ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 373-380

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ РЕЛАКСАЦИИ МОДУЛЯ

СДВИГА ПРИ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СТЕКОЛ

НА ОСНОВЕ КАЛОРИМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

А. C. Макаров^a, Г. В. Афонинa*, Ц. Ч. Цзиаоb**, Н. П. Кобелев^c, В. А. Хоник^a

^a Воронежский государственный педагогический университет

394043, Воронеж, Россия

^b Northwestern Polytechnical University

710072, Xi’an, China

^c Институт физики твердого тела Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 16 ноября 2021 г.,

после переработки 30 ноября 2021 г.

Принята к публикации 30 ноября 2021 г.

Основанный на межузельной теории Гранато метод, позволяющий рассчитать температурную зависи-

мость модуля сдвига G на основе экспериментальных данных калориметрии, успешно проверен на ряде

объемных металлических стекол. Впервые представлены результаты прогнозирования в широком диа-

пазоне температур, включающем кристаллизацию как исходных, так и релаксированных металлических

стекол. Погрешность расчета температурных зависимостей модуля сдвига металлических стекол при

кристаллизации не превышает 10 %.

DOI: 10.31857/S0044451022030075

сдвига с различными физическими свойствами МС,

как показано в подробном обзоре Ванга [6].

Информация о модуле сдвига имеет большое зна-

1. ВВЕДЕНИЕ

чение для понимания природы различных процес-

сов, происходящих в некристаллических конденси-

В настоящее время все более аргументирован-

рованных средах. Многие важные вопросы, связан-

ной становится идея о том, что нерелаксированный

ные со сдвиговой упругостью МС, все еще оста-

(высокочастотный) модуль сдвига представляет со-

ются неясными, несмотря на исследования в те-

бой важнейший физический параметр, определяю-

чение длительного времени. В значительной сте-

щий на наноскопическом масштабе элементарные

пени эти вопросы связаны с пониманием приро-

процессы релаксации и деформации в некристалли-

ды физических процессов, обеспечивающих взаимо-

ческих материалах, включая металлические стек-

связь макроскопического модуля сдвига и физиче-

ла (МС). Эта идея восходит к работам Немилова

ских свойств МС. Для решения обозначенной про-

60-х годов прошлого века, который предположил,

блемы необходимы детальные данные об особенно-

что энергия активации вязкого течения в оксидных

стях кинетики релаксации модуля сдвига в МС. В

стеклах пропорциональна макроскопическому моду-

свою очередь, прецизионное измерение температур-

лю сдвига [1]. Подобные идеи позже были сформули-

ных зависимостей нерелаксированного модуля сдви-

рованы Дайре [2,3], Джонсоном и Самвером с соав-

га является сложной технической задачей, и чис-

торами [4,5] и другими исследователями (см. обзоры

ло таких исследований невелико. Среди наиболее

[3, 6]). К настоящему времени установлено большое

удобных методов, позволяющих проводить эти ис-

количество корреляций макроскопического модуля

следования, стоит отметить метод электромагнит-

но-акустического преобразования (ЭМАП) [7, 8], с

^* E-mail: afoningv@gmail.com

помощью которого были выполнены измерения тем-

^** J. C. Qiao.

пературных зависимостей модуля сдвига в ряде раз-

373

А. C. Макаров, Г. В. Афонин, Ц. Ч. Цзиао и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

личных МС [8-13]. Однако у этого метода есть опре-

G = μe^-αβc,

деленные ограничения. Например, измерения моду-

где μ — модуль сдвига материнского кристалла, без-

ля сдвига МС в состоянии переохлажденной жид-

размерный параметр α ≈ 1 связан с полем деформа-

кости весьма сложны вследствие высокого уровня

ции дефекта, а безразмерная сдвиговая восприимчи-

затухания вблизи и выше температуры стеклова-

вость β, определяемая ангармонизмом межатомно-

ния, а также быстрого роста модуля сдвига при кри-

го взаимодействия, равна 15-20. При этом энталь-

сталлизации. Задача настоящей работы — показать,

пия образования дефектов межузельного типа так-

что температурная зависимость нерелаксированно-

же контролируется модулем сдвига,

го модуля сдвига как исходных, так и релаксиро-

ванных МС может быть рассчитана в широком диа-

H = αΩG,

пазоне температур (включающем кристаллизацию

где α — та же определенная выше величина, а Ω —

аморфной матрицы) на основе термограмм, реги-

объем, приходящийся на атом. Эти два простых

стрируемых методом дифференциальной сканирую-

уравнения составляют основу МТ и ведут к ин-

щей калориметрии. Расчет может быть осуществлен

тересным и важным выводам. Во-первых, концен-

в рамках физических представлений о фундамен-

трацию межузельных дефектов можно контролиро-

тальной взаимосвязи сдвиговой упругости и тепло-

вать путем прецизионных измерений модуля сдвига.

вых свойств МС.

Во-вторых, любая релаксация модуля сдвига вслед-

ствие изменения концентрации дефектов приводит к

изменению энтальпии их образования. Следователь-

2. ИДЕОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

но, любые изменения энтальпии, происходящие при

термообработке аморфного сплава, также контроли-

Нерелаксированный модуль сдвига является

руются модулем сдвига. Это, в свою очередь, озна-

ключевым параметром межузельной теории (МТ)

чает, что выделение и поглощение тепла при термо-

Гранато [14, 15], в рамках которой удалось описать

активируемой структурной релаксации неразрывно

явления релаксации и кристаллизации в аморф-

связаны с макроскопическим модулем сдвига [12].

ных сплавах [12]. В основе МТ лежит гипотеза

Основанный на МТ подход является эффектив-

о том, что плавление простых кристаллических

ным инструментом для понимания и прогнозиро-

металлов связано с быстрой генерацией межузель-

вания различных релаксационных явлений в МС и

ных дефектов в наиболее устойчивой гантельной

однозначно показывает связь между МС и их кри-

конфигурации (специально поставленные экспери-

сталлическими аналогами [12, 18]. В частности, он

менты подтвердили эту гипотезу [16]). Эти дефекты

дает 1) количественное объяснение изменений плот-

остаются идентифицируемыми структурными еди-

ности, происходящих при структурной релаксации

ницами в жидком состоянии [17] и замораживаются

и кристаллизации МС [19]; 2) физическую интер-

при быстрой закалке расплава, реализуемой при

претацию того факта, что полное тепловыделение

изготовлении стекла. При этом явления релак-

при структурной релаксации и кристаллизации при-

сации и кристаллизации в аморфном состоянии

близительно равно теплопоглощению при плавле-

можно интерпретировать как результат изменения

нии [20]; 3) хорошее описание высоты бозонного пи-

концентрации этих дефектов при термообработке.

ка избыточной теплоемкости стекла [12].

В аморфном состоянии эти дефекты не могут

В недавней работе [21] было показано, что изме-

быть идентифицированы по их геометрическим

нение модуля сдвига при структурной релаксации

признакам, характерным для кристаллов (два

МС может быть рассчитано в рамках МТ с исполь-

атома стремятся занять один и тот же минимум

зованием данных дифференциальной сканирующей

потенциальной энергии), но, тем не менее, они

калориметрии (ДСК) в соответствии с уравнением

сохраняют те же свойства, которые типичны для

межузельных гантелей в кристаллах [12].

∫

G^rt

ρβ

Внешнее сдвиговое напряжение вызывает стру-

G(T ) =

μ(T ) -

W (T ) dT,

(1)

μ^rt

˙T

ноподобное движение около двух десятков атомов

вокруг ядер дефектов, что приводит к неупругому

эффекту, вследствие чего сильно уменьшается мо-

где G^rt и μ^rt — модули сдвига соответственно стек-

дуль сдвига. Поэтому модуль сдвига G становится

ла и кристалла при комнатной температуре, μ(T ) —

экспоненциально зависимым от концентрации c вмо-

температурная зависимость модуля сдвига кристал-

роженных дефектов межузельного типа, т. е.

лического состояния,

— скорость нагрева, ρ —

374

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Прогнозирование кинетики релаксации модуля сдвига...

Таблица. Параметры исследуемых МС: плотность ρ, модули сдвига при комнатной температуре в исходном состо-

янии G^rtinit, после релаксации G^rtrel и после полной кристаллизации μ^rt, сдвиговая восприимчивость β

Химический состав

ρ,

G^rtinit,

G^rtrel,

μ^rt,

стекла, ат.%

г/см³

ГПа

Zr47.5Cu47.5Al₅

7.130 [6]

32.40 [6]

45.80

17.9 [28]

Zr₄₆Cu₄₅Al₇Ti₂

7.020 [6]

33.61 [6]

48.00

21.1 [28]

Zr₆₅Cu₁₅Ni₁₀Al₁₀

6.271 [6]

30.30 [6]

50.69

19.3 [28]

Zr₄₇Cu₄₅Al₇Fe₁

7.000 [6]

33.75 [6]

42.10

19.4 [28]

Pd₄₀Ni₄₀P₂₀

9.405 [22]

38.60 [6]

41.00

57.30

20.5 [28]

Pd43.2Cu₂₈Ni8.8P₂₀

9.380 [23]

34.50 [24]

35.90

40.40

13.2 [28]

Cu₄₉Hf₄₂Al₉

10.90

[25]

43.60 [25]

44.80

53.97

21.4 [29]

Zr₄₆(Cu0.8Ag0.2)₄₆Al₈

7.177 [26]

33.80 [27]

35.30

44.80

18.3 [28]

плотность, W (T ) — тепловой поток (измеренный ме-

и Pd43.2Cu₂₈Ni8.8P₂₀, изучались в релаксирован-

тодом ДСК), T_r — комнатная температура и T_cr —

ном состоянии, подготовленном путем нагрева

температура полной кристаллизации. Представля-

образца со скоростью 3 К/мин выше температуры

ет интерес проверить работоспособность метода для

стеклования и последующего охлаждения с той

прогнозирования температурной зависимости моду-

же скоростью до комнатной температуры. Все

ля сдвига при кристаллизации МС.

образцы МС нагревались на 70-100 К выше темпе-

ратуры начала кристаллизации T_x (до температур

780-870 К), что во всех случаях приводило к полной

3. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

кристаллизации. Второе измерение для всех стекол

проводилось на том же самом образце с целью

Для исследования были выбраны 8 объемных

измерения температурной зависимости модуля

МС (см. таблицу), полученных методом реактив-

сдвига μ(T ) образца в кристаллическом состоянии.

ной закалки расплава (МС на основе Pd) и мето-

дом вакуумного всасывания (МС на основе Cu и Zr).

Измерения методом ДСК были выполнены с помо-

4. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

щью прибора Hitachi DSC 7020 в атмосфере азота

особой чистоты (99.999 %). Максимальная погреш-

На рис. 1 приведен пример результатов ДСК для

ность определения теплового потока не превыша-

исходного стекла Zr₆₅Cu₁₅Al₁₀Ni₁₀. На рис. 1б пока-

ла 3.5 %. Определение температурных зависимостей

заны результаты измерений теплового потока, вы-

высокочастотного модуля сдвига проводилось мето-

полненных на одном и том же образце массивного

дом ЭМАП (см., например, работы [7-10]) на образ-

МС Zr₆₅Cu₁₅Al₁₀Ni₁₀ в исходном состоянии до 873 K

цах 5 × 5 × 2 мм³, колеблющихся поперечно на резо-

(полная кристаллизация), обозначенном как run 1,

нансных частотах f = 500-700 кГц. Значения моду-

и в полностью кристаллизованном образце, обозна-

лей сдвига при комнатной температуре, G^rtinit, взяты

ченном как run 2. Соответствующий протокол тер-

из работ [6,24,25,27] и перечислены в таблице. От-

мообработки этого стекла представлен на рис. 1а.

носительная ошибка определения изменений модуля

Видно, что при первом нагреве (run 1) наблюдают-

сдвига составляла около 5 ppm при температурах

ся 1) тепловыделение при структурной релаксации

ниже калориметрической температуры стеклования

ниже температуры стеклования T_g ≈ 626 К (пока-

и около 100 ppm выше температуры стеклования.

зана стрелкой), 2) поглощение тепла в состоянии

Измерения G проводились в вакууме около 0.01 Па.

переохлажденной жидкости выше T_g и 3) большой

Скорости нагрева и охлаждения при измерениях мо-

пик тепловыделения при кристаллизации, который

дуля сдвига и теплового потока составляли 3 К/мин.

начинается при T_x ≈ 704 K (показано стрелкой).

Объемные МС Zr₆₅Cu₁₅Al₁₀Ni₁₀, Zr47.5Cu47.5Al₅,

Второй нагрев (run 2) демонстрирует термограмму

Zr₄₆Cu₄₅Al₇Ti₂ и Zr₄₇Cu₄₅Al₇Fe₁ исследовались

ДСК полностью кристаллизованного образца, полу-

в исходном состоянии. Другие четыре МС,

ченного в результате нагревания до 870 К. Видно,

Cu₄₉Hf₄₂Al₉, Zr₄₆(Cu0.8Ag0.2)₄₆Al₈, Pd₄₀Ni₄₀P₂₀

что температурная зависимость теплового потока

375

А. C. Макаров, Г. В. Афонин, Ц. Ч. Цзиао и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 1. (В цвете онлайн) Протокол термообработки объем-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Протокол термообработки (а)

ного МС Zr65Cu15Al10Ni10 (а), экспериментальные данные

объемного МС Cu49Hf42Al9, термограммы ДСК (б) в ис-

ДСК (б) для МС в исходном состоянии (run 1) и после пол-

ходном (run 1), релаксированном (run 2) состояниях и пос-

ной кристаллизации (run 2), а также термограмма ДСК (в)

ле полной кристаллизации (run 3), а также термограмма

исходного образца без вклада кристалла (run 1-run 2)

ДСК (в) релаксированного образца без вклада кристалла

(run 2-run 3)

для кристалла представляет собой монотонно убы-

вающую функцию без каких-либо аномалий.

лен на рис. 2а. Run 1 демонстрирует тепловыделе-

На рис. 2 приведен пример результатов ДСК для

ние при структурной релаксации ниже T_g ≈ 765 K

релаксированного стекла Cu₄₉Hf₄₂Al₉. На рис. 2б по-

(показано стрелкой) и поглощение тепла в состоя-

казаны кривые ДСК для стекла в исходном состоя-

нии переохлажденной жидкости выше T_g. При вто-

нии (run 1) при нагревании до 796 K (в область пере-

ром нагреве (run 2) экзоэффект ниже T_g, характер-

охлажденной жидкости), в релаксированном (run 2)

ный для структурной релаксации, уже не наблюда-

состоянии (полученном путем медленного охлажде-

ется, в то время как эндоэффект при T_g остается

ния образца до комнатной температуры) при нагре-

почти неизменным. Далее наблюдается большой пик

вании до 873 K (полная кристаллизация) и в пол-

тепловыделения при кристаллизации, начинающей-

ностью кристаллизованном состоянии (run 3). Со-

ся вблизи T_x ≈ 815 K (показано стрелкой). Термо-

ответствующий протокол термообработки представ-

грамма ДСК образца в кристаллическом состоянии

376

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Прогнозирование кинетики релаксации модуля сдвига...

Рис. 3. (В цвете онлайн) Температурные зависимости

Рис. 4. То же, что на рис. 3, но для МС Zr46Cu45Al7Ti2 (а)

модулей сдвига Ginit (экспериментальные и вычислен-

и Zr47Cu45Al7Fe1 (б)

ные с помощью уравнения (1)) и μ (зеленые линии) МС

Zr47.5Cu47.5Al5 (а) и Zr65Cu15Al10Ni10 (б) в исходном со-

стоянии и после кристаллизации

соответствуют температурным зависимостям моду-

(run 3) не имеет каких-либо особенностей. ДСК-из-

ля сдвига μ полностью кристаллизованных образ-

мерения для других исследуемых МС показывают

цов. Все измерения G(T ) и μ(T ) проводились с той

аналогичные закономерности и здесь не приводят-

же термической обработкой, что и при калоримет-

ся.

рических испытаниях (см. рис. 1, 2). На рис. 3-6 по-

Тепловые потоки, поглощаемые или выделяемые

казаны типичные для объемных МС температурные

исходным и релаксированным МС без вклада кри-

зависимости нерелаксированного модуля сдвига (см.

сталлического состояния, рассчитывались соответ-

например, работы [8, 18,21,30]): 1) почти линейное

ственно как

уменьшение, G, обусловленное ангармонизмом меж-

атомного взаимодействия, при T < T_g с ростом G

W_init(T) = Wrun1(T) - Wrun2(T),

при структурной релаксации и увеличением накло-

на |dG/dT | примерно в 5 раз при T > T_g в исходном

W_rel(T) = Wrun2(T) - Wrun3(T).

образце (эксп. исходн.); 2) почти линейное убывание

Эти величины также представлены на рис. 1в и 2в

G ниже калориметрической температуры стеклова-

и использовались для расчета температурных зави-

ния T_g с ростом наклона |dG/dT | в релаксирован-

симостей модуля сдвига при кристаллизации с ис-

ном образце при T > T_g (эксп. релакс.); 3) быстрое

пользованием уравнения (1).

увеличение G на 20-60 % выше температуры нача-

Красные символы на рис. 3-6 показывают тем-

ла кристаллизации T_x (значения различаются для

пературные зависимости модуля сдвига МС в исход-

стекол разного химического состава) и 4) линейное

ном (рис. 3, 4) и релаксированном (рис. 5, 6) состоя-

снижение μ с температурой в полностью кристалли-

ниях. Сплошные зеленые линии на обоих рисунках

зованном образце (эксп. крист.).

377

А. C. Макаров, Г. В. Афонин, Ц. Ч. Цзиао и др.

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Рис. 5. (В цвете онлайн) Температурные зависимости

Рис. 6. (В цвете онлайн) То же, что на рис. 5, но для МС

модулей сдвига G_rel (экспериментальные и вычисленные

Pd43.2Cu28Ni8.8P20 (а) и Zr46(Cu0.8Ag0.2)46Al8 (б)

с помощью уравнения (1)) и μ (зеленые линии) МС

Pd40Ni40P20 (а) и Cu49Hf42Al9 (б) в релаксированном со-

стоянии и после кристаллизации

таллизации; 3) искажением результатов измерений

температуры, связанным с большим тепловыделе-

Рисунки 3-6 также демонстрируют вычисленные

нией при кристаллизации, а также 4) возможным

с помощью уравнения (1) на основе калориметри-

ускорением кристаллизации при воздействии ульт-

ческих данных температурные зависимости модуля

развука [32]. Ниже температуры начала кристалли-

сдвига для указанных МС. Параметры, взятые для

зации T_x соответствие между расчетными и экспе-

расчета, перечислены в таблице. Результаты про-

риментальными кривыми значительно лучше, и от-

гнозирования показаны синими пунктирными ли-

клонение не превышает 1 %. Таким образом, урав-

ниями для исходного (расч. исходн. на рис. 3, 4)

нение (1) дает хорошее описание экспериментальной

и синими сплошными линиями для релаксирован-

кинетики модуля сдвига при кристаллизации МС в

ного (расч. релакс. на рис. 5, 6) состояний. Видно,

исходном и релаксированном состояниях на основе

что расчет правильно воспроизводит все особенно-

калориметрических данных.

сти экспериментальных данных G(T ), упомянутые

Уравнение (1) можно записать в дифференци-

выше. Максимальные отклонения расчета от экспе-

альной форме:

риментальных данных составляют 7-10 % для раз-

личных исследуемых стекол. Эти отклонения на-

G_rt

ρβdU =

dμ - dG,

(2)

блюдаются при температурах T > T_x (при резком

μ_rt

скачке модуля сдвига, вызванном кристаллизаци-

так как при относительно небольшом вкладе изме-

ей) и могут быть объяснены: 1) изменением объема,

происходящим при кристаллизации стекла [8, 31];

нений объема (менее 10 %) в энтальпию H стекла

[31] тепловой поток можно принять равным W ≈

2) потенциальным наличием температурной зави-

симости сдвиговой восприимчивости β при крис-

≈ dU/dt, где U — внутренняя энергия.

378

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Прогнозирование кинетики релаксации модуля сдвига...

В результате интегрирования уравнения (2) по

ЛИТЕРАТУРА

замкнутой траектории T_r → T_cr → T_r (где T_cr —

С. В. Немилов, ЖФХ 42, 1391 (1968) [Russ. J.

температура полной кристаллизации) получим вы-

Phys. Chem. 42, 726 (1968)].

ражение для избыточной внутренней энергии стекла

по отношению к кристаллическому состоянию:

J. C. Dyre, N. B. Olsen, and T. Christensen, Phys.

Rev. B 53, 2171 (1996).

ΔU =

(μ - G).

(3)

J. C. Dyre, Rev. Mod. Phys. 78, 953 (2006).

ρβ

W. L. Johnson and K. Samwer, Phys. Rev. Lett. 95,

Это выражение показывает, что избыточная внут-

195501 (2005).

ренняя энергия ΔU определяется разницей модулей

сдвига стекла и кристалла и становится равной ну-

J. S. Harmon, M. D. Demetriou, W. L. Johnson, and

лю при G = μ. Это, в свою очередь, означает, что

K. Samwer, Phys. Rev. Lett. 99, 135502 (2007).

ΔU МС в основном определяется упругой энерги-

W. H. Wang, Prog. Mater. Sci. 57, 487 (2012).

ей дефектов, аналогичных по своим свойствам меж-

узельным гантелям в кристаллах и вмороженных в

А. Н. Васильев, Ю. П. Гайдуков, УФН 141, 431

структуру стекла при его изготовлении. При кри-

(1983).

сталлизации МС эта энергия ΔU выделяется в ви-

Y. P. Mitrofanov, D. P. Wang, A. S. Makarov et al.,

де тепла, что подтверждает основные выводы, полу-

Sci. Rep. 6, 23026 (2016).

ченные ранее [30].

Г. В. Афонин, Ю. П. Митрофанов, Н. П. Кобелев,

В. А. Хоник, ЖЭТФ 158, 664 (2020).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

10.

А. C. Макаров, Е. В. Гончарова, Ц. Ч. Цзиао и др.,

ЖЭТФ 160, 213 (2021).

Показано, что высокочастотный модуль сдвига

11.

А. С. Макаров, Е. В. Гончарова, Г. В. Афонин и

металлических переохлажденных жидкостей на ос-

др., Письма в ЖЭТФ 111, 691 (2020).

нове Zr, Cu и Pd при кристаллизации может быть

предсказан с точностью 7-10 % по формуле (1). Для

12.

V. Khonik and N. Kobelev, Metals 9, 605 (2019).

этого необходимо определить тепловой поток W(T)

13.

A. Makarov, G. Afonin, Y. Mitrofanov et al., Metals

с помощью дифференциальной сканирующей кало-

10, 417 (2020).

риметрии, модуль сдвига μ^rt материнского кристал-

ла при комнатной температуре, его температурную

14.

A. V. Granato, Phys. Rev. Lett. 68, 974 (1992).

зависимость μ(T), а также величину модуля сдвига

15.

A. V. Granato, Eur. J. Phys. B 87, 18 (2014).

при комнатной температуре для исходного G^rtinit или

релаксированного G^rtrel стекла.

16.

E. V. Safonova, Yu. P. Mitrofanov, R. A. Konchakov

Уравнение (1) предполагает, что нагрев приво-

et al., J. Phys.: Condens. Matter 28, 215401 (2016).

дит к релаксации системы вмороженных при изго-

17.

K. Nordlund, Y. Ashkenazy, R. S. Averback, and

товлении стекла дефектов, аналогичных межузель-

A. V. Granato, Europhys. Lett. 71, 625 (2005).

ным гантелям в кристаллах, что в конечном сче-

те ведет к полной кристаллизации. Упругая энер-

18.

V. A. Khonik, Chin. Phys. B 26, 016401 (2017).

гия этой системы дефектов определяет избыточную

19.

E. V. Goncharova, R. A. Konchakov, A. S. Makarov

внутреннюю энергию стекла по отношению к ма-

et al., J. Non-Cryst. Sol. 471, 396 (2017).

теринскому кристаллу. Свойства стекла и материн-

ского кристалла, таким образом, взаимосвязаны.

20.

G. V. Afonin, Yu. P. Mitrofanov, N. P. Kobelev et

al., Scr. Mater. 166, 6 (2019).

Статья посвящена Ю. П. Митрофанову, кото-

21.

A. S. Makarov, Yu. P. Mitrofanov, G. V. Afonin еt

рый внес существенный вклад в эту работу, но

al., Scr. Mater. 168, 10(2019).

рано ушел из жизни.

22.

E. F. Lambson, W. A. Lambson, J. E. Macdonald et

al., Phys. Rev. B 33, 2380 (1986).

Финансирование. Работа выполнена при

поддержке Российского научного фонда (проект

23.

I. R. Lu, G. P. Görler, and R. Willnecker, Appl. Phys.

№20-62-46003).

Lett. 80, 4534 (2002).

379