фТл/Гц1/2 по оси x,

возбужденного состояний. При этом главным отли-

25 фТл/Гц1/2 по оси y и 30 фТл/Гц1/2 по оси z при

чием данной работы от [35] является подход, в ко-

использовании миниатюрной ячейки (4 × 4 × 4 мм³)

тором учитывается разрыв связи электрона с яд-

с парами⁸⁷Rb. В работе [29] сообщается о практи-

ром во время столкновения, что существенно вли-

ческом подходе к измерению векторного биомагне-

яет на стационарное распределение населенностей

тизма с помощью атомного магнитометра с опти-

и поляризацию щелочных атомов. В работе проана-

ческой накачкой. В работе экспериментально про-

лизированы стационарное распределение населенно-

демонстрирована возможность применения такого

стей, формирующее поляризацию полного момен-

магнитометра в магнитокардиографии и показано,

та на различных сверхтонких подуровнях, а также

что такой подход способен предоставить более пол-

влияние на поляризацию доли неупругих столкнове-

ную информацию.

ний, при которых происходит безызлучательное ту-

Одна из основных характеристик, определяю-

шение возбуждения щелочных атомов.

щих чувствительность оптических квантовых маг-

нитометров, — это степень поляризации атомов, ко-

торая может быть достигнута при оптической на-

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

качке щелочных атомов. Чем выше удастся создать

поляризацию атомов, тем большей чувствительно-

Рассмотрим атом щелочного металла в поле

сти магнитометра можно добиться при прочих рав-

плоской монохроматической волны, распространя-

ных параметрах. На степень поляризации влия-

ющейся вдоль оси z. Вектор напряженности элект-

ют следующие процессы: взаимодействие щелочных

рического поля волны есть

атомов с лазерным излучением, столкновения ще-

лочных атомов с буферным газом, между собой (в

E(z, t) = e_pE₀e-i(ωt-kz) + c.c.,

(1)

658

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Лазерная накачка щелочных атомов...

где E₀ — комплексная амплитуда, e_p — орт поляри-

положим производную по координате в левой части

зации, ω и k — частота и волновое число. Квантовое

уравнения (2) равной нулю.

кинетическое уравнение для матрицы плотности в

Запишем квантовое кинетическое уравнение (2)

представлении Вигнера имеет вид [36]

для оптических когерентностей:

)

[

]

[

]

⁽∂

∇ ρ(p, r, t) = -

Ĥ, ρ(p,r,t) +

ρ_ge(v, t) = i(kv-δ_eg)-

-ν_opt

ρge(v, t) -

∂t

m_a

ℏ

∑

+ Rρ(p,r,t) + Sρ(p,r,t),

(2)

− iE∗0

D_g′_eρ_gg′ (v, t)+iE^∗

D_ge′ ρ_e′_e(v, t),

(5)

g^′

e′

где ρ(p, r, t) — атомная матрица плотности, p — им-

пульс, r — координата, m_a — масса атома, R — опе-

где D_eg = (d_eg · e_p)/ℏ — проекция матричного эле-

ратор, описывающий спонтанный распад возбуж-

мента оператора дипольного момента на орт поля-

денного состояния вследствие взаимодействия с ва-

ризации, δ_eg = ω - ω_eg — отстройка излучения от

куумным полем, S — столкновительный оператор,

перехода |e〉 ↔ |g〉, γ — скорость спонтанного распа-

описывающий изменение импульса, внутренние пе-

да возбужденного состояния, ν_opt — ударная ширина

реходы между сверхтонкими подуровнями и удар-

оптического перехода.

ное тушение возбуждения при столкновениях ато-

Сечение взаимодействия момента электронной

мов,

= Ĥ₀ +

— гамильтониан, являющийся

оболочки с моментом относительного движения

суммой оператора внутренней энергии атома в от-

сталкивающихся атомов велико по сравнению с

сутствие лазерного излучения,

сечением спин-обменного взаимодействия, поэтому

∑

распад оптических когерентностей при столкнове-

Ĥ₀ =

ϵ_n|n〉〈n|,

(3)

ниях происходит значительно чаще, чем распад низ-

кочастотных когерентностей. Тогда, в предположе-

учитывающего зеемановские сдвиги в постоянном

нии распада оптических когерентностей при каж-

магнитном поле, направленном вдоль оси z, где ϵ_n —

дом столкновении, в уравнении (5) приходный член

энергии атомных уровней, и оператора взаимодей-

интеграла столкновений будет отсутствовать.

ствия в дипольном приближении и приближении

Для интенсивностей, которые не превышают

вращающейся волны,

10 мВт/см², скорость распада возбужденного состо-

∑

V = -d · E = -E₀ (d_eg · e_p)e-i(ωt-kz) ×

яния, вследствие процессов столкновительного ту-

e,g

шения и спонтанного распада, превосходит скорость

его заселения под действием лазерного поля, поэто-

× |e〉〈g| + H.c.

(4)

, а распределение по

му можно положить ρ_ee ≪ ρ_gg

Здесь индекс «e» пробегает все зеемановские уров-

скоростям населенностей нижних уровней и низко-

ни сверхтонкой структуры возбужденного состоя-

частотных когерентностей максвелловским:

ния (P1/2 для D₁-линии и P3/2 для D₂-линии), а

«g» — все зеемановские уровни основного состоя-

ρ_gg(v) = M(v)ρ_gg, ρ_gg′ (v) = M(v)ρ_gg′ ,

(6)

ния; в качестве базиса выберем собственные состоя-

ния оператора

Ĥ₀, d_eg — матричные элементы опе-

где M(v)

= (√πvT )-1 exp(-v2/v2T ) — распреде-

ратора дипольного момента.

ление Максвелла по проекции скорости, v_T

√

Сведем задачу к одномерной, пользуясь прибли-

2k_BT/m_a — наиболее вероятная скорость.

жением плоского фронта волны и тем, что, ввиду

В этих предположениях проинтегрируем уравне-

ние (5) по скорости и перейдем к редуцированным

эффекта Доплера (без учета релятивистских эф-

∫_∞

фектов), матрица плотности зависит только от про-

элементам матрицы плотности ρ_αβ =

ρ_αβ(v)dv.

-∞

дольной проекции импульса, ρ(p, r, t) = ρ(v, z, t), где

Для этого выразим из уравнения (5) редуцирован-

v = p_z/m_a — компонента скорости вдоль оси z. Вы-

ные оптические когерентности в стационарном слу-

делим в недиагональных элементах матрицы плот-

чае:

ности (оптических когерентностях) быстроосцилли-

∞

∫

рующий множитель на частоте внешнего поля:

ρeg(v) dv =

ρ_ge(v, z, t) = ρ_ge(v, z, t)ei(ωt-kz).

-∞

∞

∫

Пренебрегая диффузионными неоднородностями

∑

M (v) dv

= -i

E₀

D_eg′ ρ_g′_g.

(7)

матрицы плотности у стенок ячейки и погло-

i(δ_eg - kv) - Γ

opt

-∞

g^′

щением поля в среде (оптически тонкая среда),

659

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв, А. К. Вершовский

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Интеграл по скорости может быть взят аналитичес-

где

— матрица вероятностей спонтанных пере-

ки:

ходов |e〉 → |g〉, элементы которой вычисляются как

∫∞

M (v) dv

P(γ)ge = (2F_g + 1)(2J_e + 1)×

W (δ_eg ) =

(

{

})₂

i(δ_eg - kv) - Γ_opt

-∞

J_g I F_g

× CFe,Me

(13)

Fg ,Mg ,1,q

√π

⁽δ_eg + iΓ_opt)

F_e

J_e

(8)

kv_T

Fe,Me

C_F

— коэффициенты Клебша - Гордана, F_α —

g,Mg,1,q

где w(x) = exp(-x²)erfc(x) — комплексная функ-

полный момент атома, M_α = -F_α, . . . , F_α — его про-

ция ошибок, Γ_opt = γ/2 + ν_opt — полная однородная

екция, q = M_e - M_g, J_α — момент электронной обо-

ширина оптического перехода. Вещественная часть

лочки, I — спин ядра, α = g, e — индекс, нумерую-

выражения (8) описывает форму линии поглощения

щий все магнитные уровни сверхтонкой структуры

на конкретном переходе |e〉 ↔ |g〉, которая представ-

соответственно основного и возбужденного состоя-

ляет собой контур Фойгта, имеющий доплеровскую

ний, фигурными скобками обозначен 6j-символ.

(порядка kv_T ) и однородную (порядка Γ_opt) шири-

Рассмотрим подробнее процессы, происходящие

ны.

при столкновении щелочных атомов с другими ще-

Теперь запишем стационарные уравнения для

лочными атомами и буферным газом. Характерное

остальных редуцированных по скорости элементов

время взаимодействия пары сталкивающихся ато-

матрицы плотности, подставив в них найденные оп-

мов порядка 10-12 с, что значительно меньше, чем

тические когерентности (7):

время взаимодействия внешнего электрона атомов с

⎛

ядром как в основном, так и в возбужденном состоя-

∑

ниях (порядка 10-10 с, определяется частотой сверх-

0 = -|E₀|2

⎝D_egW^∗(δ_e′_g)

D_g′_e′ ρ_gg′ +

тонкого расщепления). Следовательно, при столк-

g^′

новении разрывается связь электрон-ядро, и эволю-

⎞

∑

ция состояния электрона происходит в основном под

+ D_ge′W (δ_eg) D_eg′ ρ_g′_g⎠ +

действием тонкого взаимодействия, связывающего

g^′

орбитальный момент со спином электрона [37]. Ес-

+ (iω_e′_e - γ - ν_Q)ρ_ee′ ,

(9)

ли второй атом является буферным, такое взаимо-

действие приводит к хаотизации проекции момента

электронной оболочки, поскольку буферный газ яв-

⎛

ляется «внешней средой» и его состояние не зависит

∑

0 = |E₀|2

⎝DgeW(δ_eg′) D_eg′′ ρ_g′′_g′ +

от состояния щелочных атомов. При этом состояние

g^′′

ядра практически не изменяется.

⎞

Если же вторым атомом является другой щелоч-

∑

ной атом, между ними происходит спин-обмен. Ис-

+ D_eg′W^∗(δ_eg) D_g′′_eρ_gg′′ ⎠ +

g^′′

ход столкновения определяется самим квантовым

состоянием пары щелочных атомов и должен опи-

+ (iω_g′_g - Γ_rf )ρ_gg′ ,

(10)

сываться двухчастичной матрицей плотности [38].

В пренебрежении квантовыми корреляциями между

⎛

⎞

различными щелочными атомами можно использо-

∑

вать одночастичное описание, однако уравнения для

0 = |E₀|2

⎝DgeW(δ_eg) D_eg′ρ_g′_g + c.c.⎠ -

одночастичной матрицы плотности при этом будут

g^′

∑

нелинейными. А именно, константа спин-обмена за-

- Γ(g)mix(ρ_gg - ρ^′gg) + ν_Qρ^′Qgg + γ

P(γ)geρ_ee,

(11)

висит от матрицы плотности атомов. Действитель-

но, если представить гипотетическую ситуацию, что

все щелочные атомы находятся в одном состоянии

⎛

⎞

(например, атомы⁸⁷Rb в основном состоянии с про-

∑

екцией полного момента 2), то спин-обмен прекра-

0 = -|E₀|2

⎝D_geW (δ_eg) D_eg′ ρ_g′_g+c.c.⎠ -

щается, что подтверждается экспериментом [39].

g^′

В данной работе мы ограничимся рассмотрением

- Γ(e)mix(ρ_ee - ρ^′ee) - (γ + ν_Q)ρ_ee,

(12)

случая, когда концентрация атомов щелочного ме-

660

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Лазерная накачка щелочных атомов...

талла мала по сравнению с концентрацией буферно-

Матрица

A унитарна и вещественна, т. е. выполня-

го газа, так что скорость релаксации определяется

ется

A-1 =

A⁺ =

A^T . Таким образом, преобразова-

исключительно столкновениями с буферными ато-

ния матрицы плотности из базиса полного момента

мами. Это позволяет нам пренебречь нелинейными

в электронно-ядерный базис и обратно имеют вид

процессами при столкновениях щелочь-щелочь.

ρNE =

A^T ,

ρ=

A^T ρ_NEAˆ.

(19)

В нашей модели мы будем рассматривать следу-

ющие процессы при столкновении с атомом буфер-

В выражении (16) в фигурных скобках стоит пря-

ного газа.

мое произведение электронной матрицы плотности

1. Упругие столкновения, приводящие к хаотиза-

ρ(0)E с хаотизированной проекцией электронного спи-

ции электронного момента при сохранени проекции

на и ядерной матрицы плотности ρ_N = Sp_E (ρ_NE ) с

спина ядра и орбитального квантового числа. Такие

сохраненной проекцией спина ядра.

столкновения приводят к перемешиванию населен-

Прямая подстановка выражения (16) в уравне-

ностей в основном (со скоростью Γ(g)mix) и возбуж-

ния (11), (12) нецелесообразна для численного ре-

денном (со скоростью Γ(e)mix) состояниях. При таком

шения системы уравнений для матрицы плотности.

столкновении обозначим изменение матрицы плот-

Поскольку в выражении (16) все операции линейны,

ности как

сам оператор Ξ также линеен. Его действие можно

ρ→ ρ^′.

(14)

свести к умножению на матрицу вероятностей пере-

2. Неупругие столкновения, приводящие к пере-

ходов, происходящих при столкновении. Для этого

ходу из возбужденного состояния в основное (со ско-

рассмотрим действие этого оператора на матрицы

ростью ν_Q) при хаотизации электронного момента и

вида

сохранении проекции спина ядра. Такие столкнове-

⎛

⎞

ния происходят, например, при использовании азота

⎟

или других молекулярных газов в качестве буфер-

Δ₁ =^⎝ 0

⎠,

ного газа. При столкновении щелочной атом совер-

⎛

⎞

(20)

шает безызлучательный переход с передачей энер-

гии на колебательно-вращательные степени свобо-

⎟

Δ₂ =^⎝ 0

⎠,...

ды молекулы азота. При таком столкновении имеем

следующее изменение матрицы плотности:

ρ→ ρ^′Q.

(15)

Для атома⁸⁷Rb матрица

Δ₁ соответствует нахож-

Выше в уравнении (10) Γ_rf = Γ(g)mix/2 — скорость

дению атома с единичной вероятностью на уровне

|F_g

= 1, M_g = -1〉. Нумерация состояний идет

разрушения низкочастотных когерентностей в ос-

новном состоянии вследствие описанных процессов.

по возрастанию проекции полного момента и снизу

вверх по энергии сверхтонких состояний. Действие

Преобразования (14), (15) можно записать как

действие оператора Ξ следующего вида:

оператора Ξ на матрицу

Δ₁ дает

{

(

)}

ρ′ = Ξ{ρ} =

A^T

ρ(0)E ⊗ Sp_E

A^T

(16)

Ξ{Δ1} =

⎛

√

⎞

где

A — матрица перехода из базиса полного момен-

5/16

3/16

⎜

⎟

та атома, имеющего базисные векторы |F_αM_α〉, в ба-

⎜

1/16

⎟

⎜

⎟

зис состояний электронной оболочки и ядра с базис-

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

(21)

ными векторами |m_αμ〉. Здесь m_α = -J_α, . . . , J_α —

⎜

3/8

⎟

⎜

⎟

проекция момента электрона, μ = -I, . . . , I — про-

√

⎜

⎟

⎝

3/16

⎠

екция момента ядра. Разложение векторов базиса

полного момента по векторам электронно-ядерного

базиса имеет вид [40]

Как видно из (21), при столкновении населенность

∑

|F_αM_α〉 =

(17)

распределяется по определенным уровням, а также

AFα,Mα;mα,μ|mαμ〉,

mα,μ

возникают атомные когерентности, которых не бы-

ло до столкновения. Выражение (21) иллюстриру-

где элементы матрицы

A — коэффициенты Клеб-

ет преобразование матрицы плотности одного ато-

,mα,I,μ

ма при единичном акте столкновения. Необходи-

(18)

мо помнить, что система квантовых кинетических

,mα

,I,μ

661

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв, А. К. Вершовский

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

уравнений (9)-(12) записана для матрицы плотнос-

столкновениях. В такой модели при столкновениях

ти, усредненной по большому числу столкновений

населенности стремятся к равномерному распреде-

[36], чтобы ее можно было считать непрерывно ме-

лению по уровням соответствующего мультиплета.

няющейся величиной. Различные столкновения при-

Поскольку элементы матрицы

P имеют смысл ве-

водят к независимым фазовым добавкам в атомных

роятностей переходов при столкновениях, достаточ-

когерентностях, поэтому усреднение по большому

но положить их одинаковыми. Так, при i, j ∈ [1, N_g]

числу столкновений приведет к обнулению атомных

положим P_ij = 1/N_g (перемешивание внизу), при

когерентностей. Поэтому столкновения приводят к

i, j ∈ [Ng + 1, Ng + Ne] положим Pij = 1/Ne (пере-

перераспределению населенностей и исчезновению

мешивание вверху), а для неупругих столкновений

когерентностей, наведенных электромагнитным по-

j ∈ [N_g + 1,N_g + N_e], i ∈ [1,N_g] возьмем P_ij = 1/N_g.

лем.

При разрушении как состояния спина ядра, так и

Введем матрицу столкновительных переходов

состояния электронной оболочки очевидно, что пе-

между состояниями |j〉 → |i〉:

ремешивание населенностей в возбужденном состо-

(

)

янии будет происходить быстрее, чем в случае со-

P_ij = Ξ{Δj}

(22)

хранения спина ядра. Поэтому во многих работах

(см., например, [35]) применяется еще более упро-

Диагональную часть матрицы плотности можно

щенная модель мгновенного перемешивания в воз-

разложить по матрицам

Δ_j:

бужденном состоянии. В этой модели при возбуж-

∑

дении атома происходит мгновенное равновероятное

ρ=

Δ_jρ_jj.

(23)

распределение населенности по верхнему мульти-

плету. При этом уже нет смысла учитывать верхние

уровни по отдельности, а в системе (9)-(12) мож-

Теперь, используя (22), (23) и линейность операто-

но оставить лишь суммарную населенность верхнего

ра Ξ, можно записать преобразование диагональных

мультиплета. В нашей модели, для перехода к мо-

элементов произвольной матрицы плотности:

дели мгновенного перемешивания, помимо замены

⎛ ⎧

⎫⎞

матрицы столкновений

P нужно положить одина-

⎨∑

⎬

∑

ρ^′ii = ⎝

j ρjj

⎠

= P_ijρ_jj.

(24)

ковыми вероятности переходов при спонтанном рас-

^Ξ⎩

⎭

паде, т. е. элементы

ge матрицы спонтанных пере-

ходов.

Таким образом, действие оператора столкновений

(16) на матрицу плотности свелось к линейной ком-

бинации ее диагональных элементов.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

При формировании матрицы

P используются

выражения (22) и (16), где в качестве электронной

Рассмотрим возбуждение D₁-линии атомов⁸⁷Rb

матрицы плотности с хаотизированным электрон-

узкополосным излучением σ⁺-поляризации в газо-

ным моментом, ρ(0)E, берется диагональная матрица

вой ячейке с буферным газом N₂. Далее будем ана-

с равномерно распределенной населенностью на ос-

лизировать решение стационарной системы уравне-

новном уровне при i, j ∈ [1, N_g], на возбужденном

ний для матрицы плотности (9)-(12) со столкнови-

уровне при i, j ∈ [Ng + 1, Ng + Ne], что соответ-

тельным преобразованием (24), а также в модели

ствует преобразованию (14) при упругих столкно-

мгновенного перемешивания, не учитывающей со-

вениях. Неупругие столкновения (15) описываются

хранение спина ядра при столкновениях.

матричными элементами при j ∈ [N_g + 1, N_g + N_e],

На рис. 1а-г приведены зависимости населенно-

∈ [1, N_g], где в качестве ρ(0)E берется диагональ-

стей подуровней основного состояния от отстройки

ная матрица с равномерно распределенной населен-

δ излучения от перехода |F_g = 2〉 ↔ |F_e = 1〉. На

ностью на основном уровне. Переходы из основного

горизонтальной шкале указаны характерные значе-

в возбужденное состояние не происходят в рассмат-

ния отстройки (вертикальные прямые), соответству-

риваемом диапазоне температур, поэтому P_ij = 0

ющие четырем переходам между всеми комбинация-

для j ∈ [1, N_g], i ∈ [N_g + 1, N_g + N_e]. Здесь N_g и

ми сверхтонких подуровней основного и возбужден-

N_e — число уровней основного и возбужденного со-

ного состояний. Поскольку имеет место неравенство

стояний.

ρ_ee ≪ ρ_gg, определяющий вклад в спиновую поля-

Данную математическую модель легко свести к

ризацию атомов дает распределение населенностей

модели, не учитывающей сохранение спина ядра при

основного состояния.

662

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв, А. К. Вершовский

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

На рис. 1д,е приведено среднее значение проек-

ствию откачивающего излучения (рис. 1в, длинные

ции полного момента, пропорциональное поляриза-

штрихи).

ции, на сверхтонких подуровнях |F_g = 1〉 (пунктир-

Еще одним процессом, поляризующим состоя-

ная кривая) и |F_g = 2〉 (штриховая кривая), а также

ние |F_g = 1〉, является перемешивание населенно-

их сумма (сплошная кривая).

стей внизу при столкновениях атомов между со-

Левый столбец (рис.

1а,в,д) соответствует

бой, с буферным газом и со стенками ячейки со

рассматриваемой модели, учитывающей сохра-

скоростью Γ(g)mix ≈ 100 Гц, что значительно мень-

нение спина ядра при столкновениях. В правом

ше, чем перемешивание населенностей вверху. Од-

столбце (рис. 1б,г,е) приведены расчеты в модели

нако этот процесс значительно влияет на стаци-

мгновенного перемешивания.

онарное распределение населенностей, поскольку

Левые части графиков соответствуют действию

для некоторых зеемановских подуровней является

лазерного поля, откачивающего атомы с уровня

единственным каналом выкачки населенности. При

|Fg = 2〉. При этом уровень |Fg = 1〉 значительно

этом происходит переход населенности из «карма-

отстроен, и действие поля с него для рассматривае-

на» |F_g = 2, M_g = 2〉 преимущественно на зеема-

мого набора параметров пренебрежимо мало (допле-

новский подуровень |F_g = 1, M_g = 1〉 с переносом

ровское уширение kv_T ≈ 300 МГц, ударная ширина

поляризации ядерного спина.

Γ_opt ≈ 60 МГц, что значительно меньше сверхтонко-

го расщепления внизу, равного примерно 6.8 ГГц).

В модели мгновенного перемешивания

(рис.

1б,г,е) мы видим существенные отличия

Те же рассуждения верны и для правых частей гра-

фиков, где поле откачивает атомы с уровня |F_g = 1〉.

результатов от результатов модели сохранения

спина ядра. Главным образом, отличие обусловлено

наличием в последней процесса переноса наведен-

ной излучением поляризации из возбужденного

3.1. Накачка с уровня |F_g = 2〉

состояния в основное. Этот процесс отсутствует

Обсудим вначале схему накачки с уровня

в модели мгновенного перемешивания ввиду об-

|Fg = 2〉, т. е. левые части графиков на рис. 1 в

нуления поляризации в возбужденном состоянии.

диапазоне отстроек от -5 до 3 ГГц. В модели

Процесс перехода атома из возбужденного состоя-

сохранения спина ядра, несмотря на отсутствие

ния в основное связан с изменением орбитального

откачки лазерным полем, на уровне |F_g = 1〉 на-

момента электрона, поэтому во время столкновения

блюдается значительное заселение зеемановского

существенная доля поляризации ядра переносится

подуровня с положительной проекцией полного

в основное состояние. Также в этот перенос вно-

момента (рис. 1а, пунктирная кривая) при том, что

сит вклад спонтанный распад, который частично

два других зеемановских подуровня обеднены по

сохраняет поляризацию из-за правил отбора.

сравнению с равновесной населенностью 1/8.

На рис. 1б при накачке с уровня |F_g = 2〉 зеема-

Это происходит вследствие ряда параллельно

новские подуровни мультиплета |F_g = 1〉 заселяются

протекающих процессов. В первую очередь, про-

равномерно (все три кривые в левой части совпада-

исходит заселение верхних подуровней с преиму-

ют). Также с ними совпадает населенность, соответ-

щественно положительной проекцией полного мо-

ствующая «карману» состояния |F_g = 2〉 (длинные

мента под действием циркулярно поляризованно-

штрихи на рис. 1г).

го лазерного поля. Вверху происходит перемеши-

вание населенностей при столкновениях со скорос-

Как видно на рис. 1д, при откачке с уровня

тью Γ(e)mix ≈ 10 МГц без перехода вниз, что приво-

|Fg = 2〉 модели сохранения спина ядра основной

дит к уменьшению поляризации. Также имеют ме-

вклад в поляризацию дает состояние |F_g = 2〉 бла-

сто два процесса распада вниз: спонтанный распад

годаря заселению зеемановского «кармана» (штри-

γ = 5.75 МГц и безызлучательное тушение возбуж-

ховая кривая, левый пик) и частично дает вклад со-

дения при столкновениях с буферным газом, ν_Q ≈

стояние |F_g = 1〉 благодаря безызлучательному пе-

≈ 10 МГц (см. уравнение (12)). Последние два про-

реносу поляризации с верхнего состояния и переносу

цесса приводят к частичному переносу поляризации

поляризации с уровня |F_g = 2〉 при столкновениях

на уровень |F_g = 1〉, а также на зеемановский под-

(пунктирная кривая, левый пик). В модели мгно-

уровень |F_g = 2, M_g = 2〉, который выступает в ро-

венного перемешивания (рис. 1е) вклад состояния

ли так называемого «кармана», т. е. состояния, в ко-

|F_g = 1〉 равен нулю (пунктирная кривая) по при-

тором атомы скапливаются, не подвергаясь воздей-

чине его равномерного заселения.

664

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Лазерная накачка щелочных атомов...

3.2. Накачка с уровня |F_g = 1〉

точно определить значение частоты этого процес-

. Из газокинетических законов нетрудно опре-

са ν_Q

Теперь рассмотрим случай откачки с уровня

делить полную частоту столкновений ν = n_buf σu,

|F_g = 1〉 (рис. 1, правая часть графиков в диапазоне

где n_buf — концентрация буферного газа (концент-

отстроек от 5 до 10 ГГц). В модели сохранения спи-

рацией щелочных атомов можно пренебречь), σ ≈

на ядра, в отличие от предыдущего случая, основ-

≈ 5 · 10-15 см² — газокинетическое сечение, кото-

ной вклад в поляризацию здесь дает нерезонансный

рое может в первом приближении быть найдено как

уровень |F_g = 2〉 (в предыдущем случае основной

площадь круга с радиусом, равным сумме радиусов

вклад в поляризацию давал резонансный уровень),

щелочного и буферного атомов, u — средняя относи-

на котором происходит накопление населенности на

тельная скорость атома щелочного металла и моле-

зеемановских подуровнях с проекциями полного мо-

кулы буферного газа. Частоту ν_Q можно определить

мента +1 и +2 и обеднение подуровней с проекци-

как долю x столкновений, при которых происходит

ями -2 и -1 (рис. 1в). При настройке на уровень

безызлучательное тушение возбуждения по отноше-

|F_e = 1〉 частично возникает «карман» на подуровне

нию к полной частоте столкновений:

|F_g = 1, M_g = 1〉, однако его вклад невелик, посколь-

ку ширина линии поглощения сравнима со сверхтон-

ν_Q = xν,

0 ≤ x ≤ 1.

(25)

ким расщеплением вверху и происходит выкачка на-

селенности на нерезонансный верхний сверхтонкий

Значение x определяется типом буферного газа. На-

уровень |F_e = 2〉 (имеет место частично разрешен-

пример, для азота x > 0, так как при столкновении

ная сверхтонкая структура возбужденного состоя-

есть ненулевая вероятность передачи энергии атом-

ния).

ного возбуждения на колебательно-вращательные

Отметим, что, несмотря на отсутствие «карма-

степени свободы молекулы N₂. При построении гра-

нов» в данном типе накачки с уровня |F_g

= 1〉,

фиков на рис. 1 из экспериментальных данных [34]

значение средней проекции полного момента состо-

было взято значение x = 0.5. Для других буфер-

яния |F_g = 2〉 достигает большего значения (рис. 1д,

ных газов, преимущественно атомарных, тушение

штриховая кривая, правый пик), чем при накачке

возбуждения отсутствует или пренебрежимо мало,

с уровня |F_g = 2〉 (штриховая кривая, левый пик).

x ≈ 0 [41].

В целом же, за счет вклада нерезонансного уров-

Величина x определяет долю от полной часто-

ня, суммарная средняя проекция полного момента

ты столкновений, при которых происходит туше-

оказывается больше при накачке с уровня |F_g = 2〉

ние возбуждения. Соответственно, при остальных

(рис. 1в, сплошная кривая).

столкновениях c частотой (1-x)ν не происходит ту-

В модели мгновенного перемешивания обеднение

шения, а атом остается в возбужденном состоянии.

состояния |F_g = 1〉 происходит приблизительно оди-

При этом в доле таких столкновений может проис-

наково для зеемановских подуровней (рис. 1б, пра-

ходить хаотизация электронной оболочки с сохра-

вая часть). Заселение же зеемановских подуровней

нением ядерного спина, т. е. процесс (14) со скоро-

|F_g = 1〉 при этом полностью равномерно (рис. 1г,

стью Γ(e)mix. Таким образом, имеет место ограничение

правая часть). Таким образом, в данной модели и

Γ(e)mix ≤ (1-x)ν. Введем долю y таких столкновений:

при данном типе накачки поляризация близка к

нулю (рис. 1е, правая часть). При этом возникает

Γ(e)mix = y(1 - x)ν,

0 ≤ y ≤ 1.

(26)

небольшая отрицательная поляризация, что подроб-

но обсуждалось в работе [35].

Исследуем, как величина x влияет на среднюю

проекцию полного момента. На рис. 2 в модели со-

хранения спина ядра приведены зависимости сред-

3.3. Анализ зависимости поляризации от

ней проекции полного момента на сверхтонких со-

доли тушащих столкновений

стояниях от отстройки при различных значениях

Как отмечено выше, большую роль в формиро-

доли x тушащих столкновений. При этом доля упру-

вании поляризации играет перераспределение насе-

гих столкновений, при которых происходит переме-

ленностей при столкновениях. Один из основных

шивание вверху, y = 1. В целом происходит уве-

вкладов в распределение дает безызлучательный пе-

личение поляризации с ростом x, что обусловлено

реход из возбужденного состояния в основное с со-

переносом поляризации из возбужденного состоя-

хранением проекции спина ядра (уравнение (11),

ния, в котором скорость перемешивания значитель-

слагаемое, пропорциональное ν_Q). Поэтому важно

но больше, чем в основном. Наиболее значительно

665

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв, А. К. Вершовский

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

модели кривая не зависит от доли x тушащих столк-

новений. Это объясняется тем, что в возбужденном

состоянии, вследствие мгновенного перемешивания,

поляризация равна нулю, и ее перенос в основное

состояние при столкновениях отсутствует.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработана стационарная

математическая модель, описывающая возбуждение

щелочных атомов монохроматическим лазерным из-

лучением в газовой ячейке с буферным газом с

целью расчета поляризации газа при возбуждении

циркулярно поляризованным излучением. Прово-

дится исследование влияния столкновений на сред-

ний полный момент атомов при учете разрыва свя-

зи внешней электронной оболочки с ядром в момент

столкновения. Учтены полная сверхтонкая и зеема-

новская структуры основного и возбужденного со-

стояний.

Рассмотрено формирование поляризации пол-

ного момента на различных сверхтонких уровнях

при сканировании отстройки лазерного излучения.

Особое внимание уделено влиянию доли неупру-

гих столкновений, при которых происходит тушение

возбуждения щелочных атомов и перенос поляриза-

ции из возбужденного состояния в основное.

Проведено сравнение результатов данной модели

с упрощенной моделью, в которой не учитывается

сохранение спина ядра при столкновениях, и сде-

лано предположение о мгновенном перемешивании

населенности в возбужденном состоянии.

Финансирование. Работа выполнена при фи-

нансовой поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 19-29-10004).

ЛИТЕРАТУРА

1. M. Mandea and M. Korte, Geomagnetic Observations

and Models, Springer (2011).

Рис. 2. Зависимости средней проекции полного момента

атома⁸⁷Rb на уровнях Fg = 1 (а), Fg = 2 (б) и их сум-

2. P. Qi, X. Geng, G. Liu et al., J. Phys. B 54, 125001

мы (в) от отстройки при возбуждении σ⁺-поляризованным

(2021).

излучением. Параметры те же, что на рис. 1

3. D. Sheng, A. R. Perry, S. P. Krzyzewski et al., Appl.

Phys. Lett. 110, 031106 (2017).

изменяется поляризация на уровне F_g = 2 при воз-

4. W. Neubauer, Naturwissenschaften 88, 13 (2001).

буждении с уровня F_g = 1 (рис. 2б, правый пик).

5. N. Linford, Rep. Progr. Phys. 69, 2205 (2006).

На рис. 2в приведена также кривая в модели мгно-

венного перемешивания (штрихпунктирная кривая

6. H.-G. Meyer, R. Stolz, A. Chwala, and M. Schulz,

с двумя точками). Интересно отметить, что в этой

Phys. Stat. Sol. (c) 2, 1504 (2005).

666

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Лазерная накачка щелочных атомов...

H. Korth, K. Strohbehn, F. Tejada et al., J. Geophys.

25.

D. Hunter, S. Piccolomo, J. D. Pritchard et al., Phys.

Res. Space Phys. 121, 7870 (2016).

Rev. Appl. 10, 014002 (2018).

I. Fratter, J.-M. Leger, F. Bertrand et al., Acta

26.

G. Le Gal, G. Lieb, F. Beato et al., Phys. Rev. Appl.

Astronaut. 121, 76 (2016).

12, 064010 (2019).

A. Weis, Europhys. News 43(3), 20 (2012).

27.

V. Schultze, B. Schillig, R. IJsselsteijn et al., Sensors

17, 561 (2017).

10.

H. Koch, IEEE Trans. Appl. Supercond. 11,

(2001).

28.

J. Tang, Y. Zhai, L. Cao et al., Opt. Express 29,

15641 (2021).

11.

M. Hämäläinen, R. Hari, R. J. Ilmoniemi et al., Rev.

Mod. Phys. 65, 413 (1993).

29.

W. Zheng, S. Su, G. Zhang et al., Biomed. Opt.

Express 11, 649 (2020).

12.

S. Afach, G. Bison, K. Bodek et al., J. Appl. Phys.

116, 084510 (2014).

30.

P. Bevington, R. Gartman, and W. Chalupczak,

Phys. Rev. A 101, 013436 (2020).

13.

S. Pustelny, D. F. Kimball, C. Pankow et al., Ann.

Phys. 525, 659 (2013).

31.

Y. Shi, T. Scholtes, Z. D. Grujić et al., Phys. Rev.

A 97, 013419 (2018).

14.

C. Deans, L. Marmugi, and F. Renzoni, Appl. Opt.

57, 2346 (2018).

32.

Y. Chang, Y.-H. Guo, and J. Qin, Phys. Rev. A 99,

063411 (2019).

15.

A. Soheilian, M. Ranjbaran, and M. M. Tehranchi,

Sci. Rep. 10, 1294 (2020).

33.

W. Happer, Y.-Y. Jau, and T. G. Walker, Optically

16.

T. G. Walker and M. S. Larsen, Adv. Atom. Mol.

Pumped Atoms, Wiley, New York (2010).

Opt. Phys. 65, 373 (2016).

34.

Е. Н. Попов, В. А. Бобрикова, С. П. Воскобойни-

17.

А. К. Вершовский, Ю. А. Литманович, А. С. Паз-

ков и др., Письма в ЖЭТФ 108, 543 (2018).

галёв, В. Г Пешехонов, Гироскопия и навигация

26, 55 (2018).

35.

К. А. Баранцев, А. Н. Литвинов, А. С. Пазгалёв,

А. К. Вершовский, ЖЭТФ 159, 231 (2021).

18.

К. А. Баранцев, Е. Н. Попов, А. Н. Литвинов, КЭ

49, 169 (2019).

36.

С. Г. Раутиан, Г. И. Смирнов, А. М. Шалагин,

19.

W. Happer, Rev. Mod. Phys. 44, 169 (1972).

Нелинейные резонансы в спектрах атомов и мо-

лекул, Наука, Новосибирск (1979).

20.

E. Alexandrov, M. Balabas, A. Pasgalev et al., Laser

Phys. 6(2), 244 (1996).

37.

F. A. Franz, Phys. Rev. 148, 82 (1966).

21.

J. C. Allred, R. N. Lyman, T. W. Kornack, and

38.

Т. Л. Андреева, ЖЭТФ 54, 641 (1968).

M. V. Romalis, Phys. Rev. Lett. 89, 130801 (2002).

39.

S. Appelt, A. Ben-Amar Baranga, A. R. Young, and

22.

A. Weis, G. Bison, and A. S. Pazgalev, Phys. Rev.

W. Happer, Phys. Rev. A 59, 2078 (1999).

A 74, 033401 (2006).

40.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая ме-

23.

D. Budker and D. F. Jackson Kimball, Optical

ханика (нерелятивистская теория), Физматлит,

Magnetometry, Cambridge Univ. (2013).

Москва (2004).

24.

E. Pulz, K.-H. Jäckel, and H.-J. Linthe, Meas. Sci.

Technol. 10, 1025 (1999).

41.

F. A. Franz, Phys. Lett. A 27, 457 (1968).

667