ЖЭТФ, 2022, том 161, вып. 3, стр. 358-362

О ПРОВОДИМОСТИ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ РЭЛЕЯ В

ОБЛАСТИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК

Б. Я. Балагуров^*

Институт биохимической физики им. Н. М. Эмануэля Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 4 декабря 2021 г.,

после переработки 4 декабря 2021 г.

Принята к публикации 7 декабря 2021 г.

Рассмотрена проводимость двумерной модели Рэлея в критической области — окрестности точки фа-

зового перехода металл-диэлектрик. Выведено аналитическое выражение, описывающее эффективную

проводимость σe модели во всей предпороговой (вплоть до соприкосновения круговых включений) крити-

ческой области. Проведено сравнение полученных для σe разложений с соответствующими результатами

гипотезы подобия.

DOI: 10.31857/S0044451022030051

нитных характеристик в критической области, так

и отсутствие применимости метода Ландау. Отме-

тим, что полное решение получила также задача о

1. ВВЕДЕНИЕ

проводимости двумерного композита со структурой

шахматной доски [3].

Исследование свойств вещества при фазовом пе-

реходе представляет общефизический интерес и яв-

В общем случае из-за отсутствия строгих резуль-

ляется актуальной задачей теории. В твердых те-

татов для описания фазового перехода типа металл-

лах достаточно подробно изучены сегнетоэлектри-

диэлектрик в композитах со случайным распреде-

ческие, магнитные, структурные и т. д. фазовые пре-

лением компонент в [4, 5] была предложена гипоте-

вращения [1]. В то же время в бинарных компози-

за подобия, в которой особенности физических ве-

тах имеет место специфический фазовый переход

личин аппроксимируются степенными функциями.

При этом игнорируется возможное присутствие ло-

типа металл-диэлектрик, при котором происходит

резкое изменение их электрофизических свойств, в

гарифмических зависимостей от параметров близо-

частности, проводимости. Во всех этих явлениях

сти к точке фазового перехода. Основным количе-

вблизи точки фазового перехода имеются особенно-

ственным результатом гипотезы подобия является

сти в поведении соответствующих физических вели-

соотношение между критическими индексами (по-

чин. При этом зависимость различных свойств ве-

казателями степеней).

щества от параметров близости к критической точ-

Фазовый переход металл-диэлектрик может про-

ке (порогу протекания) имеет аномальное, неана-

исходить и в композитах другого класса — бинар-

литического типа, поведение. Теоретическое описа-

ных системах с регулярной структурой. Периодич-

ние подобных аномальных зависимостей наталкива-

ность в расположении включений позволяет разви-

ется, вообще говоря, на серьезные трудности. Хо-

вать последовательный подход к вычислению про-

тя во многих случаях (сегнетоэлектричество, маг-

водимости таких систем. Так, например, для дву-

нетизм, сверхпроводимость) применима общая тео-

мерной модели Рэлея [6] удается свести эту зада-

рия фазовых переходов второго рода Ландау [2],

чу к решению бесконечной системы алгебраических

она, однако, непригодна в критической области, в

уравнений [7-9]. Использование конечной подсисте-

которой проявляются упомянутые выше аномалии.

мы этих уравнений достаточного размера позволяет

Точное решение двумерной модели Изинга [2] про-

найти эффективную проводимость σ_e модели чис-

демонстрировало как аномальное поведение ее маг-

ленными методами практически во всем предпоро-

говом диапазоне изменения концентрации (вплоть

^* E-mail: balagurov@deom.chph.ras.ru, byabalagurov@mail.ru

до соприкосновения включений). Такой подход, од-

358

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

О проводимости двумерной модели Рэлея. ..

нако, не позволяет выяснить истинный вид аномаль-

Общее выражение для безразмерной эффектив-

ных зависимостей величины σ_e в окрестности точки

ной проводимости двумерной модели Рэлея в допо-

перехода.

роговой области концентраций (p ≥ p_c) получено в

В настоящей работе проводимость двумерной

работе [10]:

модели Рэлея в области фазового перехода ме-

{

}

∑

th nξ

талл-диэлектрик рассмотрена аналитическим мето-

f (p, h) =

ξ₀ + 2h

e-nξ0

(3)

n h + thnξ₀

дом. Для решения этой задачи использовано так на-

n=1

зываемое бинарное приближение [10, 11], точность

Здесь

которого тем выше, чем ближе модель к точке фазо-

√

вого перехода. Полученное таким способом аналити-

a² - R²

ξ₀ =

(4)

ческое выражение для эффективной проводимости

так что

σe двумерной модели Рэлея оказывается справед-

ливым во всей предпороговой критической области

4-π

p-p_c

ξ²⁰ =

τ, τ =

(5)

(окрестности точки перехода), в которой проявляет-

p_c

ся аномальное поведение величины σ_e. Сравнение с

Выражение (3) выведено в рамках бинарного при-

соответствующими результатами гипотезы подобия

ближения [10], при котором проблема вычисления

показывает, что некоторые общие положения этой

эффективной проводимости сводится к задаче о

гипотезы, сформулированные для случайно-неодно-

протекании тока через пару соседних кругов. Как

родных сред, применимы и к композитам с перио-

отмечено в [10,11], погрешность бинарного прибли-

дической структурой.

жения обращается в нуль при стремлении к точке

фазового перехода. Поэтому выражение (3) приме-

нимо в непосредственной окрестности точки пере-

2. ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

хода — предпороговой (p ≥ p_c, τ ≥ 0) критической

области (ξ₀ ≪ 1, h ≪ 1).

Двумерная модель Рэлея представляет собой

В работе [10] из выражения (3) найдено разло-

изотропную матрицу проводимости σ₁ с системой

жение величины f(p, h) по параметру h/ξ₀ ≪ 1. Рас-

включений круговой формы радиуса R и проводи-

смотрим теперь случай, когда отношение h/ξ₀ про-

мости σ₂. Центры кругов расположены в узлах квад-

извольно. Для того чтобы провести суммирование

ратной решетки с периодом 2a. Эффективная про-

в формуле (3) при этих значениях h и ξ₀, введем

водимость σ_e такой модели изотропна и является

величину N такую, что

функцией трех аргументов: σ_e = σ_e(p; σ₁, σ₂), где

{

}

p = (4a²-πR²)/(2a)² — безразмерная концентрация

≪N ≪

(6)

(доля занимаемой площади) первой компоненты —

ξ₀

матрицы. Для дальнейшего удобно ввести безраз-

и разделим сумму в выражении (3) на две части:

мерную эффективную проводимость f(p, h) соглас-

но

∑(

)

=S₁ +S₂.

(7)

σ₂

n=1

σ_e(p; σ₁, σ₂) = σ₁f(p, h), h =

(1)

σ₁

Здесь

При σ₂ = 0 по мере увеличения радиуса включений

∑(

)

эффективная проводимость монотонно убывает, об-

S₁ =

(8)

ращаясь в нуль при соприкосновении кругов (при

n=1

R = a). В этом случае при критической концентра-

∑

(

)

ции (пороге протекания)

S₂ =

(9)

n=N+1

p_c = 1 -

(2)

В формулах (7)-(9) под (. . .) понимается выраже-

ние, стоящее в (3) под знаком суммы. При h ≪ 1 и

происходит фазовый переход металл-диэлектрик,

ξ₀ ≪ 1 с учетом условий (6) имеем

так что f(p_c, 0) = 0. Если же σ₂ = 0, но мала (h ≪ 1),

то f(p_c, h) отлична от нуля, однако ее аномальное

∑

поведение в окрестности точки перехода сохраняет-

S₁ ≃

γ=

(10)

n+γ

ξ₀

ся.

n=1

359

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 161, вып. 3,

2022

∑

e-nξ0

— постоянная Эйлера. Таким образом,

S₂ ≃

(11)

n=N+1

∫

∞

(

)

Для того чтобы вычислить сумму в формуле

S₁ = γ e^-γx ln

1-e^-x

dx + ln N + C .

(20)

(10), введем функцию

∑

Перепишем S₂ в виде

e-(n+γ)x

F (x) =

(12)

n+γ

n=1

∑

e-nξ0

S₂ =

(21)

n=1

F (0) = S₁ , F (∞) = 0 .

(13)

Из (12) находим производную функции F(x)

Далее имеем

∑

(

)

1-e^-Nx

e-nξ0

F^′(x) = -e^-γx

e^-nx = -e^-γx

e^-x . (14)

= ln

1-e-ξ0

≃ ln

(22)

1-e^-x

ξ₀

n=1

Отсюда с учетом (13) находим

∫∞

∑

e-nξ0

∑

1-e^-Nx

≃

= ln N + C + . . .

(23)

S₁ = e^-γx

e^-x dx.

(15)

1-e^-x

n=1

Здесь учтено, что ξ₀ ≪ 1 и 1 ≪ N ≪ 1/ξ₀.

Положив e^-x dx = d(1 - e^-x), проведем в (15) инте-

В результате получаем окончательно:

грирование по частям:

{

[

]}

∫∞

(

)

f (p, h) =

ξ₀ + 2h ln

- g(γ)

ξ₀

S₁ = γ e^-γx ln

1-e^-x

dx - (N + γ) ×

(24)

γ=

∫∞

ξ₀

(

)

× e-(N+γ)xln

1-e^-x

dx .

(16)

∞

∫

(

)

Второй интеграл в (16), положив (N + γ)x = t, пре-

g(γ) = -γ e^-γx ln

1-e^-x

dx .

(25)

образуем следующим образом:

∫∞

Формулы (24), (25) описывают безразмерную эф-

(

)

(N + γ) e-(N+γ)x ln

1-e^-x

dx =

фективную проводимость исследуемой двумерной

модели Рэлея во всей предпороговой (p ≥ p_c) кри-

∫∞

(

тической (ξ₀ ≪ 1, h ≪ 1) области.

{

})

= e^-t ln 1 - exp

-t/(N + γ)

dt .

(17)

Положив в (25) γe^-γx dx = d(1-e^-γx) и проведя

интегрирование по частям, получим

Отсюда, в силу того, что N ≫ {1, γ}, получим

∫

∞

1-e^-γx

g(γ) =

dx .

(26)

∫

∞

(

e^x - 1

{

})

e^-t ln 1 - exp

-t/(N + γ)

dt ≃

Отсюда разложением по степеням γ найдем

∫∞

≃ e^-t ln

dt = - ln N - C ,

(18)

π²

π⁴

γ ≪ 1 : g(γ) =

γ-ζ(3) γ²+

γ³+. . . ,

(27)

где

∫∞

∑

C = - e^-t lntdt = 0.577...

(19)

ζ(3) =

= 1.202 . . .

(28)

n³

n=1

360

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

О проводимости двумерной модели Рэлея. ..

В противоположном случае больших значений γ сде-

3. СРАВНЕНИЕ С ГИПОТЕЗОЙ ПОДОБИЯ

лаем в (25) замену x = t/γ и приведем полученное

Согласно результатам предыдущего раздела для

выражение к следующему виду:

функции f(p, h), в двух предельных случаях имеем

следующие разложения (при τ = (p - p_c)/p_c ≥ 0):

∫∞ (

)

{

g(γ) = - e^-t ln t - ln γ -

dt -

2γ

2 h

f (p, h) = ξ₀

⁽h)2 +

π ξ₀

ξ₀

∫∞

shΩ(t)

}

- e^-t ln

dt ,

(29)

Ω(t)

⁽h)3

ζ(3)

+...

h ≪ ξ₀ ≪ 1,

(34)

так что

{

(

)

⁽ξ₀)²

f (p, h) = h

-C

g(γ) = - ln

+C+

-J,

6π h

2γ

∫∞

(30)

}

shΩ(t)

J = e^-t ln

dt .

⁽ξ₀)⁴

Ω(t)

−

+...

ξ₀ ≪ h ≪ 1.

(35)

60π h

Разложение

(34) практически совпадает с най-

В (29), (30) введено обозначение

денным в работе [10]. Из разложения (35) при

p = pc (ξ0 = 0) следует выражение для f(pc, h),

Ω(t) =

(31)

полученное в [11]. При этом величины

2γ

(

)

f (p_c, h)

-C

(36)

В выражении для J из (30) проведем интегриро-

вание по частям:

(

)

∂f(p_c,h)

∫∞

{

}

-C-1

(37)

∂h

J = e^-t

cth Ω(t) -

dt .

2γ

являются линейными функциями аргумента

ln(1/h), отличаясь друг от друга на единицу.

Заметим также, что из разложения (35) следует

Поскольку



∂f(p,h)



(h ≪ 1) .

(38)



∂p

3π²

cth x =

+ ... , x ≪ 1,

p=pc

Здесь учтено, что ξ²⁰ = (4/π) (p - p_c). Равенство (38)

то

может использоваться для проверки правильности

вычислений при компьютерном исследовании про-

∫∞

{

}

водимости модели при p = p_c (τ = 0).

t³

J = e^-t

+ ... dt,

(32)

В рамках гипотезы подобия [4, 5] безразмерная

12 γ²

720 γ⁴

эффективная проводимость f(p, h) в окрестности

точки фазового перехода металл-диэлектрик явля-

так что с учетом определения (31) получаем

ется некоторой функцией аргументов τ и h, для ко-

торой имеют место следующие разложения [4] (см.

также [9]):

γ ≫ 1 : g(γ) = -ln

+C+

2γ

12 γ²

f (p, h) =

+...

(33)

{

}

(

)₂

120 γ⁴

=τt A0 +A1

+A₂

+...

(39)

τ^t/s

Последующие члены разложения (33) представляют

собой четные степени величины 1/γ. Отметим так-

τ > 0, Δ ≪ τ ≪ 1,

же, что g(1) = 1.

361

Б. Я. Балагуров

ЖЭТФ, том 161, вып. 3, 2022

f (p, h) =

Проведенное сравнение показывает, что, с од-

{

}

)₂

( τ

ной стороны, найденные в настоящей работе раз-

=h^s

a₀ + a₁

+a₂

+...

(40)

ложения для безразмерной эффективной проводи-

h^s/t

мости f(p, h) значительно отличаются от соответ-

|τ| ≪ Δ ≪ 1,

ствующих результатов гипотезы подобия. Это ка-

сается как конкретных значений критических ин-

f (p, h) =

(-τ)^q

дексов, так и наличия логарифмических зависимо-

{

}

(

)₂

стей от параметров близости к точке фазового пе-

(41)

× B₁+B₂

+B₃

+...

рехода. С другой стороны, при игнорировании (как

(-τ)^t/s

и в [4]) логарифмических зависимостей разложения

τ < 0, Δ ≪ |τ| ≪ 1.

(34), (35) и (39), (40), несмотря на численные разли-

чия в показателях степеней, фактически совпадают.

Здесь

Оказывается, таким образом, что основные положе-

Δ=h^s/t,

(42)

ния гипотезы подобия, сформулированные для слу-

чайно-неоднородных сред, в задаче о проводимости

t, s и q — критические индексы, связанные соотно-

применимы, по-видимому, и к композитам с регу-

шением

лярной структурой.

1-s

q=t

(43)

ЛИТЕРАТУРА

а A₀, A₁, A₂, . . ., a₀, a₁, a₂, . . ., B₁, B₂, B₃, . . . — чис-

ленные коэффициенты. Для двумерного композита

1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

со случайным распределением включений

сплошных сред, Наука, Москва (1992).

s = 1/2, t = q ≃ 1.3.

(44)

2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

физика, часть 1, Наука, Москва (1995).

Подчеркнем, что в разложениях (39)-(41) не учиты-

3. Ю. П. Емец, Электрические характеристики

вается возможность присутствия логарифмических

композиционных материалов с регулярной струк-

зависимостей от аргументов τ и h.

турой, Наукова думка, Киев (1986).

Сравнение формул (34), (35) с (39), (40) пока-

зывает, что для описания проводимости двумерной

4. A. L. Efros and B. I. Shklovskii, Phys. Stat. Sol. (b)

модели Рэлея в духе гипотезы подобия следует опу-

76, 475 (1976).

стить логарифмические зависимости и положить

5. J. P. Straley, J. Phys. C 9, 783 (1976).

t = 1/2, s = 1, Δ = h2 .

(45)

6. Lord Rayleigh, Phil. Mag. 34(211), 481 (1892).

Кроме того, можно ожидать, согласно (43), что кри-

7. W. T. Perrins, D. B. McKenzie, and B. C. McPhed-

тический индекс q = 0. Несмотря на столь суще-

ran, Proc. Roy. Soc. London A 369, 207 (1979).

ственные различия в значениях критических ин-

8. Б. Я. Балагуров, В. А. Кашин, ЖЭТФ 117, 978

дексов, структуры разложений (34), (35) и (39),

(2000).

(40) практически одинаковы. Действительно, мно-

житель перед фигурной скобкой в

(34) ξ₀

∼

9. Б. Я. Балагуров, Электрофизические свойства

∼

√τ ∼ τ^t, а разложение идет по степеням величи-

композитов. Макроскопическая теория, URSS,

ны h/ξ₀ ∼ h/√τ ∼ h/τt/s. Аналогичным образом в

Москва (2015).

(35) общий множитель h = h^s, а параметром разло-

10. Б. Я. Балагуров, ЖЭТФ 157, 669 (2020).

жения является величина (ξ₀/h)² ∼ τ/h² = τ/h^s/t,

так что разложение идет по целым степеням τ.

11. Б. Я. Балагуров, ЖЭТФ 159, 553 (2021).

362