ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 388-402

ВОЛНЫ ПУАНКАРЕ И ВОЛНЫ РОССБИ В

СЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЯХ МЕЛКОЙ ВОДЫ

М. А. Юденковаa,b*, Д. А. Климачков^b, А. С. Петросян^b,a

^a Московский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^b Институт космических исследований Российской академии наук

117997, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 октября 2021 г.,

после переработки 14 октября 2021 г.

Принята к публикации 14 октября 2021 г.

Приближение мелкой воды обобщается для описания крупномасштабных течений тяжелой жидкости со

свободной поверхностью. Классические уравнения мелкой воды являются альтернативой решению пол-

ной системы гидродинамических уравнений в поле силы тяжести, однако классическое приближение не

учитывает плотностную неоднородность слоя жидкости. Исследовано течение тонкого слоя вращающейся

жидкости со свободной поверхностью при учете эффектов сжимаемости. Получена система квазилиней-

ных дифференциальных уравнений, которая описывает течение сжимаемой жидкости в приближении

мелкой воды. Найдены решения полученной системы в виде линейных волн Пуанкаре на f-плоскости и

волн Россби на β-плоскости в сжимаемых течениях. Исследована нелинейная динамика волн Россби в

сжимаемых течениях методом многомасштабных разложений. Полученные трехволновые уравнения для

амплитуд взаимодействующих волн проанализированы на наличие параметрических неустойчивостей, и

найдены их инкременты.

DOI: 10.31857/S0044451022030099

нии вертикальной неоднородностью плотности пото-

ка горизонтального импульса. Традиционно иссле-

дуют два типа линейных волн в приближении мел-

1. ВВЕДЕНИЕ

кой воды вращающейся жидкости. Первый тип —

это высокочастотные волны (волны Кельвина и вол-

Приближение мелкой воды играет фундамен-

ны Пуанкаре (инерционно-гравитационные)), вто-

тальную роль при изучении крупномасштабных

рой тип волн — это низкочастотные планетарные

процессов в атмосферах планет и океанов. Урав-

волны (волны Россби). Волны Кельвина и волны

нения мелкой воды широко используются в гео-

Пуанкаре представляют собой модифицированные

физической гидродинамике для исследования круп-

вследствие вращения гравитационные волны, вол-

номасштабных волн и их нелинейных взаимодей-

ны Россби образуются вследствие зависимости па-

ствий. Классические уравнения мелкой воды явля-

раметра Кориолиса от широты в течениях на вра-

ются альтернативой решению полной системы гид-

щающейся сфере.

родинамических уравнений течения жидкости со

свободной границей в поле силы тяжести. Эти урав-

Несмотря на фундаментальный характер приб-

нения получаются из полных уравнений гидроди-

лижения мелкой воды для описания течений жид-

намики идеальной несжимаемой жидкости со сво-

кости в поле силы тяжести, классические уравне-

бодной поверхностью, находящейся в поле силы тя-

ния мелкой воды не учитывают плотностную неод-

жести, усреднением по глубине слоя в предполо-

нородность, всегда формируемую силой гравита-

жении гидростатичности распределения давлений и

ции. Поэтому условия применимости классических

малости толщины слоя по отношению к характер-

уравнений мелкой воды к реальным средам огра-

ному линейному размеру задачи и в пренебреже-

ничиваются не только малостью отношения глуби-

ны слоя к характерному линейному размеру задачи,

^* E-mail: yudenkova.ma@phystech.edu

но и характерным вертикальным масштабом изме-

388

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

нения плотности вследствие наличия силы тяжести

и масштабом вертикальных неоднородностей гори-

зонтального поля скорости.

В работе предложена модель течения сжима-

емой жидкости в приближении мелкой воды для

описания эффектов неоднородности плотности [1].

Эта модель получается в результате усреднения по

толщине слоя полных уравнений движения Эйлера

сжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Таким

Рис. 1. Геометрия слоя жидкости

образом, в этом приближении фильтруются звуко-

вые волны и учитывается зависимость плотности от

давления на крупных масштабах, описывающая эф-

что исследование сжимаемых течений в приближе-

фекты статической сжимаемости [2]. Такие условия

нии мелкой воды сводится к изучению квазилиней-

возникают в течениях газов с примесями твердых

ной системы уравнений в частных производных. В

частиц, например, в физике планетных колец [3],

разд. 3 изучаются линейные волны в полученных

при изучении пылевых бурь на Марсе [4], крупно-

системах. Для каждой системы уравнений найде-

масштабных течений в атмосфере Земли с частица-

ны решения в виде плоских волн и их дисперси-

ми пыли или песка [1], извержений вулканов [5,6], а

онные соотношения и описан графический метод

также в геофизике [7, 8].

анализа условия трехволнового синхронизма; этот

Предложенная система выгодно отличается от

метод применен к ранее полученным решениям си-

традиционных уравнений мелкой воды для несжи-

стем уравнений. В разд. 4 рассматриваются слабоне-

маемой жидкости. В классических уравнениях мел-

линейные взаимодействия в сжимаемых течениях с

кой воды высота и горизонтальная скорость стол-

помощью асимптотического метода многих масшта-

ба жидкости полностью определяют его взаимодей-

бов. В Заключении приведены основные результаты

ствие с остальным объемом жидкости. В уравнениях

работы.

мелкой воды для сжимаемых жидкостей это взаи-

модействие определяется не только горизонтальной

2. УРАВНЕНИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ ДЛЯ

скоростью и высотой, но и средней плотностью стол-

СЖИМАЕМОГО ГАЗА С УЧЕТОМ

ба жидкости. Вследствие этого учет горизонталь-

ВРАЩЕНИЯ

ного импульса в уравнениях происходит более точ-

В данном разделе получена система уравнений

но, что является фундаментальным преимуществом

мелкой воды для сжимаемых вращающихся течений

при применении этих уравнений к атмосферным,

жидкости в поле силы тяжести.

океаническим и астрофизическим процессам. В ра-

Система уравнений сжимаемого газа в прибли-

ботах [1, 9, 10] показано, что учет сжимаемости в

модели мелкой воды приводит к улучшению пред-

жении мелкой воды получается из классических

трехмерных уравнений движения сжимаемой жид-

сказания скорости распространения газового пото-

кости усреднением по высоте слоя [10, 12, 13]. Пред-

ка с примесью твердых частиц. Такое приближение

полагаем газ идеальным и политропным, распреде-

является альтернативой классическим многослой-

ление давлений по высоте — гидростатическим. Все

ным моделям мелкой воды для течений с неоднород-

процессы считаем адиабатическими. Скорости час-

ной плотностью [11], поскольку учитывает эффекты

тиц жидкости и фазовые скорости возмущений по-

стратификации и не требует разбиения течения на

лагаем малыми по сравнению со скоростью звука.

несколько однородных слоев при численном моде-

Мы также пренебрегаем интегралами произведений

лировании крупномасштабных процессов. Фактиче-

ски, приближение мелкой воды для изучения круп-

отклонений переменных от их средних значений.

Ось z системы координат направлена вдоль век-

номасштабных неоднородных процессов в сжимае-

тора силы тяжести в противоположном направле-

мой жидкости играет такую же фундаментальную

нии, ось x направлена вдоль широты, ось y соответ-

роль, как и аналогичное приближение в гидродина-

ственно вдоль долготы (рис. 1).

мике несжимаемой однородной жидкости.

Запишем исходную систему уравнений для сжи-

В разд.

получена система уравнений для

маемой жидкости с учетом вращения:

сжимаемой вращающейся жидкости в приближе-

нии мелкой воды, разобраны два важных случая

∂ρ

+ ∇ · (ρu) = 0,

(1)

вращения: f-плоскость и β-плоскость. Показано,

∂t

389

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

∂u

∇p

Выразим ρ из уравнения (9) и подставим в урав-

+ (u · ∇)u = -

- f[e_z × u] - g,

(2)

∂t

нение (10). С учетом выражений (7) получим выра-

жение для давления как функции координат и вре-

= const,

(3)

ρ^γ

мени:

(

)γ/(γ-1)

ρT.

(4)

h-z

p(x, y, z, t) = p_h

(11)

H_ρ

Здесь (1) — уравнение непрерывности, (2) — урав-

нение Эйлера с учетом вращения и силы тяжес-

Тогда из (9) выразим ρ(x, y, z, t):

ти,

(3)

— уравнение адиабаты идеального газа,

(

)1/(γ-1)

(4) — уравнение Менделеева - Клапейрона. В систе-

h-z

ρ(x, y, z, t) = ρ_h

(12)

ме (1)-(4) u = (u_x, u_y, u_z)T — крупномасштабная

H_ρ

скорость, ρ — плотность газа, p — гидродинамичес-

где H_ρ = c_pT_h/g — характерная плотностная вы-

кое давление, g — ускорение свободного падения,

сота — масштаб, на котором вариация плотности по

f — параметр Кориолиса, γ — показатель адиаба-

высоте становится существенной, c_p = μ-1γ(γ -1) =

ты, μ — молярная масса, T — температура в энерге-

= const — теплоемкость при постоянном давлении.

тический единицах. Уравнения записаны в неинер-

Условие гидростатического равновесия (10) озна-

циальной системе отсчета, вращающейся вместе с

жидкостью.

чает пренебрежение вертикальными ускорениями.

Это условие широко используется для описания

Запишем граничные условия для системы

сжимаемых астрофизических течений, таких как

(1)-(4):

конвективные зоны Солнца и звезд [14], атмосфе-

u_z|z=0 = 0,

(5)

ра Земли [15, 16]. Ниже показано, что использова-

∂h

u_z|z=h =

+u_x|z=h

+u_y|z=h

(6)

ние стандартной процедуры усреднения для получе-

∂t

∂x

∂y

ния приближения мелкой воды с гидростатическим

p|z=h = p_h = const, T|z=h = T_h = const.

(7)

условием (10) позволяет значительно упростить ис-

ходную трехмерную систему уравнений (1)-(4). В

Высоту слоя жидкости, отсчитываемую от уров-

результате получается новая система уравнений, в

ня нижней границы z = 0, обозначим z = h(x, y, t).

которой звуковые волны отфильтровываются и со-

Выражения (5) и (6) соответствуют условию непро-

храняются эффекты крупномасштабной сжимаемо-

текания на дне и на свободной границе и обозна-

сти, а именно, зависимость градиента плотности от

чают обращение в нуль нормальной к поверхностям

градиента давления.

составляющей скорости жидкости. Условия (7) зада-

Отметим, что в классических уравнениях мел-

ют постоянные значения плотности и температуры

кой воды для несжимаемой жидкости масса элемен-

на свободной границе. Отметим, что если на свобод-

тарного столба жидкости с единичным горизонталь-

ной границе хотя бы один из параметров p, ρ, T по-

ным размером равна высоте свободной границы. В

стоянен, то и остальные два необходимо постоянны

нашем случае приближения мелкой воды с учетом

вследствие адиабатичности процессов (3) и уравне-

крупномасштабной сжимаемости масса элементар-

ния Клапейрона (4).

ного столба жидкости с единичным горизонталь-

Из уравнения состояния (4) с учетом гранич-

ным размером равна произведению высоты свобод-

ных условий (7) получим следующее выражение для

ной поверхности и средней плотности газа элемен-

плотности на свободной границе:

тарного столба, при этом перенос массы между эле-

p_h

ментарными столбами отсутствует.

ρ|z=h =

=ρ_h.

(8)

T_hμ

Усредним уравнения (1)-(4) по высоте слоя жид-

кости от z = 0 до z = h(x, y, t), используя выраже-

Уравнение адиабаты (3) с учетом (7) запишется

ния для давления и плотности (11), (12) и гранич-

в виде

p_h

ные условия (5)-(7). Вынося знак интегрирования

(9)

ρ^γ

из-под знака интеграла, преобразуем слагаемые в

уравнении (1) с учетом граничных условий (5) и (6):

Давление слоя жидкости предполагаем гидро-

статическим, тогда

∫

∫^h ∂ρ

∂

∂h

∂p

dz =

ρ dz - ρ|z=h

(13)

= -ρg.

(10)

∂t

∂z

390

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

∫

∂(ρu_x)

∂

∂h

dz =

ρu_xdz - ρu_x|z=h

(14)

∂x

∫

∂(ρu_y)

∂

∂h

dz =

ρu_ydz - ρu_y|z=h

(15)

∂y

∫

∂ρu_z

dz = ρu_z|z=h =

∂z

)

⁽∂h

∂h

= ρ|z=h

+u_x|z=h

+u_y|z=h

(16)

∂t

∂x

∂y

Рис. 2. Зависимости новой переменной l от высоты h при

Сложив уравнения (13)-(16), получим усредненное

различных коэффициентах адиабаты γ

по высоте уравнение непрерывности:

∫

p_h

H_ρ

p_h

∂

ρ dz +

ρu_xdz +

ρu_ydz = 0.

(17)

h γ/(γ - 1) + 1 h

∂t

∂x

∂y

]

[(

)γ/(γ-1)+1

-1 .

(23)

Аналогично, проинтегрировав x- и y-составляю-

H_ρ

щие уравнения Эйлера (2) по высоте от z = 0 до

Величины p, ρ, u_i представим в виде суммы средних

z = h(x,y,t) с учетом граничных условий (5), (6),

значений и малых флуктуаций: p = p+ p^′, ρ = ρ + ρ^′,

получим

u_i = u_i + u^′i. Заметим, что для малых флуктуаций

∫

∂

∫

ρu_xdz +

ρu2xdz +

ρu_xu_ydz =

∂t

∂x

∂y

p^′dz = ρ^′dz = u^′idz = 0.

(24)

∫h

∫

∂p

Введем новую переменную l:

dz + fu_xdz,

(18)

[

]

∂x

(

)γ/(γ-1)

p_h

l = hρ =

-1 ,

(25)

H_ρ

∫

∂

которая, в отличие от высоты слоя h, имеет размер-

ρu_ydz +

ρu_xu_ydz +

ρu2ydz =

∂t

∂x

∂y

ность длины, умноженной на плотность. На рис. 2

показана связь между новой переменной l и высотой

∫h

∫

слоя h при разных значениях показателя адиабаты

∂p

dz - fu_ydz.

(19)

γ. Новая переменная l нелинейно связана с высотой

∂y

слоя h, таким образом, модернизированные уравне-

ния относительно переменной l точнее описывают

Введем средние по высоте слоя плотность ρ, дав-

ление p и скорость u_i:

динамику высоты слоя. Однозначное соответствие

между новой переменной l и высотой слоя h, соглас-

∫

но выражению (25), позволяет однозначно восста-

ρ=

ρ dz, p =

p dz,

(20)

новить форму свободной поверхности после нахож-

дения решения модернизированной системы уравне-

∫h

ний.

Выразим теперь слагаемые в выражениях

u_i =

u_i dz, i = x, y.

(21)

и перемен-

(17)-(19) через средние значения p, ρ, u_i

ную l, пренебрегая интегралами от произведений

Подставив в уравнения (20) значения давления и

флуктуаций:

плотности из (11), (12), получим

]

∫

[(

)γ/(γ-1)

∂p

∂h

a²g ∂l

p_h

= gρh

(26)

ρ=

−1 ,

(22)

∂x

H_ρ

391

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

∫

уравнений содержит переменную l, зависящую от

ρu_idz = (ρ + ρ^′)(u_i + u^′i)dz =

средней плотности столба жидкости и высоты сво-

бодной поверхности. Заметим, что в выражение для

∫h

∫

плотности (12) входит параметр H_ρ — характерная

= ρ u_idz+ρ u^′dz+ui ρ′dz+ ρ′u′idz =

плотностная высота. Отношение характерной высо-

ты h₀ слоя к характерной плотностной высоте опре-

деляет масштаб сжимаемости. При h₀/H_ρ → 0 жид-

= hρ u_i = l u_i,

(27)

кость можно считать несжимаемой, система урав-

∫

нений (30)-(32) переходит в классическую систему

ρu_iu_j dz = hρ u_i u_j = l u_i u_j .

(28)

уравнений мелкой воды для несжимаемой жидкос-

ти.

Вращение в задаче определяет параметр Корио-

В выражении (26)

лиса f = 2Ω sin θ, где θ — широта, а Ω — угловая

(

)-1/γ

скорость вращения сферы. Далее рассмотрим два

a² =

(29)

ρ_h p_h

приближения: вращение на f-плоскости и на β-плос-

кости.

Новая переменная a вводится так, чтобы величи-

В первом случае считаем, что f = f₀ = const.

на a²g представляла собой квадрат скорости сла-

Тогда система уравнений на f-плоскости запишется

бых возмущений в сжимаемой жидкости, в отличие

в виде

от несжимаемого случая, в котором выражение для

квадрата скорости слабых возмущений имеет вид

∂l

∂(lu_x)

∂(lu_y)

= 0,

(33)

gh. Таким образом, величина a² имеет размерность

∂t

∂x

∂y

длины.

Подставив выражения (26)-(28) в усредненные

∂(lu_x)

∂(lu2x)

∂(lu_xu_y)

∂l

+a²g

-f₀lu_y = 0,

(34)

по высоте слоя уравнения непрерывности и Эйле-

∂t

∂x

∂y

∂x

ра (17)-(19), получим усредненную по высоте слоя

систему

∂(lu_y)

∂(lu_xu_y)

∂(lu2y)

∂l

∂(lu_x)

∂(lu_y)

+a²g

+f₀lu_x = 0.

(35)

= 0,

(30)

∂t

∂x

∂y

∂t

∂x

∂y

В приближении β-плоскости считаем изменение

параметра Кориолиса f при малых изменениях ши-

∂(lu_x)

∂(lu2x)

∂(lu_xu_y)

∂l

+a²g

-flu_y = 0,

(31)

роты θ линейным:

∂t

∂x

∂y

∂x

∂(lu_y)

∂(lu_xu_y)

∂(lu2y)

∂l

f = 2Ωsinθ ≈ 2Ωsinθ₀ + (θ - θ₀)cosθ₀ =

+a²g

+flu_x = 0,

(32)

∂t

∂x

∂y

=f₀ +βy.

(36)

в которой выражение для квадрата скорости малых

Здесь f0 = 2Ω sinθ0, β = ∂f/∂y. Подставим па-

возмущений a² определено в (29). Для упрощения

раметр Кориолиса (36) в систему (30)-(32) и про-

записи здесь и далее опущены знаки усреднения.

дифференцируем уравнение (31) по y, чтобы исклю-

Система (30)-(32) является обобщением системы

чить y из уравнения. Таким образом, в приближении

уравнений мелкой воды для сжимаемой жидкости,

β-плоскости система (30)-(32) перепишется в виде

рассмотренной в работах [1,9,10], на двумерный слу-

чай с учетом вращения. Данная система записана в

переменных поверхностной плотности слоя l и сред-

∂l

∂(lu_x)

∂(lu_y)

= 0,

(37)

них по высоте компонент скорости v_x и v_y. Урав-

∂t

∂x

∂y

нение (30) является следствием закона сохранения

массы, а уравнения (31), (32) — следствием закона

сохранения импульса.

∂²(lu_x)

∂²(lu2x)

∂²(lu_xu_y)

∂(a²g)

Отметим отличия системы (30)-(32) от класси-

∂y∂t

∂y∂x

∂y²

∂y

ческой системы уравнений мелкой воды для несжи-

маемой жидкости [1]. В классической системе пере-

∂²l

∂(lu_y)

менными являются высота h свободной поверхнос-

+a²g

-f₀

- βlu_y = 0,

(38)

ти и средняя скорость v. Полученная же система

∂y∂x

∂y

392

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

∂(lu_y)

∂(lu_xu_y)

∂(lu2y) ∂l

∂t

∂x

∂y

∂x

∂l

+a²g

+ f₀lu_x = 0.

(39)

∂y

Таким образом, исследование сжимаемых те-

чений в приближении мелкой воды сводится к

исследованию квазилинейной системы уравнений

(30)-(32). Далее будем анализировать эту систему

как в приближении f-плоскости (33)-(35), так и в

приближении β-плоскости (37)-(39).

Рис. 3. Проекция дисперсионной поверхности волны Пуан-

3. ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В СЖИМАЕМЫХ

каре

ТЕЧЕНИЯХ МЕЛКОЙ ВОДЫ

После подстановки решения в виде плоской вол-

В данном разделе будем изучать волновые про-

ны (43) в линеаризованную систему (40)-(42) полу-

цессы в течении тонкого сжимаемого слоя газа в ли-

чим систему линейных однородных уравнений

нейном приближении. Для этого линеаризуем сис-

⎛

⎞⎛

⎞

темы уравнений в f-приближении (33)-(35) и β-при-

-ω k_xl₀ k_yl₀

⎜

⎟⎜

⎟

ближении (37)-(39) около стационарных решений и

⎝ -k_xa²⁰g ωl₀

-if₀l₀

⎠⎝ ûx

⎠ = 0.

(44)

найдем решения в виде плоских волн. Также срав-

−k_ya²⁰g if₀l₀

ωl₀

û_y

ним полученные дисперсионные соотношения с ана-

логичными результатами для несжимаемых тече-

Однородная система (44) имеет нетривиальное ре-

ний.

шение, когда определитель матрицы системы равен

нулю. Приравняв определитель матрицы к нулю, по-

лучим уравнение для нахождения дисперсионного

3.1. Волны Пуанкаре в сжимаемых течениях

соотношения:

на f-плоскости

ω³ + ωf²⁰ + ω(k2x + k2y)a²⁰g = 0.

(45)

Обратимся к системе уравнений на f-плоскости

Уравнение (45) имеет нулевое решение и два нетри-

(33)-(35). Линеаризуя систему около стационарного

решения l = l₀, u_x = u_y = 0, получим

виальных решения:

√

∂l

∂u_x

∂u_y

ω=± f²⁰ +k²a²⁰g.

(46)

+l₀

= 0,

(40)

∂t

∂x

∂y

Уравнение (46) описывает дисперсионное соотноше-

∂u_x

∂l

ние для линейной волны в сжимаемой жидкости на

l₀

+a²⁰g

- f₀l₀u_y = 0,

(41)

∂t

∂x

f-плоскости. Полученная волна известна как волна

Пуанкаре, ее дисперсионное соотношение изображе-

∂u_y

∂l

но на рис. 3. Заметим, что частота волны всегда пре-

l₀

+a²⁰g

+ f₀l₀u_x = 0.

(42)

∂t

∂y

вышает частоту Кориолиса f₀.

Здесь a²⁰ = a²(l₀), функция a²(l) определена в (29).

В коротковолновом пределе, когда

Ищем решение линеаризованной системы в виде

f²⁰

плоских волн:

k² ≫

(47)

a²⁰g

⎛

⎞

⎛

⎞

дисперсионное соотношение сводится к случаю без

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝ u_x

⎠=

⎝ û_x

⎠ exp(-iωt + ikxx + ikyy),

(43)

вращения. Физически это значит, что длина вол-

ны много меньше радиуса деформации Россби L =

u_y

û_y

√

a²⁰g/f₀ [17]. Тем не менее длина волны должна

где ω — частота волны, k = (k_x, k_y)^T — волновой

быть больше толщины слоя жидкости, чтобы выпол-

вектор.

нялось приближение мелкой воды.

393

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 5. Свободная поверхность в сжимаемой (нижняя кри-

Рис. 4. Проекция дисперсионной поверхности волны Пу-

вая) и несжимаемой (верхняя кривая) жидкостях

анкаре в несжимаемой жидкости (штриховая линия) и в

сжимаемой жидкости (сплошная линия)

му, отличающуюся от синусоиды. Решение уравне-

В длинноволновом пределе, когда

ний для сжимаемой жидкости переходит в решение

для несжимаемой жидкости, когда h/H_ρ → 0.

f²⁰

k² ≪

(48)

a²⁰g

3.2. Волны Пуанкаре и Россби на

т. е. длина волны много больше радиуса деформа-

β-плоскости

ции L, дисперсионные соотношение преобразуется и

Аналогичным образом найдем дисперсионные

имеет вид

соотношения для линейных волн на β-плоскости.

ω=f₀.

(49)

Линеаризуя систему (37)-(39) около стационарного

Этот случай известен как инерционные колебания.

решения l = l₀, u_x = u_y = 0, получим

Заметим, что если высота слоя жидкости много

∂l

∂u_x

∂u_y

меньше характерной высоты H_ρ, то a²⁰ ≈ h₀ и дис-

+l₀

= 0,

(51)

∂t

∂x

∂y

персионное соотношение (46) переходит в дисперси-

онное соотношение для волны Пуанкаре в несжима-

∂²u_x

∂²l

∂u_y

емой жидкости [18]:

l₀

+a²⁰g

-f₀l₀

- βl₀u_y = 0,

(52)

∂y∂t

∂y∂x

∂y

√

ω = ± f²⁰ + hgk².

(50)

∂u_y

∂l

l₀

+a²⁰g

+ f₀l₀u_x = 0.

(53)

∂t

∂y

На рис. 4 изображены проекции дисперсионных

После подстановки плоской волны (43) в линеари-

поверхностей волн Пуанкаре в сжимаемой (46) и

зованную систему (51)-(53) получим систему линей-

несжимаемой (50) жидкостях. На рисунке видно,

ных однородных уравнений

что дисперсионные соотношения (46) и (50) — урав-

нения одного вида, однако наличие сжимаемости

⎛

⎞

влияет на кривизну дисперсионных поверхностей.

-ω

k_xl₀

k_yl₀

⎜

⎟

На рис. 5 представлены решения для высоты h

⎝ -k_xk_ya²⁰g ωk_yl₀

-ik_yf₀l₀ - βl₀

⎠ ×

свободной поверхности в случае несжимаемой жид-

−k_ya²⁰g if₀l₀

ωl₀

кости и в случае учета крупномасштабной сжи-

⎛

⎞

маемости. Учет эффектов сжимаемости позволяет

⎜

⎟

скорректировать решение для высоты свободной по-

⎝ uˆ_x

⎠ = 0.

(54)

верхности. Таким образом, реальная высота сво-

u_y

бодной поверхности в сжимаемой жидкости меньше

предсказываемой в модели несжимаемой жидкости.

Приравняв детерминант матрицы системы к ну-

Кроме того, форма свободной поверхности в случае

лю, получим уравнение

распространения одиночной плоской волны, в отли-

чие от случая несжимаемой жидкости, имеет фор-

ω³ - ω(f²⁰ + a²⁰gk²) - βa²⁰gk_x = 0.

(55)

394

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

Рис. 7. Проекции дисперсионной поверхности волны Росс-

Рис. 6. Проекция дисперсионной поверхности волны Росс-

би в несжимаемой (штриховая линия) и в сжимаемой

би на kx

(сплошная линия) жидкостях

Точное решение этого уравнения дается формулой

Кардано:

дисперсионное соотношение волны Россби перейдет

A+B

A-B√

в дисперсионное соотношение для волны Россби в

ω₁ = A + B, ω2,3 = -

±i

(56)

случае несжимаемой жидкости:

где

√

βhgk_x

√

ω=-

(59)

A=³ -

Q, B =³ -

f²⁰ + hgk²

)₃

⁽p

⁽q

На рис. 7 приводится сравнение проекций дис-

p = -(f²⁰ + a²⁰gk²),

персионных поверхностей волны Россби в несжима-

q = -βa²⁰gk_x.

емой жидкости (59) и волны Россби в сжимаемой

жидкости (58). Как и в случае с волной Пуанкаре,

Рассмотрим два важных предельных случая. В

наличие сжимаемости влияет на кривизну диспер-

коротковолновом пределе, если

сионных поверхностей.

f³⁰

f₀

k_x ≫

Таким образом, полученные в линейном прибли-

βa²⁰g

L² β

жении дисперсионные уравнения (46) и (58) имеют

то дисперсионное соотношение принимает вид

тот же вид, что и дисперсионные уравнения (50),

(59) в несжимаемой жидкости, и отличаются только

ω² = f²⁰ + a²⁰gk²,

(57)

числовыми коэффициентами. При этом в несжима-

емом пределе дисперсионные уравнения (46) и (58)

что соответствует случаю волны Пуанкаре. В длин-

переходят в уравнения (50) и (59) соответственно.

новолновом пределе, если

f³⁰

f₀

k_x ≪

βa²⁰g

L² β

3.3. Качественный анализ трехволновых

взаимодействий

то

βa²⁰gk_x

ω=-

(58)

f²⁰ + a²⁰gk²

Определим, для каких из полученных типов волн

Волна, описываемая данным дисперсионным соот-

возможны резонансные взаимодействия. Для того

ношением, называется волной Россби. На рис. 6

чтобы три волны испытывали взаимодействие, необ-

изображена дисперсионная поверхность волны Росс-

ходимо выполнение условия трехволнового синхро-

би (57), (58) в проекции на k_x.

низма:

Отметим, что если масштаб плотностной неодно-

родности много больше высоты слоя жидкости, то

k₁ + k₂ = k₃, ω₁(k₁) + ω₂(k₂) = ω₃(k₃),

(60)

395

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 9. Отсутствие синхронизма трех волн Пуанкаре

Рис. 8. Пересечение дисперсионных поверхностей взаимо-

действующих волн

где ki — волновые векторы взаимодействующих

волн, ω_i(k) — дисперсионное соотношение для со-

ответствующей волны.

Будем рассматривать условие резонанса как пе-

ресечение дисперсионных поверхностей [19]. Для

двумерного вектора k = (k_x, k_y) функция ω(k) зада-

Рис. 10. Условие трехволнового синхронизма для двух

ет поверхность в трехмерном пространстве ω, k_x, k_y.

волн Россби и волны Пуанкаре

Рассмотрим две поверхности (рис. 8): S₁, заданную

уравнением ω = ω₁(k), и S₂, заданную уравнени-

ем ω = ω₁(k₁) + ω₂(k - k₁) = ω₁(k₁) + ω₂(k₂) —

низма (60) не выполняется. Таким образом, для

вторым слагаемым условия синхронизма (60) в сме-

волн на f-плоскости трехволновое взаимодействие

щенной точке (k₁, ω₁(k₁)). Если поверхности пере-

невозможно.

секлись, обозначим точку пересечения k₃. Пересе-

чение дисперсионных поверхностей S₁ и S₂ означа-

Для системы уравнений на β-плоскости (37)-(39)

ет, что существует вектор k₃ = k₁ + k₂ и некоторая

были получены дисперсионные соотношения волны

дисперсионная поверхность ω₃(k) такая, что

Пуанкаре (57) и волны Россби (58). Возможны четы-

ре конфигурации взаимодействия волн: три волны

ω₃(k₃) = ω₃(k₁ + k₂) = ω₂(k₂) + ω₁(k₁).

Пуанкаре; две волны Пуанкаре и волна Россби; вол-

на Пуанкаре и две волны Россби; три волны Россби.

Проанализируем дисперсионные соотношения

Дисперсионные поверхности двух волн Пуанкаре

линейных волн для системы уравнений на f-плос-

не имеют пересечений, поэтому трехволновое взаи-

кости

(33)-(35), описывающей волны Пуанкаре

модействие невозможно для трех волн Пуанкаре, а

(46). Покажем, что для волн Пуанкаре не выпол-

также для двух волн Пуанкаре и волны Россби.

няется условие трехволнового синхронизма

(60).

На рис. 9 изображены проекции дисперсионных

На рис. 10 изображены проекции волновых по-

поверхностей двух волн Пуанкаре на плоскость

верхностей на ось k_x дисперсионной поверхности

k_x, ω. Очевидно, что дисперсионные поверхности

волны Пуанкаре и волны Россби в смещенной точ-

не имеют пересечений, а значит, условие синхро-

ке. Кривые имеют пересечение, поэтому выполняет-

396

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

Для изучения слабонелинейных взаимодействий ис-

пользуем асимптотический метод многих масштабов

[21]. В основе метода многих масштабов лежит идея

перехода от одного набора аргументов a к несколь-

ким наборам A_n, таких что A₀ = a, A₁ = εa, A₂ =

= ε²a и т.д. В нашем случае разложим аргументы

t, x, y на «быстрые» переменные T₀, X₀, Y₀ и «мед-

ленные» переменные T₁, X₁, Y₁. В таком случае опе-

раторы частных производных перепишутся в виде

∂

+ε

(61)

∂t

∂T₀

∂T₁

Рис. 11. Условие трехволнового синхронизма для трех

∂

волн Россби

+ε

(62)

∂x

∂X₀

∂X

∂

+ε

(63)

ся условие трехволнового синхронизма. Аналогично

∂y

∂Y₀

∂Y₁

на рис. 11 показано пересечение проекций волновых

Решение системы (61)-(63) будем искать в виде

поверхностей волн Россби.

асимптотического ряда по степеням ε:

Таким образом, для системы уравнений на

β-плоскости

(37)-(39) возможны трехволновые

u = u₀ + εu₁ + ε²u₂ + ...

(64)

взаимодействия для двух конфигураций — трех

Здесь u = (l, u_x, u_y)^T — вектор-решение, u₀ = (l₀,

волн Россби, а также двух волн Россби и одной

ux0, uy0)^T

— стационарное решение, u₁

= (l₁,

волны Пуанкаре. В обоих случаях это означает

ux1, uy1)^T

— решение линеаризованной системы

существование таких волновых векторов k₁ и

(51)-(53), u₂ — квадратичная поправка.

k₂, что условие трехволнового синхронизма

(60)

Приравнивая слагаемые нулевого порядка по ε,

выполнено [20].

получаем стационарное решение, приравнивая сла-

гаемые первого порядка по ε, получаем линейную

систему (51)-(53).

4. СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЕ

Подставим в исходную систему уравнений на

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЖИМАЕМЫХ

β-плоскости разложение (64) и выражения для част-

ТЕЧЕНИЯХ В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ

ных производных (61)-(63). Выписав слагаемые с ε²,

ВОДЫ

получим систему

В предыдущем разделе было показано, что в

Au₂ =

Su₁ +

^R(u₁, u₁),

(65)

приближении f-плоскости существуют линейные

волны Пуанкаре, для которых волновые взаимодей-

где

A — линейный оператор, действующий на квад-

ствия невозможны. Между тем, на β-плоскости есть

ратичную поправку, такой, что

два типа волн — волны Пуанкаре в коротковолновом

диапазоне и волны Россби в длинноволновом диапа-

Au₂ =

зоне. Условие трехволнового синхронизма для этих

⎛

⎞

∂l₂

∂ux2

∂uy2

волн выполняется в двух вариантах: для трех волн

+l₀

Россби, для двух волн Россби и одной волны Пуан-

⎜

∂T₀

∂X₁

∂Y₀

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

каре.

⎜

∂²ux2

∂²l₂

∂uy2

⎟

⎜

-f₀

-βl₀uy2

⎟,

(66)

⎜

⎟

⎜l0 ∂Y0∂T1 +a0g∂Y0∂T0

∂Y

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

4.1. Метод многих масштабов

∂uy2

∂l₂

l₀

+a²⁰g

+f₀l₀ux2

∂T

∂Y₀

Исследуем систему уравнений на β-плоскости

(37)-(39), для которой ранее была качественно по-

S — линейный оператор, действующий на линейную

казана возможность трехволновых взаимодействий.

поправку, такой, что

397

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

⎛

⎞

∂l₁

∂ux1

∂uy1

⎜

+l₀

⎟

⎜

∂T₁

∂X₁

∂Y₁

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

∂²ux1

∂²l₁

∂l₁

∂uy1⎟

Su₁ = -⎜

+l₀

+a²⁰g

-f₀l₀

⎟,

(67)

⎜l0 ∂Y0∂T1

∂Y₁∂T₀

∂Y₀∂X₁

∂Y₁∂X₀

∂Y₁

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∂uy1

∂l₁

l₀

+a²⁰g

∂T₁

∂Y₁

R— нелинейный оператор такой, что

⎛

⎞

∂(l₁ux1

)

∂(l₁uy1)

⎜

⎟

⎜

∂X₀

∂Y₀

⎟

⎜

(

)⎟

⎜

⎟

⎜

∂²(l₁ux1)

∂²u2x1

∂²(ux1uy1)

⎟

^R(u₁, u₁) = -

+l₀

⎜

⎟

⎜

∂Y₀∂T₀

∂Y₀∂X₀

∂Y²⁰

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∂(l₁uy1)

∂(ux1uy1)

∂u2y1

+l₀

∂T₀

∂X₀

∂Y₀

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

)

⎟

⎜a20g

⁽∂l1 ∂l1

∂²l₁

∂(l₁uy1)

⎟

⎜

+l₁

-f₀

- βl₁uy1⎟

(68)

⎜

∂Y₀ ∂X₀

∂Y₀∂X₀

∂Y₀

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

l₁ ∂l₁

a₀g

+f₀l₁ux1

L∂Y₀

Здесь величина

системы. Матрица A совпадает с матрицей однород-

ной системы (54):

⎛

⎞

l₀

γ p+l₀g

-ω

k_xl₀

k_yl

⎜

⎟

⎝ -k_xk_ya²⁰g ωk_yl₀

-ik_yf₀l₀ - βl₀

⎠.

(71)

получается при разложении величины a², заданной

формулой (29), в ряд по ε.

−k_ya²⁰g if₀l₀

ωl₀

В правой части уравнения (65) содержатся сла-

гаемые, полученные при решении линеаризованной

При выполнении дисперсионного соотношения (55)

системы уравнений (51)-(53). Они могут привести

определитель матрицы A равен нулю. Воспользу-

к линейному по времени или координате росту ре-

емся теоремой Фредгольма, чтобы найти условие

шения, что приведет к нарушению условия мало-

совместности системы (70). Система алгебраических

сти поправки по сравнению с решением линейной

уравнений совместна тогда и только тогда, когда

задачи (ε²u₂ ≪ εu₁) на больших масштабах. Чтобы

каждое решение сопряженной однородной системы

исключить влияние резонансных слагаемых, введем

zT A = 0 ортогонально вектору правой части b.

зависимость амплитуды волны от медленных пере-

Найдем вектор z = (z₁, z₂, z₃)^T из системы

менных, а фазы волны — от быстрых переменных:

-ωz₁ - k_xk_ya²⁰gz₂ - k_ya²⁰

gz₃ = 0,

(72)

u₁ = û₁(T₁, X₁, Y₁)exp(-iωT₀+ik_xX₀ +ik_yY₀). (69)

k_xl₀z₁ + ωk_yl₀z₂ - if₀l₀z₃ = 0,

(73)

Если искать u₂ в виде линейных волн, то полу-

чим систему

Aû₂ = b,

(70)

k_yz₁ + (-ik_yf₀l₀ - βl₀)z₂ + ωl₀z₃ = 0.

(74)

где b — вектор правой части, который можно най-

Поскольку уравнения (72)-(74) линейно зависимы,

ти подстановкой выражения для линейной поправ-

мы можем выразить компоненты вектора z через

ки (69) в правую часть уравнения (65), A — матрица

уравнения (72) и (73). Тогда получим

398

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

⎛

⎞

u₁ = φa(k₁)exp(iθ₁) + ψa(k₂)exp(iθ₂)+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

+ χa(k₃) exp(iθ₃) + c.c.

(76)

⎜

⎟

⎜

a²⁰g(if₀ - ωk_y)

⎟c,

(75)

⎜

⎟

Здесь

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝if₀ω - k_xk_ya²⁰g

⎠

φ = φ(T₁,X₁,Y₁), ψ = ψ(T₁,X₁,Y₁),

k_y(ω² - k_xa²⁰g)

)

χ = χ(T₁,X₁,Y₁

где c — произвольная константа.

— амплитуды взаимодействующих волн, θ_i

= -ω(k_i)T₀ + k_xX₀ + k_yY₀ — фазы волн, a — соб-

ственный вектор матрицы A. Так как для волновых

4.2. Уравнения трехволновых

взаимодействующих волн выполняется условие син-

взаимодействий

хронизма (60), то θ₃ = θ₁ + θ₃.

Представим решение в виде трех волн, удовлет-

Подставим (76) в правую часть уравнения (65).

воряющих условию синхронизма (60):

Выпишем часть, пропорциональную exp(iθ₁):

⎛

⎞

∂φ

⎜

+a₂l₀

+a₃l₀

⎟

⎜

a₁ ∂T₁

∂X₁

∂Y₁

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

∂φ

⎟

Su₁ +

^R(u₁, u₁) = -

ia₂l₀ky1

- ia₂l₀ω(k₁)

+ ia₁a²⁰gky1

-a₃f₀l₀

+ ia₁a²⁰gkx1

⎜

⎟

⎜

∂T₁

∂Y₁

∂X₁

∂Y₁

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

∂φ

a₃l₀

+a₁a²⁰g

∂T₁

∂Y₁

⎛

⎞

⎛

⎞

⎜

2ia₁a₂kx1ψ^∗χ + 2ia₁a₃ky1ψ^∗χ

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

a²⁰g

⎟

(77)

⎜

2a₁a₂ky1ω(k₁)ψ^∗χ-2l₀a²²kx1ky1ψ^∗χ-2l₀a²²k2y1

⎟

⎜4

a²¹kx1ky1ψ^∗χ-if₀a₁a₃ky1ψ^∗χ-βa₁a₃ψ^∗χ

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

a²g

−2ia₁a₃ω(k₁)ψ^∗χ+2il₀a₂a₃k_x+2il₀a²³ky1ψ^∗χ

a²¹ky1ψ^∗χ + f₀a₁a₂ψ^∗χ

Домножим получившееся выражение (77) на век-

Коэффициент f₁ в правой части соотношения

тор-решение z сопряженной системы и получим

(78) зависит от волновых векторов взаимодействую-

уравнение для амплитуды φ первой волны

щих волн:

s₁φ = f₁ψ^∗χ.

(78)

f₁ = f₁(k₁, k₂, k₃) = 2ia₁a₂z₁kx1+2ia₁a₃z₁ky1 +

+ 2a₁a₂z₂ky1ω(k₁) - 2l₀a²²z₂kx1ky1 - 2l₀a²²z₂k2y1 +

Здесь s₁ — линейный дифференциальный оператор

по переменным T₁, X₁, Y₁:

a²⁰g

a²¹z₂kx1ky1 - if₀a₁a₃z₂ky1 - βa₁a₃z₂ -

∂

− 2ia₁a₃z₃ω(k₁) + 2il₀a₂a₃z₃kx1 + 2il₀a²³ky1 +

s₁ = r₁

+p₁

+q₁

(79)

∂T₁

∂X₁

∂Y₁

a²⁰g

a²¹z₃ky1 + f₀a₁a₂z₃

(83)

r₁ = a₁z₁ + ia₂z₂l₀ky1 + a₃l₀z₃,

(80)

Аналогично можем получить уравнения для

p₁ = a₂z₁l₀ + ia₁z₂a²⁰gky1,

(81)

амплитуд ψ и χ, выписав слагаемые, пропорцио-

q₁ = a₃z₁l₀ - ia₂z₂l₀ω(k₁)-

нальные соответственно exp(iθ₂) и exp(iθ₃):

- a₃z₂f₀l₀ + ia₁z₂a²⁰gkx1,

(82)

s₂ψ = f₂φ^∗χ,

(84)

где a = a(k₁) — собственный вектор матрицы A.

s₃φ = f₃φψ,

(85)

399

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

где s₂ и s₃ — дифференциальные операторы, f₂, f₃ —

Система из трех уравнений

(96)-(98) для

коэффициенты, зависящие только от волновых век-

трех неизвестных амплитуд взаимодействующих

торов взаимодействующих волн.

волн описывает трехволновые взаимодействия волн,

В уравнении (84) оператор s₂ выражается следу-

удовлетворяющие условию трехволнового синхро-

ющим образом:

низма (60). В уравнениях (96)-(98) операторы s₁,

s₂, s3 определяются соответственно выражениями

∂

s₂ = r₂

+p₂

+q₂

(86)

(79)-(82), (86)-(89), (91)-(94), а коэффициенты f₁,

∂T₁

∂X₁

∂Y₁

f₂, f₃ — выражениями (83), (90), (95).

Рассмотрим случай, когда амплитуда одной из

r₂ = a₁z₁ + ia₂z₂l₀ky2 + a₃l₀z₃,

(87)

взаимодействующих волн в начальный момент мно-

p₂ = a₂z₁l₀ + ia₁z₂a²⁰gky2,

(88)

го больше амплитуд двух других, например, φ ≫

≫ ψχ. В этом случае можно принять амплитуду

q₂ = a₃z₁l₀ - ia₂z₂l₀ω(k₂) - a₃z₂f₀l₀ +

первой волны постоянной: φ = φ₀. При этом мож-

+ ia₁z₂a²⁰gkx2,

(89)

но пренебречь влиянием волн малых амплитуд ψ и

χ на волну постоянной амплитуды φ₀. Тогда система

а коэффициент f₂ —

(96)-(98) примет вид

f₂ = f₂(k₁, k₂, k₃) = 2ia₁a₂z₁kx2 + 2ia₁a₃z₁ky2 +

s₂ψ = f₂φ∗0χ,

(99)

+ 2a₁a₂z₂ky2ω(k₂)-2l₀a²²z₂kx2ky2-2l₀a²²z₂k2y2 +

a²⁰g

s₃ = f₃φ₀ψ.

(100)

a²¹z₂kx2ky2 - if₀a₁a₃z₂ky2 - βa₁a₃z₂ -

Решение линейной системы (99)-(100) ищем в виде

− 2ia₁a₃z₃ω(k₂) + 2il₀a₂a₃z₃kx2 + 2il₀a²³ky2 +

(

)

(

)

a²⁰g

a²¹z₃ky2 + f₀a₁a₂z₃.

(90)

ψ^′

exp(Γ_iT₁).

(101)

χ^′

Аналогично для уравнения (85):

Отсюда найдем инкремент неустойчивости

∂

s₃ = r₃

+p₃

+q₃

(91)

√

∂T₁

∂X₁

∂Y₁

|f₂f₃|

Γ_i =

|φ₀| > 0,

(102)

r₃ = a₁z₁ + ia₂z₂l₀ky3 + a₃l₀z₃,

(92)

|r₂r₃|

p₃ = a₂z₁l₀ + ia₁z₂a²⁰gky3,

(93)

где f₂ и f₃ — константы, определенные в (90) и (95).

Таким образом, для волн, полученных в

q₃ = a₃z₁l₀ - ia₂z₂l₀ω(k₃)-

разд. 3, возможны следующие варианты распадных

- a₃z₂f₀l₀ + ia₁z₂a²⁰gkx3,

(94)

неустойчивостей.

1. Волна Пуанкаре с волновым вектором k₁,

частотой, удовлетворяющей дисперсионному урав-

f₃ = f₃(k₁, k₂, k₃) = 2ia₁a₂z₁kx3 + 2ia₁a₃z₁ky3 +

нению (57) при k = k₁, амплитудой φ распадает-

+ 2a₁a₂z₂ky3ω(k₃)-2l₀a²²z₂kx3ky3-2l₀a²²z₂k2y3 +

ся на две волны Россби с волновыми векторами k₂,

a²⁰g

k₃, частотами, удовлетворяющими дисперсионному

a²¹z₂kx3ky3 - if₀a₁a₃z₂ky3 - βa₁a₃z₂ -

уравнению (58) при k = k₂, k₃ и амплитудами ψ и χ.

− 2ia₁a₃z₃ω(k₃) + 2il₀a₂a₃z₃kx3 + 2il₀a²³ky3 +

2. Волна Россби с волновым вектором k₁, часто-

той, удовлетворяющей дисперсионному уравнению

a²⁰g

a²¹z₃ky3 + f₀a₁a₂z₃,

(95)

(58) при k = k₁, амплитудой φ распадается на волну

Пуанкаре с волновым вектором k₂, частотой, удов-

Таким образом, получена система уравнений для

летворяющей дисперсионному уравнению (57) при

амплитуд взаимодействующих волн на β-плоскости:

k = k₂, амплитудой ψ и волну Россби с волновым

, частотой, удовлетворяющей дисперси-

вектором k₃

s₁φ = f₁ψ^∗χ,

(96)

онному уравнению (58) при k = k₃, амплитудой χ.

3. Волна Россби с волновым вектором k₁, часто-

s₂ψ = f₂φ^∗χ,

(97)

той, удовлетворяющей дисперсионному уравнению

s₃χ = f₃φψ.

(98)

(58) при k = k₁, амплитудой φ распадается на две

400

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Волны Пуанкаре и волны Россби. . .

волны Россби с волновыми векторами k₂, k₃, час-

высот, на котором изменение плотности становится

тотами, удовлетворяющими дисперсионному урав-

существенным. В отличие от классических уравне-

нению (58) при k = k₂, k₃ и амплитудами ψ и χ.

ний мелкой воды для несжимаемых течений, высо-

Напомним, что для всех волн выполняется усло-

та свободной поверхности не может считаться ана-

вие волнового синхронизма (60).

логом массы столба жидкости, и закон сохранения

Теперь рассмотрим случай, когда амплитуда од-

массы записывается для новой переменной, являю-

ной из взаимодействующих волн много меньше амп-

щейся произведением высоты свободной поверхно-

литуд двух других, т. е. φ ≪ ψ, χ. Тогда можно счи-

сти на среднюю плотность жидкости. С учетом ши-

тать амплитуды ψ и χ постоянными: ψ = ψ₀, χ = χ₀.

рокого спектра применимости полученных уравне-

Из системы (96)-(98) получим уравнение для ампли-

ний в геофизической гидродинамике, в астрофизи-

туды φ:

ке и физике планет в работе приведен их подроб-

s₁φ = f₁ψ^∗χ₀.

(103)

ный вывод, проведен анализ пределов их примени-

мости. Показано, что при малости высоты слоя по

Решение уравнения ищем в виде

сравнению с масштабом сжимаемости полученная

φ = φ′ exp(Γ_aT₁).

(104)

система переходит в систему классических уравне-

ний мелкой воды. Вследствие различия выражений

Подставив (104) в уравнение (103), получим выра-

для квадрата скорости распространения слабых воз-

жение для коэффициента усиления

мущений нелинейная динамика таких течений от-

|f₁|

личается от динамики классических уравнений для

Γ_a =

|φ∗0χ₀|.

(105)

несжимаемой жидкости в приближении мелкой во-

|r₁|

ды, несмотря на формальную аналогию гиперболи-

Константы f₁ и r₁ определены соответственно в (83)

ческой структуры обеих моделей.

и (80).

В работе получена система уравнений для сжи-

Возможны три случая параметрического усиле-

маемой жидкости в приближении мелкой воды на

ния.

β-плоскости, в которой учитывается линейная зави-

1. Две начальные волны Россби с амплитудами

симость параметра Кориолиса от широты. Для сис-

ψ и χ усиливают волну Пуанкаре с амплитудой φ.

темы уравнений на f-плоскости получены линейные

2. Волна Пуанкаре с амплитудой ψ и волна Росс-

решения в виде волн Пуанкаре в сжимаемой жид-

би с амплитудой χ усиливают волну Россби с ампли-

кости. Для системы уравнений на β-плоскости по-

тудой φ.

лучены два вида волн — волны Пуанкаре в сжима-

3. Две волны Россби с амплитудами ψ и χ уси-

емой жидкости в коротковолновом пределе и вол-

ливают волну Россби с амплитудой φ.

ны Россби в сжимаемой жидкости в длинноволно-

Для исходных волн волновые векторы k₂ и k₃,

вом пределе. Качественный анализ дисперсионных

для новой волны волновой вектор k₁ — волновой

соотношений показал, что на f-плоскости невозмож-

вектор новой волны. Частоты волн получаются под-

ны трехволновые взаимодействия волн Пуанкаре в

становкой их волновых векторов в соответствующие

сжимаемой жидкости, а на β-плоскости возможны

дисперсионные уравнения — (57) для волны Пуан-

трехволновые взаимодействия для трех волн Россби

каре и (58) для волны Россби. Частоты и волновые

в сжимаемой жидкости, а также двух волн Россби и

векторы волн удовлетворяют условию трехволново-

одной волны Пуанкаре в сжимаемой жидкости. На

го синхронизма (60).

β-плоскости асимптотическим методом многомас-

В случае несжимаемой жидкости также су-

штабных разложений получены нелинейные урав-

ществуют взаимодействия аналогичных типов

нения для амплитуд взаимодействующих волн. Для

волн [22].

каждого случая трехволновых взаимодействий ис-

следованы параметрические неустойчивости и най-

дены коэффициенты взаимодействия трех волн в

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

сжимаемой жидкости на β-плоскости.

В работе получена система дифференциаль-

ных уравнений движения вращающейся сжимаемой

жидкости в поле силы тяжести со свободной гра-

ЛИТЕРАТУРА

ницей в приближении мелкой воды. Полученная си-

стема уравнений нетривиально зависит от характер-

1. M.-L. E. Timmermans, J. R. Lister, and H. E. Hup-

ного вертикального масштаба течения и масштаба

pert, J. Fluid Mech. 445, 305 (2001).

401

ЖЭТФ, вып. 3

М. А. Юденкова, Д. А. Климачков, А. С. Петросян

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

2. C. K. Batchelor and G. Batchelor, An Introduction

12. K. Karelsky, A. Petrosyan, and S. Tarasevich, Phys.

to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press (2000).

Scripta 2013, 014024 (2013).

3. A. M. Fridman and N. N. Gorkavyi, Physics of Plane-

13. A. Chernyak, K. Karelsky, and A. Petrosyan, Phys.

tary Rings: Celestial Mechanics of Continuous Media,

Scripta 2013, 014041 (2013).

Springer Science and Business Media (2013).

14. S. Lantz and Y. Fan, Astrophys. J. Suppl. Ser. 121,

4. J. D. Parsons, Geophys. Res. Lett. 27, 2345 (2000).

247 (1999).

5. F. Dobran, A. Neri, and G. Macedonio, J. Geophys.

15. R. Klein, Theor. Comput. Fluid Dynamics 23, 161

Res.: Solid Earth 98, 4231 (1993).

(2009).

6. G. A. Valentine and K. H. Wohletz, J. Geophys. Res.:

16. D. R. Durran, J. Atmosph. Sci. 46, 1453 (1989).

Solid Earth 94, 1867 (1989).

17. A. E. Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics, Elsevier

7. C. Ancey, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 142, 4

(2016), pp. 205-208.

(2007).

18. G. K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dyna-

8. C. Ancey, A. Davison, T. Böhm, M. Jodeau, and

mics, Cambridge Univ. Press (2017), pp. 124-126.

P. Frey, J. Fluid Mech. 595, 83 (2008).

19. G. Falkovich, Fluid Mechanics: a Short Course for

9. К. В. Карельский, А. С. Петросян, А. В. Черняк,

Physicists, Cambridge Univ. Press (2011).

ЖЭТФ 141, 1206 (2012) [JETP 114, 1058 (2012)].

20. O. Pokhotelov, J. McKenzie, P. Shukla, and L. Sten-

10. К. В. Карельский, А. С. Петросян, А. В. Черняк,

flo, Phys. Fluids 7, 1785 (1995).

ЖЭТФ 143, 779 (2013) [JETP 116, 680 (2013)].

21. L. Ostrovsky, Asymptotic Pertubation Theory of

11. C. B. Vreugdenhil, Numerical Methods for Shal-

Waves, Imperial College Press (2015), pp. 18-38.

low-Water Flow, Vol. 13, Springer Science & Business

Media (1994).

22. K. Wiklund, Nonlin. Proc. Geophys. 5, 137 (1998).

402