ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 363-372

ФОРМИРОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ

ТЕРМИЧЕСКИМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ СВЕРХПРОВОДЯЩЕГО

ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА

А. Г. Грошев^*, А. К. Аржников^**

Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения Российской академии наук

426067, Ижевск, Россия

Поступила в редакцию 12 ноября 2021 г.,

после переработки 12 ноября 2021 г.

Принята к публикации 26 ноября 2021 г.

Исследуется структура энергетической зависимости нормальной и аномальной компонент собственной

энергии одночастичной функции Грина в сверхпроводящем состоянии, рассчитанной с учетом рассея-

ния носителей заряда на термических флуктуациях электрон-дырочных пар. Исследование проводится

в рамках самосогласованной теории континуального интегрирования на основе квазидвумерной одно-

зонной модели с притяжением между электронами, находящимися на соседних узлах. В приближении

средней t-матрицы получены асимптотические выражения для компонент собственной энергии, которые

по структуре совпадают с аналогичными выражениями феноменологической модели гибридизации элек-

тронов со скрытыми фермионными возбуждениями. Анализ результатов показывает, что энергетические

зависимости обеих компонент собственной энергии имеют характерные пики, которые при достаточно

низких температурах гасят друг друга в полной собственной энергии. Это поведение сохраняется в об-

ласти аномально низких температур и исчезает только в квантовом пределе T → 0, где определяющую

роль играют квантовые флуктуации. С ростом температуры взаимное сокращение сменяется на взаимное

усиление и затем на взаимную компенсацию в области температур близких к сверхпроводящему переходу.

DOI: 10.31857/S0044451022030063

вкладов [2-4]. Аномальная часть Σ_anom определяет

сверхпроводящие свойства, в то время как в Σ_nor

1. ВВЕДЕНИЕ

содержатся эффекты рассеяния и корреляции элек-

тронов, приводящие к перенормировке массы и вре-

Прогресс в области методов машинного обу-

мени жизни. Поскольку эти вклады представляют

чения открывает новые возможности для опреде-

собой физически различные части эффектов взаи-

ления теоретически важных физических величин,

модействия, для понимания механизма сверхпрово-

скрытых в экспериментальных данных. В част-

димости важно их раздельное рассмотрение. Одна-

ности, такой подход использовался для изучения

ко одночастичные методы, такие как сканирующая

структуры энергетической зависимости собственной

туннельная микроскопия (STM), метод интерферен-

энергии электрона, извлекаемой из спектров фото-

ции квазичастиц [5] и ARPES [6], предоставляют

эмиссионной спектроскопии с угловым разрешени-

нам информацию исключительно о поведении пол-

ем (ARPES) высокотемпературных сверхпроводни-

ной собственной энергии Σ_tot [7-9], которая состо-

ков (ВТСП) [1]. Интерес к изучению такой структу-

ит из определенной комбинации этих двух вкладов

ры вызван возможностью продвинуться в решении

[1, 10]. Метод машинного обучения на основе маши-

давней проблемы о природе высокотемпературной

ны Больцмана, предложенный в работе [1], позволил

сверхпроводимости.

выделить эти вклады из экспериментальных дан-

В результате смешивания электронов и дырок

ных. Проанализированные в таком подходе спект-

в сверхпроводящем состоянии собственная энергия

ры ARPES при антинодальном значении импульса

состоит из нормального Σ_nor и аномального Σ_anom

k = k_a.n. = (π,0) для оптимально допированного

Bi2212 с T_c = 90 K при T = 11 K [11] и недодопиро-

^* E-mail: groshev_a.g@mail.ru

^** E-mail: arzhnikof@bk.ru

ванного Bi2201 с T_c = 29 K при T = 12 K [12] обнару-

363

А. Г. Грошев, А. К. Аржников

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

живают сингулярные структуры в энергетических

особенностей на энергетической зависимости ано-

зависимостях Σ_nor и Σ_anom при значениях энергии

мальной и нормальной частей собственной энергии

близких к значению сверхпроводящей щели. Однако

в них различна.

в результате взаимного сокращения эти особенности

В настоящей работе особенности в энергети-

отсутствуют в полной собственной энергии Σ_tot.

ческой зависимости компонент собственной энер-

В настоящее время рассматриваются два ос-

гии и их взаимное сокращение рассматриваются

новных сценария при объяснении формирования

в рамках альтернативного подхода, в котором на-

особенностей на энергетической зависимости обеих

блюдаемые аномалии возникают в результате резо-

компонент собственной энергии в ВТСП-соединени-

нансного рассеяния носителей заряда термически-

ях. В первом сценарии наблюдаемые аномалии объ-

ми флуктуациями электрон-дырочных пар [17]. Ре-

ясняются на основе моттовской физики в результа-

шение рассматриваемой задачи проводится в рам-

те гибридизации квазичастиц со скрытыми ферми-

ках самосогласованной теории континуального ин-

онными возбуждениями, возникающими в результа-

тегрирования на основе квазидвумерной однозон-

те сильных электронных корреляций [13-15]. Про-

ной модели d_x2_-y2-спаривания с притяжением меж-

стые феноменологические уравнения в таком под-

ду электронами, находящимися на соседних узлах.

ходе описывают переходы электрона в скрытое фер-

В приближении средней t-матрицы (ATA) уравне-

мионное состояние и обратно. Они хорошо воспро-

ния теории континуального интегрирования позво-

изводят низкочастотную часть обеих компонент соб-

ляют получить приближенные аналитические вы-

ственной энергии, рассчитанных с помощью теории

ражения для компонент собственной энергии, ко-

динамического среднего поля (DMFT) и ее кластер-

торые совпадают с соответствующими выражения-

ного расширения (CDMFT) для двумерной модели

ми феноменологической модели гибридизации ква-

Хаббарда как с притягивающим, так и с отталки-

зичастиц со скрытыми фермионными возбуждени-

вающим взаимодействием. Подгонка к численным

ями. Фактически, представление собственной энер-

данным DMFT решений этих уравнений позволяет

гии в модели гибридизации квазичастиц со скрыты-

определить параметры, характеризующие скрытый

ми фермионными возбуждениями является феноме-

фермион в зависимости от температуры, электрон-

нологической заменой двухчастичного взаимодей-

ной плотности и силы межэлектронного взаимодей-

ствия в модели Хаббарда одночастичным, но име-

ствия, и предположить возможный механизм его

ющим дополнительные фермионные степени свобо-

происхождения. Успешное описание с помощью этой

ды. В используемом нами методе вычисление ста-

простой феноменологической модели поддерживает

тистической суммы взаимодействующих электрон-

идею о «скрытых» и «явных» фермионах в качестве

дырочных пар с помощью преобразования Хаббар-

бистабильных возбуждений свободного электрона

да - Стратоновича сводится к одночастичной зада-

в допированных диэлектриках Мотта. Кроме то-

че с электрон-дырочной парой, взаимодействую-

го, простые выражения для компонент собственной

щей со вспомогательным случайным полем, не за-

энергии предлагают полезный инструмент для ана-

висящим от времени (в статическом приближении).

лиза спектроскопических экспериментальных дан-

Как отмечалось в [18-20], при решении этой зада-

ных. Во втором сценарии особенности в энергети-

чи важен одновременный учет амплитудных |Δ| и

ческой зависимости обеих компонент собственной

фазовых φ флуктуаций параметра порядка (ПП)

энергии определяются термическими флуктуация-

Δ = |Δ|exp(iφ). Такая взаимосвязь рассматри-

ми в рамках фермион-бозонной модели [10,16], в ко-

валась в работах [21, 22] в рамках вариационного

торой вместо гибридизации со скрытыми фермион-

приближения и в [20, 23] на основе самосогласо-

ными возбуждениями спаривающее взаимодействие

ванных уравнений теории континуального интегри-

происходит посредством бозонных возбуждений (ти-

рования в приближении когерентного потенциала

па мягкой бозонной моды). Поскольку сингулярные

(CPA). Используемые в [20] приближения, в отли-

структуры наблюдаются при значениях температур,

чие от [21, 22], учитывают перенормировку одноча-

которые значительно ниже T_c, обнаруженные осо-

стичных состояний, возникающую в результате рас-

бенности могут быть вызваны также квантовыми

сеяния носителей заряда флуктуациями электрон-

флуктуациями и, таким образом, существенно огра-

дырочных пар. Такая перенормировка описывает-

ничить круг возможных механизмов спаривания. В

ся в [20] собственно-энергетической частью одно-

обоих случаях авторы опираются на одно и то же

частичной функции Грина, самосогласованное вы-

экспериментально наблюдаемое поведение собствен-

числение которой представляется необходимым при

ной энергии, в то время как физика возникающих

объяснении ее энергетической зависимости.

364

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Формирование особенностей собственной энергии...

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД

Задача вычисления статистической суммы вза-

имодействующих электронных пар сводится к вы-

Рассматривается однозонный гамильтониан

числению статистической суммы независимых элек-

t-V -модели с притяжением между электронами,

тронных пар, находящихся в пространстве не за-

находящимися на ближайших узлах квадратной

висящих от времени (в статическом приближении)

решетки:

вспомогательных флуктуирующих полей. Роль та-

ких полей играют модуль Δ_j,δ и фаза φ_j,δ флуктуи-

∑

рующего комплексного ПП Δ_j,δ exp(iφ_j,δ) в узель-

Ĥ₌ t_ij ĉ^†isĉ_js -

μn_j - V

n_j↑nj+δ↓,

(1)

i,j,s

j,δ

ном представлении. В используемом статическом

приближении не учитываются квантовые флуктуа-

где t_ij = -t — матричные элементы электронных пе-

ции сверхпроводящего ПП, вследствие чего метод

рескоков на ближайшие узлы; ĉ^†js(ĉ_js) — операторы

функционального интегрирования при T = 0 сво-

рождения (уничтожения) электрона на узле j с про-

дится к приближению Хартри - Фока (ХФ). Обос-

екцией спина s; n_js = ĉ^†js ·ĉ_js — оператор числа элек-

нованием статического приближения служит оцен-

тронов на узле j с проекцией спина s, n_j — оператор

ка вклада квантовых флуктуаций в подавление тем-

полного числа электронов на узле j; μ — химический

пературы сверхпроводящего перехода [36], которая

потенциал; V

— параметр межэлектронного при-

позволяет считать, что квантовые флуктуации ста-

тяжения. В данной работе мы не конкретизируем

новятся важны только при достаточно низких тем-

природу взаимодействия между электронами. Пред-

пературах.

полагается, что такое спаривающее взаимодействие

В данной работе мы ограничиваемся синглетной

может быть обусловлено либо антиферромагнитны-

сверхпроводящей фазой с d_x2_-y2-симметрией, кото-

ми спиновыми флуктуациями [24], либо состояния-

рая реализуется в ВТСП, рассматриваемых в работе

ми резонирующих валентных связей [25], либо ины-

[1]. Сверхпроводящая щель при d_x2_-y2-спаривании

ми механизмами (например, поляронным), которые

имеет зависимость от волнового вектора Δ(k) ∝

в простейшем приближении описываются эффек-

∝ cos(k_x) - cos(k_y) [37], где kx(y) — значения вол-

тивным притяжением электронов, находящихся на

нового вектора вдоль основных векторов обратной

соседних узлах [26-29]. Сверхпроводящие свойства

решетки. Такая зависимость определяется взаимо-

рассматриваемой модели определяются итерацион-

действием между электронами только в пределах

ным решением системы самосогласованных уравне-

первой координационной сферы. В этом случае фаза

ний с минимальным значением термодинамическо-

усредненного ПП

го потенциала (см. [20]). Для получения этой си-

Δ_j,δ exp(iα_j,δ) = Δexp(iα_δ)

стемы необходимо сделать ряд приближений. От-

брасывая флуктуации, разрушающие сверхпрово-

зависит от ближайших соседей по закону α±δx =

димость в системах с размерностью D

≤ 2, мы

= ±π/2, α±δy = ∓π/2, где δ_x и δ_y являются проек-

учитываем квазидвумерный характер рассматрива-

циями вектора ближайших соседей δ на координат-

емых соединений, поскольку согласно теореме Мер-

ные оси. В результате приближения «седловой точ-

мина-Вагнера-Хоэнберга [30-32] в строго двумер-

ки», используемого для упрощения задачи вычис-

ной вырожденной системе дальний порядок отсут-

ления интегралов по амплитудному полю Δ, наи-

ствует при любой отличной от нуля температуре

более вероятные амплитудные Δ(φ) и фазовые φ

и сверхпроводящие состояния могут проявляться

флуктуации оказываются связанными. Это справед-

лишь в фазовых переходах типа Березинского - Ко-

ливо, когда амплитудные флуктуации становятся

стерлица - Таулесса [33]. Cамосогласованный учет

быстрее флуктуаций фазы настолько, что ампли-

перенормировки одночастичных состояний и эф-

тудное поле успевает подстроиться под распределе-

фективной взаимосвязи между амплитудными и фа-

ние фазы равновесным образом. Как было показано

зовыми флуктуациями проводится в рамках метода,

в [20], такое приближение неплохо работает в широ-

основанного на уравнениях теории континуального

ком диапазоне температур вплоть до T_c. Уравнение

интегрирования [20]. Аналогичный подход исполь-

для нахождения «седловой точки», определяемое из

зовался ранее при исследовании влияния температу-

условия минимума термодинамического потенциа-

ры [34] и атомного беспорядка [35] на магнитное фа-

ла, при T = 0 совпадает с уравнением самосогла-

зовое расслоение и параметры спиральных магнит-

сования для сверхпроводящего ПП теории среднего

ных структур в рамках квазидвумерной однозонной

поля (ХФ, БКШ). При конечных температурах это

t-t^′-модели Хаббарда в CPA-приближении.

уравнение не содержит решения Δ = 0 (см. [20]). По-

365

А. Г. Грошев, А. К. Аржников

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

этому переход в нормальное состояние при T_c про-

частоты для ферми-частиц. Эффективная (сред-

исходит в результате потери фазовой когерентности

няя) мацубаровская функция Грина

флуктуирующего комплексного ПП, т. е. при обра-

щении в нуль усредненного ПП 〈Δ(φ) exp(iφ)〉 = 0.

F_jδ(iω_n) = 〈G_jδ(iω_n)〉

определяется собственной энергией в узельном

3. ПРИБЛИЖЕНИЕ СРЕДНЕЙ t-МАТРИЦЫ

представлении уравнения Дайсона:

И МОДЕЛЬ СКРЫТЫХ ФЕРМИОНОВ

Учет флуктуаций в модели (1) приводит к про-

F_jδ(iω_n) =

блеме недиагонального беспорядка в неупорядочен-

= G^AVjδ(iω_n) + G^AVjδ(iω_n)Σ_jδ(iω_n)F_jδ(iω_n),

(6)

ных системах. Эта проблема может быть решена в

двухузельном ATA-приближении. При решении за-

где F_jδ (iω_n) — фурье-образ эффективной мацуба-

дачи удобно использовать представление узельных

ровской функции Грина; Σ_jδ (iω_n) — фурье-образ

матриц Намбу:

[

]

собственной энергии. Тогда из матричных уравне-

ĉj↑(τ)

ний (5) и (6) собственная энергия Σ_jδ(iω_n) выража-

ĉjδ(τ) =

ĉ†j+δ↓(τ)

ется через среднюю T -матрицу:

(2)

[

]

ĉ†jδ(τ) =

ĉ†j↑(τ)

ĉj+δ↓(τ)

Σ_jδ(iω_n) =

В этом представлении мацубаровская функция Гри-

[

]-1

1 + 〈T_jδ(iω_n)〉G^AVjδ(iω_n)

〈T_jδ(iω_n)〉,

(7)

на определяется стандартными выражениями

где

G_jδ(τ - τ^′) = - T_τ ĉ_jδ(τ)ĉ^†jδ(τ^′)

[

]

↑↑

[

]-1

j,j

(τ - τ^′)

G↑↓j,j+δ(τ - τ^′)

T_jδ(iω_n) =

1 - ΔU_jδG^AVjδ(iω_n)

ΔU_jδ.

(8)

(3)

G↓↑j+δ,j(τ - τ^′) G↓↓j+δ,j+δ(τ - τ^′)

Переход в квазиимпульсное представление осу-

где G^↑↑j,j (τ - τ^′) и G↓↓j+δ,j+δ (τ - τ^′) — нормальные, а

ществляется в результате преобразования Фурье

G↓↑j+δ,j(τ - τ^′) и G↑↓j,j+δ(τ - τ^′) — аномальные мацу-

узельных матриц Намбу

(2). В этом представ-

баровские функции Грина. Для учета термических

лении гамильтониан рассматриваемой системы с

флуктуаций ПП вводится флуктуирующий потен-

усредненным ПП

Ĥ_AV имеет следующий вид:

циал

∑

1^∑

U (Δ, φ, τ) =

ĉ†jδ(τ)ΔU_jδ ĉ_jδ (τ),

Ĥ_AV (Δ, α) =

ĉ†kH_AV (k)ĉ_k,

j,δ

[

]

[

]

↑↓

U_j

H^↑↑AV (k) H^↑↓AV (k)

,j+δ

ΔU_jδ =

H_AV (k) =

(4)

U↓↑j+δ,j

H^↓↑AV (k) H^↓↓AV (k)

[

]

U↑↓j,j+δ = V exp(iα_δ)

Δ - Δ(φ)exp(iφ)

H^↑↑AV (k) = ε_k, H^↓↓AV (k) = -ε_k

(9)

[

]

U↓↑j+δ,j = V exp(-iα_δ)

Δ - Δ(φ)exp(-iφ)

H^↑↓AV (k) = -2V ΔV_k,

(

)_∗

где Δ — значение амплитуды среднего ПП. Флукту-

H^↓↑AV (k) = H^↑↓AV (k)

ирующий потенциал определяет матрицу рассеяния

ε_k = -2t (cosk_x + cosk_y) + 4t^′ cosk_x cosk_y - μ,

в узельном представлении уравнения Дайсона:

Vk = i (cos kx - cos ky) ,

G_jδ(iω_n) =

где ĉ^†k, ĉ_k — матрицы Намбу (2) в квазиимпульсном

= G^AVjδ(iω_n) + G^AVjδ(iω_n)ΔU_jδG_jδ(iω_n) =

представлении; ε_k — закон дисперсии энергии элек-

= G^AVjδ(iω_n) + G^AVjδ(iω_n)T_jδ(iω_n)G^AVjδ(iω_n),

(5)

тронов на квадратной решетке с перескоками в пре-

где G^AVjδ (iω_n) — фурье-образ мацубаровской функ-

делах первой и второй координационных сфер; V_k —

ции Грина с усредненным ПП; T_jδ(iω_n) — фурье-об-

закон дисперсии сверхпроводящего ПП. Таким обра-

раз матрицы рассеяния электронной пары; ωn =

зом, эффективная среда определяется гамильтони-

= (2n - 1)πT (n = 0, ±1, ±2, . . .) — мацубаровские

аном

366

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Формирование особенностей собственной энергии...

Ĥ_eff (iω_n) =

Ĥ_AV +

Σ(iω_n),

Поскольку 〈ΔU_jδ〉 = 0, разложение 〈T_jδ(E)〉 по

1^∑

флуктуирующему потенциалу в (8) начинается с

Σ(iω_n) =

ĉ†kΣ(k, iω_n)ĉ_k,

квадратичного слагаемого

[

]

Σ^↑nor(k, E) Σ^↑↓anom(k, E)

〈T_jδ(E)〉 = 〈ΔU_jδ G^AVjδ (E)ΔU_jδ 〉 + . . .

(12)

Σ(k, E) =

(10)

Σ^↓↑anom(k, E) Σ^↓nor(k, E)

Если ограничиться приближением, квадратичным

Σ↑(↓)nor(k, E) = 4Σ↑(↓)(E),

по флуктуирующему потенциалу, то собствен-

Σ↑↓(↓↑)anom(k, E) = Σ↑↓(↓↑)(k, E) + H↑↓(↓↑)AV(k) =

но-энергетическая часть в узельном представлении

[

]

(7) имеет следующий вид:

= 2V (∗)k

Σ^↑↓(E) - V Δ

[

]

↑

Σ↑↓j,j+δ

j,j

где Σ(k, E) — собственная энергия (7) в квазиим-

Σ_jδ =

Σ↓↑j+δ,j Σ^↓

j+δ,j+δ

пульсном представлении. При определении собст-

венной энергии в (10) мы, так же как в [1, 10],

Σ^↑j,j = 〈ΔU↑↓j,j+δ(G^AV )↓↓j+δ,j+δΔU↓↑j+δ,j〉,

(13)

включили в определение аномальной части собст-

Σ↓j+δ,j+δ = 〈ΔU↓↑j+δ,j(G^AV )^↑↑j,jΔU↑↓j,j+δ〉,

венной энергии недиагональные матричные элемен-

ты гамильтониана системы с усредненным ПП (9).

Σ↑↓j,j+δ = 〈ΔU↑↓j,j+δ(G^AV )↓↑j+δ,jΔU↑↓j,j+δ〉,

Рассматриваемая нами d_x2_-y2 -симметрия ПП опре-

Σ↓↑j+δ,j = 〈ΔU↓↑j+δ,j(G^AV )↑↓j,j+δΔU↓↑j+δ,j〉.

деляется зависимостью недиагональных матричных

элементов от квазиимпульса. Поэтому коэффици-

Учитывая свойство

ент Σ^↑↓(E) в аномальной части собственной энергии

(10), так же как и нормальные части Σ^↑(E) и Σ^↓(E),

exp(iα_δ)(G^AV )↓↑j+δ,j = exp(-iα_δ)(G^AV )↑↓j,j+δ

в общем случае, являются комплексными функци-

недиагональных матричных элементов, справедли-

ями. Эффективная мацубаровская функция Грина

вое для d_x2_-y2 -симметрии, можно избавиться в (13)

(6) в квазиимпульсном представлении определяется

от фазовых множителей exp(±iα_δ). В результате

гамильтонианом эффективной среды

Ĥ_eff (E) (10):

получим

F (k, E) =

Σ^↑j,j = V²¹(G^AV )↓↓j+δ,j+δ,

E - H_eff(k)

[

]

Σ↓j+δ,j+δ = V²¹(G^AV )^↑↑j,j,

F^↑(k, E) F^↑↓(k, E)

(14)

F^↓↑(k, E) F^↓(k, E)

Σ↑↓j,j+δ = (-V²¹ + V²²)(G^AV )↑↓j,j+δ,

↓↑

= (-V ²¹ + V 22 )(G^AV )↓↑j+δ,j ,

F↑(↓)(k, E) =

j+δ,j

E ∓ ε_k - Σ↑(↓)tot(k,E)

где

[

]

Σanom (k, E)

F↑↓(↓↑)(k, E) =

V²¹ = V²

〈Δ(φ)²〉 - Δ²

[E - E₊(k)] [E - E_-(k)]

(11)

[

]

[

]

E_±(k) =

Σ^↑nor(k, E) + Σ^↓nor(k, E)

/2±

V²² = 2V²

〈Δ(φ)² cos² (φ)〉 - Δ²

[(

[

]

)₂

± ε_k +

Σ^↑nor(k, E) - Σ^↓nor(k, E)

Подставляя в (14) явные выражения для функции

]1/2

Грина с усредненным ПП и собственной энергии в

Σ^↑↓anom(k, E)Σ^↓↑anom(k, E)

узельном представлении, получим в квазиимпульс-

Σ↑(↓)tot(k, E) = Σ↑(↓)nor(k, E) + W↑(↓)(k, E),

ном представлении выражения для компонент соб-

Σ^↑↓anom(k, E)Σ^↓↑

(k, E)

ственной энергии, которые имеют структуру вы-

anom

W↑(↓)(k, E) =

ражений феноменологической модели со скрытыми

E±ε_k -Σnor (k, E)

фермионными возбуждениями [13,15]:

Собственная энергия в уравнении Дайсона (6) опре-

E∓ε_k

деляется матричными элементами мацубаровских

Σ↑(↓)nor(k, E) = V²

¹ E² - ε2k - |D^↑↓(k)|²

функций Грина в узельном представлении, явные

Σ↑↓(↓↑)anom(k, E) = D↑↓(↓↑)(k)+

(15)

выражения которых можно получить из симметрий-

ных свойств рассматриваемой системы при преобра-

(

)

D↑↓(↓↑)(k)

-V²¹ + V²²

зовании Фурье (см. [20]).

E² - ε2k

- |D^↑↓(k)|²

367

А. Г. Грошев, А. К. Аржников

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

0.0010

где

T = 0.002

D↑↓(↓↑)(k) = H↑↓(↓↑)AV(k) = -2V ΔV(∗)k.

0.004

0.0005

0.02

Подставляя (15) в выражение для W↑(↓)(k, E), по-

лучим

[

]

E2k-ε2k

-V²¹ + V²²

–0.0005

W↑(↓)(k, E) =

E±ε_k

(E-E_k)(E+E_k)

[

]

–0.0010

V²²

× 1+

(16)

(E - E_k)(E + E_k) - V²

–0.0015

Все компоненты собственной энергии имеют полюсы

на границах энергетической щели при

–0.0020

–1.0

–0.5

0.5

1.0

√

E/t

E = ±E_k, E_k = ε2k + |D^↑↓(k)|².

Рис.

Энергетические зависимости веществен-

ной

части

аномальной

собственной

энергии

[

]

Кроме того, W↑(↓)(k, E) имеет полюс, а Σnor (k, E)

Σ↑↓anom(E) - D^↑↓(ka.n.)

при различных темпера-

обращается в нуль при E = ±ε_k (при выбранных па-

турах для d_x2_-y2 -спаривания

раметрах ε_k = 0 в антинодальной точке). В услови-

ях, когда можно пренебречь слагаемым V₂ по срав-

0.003

нению с V₁, вычеты в полюсах E = ±E_k нормаль-

T = 0.002

ного Σnor (k, E) и аномального W↑(↓)(k, E) вкладов

0.004

0.002

0.02

в Σ↑(↓)tot(k, E) (11) различаются только знаками и

взаимно сокращаются. В этом случае сокращение

0.001

особенностей на энергетической зависимости компо-

нент собственной энергии в рассматриваемой нами

модели происходит по той же причине, что и в фено-

менологической модели со скрытыми фермионными

–0.001

возбуждениями. Однако следует отметить, что в от-

личие от [15], где параметры модели со скрытыми

–0.002

фермионными возбуждениями определяются путем

простой подгонки, в нашем случае температурные

–0.003

–1.0

–0.5

0.5

1.0

зависимости всех параметров обусловлены термиче-

E/t

скими флуктуациями и должны вычисляться в ходе

самосогласованных расчетов.

Рис. 2. Энергетические зависимости мнимой части ано-

мальной собственной энергии Im Σ^↑↓anom(E) при различных

температурах для d_x2_-y2 -спаривания

4. РЕЗУЛЬТАТЫ

Расчеты проводились при типичных для купра-

температурах приведены соответственно на рис. 1,

тов значениях параметра межэлектронного притя-

2 и рис. 3, 4. Поскольку Δ, входящее в определе-

жения V

= t и параметра перескока в пределах

ние Σ^↑↓anom(E), сильно зависит от температуры и не

второй координационной сферы t^′ = -0.2t [38] для

зависит от энергии, вещественная часть аномальной

d_x2-y2 -спаривания. При этих параметрах выбранное

собственной энергии на рисунках представлена в ви-

значение концентрации носителей заряда n ≃ 0.828

де разности

соответствует наибольшему значению температуры

[

]

сверхпроводящего перехода. В качестве единицы из-

Σ^↑↓anom(E) - D^↑↓(k_a.n.)

мерения энергии в дальнейшем выбран интеграл пе-

рескока между ближайшими соседями t. Результа-

На рисунках видно, что при низких температу-

ты расчета типичных энергетических зависимостей

рах (T

= 0.002 и T

= 0.004 на рис. 2 и рис. 4)

вещественных и мнимых частей аномальной и нор-

Im Σ^↑↓anom(E) и Im Σ^↑nor(E) на границах энергетиче-

мальной собственных энергий при антинодальном

ской щели при E ≃ ±E_k имеют особенности, соот-

значении импульса k = k_a.n. = (π, 0) и различных

ветствующие пикам на их энергетической зависимо-

368

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Формирование особенностей собственной энергии...

0.0015

0.025

T = 0.002

0.020

0.004

0.0010

0.02

0.015

0.0005

0.010

0.005

–0.0005

–0.0010

–0.005

–0.0015

–0.010

CPA

T=0

.0002

–0.0020

–0.015

CPA

0.004

–0.0025

ATA

.0002

–0.020

ATA

0.004

–0.0030

–0.025

–1.0

–0.5

0.5

1.0

–1.0

–0.5

0.5

1.0

E/t

Рис. 3. Энергетические зависимости вещественной части

Рис.

Энергетические зависимости веществен-

нормальной собственной энергии Re Σ^↑nor (E) при различ-

ной

части

аномальной

собственной

энергии

[

]

ных температурах для d_x2_-y2 -спаривания

Σ↑↓anom(E) - D^↑↓(ka.n.)

вычисленные в CPA- и

ATA-приближениях при различных температурах

0.06

T = 0.002

0.004

0.05

0.02

нули в Im Σ^↑↓anom(E). Для мнимой части аномальной

(E) в этой области

собственной энергии Im Σ^↑↓anom

0.04

температур также наблюдается смена знака. Сме-

на знака в энергетической зависимости компонент

0.03

собственной энергии была получена в [10] для мо-

дели квантовых флуктуаций. Поскольку такое же

0.02

поведение наблюдается и для рассматриваемой на-

ми модели термических флуктуаций, можно утвер-

0.01

ждать, что оно не связано с квантовым характером

флуктуаций. Интересно, что при низких темпера-

–1.0

–0.5

0.5

1.0

турах эти величины, выделенные в [1] из данных

E/t

ARPES для оптимально допированного Bi2212 [11] и

недодопированного Bi2201 [12], также меняют знак

Рис. 4. Энергетические зависимости мнимой части нор-

в этой области энергий. Мнимая часть нормальной

мальной собственной энергии Im Σ^↑nor (E) при различных

температурах для d_x2_-y2 -спаривания

собственной энергии Im Σ^↑nor(E) во всей области из-

менения энергии E остается одного знака. В на-

шей работе основные расчеты проводятся в рамках

сти. Им соответствуют нули в энергетической зави-

CPA-приближения. Однако, как показано в разд. 3,

симости

аналитические выражения для компонент собствен-

[

]

ной энергии, аналогичные по структуре выражени-

Σ^↑↓anom(E) - D^↑↓(k_a.n.)

, Re Σ^↑nor(E)

ям феноменологической модели гибридизации элек-

(T = 0.002 и T = 0.004 на рис. 1 и рис. 3). Пики

тронов со скрытыми фермионными возбуждениями,

на энергетической зависимости этих функций име-

получены нами непосредственно из уравнений ATA-

ются при значениях энергии |E| ≳ E_k и |E| ≲ E_k. В

приближения. Поэтому полезно сравнить результа-

области |E| ≳ E_k вещественные части меняют знак

ты вычислений в CPA- и ATA-приближениях. Для

(T = 0.002 и T = 0.004 на рис. 1 и рис. 3). При

этого на рис. 5 представлены энергетические зависи-

более высоких температурах (T

= 0.02 на рис. 1

мости вещественной части аномальной собственной

и рис. 2) ситуация для Σ^↑↓anom(E) меняется на об-

энергии, вычисленные в CPA- и ATA-приближениях

ратную. Теперь нули исчезают в энергетической за-

при различных температурах. Видно, что результа-

[

]

висимости Re

Σ^↑↓anom(E) - D^↑↓(k_a.n.)

, а появляют-

ты в CPA- и ATA-приближениях неплохо согласуют-

ся в Im Σ^↑↓anom(E). В результате значениям E ≃ ±E_k

ся друг с другом, однако начинают совпадать только

[

]

соответствуют пики в Re

Σ^↑↓anom(E) - D^↑↓(k_a.n.)

при достаточно низких температурах.

369

ЖЭТФ, вып. 3

А. Г. Грошев, А. К. Аржников

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

0.06

(V /V1)

Im_nor

1.2

0.05

T = 0.004

(V /V

)

ImW

1.0

nor

Im W

0.04

0.8

0.03

0.6

0.02

0.4

0.01

0.2

–1.0

–0.5

0.5

1.0

E/t

0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Рис. 8. Энергетические зависимости мнимых частей нор-

↑

мальной Im Σ^↑nor , спаривающей Im W^↑ и общей Im Σ

tot

Рис. 6. Температурная зависимость квадрата отношения

собственных энергий при T = 0.004 для d_x2_-y2 -спарива-

констант V2 и V1

ния

0.005

Im_nor

0.20

Im_nor

0.004

T = 0.0002

T = 0.03

Im W

0.003

nor

Im W

0.15

0.002

0.10

0.001

0.05

–0.001

–0.002

–1.0

–0.5

0.5

1.0

–1.0

–0.5

0.5

1.0

E/t

Рис. 9. Энергетические зависимости мнимой части нор-

Рис. 7. Энергетические зависимости мнимых частей нор-

↑

мальной Im Σ^↑nor , спаривающей Im W^↑ и общей Im Σ^↑tot

мальной Im Σ^↑nor , спаривающей Im W^↑ и общей Im Σ

tot

собственных энергий при T = 0.03 для d_x2_-y2 -спаривания

собственных энергий при T = 0.0002 для d_x2_-y2 -спарива-

ния

щих границам энергетической щели при E ≃ ±E_k,

Как было показано в разд. 3, взаимное сокраще-

а Im W^↑(E) кроме этих особенностей имеет особен-

ние особенностей нормальной Σ^↑nor(E) и спариваю-

ность при E = 0. Значения Im Σ^↑nor(E) и Im W^↑(E)

щей W^↑(E) компонент собственной энергии в энер-

в особенностях E ≃ ±E_k имеют разные знаки, что

гетической зависимости полной собственной энер-

и приводит к их взаимному сокращению в полной

гии Σ^↑tot(E) в рассматриваемой нами модели проис-

Im Σ^↑tot(E) собственной энергии. С ростом темпера-

ходит по той же причине, что и в феноменологичес-

туры особенности на границах энергетической щели

кой модели гибридизации электронов со скрытыми

становятся менее выражены, а значения Im Σ^↑nor(E)

фермионными возбуждениями, когда можно прене-

и Im W^↑(E) становятся одного знака. Это происхо-

бречь слагаемым V₂ по сравнению с V₁. Наши расче-

дит при температурах примерно 0.004t, когда сла-

ты показывают (см. рис. 6), что это возможно в об-

гаемое V₂ становится сравнимым с V₁ (см. рис. 6).

ласти достаточно низких температур. Такое сокра-

В результате этого особенности в Im Σ^↑tot(E) при

щение при температуре T = 0.0002t продемонстри-

E ≃ ±E_k в этой области температур даже уси-

ровано на рис. 7. В этом случае Im Σ^↑nor(E) имеет

ливаются. Это продемонстрировано на рис. 8. При

особенности при значениях энергии, соответствую-

приближении к сверхпроводящему переходу особен-

370

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

Формирование особенностей собственной энергии...

ности на энергетической зависимости ImW^↑(E) на

анализ показывает, что на энергетических зависи-

границах щели при E ≃ ±E_k исчезают, а остав-

мостях обеих компонент собственной энергии на

шиеся в Im Σ^↑nor(E) полностью компенсируются в

границах энергетической щели имеются характер-

полной собственной энергии Im Σ^↑tot(E) расходимо-

ные пики. Однако в отличие от результатов других

стью ImW^↑(E), которая определяется полюсом при

работ, взаимное сокращение этих пиков в полной

E = 0. Это продемонстрировано на рис. 9. Необхо-

собственной энергии в нашем случае происходит

димо отметить, что согласно [13] взаимное сокраще-

при достаточно низких температурах (вплоть до

ние особенностей на границах энергетической щели

квантового предела T

→ 0, где определяющую

E ≃ ±E_k является своеобразным тестом на их фер-

роль играют квантовые флуктуации). С ростом

мионное происхождение. Однако в работе [13] в рам-

температуры это взаимное сокращение сменяется

ках DMFT на решетке Бете для модели Хаббарда с

на взаимное усиление, а в области температур

притягивающим взаимодействием такое сокращение

близких к сверхпроводящему переходу происходит

наблюдается при температурах близких к T_c, а при

взаимная компенсация особенностей. Кроме того,

низких температурах оно отсутствует, поскольку со-

смена знака в обеих компонентах собственной энер-

гласно [13] в этой области справедливо описание в

гии за пределами энергетической щели не связана

рамках фермион-бозонной модели. В отличие от [13]

с квантовым характером флуктуаций, поскольку

в рассматриваемой нами модели сокращение особен-

также наблюдается для рассматриваемой нами

ностей происходит при достаточно низких темпера-

модели термических флуктуаций. В данном слу-

турах (вплоть до квантового предела T → 0), а при

чае это происходит в области достаточно низких

температурах близких к T_c происходит их компен-

температур для вещественной части аномальной

сация. Как отмечалось во введении, сингулярные

собственной энергии и при достаточно высоких

структуры и их сокращение в оптимально допиро-

температурах для мнимой части аномальной соб-

ванном Bi2212 с T_c = 90 K [11] и недодопированном

ственной энергии. Эти величины, извлеченные из

Bi2201 с T_c = 29 K [12] обнаруживаются соответ-

экспериментальных данных ARPES, при низких

ственно при T = 11 K и T = 12 K, т. е. при темпера-

температурах действительно меняют знак в этой

турах гораздо ниже температур сверхпроводящего

области энергий.

перехода.

Финансирование. Работа выполнена в рамках

государственного задания Министерства науки и

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

высшего образования РФ (тема № 121030100005-1).

Для квазидвумерной однозонной модели с

притяжением между электронами, находящимися

ЛИТЕРАТУРА

на соседних узлах, исследована структура энерге-

1. Youhei Yamaji, Teppei Yoshida, Atsushi Fujimori,

тической зависимости нормальной и аномальной

and Masatoshi Imada arXiv:1903.08060v4

компонент собственной энергии одночастичной

[cond-mat.str-el] 2020.

функции Грина, возникающая в результате рассея-

ния носителей заряда на термических флуктуациях

2. G. M. Eliashberg, Sov. Phys. 11(3), 696 (1960).

электрон-дырочных пар. Резонансный характер

3. A. B. Migdal, Sov. Phys. 34(7), 996 (1958).

этого рассеяния является причиной возникновения

особенностей на энергетической зависимости компо-

4. Yoichiro Nambu, Phys. Rev. 117(3), 648 (1960).

нент собственной энергии. Показано, что в рамках

5. J. E. Hoffman, K. McElroy, D.-H. Lee, K. M Lang,

рассматриваемой нами модели в квадратичном

H. Eisaki, S. Uchida, and J. C. Davis1, Science 297,

приближении по флуктуирующему потенциалу

1148 (2002); DOI: 10.1126/science.1072640.

в АТА компоненты собственной энергии имеют

структуру аналитических выражений феномено-

6. Andrea

Damascelli,

Zahid Hussain,

and

логической модели гибридизации электронов со

Zhi-Xun Shen, Rev. Mod. Phys. 75, 473 (2003).

скрытыми фермионными возбуждениями. Однако

7. W. L. McMillan and J. M. Rowell, Phys. Rev. Lett.

параметры в полученных нами выражениях опре-

14(4), 108 (1965).

деляются в самосогласованных расчетах и зависят

от температуры, электронной плотности и силы

8. J. M. Howell, W. L. McMillan, and W. L. Feldmann,

межэлектронного взаимодействия. Проведенный

Phys. Rev. B 3(12), 4065 (1971).

371

А. Г. Грошев, А. К. Аржников

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

M. R. Norman, H. Ding, H. Fretwell, M. Randeria,

23.

A. G. Groshev and A. K. Arzhnikov, J. Phys.:

and J. C. Campuzano, Phys. Rev. B 60(10), 7585

Condens. Matter 33, 215604 (2021).

(1999).

24.

Н. Б. Иванова, С. Г. Овчинников, М. М. Коршу-

10.

Andrey V. Chubukov and Jörg Schmalian, Phys. Rev.

нов, И. М. Ерёмин, Н. В. Казак, УФН 179, 837

B 101(12), 180510(R) (2020).

(2009).

11.

T. Kondo, Y. Hamaya, A. D. Palczewski, T. Takeuchi,

25.

P. W. Anderson, Science 235, 1196 (1987).

J. S. Wen, Z. J. Xu, G. Gu, J. Schmalian, and A. Ka-

26.

D. J. Scalapino, E. Loh, and J. E. Hirsch, Phys. Rev.

minski, Nature Phys. 7, 21 (2011).

B 34(11), 8190(R) (1986).

12.

T. Kondo, R. Khasanov, T. Takeuchi, J. Schmalian,

27.

J. R. Schrieffer, Х. G. Wen, and S. С. Zhang, Phys.

and A. Kaminski, Nature (London) 457, 296 (2009).

Rev. B 39(16), 11663 (1989).

13.

Shiro Sakai, Marcello Civelli, Yusuke Nomura, and

28.

Ю. A. Изюмов, УФН 169, 225 (1999).

Masatoshi Imada, Phys. Rev. B

92,

180503(R)

(2015).

29.

D. J. Scalapino, Rev. Mod. Phys. 84, 1383 (2012).

14.

Shiro Sakai, Marcello Civelli, and Masatoshi Imada,

30.

N. D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17,

Phys. Rev. Lett. 116, 057003 (2016).

1136 (1966); P. C. Hohenberg, Phys. Rev. 158, 383

(1967); S. Coleman, Commun. Math. Phys. 31, 264

15.

Shiro Sakai, Marcello Civelli, and Masatoshi Imada,

(1973).

Phys. Rev. B 94, 115130 (2016).

31.

G. Su, A. Schadschneider, and J. Zittartz, Phys. Lett.

16.

A. Abanov, A. V. Chubukov, and J. Schmalian, J.

A 230,99 (1997).

Electron Spectrosc. Relat. Phenom. 117-118, 129

(2001).

32.

G. Su and M. Suzuki, Phys. Rev. B 58, 117 (1998).

17.

Yu. A. Izyumov, Adv. Phys. 14(56), 569 (1965).

33.

В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970); J. Kos-

terlitz and D. Thouless, J. Phys. C 6 1181 (1973).

18.

V. J. Emery and S. A. Kivelson, Nature 374, 434

(1995).

34.

A. G. Groshev and A. K. Arzhnikov, Europhys. Lett.

102, 57005 (2013).

19.

D. Bormannt and H. Beck, J. Stat. Phys. 76, 361

(1994).

35.

A. G. Groshev and A. K. Arzhnikov, J. Phys.:

Condens. Matter 30, 185801 (2018).

20.

А. Г. Грошев, А. К. Аржников, ЖЭТФ 157, 295

(2020).

36.

V. J. Emery and S. A. Kivelson, Phys. Rev. Lett. 74,

3253 (1995).

21.

P. Curty and H. Beck, Phys. Rev. Lett. 85, 796

(2000).

37.

T. K. Lee and S. Feng, Phys. Rev. B 41, 11110 (1990).

22.

P. Curty and H. Beck, Phys. Rev. Lett. 91, 257002

38.

M. A. Timirgazin, V. F. Gilmutdinov, and A. K. Ar-

(2003).

zhnikov, Physica C 557, 7 (2019).

372