ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 414-429

РЕШЕНИЕ САМООРГАНИЗОВАННО-КРИТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

МАННЫ ДЛЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА 2-4

А. В. Подлазов^*

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук

125047, Москва, Россия

Поступила в редакцию 13 ноября 2021 г.,

после переработки 22 ноября 2021 г.

Принята к публикации 23 ноября 2021 г.

Исследуется модель Манны — консервативная изотропная самоорганизованно-критическая модель типа

кучи песка. Для нее приводятся результаты компьютерного моделирования в двух-, трех- и четырех-

мерной постановках, а также аналитическое решение для размерности пространства между нижней и

верхней критическими размерностями. Решение основано на построение модели мезоуровня, формули-

руемой в терминах плотности возбуждения, его корреляционной длины, средней активности лавины и

ширины границы ее области. Расчет показателей выполнен двумя независимыми способами: на основе

перенормировки стохастических дифференциальных уравнений и путем сведения происходящих процес-

сов к случайным блужданиям.

DOI: 10.31857/S0044451022030117

компьютерного эксперимента. Завершается статья

обсуждением, включающим введение нового суперу-

ниверсального показателя.

1. ВВЕДЕНИЕ

В 2021 г. исполнилось 30 лет модели Манны [1],

1.1. Парадигма самоорганизованной

в класс универсальности которой попадают многие

критичности

стохастические анизотропные консервативные мо-

дели теории самоорганизованной критичности [2].

Базовой моделью теории самоорганизованной

Несмотря на длительную историю исследований и

критичности является куча песка [5]. Рассмотрим

частую встречаемость, этот класс получил част-

уголок с песком, изображенный на рис. 1. Если счи-

ное — для двумерного случая — аналитическое опи-

тать, что возможно лишь поверхностное перемеще-

сание лишь сравнительно недавно [3, 4], а общего

ние песка, инерцией движения которого можно пре-

описания не имел вовсе. В настоящей работе уда-

небречь, то состояние системы определяется сред-

ется устранить этот пробел.

ним наклоном поверхности z. Когда он невелик, пе-

Работа построена следующим образом. Далее во

сок в целом неподвижен. А при превышении накло-

Введении приводится краткое описание явления са-

ном некоторого порогового значения z_c возникает

моорганизованной критичности, моделей типа ку-

спонтанный ток песка J по поверхности, непрерывно

чи песка и способов обращения со степенными рас-

возрастающий по мере увеличения z, как показано

пределениями вероятностей. В разд. 2 описываются

на вставке на рис. 1. Таким образом, имеет место

правила рассматриваемой модели и рассчитывается

непрерывный фазовый переход, в котором наклон

ее верхняя критическая размерность. Разделы 3 и 4

поверхности z является управляющим параметром,

посвящены теоретическому изучению модели на ос-

а ток песка J — параметром порядка.

нове двух различных инструментариев, связанных

Критическое состояние соответствует моменту

соответственно с ланжевеновскими уравнениями и

отрыва параметра порядка от нуля. Обычные кри-

со случайными блужданиями. В разд. 5 проводится

тические системы попадают в это состояние благо-

сопоставление полученного решения с результатами

даря тонкой подстройке управляющего параметра к

заранее неизвестному критическому значению. Од-

^* E-mail: Tiger@Keldysh.ru

нако в ряде систем оказывается возможным, уста-

414

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

Таким образом, возникает отрицательная обрат-

ная связь, вынуждающая наклон со временем при-

нять значение z = z_c вне зависимости от начально-

го профиля поверхности. При этом куча, состоящая

из локально взаимодействующих песчинок, начина-

ет вести себя как единое целое. То есть в результате

самоорганизации в критическое состояние система

приобретает свойства, которых не было у ее элемен-

тов.

Поведение

самоорганизованно-критической

системы является масштабно-инвариантным, что

означает отсутствие собственных характерных

размеров у описывающих его переменных. Они под-

чиняются степенным распределениям с плотностью

Рис. 1. Фазовый переход для кучи песка. Ее критическое

вероятности вида

состояние может достигаться как искусственно, так и в ре-

зультате самоорганизации

u_X(X) ∝ X-(1+αx),

(1)

— характеристический показатель распреде-

где α_x

навливая параметр порядка в +0, заставить управ-

ления величины X.

ляющий параметр самостоятельно отыскать крити-

Здесь и далее применяются следующие обозна-

ческую точку, это и называется самоорганизованной

чения. При записи переменных заглавные буквы ис-

критичностью.

пользуются для итоговых значений, относящихся к

Иначе говоря, вместо того, чтобы крутить ручку

уже завершившимся событиям, а соответствующие

прибора, можно начать сдвигать с нулевой отмет-

строчные — для текущих значений, относящихся к

ки стрелку на его шкале, вынуждая ручку повер-

развивающимся событиям. В индексах функций все-

нуться до нужного положения [6]. Такое управление

гда стоят заглавные буквы (распределения имеют

параметром порядка обыкновенно достигается при

смысл лишь для итоговых значений переменных), а

помощи разделения временных масштабов [7], при

в индексах показателей — строчные (это непринци-

котором время релаксации системы много меньше

пиально, но существенно улучшает читаемость фор-

времени между последовательными возмущениями,

мул).

т. е. песок едва перемещается по куче.

Самоорганизация системы в критическое состо-

1.2. Свойства реальных степенных

яние происходит при токе J

= +0. Чтобы обес-

распределений

печить такую величину параметра порядка, будем

Формула (1) является математической идеализа-

добавлять песчинки по одной на вершину кучи

цией и применима лишь в промежуточной асимп-

(см. рис. 1), дожидаясь завершения процесса релак-

тотике, протяженность которой ограничена с обеих

сации. При этом ток песка через кучу, очевидно,

сторон: сверху — в силу конечности размера рас-

имеет минимально возможное значение — в среднем

сматриваемой системы, а снизу — в силу конечности

одна песчинка за время одного события.

размеров слагающих ее элементов. И если отклоне-

Если наклон поверхности мал, то осыпание, вы-

ние u_X (X) от степенного вида при малых X обычно

званное добавленной песчинкой, скорее всего, не до-

не представляет особого интереса, то при больших

стигнет края кучи и наклон ее поверхности увели-

оно имеет принципиальное значение.

чится. При большом наклоне возможно возникно-

Нестепенное поведение плотности учитывается с

вение глобального осыпания, в результате которого

помощью метода конечноразмерного скейлинга, свя-

некоторое количество песка покинет систему и на-

занного с заменой формулы (1) более общей записью

клон уменьшится. Равновесие между количеством

вида

песка, добавляемого в систему, и количеством пес-

u_X(X) = X-(1+αx)g_X(X/X₁).

(2)

ка, покидающего ее, достигается при критическом

наклоне поверхности, когда возмущение может рас-

Скейлинговая функция g_X полагается примерно по-

пространяться по куче сколь угодно далеко, не за-

стоянной при малых значениях аргумента и убыва-

тухая и не разрастаясь.

ющей быстрее любой его степени при больших. Из-

415

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

за масштабной инвариантности величина X₁, харак-

в сочетании с зависимостью (6) воспроизводящей

теризующая события, крупные настолько, что они

тождество (4).

уже не помещаются в систему конечного размера L,

Основной задачей при исследовании самооргани-

растет как некоторая его степень:

зованно-критических моделей является их решение,

т. е. определение характеристических и скейлинго-

X₁ ∝ Lνx.

(3)

вых показателей для распределений всех перемен-

ных, описывающих происходящие события.

При этом доля событий, не помещающихся в сис-

тему, убывает с ее размером как

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

∫∞

P {X > X₁} = u_X (X) dX

После появления первой модели кучи песка Ба-

ка - Танга - Визенфельда (БТВ) [8, 9], заложившей

основы теории самоорганизованной критичности,

∫∞

(

)

был создан целый ряд моделей этого типа. Описан-

= X-(1+αx)g_X

XL-νx

dX ∝ L^-ε,

(4)

ная выше концептуальная схема с жестко заданным

Lνx

направлением склона кучи порождает сравнительно

где универсальный показатель

простые модели [10, 11], которые легко могут быть

решены аналитически [10,12]. Значительно более ин-

ε≡α_xν_x

тересны изотропные модели, одна из которых, пред-

ложенная Субраншу Манной [1], и рассматривается

не зависит от того, какая именно величина исполь-

в настоящей работе.

зуется для его вычисления, поскольку если событие

не помещается в систему, то не помещается сразу по

2.1. Описание правил

всем своим характеристикам.

Сочетание формул (2), (3) и (4) позволяет опре-

Модель Манны формулируется как клеточный

делить скейлинговое поведение и для среднего со-

автомат (система с дискретными пространством,

бытия

временем и состояниями) на d-мерной кубической

∫

решетке линейного размера L. Целые числа z в ячей-

〈X〉 = X-αxg_X (X/X₁) dX ∝ Lσx,

(5a)

ках решетки, согласно традиции, интерпретируются

как количество содержащихся в них песчинок.

где

Ячейки, содержащие не менее z_c песчинок, счи-

таются неустойчивыми и опрокидываются, переда-

σ_x = ν_x - ε.

(5b)

вая указанное число песчинок соседним (имеющим

общую грань с данной) ячейкам. При этом каждая

При исследовании конкретных моделей для

передаваемая песчинка случайным образом выбира-

некоторых величин удается из общих сообра-

ет, в какую из соседних ячеек ей перейти. Значение

жений найти скейлинговые показатели ν_x и σ_x,

порога устойчивости z_c > 1 не оказывает принци-

связывающие характерные значения X₁ и 〈X〉 с

пиального влияния на свойства модели. В ориги-

обусловившим их появление конечным размером L,

нальной версии модели было z_c = 2 [1], однако в

что будет продемонстрировано далее.

настоящей работе рассматривается более популяр-

В масштабно-инвариантном состоянии взаимо-

ная версия с z_c = 2d [13], в которой на каждую со-

связь разных характеристик события X и Y дается

седку опрокинувшейся ячейки приходится в сред-

степенной формулой

нем по 1 переданной песчинке. При этом правила

модели Манны становятся максимально похожи на

Xαx ∝ Yαy,

(6)

правила модель БТВ, отличаясь только стохастиче-

получаемой из сохранения вероятности для некруп-

ским характером раздачи песчинок из опрокинув-

ных событий, еще попадающих на степенной уча-

шейся ячейки.

сток распределения (2). С другой стороны, сопо-

Краевые условия полагаются открытыми, т. е.

ставление величин крупных событий X₁ ∝ Lνx и

при опрокидывании ячеек, находящихся на краю ре-

Y₁ ∝ Lνy приводит к формуле

шетки, часть песчинок может выпасть за него, по-

кидая кучу. Потеря кучей песчинок при опрокиды-

Yν^x ∝Xνy,

(7)

вании компенсируется их вбросом, осуществляемым

416

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

в состоянии, когда все ячейки устойчивы. Для рас-

песчинка успевает поучаствовать до того, как поки-

сматриваемых здесь решеток четного размера L пес-

нет решетку, квадратично по ее линейному размеру

чинки добавляются по одной в ячейку, выбранную

〈N〉 ∝ L², или, согласно формулам (5a) и (5b)

случайно среди 2^d центральных ячеек, чем обеспе-

σ_n = ν_n - ε = 2.

(9)

чивается максимальная удаленность от краев точки

вброса. Если в его результате происходит наруше-

Показатели ν_r и σ_n являются суперуниверсальны-

ние устойчивости ячейки, она опрокидывается, пе-

ми, т. е. не зависят от размерности пространства.

редавая песчинки соседкам и тем самым, возмож-

При рассмотрении четырех основных характери-

но, нарушая их устойчивость. Развивается лавина

стик лавины (T , N, S и C) для полного решения

опрокидываний, по завершении которой вбрасыва-

модели необходимо определить восемь показателей

ется новая песчинка и все повторяется.

(четыре пары показателей α и ν). Формула (4) да-

Модель является абелевой, т. е. состояние сис-

ет три скейлинговых соотношения, формулы (8) и

темы после лавины оказывается одним и тем же

(9) — еще по одному. Таким образом, остается по-

при обработке неустойчивых ячеек в любом порядке

лучить еще три уравнения, связывающие между со-

(при условии, что с каждой ячейкой ассоциирована

бой характеристики лавины, на чем и сосредоточе-

своя последовательность случайных чисел, опреде-

ны дальнейшие усилия. При этом, чтобы не пере-

ляющих передачу песчинок). Независимо от началь-

гружать текст, базовые скейлинговые соотношения

ного состояния кучи после некоторого количества

(4), (6), (7), (8) и (9) используются без ссылок.

лавин она переходит в состояние, описываемое сте-

Поскольку основной интерес представляют по-

пенным распределением лавин по их характеристи-

казатели распределения, все выкладки здесь прово-

кам.

дятся с точностью до коэффициента. Поэтому, пред-

Основными характеристикам лавины являются:

полагая степенной вид зависимостей между всеми

T — длительность в параллельном времени (при

характеристиками лавины, деление мы не отлича-

одновременной обработке всех неустойчивых ячеек);

ем от дифференцирования, а умножение — от инте-

N — размер — число опрокидываний, или дли-

грирования. По тем же причинам коэффициенты во

тельность в последовательном времени (при обра-

всех уравнениях далее полагаются единичными.

ботке неустойчивых ячеек по одной);

2.3. Верхняя критическая размерность

S — d-мерный объем — число ячеек, где произо-

шли опрокидывания (без учета его кратности);

Описание правил завершает определение диапа-

C — периметр — число ячеек, получивших пес-

зона изучаемых размерностей пространства d. Слу-

чинки, но сохранивших устойчивость, дополненное

чай d = 1 исключается из рассмотрения в силу

числом песчинок, выпавших за край решетки.

его вырожденности, свидетельство чего будет по-

Наряду с указанными характеристиками лавины

лучено далее. Так же не рассматриваются случаи

будут рассматриваться ее линейная протяженность

d > duc

= 4, поскольку при превышении верх-

R, в предположении компактности области лавины

ней критической размерности d_uc становится невер-

задаваемая формулой R ∝ S1/d, средняя активность

ным предположение о компактности области лави-

A = N/T, ширина границы области лавины W ∝

ны. Убедиться в этом позволяет элементарный ана-

∝ C/Rd-1 и средняя кратность опрокидывания M =

лиз двух процессов.

= N/S.

Сначала рассмотрим распространение лавины по

решетке. Если песчинки, передаваемые из опроки-

нувшейся ячейки ее соседкам, не взаимодействуют

2.2. Предварительный анализ

друг с другом, то r ∝ t1/2, т. е. линейная протяжен-

Два скейлинговых показателя можно определить

ность лавины изменяется в параллельном времени

непосредственно из правил модели. Во-первых, ли-

диффузионным образом. Для взаимодействующих

нейная протяженность и объем наиболее крупных

песчинок (в силу их взаимного отталкивания) за-

лавин ограничены только размерами решетки, т. е.

висимость будет иметь больший показатель. Таким

R₁ ∝ L и S₁ ∝ L^d, или

образом,

κ_r ≥ 1/2,

(10)

ν_r = 1 и ν_s = d.

(8)

где использовано обозначение

Во-вторых, путь каждой песчинки через систе-

κ_x = ν_x/ν_t

(11)

му представляет собой случайное блуждание, в си-

лу чего среднее число опрокидываний, в которых

для временной размерности характеристики X.

417

ЖЭТФ, вып. 3

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Теперь рассмотрим развитие лавины как ветвя-

следует проводить расчеты, отложив вопрос, поче-

щийся процесс, участвующие в котором частицы со-

му это следует делать именно так.

ответствуют потерявшим устойчивость ячейкам. Их

число - активность лавины a ∝ n/t. Вследствие са-

3.1. Плотность возбуждения и

моорганизации кучи в критическое состояние ветвя-

корреляционная длина

щийся процесс имеет единичный коэффициент раз-

множения частиц. И если они не взаимодействуют

Развитие лавины представляет собой распро-

друг с другом, то a ∝ n1/2, т. е. активность изме-

странение по системе возбуждения, инициирован-

няется в последовательном времени диффузионным

ного вбросом в нее одной песчинки. Этот про-

образом. Отсюда получаем n ∝ t². Для взаимодей-

цесс будем характеризовать плотностью возбужде-

ствующих частиц (в силу обедненности песком сосе-

ния ρ(x, t), агрегированно учитывающей не только

док неустойчивых ячеек) зависимость будет иметь

пространственное размещение неустойчивых ячеек,

меньший показатель. Таким образом,

но и изменение заполнения ячеек устойчивых, кото-

рое прямо влияет на их возбудимость.

κ_s ≤ κ_n ≤ 2,

(12)

Будучи скрытой переменной, плотность возбуж-

дения, тем не менее, напрямую влияет на изменение

где учтено, что объем области лавины не превышает

наблюдаемых величин, поэтому анализ мы начина-

ее размера.

ем именно с нее. Ее эволюция описывается стохасти-

Коль скоро показатель ν_r = 1 не зависит от раз-

ческим уравнением диффузии

мерности пространства, сочетание неравенств (10) и

(12) накладывает ограничение на размерность обла-

ρ (x, t) = Δρ (x, t) + η (x, ρ)

(13)

сти лавины,

с дельта-коррелированным шумом:

ν_s = κ_s/κ_r ≤ 4.

При d = d_uc данное неравенство обращается в ра-

〈η (x, ρ) · η (x^′, ρ^′)〉 ∝ δ (x - x^′) · δ (ρ - ρ^′) .

(14)

венство, из-за чего начиная с четырехмерного слу-

Действие случайных факторов определяется за-

чая следует ожидать среднеполевых значений для

полнением решетки, которое меняется при измене-

всех показателей.

нии возбуждения, в силу чего шумовой член η зави-

Все отмеченные обстоятельства хорошо извест-

сит только от d-мерной пространственной коорди-

ны для модели БТВ [14-16], однако, как можно ви-

наты x и текущей плотности ρ, но не от времени t.

деть, ситуация имеет единую природу для любых

Таким образом, шум в уравнении (13) следует счи-

изотропных консервативных моделей типа кучи пес-

тать закрепленным, если рассматривать это уравне-

ка.

ние как описывающее динамику поверхности, дви-

жущейся в (d + 1)-мерном пространстве, на которой

и производится усреднение шума в формуле (14).

3. РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ

ЛАНЖЕВЕНОВСКОГО ФОРМАЛИЗМА

Следует особо подчеркнуть, что выбор шума сво-

бодного вида η (x, t) здесь был бы грубой ошибкой.

Переход от микроуровня, на котором формули-

Явная зависимость от времени предполагает опи-

руются правила модели, оперирующие состоянием

сание плотности только неустойчивых ячеек, непо-

отдельных ячеек и судьбой отдельных песчинок, к

средственно участвующих в развитии лавины. Од-

макроуровню, на котором учитываются лишь инте-

нако для этой величины в модели Манны сконстру-

гральные характеристики лавин, лежит через мезо-

ировать ланжевеновское уравнение невозможно в

уровень, на котором строится промежуточная мо-

принципе. Как показывает компьютерный экспери-

дель, описывающая коллективную динамику эле-

мент, показатели распределений не меняются, если

ментов системы. Правила промежуточной модели не

при опрокидывании неустойчивой ячейки переда-

выводятся, а угадываются. Поэтому все, сказанное в

вать ее соседкам не ровно z_c песчинок, а вообще все

этом разделе, следует рассматривать, в первую оче-

песчинки, оказавшиеся в этой ячейке (разумеется,

редь, не как расчет показателей, а как подробное

при этом модель перестает быть абелевой, так что

описание промежуточной модели. Общефизическое

все ячейки, одновременно потерявшие устойчивость,

обоснование ее положений и сопоставление ее ре-

и обрабатывать следует одновременно). Иначе гово-

зультатов с экспериментом вынесены в следующие

ря, свойства кучи не зависят от того, отсчитывается

разделы. Пока же сосредоточимся на вопросе, как

количество песчинок z от произвольного уровня или

418

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

от строго фиксированного. Уравнение для плотно-

где временные размерности определяются форму-

сти неустойчивых ячеек должно быть инвариантно

лой (11), а масштабирование шума рассчитано на

относительно одновременного увеличения порога z_c

основе его корреляции (14).

и всех z на одну и ту же величину в первом случае

Для размерности, с которой перенормируется

и неинвариантно — во втором, что несовместно. А

пространственная координата x, в качестве индек-

вот для плотности возбуждения, понимаемого в ука-

са здесь указана буква ξ, а не буква r. Дело в том,

занном выше смысле, эти постановки эквивалентны

что развитие лавины описывается несколькими про-

и предполагают инвариантную запись, не содержа-

странственными масштабами, из которых динамику

щую членов, нелинейных по ρ.

плотности возбуждения характеризует именно его

Отмеченное единство свойств абелевой (переда-

корреляционная длина ξ, много меньшая линейной

ча фиксированного числа песчинок) и неабелевой

протяженности области лавины r.

(раздача всех имеющихся песчинок) версий правил

В результате выполненной перенормировки

иллюстрирует важный принцип, лежащий в основе

уравнение (13) преобразуется к виду

построения промежуточных моделей: все, что в них

можно не учитывать, учитывать не следует. В част-

bκρ-¹ρ˙ (x, t) =

ности, если на классе универсальности модели ни-

= bκρ-2κξΔρ (x, t) + b-(κξd+κρ)/2η (x, ρ).

как не сказывается разрушение ее абелевости, зна-

чит, нет оснований при построении решений опи-

Его эквивалентность исходной записи (13) требует

раться на теоретический аппарат абелевых моде-

выполнения равенств

лей. Они обладают нетривиальным свойством экви-

валентности возвратных конфигураций и остовных

κ_ρ - 1 = κ_ρ - 2κ_ξ = - (κ_ξd + κ_ρ)/2,

деревьев решетки, что позволило получить ряд важ-

из которых находятся показатели κ_ξ = 1/2 и

ных теоретических результатов для модели БТВ

[16-21]. И нарушить абелевость этой модели без ка-

κ_ρ = (4 - d) /6,

(15)

чественного изменения ее свойств, по всей видимо-

сти, нельзя. В то же время модель Манны допускает

описывающие динамику введенных переменных,

варьирование правил в широких пределах, что тре-

связанных между собой формулой

бует максимальной общности подхода как при запи-

си уравнений, так и при их исследовании.

ρ∝ξ(4-d)/3.

(16)

Исследовать ланжевеновские уравнения, описы-

вающие масштабно-инвариантные системы, проще

Эта формула вновь указывает на верхнюю кри-

всего с помощью так называемой наивной пере-

тическую размерность d_uc = 4, при достижении ко-

нормировки, связанной с огрублением всех масшта-

торой плотность возбуждения не возрастает с уве-

бов [22]. При согласованном увеличении всех пере-

личением корреляционной длины.

менных значимые члены уравнения должны изме-

няться пропорциональным образом, а незначимые —

3.2. Активность и ширина границы

стремиться к нулю (что позволяет при записи урав-

Эволюция средней активности (числа опрокиды-

нений сразу отрешиться от любых деталей устрой-

ваний за шаг параллельного времени) как макроха-

ства системы на микроуровне, исчезающих на мак-

рактеристики описывается обыкновенным стохасти-

роуровне).

ческим дифференциальным уравнением

Традиционно перенормировочные выражения

привязывают к пространственной координате,

a(t) = χ (ρ)

(17)

однако в рассматриваемой задаче формулы ока-

зываются значительно компактнее, если взять за

с дельта-коррелированным шумом:

основу время. При огрублении его масштаба t → bt

остальные переменные преобразуются по формулам

〈χ (ρ) · χ (ρ^′)〉 ∝ δ (ρ - ρ^′).

(18)

x → bκξx,

Такой вид шума означает, что изменение ко-

личества одновременно существующих неустойчи-

ρ → bκρρ,

вых ячеек определяется исключительно амплитудой

плотности возбуждения, которая учитывает локаль-

η→b-(κξd+κρ)/2η,

ные флуктуации заполнения ячеек.

419

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Запись (17), (18) лучше всего подходит на роль

границы обеспечивают рост ее ширины, что учиты-

определения плотности возбуждения, поскольку

вается коэффициентом при шумовом члене. Он воз-

кроме нее включает только наблюдаемые величины.

никает как отношение минимально возможного воз-

Однако даже такое определение остается неполным,

буждения, обусловленного дискретностью процес-

так как описывает лишь амплитуду плотности, но

сов, происходящих на границе, к амплитуде плотно-

не ее профиль.

сти возбуждения, характеризующей процессы, про-

При огрублении масштабов здесь переменные

исходящие в глубине области лавины. За время, ухо-

преобразуются по формулам

дящее на то, чтобы эти процессы сказались на собы-

тиях у границы, профиль плотности возбуждения

t → bt,

успевает смазаться. Поэтому в уравнение (20) она

входит уже без аргументов — только своей ампли-

a → bκaa,

тудой.

χ → b-κρ/²χ,

С физической точки зрения, принципиально

важным отличием уравнения (20) от уравнений (13)

где масштабирование шума рассчитано на основе

и (17) является учет им тех симметрий, которые,

его корреляции (18). Нечувствительность уравнения

присутствуя на микроуровне, на мезоуровне уже

(17) к такой перенормировке требует выполнения

подвержены локальным нарушениям. Хотя переда-

равенства

ча песчинок при опрокидывании неустойчивых яче-

κ_a - 1 = -κ_ρ/2,

ек происходит направленным образом, у границы

из которого с помощью соотношения (15) получаем

области лавины есть выделенное направление дви-

первое из скейлинговых соотношений, необходимых

жения — из ее глубины наружу.

для решения модели:

Тангенциальная составляющая x_∥ координаты

отвечает за протяженность области лавины r, а

κ_a = (8 + d)/12.

(19)

разброс смещений вдоль нормальной составляющей

Развитие лавины связано с ростом ее области —

x_⊥ — за ширину границы w. Поэтому при огрубле-

продвижением вовне границы, трактуемым здесь

нии масштабов переменные преобразуются по фор-

как рост поверхности над некоторой (d - 1)-мерной

мулам

подложкой, соответствующей положению границы,

t → bt,

сглаженному усреднением. Разложим относительно

подложки d-мерную пространственную координату

ρ → bκρρ,

x на (d-1)-мерную тангенциальную и 1-мерную нор-

мальную составляющие x_∥ и x_⊥. Динамика модуля

x_⊥ → bκwx_⊥,

последней описывается стохастическим уравнением

x_∥ → b^κ

^rx_∥,

(

)

(

)

x_⊥

x_∥, t

= ρΔ_∥x_⊥

x_∥, t

+ ρ-1ζ (t) .

(20)

ζ →b-1/2ζ,

В нем амплитуда плотности возбуждения играет

роль коэффициента диффузии, т. е. выступает как

где масштабирование шума рассчитано на основе его

фактор, способствующий разглаживанию границы,

корреляции (21). Чтобы вид уравнения (20) не ме-

и одновременно задает относительный уровень сво-

нялся при такой перенормировке, необходимо вы-

бодного шума, стремящегося нарушить ее глад-

полнение равенств

кость. Шум, как и в уравнениях (13) и (17), здесь

κ_w - 1 = κ_ρ + κ_w - 2κ_r = -κ_ρ - 1/2,

предполагается дельта-коррелированным:

〈ζ (t) · ζ (t^′)〉 ∝ δ (t - t^′) .

(21)

из которых получаются два недостающих скейлин-

говых соотношения:

Его зависимость именно и только от времени связа-

на с тем, что в силу фрактальности границы множе-

κ_w = (d - 1)/6,

(22)

ство ее точек находится над одной и той же точкой

подложки, из-за чего действие случайных факторов

κ_r = (10 - d) /12.

(23)

лишается пространственной привязки. При этом хо-

тя события происходят практически на каждом вре-

Дальнейшие выкладки элементарны, но гро-

менном шаге, лишь случающиеся во внешних точках

моздки, поэтому ограничимся их результатом:

420

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

κ_x

ν_x

α_x

этот вывод следует считать физически обоснован-

ным.

За t шагов развития лавины песчинки, соверша-

10 - d

ющие случайные блуждания по решетке, смещаются

d + 20

на характерное расстояние

(24)

10 - d

d + 20

√

ξ∝

(26)

(10 - d) d

10 - d

которым определяется объем ω ∝ ξ^d, в котором воз-

12 - d

(12-d)(d-1)

буждение остается скоррелированным.

12(d-1)

10 - d

(12-d)(d-1)

Как случайное блуждание можно трактовать и

изменение линейной протяженности области лави-

ε = 3d/(10 - d).

(25)

ны r. При рассмотрении в параллельном времени t

частота скачков задается плотностью возбуждения

Из упомянутых дополнительных характеристик

ρ, т. е.

лавины не рассмотренной осталась только средняя

r² ∝ ρt.

(27)

кратность опрокидывания, для которой находим

Если же рассматривать процесс в последовательном

κ_m = (4 - d) (5 - d)/12.

времени n, то частота скачков будет определяться

локальным избытком песка. Поскольку за время ла-

Отсюда следует, что уже в четырехмерном случае

вины песчинки успевают свободно перемещаться в

повторные опрокидывания ячеек оказываются ис-

объеме корреляции ω, внутри него имеет значение

ключительными событиями. Иначе говоря, при d ≥

не их изначальное расположение, а только суммар-

≥ d_uc геометрия решетки несущественна, поскольку

ное количество. Его флуктуации пропорциональны

реализованная на ней модель практически не отли-

ω1/2, т.е. избыток песка, приходящий на одну ячей-

чается от модели со случайным соседством.

ку, составляет порядка ω-1/2 ∝ ξ-d/2. Таким обра-

Наличие в соотношении (22) и в показателях для

зом,

C члена d - 1 демонстрирует, что у модели кро-

r² ∝ ξ-d/2n.

(28)

ме верхней критической размерности d_uc имеется и

Подставив сюда корреляционную длину (26), по-

нижняя d_lc = 1. При d = 1 решение (24), очевид-

лучаем выражение

но, становится нереалистичным, поскольку вытека-

ющая из него формула N ∝ T C предполагает по-

td/4 ∝ n/r² ∝ rνn-².

стоянную активность некоторой доли ячеек в обла-

Элементарное преобразование показателя его пра-

сти лавины. При этом вынос избытка песчинок на ее

вой части

границу, состоящую всего из пары ячеек, не может

ν_n - 2 = ε = α_r

остановить развитие лавины. Поэтому оно прекра-

позволяет найти показатель распределения лавин по

щается лишь за счет удачного перераспределения

длительности

песчинок в ее области. А это требует значительного

α_t = d/4.

(29)

времени и сравнительно низкой активности, в си-

Столь простое выражение, разумеется, может

лу чего получаемый в численном эксперименте по-

быть получено и без промежуточных выкладок. Ла-

казатель νt = 10/7 оказывается больше значения

вина доживает до шага t с вероятностью ∝ t-αt.

4/3, предсказываемого решением (24), а показатель

Выживание лавины определяется тем, что локаль-

ν_n = 9/4 — меньше аналогичного значения 7/3. Бу-

ный избыток песка превышает некоторый фикси-

дучи вырожденным, одномерный случай требует по-

рованный порог, вероятность чего ∝ ω-1/2. При-

строения иной промежуточной модели, что выходит

равняв эти две вероятности, с помощью форму-

за рамки данной работы. Поэтому и скейлинговые

лы (26) и получаем значение (29). Следует отме-

показатели для него приведены здесь лишь справоч-

тить, что из него, как и из формулы (16), можно

ным порядком, без подтверждающих графиков.

определить верхнюю критическую размерность, ес-

ли помнить, что продолжительность критического

4. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ АНАЛИЗА

ветвящегося процесса, к которому сводится разви-

СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

тие лавины при случайном соседстве, характеризу-

В этом разделе используются понятия и обозна-

ется значением α_t = 1 [23].

чения из предыдущего раздела, однако все связыва-

Сопоставление формул (27) и (28) приводит к

ющие их формулы выводятся независимо. И именно

выражению

421

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

a/ρ ∝ ω1/2,

(30)

несколько секунд, а крупные лавины требуют уже

нескольких часов машинного времени), в четырех-

означающему, что отношение активности (экстен-

мерном — доступная память, а в трехмерном — и

сивной характеристики) к амплитуде плотности воз-

то, и другое одновременно. Решетку можно считать

буждения (интенсивной характеристике) обусловли-

большой, если отношение ее объема к площади от-

вается флуктуациями количества песчинок в объе-

крытого края L/2d ≫ 1. При указанных максималь-

ме корреляции, т. е. условиями не на макро-, а на

ных L переход от двумерного случая к трехмерному

мезомасштабе. Иными словами, условия в области

сопряжен с уменьшением этой величины в 12 раз,

лавины существенно неоднородны.

а к четырехмерному — в 128 раз, пропорционально

Ширина границы области лавины w задает про-

чему ухудшаются и ожидания точности эксперимен-

странственный масштаб корреляции там, где плот-

тальных результатов.

ность возбуждения приближается к своему мини-

Общий вид скейлинговых функций g_X неизве-

мально возможному значению, обусловленному дис-

стен, поэтому при обработке результатов модели-

кретностью происходящих процессов. А амплитуда

рования следует исключить его влияние, исполь-

плотности возбуждения определяет пространствен-

зуя автомодельность формул (2) и (3). Для этого

ный масштаб корреляции ξ в области лавины в це-

служит процедура скейлинга, т. е. рассмотрение за-

лом, т. е. ξ ∝ wρ, откуда посредством формул (26) и

висимостей X1+αx · u_X (X) от X/Lνx, полученных

(27) получаем еще одно соотношение пространствен-

при различных значениях L. Правые части графи-

ных масштабов:

ков плотности, перемасштабированных таким обра-

r∝wρ3/2.

(31)

зом, должны совмещаться, а средние — выполажи-

В результате выноса песка на границу области

ваться, чем подтверждается правильность найден-

лавины каждая ячейка внутри нее теряет в сред-

ных характеристических и скейлинговых показате-

нем c/s ∝ w/r песчинок. Это означает, что их избы-

лей.

ток

√ω, имеющийся в объеме корреляции, локали-

Описанная схема кажется очень простой. Од-

зован в

√ω · r/w ячейках. События захвата и потери

нако оказывается, что для каждой анализируемой

таких ячеек объемом корреляции являются шагами

размерности она сталкивается со специфическими

процесса, обусловливающего изменение корреляци-

трудностями, требующими отдельного рассмотре-

онной длины. Рассмотрение его в качестве случай-

ния.

ного блуждания дает выражение

Для удобства изложения предсказанные теорией

значения скейлинговых и характеристических пока-

ξ² ∝ ξd/2r/w,

зателей для основных характеристик лавины сведе-

которое с помощью формулы (31) позволяет воспро-

ны в таблицу. В ее последних столбцах, кроме того,

извести зависимость (16) для амплитуды плотности

даны показатели логарифмических поправок, воз-

возбуждения. А из нее с помощью выражений (26) и

никающих в случае верхней критической размернос-

(27) получается и соотношение (23). Его в сочетании

ти. Они будут определены далее.

с определением (11), соотношением (29) и формулой

(31) достаточно для получения полного решения мо-

d=2

d=3

d≥4

d=4

дели (24), (25).

X ν α ν α ν α

5. РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО

ЭКСПЕРИМЕНТА

Из-за того, что плотности распределений име-

ют степенной вид лишь в промежуточной асимп-

тотике, результаты численного эксперимента оказы-

ваются тем надежнее, чем больше размер решетки

L. Здесь используются его значения, даваемые сте-

пенью двойки, что способствует оптимизации кода.

Максимальные доступные для моделирования зна-

чения L = 2¹⁴; 2¹¹; 2⁸ для d = 2; 3; 4. В двумер-

ном случае основным фактором, ограничивающим

ϵ=

ϵ=2

ϵ=1

L, оказывается быстродействие (на решетке мак-

симального размера средняя лавина обсчитывается

422

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

Предваряя результаты компьютерного экспери-

мента, полученные автором и призванные подтвер-

дить правильность выполненных расчетов, уместно

кратко обобщить то, что уже известно к настоящему

моменту.

Теоретических результатов здесь немного. Если

не принимать во внимание тривиальные показатели

ν_r и ν_s и среднеполевые значения в четырехмерном

случае, остается упомянуть лишь полное решение

модели в двумерном случае, полученное автором на

иной методологической основе [3, 4], не обобщаемой

на пространства высокой размерности. Все осталь-

ные показатели рассчитаны впервые.

В плане результатов моделирования картина су-

щественно богаче — их обширный обзор содержится

в работе [2]. Для d = 2 все приведенные показате-

ли очень близки к их экспериментальным оценкам,

полученным другими авторами, за исключением ве-

личины ν_t [1, 13, 14, 24-31] (причем в работе [25] —

единственной из всех — дается даже показатель

для периметра ν_c). Для d = 3 имеющиеся в лите-

ратуре оценки скейлинговых показателей (включая

тривиальные), как правило, оказываются несколь-

ко больше теоретических значений при удовлетво-

рительном совпадении характеристических показа-

телей [25-27,32]. Наконец, для d = 4 кроме экспери-

ментального подтверждения среднеполевых значе-

ний [14], известны и оценки поправочных показате-

лей α для модели БТВ [16], ожидаемо совпадающие

с их теоретическими значениями для модели Ман-

ны. Поправочные показатели ν ранее численно не

определялись.

5.1. Двумерный случай

На рис. 2 представлены распределения основных

характеристик лавины для d = 2, построенные по

результатам обработки 8.1 · 10⁸ лавин, в ходе кото-

рых произошли 2.9 · 10¹⁵ опрокидываний. При до-

множении ординаты на X1+α и делении абсциссы

на L^ν графики, полученные для систем различного

размера L, совмещаются при 1 ≪ X и выполажива-

ются при 1 ≪ X ≪ X₁.

На вставках на рис. 2 показаны немасштаби-

рованные плотности вероятности. В двойном ло-

гарифмическом масштабе их степенной вид в об-

ласти промежуточной асимптотики представляется

линейным участком графика.

Как можно видеть, скейлинг с теоретическими

Рис. 2. Плотность распределения лавин по размеру, объе-

показателями оказывается практически идеальным

му, длительности и периметру для d = 2 для решеток раз-

для размера, объема и периметра лавин, но графики

ного размера L

заметно расходятся в правой части для длительнос-

423

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

ти. Попытки добиться их совмещения привели бы

5.2. Трехмерный случай

к значениям ν_t > 3/2, хорошо известным из лите-

На рис. 3 представлены распределения основных

ратуры [1,24-28], но противоречащим построенному

характеристик лавины для d = 3, построенные по

решению.

результатам обработки 2.6 · 10¹⁰ лавин, в ходе ко-

Причина обнаруженного расхождения кроется в

торых произошли 9.4·10¹⁴ опрокидываний. Если бы

том, что теоретическая и экспериментальная дли-

перемасштабирование на этом рисунке выполнялось

тельности лавины — немного разные характеристи-

так же, как для d = 2, то для всех рассматриваемых

ки. Дело в том, что по мере развития лавины, ее тео-

характеристик совмещение графиков по оси абсцисс

ретические характеристики, связанные между собой

оказалось бы столь же посредственным, как и для

формулами (6) и (7), должны расти одновременно,

длительности на рис. 2. Улучшить скейлинг возмож-

тогда как для реальных характеристик такая связь

но двумя способами.

может и нарушаться.

Можно было завысить универсальный показа-

В силу стохастичности правил, лавина, захватив-

тель ε, а с ним — и все скейлинговые показатели ν_x

шая некоторую область, в принципе может продол-

по сравнению со значениями, предсказанными ре-

жаться внутри нее сколь угодно долго. При этом

шением модели. При этом удается добиться вполне

длительность увеличивается при неизменных объ-

удовлетворительного скейлинга. Более того, подоб-

еме и периметре. И даже прирост размера лавины

ная попытка анализа, хотя и выполненная с помо-

оказывается незначительным, поскольку ее область,

щью другого инструментария, уже была предпри-

уже обедненная песком, не может поддерживать вы-

нята в работе [25]. На этом пути есть только одна

сокую активность.

проблема: неизбежно получается абсурдное значе-

ние ν_s > 3, означающее превышение объемом ла-

Описанный процесс догорания лавины уместно

вины объема решетки при достаточно большом ли-

рассматривать как блуждание по ее области отдель-

нейном размере последней. Вероятно, по этим при-

ных точек активности, уже не взаимодействующих

чинам в других работах [26,27,32], где были полу-

друг с другом. Характерная длительность их су-

чены завышенные показатели для трехмерного слу-

ществования в наиболее удачных условиях пропор-

чая, распределение лавин по объему не рассматри-

циональна времени развития лавины T , поскольку

валось.

при более долгом сохранении активности она бы на-

Разумным представляется иной подход, связан-

верняка вышла за границы лавины, продолжив ее

ный с масштабированием абсциссы по формуле (3)

развитие. Если предположить, что число точек ак-

на степень не реального размера решетки L, а эф-

тивности, оказавшихся в удачных условиях, дается

фективного размера

какой-то степенью T , то активность полностью угас-

(

)

нет за порядка T ln T шагов, так как максимум по

Λ=L

1 - h/L^φ

выборке возрастает как логарифм ее объема. При

этом для характерной длительности крупных лавин

Здесь показатель φ = 1/7 (он рассчитывается да-

формула (3) заменится выражением вида

лее), а значение коэффициента h ≈ 0.3 просто под-

бирается из соображений наилучшего совмещения

графиков. Эффективный размер, разумеется, мень-

T₁ ∝ Lνt (1 + θ ln L),

ше реального. Но поскольку он меньше на величи-

ну, которая убывает с ростом L, то при проведении

где коэффициент θ ≪ 1, поскольку длительное до-

расчетов с точностью до коэффициента эффектив-

горание лавины обусловливается редким стечением

ный размер кажется превосходящим реальный, что

обстоятельств. При доступных для моделирования

и приводит к завышению показателей при обработке

значениях L эта зависимость практически неотли-

результатов эксперимента без оглядки на предсказа-

чима от зависимости T₁ ∝ Lνt+^θ, что и приводит к

ния теории.

небольшому завышению показателя ν_t, получаемого

Следует отметить, что, несмотря на использова-

по результатам моделирования.

ние эффективного размера решетки для масштаби-

К сожалению, способ аналитического расчета ко-

рования, графики распределений лавин по размеру

эффициента θ неизвестен. Поэтому предложенное

и длительности совмещаются на рис. 3 неидеально.

объяснение расхождения между теорией и экспери-

Для N это связано с тем, что средний размер ла-

ментом пока следует считать гипотезой, требующей

вины остается пропорционален квадрату реального

дополнительной проверки.

размера решетки, что влечет отклонения плотности

424

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

от вида (2) при N ∼ N₁. А для T сохраняется эф-

фект догорания лавины, делающий ее длительность

несоразмерной остальным характеристикам, хотя он

и оказывается много слабее из-за меньшей кратно-

сти опрокидывания.

Понять причины, потребовавшие введения эф-

фективного размера решетки, помогает рассмотре-

ние средней кратности опрокидывания. Для d = 2

выполнено s² ∝ nc или, что то же самое, r ∝ mw.

Это позволяет схематично рассматривать область

лавины как набор вложенных слоев убывающей (из

глубины к периферии) кратности опрокидывания,

так что линейная протяженность лавины дается

просто суммой ширин границ эти слоев [3,4]. В три-

виальном виде эта же ситуация воспроизводится и

для d = 4 в силу пренебрежимо малой доли повтор-

ных опрокидываний ячеек и расположения практи-

чески всех ячеек области лавины у ее границы. Но

для d = 3 выполнено s² ∝ ncr^φ с указанным выше

показателем φ. Поэтому если попытаться разложить

область лавины на слои разной кратности опроки-

дывания, то окажется, что сумма ширин их границ

mw меньше линейной протяженности r.

Область двумерной лавины увеличивается толь-

ко за счет продвижения ее границы вовне, тогда как

граница трехмерной лавины, образуя боковые выпя-

чивания, оказывается столь изрезанной, что пред-

ставление о глобальном направлении ее движения

теряет смысл. В результате область лавины может

иметь пустоты, не захватываемые даже при повтор-

ных опрокидываниях. Недоступность для лавины

некоторых ячеек решетки и означает уменьшение ее

эффективного размера по сравнению с реальным.

5.3. Четырехмерный случай

На рис. 4 представлены распределения основных

характеристик лавины для d = 4, построенные по

результатам обработки 5.2 · 10¹⁰ лавин, в ходе ко-

торых произошли 3.6 · 10¹³ опрокидываний. Здесь

малость размеров решетки, доступных для модели-

рования, становится наглядной. Можно видеть, как

совмещение графиков улучшается при переходе от

малых решеток к большим. Однако ключевой осо-

бенностью верхней критической размерности явля-

ется появление мультипликативных логарифмиче-

Рис. 3. Плотность распределения лавин по размеру, объе-

ских поправок к степенным зависимостям. Без их

му, длительности и периметру для d = 3 для решеток

введения не удается добиться какого бы то ни было

разного размера L. В отличие от рис. 2 здесь абсцисса

совмещения перемасштабированных графиков.

масштабируется на степень не реального, а эффективного

Формулы (2) и (3) сменяются более сложными

размера решетки

выражениями [14-16]

u_X (X) = X-(1+αx) lnαx X · g_X (X/X₁),

425

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

X₁ ∝ Lνx/ lnνx L,

требующими нахождения еще двух показателей α_x

и ν_x для каждой характеристики события X. При

анализе этих формул следует помнить, что логариф-

мические поправки в них — это лишь первый по-

рядок приближения, не претендующий на полную

самосогласованность. Поэтому далее мы пренебре-

гаем логарифмами логарифмов, считая логарифмы

разных характеристик взаимно пропорциональны-

ми величинами.

Рассмотрение по аналогии с выводом формулы

(4) доли событий, не помещающихся в решетку, поз-

воляет ввести универсальный поправочный показа-

тель

ε=α_xν_x +α_x,

значение которого, как и значение универсального

показателя ε, не зависит от рассматриваемой харак-

теристики.

Формула взаимосвязи разных характеристик со-

бытия (6) усложняется до записи

Yαy / lnαy Y ∝ Xαx / lnαx X.

Формулы (5a) и (5b) заменяются выражениями

〈X〉 ∝ Lσx/ lnσx L,

σ_x = ν_x - ε.

Здесь при расчетах используется то, что при α < 1

интеграл для среднего набирает свое основное зна-

чение в диапазоне крупных событий.

Зависимость 〈N〉 ∝ L², точная для простран-

ства любой целой размерности, приводит к значе-

нию σ_n = 0, т. е. ε = ν_n. Точной остается и формула

R₁ ∝ L, дающая показатель ν_r = 0, однако рассчи-

тывать на отсутствие логарифмических поправок к

формуле S₁ ∝ L^d уже не приходится, т.е. про ν_s ни-

чего априори сказать нельзя. Таким образом, анализ

правил модели для поправочных показателей дает

чуть меньше информации, чем для обычных. Од-

нако, с другой стороны, исключительность повтор-

ных опрокидываний позволяет полагать N ≈ S, т. е.

νn = νs.

Рис. 4. Плотность распределения лавин по размеру, объе-

Для получения нетривиальных поправочных по-

му, длительности и периметру для d = 4 для решеток раз-

ного размера L. Чтобы при перемасштабировании ординат

казателей сначала рассмотрим подробнее природу

избежать деления на ноль, для всех характеристик введе-

неравенства (10), связанного с перемещением пес-

на искусственная добавка. Ее величина непринципиальна,

чинок по решетке. Коль скоро их взаимодействие в

поскольку сказывается только на левых частях графиков

многомерном случае сводится к простому отталки-

ванию, адекватной моделью этого процесса являет-

ся случайное блуждание без самопересечений. Если

426

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

его траектория из t звеньев размещается в простран-

т. е. αt - αn = 1/6, откуда νn = 1. Это позволя-

ственной области характерного размера r, то уста-

ет определить универсальный поправочный показа-

новившийся режим роста описывается уравнением

тель ε = 1 и на его основе - остальные поправоч-

ные показатели для объема, размера, длительности

dr/dt = ∂U/∂r,

и протяженности лавин:

где энергия отталкивания звеньев

νs = 1,

∫^t

α_n = α_s =

U ∝ t^′/r^ddt^′

α_t =

находится суммированием их пространственной

плотности вдоль траектории [33]. Это описание

α_r = 1.

применимо к блужданию без самопересечений в

Ненайденными остаются только показатели для

пространстве любой размерности. Так, при d < 4

периметра, т. е. чисто геометрической, а не динами-

получается классическая формула rd+2 ∝ t³, а при

ческой характеристики лавины. Чтобы ввести здесь

d > 4 — тривиальная зависимость r² ∝ t. Однако

динамику, рассмотрим отношение числа ячеек в

нас интересуют лишь размерности d ≥ 4, в которых

объеме v ∝ r⁴, ограниченном линейной протяжен-

данный процесс описывает развитие лавины. В

ностью области лавины r, к числу ячеек, собствен-

частности, для d = 4 находим нетривиальную связь

но затронутых лавиной, s ∝ r⁴/ ln r. На каждую

опрокинувшуюся ячейку в пределах линейной про-

r² ∝ t · ln1/3 t,

тяженности лавины приходится k ∝ v/s ∝ ln r яче-

ек, в остальных из которых опрокидываний не слу-

т. е. α_r - α_t = 1/3, откуда ν_t = 1/3.

чилось из-за неспособности лавины захватить все

Теперь рассмотрим подробнее природу неравен-

пространство большой размерности. Динамика ко-

ства (12), связанного с размножением неустойчи-

эффициента k описывается уравнением dk ∝ dv/v,

вых ячеек. Здесь рассуждения аналогичны приве-

пусть априори и неочевидным, но апостериори по-

денным в предыдущем абзаце с той разницей, что

нятным. Однако интерес представляет динамика от-

моделью служит развивающийся на решетке кри-

ношения s/c, т. е. того числа ячеек, с которых одна

тический ветвящийся процесс, в котором частицы

песчинка выносится на границу области лавины. По

взаимно отталкиваются, избегая попадания в одни

мере роста k это отношение совершает симметрич-

и те же ячейки (по всей видимости, специального

√

ное случайное блуждание, т. е. s/c ∝

k, откуда и

названия такой процесс не имеет). Установившийся

получаются показатели

режим роста числа частиц a описывается в последо-

вательном времени n уравнением

α_c = 1/4

νc = 3/2.

da/dn = ∂U/∂a,

6. ОБСУЖДЕНИЕ И ВЫВОДЫ

где энергия отталкивания частиц

Исследователи моделей кучи песка обыкновенно

∫a

пренебрегают рассмотрением границы области ла-

U ∝ a^′/r^dda^′

вины, по-видимому, полагая периметр второстепен-

ной характеристикой. Однако именно его изучение

оказывается ключевым моментом в обоих способах

находится суммированием их пространственной

решения. При использовании ланжевеновского фор-

плотности по всем местам их расположения. Для

мализма уравнение для ширины границы оказыва-

случая d = 4 получаем связь

ется единственным, содержащим нелинейность, без

которой явление самоорганизованной критичности

a² ∝ n/ ln1/3 n,

невозможно. А при сведении динамики к случайным

которую удобнее переписать в виде

блужданиям вынос песка из объема области лавины

на ее границу выступает процессом, связывающим

t² ∝ n · ln1/3 n,

между собой все пространственные масштабы.

427

А. В. Подлазов

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

роста характеристики является тот, при котором ее

среднее значение зависит от размера системы с ну-

левым показателем, т. е. логарифмически. Однако

использование соотношения (32) при расчете пока-

зателей нельзя полагать добросовестным подходом,

поскольку вряд ли возможно додуматься до введе-

ния характеристики Q, еще не имея на руках пол-

ного решения модели. Во всяком случае, автору не

известно примеров прозрения подобного рода.

Вместе с тем, если добавить значение (32) к зна-

чениям (8) и (9), получаемым непосредственно из

правил модели, то для ее решения останется найти

еще только два скейлинговых соотношения. И ес-

Рис. 5. Среднее время, необходимое границе области ла-

вины для прохождения своей ширины

ли выбирать их из соображений простоты итоговой

записи, а не математического вывода или физиче-

Чтобы лучше понять роль границы области ла-

ского обоснования, то это, несомненно, будут фор-

мулы (29) и (22). Первая из них содержит информа-

вины, рассмотрим время, за которое граница про-

ходит свою ширину q ∝ wr/r. С помощью формул

цию о верхней критической размерности модели, а

(22) и (23) находим временную размерность κ_q =

вторая — и о нижней (явным образом), и о верхней

(неявным — при d = d_uc изменение ширины грани-

= d/4 = α_t, дающую показатели

цы представляет собой случайное блуждание, для

α_q = 1 и ν_q = ε,

(32)

которого κ_w = 1/2). Набор из этих пяти изящных

первый из которых суперуниверсален. Из получен-

соотношений, дополненный тожеством (4), позволя-

ных соотношений на основе записи (2) возникает за-

ет восстановить полное решение (24), (25), являю-

висимость

щееся намного более громоздким.

〈Q〉 ∝ log L.

Кроме ширины границы w принципиальной для

С учетом очевидного выражения

построения промежуточной модели оказалась кор-

Q ∝ CT/S

реляционная длина ξ. И хотя использование этой

величины, напротив, типично для описания крити-

она легко проверяется по результатам моделирова-

ческих систем, с ней был связан другой нехарак-

ния, как показано на рис. 5.

терный прием — перенормировка ланжевеновского

Представление о величине q позволяет сделать

уравнения (13) на ее масштабе, а не на масшта-

более понятными некоторые сложные формулы. Так

бе протяженности лавины r. Структура ее области

выражение (30) принимает вид a ∝ qρ. В самом

полностью описывается с помощью этих трех про-

деле, ситуация во всей области лавины изменяется

странственных масштабов, соотношение которых

лишь за то время, за которое ее граница проходит

свою ширину. В силу этого величина q оказывает-

w:ξ:r=1:ρ:ρ3/2

ся коэффициентом пересчета возбуждения в актив-

ность. Аналогично, и формула (28) упрощается до

задается амплитудой плотности возбуждения ρ. Не

вида r² ∝ n/q, что и интерпретировать можно схо-

будучи определенной явно, она не допускает непо-

жим образом. Рост линейной протяженности обла-

средственного измерения, однако оказывается непо-

сти лавины связан с изменениями, происходящими

средственно связанной с активностью a двумя спо-

на ее границе, где их темп замедлен в q раз по срав-

собами — как на макроуровне через уравнение (17),

нению с ее объемом, на который приходится основ-

так и на мезоуровне через формулу (30). Введение,

ная масса опрокидываний.

описание и успешное использование скрытой пере-

Выведенные здесь формулы апостериори кажут-

менной ρ представляется методически важнейшим

ся очевидным. В самом деле, по мере развития ла-

результатом данной работы.

вины время прохождения ее границей своей шири-

ны должно возрастать, но возрастать чрезвычай-

но медленно, коль скоро периферия области лави-

ЛИТЕРАТУРА

ны характеризуется минимально возможной плот-

ностью возбуждения. А самым медленным законом

1. S. S. Manna, J. Phys. A 24, L363 (1991).

428

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Решение самоорганизованно-критической модели Манны. . .

G. Pruessner, Self-Organised Criticality: Theory,

18.

S. N. Majumdar and D. Dhar, Physica A 185, 129

Models and Characterisation, Cambridge University

(1992).

Press, New York (2012).

19.

D. Dhar and S. S. Manna, Phys. Rev. E 49, 2684

А. В. Подлазов, Изв. вузов: ПНД 21, 69 (2013).

(1994).

А. В. Подлазов, Изв. вузов: ПНД 24, 39 (2016).

20.

V. B. Priezzhev, D. V. Ktitarev, and E. V. Ivashke-

vich, Phys. Rev. Lett. 76, 2093 (1996).

П. Бак, Как работает природа: Теория самоорга-

низованной критичности, URSS, Москва (2015)

21.

C.-K. Hu, E. V. Ivashkevich, C.-Y. Lin, and

[P. Bak, How Nature Works: The Science of Self-Or-

V. B. Priezzhev, Phys. Rev. Lett. 85, 4048 (2000).

ganized Criticality, Springer-Verlag, Inc., New York

22.

H. G. E. Hentschel and F. Family, Phys. Rev. Lett.

(1996)].

66, 1982 (1991).

D. Sornette, A. Johansen, and I. Dornic, J. Phys. I

23.

Т. Харрис, Теория ветвящихся процессов, Мир,

(France) 5, 325 (1995).

Москва (1966) [T. E. Harris, The Theory of Bran-

S. Clar, B. Drossel, and F. Schwabl, J. Phys.: Cond.

ching Processes, Springer-Verlag (1963)].

Mat. 8, 6803 (1996).

24.

R. Dickman, T. Tomé, and M.J. de Oliveira, Phys.

P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. Lett.

Rev. E 66, 016111 (2002).

59, 381 (1987).

25.

S. Lübeck, Phys. Rev. E 61, 204 (2000).

P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 38,

26.

M. Alava and M. A. Muñoz, Phys. Rev. E 65, 026145

364 (1988).

(2002).

10.

D. Dhar and R. Ramaswamy, Phys. Rev. Lett. 63,

27.

S. Lübeck and P. C. Heger, Phys. Rev. E 68, 056102

1659 (1989).

(2003).

11.

R. Pastor-Satorras and A. Vespignani, J. Phys. A 33,

28.

H. N. Huynh, G. Pruessner, and L. Y. Chew, J. Stat.

L33 (2000).

Mech. P09024 (2011).

12.

M. Kloster, S. Maslov, and C. Tang, Phys. Rev. E 63,

026111 (2001).

29.

S. Lübeck and K. D. Usadel, Phys. Rev. E 55, 4095

(1997).

13.

E. Milshtein, O. Biham, and S. Solomon, Phys. Rev.

E 58, 303 (1998).

30.

A. Chessa, H. E. Stanley, A. Vespignani, and S. Zap-

peri, Phys. Rev. E 59, R12 (1999).

14.

S. Lübeck and K. D. Usadel, Phys. Rev. E 56, 5138

(1997).

31.

A. Chessa, A. Vespignani, and S. Zapperi, Comput.

Phys. Commun. 121-122, 299 (1999).

15.

V. B. Priezzhev, J. Stat. Phys. 98, 667 (2000).

16.

D. V. Ktitarev, S. Lübeck, P. Grassberger, and

32.

R. Pastor-Satorras and A. Vespignani, Eur. Phys. J.

V. B. Priezzhev, Phys. Rev. E 61, 81 (2000).

B 19, 583 (2001).

17.

D. Dhar, Phys. Rev. Lett. 64, 1613 (1990).

33.

Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 63, 470 (1989).

429