ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 430-437

ПОИСК ПЕРЕХОДА БАЙКА - БЕН АРУСА - ПЕШЕ

ПУТЕМ РАЗМЕРНОЙ РЕДУКЦИИ

А. Ф. Валов^a, А. С. Горский^b, С. К. Нечаевc,d*

^a Федеральный исследовательский центр химической физики им. Н. Н. Семенова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт проблем передачи информации Российской академии наук

127051, Москва, Россия

^c Междисциплинарный научный центр им. Ж.-В. Понселе (CNRS IRL 2615)

119002, Москва, Россия

^d Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 21 ноября 2021 г.,

после переработки 21 ноября 2021 г.

Принята к публикации 23 ноября 2021 г.

Рассмотрен микроканонический ансамбль случайных путей фиксированной длины, N, в окрестности по-

лупроницаемой границы диска. При варьировании проницаемости диска для траекторий, η, от слабого

режима (0 < η ≪ 1) до сильного (η → 1) наблюдается переход Байка - Бен Аруса - Пеше (Baik-Ben Aro-

us-Péché, BBP), который проявляется в изменении характерных флуктуаций траекторий в направле-

нии, перпендикулярном границе. Типичный размах флуктуаций, Δ, ведет себя как Δ(N) ∼ N1/3 для

0 < η ≪ 1 и как Δ(N) ∼ N1/2 для η → 1. Применен нелинейный метод размерной редукции UMAP, ши-

роко используемый для выделения значимых («медленных») переменных при анализе больших массивов

данных, и показано, что он позволяет увидеть переход BBP в рассматриваемой задаче, что проявляется в

специфической кластеризации данных на двумерной фазовой плоскости. Аналогичная размерная редук-

ция, осуществленная с помощью линейного метода PCA, оказывается нечувствительной к переходу BBP.

DOI: 10.31857/S0044451022030129

коррелированных случайных величин. Поведе-

ние некоторых наблюдаемых в соответствующих

скейлинговых режимах определяется решения-

1. ВВЕДЕНИЕ

ми специальных дифференциальных уравнений.

Например, решение уравнения Пенлеве II опре-

Размерные соображения (скейлинг) довольно

деляет скейлинговую зависимость КПЗ в режиме

часто служат инструментом, с помощью которо-

Трейси - Видома.

го удобно исследовать статистическое поведение

системы. Два скейлинговых закона: Гаусса и

Недавно в работе [1] было показано, что пере-

Кардара - Паризи- Занга (КПЗ), появляются в

ход от гауссова режима к режиму КПЗ является

огромном разнообразии статистических систем.

универсальным и может рассматриваться как фазо-

Стандартное распределение Гаусса с критическим

вый переход с соответствующим образом выбранной

индексом 1/2 для флуктуаций следует из цент-

скейлинговой функцией. В работе [2] было показано,

ральной предельной теоремы для большого числа

что данная функция вновь определяется решением

независимых случайных величин. С другой сторо-

уравнения Пенлеве II. Позже подобные фазовые пе-

ны, критический индекс КПЗ 1/3 для флуктуаций,

реходы были обнаружены в нескольких физических

определяемых законом Трейси - Видома, характе-

задачах, таких как “last passage percolation” [3], мо-

рен для экстремальной статистики большого числа

дель ASEP со специальными начальными условия-

ми [4], q-TASEP с наличием медленных частиц [5],

^* E-mail: sergei.nechaev@gmail.com

перколяция в двумерии [6] и переход спиновое стек-

430

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Поиск перехода Байка - Бен Аруса - Пеше путем размерной редукции

ло-парамагнетик в приближении среднего поля [7].

от непрерывной части спектральной плотности, ха-

В последнем случае переход происходит при некото-

рактеризуют кластеры графа [15]. С динамической

ром критическом значении температуры.

точки зрения возбуждения (квазичастицы), распро-

Во всех случаях соответствующие фазовые пере-

страняющиеся по графу, локализуются на этих кла-

ходы представляют собой так называемый фазовый

стерах. Таким образом, предложив некоторый спе-

переход Байка - Бен Аруса - Пеше (Baik-Ben Aro-

циальный способ построения графа по ансамблю

us-Péché, BBP), который обнаруживает новый

траекторий, статистику которых мы анализируем,

класс универсальности перехода от флуктуацион-

мы ожидаем, что сможем увидеть проявление пере-

ного режима КПЗ к гауссову. Физика, лежащая в

хода BBP в поведении самых медленных мод (наи-

основе перехода BBP, во всех доступных примерах

больших собственных значений) матрицы смежно-

достаточно универсальна. На языке полимеров

сти построенного графа.

переход BBP означает, что

(1+1)D случайная

Современные задачи работы с большими данны-

траектория находится точно на пороге образования

ми (big data) сталкиваются с серьезными пробле-

связанного состояния с каким-либо дефектом или

мами, связанными с объемом и надежностью ис-

притягивающей границей.

следуемых наборов данных. Кроме того, экспери-

Взаимодействие траектории и дефекта может

ментальные данные довольно часто содержат избы-

быть введено явно или каким-либо эффективным

точную локальную информацию, которая маскиру-

способом. Пример явного взаимодействия приведен

ет глобальные свойства системы (данное свойство

в работе [8], где переход BBP происходит, когда

известно как «проклятие размерности»). В связи с

часть траектории полимера локализуется на протя-

этим актуальной проблемой анализа данных являет-

женном дефекте при некотором критическом значе-

ся снижение их размерности и выделение «медлен-

нии связи между полимером и дефектом. Пример

ных мод», ответственных за основные особенности

эффективного взаимодействия траектории и протя-

поведения системы. В физике сложных систем таки-

женного дефекта был рассмотрен в работах [9-12]

ми глобальными характеристиками являются пара-

в связи с задачей Феррари- Шпона [13]. Формули-

метры порядка, которые, будучи макроскопически-

руя задачу в полимерных терминах, можно сказать,

ми, классифицируют поведение системы в разные

что часть полимерной траектории испытывает пере-

моменты времени по наборам микропеременных. С

ход между различными флуктуационными режима-

другой стороны, часто при описании коллективных

ми над полукругом. Соответствующая качественная

явлений выбор параметров порядка представляет

картина была подтверждена в работе [14]. В этой

собой сложную задачу, которая может быть реше-

постановке ключевым моментом является рассмот-

на методами обучения без контроля (nonsupervised

рение микроканонического ансамбля флуктуирую-

learning), как это происходит в задачах упорядоче-

щих траекторий фиксированной длины N. Условие

ния в стаях птиц и рыб [16] или при изучении воз-

N = cR накладывается на траектории, концы кото-

никновения топологической фазы в переходе Бере-

рых закреплены в противоположных точках полу-

зинского - Костерлица - Таулесса [17, 18].

круга радиусом R. Варьируя значение c, в микрока-

Интенсивное развитие новых нелинейных мето-

ноническом ансамбле мы наблюдаем переход BBP. В

дов размерной редукции в течение последних 10 лет

данном случае принципиально, что мы рассматри-

связано с неспособностью линейных методов опи-

ваем траектории фиксированной длины, из-за чего

сать внутреннюю топологическую структуру (мно-

траектории прижимаются к границе диска, а c яв-

гообразие) большинства современных наборов дан-

ляется управляющим параметром, который эффек-

ных. Среди нелинейных методов наиболее попу-

тивно регулирует силу «прилипания» траекторий к

лярными являются SNE (t-SNE) [19, 20], UMAP

полукругу.

[21] и их многочисленные обобщения [22-24]. Ко-

Несмотря на то, что критические (скейлинговые)

ординаты в низкоразмерном пространстве являют-

показатели говорят о статистике траекторий, иногда

ся решениями задачи оптимизации для некоторого

они оказываются слишком грубыми, чтобы харак-

информационного функционала (типа дивергенции

теризовать конкретные детали системы, и требуют-

Кульбека - Лейблера для SNE или кросс-энтропии

ся какие-то более информативные характеристики

для UMAP).

коллективного поведения путей. На помощь прихо-

В данной работе мы предлагаем исследовать пе-

дят спектральные методы изучения многообразий.

реход BBP в микроканоническом ансамбле путей

Известно, что изолированные собственные значения

фиксированной длины, флуктуирующих в окрест-

матрицы смежности некоторого графа, оторванные

ности полупроницаемой границы диска, с помощью

431

А. Ф. Валов, А. С. Горский, С. К. Нечаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 1. Пример пути длиной N = 4R, который огибает частично непроницаемый полукруг радиусом R = 30 для η = 0 (а),

0.8 (б), 0.98 (в)

метода снижения размерности. Мы модифициру-

где N_in(path) — число шагов конкретного пути внут-

ем постановку задачи в модели Феррари - Шпона

ри окружности, N — общее число шагов, которое

и рассматриваем микроканонический ансамбль пу-

совпадает с N = cR, фиксированной длиной траек-

тей с фиксированным параметром c, определенным

тории.

выше. Мы вводим еще один управляющий пара-

Напомним некоторые качественные аргументы,

метр, η, который соответствует «проницаемости»

следующие из скейлингового анализа. Случайное

диска для траекторий. Подробная постановка зада-

блуждание из N ≫ R² шагов свободно флуктуи-

чи описана в следующем разделе. Переход BBP при

рует вне диска и почти не чувствует ограничений

уменьшении размерности большого набора данных

(границы диска). Таким образом, единственная воз-

по блужданиям траекторий проявляется как неко-

можная комбинация D (коэффициент диффузии) и

торый спектральный паттерн кластеризации в дву-

N, которая имеет размерность длины, может быть

мерной фазовой плоскости.

Δ ∼ (DN)1/2 для типичного участка траектории. В

противоположном режиме, πR < N ≪ R², статис-

тика цепи существенно возмущена взаимодействи-

2. МОДЕЛЬ

ем с границей диска. В пределе сильного растяже-

ния, N

= cR, соответствующий критический ин-

Рассмотрим микроканонический ансамбль слу-

декс определяется скейлинговой зависимостью: Δ ∼

чайных направленных путей фиксированной дли-

∼ (DRN)^γ с γ = 1/3, которая в пределе N ≪ R²

ны, N = cR, с заданными граничными условиями,

дает Δ ≪ R, а при N ∼ R² переходит в Δ ∼ R.

которые находятся в окрестности диска радиусом

Постановка задачи для численного моделирова-

R. Пусть πR < N ≪ R², параметр c фиксирован,

ния выглядит следующим образом: каждая (1+1)D

а диск частично проницаем для траекторий. Долю

траектория длиной N = cR, флуктуирующая вбли-

шагов траектории, которые попадают внутрь дис-

зи полупроницаемого диска радиусом R, представ-

ка, обозначим через η. Варьируя η от η = 0 (все

лена последовательностью точек {(x_i, y_i)}i=[1,N], ко-

пути находятся вне диска) до η = 1 (все пути на-

нечные точки траектории закреплены рядом с про-

ходятся внутри диска), мы исследуем зависимость

тивоположными сторонами полукруга, (-R - ϵ, 0) и

характерного масштаба флуктуаций путей в нашем

(R+ϵ, 0), где ϵ/R ≪ 1. Расстояния между соседними

микроканоническом ансамбле от их взаимодействия

точками траектории распределены по закону Гаусса

с границей диска. С точки зрения траекторий час-

с единичными средним значением и дисперсией.

тиц в евклидовом (1+1)D пространстве-времени, па-

Проницаемость полукруга характеризуется па-

раметр η можно рассматривать как отношение масс

раметром η = N_in/N, который определяет отноше-

частицы в двух фазах: внутри и снаружи диска.

ние числа шагов внутри круга, N_in, к общему чис-

Соответствующая статистическая сумма микрока-

лу шагов траектории, N = N_in + N_out. Предельный

нонического ансамбля траекторий может быть за-

случай η → 0 (т.е. N_in = 0) соответствует моде-

писана как

ли Феррари - Шпона, в которой траектории нахо-

Z(cR, η) =

дятся снаружи непроницаемого полукруга, в то вре-

(

)

∑

мя как противоположный предел, η → 1, соответ-

N_in(path)

δ(N-cR)δ η-

(1)

ствует траекториям, полностью остающимся внут-

paths of length N

ри полукруга, за исключением конечных точек, ко-

432

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Поиск перехода Байка - Бен Аруса - Пеше путем размерной редукции

торые по определению фиксированы вне диска. На

рис. 1 изображены примеры траекторий для η = 0,

0.8, 0.98.

Как известно из работы [9], «растянутая» слу-

чайная траектория длиной N = cR из микроканони-

ческого ансамбля, вынужденная блуждать в окрест-

ности непроницаемой круговой границы, флуктуи-

рует в пределах «полосы» типичного характерного

размера Δ(R) со скейлинговой зависимостью

Δ(R) ∼ R1/3.

(2)

Вопросы, поставленные в данной работе, форму-

лируются следующим образом: 1) как влияет про-

ницаемость η на критический показатель γ в зави-

Рис. 2. Зависимость критической экспоненты γ в законе

симости для флуктуаций Δ(R|η) ∼ R^γ , 2) можно ли

масштабирования Δ(R) ∼ R^γ от функции параметра про-

ницаемости, η = Nin/N. При η = 0 имеем γ = 1/3

увидеть переход (если таковой имеется) не только

(КПЗ-поведение), при η → 1 имеем γ → 1/2 (гауссово

на уровне критического показателя γ (что являет-

поведение)

ся довольно грубой характеристикой перехода), но

и непосредственно на уровне ансамбля траекторий.

Для ответа на эти вопросы мы провели модели-

рование траекторий методом Монте-Карло по алго-

ритму Метрополиса с «ценой» пребывания внутри

диска, η. На начальном этапе моделирования мы ге-

нерируем N = cR точек, равномерно распределен-

ных на полукруге радиусом R + ϵ, которые затем

смещаются случайным образом, сохраняя 1) гауссо-

во распределение длин связей, 2) упорядочение по

x-координате, x_i > xi-1 для всех i ∈ [1, N]. На каж-

дом шаге моделирования мы следим за величиной



N_in



−



(3)

^η

,

Рис. 3. Пример подготовки траектории для уменьшения

размерности. Из траектории длиной N = 120, блуждаю-

где η — заданная проницаемость полукруга, N_in —

щей около полукруга радиусом R = 30, вырезана цент-

число шагов пути внутри полукруга. Применение

ральная часть длиной N^′ = 60

алгоритма Метрополиса подразумевает, что, если

значение u в (3) не увеличивается при случайном

смещении, а все остальные условия для траектории

вне нашего довольно грубого рассмотрения в тер-

выполняются, то мы принимаем эту конформацию

минах критических экспонент, γ, мы изучаем пере-

с единичной вероятностью; в обратном случае мы

ход BBP на уровне ансамбля траекторий, исполь-

принимаем ее с вероятностью e^-Nu. После пример-

зуя нелинейные методы снижения размерности. По-

но N³ шагов моделирования мы уравновешиваем си-

скольку в нашей постановке начальная и конечная

стему, проверяем, что u = 0, и получаем траектории,

точки всех траекторий фиксированы, мы имеем де-

из которых затем вычисляем типичные флуктуации

ло только с «подвижной» частью траекторий, на ко-

в радиальном направлении, Δ, над средней точкой

торую меньше всего влияют граничные условия. А

полукруга. Здесь и далее мы принимаем c = 4 для

именно, из конкретной реализации траектории дли-

вытянутых траекторий, которые при η = 0 локали-

ной N = 4R, r = {(x_i, y_i)}i=[1,N], или, эквивалент-

зованы в пределах полосы Δ ∼ R1/3 около границы

но, r = {(xi, yi)}i=[1,4R], мы рассматриваем толь-

полукруга. При изменении η критическая экспонен-

ко ее центральную часть длиной N^′ = 2R, r_c =

та γ меняется от 1/3 до 1/2, как показано на рис. 2,

= {(x_i, y_i)}i=[R+1,3R], как показано на рис. 3.

что является признаком фазового перехода BBP.

Чтобы выяснить тонкие детали статистическо-

Удобно переписать 2 × (2R)-компонентный век-

го поведения траекторий, которые могут остаться

тор r^′ как 1 × (4R)-компонентный вектор:

433

ЖЭТФ, вып. 3

А. Ф. Валов, А. С. Горский, С. К. Нечаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 4. Встраивание набора данных 120-мерных векторов (4) в двумерное фазовое пространство с помощью метода PCA

X = (xR+1,yR+1,xR+2,yR+2,

Approximation and Projection) [21]. Мы используем

оба этих метода, поскольку один из них (PCA) яв-

xR+3, yR+3, . . . , x3R, y3R).

(4)

ляется линейным, а другой (UMAP) — нелинейным.

В качестве набора данных, в котором осуществля-

Результаты размерной редукции, т. е. проекции

ется снижение размерности, мы выбираем ансамбль

датасета на двумерное фазовое пространство,

120-компонентных векторов X, уникально кодирую-

показаны на рис. 4 для PCA и на рис. 5 для UMAP.

щих траектории длиной N = 120, которые флукту-

Оба метода, PCA и UMAP, демонстрируют про-

ируют около диска радиусом R = 30 с проницаемо-

странственное разделение пятен, соответствующих

стью η. Наш набор данных почти всюду равномерно

траекториям, сгенерированным при различных зна-

покрывает интервал 0 ≤ η < 1 с набором парамет-

чениях η. Кроме того, при некоторых η (η ≤ 0.25)

ров η = {0, 0.05, 0.1, 0.2, . . ., 0.9}, где для каждого

метод UMAP выделяет обособленный кластер, со-

значения η генерируется 1000 векторов X. Подчерк-

держащий часть траекторий. Такой кластер не ви-

нем, что траектории, соответствующие разным зна-

ден при уменьшении размерности с помощью PCA.

чениям η, смешиваются в одном датасете и затем

Сравнивая рис. 4 и 5, можно заключить, что PCA,

анализируются все вместе.

по-видимому, оказывается слишком грубым, что-

бы различить траектории, соответствующие фазам

с различными критическими показателями γ на

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

рис. 2, как мы видим в переходе BBP. Напротив,

Мы исследовали статистические свойства

UMAP четко разделяет траектории, соответству-

ансамбля путей, используя два популярных ме-

ющие разным фазам, что делает осмысленным и

тода уменьшения размерности: анализ главных

оправданным применение нелинейных методов сни-

компонент (PCA) и UMAP (Uniform Manifold

жения размерности для рассматриваемой задачи.

434

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Поиск перехода Байка - Бен Аруса - Пеше путем размерной редукции

Рис. 5. Встраивание набора данных 120-мерных векторов (4) в двумерное фазовое пространство с помощью метода UMAP

Следует отметить, что используемая в данной

торий со статистикой 1/2 (гауссовой). Такая транс-

работе реализация UMAP является результатом

формация проявляется в переходе некоторых точек

применения алгоритма Laplacian Eigenmaps (LE) в

из правого кластера в левый. Выше η = 0.25 траек-

качестве отправной точки для некоторого процес-

торий со статистикой КПЗ не существует и соответ-

са оптимизации. Известно, что LE дает низкораз-

ствующий кластер исчезает.

мерные вложения, состоящие из низкоэнергетиче-

Это поведение находится в качественном согла-

ских собственных мод лапласиана графа исходной

сии с тем, что наблюдается на рис. 2, однако есть

системы, поэтому финальные вложения, получен-

некоторое количественное различие: переход BBP,

ные с помощью UMAP, можно рассматривать как

проанализированный с помощью метода уменьше-

тонкое проявление спектральной кластеризации в

ния размерности на рис. 5, появляется при меньших

низкоразмерном пространстве для алгоритма LE.

значениях η, чем переход BBP, измеренный по за-

висимости γ(η) на рис. 2. Это количественное рас-

Исчезновение правого кластера на рис. 5 при из-

хождение требует дальнейшего анализа, однако мы

менении параметра η в интервале η ∈ [0, 0.25] име-

полагаем, что оно связано с малой длиной рассмат-

ет очень ясный физический смысл. Каждая точка

риваемых траекторий: N = 60 для размерной редук-

на рис. 5 обозначает некоторую траекторию: точ-

ции и N = 120 для скейлинговой зависимости γ(η).

ки из левого кластера соответствуют траекториям с

гауссовой статистикой, точки из правого (бокового)

Мы провели проверку устойчивости полученных

кластера кодируют траектории с КПЗ-статистикой.

результатов. А именно, чтобы проверить, действи-

При увеличении η от η = 0 к η = 1 количество

тельно ли каждая точка на рис. 5 обозначает какой-

траекторий со статистикой 1/3 (КПЗ) уменьшает-

то конкретный путь, мы провели следующий чис-

ся и одновременно увеличивается количество траек-

ленный эксперимент. После генерации рис. 5 мы взя-

435

А. Ф. Валов, А. С. Горский, С. К. Нечаев

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

ли некоторый снимок (скажем, при η = 0.1) и удали-

изолированного собственного значения, выходящего

ли из набора данных все траектории, соответствую-

из континуума в эффективной матричной модели с

щие левому (гауссову) кластеру (пятну) при η = 0.1.

большим числом степеней свободы, N. Было бы ин-

Затем мы повторно запустили UMAP на этом изме-

тересно развить эффективное матричное описание

ненном наборе данных и снова получили ансамбль

для проблемы, рассматриваемой в настоящей рабо-

двумерных пятен для всех рассматриваемых значе-

те, и увидеть аналогичное отсоединение одиночного

ний η. Мы обнаружили, что левое (гауссово) пят-

собственного значения в точке перехода. Образова-

но при η = 0.1 отсутствует. Этот эксперимент до-

ние бокового кластера при редукции размерности в

казывает однозначное соответствие между каждой

методе UMAP дает намек на возможные подходы к

точкой на двумерной фазовой плоскости, получен-

данной задаче.

ной после нелинейной размерной редукции, и каж-

дой конкретной траекторией при некотором значе-

Благодарности. Мы благодарны организато-

нии проницаемости η.

рам семинара по статистической механике сложных

систем в Центре Понселе, на котором обсуждались

результаты данной работы.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

Финансирование. Работа А. Г. и С. Н. под-

держана Российским научным фондом (грант

В этой работе мы обнаружили переход BBP в

№21-11-00215).

микроканоническом ансамбле траекторий фиксиро-

ванной длины в окрестности частично проницаемого

диска. Переход проявляется в изменении критичес-

ЛИТЕРАТУРА

кого показателя γ флуктуаций траекторий в ради-

альном направлении вблизи границы диска при из-

J. Baik, G. Ben-Arous, and S. Peche, Ann. Probab.

33, 1643 (2005), arXiv:math/0403022.

менении проницаемости η. Мы показали, что нели-

нейный метод редукции размерности, тесно связан-

J. Baik, Duke Math. J. 133, 205 (2006), arXiv:

ный со спектральным анализом матрицы связности

math/0504606.

большого массива данных (так называемый метод

UMAP), позволяет идентифицировать переход BBP

J. Baik, G. Barraquand, I. Corwin, and T. Suidan,

через кластеризацию изображений траекторий на

Ann. Probab. 46, 3015 (2018).

двумерной фазовой плоскости.

A. Aggarwal and A. Borodin, Ann. Probab. 47, 613

Наш результат показывает, что нелинейная ре-

(2019), arXiv:1607.08684; A. Borodin, I. Corwin, and

дукция размерности применима для идентифика-

P. Ferrari, Comm. Pure Appl. Math. 67, 1129 (2014).

ции фазового перехода в ансамбле протяженных

объектов (траекторий), подчиняющихся некоторому

G. Barraquand, Stochastic Processes and their

ограничению (например, наличию границы диска).

Applications 125, 2674 (2015), arXiv:1404.7409.

В связи с этим возникает вопрос о применении мето-

S. Saber and A. Ali Saberi, arXiv:2109.02348.

да UMAP для сходной задачи о полимерах вблизи

точечных дефектов, где переходы BBP были най-

J. Baik and J. O. Lee, Ann. Inst. H. Poincaré Probab.

дены для различных управляющих параметров, см.

Statist. 56, 2897 (2020), arXiv:1711.06364.

работы [8,12]. Было бы также интересно применить

наш метод для изучения канонического ансамбля

A. Krajenbrink, P. Le Doussal, and N. O’Connell,

Phys. Rev. E 103, 042120 (2021), arXiv:2009.11284.

траекторий с фиксированным химическим потенци-

алом, контролирующим длину пути. Такая поста-

S. Nechaev, K. Polovnikov, S. Shlosman, A. Valov,

новка аналогична интегралу по путям массивных

and A. Vladimirov, Phys. Rev. E 99, 012110 (2019).

частиц в евклидовом пространстве-времени. Дру-

гая потенциально интересная возможность касается

10.

A. Vladimirov, S. Shlosman, and S. Nechaev, Phys.

комбинации UMAP с алгоритмом квантового метода

Rev. E 102, 012124 (2020).

Монте-Карло [25], который применим для получе-

11.

A. S. Gorsky, S. K. Nechaev, and A. F. Valov, JHEP

ния фазовых диаграмм в сильносвязных квантовых

08, 123 (2018).

системах.

В работах [8, 26] переход BBP был сформу-

12.

A. Gorsky, S. Nechaev, and A. Valov, Phys. Part.

лирован в полимерных терминах как образование

Nuclei 52, 185 (2021), arXiv:2005.02382.

436