ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 5, стр. 631-651

ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВОГО АТОМА

С ЭКВИДИСТАНТНЫМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ СПЕКТРОМ

ПРИ ВЫСОКОМ УРОВНЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ

О. В. Коровай^*

Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

МD-3300, Тирасполь, Молдова

Поступила в редакцию 28 июля 2021 г.,

после переработки 21 октября 2021 г.

Принята к публикации 22 октября 2021 г.

Получен закон дисперсии для системы четырехуровневых атомов с эквидистантным энергетическим

спектром, взаимодействующих с резонансным лазерным излучением, с учетом трех последовательных

однофотонных оптически разрешенных переходов, двух двухфотонных переходов, а также прямого трех-

фотонного перехода. Показано, что закон дисперсии состоит из четырех поляритонных ветвей. С ис-

пользованием приближения заданной плотности фотонов предсказываются эффекты расталкивания и

притяжения ветвей закона дисперсии, их пересечение, самосогласованное изменение силы связи фотонов

с атомами.

DOI: 10.31857/S0044451022050029

куумное раби-расщепление ансамблем изолирован-

EDN: DSHOEX

ных двухуровневых атомов либо системой эксито-

нов Френкеля в условиях сильной связи фотонов с

1. ВВЕДЕНИЕ

материальными возбуждениями. В ряде работ ис-

Изучение явлений взаимодействия лазерного из-

следуются поляритонные состояния в микрорезона-

лучения с веществом в различных структурах огра-

торах, где энергии экситонов Френкеля в органиче-

ниченной размерности позволяет развивать нели-

ских квантовых ямах и экситонов Ванье - Мотта в

нейную спектроскопию как инструмент для иссле-

неорганических квантовых ямах смешиваются с оп-

дования неравновесной квантовой динамики [1,2]. В

тической модой микрорезонатора, что приводит к

большинстве работ [3-8] изучены явления, обуслов-

взаимодействию экситонов между собой, результа-

ленные сильной связью — особым режимом взаи-

том взаимодействия является образование связан-

модействия фотонов с материальными возбуждени-

ных гибридных поляритонов [9, 10]. В работе [11]

ями среды, проявляющимся в когерентных колеба-

изучены оптические свойства триплетного гибри-

ниях энергии между материей и фотонной подси-

да (полупроводник-органика-полупроводник), им-

стемой. Наличие такого взаимодействия может при-

плантированного в микрополости, и законы диспер-

вести к обнаружению новых химических и физи-

сии в зависимости от значений частот Раби. В [12]

ческих свойств и, следовательно, к развитию пе-

представлены результаты исследования нелинейных

редовых исследований во многих областях: бозе-

явлений, обусловленных наличием поляритонных

эйнштейновской конденсации, оптики когерентно-

резонансов в нелинейной среде, состоящей из N ан-

го излучения, поляритонной генерации, сверхтеку-

гармонических многоуровневых систем, сильно свя-

чести в системе экситон-поляритонов в микрорезо-

занных с микрорезонатором.

наторах, квантовой обработки информации и др.

Нелинейно-оптические явления в четырех- и

При этом большой интерес представляет установ-

многоуровневых атомных системах исследовались в

ление общности или различий между такими поня-

работах [13-18]. В четырехуровневых атомных сис-

тиями, как частота нутации либо частота осцилля-

темах хорошо изучены следующие нелинейно-оп-

ций Раби в системе экситонов Ванье - Мотта и ва-

тические явления: когерентное управление нели-

^* E-mail: olesya-korovai@mail.ru

нейным поглощением интенсивных лазерных полей

631

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

[19], природа интерференции между пиками Аутле-

тора по сравнению с экситонным переходом [33].

ра - Таунса (или одетыми состояниями) [20], ди-

В работе [34] представлены результаты исследова-

намика экситон-светового поля плоского ансамбля

ния двухимпульсного взаимодействия с экситонами

квантовых точек, встроенных в фотонный резона-

и биэкситонами в условиях мощной накачки в об-

тор [21], возникновение в законе дисперсии дополни-

ласти М-полосы люминесценции. В работе [35] изу-

тельных поляритонных ветвей, обусловленных об-

чено влияние двухфотонных процессов на поглоще-

разованием биэкситонных и триэкситонных состо-

ние в системе экситонов и биэкситонов при дву-

яний в связанных тримерах и тетрамерах [22, 23],

химпульсном взаимодействии, которое проявляется

спектр пропускания оптического резонатора, свя-

в наблюдении несимметричного расщепления Аут-

занного с ансамблем холодных атомов Rb-85, закон

лера - Таунса, а учет процессов квантовой интер-

дисперсии которого состоит из четырех поляритон-

ференции приводит к исчезновению эффекта Аут-

ных ветвей [24], формирование поляритонов темно-

лера - Таунса при определенных значениях величин

го состояния [25], влияние атомной когерентности

полей падающих импульсов. Предсказана возмож-

на поглощение [26], нерезонансно управляемую кон-

ность управления спектром поглощения при помо-

денсацию и генерацию поляритонов в четырехуров-

щи изменения интенсивности полей и расстроек ре-

невой системе, сформированной в сильно связанной

зонанса. В работах [36, 37] представлены результа-

двойной микрорезонаторной структуре [27].

ты исследования законов дисперсии поляритонно-

При этом в теоретических и экспериментальных

го типа для трехуровневого атома с эквидистант-

исследованиях учитывались однофотонные индуци-

ным и неэквидистантным энергетическими спектра-

рованные переходы между последовательными па-

ми при учете двухфотонного перехода. Закон дис-

рами соседних уровней под действием света, как это

персии неэквидистантного четырехуровневого ато-

представлено в теории каскадных лазеров. Вместе с

ма с одновременным учетом однофотонных, двух-

тем в атомных четырехуровневых системах возмож-

фотонных и трехфотонных переходов изучен в ра-

ны многофотонные переходы: двухфотонные пере-

боте [38]. Из представленного краткого обзора лите-

ходы — между первым и третьим уровнями, вто-

ратуры видно, что исследование особенностей про-

рым и четвертым уровнями, трехфотонный переход

текания когерентных нелинейных оптических явле-

между первым и четвертым уровнями. В ряде ра-

ний при одновременном учете однофотонных и мно-

бот изучалось влияние многофотонных процессов в

гофотонных процессов вызывает интерес как с тео-

системах лестничного типа на различные оптиче-

ретической, так и с прикладной точки зрения из-

ские явления — трехфотонное лазерное возбужде-

за реализации возможности контроля и управления

ние четырехуровневой системы ридберговских ато-

процессами поглощения и взаимодействия света с

мов [28], трехфотонная когерентность ридбергов-

материальными возбуждениями среды и вследствие

ского состояния в доплеровской расширенной че-

этого является актуальной задачей.

тырехуровневой атомной системе атомов Rb-85 с

резонансным микроволновым полем [29], экспери-

ментальное различие расщепления Аутлера - Таун-

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

са от электромагнитно-индуцированной прозрачно-

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

сти при учете двухфотонного резонанса [30], силь-

ная фотонная блокада одиночного атома в резонато-

Ниже представлены результаты исследований

ре, которая увеличивает расщепление одетого состо-

закона дисперсии четырехуровневых атомов с экви-

яния между верхней и нижней поляритонными вет-

дистантным энергетическим спектром, взаимодей-

вями из-за учета взаимодействия между квантовой

ствующих с фотонами ультракороткого импульса

интерференцией и усиленным вакуумным расщеп-

резонансного лазерного излучения. Пусть на сре-

лением Раби [31], двухфотонная резонансная флу-

ду, состоящую из четырехуровневых атомов с раз-

оресценция трансмона, сильно связанного с волно-

ностью энергии ℏω₀ между соседними двумя уров-

водом [32]. Известно, что в трехуровневой систе-

нями, падает ультракороткий импульс резонансного

ме имеют место индуцированные светом однофо-

лазерного излучения с частотой ω_c (рис. 1). Предпо-

тонные переходы из основного состояния кристал-

лагается, что длительность импульса намного мень-

ла в экситонное и из экситонного в биэкситонное,

ше времени релаксации атомов. В этом случае про-

а также прямой двухфотонный переход из основно-

цессами релаксации можно пренебречь, так как они

го состояния кристалла на биэкситонный уровень,

не успевают срабатывать за время действия им-

характеризующиеся гигантскими силами осцилля-

пульса. Под действием фотонов этого импульса в

632

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

процессов в отдельности проводилось многократно.

Гамильтониан взаимодействия фотонов с четы-

рехуровневыми атомами можно записать в виде

Ĥ_int = -g₁₂â†1ĉ^†â₂ - g∗12â†2ĉâ₁ - g₂₃â†2ĉ^†â₃ -

ℏ

- g∗23â†3ĉâ₂ - g₃₄â†3ĉ^†â₄ - g∗34â†4ĉâ3 -

- g₁₃â†1ĉ^†ĉ^†â₃ - g∗13â†3ĉĉâ₁ - g₂₄â†2ĉ^†ĉ^†â4 -

- g∗24â†4ĉĉâ₂ - g₁₄â†1ĉ^†ĉ^†ĉ^†â₄ - g∗14â†4ĉĉĉâ₁,

(1)

где â_i(â^†i) (i = 1-4) — оператор уничтожения (рож-

дения) атома на уровне i (отсчет энергии атомов на

возбужденных уровнях i = 2, 3, 4 начинается с пер-

вого уровня, так что собственная энергия атома на

уровне i равна ℏω₀(i - 1)), ĉ(ĉ^†) — оператор уничто-

жения (рождения) фотона с частотой ω_c; g₁₂, g₂₃ и

g₃₄ — константы разрешенных оптических однофо-

Рис. 1. Схема эквидистантного энергетического спектра

тонных переходов между последовательными пара-

четырехуровневого атома, взаимодействующего с фотона-

ми уровней атома, g₁₃ и g₂₄ — константы двухфотон-

ми с частотами ωc

ных оптически разрешенных переходов и g₁₄ — кон-

станта трехфотонного перехода с уровня 1 на уро-

вень 4, g_ik (i = 1-3, k = 1-4) — комплексно-сопря-

атомной системе возникают однофотонные оптиче-

женные константы разрешенных оптических пере-

ски разрешенные переходы между последовательно

ходов соответственно.

расположенными парами уровней 1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3 и

Используя (1), легко получить гейзенберговские

3 ⇆ 4 и одновременно с ними оптически разрешен-

уравнения движения для операторов â_i (i = 1-4) и

ные прямые двухфотонные переходы между уров-

ĉ, после усреднения которых в приближении сред-

нями 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4, а также трехфотонный переход

него поля (mean field approximation) приходим к

1 ⇆ 4. Насколько нам известно, до сих пор не рас-

системе нелинейных эволюционных уравнений для

сматривалось одновременное действие однофотон-

амплитуд a_i = 〈â_i〉 (i = 1-4) и c = 〈ĉ〉:

ного, двухфотонного и трехфотонного или хотя бы

однофотонного и двухфотонного процессов. Перехо-

ia₁ = -g₁₂c^∗a₂ - g₁₃c^∗c^∗a₃ - g₁₄c^∗c^∗c^∗a₄,

ды между уровнями 1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3 и 3 ⇆ 4 здесь рас-

ia₂ =ω₀a₂ -g∗12a₁c-g₂₃c^∗a₃ -g₂₄c^∗c^∗a₄,

сматриваются как каскадные переходы между уров-

ia₃ = 2ω₀a₃ - g∗23a₂c - g₃₄c^∗a₄ - g∗13a₁cc,

нями 1, 2, 3 и 4, тогда как прямые двухфотонные

(2)

переходы между уровнями 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4 проис-

ia₄ = 3ω₀a₄ - g∗34a₃c - g∗24a₂cc - g∗14a₁ccc,

ходят через виртуальный уровень, а трехфотонный

iċ=ω_cc-g₁₂a∗1a₂ -g₂₃a∗2a₃ -g₃₄a∗3a₄-

переход — через два виртуальных уровня.

- 2g₁₃a∗1c^∗a₃ - 2g₂₄a∗2c^∗a₄ - 3g₁₄a∗1c^∗c^∗a₄.

Отметим, что в полупроводниках существуют

два последовательных каскадных оптически разре-

Найдем дисперсионное уравнение системы в

шенных однофотонных перехода — переход из ос-

окрестности частоты ω₀ второго уровня атома.

новного состояния кристалла в экситонное и затем

Беря за основу уравнение для

a₂, видим, что

оптическая конверсия экситонов в биэкситоны под

скорость изменения амплитуды a₂ определяется

действием одних и тех же фотонов [33]. Вместе с

выражениями a₁c, c^∗a₃ и c^∗c^∗a₄. Слагаемое с a₁c

тем детально изучен процесс прямого двухфотон-

описывает вклад в скорость изменения амплитуды

ного возбуждения биэкситона из основного состо-

a₂ за счет гибели атома на уровне 1 и фотона с

яния кристалла [39]. Процессы оптической конвер-

энергией ℏω_c, в результате чего атом переходит на

сии и двухфотоннного возбуждения характеризуют-

уровень 2. Слагаемое с c^∗a₃ описывает процессы

ся гигантскими силами осциллятора. Однако одно-

гибели атома на уровне 3 с образованием фотона

временный учет трех процессов под действием од-

на частоте ω_c, в результате чего атом переходит на

них и тех же фотонов отсутствует, хотя эксперимен-

уровень 2. Аналогично, слагаемое с c^∗c^∗a₄ описыва-

тальное и теоретическое исследование каждого из

ет процесс гибели атома на уровне 4 с образованием

633

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

двух фотонов с частотой ω_c и переходом атома на

где f₀

— (заданная) плотность фотонов. Реше-

уровень 2. Соответствующие им операторы â₁ĉ, ĉ^†â₃

ния системы (4) будем искать в виде a₂, a₁c, c^∗a₃,

и ĉ^†ĉ^†â4 описывают состояния с квазиэнергиями

^∗c^∗a₄

∼ exp(-iωt), где ω — собственная часто-

ℏω_c, ℏ(2ω₀ -ω_c) и ℏ(3ω₀ -2ω_c), равными энергии ℏω₀

та атомных поляритонов. Тогда для стационарных

атома на втором уровне. Следовательно, состояние

амплитуд получаем алгебраическую систему урав-

атома на уровне 2, а также реплика возбужденного

нений:

состояния 3, сдвинутая вниз на энергию фотона ℏω_c

(ω - ω₀)a₂ + g∗12(a₁c) + g₂₃(c^∗a₃) +

и реплика возбужденного состояния 4, сдвинутая

+ g₂₄(c^∗c^∗a₄) = 0,

вниз на энергию двух фотонов, вырождены по

энергии.

(ω - ω_c)a₁c + g₁₂f₀a₂ + g₁₃f₀(c^∗a₃) +

Используя (2), получаем для амплитуд a₁c, c^∗a₃

+ g₁₄f₀(c^∗c^∗a₄) = 0,

и c^∗c^∗a₄ следующие уравнения:

(5)

(ω - 2ω₀ + ω_c)c^∗a₃ + g∗23f₀a₂ +

i(a1c) = ω_c(a₁c) - g₁₂c^∗ca₂ - g₁₃c^∗c^∗ca₃ -

+ g₃₄(c^∗c^∗a₄) + g∗13f₀(a₁c) = 0,

- g₃₄a₁a∗3a₄ - g₁₄c^∗c^∗c^∗ca₄ - g₁₂a₁a∗1a2 -

(ω - 3ω₀ + 2ω_c)c^∗c^∗a₄ + g∗34f₀(c^∗a₃) +

- g₂₃a₁a∗2a₃ - 2g₁₃a∗1a₁c^∗a₃ - 2g₂₄a₁a∗2c^∗a4 -

+ g∗24f²⁰a₂ + g∗14f²⁰(a₁c) = 0,

- 3g₁₄a∗1a₁c^∗c^∗a₄,

детерминант которой

i(a3˙c∗) = (2ω0 - ωc)(c∗a3) + g∗12a1a∗2a3 +



+ g∗23a₂a∗3a₃ + g∗34a∗4a₃a₃ + 2g∗13a₁ca∗3a3 +



ω-ω0

g∗12

g₂₃

g₂₄



(3)



+ 2g∗24a₂ca∗4a₃ + 3g∗14a₁cca∗4a₃ - g∗23c^∗a₂c -



g₁₂f₀

ω-ω_c

g₁₃f₀

g₁₄f₀



- g₃₄c^∗c^∗a₄ - g∗13c^∗cca₁,



g∗23f₀

g∗13f₀

ω-2ω₀+ω_c

g₃₄



i(c∗c˙

^∗a₄) = (3ω₀-2ω_c)(c^∗c^∗a₄)+2g∗12a₁a∗2c^∗a4 +

_g∗



f²⁰

g∗14f²⁰

g∗34f₀

ω-3ω₀+2ω_c

+ 2g∗23a₂a∗3c^∗a₄+2g∗34a₃a∗4a₄c^∗+4g∗13a₁cc^∗a∗3a₄ +

(6)

+ 4g∗24a₂a∗4cc^∗a₄+6g∗14a₁ccc^∗a∗4a₄-g∗34c^∗c^∗ca₃ -

представляет собой закон дисперсии взаимодейству-

- g∗14c^∗c^∗ccca₁ - g∗24c^∗c^∗cca₂.

ющих атомов с эквидистантным энергетическим

Далее будем считать, что амплитуды фотонов c на-

спектром в окрестности частоты ω₀ нижайшего воз-

много превосходят амплитуды атомов на соответ-

бужденного уровня атома в приближении заданной

ствующих уровнях (c ≫ a₁, a₂, a₃, a₄). В этом при-

плотности фотонов. Раскрывая детерминант (6) и

ближении все слагаемые в последнем уравнении в

полагая константы gik = |gik| exp(iϕik), получаем

(2), кроме первого, исчезающе малы и ими можно

уравнение четвертой степени для определения час-

пренебречь. Тогда решение этого уравнения имеет

тот ω атомных поляритонов:

простой вид c = c₀ exp(-iωt), где c₀ — начальное

значение амплитуды фотонов. Таким образом, вид-

(ω-ω₀)(ω-ω_c)(ω-2ω₀+ω_c)(ω-3ω₀+2ω_c) -

но, что огибающая функции c(t) в приближении за-

- Ω²¹²(ω - 2ω₀ + ω_c)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)-

данной плотности фотонов не изменяется со време-

- Ω²²³(ω-ω_c)(ω-3ω₀+2ω_c)-Ω²³⁴(ω-ω₀)(ω-ω_c)-

нем:

- Ω²¹³(ω - ω₀)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)-

|c|² = |c₀|² ≡ f₀ = const.

- Ω²²⁴(ω - ω_c)(ω - 2ω₀ + ω_c)-

Пренебрегая исчезающе малыми слагаемыми в (3),

получаем следующую систему линейных уравнений:

- Ω²¹⁴(ω - ω₀)(ω - 2ω₀ + ω_c)+

+Ω²¹²Ω²³⁴ + Ω²²³Ω²¹⁴ + Ω²¹³Ω²²⁴+

ia₂ = ω₀a₂ - g∗12(a₁c) - g₂₃(c^∗a₃)-

+ 2Ω₁₃Ω₃₄Ω₁₄(ω - ω₀)cosΘ₁ +

- g₂₄(c^∗c^∗a₄),

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃(ω - 3ω₀ + 2ω_c)cosΘ₂ +

i(a1c) = ω_c(a₁c) - g₁₂f₀a₂ - g₁₃f₀(c^∗a₃) -

+ 2Ω₁₂Ω₁₄Ω₂₄(ω - 2ω₀ + ω_c)cosΘ₄ +

- g₁₄f₀(c^∗c^∗a₄),

(4)

+ 2Ω₂₃Ω₃₄Ω₂₄(ω - ω_c)cosΘ₃ -

a₃

c^∗) = (2ω₀ - ω_c)(c^∗a₃) - g∗23f₀a₂ -

- 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃Ω₁₄ cos(Θ₁ + Θ₂)-

- g₃₄(c^∗c^∗a₄) - g∗13f₀(a₁c),

- 2Ω₁₂Ω₁₃Ω₂₃Ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

c^∗c∗a4) = (3ω0 - 2ωc)(c∗c∗a4)-

- 2Ω₂₃Ω₁₄Ω₁₃Ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₃) = 0.

(7)

- g∗34f₀(c^∗a₃) - g∗24f²⁰a₂ - g∗14f²⁰(a₁c),

634

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Здесь

тами взаимодействия (фазовых соотношений) игра-

ет важную роль, так как закон дисперсии зависит

Ω²¹² = g²¹²f₀, Ω²²³ = g²²³f₀, Ω²³⁴ = g²³⁴f₀,

еще и от разности фаз между константами соответ-

(8)

ствующих оптических процессов. Последние четы-

Ω²¹³ = g²¹³f²⁰, Ω²²⁴ = g²²⁴f²⁰, Ω²¹⁴ = g²¹⁴f³⁰

ре слагаемые учитывают вклад в дисперсионное со-

отношение квантовой интерференции четырех про-

— частоты Раби для дипольно-разрешенных

цессов. Здесь важны корреляции между четырьмя

оптических переходов, каждая из которых пропор-

константами взаимодействия, обусловленные четы-

циональна матричному элементу соответствующего

рехчастичными процессами. Слагаемые с разностью

перехода и плотности фотонов для однофотонного

фаз в (7) являются следствием когерентности про-

перехода, квадрату плотности фотонов для двух-

цесса взаимодействия фотонов с атомами. По этой

фотонного перехода и кубу плотности фотонов для

причине экспериментальное установление особенно-

трехфотонного перехода, а Θ_i (i = 1-4) — разности

стей поведения закона дисперсии при одновремен-

фаз, выражения для которых имеют следующий

ном учете всех оптических переходов может способ-

вид:

ствовать установлению фазовых соотношений меж-

ду различными константами взаимодействия. В дис-

Θ₁ = ϕ₁₂ + ϕ₂₄ - ϕ₁₄, Θ₂ = ϕ₁₂ + ϕ₂₃ - ϕ₁₃,

персионном уравнении (7) содержатся девять ча-

(9)

стотных параметров ω, ω₀, ω_c, Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₃₄, Ω₁₃,

Θ₃ = ϕ₂₃ + ϕ₃₄ - ϕ₂₄, Θ₄ = ϕ₁₂ + ϕ₂₄ - ϕ₁₄.

Ω₂₄, Ω₁₄ и разности фаз Θ_i (i = 1-4). Далее частоты

ω, ω₀, ω_c, Ω₂₃, Ω₃₄, Ω₁₃, Ω₂₄, Ω₁₄ нормируем на самую

Из (7) видно, что закон дисперсии атомных поля-

низкую частоту Раби Ω₁₂. Частоты ω, ω₀, ω_c в полу-

ритонов может иметь четыре действительных кор-

проводниках порядка 10¹⁵ c-1, тогда как значения

ня, которые описывают четыре дисперсионные вет-

частот Раби Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₃₄, Ω₁₃, Ω₂₄, Ω₁₄ на два-три

ви в зависимости от частоты фотонов ω_c

= ck,

порядка меньше. Кроме того, из общих соображений

где k — волновой вектор. Форма и положение вет-

известно, что значения частот Раби приблизительно

вей закона дисперсии существенно определяются ча-

равны при умеренных уровнях возбуждения, а при

стотами Раби (8), квадраты которых, в свою оче-

низких (высоких) уровнях частоты многофотонных

редь, определяются плотностью фотонов в степени,

переходов Ω₁₃, Ω₂₄, Ω₁₄ меньше (больше) частот од-

равной кратности многофотонного перехода (пер-

нофотонных переходов Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₃₄. Следователь-

вой, второй и третьей степени соответственно). Вто-

но, с ростом плотности фотонов частоты Раби Ω₁₃,

рое, третье и четвертое слагаемые в (7) пропорци-

Ω₂₄, Ω₁₄ будут возрастать быстрее, чем частоты Ω₁₂,

ональны квадратам соответствующих частот Раби

Ω₂₃, Ω₃₄.

либо квадрату модуля соответствующего матрично-

Если считать, что энергетический спектр атома

го элемента перехода. Эти три слагаемых описы-

ограничен тремя уровнями, то в этом случае все кон-

вают последовательные, независимые вклады каж-

станты взаимодействия, обусловленные переходами

дого из однофотонных переходов (между уровнями

на четвертый энергетический уровень, тождествен-

1 ⇆ 2, 2 ⇆ 3, 3 ⇆ 4) в дисперсионном уравне-

но равны нулю. Таким образом, полагая в (7) Ω₁₄ =

нии. При этом знаки (либо фазы) соответствующих

= Ω₂₄ = Ω₃₄ = 0, приходим к следующему выраже-

констант взаимодействия по отношению к другим

нию, описывающему закон дисперсии эквидистант-

константам не играют роли. Пятое и шестое слага-

ного трехуровневого атома, взаимодействующего с

емые в (7) описывают последовательные, независи-

фотонами, в приближении заданной плотности фо-

мые вклады каждого из двухфотонных переходов

тонов:

(между уровнями 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4 соответственно).

Седьмое слагаемое описывает вклад прямого трех-

фотонного перехода между уровнями 1 ⇆ 4. Сла-

(ω - ω₀)(ω - ω_c)(ω - 2ω₀ + ω_c) -

гаемые с одиннадцатого по четырнадцатое пропор-

циональны произведениям трех частот Раби (трех

- Ω²¹²(ω - 2ω₀ + ω_c) - Ω²²³(ω - ω_c)-

констант взаимодействия). Их появление обусловле-

- Ω²¹³(ω - ω₀) + 2Ω₁₂Ω₂₃Ω13 cosΘ = 0,

(10)

но одновременным действием (квантовой интерфе-

ренцией) трех процессов. Если хотя бы одна из кон-

стант взаимодействия равна нулю, то эти слагаемые

где Θ — разность фаз, равная Θ = ϕ₁₂ + ϕ₂₃ - ϕ₁₃

отсутствуют. При этом учет знаков между констан-

[36, 37].

635

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 2. Законы дисперсии Δ(δ) при значениях частот Раби без учета многофотонных переходов Ω13 = Ω24 = Ω14 = 0

при а) Ω12 = 0, Ω23 = Ω34 = 0; б) Ω12 = Ω23 = 0, Ω34 = 0; в) Ω12 = Ω23 = Ω34 = 0

3. ЗАКОН ДИСПЕРСИИ

Ω₂₃ = 0, но Ω₃₄ = 0 и Ω₁₃ = 0, Ω₂₄ = 0, т.е. если

ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВОГО АТОМА С

включить взаимодействие фотонов с атомом на

ЭКВИДИСТАНТНЫМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ

переходе 2 ⇆ 3, то в этом случае уравнение (7)

СПЕКТРОМ

распадается на два независимых уравнения:

Рассмотрим подробнее особенности поведения

ω - 3ω₀ + 2ω_c = 0,

закона дисперсии для четырехуровневого атома с

эквидистантным энергетическим спектром. Собст-

(ω - ω₀)(ω - ω_c)(ω - 2ω₀ + ω_c) -

венные частоты второго, третьего и четвертого (воз-

- Ω²¹²(ω - 2ω₀ + ω_c) - Ω²²³(ω - ω_c) = 0.

бужденных) уровней соответственно равны ω₀, 2ω₀

и 3ω₀. Атом взаимодействует с фотонами одного и

Вырожденные по энергии точки пересечения вет-

того же импульса с частотой ω_c. Из (7) видно, что

вей C и D расщепляются благодаря взаимодействию

при Ω₂₃ = 0, Ω₃₄ = 0, Ω₂₄ = 0, Ω₁₃ = 0 (предел

фотонов с атомом на переходе 2 ⇆ 3 и формируют

двухуровневого атома) это уравнение распадается

три отдельные ветви закона дисперсии — верхнюю,

на три:

среднюю и нижнюю, которые по-прежнему пересе-

(ω - ω₀)(ω - ω_c) - Ω²¹² = 0, ω - 2ω₀ + ω_c = 0,

каются прямой ω - 3ω₀ + 2ω_c = 0 в трех точках:

ω - 3ω₀ + 2ω_c = 0,

средняя ветвь в точке O(0, 0), а верхняя и нижняя

поляритонные ветви в точках

первое из которых представляет собой хорошо из-

(

√

)

вестное уравнение поляритонного типа, а второе и

F ω+

(Ω²¹² + 3Ω²²³),

ω-

(Ω²¹² + 3Ω²²³)

третье — дисперсию «голых» фотонов, не взаимо-

действующих со средой. Обе поляритоноподобные

(

√

)

ветви закона дисперсии пересекаются с прямыми ω-

- 2ω₀ + ω_c = 0, ω - 3ω₀ + 2ω_c = 0 в четырех точках

G ω-

(Ω²¹² + 3Ω²²³),

ω+

(Ω²¹² + 3Ω²²³)

(рис. 2а): с прямой ω - 2ω₀ + ω_c = 0 в точках

(

√

√ )

C ω-Ω₁₂/

2, ω + Ω₁₂/

соответственно (рис. 2б). Верхняя и средняя ветви

имеют экстремумы в окрестности точки F , а сред-

(

√

√ )

D ω+Ω₁₂/

2, ω - Ω₁₂/

няя и нижняя — в окрестности точки G. С ростом

величины расщеплений растут и положения экс-

Ω₂₃

и с прямой ω - 3ω₀ + 2ω_c = 0 в точках

тремумов изменяются. Если теперь положить, на-

(

√

√ )

пример, Ω₃₄ = 0, но Ω₂₄ = Ω₁₃ = 0, т. е. если вклю-

F ω - Ω₁₂/2

3, ω + Ω₁₂/2

чить взаимодействие фотонов с атомом на переходе

(

√

√ )

3 ⇆ 4, то в этом случае уравнение (7) не распада-

G ω + Ω₁₂/2

3, ω - Ω₁₂/2

ется на два независимых уравнения. Вырожденные

кроме того, прямые имеют точку пересечения

по энергии точки пересечения ветвей F и G расщеп-

O(0, 0) (рис. 2а). Если теперь положить, например,

ляются благодаря взаимодействию фотона с атомом

636

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 3. Законы дисперсии Δ(δ) при значениях частот Раби без учета многофотонных переходов Ω13 = Ω24 = Ω14 = 0

при а) Ω12 = Ω23 = Ω34 = 1; б) Ω12 = Ω34 =

1, Ω23 = 1.5; в) Ω12 = Ω23 = 1, Ω34 = 1.5

на переходе 3 ⇆ 4 и формируются четыре отдель-

Используя (7), можно получить явные решения

ные ветви закона дисперсии: верхняя, две средние

уравнения четвертой степени в виде зависимости

и нижняя (рис. 2в). Верхняя и нижняя ветви зако-

ω(ω_c). Однако более удобным оказывается исследо-

на дисперсии имеют экстремумы в окрестности точ-

вание обратной функции ω_c(ω). Из (7) легко полу-

ки O: верхняя — минимум, нижняя — максимум,

чить выражение

и характеризуются наличием восходящих и нисхо-

F (ω)

дящих участков. Если частоты Раби однофотонных

ω_c = ω -

(12)

G(ω)

переходов равны Ω₁₂ = Ω₂₃ = Ω₃₄ = 1, то ветви

где

закона дисперсии расположены зеркально симмет-

рично (рис. 3а). Изменение значений Ω₂₃ (рис. 3б) и

F (ω) = Ω²¹²(ω - 2ω₀ + ω_c)(ω - 3ω₀ + 2ω_c) +

Ω₃₄ (рис. 3в) приводит к возникновению экстрему-

+ Ω²¹³(ω - ω₀)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)+

мов средних ветвей и изменению расстояний между

ветвями закона дисперсии и положений экстрему-

+ Ω²¹⁴(ω - ω₁)(ω - 2ω₀ + ω_c)-

мов верхней и нижней ветвей в зависимости от со-

-Ω²¹²Ω²³⁴ - Ω²²³Ω²¹⁴ - Ω²¹³Ω²²⁴-

отношения величин частот Раби однофотонных пе-

- 2Ω₁₃Ω₃₄Ω₁₄(ω - ω₀)cosΘ₁ -

реходов.

- 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃(ω - 3ω₀ + 2ω_c)cosΘ₂ -

Если теперь включить в рассмотрение взаимо-

- 2Ω₁₂Ω₁₄Ω₂₄(ω - 2ω₀ + ω_c)cosΘ₄ +

действие атома с фотонами на оптически разрешен-

ных двухфотонных переходах 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4, т. е.

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃Ω₁₄ cos(Θ₁ + Θ₂)+

положить Ω₂₄ = 0 и Ω₁₃ = 0 и пренебречь четырех-

+ 2Ω₁₂Ω₁₃Ω₂₃Ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)+

частичной корреляцией Ω₁₂Ω₁₃Ω₂₃Ω₃₄ → 0, то урав-

+ 2Ω₂₃Ω₁₄Ω₁₃Ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₃),

(12a)

нение (7) преобразуется к виду

(ω-ω₀)(ω-ω_c)(ω-2ω₀+ω_c)(ω-3ω₀+2ω_c) -

G(ω) = (ω - ω₀)(ω - 2ω₀ + ω_c)(ω - 3ω₀ + 2ω_c) -

- Ω²¹²(ω - 2ω₀ + ω_c)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)-

- Ω²²³(ω - 3ω₀ + 2ω_c) - Ω²³⁴(ω - ω₀)-

- Ω²²⁴(ω - 2ω₀ + ω_c)+

- Ω²²³(ω - ω_c)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)-

+ 2Ω₂₃Ω₃₄Ω₂₄ cosΘ₃.

(12b)

- Ω²³⁴(ω - ω₀)(ω - ω_c)-

Видно, что поведение функции ω_c(ω) будет опреде-

- Ω²¹³(ω - ω₀)(ω - 3ω₀ + 2ω_c)-

ляться корнями знаменателя G(ω), который пред-

- Ω²²⁴(ω - ω_c)(ω - 2ω₀ + ω_c)+

ставляет собой кубическое уравнение G(ω) = 0 от-

+Ω²¹²Ω²³⁴ + Ω²²³Ω²¹⁴ + Ω²¹³Ω²²⁴+

носительно ω. При этом корни знаменателя будут

являться полюсами функции ω_c(ω), положение ко-

+ 2Ω₁₂Ω₂₃Ω₁₃(ω - 3ω₀ + 2ω_c)cos Θ₂+

торых будет изменяться в зависимости от значе-

+ 2Ω₂₃Ω₃₄Ω₂₄(ω - ω_c)cosΘ₃ = 0.

(11)

ний параметров системы, где второе слагаемое (12b)

637

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

описывает взаимодействие импульса на частоте ω_c с

тогда

атомами с квазиэнергией ℏ(3ω₀-ω_c) с частотой Раби

ω - ω_c = Ω₁₂(Δ - δ),

Ω₂₃ (переход 2 ⇆ 3), третье слагаемое (12b) — с ато-

мами с квазиэнергией ℏ(ω₀ - ω_c) на переходе 3 ⇆ 4

ω - 2ω₀ + ω_c = Ω₁₂(Δ + δ),

(15)

с частотой Раби Ω₃₄, четвертое слагаемое (12b) —

ω - 3ω₀ + 2ω_c = Ω₁₂(Δ + 2δ).

с атомами с квазиэнергией ℏ(2ω₀ - ω_c) на переходе

2 ⇆ 4 с частотой Раби Ω₂₄, наличие этого слагае-

С учетом нормированных величин (15) дисперсион-

мого приводит к керровскому сдвигу уровней, пятое

ное уравнение (7) может быть представлено в виде

слагаемое представляет собой квантовую интерфе-

ренцию трех процессов. Второе и третье слагаемые

Δ⁴+2δΔ³-(ω²²³+ω²³⁴+ω²¹³+ω²¹⁴+δ²+1)Δ² +

описывают однофотонные переходы, тогда как чет-

+ ((ω²³⁴ - ω²²³ - 2ω²¹³ - ω²¹⁴ - 3)δ -

вертое слагаемое — это следствие учета двухфотон-

- 2δ³ + 2ω₁₃ω₃₄ω₁₄ cosΘ₁ +

ного перехода 2 ⇆ 4. Положение корней знаменате-

+ 2ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂ + 2ω₁₄ω₂₄ cosΘ₄ +

ля, которые являются аналогами поперечных час-

тот теории экситон-поляритонов, т.е. расщепление

+ 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cosΘ₃)Δ + (ω²²³ + ω²²⁴ - 2)δ² +

первого возбужденного уровня атома, определяет-

+ 4(ω₂₃ω₁₃ cosΘ₂ + 2ω₁₄Ω₂₄ cosΘ₄ -

ся тремя частотами Раби и разностью фаз Θ₃. Что

- 2ω₂₃ω₃₄ω₂₄ cosΘ₃)δ -

касается слагаемых числителя (12a), которые также

- 2ω₂₃ω₁₃ω₁₄ cos(Θ₁ + Θ₂)-

пропорциональны квадрату и кубу плотности фото-

- 2ω₁₃ω₂₃ω₃₄ cos(Θ₁ - Θ₄)-

нов падающего импульса, то их наличие приводит к

деформации и смещению уровня, но не приводит к

2ω₂₃ω₁₄ω₁₃ω₂₄ cos(Θ₁ - Θ₃) + 2 = 0.

(16)

возникновению дополнительного расщепления пер-

Используя уравнение четвертой степени (16), изу-

вого возбужденного уровня атома.

чим его решения как функцию Δ(δ) при постоян-

Рассмотрим случай точного резонанса ω₀ - ω_c =

ных значениях параметров — нормированных час-

= 0, тогда выражение (12) можно записать в виде

тот Раби ω₂₃, ω₃₄, ω₁₃, ω₂₄, ω₁₄ и разностей фаз Θ_i

(i = 1-4).

ω_c = ω -

(13)

ω-ω₁

ω-ω₂

ω-ω₃

Для оценки и анализа природы корней уравне-

ния (16) используем подход, развитый в работе [40],

Здесь

из которого видно, что все четыре корня Δ_i (i = 1-4)

√

⁽α⁾

являются действительными и определяются выра-

ω₁ = -

cos

жениями [41]

√

(14)

√

⁽α±π⁾

ω2,3 = -

cos

Δ1,2 = -

-S±

-4S² - 2p +

√

(17)

где

Δ3,4 = -

+S±

-4S² - 2p -

cosα = -

√

-(p/3)³

где

p=-

a² + b, q =

a³ -

ab + c,

8ac - 3b²

b³ - 4abc + 8a²d

a, b, c — коэффициенты уравнения (7) при соответст-

8a²

8a³

вующих степенях ω.

√

(

)

D₀

Введем в рассмотрение нормированные расст-

S =

Q+

ройки резонансов Δ, δ:

√

ω - ω₀ = Ω₁₂Δ, Ω₂δ = ω_c - ω₀,

D²¹ - 4D³⁰

Q=³ D¹ +

и частоты Раби

D₀ = c² - 3bd + 12ae,

Ω₂₃

Ω₃₄

Ω₁₃

ω₂₃ =

ω₃₄ =

ω₁₃ =

D₁ = 2c³ - 9bcd + 27b²e + 27ad² - 72ace,

Ω₁₂

Ω₂₄

Ω₁₄

a, b, c, d, e — коэффициенты уравнения (16) при со-

ω₂₄ =

ω₁₄ =

Ω₁₂

ответствующих степенях Δ.

638

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 4. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω14 = ω24 = 0

при различных значениях ω13: 0 (а), 1 (б), 2 (в), 3 (г)

Рассмотрим простейший случай, положим раз-

наблюдается возникновение экстремумов (миниму-

ности фаз Θ_i = 0 (i = 1-4) и изучим влияние мно-

ма и максимума), у II средней ветви появляется мак-

гофотонных переходов на положение ветвей закона

симум (рис. 4в) (здесь и ниже на всех рисунках для

дисперсии. Будем считать, что ω₂₄ = ω₁₄ = 0, и бу-

удобства описания I средняя ветвь — это верхняя

дем изменять частоту двухфотонного перехода ω₁₃.

из средних, II средняя ветвь — нижняя из средних).

На рис. 4а видно, что при ω₁₃ = 0 закон дисперсии

Дальнейшее увеличение ω₁₃ приводит к исчезнове-

состоит из четырех отдельных ветвей — верхняя и

нию максимума I средней ветви, сильному сближе-

нижняя поляритонные ветви характеризуются на-

нию максимума и минимума средних ветвей между

личием восходящих и нисходящих участков, а обе

собой в области Δ < 0 (рис. 4г), одновременному

средние ветви убывают при увеличении расстрой-

расталкиванию верхней и I средней ветвей и одно-

ки резонанса δ. Увеличение значения ω₁₃ приводит

временному смещению верхней и нижней ветвей в

к сильному сближению верхней и средней ветвей в

коротковолновую и длинноволновую области соот-

коротковолновой области Δ > 0 и средних ветвей в

ветственно, при этом наблюдается сближение верх-

области δ < 0 (рис. 4б). При этом наблюдается из-

ней и I средней ветвей в области δ < 0 и II сред-

менение формы средних ветвей — у I средней ветви

ней и нижней ветвей в области δ > 0. Зафиксируем

639

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 5. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω14 = 0

при различных значениях ω24: 0 (а), 0.65 (б), 1 (в), 3 (г)

ω₁₃ = ω₁₄ = 0 и будем изменять частоту двухфо-

новых экстремумов обеих средних ветвей — мини-

тонного перехода ω₂₄. При ω₂₄ = 0 расположение и

мума I средней ветви в области δ > 0 и максимума

форма ветвей закона дисперсии на рис. 5а совпада-

II средней ветви в области δ < 0, и одновременно-

ет с приведенными на рис. 4а. На рис. 5б видно, что

му расталкиванию верхней и нижних ветвей в ко-

при увеличении частоты Раби ω₂₄ наблюдается из-

ротковолновую и длинноволновую области соответ-

менение формы I средней ветви и образование мак-

ственно. Зафиксируем ω₁₃ = ω₂₄ = 0 и будем изме-

симума, затем сближение минимума верхней ветви

нять частоту Раби трехфотонного перехода ω₁₄. На

и максимума I средней ветви, расположенного в об-

рис. 6а при ω₁₄ = 0 поведение ветвей закона диспер-

ласти δ < 0, и возникновение области сближения

сии совпадает с приведенным на рис. 4а и рис. 5а. На

между минимумом I средней ветви и максимумом II

рис. 6б видно, что при увеличении ω₁₄ происходит

средней ветви в области δ > 0 (рис. 5в). Дальнейшее

симметричное сближение средних ветвей, при этом

увеличение ω₂₄ (рис. 5г) приводит к возникновению

I средняя ветвь характеризуется линейным участ-

640

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 6. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω24 = 0

при различных значениях ω14: 0 (а), 0.65 (б), 1 (в), 3 (г)

ком в области δ > 0, а II средняя ветвь — линейным

личение параметра ω₁₃ приводит к возникновению

участком в области δ < 0. При ω₁₄ = 1 (рис. 6в) на-

экстремумов средних ветвей — максимуму I средней

блюдается пересечение средних ветвей в точке δ = 0

ветви и минимуму II средней ветви, и одновремен-

с изменением форм средних ветвей — они становят-

но сильному сближению трех ветвей закона диспер-

ся прямыми, причем II средняя ветвь не зависит от

сии — верхней и обеих средних в коротковолновой

δ, дальнейшее увеличение параметра ω₁₄ приводит

области Δ > 0 в окрестности точки δ = 0 с изме-

к расталкиванию средних ветвей (рис. 6г).

нением формы ветвей. Затем при ω₁₃ = 1 (рис. 7в)

возникает пересечение трех ветвей закона диспер-

Если теперь положить ω₂₄ = ω₁₄ = 1 и ω₁₃ = 0,

сии — верхней и обеих средних в точке δ = 0, ко-

на рис. 7а видно, что между верхней и обеими сред-

рень Δ = 1 уравнения (7) становится трехкратно

ними ветвями существует область сужения в окрест-

вырожденным при точной расстройке резонанса δ.

ности δ = 0. При увеличении частоты Раби двухфо-

Дальнейшее увеличение параметра ω₁₃ приводит к

тонного перехода ω₁₃ = 1 на рис. 7б видно, что уве-

641

ЖЭТФ, вып. 5

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 7. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω14 = ω24 = 1

при различных значениях ω13: 0 (а), 0.65 (б), 1 (в), 2 (г)

восстановлению структуры из четырех ветвей зако-

При ω₁₃ = ω₁₄ = 1, ω₂₄ = 0 (рис. 8а) видно,

на дисперсии, при этом наблюдается изменение фор-

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, I

мы верхней и средней ветвей — максимум верхней

средняя ветвь характеризуется наличием экстрему-

ветви смещается в область δ < 0, наблюдается сбли-

мов — максимума и минимума, и, следовательно, на-

жение верхней и I средней ветвей в области δ < 0

личием восходящих и нисходящих участков, II сред-

и обеих средних ветвей в окрестности точки δ = 0,

няя ветвь характеризуется максимумом, экстрему-

одновременно наблюдается расталкивание средних

мы обеих ветвей расположены в коротковолновой

ветвей со смещением сужения между верхней и I

области Δ > 0. Увеличение значения частоты Раби

средней ветвями в область δ < 0 и верхней и нижней

двухфотонного перехода ω₂₄ приводит к сильному

поляритонных ветвей в коротковолновую и длинно-

сближению верхней и обеих средних ветвей (рис. 8б)

волновую области соответственно (рис. 7г).

и при ω₂₄ = 1 наблюдается пересечение всех трех

642

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 8. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω14 = 1

при различных значениях ω24: 0 (а), 0.65 (б), 1 (в), 2 (г)

ветвей закона дисперсии — верхней и обеих сред-

средних ветвей со смещением сужения между верх-

них, в точке δ = 0, так как корень Δ = 1 уравне-

ней и I средней ветвями в область δ > 0 и смещение

ния (16) становится трехкратно вырожденным при

верхней и нижней поляритонных ветвей в коротко-

отсутствии расстройки резонанса (рис. 8в). Отме-

волновую и длинноволновую области соответствен-

тим, что аналогичное поведение кривых закона дис-

но.

персии наблюдается и на рис. 7в. Дальнейшее уве-

При ω₁₃ = ω₂₄ = 1, ω₁₄ = 0 (рис. 9а) видно,

личение параметра ω₂₄ приводит к восстановлению

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, I

структуры из четырех ветвей, при этом наблюда-

средняя ветвь имеет убывающий характер c ростом

ется изменение формы верхней и средней ветвей —

расстройки резонанса δ, II средняя ветвь характери-

максимум верхней ветви смещается в область δ > 0,

зуется неярко выраженным максимумом и наблю-

наблюдается сближение верхней и I средней ветвей в

дается область сужения между верхней и I средней

области δ > 0 и обеих средних ветвей в окрестности

ветвями. Увеличение значения частоты Раби трех-

точки δ = 0 (рис. 8г), наблюдаются расталкивание

фотонного перехода ω₁₄ приводит к сильному сбли-

643

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 9. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = 0 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω24 = 1

при различных значениях ω14: 0 (а), 0.65 (б), 1 (в), 2 (г)

жению верхней и обеих средних ветвей (рис. 9б) и

нием параметра ω₁₄ уменьшается, наблюдается рас-

при ω₁₄ = 1 наблюдается пересечение всех трех вет-

талкивание всех четырех ветвей закона дисперсии и

вей закона дисперсии — верхней и обеих средних, в

смещение верхней и нижней поляритонных ветвей в

точке δ = 0, корень Δ = 1 уравнения (16) становится

коротковолновую и длинноволновую области соот-

трехкратно вырожденным при отсутствии расстрой-

ветственно (рис. 9г).

ки резонанса (рис. 9в). Отметим, что аналогичное

Рассмотрим поведение ветвей закона дисперсии

поведение кривых закона дисперсии наблюдается и

Δ(δ) при Θ_i = π/2 (i = 1-4) и изучим влияние

на рис. 7б, 8б. Дальнейшее увеличение параметра

многофотонных переходов. Если ω24 = ω14 = 0,

ω₁₄ приводит к восстановлению структуры из четы-

а ω₁₃ = 0 (рис. 10а), видно, что закон дисперсии

рех ветвей, при этом наблюдается изменение формы

состоит из четырех ветвей, зеркально симметрично

II средней δ-ветви — величина максимума с увеличе-

расположенных относительно δ, средние ветви ха-

644

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 10. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = π/2 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω24 = ω14 = 0

при различных значениях ω13: 0 (а), 1 (б), 3 (в)

Рис. 11. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = π/2 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω14 = 1

при различных значениях ω24: 0 (а), 0.65 (б), 3 (в)

рактеризуются наличием неярко выраженных экс-

Если ω₁₃ = ω₁₄ = 0, а ω₂₄ = 0 (рис. 11а), видно,

тремумов — I средняя ветвь максимума, а II сред-

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, сим-

няя ветвь минимума, расположенных в окрестности

метрично расположенных относительно δ, средние

δ = 0. Увеличение параметра ω13 приводит к ис-

ветви характеризуются наличием неярко выражен-

чезновению экстремумов средних ветвей и медлен-

ных экстремумов — I средняя ветвь максимума, а II

ному их сближению друг с другом в окрестности

средняя ветвь минимума, расположенных в окрест-

δ = 0 (рис. 10б), при ω13 = 2 наблюдается изме-

ности δ = 0. Увеличение параметра ω₂₄ приводит

нение формы средних ветвей и появление области

к исчезновению экстремумов средних ветвей и мед-

сужений между I средней и верхней ветвями в об-

ленному их сближению в окрестности δ = 0, также

ласти δ < 0 и между II средней и нижней ветвями

наблюдается смещение максимума нижней ветви в

в области δ > 0, сильное сближение средних ветвей

область δ < 0, минимума верхней ветви в область

в окрестности δ = 0 и симметричное расталкивание

δ > 0 (рис. 11б). Дальнейшее увеличение ω₂₄ приво-

всех четырех ветвей закона дисперсии со смещением

дит к возникновению области сужения между сред-

верхней и нижней поляритонных ветвей в коротко-

ними ветвями при δ = 0 с изменением формы вет-

волновую и длинноволновую области соответствен-

вей и появлением экстремумов (рис. 11в). Минимум

но (рис. 10в).

I средней ветви и максимум II средней ветви силь-

645

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

но сближаются в окрестности δ = 0, одновременно

метрично расположенных относительно δ, средние

возникают области сужений между верхней ветвью

ветви характеризуются наличием неярко выражен-

и максимумом I средней ветви при δ > 0 и миниму-

ных экстремумов — I средняя ветвь максимума, а II

мом II средней ветви и максимумом нижней ветви

средняя ветвь минимума, расположенных в окрест-

при δ < 0 со смещением ветвей закона дисперсии в

ности δ = 0. Увеличение частоты Раби ω₂₄ (рис. 14б)

коротковолновую и длинноволновую области соот-

приводит к изменению формы средних ветвей и ис-

ветственно (рис. 11в).

чезновению экстремумов с одновременным сближе-

нием друг с другом в окрестности δ = 0 (рис. 14в).

Если ω₁₃ = ω₂₄ = 0, а ω₁₄ = 0 (рис. 12а), видно,

При ω₁₃ = 2 наблюдается пересечение средних вет-

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, зер-

вей в точке δ = 0 с изменением формы и возникнове-

кально симметрично расположенных относительно

нием экстремумов — минимума и максимума у обеих

δ, средние ветви характеризуются наличием неярко

ветвей, и симметричное относительно δ расталкива-

выраженных экстремумов — I средняя ветвь мак-

ние средних ветвей, восстановление структуры за-

симума, а II средняя ветвь минимума, расположен-

кона дисперсии и возникновение областей сужений

ных в окрестности δ = 0. Увеличение частоты Раби

между верхней и I средней ветвями в области δ > 0

трехфотонного перехода ω₁₄ (рис. 12б) приводит к

и II средней и нижней ветвями в области δ < 0 со

увеличению значений экстремумов средних ветвей

смещением ветвей закона дисперсии в коротковол-

и одновременному сближению минимума верхней и

новую и длинноволновую области (рис. 14г).

максимума I средней ветвей и максимума нижней

и минимума II средней ветвей в окрестности δ = 0.

Если ω₁₃ = ω₂₄ = 1, а ω₁₄ = 0 (рис. 15а), вид-

Затем увеличение параметра ω₁₄ приводит к возник-

но, что закон дисперсии состоит из четырех ветвей,

новению симметричных относительно δ пересечений

симметрично расположенных относительно δ, сред-

верхней и I средней ветвей и нижней и II средней

ние ветви характеризуются наличием неярко выра-

ветвей в точке δ = 0 (рис. 12в), ветви расталкивают-

женных экстремумов — I средняя ветвь максимума

ся, структура из четырех ветвей закона дисперсии

в области δ > 0, а II средняя ветвь минимума в обла-

восстанавливается (рис. 12г), дальнейшее увеличе-

сти δ < 0, и наличием пересечения средних ветвей

ние параметра ω₁₄ приводит к изменению формы

в точке δ = 0. Увеличение частоты Раби трехфо-

ветвей закона дисперсии, исчезновению экстрему-

тонного перехода ω₁₄ приводит к изменению формы

мов средних ветвей и одновременному симметрич-

средних ветвей — исчезновению экстремумов и одно-

ному относительно δ расталкиванию всех ветвей за-

временному расталкиванию друг относительно дру-

кона дисперсии и смещению в коротковолновую и

га (рис. 15б). Дальнейшее увеличение параметра ω₁₄

длинноволновую области (рис. 12д).

приводит к симметричному смещению ветвей зако-

на дисперсии в коротковолновую и длинноволновую

Если ω₂₄ = ω₁₄ = 1, а ω₁₃ = 0 (рис. 13а), видно,

области (рис. 15в).

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, сим-

метрично расположенных относительно δ, средние

В случае, если разности фаз Θ_i = π (i = 1-4),

ветви характеризуются наличием неярко выражен-

поведение ветвей закона дисперсии аналогично слу-

ных экстремумов — I средняя ветвь максимума, а II

чаю, описанному при Θ_i = 0, с сохранением харак-

средняя ветвь минимума, расположенных в окрест-

тера изменений в длинноволновой области Δ < 0.

ности δ = 0. Увеличение частоты Раби ω₁₃ (рис. 13б)

Таким образом, на рис. 15а видно, что при од-

приводит к изменению формы средних ветвей и ис-

новременном учете всех однофотонных процессов и

чезновению экстремумов с одновременным сближе-

обоих процессов двухфотонного возбуждения атома

нием друг с другом в окрестности δ = 0. При ω₁₃ = 2

и при отсутствии трехфотонного процесса возбуж-

(рис. 13в) возникает пересечение средних ветвей в

дения возникает эффект пересечения двух средних

точке δ = 0, одна из ветвей становится прямой и не

ветвей закона дисперсии в точке δ = 0 при Θ_i = π/2

зависит от δ, появляются области сужений между

и при условии равенства нулю частот Раби Ω₁₂, Ω₂₃,

верхней и I средней ветвями в области δ < 0 и II

Ω₂₃, Ω₁₃, Ω₂₄, Ω₁₄ = 0.

средней и нижней ветвями в области δ > 0, а также

При одновременном учете процессов двухфотон-

происходит расталкивание ветвей и смещение ветвей

ного и трехфотонного возбуждения атома (рис. 7в,

закона дисперсии в коротковолновую и длинновол-

8в, 9в) возникают эффекты пересечения: трех вет-

новую области (рис. 13г).

вей — верхней и двух средних ветвей в коротковол-

Если ω₁₃ = ω₁₄ = 1, а ω₂₄ = 0 (рис. 14а), видно,

новой области спектра при Θ_i = 0 либо нижней и

что закон дисперсии состоит из четырех ветвей, сим-

двух средних ветвей закона дисперсии в длинновол-

646

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 13. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = π/2 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω24 = ω14 = 1

при различных значениях ω13: 0 (а), 1 (б), 2 (в), 3 (г)

новой области при Θ_i = π; двух средних ветвей при

На рис. 12в видно, что учет трехфотонного про-

Θ_i = 0, π и ω₁₃ = ω₂₄ = ω₁₄ = 1, т.е. при условии

цесса возбуждения атома при отсутствии двухфо-

равенства частот Раби Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₂₃, Ω₁₃, Ω₂₄ и Ω₁₄;

тонных процессов ω₁₃ = ω₂₄ = 0 приводит к возник-

средних ветвей закона дисперсии в точке δ = 0 при

новению эффекта пересечений верхней и I средней,

Θ_i = π/2 и ω₁₃ = ω₁₄ = 1, ω₂₄ = 2 или ω₂₄ = ω₁₄ = 1,

а также II средней и нижней поляритонных ветвей

а ω₁₃ = 2, т.е. при условии равенства частот Раби

при ω₁₄ = 1 и Θ_i = π/2 и при условии равенства

Ω₂₃, Ω₃₄, Ω₁₃, Ω₁₄ и отличной частоте двухфотонно-

частот Раби Ω₁₂, Ω₂₃, Ω₃₄ и Ω₁₄. Наличие таких пе-

го перехода Ω₂₄ или Ω₃₄, Ω₂₃, Ω₂₄, Ω₁₄ и отличной

ресечений свидетельствует о существовании одной

частоте двухфотонного перехода Ω₁₃.

частоты нутационных колебаний при условии точ-

648

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

Рис. 14. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = π/2 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω14 = 1

при различных значениях ω24: 0 (а), 1 (б), 2 (в), 3 (г)

ной расстройки резонанса δ = 0. Если рассмотреть

тов пересечения ветвей закона дисперсии и изме-

случай, когда включены в рассмотрение взаимодей-

нение интенсивности излучения приводит к спек-

ствие атома с фотонами на оптически разрешенных

тральному смещению уровней.

двухфотонных переходах 1 ⇆ 3 и 2 ⇆ 4, т. е. ω₂₄ = 0

Наличие эффектов сближения и расталкивания

и ω₁₃ = 0, и пренебречь четырехчастичной корреля-

ветвей и пересечения ветвей закона дисперсии при

цией, описанной уравнением (9), то можно сделать

изменении значений частот Раби многофотонных

вывод, что важную роль в поведении ветвей зако-

переходов Ω₁₃, Ω₂₄, Ω₁₄ можно интерпретировать

на дисперсии играют процессы корреляции между

как изменение силы связи фотонов с атомом. Таким

константами взаимодействия всех учтенных перехо-

образом, перенормировка энергетического спектра

дов, обусловленные четырехчастичными процесса-

поляритонов ярко проявляется в эффекте возник-

ми. Анализ уравнения (9) показал, что отсутствие

новения сильной связи в длинноволновой (коротко-

этого слагаемого приводит к исчезновению эффек-

волновой) области и ослаблении в коротковолновой

649

О. В. Коровай

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Рис. 15. Законы дисперсии Δ(δ) при разности фаз Θi = π/2 и нормированных частотах Раби ω23 = ω34 = 1, ω13 = ω24 = 1

при различных значениях ω14: 0 (а), 0.65 (б), 3 (в)

(длинноволновой) области в зависимости от частоты

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ω₀. Это указывает также на смещение актуальных

В заключение отметим, что в статье представ-

точек k-пространства. Эффект пересечения ветвей

лены результаты теоретического исследования осо-

закона дисперсии можно, по-видимому, наблюдать

бенностей поведения закона дисперсии атомных по-

экспериментально, если изменять интенсивность из-

ляритонов для четырехуровневого атома с экви-

лучения — это приведет к изменению силы связи фо-

дистантным энергетическим спектром, взаимодей-

тона с атомом и к спектральному смещению уров-

ствующего с фотонами ультракороткого импульса

ней. Отмеченные особенности можно интерпретиро-

резонансного лазерного излучения с частотой ω_c,

вать как изменение силы связи фотона с атомом на

при одновременном учете трех последовательных

переходе 1 ⇆ 2.

однофотонных переходов и многофотонных перехо-

Таким образом, структура ветвей закона диспер-

дов — двухфотонных и трехфотонного, в прибли-

сии существенно определяется волновым вектором

жении заданной плотности фотонов. Показано, что

k = ω_c/c падающего из вакуума излучения. Соб-

закон дисперсии поляритонов в окрестности второ-

ственные частоты четырех ветвей поляритонов

ω₁,

го уровня (первого возбужденного) состоит из че-

ω₂, ω3, ω4 являются корнями уравнения (7), суще-

тырех ветвей, положение и форма которых опреде-

ственно зависят от интенсивности падающего излу-

ляются шестью частотами Раби указанных оптиче-

чения и определяют частоты нутации

Ω₁₂,

Ω₂₃,

Ω₃₄,

ских переходов. Непосредственный учет многофо-

Ω₁₃,

Ω₂₄,

Ω₁₄

(новые частоты Раби) поляритонов,

тонных переходов, наряду с однофотонными, приво-

которые описываются выражениями

дит к зависимости закона дисперсии атомных поля-

ритонов от квантовых параметров — разностей фаз.

Ω₁₂ = ω₁ - ω₂,

Ω₂₃ = ω₂ - ω₃,

Ω₃₄ = ω₃ - ω₄,

Найдены значения параметров системы, при кото-

рых возможно пересечение ветвей закона диспер-

Ω₁₃ = ω₁ - ω₃,

Ω₂₄ = ω₂ - ω₄,

Ω₁₄ =ω˜₁ - ω₄.

сии. Результаты исследования генерации и способов

Если собственные частоты, например, верхнего ω˜₁ и

управления оптическим спектром, обусловленным

первого среднего ω₂ поляритонов совпадают, то час-

когерентным взаимодействием атома и фотонов с

тота нутации

Ω₁₂ = 0 и, следовательно,

Ω₂₃ =

Ω₁₃.

образованием атомных поляритонов, играют прин-

Если совпадают собственные частоты второго ω₂ и

ципиально важную роль в создании современных

третьего ω₃ поляритонов, то

Ω₂₃ = 0, а частоты ну-

устройств квантовой оптоэлектроники и могут быть

тации

Ω₁₃ =

Ω₂₄. Если совпадают собственные час-

использованы в практических приложениях кванто-

тоты третьего ω₃ и четвертого ω₄ поляритонов, то

вых вычислений и оптической обработки информа-

Ω₃₄

Ω₁₃

= 0, а частоты

= Ω₁₄ и т.д. В этом слу-

ции.

чае процесс нутации не является результатом би-

ЛИТЕРАТУРА

ения между четырьмя поляритонными ветвями, а

1. C. W. Gardiner and M. J. Collett, Phys. Rev. A 31,

представляет собой нутационные колебания на со-

3761 (1985).

ответствующих частотах.

650

ЖЭТФ, том 161, вып. 5, 2022

Законы дисперсии четырехуровневого атома...

D. A. Steck, Quantum and Atom Optics, available

21.

T. M. Autry, G. Nardin, C. L. Smallwood, K. Silver-

online at http://steck.us/teaching (revision 0.13.4,

man, D. Bajoni, A. Lemaˆıtre, S. Bouchoule, J. Bloch,

24 September 2020).

and S. Cundif, arXiv:2004.10845v1.

H. Deng, H. Haug, and Y. Yamamoto, Rev. Mod.

22.

E. D. Valle, S. Zippilli, F. P. Laussy, A. Gonzalez-Tu-

Phys. 82, 1489 (2010).

dela, G. Morigi, and C. Tejedor, Phys. Rev. B 81,

035302 (2010).

I. Carusotto and C. Ciuti, Rev. Mod. Phys. 85, 299

23.

S. M. Yoshida, S. Endo, J. Levinsen, and M. M. Pa-

(2013).

rish, Phys. Rev. X 8, 011024 (2018).

Y. Kasprzak, M. Richard, S. Kindermann, A. Baas,

24.

Z. Tan, L. Wang, M. Liu, Y. Zhu, J. Wang, and

P. Jeambrun, J. M. J. Keeling, F. M. Marchetti,

M. Zhan, arXiv:1901.00127v1.

M. H. Szymanska, R. Andre, J. L. Staehli, V. Savona,

P. B. Littlewоod, B. Deveaud, and L. S. Dang, Nature

25.

F. E. Zimmer, J. Otterbach, R. G. Unanyan et al.,

443, 409 (2006).

Phys. Rev. A 77, 063823 (2008).

R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, and

26.

B. K. Dutta and P. Panchadhyayee, Laser Phys. 28,

K. West, Science 316, 1007 (2007).

045201 (2018).

A. Kogar, M. S. Rak, S. Vig, A. A. Husain, F. Fli-

27.

K. Sawicki, T. J. Sturges, M.

Sciesiek, T. Kazi-

cker, Y. I. Joe, L. Venema, G. J. MacDougall,

mierczuk, K. Sobczak, A. Golnik, W. Pacuski, and

T. C. Chiang, E. Fradkin, Y. van Vezel, and P. Ab-

J. Suffczynski, Nanophotonics 10, 2421 (2021).

bamonte, Science 358, 1314 (2017).

28.

Е. А. Якшина, Д. Б. Третьяков, В. М. Энтин,

F. Ge, X. Han, and J. Xu, Laser Photon. Rev. 15,

И. И. Бетеров, И. И. Рябцев, КЭ 48, 10, 886 (2018).

2000514 (2021).

29.

H. M. Kwak, T. Jeong, Y. -S. Lee, and H. S. Moon,

V. Agranovich, H. Benisty, and C. Weisbuch, Sol. St.

Opt. Comm. 380, 168 (2016).

Comm. 102, 631 (1997).

30.

S. K. Nath, V. Naik, A. Chakrabarti, and A. Ray, J.

Opt. Soc. Amer. B 36, 2610 (2019).

10.

O. A. Дубовский, В. М. Агранович, ФТТ 58, 1371

(2016).

31.

J. Tang, Yu. Deng, and C. Lee, Phys. Rev. Appl. 12,

044065 (2019).

11.

O. A. Дубовский, В. М. Агранович, ЖЭТФ 155,

963 (2019).

32.

S. Gasparinetti, J.-C. Besse, M. Pechal, R. D. Buijs,

C. Eichler, H. J. Carmichael, and A. Wallraff, Phys.

12.

R. F. Ribeiro, J. A. Campos-Gonzales-Angulo,

Rev. A 100, 033802 (2019).

N. C. Giebink, W. Xiong, and J. Yuen-Zhou, arXiv:

2006.08519v1 [physics.chem-ph].

33.

П. И. Хаджи, Нелинейные оптические процессы в

системе экситонов и биэкситонов в полупровод-

13.

М. Л. Тер-Микаелян, УФН 167, 1249 (1997).

никах, Штиинца, Кишинев (1985), с. 209.

14.

Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов, УФН 124, 619 (1978).

34.

П. И. Хаджи, Л. Ю. Надькин, Д. А. Марков, ФТТ

60, 660 (2018).

15.

Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов, УФН 169, 753 (1999).

35.

Л. Ю. Надькин, О. В. Коровай, Д. А. Марков, Опт.

16.

Э. Г. Канецян, Научные труды НУАСА III(5), 144

и спектр. 3, 272 (2021).

(2014).

36.

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин,

17.

S. N. Sandhya, J. Phys. B: Atom. Mol. Opt. Phys.

ЖЭТФ 155, 620 (2019).

40, 837 (2007).

37.

П. И. Хаджи, О. В. Коровай, Л. Ю. Надькин,

18.

G. Solookinejad, M. Jabbari, M. Nafar, E. Ahma-

Письма в ЖЭТФ 107, 623 (2018).

di Sangachin, and S. H. Asadpour, Int. J. Theor.

38.

О. В. Коровай, ЖЭТФ 160, 620 (2021).

Phys. 58, 1359 (2019).

39.

П. И. Хаджи, Л. Ю. Надькин, КЭ 36, 415 (2018).

19.

P. Kumar and Sh. Dasgupta, Phys. Rev. A 94, 023851

(2016).

40.

M. D. Yacoub and G. Fraidenraich, Math. Gazette

96(536), 271 (2012).

20.

E. O. Nyakang’o, D. Shylla, K. Indumathi et al., Eur.

Phys. J. D 74, 187 (2020).

41.

W. F. Carpenter, Math. Magazine 39, 28 (1966).

651