ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 928-934

НЕЛИНЕЙНЫЙ ПЛАНАРНЫЙ ЭФФЕКТ ХОЛЛА В КИРАЛЬНОМ

ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПОЛУМЕТАЛЛЕ CoSi

В. Д. Есин, А. В. Тимонина, Н. Н. Колесников, Э. В. Девятов^*

Институт физики твердого тела им. Ю. А. Осипьяна Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 31 августа 2021 г.,

после переработки 31 августа 2021 г.

Принята к публикации 1 сентября 2021 г.

Для кирального топологического полуметалла CoSi экспериментально исследуется отклик поперечной

составляющей переменного напряжения на второй гармонике на переменный электрический ток для

двух, параллельной и перпендикулярной плоскости образца, ориентаций магнитного поля. В отсутствие

магнитного поля наблюдается квадратичная зависимость от продольного электрического тока, как и сле-

довало ожидать для нелинейного эффекта Холла в топологических полуметаллах. При наличии внешнего

магнитного поля холловское напряжение на второй гармонике демонстрирует зависимость нечетного ти-

па для любой ориентации магнитного поля относительно плоскости образца. Для перпендикулярного

магнитного поля такая чувствительность к направлению позволяет исключить возможный вклад термо-

электрических эффектов, поэтому отклик поперечной составляющей напряжения на второй гармонике

действительно возникает из-за нелинейного эффекта Холла. Для параллельного магнитного поля, наобо-

рот, зависимость нечетного типа является наглядной демонстрацией планарного нелинейного эффекта

Холла в киральном полуметалле CoSi.

DOI: 10.31857/S0044451021120154

чае существует только одна пара киральных уз-

лов с противоположными числами Черна и с боль-

1. ВВЕДЕНИЕ

шим разделением в импульсном пространстве. Это

приводит к очень длинным поверхностным ферми-

Возникший в последнее время интерес к топо-

аркам [6], что сильно отличается от полуметаллов

логическим полуметаллам является частью науч-

Вейля, которые характеризуются множественным

ного интереса к топологическим материалам, см.

количеством пар вейлевских узлов с малым рассто-

недавний обзор [1]. По сравнению с дираковскими

янием между ними [1]. Объемная зонная структу-

материалами и системами с узловой линией полу-

ра и длинные поверхностные ферми-арки подтвер-

металлы Вейля характеризуются разделенными в

ждены экспериментально, например, для семейства

пространстве парами узлов Вейля с противополож-

кристаллов CoSi [6-9].

ными киральностями, что приводит к ряду инте-

ресных физических явлений. Наиболее важно то,

Инвариантный относительно обращения време-

что нетривиальная топология приводит к поверх-

ни нелинейный эффект Холла (НЭХ) [10-23], как из-

ностным состояниям ферми-арок, которые соединя-

вестно, является следствием топологического спект-

ют проекции объемных возбуждений на боковой по-

ра из-за ненулевой кривизны Берри в импульс-

верхности [1], например, для нецентросимметрич-

ном пространстве. НЭХ был экспериментально про-

ных кристаллов [2, 3] типа TaAs, WTe₂ и MoTe₂.

демонстрирован для однослойных дихалькогенидов

Концепция кирального топологического полуметал-

переходных металлов [24, 25] и для трехмерных по-

ла [4, 5] является естественным обобщением кон-

луметаллов Вейля и Дирака [26,27]. В эксперименте

цепции вейлевского полуметалла посредством од-

НЭХ проявляется как квадратичный отклик попе-

новременного нарушения зеркальной симметрии и

речной составляющей напряжения холловского ти-

симметрии относительно к инверсии. В таком слу-

па на переменный ток, который может быть измерен

как поперечное холловское напряжение на второй

^* E-mail: dev@issp.ac.ru

гармонике в отсутствие внешнего магнитного поля.

928

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Нелинейный планарный эффект Холла...

В дополнение к известным экспериментальным

реализациям НЭХ [24-27], киральные полуметаллы

должны демонстрировать значительный сигнал эф-

фекта НЭХ из-за большого разделения киральных

узлов в импульсном пространстве. Более того, в маг-

нитном поле можно ожидать сильный нелинейный

планарный эффект Холла [28]. Последний является

нелинейным аналогом обычного планарного эффек-

та Холла [29-32] в топологических системах [33-35].

Этот новый нелинейный планарный эффект Хол-

ла возникает в результате одновременного действия

Рис. 1. (В цвете онлайн) Оптическое изображение об-

связи спина и импульса (spin-momentum locking) и

разца. Монокристалл CoSi с продольным размером око-

нарушения симметрии относительно обращения вре-

ло 100 мкм и толщиной 1 мкм помещается на изолирую-

мени, поэтому его можно ожидать для широкого

щую подложку SiO2. Контакты из Au толщиной 100 нм

разделены промежутками в 5 мкм. Электрическая схема

класса нецентросимметричных материалов [28]. Та-

демонстрирует четырехточечный метод измерения компо-

ким образом, целесообразно изучить оба нелиней-

нент напряжения Холла 1ω и 2ω с помощью фазочув-

ных эффекта Холла для различной ориентации маг-

ствительного усилителя. Датчики напряжения расположе-

нитного поля для известных киральных полуметал-

ны симметрично относительно линии тока, что также за-

лов, таких как CoSi.

щищает сигнал 2ω от возможной примеси термоэдс [26]

В настоящей работе проведено эксперименталь-

ное исследование отклика поперечной составляю-

щей переменного напряжения на второй гармонике

скростью 10^◦C/ч. Ампулы выдерживались при этой

на переменный электрический ток для кирального

температуре в течение двух недель, а затем охла-

топологического полуметалла CoSi для двух ори-

ждались до комнатной температуры со скоростью

ентаций внешнего магнитного поля — параллель-

6^◦C/ч. Полученный материал с помощью рентге-

ной и перпендикулярной плоскости образца. В от-

ноструктурного анализа был идентифицирован как

сутствие магнитного поля наблюдаемый отклик за-

CoSi с некоторыми следами SiO₂. Затем методом

висит от продольного электрического тока квадра-

йодного транспорта в вакуумированных кварцевых

тично. Это соответствует проявлению нелинейно-

ампулах при температуре 1000^◦C были выращены

го эффекта Холла в топологических полуметаллах.

монокристаллы CoSi. Рентгеновская дифрактомет-

При наличии внешнего магнитного поля, независи-

рия показывает, что кристаллы имеют кубическую

мо от его ориентации, для холловского напряже-

структуру, а рентгеноспектральный анализ подтвер-

ния на второй гармонике наблюдается зависимость

ждает эквиатомное соотношение Co и Si без каких-

нечетного типа. Если магнитное поле ориентирова-

либо следов SiO₂. Небольшие пластинки CoSi мож-

но перпендикулярно плоскости образца, то подоб-

но легко получить из исходного монокристалла ме-

ная чувствительность к направлению позволяет ис-

тодом механического скалывания [36, 37]. С помо-

ключить возможный вклад термоэлектрических эф-

щью стандартных измерений магнитосопротивле-

фектов. Это позволяет сделать вывод о том, что

ния кристаллографическая ориентация пластинок

отклик поперечной составляющей напряжения на

определяется как (001) [38].

второй гармонике действительно появляется вслед-

Топологические полуметаллы являются трех-

ствие нелинейного эффекта Холла. Если же магнит-

мерными кристаллами [1], поэтому необходимо ис-

ное поле ориентировано параллельно плоскости об-

пользовать толстые (около 1 мкм) пластинки CoSi.

разца, то зависимость нечетного типа указывает на

Стандартный процесс литографии невозможен из-

то, что в киральном полуметалле CoSi наблюдается

за разницы в высоте 1 мкм между подложкой и

планарный нелинейный эффект Холла.

верхней поверхностью чешуйки, поэтому стандарт-

ная методики подготовки образцов с тонкими пла-

стинками [36,37,39-41] была модифицирована. Пер-

2. ОБРАЗЦЫ И МЕТОДИКА

воначально шаблон контакта задается на изолирую-

щей подложке SiO₂ методом взрывной литографии

Исходный материал CoSi был синтезирован из

после термического напыления 100 нм золота, как

порошков кобальта и кремния путем нагревания в

показано на рис. 1. Золотые дорожки имеют шири-

вакуумированных кварцевых ампулах до 950^◦C со

ну 10 мкм, при этом дорожки разделены интервала-

929

В. Д. Есин, А. В. Тимонина, Н. Н. Колесников, Э. В. Девятов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

ми в 5 мкм. Небольшая пластинка CoSi слегка при-

жимается к Au-контактам с помощью другой окис-

ленной кремниевой подложки, см. рис. 1, поэтому

контакт Au-CoSi формируется на нижней поверх-

ности пластинки CoSi. Данная процедура обеспечи-

вает надежные контакты Au-CoSi, которые защи-

щены от любого окисления (загрязнения) и явля-

ются стабильными в различных циклах охлажде-

ния [36, 37, 39-41].

Для исследования НЭХ в киральном топологи-

ческом полуметалле CoSi были выполнены изме-

рения первой (1ω) и второй (2ω) гармоник с по-

мощью стандартного четырехточечного метода для

xx- (продольной) и xy- (поперечной) составляющих

напряжения Холла. Конфигурация, соответствую-

Рис. 2. (В цвете онлайн) Примеры низкотемпературных

щая поперечной составляющей напряжения, изобра-

кривых V1ω(Iac), полученных четырехточечным методом,

жена на рис. 1. Датчики напряжения расположены

для двух разных образцов в отсутствие магнитного поля

симметрично относительно линии тока, что также

(основной график). Строго линейные омические зависи-

исключает из сигнала 2ω возможную примесь тер-

мости (с сопротивлениями менее ≈ 0.2 Ом) подтвержда-

моэдс [26]. Составляющие напряжения 1ω и 2ω изме-

ют правильность наших четырехточечных измерений да-

рялись с помощью фазочувствительного усилителя

же для контактов Au-CoSi с относительно высоким со-

на частоте f = 7.7 кГц. Измерения проводились при

противлением. На вставке показана типичная трехточеч-

ная кривая dV/dI(I_dc) для одиночного контакта Au-CoSi,

температурах жидкого гелия ((1.2-4.2) K) для двух

демонстрирующая более высокое сопротивление контакта.

различных ориентаций магнитного поля. Аналогич-

Таким образом, для четырехточечных измерений на вто-

ные результаты были получены для различных об-

рой гармонике джоулев нагрев происходит, в основном, в

разцов для нескольких циклов охлаждения.

контактах исток-сток, что позволяет полностью компенси-

ровать температурные градиенты в холловской (xy) кон-

фигурации 2ω на рис. 1

3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рисунок 2 демонстрирует ярко выраженное оми-

чение Vxx2ω пренебрежимо мало: оно не превышает

ческое поведение для продольной составляющей на-

0.1 мкВ для диапазона переменного тока 0.5 мкА.

пряжения первой гармоники Vxx1ω в отсутствие маг-

Напротив, мы наблюдаем хорошо выраженный, до

нитного поля. При увеличении амплитуды перемен-

1 мкВ, поперечный (холловский) сигнал Vxy2ω, кото-

ного тока I_ac от 0 до 0.1 мА зависимость Vxx1ω(I_ac)

рый нелинейно зависит от переменного тока I_ac. За-

остается строго линейной для двух разных образ-

висимости являются квадратичными, Vxy2ω ∝ I2ac, как

цов. Наклоны зависимостей Vxx1ω(I_ac) соответствуют

это показано на правой вставке к рис. 3 для одно-

сопротивлению объема 0.15 Ом и 0.05 Ом для си-

го из образцов. Также мы не наблюдаем значитель-

ней и красной кривых, соответственно. Напротив,

ной температурной зависимости для Vxy2ω в интерва-

типичное сопротивление одиночного контакта Au-

ле температур (1.2-4.2) K, см. верхнюю вставку на

CoSi намного выше (≈ 10 Ом при низкой темпера-

рис. 3. Такое поведение (слабая зависимость Vxx2ω и

туре), что соответствует стандартному туннелиро-

квадратичная зависимость Vxy2ω) было получено для

ванию через потенциальный барьер на границе раз-

разных образцов в разных циклах охлаждения, на-

дела. Это видно из трехточечной кривой dV/dI(I_dc)

пример, две кривые на основном графике рис. 3 по-

на вставке к рис. 2. Таким образом, наша установка

лучены для тех же двух образцов, что и кривые на

позволяет проводить правильные четырехточечные

рис. 2, а квадратичные кривые на верхней вставке к

измерения даже для контактов Au-CoSi с относи-

рис. 3 — для другого образца.

тельно высоким сопротивлением.

В принципе, квадратичная зависимость сигнала

На рис. 3 показаны xx- и xy-компоненты напря-

второй гармоники также может возникать из-за тер-

жения второй гармоники в отсутствие магнитного

моэлектрических эффектов [42,43]. Джоулев нагрев

поля. Как и следовало ожидать для строго линей-

пропорционален квадрату продольного тока, ∝ I²,

ных омических кривых на рис. 2, продольное зна-

что приводит к отклику на второй гармонике при

930

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Нелинейный планарный эффект Холла...

Рис. 3. (В цвете онлайн) Компоненты xx и xy напряжения

Рис. 4. (В цвете онлайн) Зависимости Vxy2ω(B) с явно вы-

на второй гармонике в отсутствие магнитного поля для

раженным нечетным поведением относительно знака маг-

трех различных образцов. Продольное напряжение Vxx2ω

нитного поля для случаев параллельной и перпендикуляр-

пренебрежимо мало, а поперечное (холловское) Vxy2ω(Iac)

ной ориентации магнитного поля. Кривые состоят из двух

составляет до 1 мкВ в одном и том же диапазоне пере-

линейных ветвей в сильных положительных и отрицатель-

менного тока для двух разных образцов. Нижняя вставка

ных магнитных полях и плоской области вокруг нулево-

подтверждает строго квадратичную зависимость Vxy2ω ∝ I²

го значения поля. Для перпендикулярного магнитного по-

для одной из кривых основного графика. На верхней встав-

ля сигнал Vxy2ω(B) подтверждает нелинейное происхожде-

ке приведены температурные зависимости величины Vxy2ω

ние эффекта Холла Vxy2ω. Удивляет, что качественно ана-

в интервале температур (1.2-4.2) K для другого (третьего)

логичная явно нечетная зависимость Vxy2ω(B) имеет место

образца, видно, что зависимости также являются квадра-

и для параллельного магнитного поля, в случае которо-

тичными (∝ I²)

го, по-видимому, наблюдается планарный нелинейный эф-

фект Холла

нагреве переменным током. В геометрии экспери-

показана сильная нечетная зависимость Vxy2ω(B) в

мента градиент температуры между датчиками на-

перпендикулярном магнитном поле. Кривая состоит

пряжения на рис. 1 сильно подавлен. Поскольку для

из двух линейных ветвей для сильных положитель-

наших образцов джоулев нагрев происходит, в ос-

ных и отрицательных магнитных полей и плоской

новном, на контактах исток-сток, не следует ожи-

области вблизи нулевого значения поля. Таким об-

дать какой-либо значительной примеси от эффек-

разом, сигнал Vxy2ω чувствителен к знаку магнитного

та Зеебека. С другой стороны, наличие перпендику-

поля — он пересекает нуль при положительном зна-

лярного магнитного поля в данной эксперименталь-

чении B = 1.5 Тл. Это поведение очень похоже на

ной геометрии приводит к появлению квадратичной

поведение вейлевского полуметалла WTe₂ [26] и под-

поправки к коэффициенту Зеебека [44, 45], в то же

тверждает происхождение эффекта НЭХ для сиг-

время напряжение НЭХ на второй гармонике демон-

нала Vxy2ω. Кроме того, численные значения сигнала

стрирует зависимость нечетного типа от перпенди-

Vxy2ω на рис. 3 и 4 намного выше (на один порядок),

кулярного магнитного поля [26]. Таким образом, из-

чем это было продемонстрировано для полуметал-

мерения в присутствии магнитного поля позволяют

лов Вейля и Дирака [26] в той же эксперименталь-

отличить эффект НЭХ от термоэлектрического от-

ной геометрии.

клика [26]. Мы хотим отметить, что эффект Нернста

Удивительно, что для магнитных полей парал-

также не может вносить вклад в отклик поперечной

лельной ориентации наблюдается качественно ана-

составляющей напряжения, так как в данной гео-

логичная сильная нечетная зависимость сигнала

метрии эксперимента он должен измеряться вдоль

Vxy2ω. Несмотря на то, что красная кривая на рис. 4

линии тока.

не меняет полярности, она также состоит из двух

Из вида зависимости от магнитного поля следу-

сублинейных ветвей с широкой плоской областью

ет, что сигнал Vxy2ω действительно свидетельствует о

между ними. Для этого случая экспериментально

проявлении нелинейного эффекта Холла. На рис. 4

наблюдаемый планарный эффект Холла [29-32] мо-

931

В. Д. Есин, А. В. Тимонина, Н. Н. Колесников, Э. В. Девятов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

жет быть связан только со спектром в топологичес-

ля, ориентированного параллельно плоскости образ-

ких системах [33-35].

ца, наоборот, нельзя ожидать простого холловского

вклада.

Для полей, ориентированных параллельно плос-

4. ОБСУЖДЕНИЕ

кости образца, экспериментально наблюдаемый пла-

нарный эффект Холла [29-32] может проявляться

Таким образом, для кирального топологическо-

только в топологических системах [33-35]. Для от-

го полуметалла CoSi продемонстрировано проявле-

клика на второй гармонике в параллельном поле

ние сигнала НЭХ, по крайней мере, на порядок бо-

киральная аномалия также вносит вклад в холлов-

лее высокого, чем для полуметаллов Вейля и Дира-

ские токи [48], в дополнение к ранее обсуждавше-

ка [26] для той же геометрии эксперимента. Зависи-

муся вкладу кривизны Берри. Другими словами,

мость от магнитного поля позволяет не только ис-

планарный НЭХ можно рассматривать как комби-

ключить возможную примесь термоэлектрического

нацию аномальной скорости (из-за конечной кри-

отклика, но и свидетельствует о проявлении нового

визны Берри) и киральной аномалии в параллель-

планарного нелинейного эффекта Холла.

ных электрическом и магнитном полях. Вклад ки-

При наличии симметрии относительно обраще-

ральной аномалии в генерацию второй гармоники

ния времени в линейном отклике холловский ток от-

в низшем порядке линейно зависит от приложенно-

сутствует. Это подтверждается в работах [10-23], в

го магнитного поля [48], поэтому для параллельного

которых говорится, что нелинейный холловский ток

поля можно ожидать появления поправки к зави-

может возникать из кривизны Берри в импульсном

симости Vxy2ω(B), пропорциональной первой степени

пространстве. В упрощенном виде, переменный ток

B. Подобно обычному НЭХ [47], этот результат мо-

вызывает намагничивание образца, что в отсутствие

жет быть получен для искаженной (перекошенной,

внешнего магнитного поля приводит к аномально-

skewed) дисперсии энергии вокруг пар узлов Вейля

му эффекту Холла [46]. Последний проявляется как

[49], т. е. он не обязательно связан с наличием конеч-

напряжение Холла на второй гармонике, амплиту-

ной кривизны Берри [49]. Кроме того, можно пред-

да которого пропорциональна квадрату тока сме-

сказать, что нелинейный планарный эффект Хол-

щения. Поскольку кривизна Берри действует ана-

ла возникает из-за генерации поперечного чистого

логично магнитному полю в импульсном простран-

спинового тока, возникающего во втором порядке

стве, напряжение НЭХ линейно в перпендикуляр-

электрического поля из-за симметричного искаже-

ном внешнем магнитном поле [26]. Другой возмож-

ния 2D-контура Ферми, который может быть преоб-

ный вклад в нелинейный эффект Холла — это рас-

разован в нелинейный ток Холла путем приложения

сеяние на немагнитных примесях в нецентросиммет-

магнитного поля, параллельного плоскости образца

ричных материалах [47], инвариантных к обраще-

и сонаправленного с ориентацией спина поперечного

нию времени, однако эти механизмы едва ли можно

нелинейного спинового тока [28].

различить экспериментально.

Таким образом, наши результаты, представлен-

По сравнению с измерениями НЭХ для полуме-

ные на рис. 4, следует рассматривать как экспери-

таллов Вейля и Дирака [24-27], мы наблюдаем на

ментальное подтверждение наличия сильного пла-

порядок более высокие значения поперечной состав-

нарного НЭХ в киральном топологическом полуме-

ляющей напряжения на второй гармонике для об-

талле CoSi, при этом различить возможные меха-

разцов аналогичных размеров, см. рис. 2. Это долж-

низмы [28, 48, 49] эффекта мы не можем.

но отражать особенности спектра в топологическом

киральном полуметалле CoSi со значительной кри-

визной Берри из-за большого разделения кираль-

5. ВЫВОДЫ

ных узлов в импульсном пространстве [4,5]. Послед-

ний факт также может быть ответственным за ши-

рокую плоскую область в зависимости Vxy2ω(B) на

Таким образом, проведенное экспериментальное

рис. 4: чтобы можно было наблюдать отклик образ-

исследование зависимости поперечной составляю-

ца, внешнее поле должно превышать эффективное

щей переменного напряжения на второй гармонике

(индуцируемое кривизной Берри).

от переменного электрического тока для кирально-

Приведенные выше соображения очевидны толь-

го топологического полуметалла CoSi для различ-

ко в магнитных полях, ориентированных перпен-

ных ориентаций магнитного поля позволяет сделать

дикулярно плоскости образца. Для магнитного по-

следующие выводы.

932

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Нелинейный планарный эффект Холла...

1. В отсутствие магнитного поля наблюдаемый

Zhicheng Rao, Hang Li, Tiantian Zhang, Shangjie

отклик квадратично зависит от продольного элект-

Tian, Chenghe Li, Binbin Fu, Cenyao Tang, Le Wang,

рического тока, что характерно для нелинейного эф-

Zhilin Li, Wenhui Fan, Jiajun Li, Yaobo Huang,

Zhehong Liu, Youwen Long, Chen Fang, Hongming

фекта Холла в топологических полуметаллах.

Weng, Youguo Shi, Hechang Lei, Yujie Sun, Tian

2. При наличии внешнего магнитного поля, неза-

Qian and Hong Ding, Nature 567, 496 (2019).

висимо от его ориентации относительно плоскости

образца, холловское напряжение на второй гармо-

Daichi Takane, Zhiwei Wang, Seigo Souma, Kosuke

нике демонстрирует зависимость нечетного типа.

Nakayama, Takechika Nakamura, Hikaru Oinuma,

Если магнитное поле перпендикулярно плоскости

Yuki Nakata, Hideaki Iwasawa, Cephise Cacho,

образца, то возможный вклад термоэлектрических

Timur Kim, Koji Horiba, Hiroshi Kumigashira,

Takashi Takahashi, Yoichi Ando, and Takafumi Sato,

эффектов можно исключить, тогда отклик попереч-

Phys. Rev. Lett. 122, 076402 (2019).

ной составляющей напряжения на второй гармонике

действительно возникает из-за нелинейного эффек-

N. B. M. Schröter, S. Stolz, K. Manna, F. de Juan,

та Холла. Если внешнее магнитное поле параллель-

M. G. Vergniory, J. A. Krieger, D. Pei, Th. Schmitt,

но плоскости образца, то наблюдается зависимость

P. Dudin, T. K. Kim, C. Cacho, B. Bradlyn, H. Borr-

нечетного типа, что свидетельствует о наличии пла-

mann, M. Schmidt, R. Widmer, V. N. Strocov, and

нарного нелинейного эффекта Холла.

C. Felser, Science 369, 179 (2020).

10.

I. Sodemann and L. Fu, Phys. Rev. Lett. 115, 216806

Благодарности. Авторы выражают благодар-

(2015).

ность В. Т. Долгополову за плодотворные обсужде-

ния и С. С. Хасанову за исследование рентгеновских

11.

T. Low, Y. Jiang, and F. Guinea, Phys. Rev. B 92,

характеристик образцов.

235447 (2015).

Финансирование. Работа выполнена при фи-

12.

Y. Zhang, J. van den Brink, C. Felser, and B. Yan,

нансовой поддержке в рамках Государственного за-

2D Materials 5, 044001 (2018).

дания РФ.

13.

Z. Z. Du, C. M. Wang, H.-Z. Lu, and X. C. Xie, Phys.

Rev. Lett. 121, 266601 (2018).

ЛИТЕРАТУРА

14.

Z. Z. Du, C. M. Wang, S. Li, H.-Z. Lu, and X. C. Xie,

Nature Commun. 10, 3047 (2019).

1. N. P. Armitage, E. J. Mele, and A. Vishwanath, Rev.

Mod. Phys. 90, 015001 (2018).

15.

C. Xiao, Z. Z. Du, and Q. Niu, Phys. Rev. B 100,

165422 (2019).

2. P. K. Das, D. D. Sante, I. Vobornik, J. Fujii,

T. Okuda, E. Bruyer, A. Gyenis, B. E. Feldman,

16.

S. Nandy and I. Sodemann, Phys. Rev. B 100, 195117

J. Tao, R. Ciancio, G. Rossi, M. N. Ali, S. Picozzi,

(2019).

A. Yadzani, G. Panaccione, and R. J. Cava, Nature

Comm. 7, 10847 (2016).

17.

H. Wang and X. Qian, npj Comput. Mater. 55, 1

(2019).

3. B. Feng, Y.-H. Chan, Y. Feng, R.-Y. Liu,

M.-Y. Chou, K. Kuroda, K. Yaji, A. Harasawa,

18.

B. T. Zhou, C.-P. Zhang, and K. T. Law, Phys. Rev.

App. 13, 024053 (2020).

P. Moras, A. Barinov, W. Malaeb, C. Bareille,

T. Kondo, S. Shin, F. Komori, T.-C. Chiang, Y. Shi,

19.

H. Rostami and V. Jurićić , Phys. Rev. Res.2, 013069

and I. Matsuda, Phys. Rev. B 94, 195134 (2016).

(2020).

4. B. Bradlyn, J. Cano, Z. Wang, M. G. Vergniory,

20.

D.-F. Shao, S.-H. Zhang, G. Gurung, W. Yang, and

C. Felser, R. J. Cava, and B. A. Bernevig, Science

E. Y. Tsymbal, Phys. Rev. Lett. 124, 067203 (2020).

353, aaf5037 (2016).

21.

S. Singh, J. Kim, K. M. Rabe, and D. Vanderbilt,

5. Peizhe Tang, Quan Zhou, and Shou-Cheng Zhang,

Phys. Rev. Lett. 125, 046402 (2020); https://doi.org/

Phys. Rev. Lett. 119, 206402 (2017).

10.1103/PhysRevLett.125.046402.

6. N. B. Schröter, D. Pei, M. G. Vergniory, Y. Sun,

22.

M. W.-Y. Tu, C. Li, H. Yu, and W. Yao, 2D Mater.

K. Manna, F. de Juan, J. A. Krieger, V. Süss,

(2020); https://doi.org/10.1088/2053-1583/ab89e8.

M. Schmidt, P. Dudin, B. Bradlyn, T. K. Kim,

Th. Schmitt, C. Cacho, C. Felser, V. N. Strocov, and

23.

Z. Z. Du, C. M. Wang, Hai-Peng Sun, Hai-Zhou Lu,

Y. Chen, Nature Phys. 15, 759 (2019).

and X. C. Xie, arXiv:2004.09742 (2020).

933

В. Д. Есин, А. В. Тимонина, Н. Н. Колесников, Э. В. Девятов

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

24.

Q. Ma, S.-Y. Xu, H. Shen, D. MacNeill, V. Fatemi,

38.

D. S. Wu, Z. Y. Mi, Y. J. Li, W. Wu, P. L. Li,

T.-R. Chang et al., Nature 565, 337 (2019).

Y. T. Song, G. T. Liu, G. Li, and J. L. Luo, Chinese

Phys. Lett. 36, 077102 (2019).

25.

K. Kang, T. Li, E. Sohn, J. Shan, and K. F. Mak,

Nature Mater. 18, 324 (2019).

39.

O. O. Shvetsov, A. Kononov, A. V. Timonina,

N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov, JETP

26.

O. O. Shvetsov, V. D. Esin, A. V. Timonina,

Lett.

107,

774

(2018); https://doi.org/10.1134/

N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov, JETP

S0021364018120020.

Lett.

109,

715

(2019); https://doi.org/10.1134/

S0021364019110018.

40.

O. O. Shvetsov, A. Kononov, A. V. Timonina,

27.

A. Tiwari, F. Chen, Sh. Zhong, E. Drueke, J. Koo,

N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov, Eur. Phys.

A. Kaczmarek, C. Xiao, J. Gao, X. Luo, Q. Niu,

Lett. 124,

47003

(2018); https://doi.org/10.1209/

Y. Sun, B. Yan, L. Zhao, and A. W. Tsen, Nat.

0295-5075/124/47003.

Commun. 12, 2049 (2021); https://doi.org/10.1038/

s41467-021-22343-5.

41.

A. Kononov, O. O. Shvetsov, S. V. Egorov, A. V. Ti-

monina, N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov,

28.

Pan He, S. S.-L. Zhang, Dapeng Zhu, Shuyuan Shi,

Eur. Phys. Lett. 122, 27004 (2018); https://doi.org/

O. G. Heinonen, G. Vignale, and Hyunsoo Yang,

10.1209/0295-5075/122/27004.

Phys. Rev. Lett. 123, 016801 (2019).

42.

C. Fu, Th. Scaffidi, J. Waissman, Y. Sun, R. Saha,

29.

N. Kumar, S. N. Guin, C. Felser, and C. Shekhar,

S. J. Watzman, A. K. Srivastava, G. Li, W. Schnelle,

Phys. Rev. B 98, 041103 (2018).

P. Werner, M. E. Kamminga, S. Sachdev, S. S. P. Par-

30.

F. C. Chen, X. Luo, J. Yan, Y. Sun, H. Y. Lv,

kin, S. A. Hartnoll, C. Felser, and J. Gooth, arXiv:

W. J. Lu, C. Y. Xi, P. Tong, Z. G. Sheng, X. B. Zhu,

1802.09468.

W. H. Song, and Y. P. Sun, Phys. Rev. B 98, 041114

(2018).

43.

Tong Zhou, Cheng Zhang, Huisheng Zhang, Faxian

Xiu, and Zhongqin Yang, Inorg. Chem. Front. 3, 1637

31.

D. D. Liang, Y. J. Wang, W. L. Zhen, J. Yang,

(2016).

S. R. Weng, X. Yan, Y. Y. Han, W. Tong, W. K. Zhu,

L. Pi, and C. J. Zhang, AIP Adv. 9, 055015 (2019).

44.

R. Lundgren, P. Laurell, and G. A. Fiete, Phys.

Rev. B 90, 165115 (2014); https://doi.org/10.1103/

32.

P. Li, C. Zhang, Y. Wen, L. Cheng, G. Nichols,

PhysRevB.90.165115.

D. G. Cory, G.-X. Miao, and X.-X. Zhang, Phys. Rev.

B 100, 205128 (2019).

45.

K. Das and A. Agarwal, Phys. Rev. B 100, 085406

33.

A. A. Burkov, Phys. Rev. B 96, 041110 (2017).

(2019);

https://doi.org/10.1103/PhysRevB.100.

085406.

34.

S. Nandy, G. Sharma, A. Taraphder, and S. Tewari,

Phys. Rev. Lett. 119, 176804 (2017).

46.

N. Nagaosa, J. Sinova, S. Onoda, A. H. MacDonald,

and N. P. Ong, Revi. Mod. Phys. 82, 1539 (2010).

35.

D. Ma, H. Jiang, H. Liu, and X. C. Xie, Phys. Rev.

B 99, 115121 (2019).

47.

Hiroki Isobe, Su-Yang Xu, and Liang Fu, Sci. Adv.

36.

O. O. Shvetsov, V. D. Esin, Yu. S. Barash, A. V. Ti-

6, eaay2497 (2020); https://doi.org/10.1126/sciadv.

monina, N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov, Phys.

aay2497.

Rev. B 101 , 035304 (2020); https://doi.org/10.1103/

48.

A. A. Zyuzin and A. Yu. Zyuzin, Phys. Rev. B 95,

PhysRevB.101.035304.

085127 (2017); https://doi.org/10.1103/PhysRevB.

37.

O. O. Shvetsov, V. D. Esin, A. V. Timonina,

95.085127.

N. N. Kolesnikov, and E. V. Deviatov, Phys.

Rev. B 99, 125305 (2019); https://doi.org/10.1103/

49.

Rui-Hao Li, O. G. Heinonen, A. A. Burkov, and

PhysRevB.99.125305.

S. S.-L. Zhang, Phys. Rev. B 103, 045105 (2021).

934