ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 922-927

ПРЕДКРИТИЧЕСКАЯ ТЕРМОАКУСТИКА В ГЕЛИИ

К. О. Кешишев, В. И. Марченко^*, Е. Р. Подоляк

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

117334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 10 сентября 2021 г.,

после переработки 10 сентября 2021 г.

Принята к публикации 10 сентября 2021 г.

Исследована эволюция основной моды акустических колебаний в резонаторе, заполненном газообраз-

ным гелием, при погружении его в транспортный дьюар. Обнаружено критическое поведение параметра

затухания при приближении к уровню, ниже которого возникает термоакустическая неустойчивость.

DOI: 10.31857/S0044451021120142

да будет реализоваться другое решение, в общем

случае — нестационарное.

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно лишь одно точное решение задачи о

В различных установках, где существует значи-

потере устойчивости ламинарного течения в щели

тельный перепад температуры в газе, при соответ-

[13]. Во всех остальных случаях, как в турбулентнос-

ствующей геометрии может возникать термоакусти-

ти, так и в термоакустике, граница устойчивости

ческая неустойчивость [1, 2], приводящая зачастую

стационарного состояния определяется лишь в том

к большим спонтанным колебаниям давления [3-5].

или ином приближении¹⁾. Обычно даже подлежа-

Обычно экспериментальные исследования тер-

щее исследованию на устойчивость состояние невоз-

моакустики сводятся к наблюдению самого фак-

можно представить как результат последовательно-

та наличия или отсутствия спонтанных колебаний

го решения уравнений гидродинамики. Единствен-

в тех или иных условиях [6-11]. Однако, согласно

ное исключение — задача о бенаровской конвекци-

существующим теоретическим представлениям об

онной неустойчивости неподвижной жидкости (см.

этой неустойчивости [12], имеется принципиальная

§57 в [14]).

возможность исследования особенности поведения

Согласно Ландау [15], общий сценарий возник-

устойчивого состояния системы при приближении к

новения неустойчивости стационарного состояния

точке возникновения колебаний.

жидкости сводится к следующему: любая мода ко-

Термоакустическая неустойчивость по сути ни-

лебаний плотности, скорости (и температуры) при

чем не отличается от турбулентной неустойчивости

сколь угодно малой амплитуде характеризуется за-

в гидродинамике. Действительно, ламинарное тече-

висимостью от времени вида exp(iωt - γt), при-

ние жидкости является решением уравнений гид-

чем параметр затухания γ у всех мод положите-

родинамики в конкретной заданной геометрии гра-

лен. Если при изменении внешних условий у ка-

ниц. Стационарное состояние какой-либо тепловой

кой-то из мод параметр γ уменьшается и меняет

или низкотемпературной установки также должно

знак, то возникает спонтанное колебание. При этом

являться решением уравнений теплопереноса и га-

возможны два случая развития неустойчивости —

зодинамики. В простейшей постановке задачи речь

мягкое самовозбуждение или жесткое самовозбуж-

может идти, например, о решении уравнения теп-

дение (supercritical and subcritical bifurcations). В

лопроводности в покоящемся газе. Стационарные

первом случае возникает колебание на частоте кри-

решения остаются формально верными при произ-

тической моды с амплитудой, нарастающей от нуля

вольных значениях потока массы J и потока тепло-

вой энергии Q. Они, однако, могут потерять устой-

¹⁾ Отметим, впрочем, что и решение в [13] получено при

существенных упрощениях — не учитывались обусловленные

чивость по мере изменения внешних условий, и тог-

вязкостью тепловые эффекты и градиент плотности, возни-

кающий из-за необходимого для обеспечения ламинарного те-

^* E-mail: mar@kapitza.ras.ru

чения перепада давления.

922

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Предкритическая термоакустика в гелии

по мере удаления от точки потери устойчивости. Во

втором случае колебание возникает скачком — сразу

с конечной амплитудой и на частоте, не обязательно

близкой к критической.

Такие переходы являются кинетическими ана-

логами фазовых переходов. Но здесь имеются су-

щественные отличия. В частности, поскольку сме-

на картины потоков происходит на задаваемых раз-

мерами установки макроскопических масштабах и

локально все процессы в обоих состояниях описы-

ваются одними и теми же уравнениями гидродина-

мики, то нет причин для роста термодинамических

флуктуаций в окрестности перехода. Поэтому, как

и полагал Ландау, вблизи точки потери устойчиво-

сти можно ожидать линейную зависимость частоты

критической моды²⁾ от меры близости к бифурка-

ции и линейное же стремление параметра затухания

к нулю.

В термоакустике теряющая устойчивость мода в

случае замкнутого сосуда принадлежит к дискрет-

ному спектру системы. Тогда возможно наблюдение

за поведением ее частоты и затухания при прибли-

Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 — гелиевый

жении к точке бифуркации со стороны стационарно-

объем СТГ-40; 2 — горловина; 3 — резиновая мембрана;

го состояния с помощью измерения резонанса. Это-

4 — термометрическая штанга; 5 — акустический резона-

му исследованию посвящена настоящая работа.

тор; 6 — датчик давления; 7 — микрофоны; 8 — динамик;

9 — дроссель

2. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА

перемещать вдоль вертикали без нарушения герме-

Измерения проводились в стандартном транс-

тичности гелиевого объема дьюара.

портном гелиевом сосуде СТГ-40. Принципиальная

Термометрическая штанга представляет собой

схема эксперимента представлена на рис. 1. Ос-

тонкостенную трубку из нержавеющей стали (диа-

новной гелиевый объем 1 (емкость 40 л) подвешен

метр 3 мм, толщина стенки 0.2 мм) с заглушенны-

на тонкостенной горловине 2 (трубка из нержавею-

ми верхним и нижним концами, в которой с шагом

щей стали, диаметр 25 мм, толщина стенки 0.3 мм,

100 мм прорезаны пять овальных отверстий. Внутри

длина 400 мм). Нижний конец горловины распо-

трубки смонтированы подводящие провода и строго

ложен на высоте h = 390 мм. Здесь и далее высо-

напротив отверстий — термометры.

та h отсчитывается от дна основного объема. Меж-

U-образный резонатор изготовлен из тонкостен-

ду верхним и нижним ее концами стрелкой отмече-

ной нержавеющей трубки (диаметр 4 мм, толщина

но место теплового контакта горловины с азотным

стенки 0.3 мм, длина 1.3 м). На концах резонатора,

экраном, h = 625 мм. Испаряющийся гелий посту-

находящихся вне гелиевого объема, смонтированы

пает в централизованную сеть и далее в газголь-

датчик давления 6, микрофоны 7 и динамик 8.

дер, давление в котором автоматически поддержи-

При изменении глубины погружения замкнуто-

вается на уровне, превышающем атмосферное дав-

го резонатора в нем, очевидным образом, изменяет-

ление на 19 мбар. Верхний торец горловины герме-

ся давление. Для проведения измерений при строго

тично уплотнен эластичной резиновой мембраной 3.

постоянном давлении в схеме (см. рис. 1) предусмот-

Сквозь отверстия в мембране с небольшим натягом

рен дроссель 9, обеспечивающий выравнивание пе-

пропущены термометрическая штанга 4 и U-образ-

репада давлений между резонатором и дьюаром с

ный акустический резонатор 5. Благодаря упругос-

характерным временем порядка 100 с. В то же вре-

ти резины штангу и резонатор можно независимо

мя при всех наблюдаемых частотах резонатор ока-

²⁾ При возникновении конвекции частота не меняется и

зывается акустически изолированным от основного

остается равной нулю [16].

объема гелия.

923

11*

К. О. Кешишев, В. И. Марченко, Е. Р. Подоляк

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 2. Градуировка платиновых датчиков

3. ТЕРМОМЕТРИЯ

При измерении температуры использовались ми-

Рис. 3. Распределение температуры в дьюаре

ниатюрные платиновые термометры Heraeus 420 с

номинальным сопротивлением 1000 Ом при темпе-

ратуре T

= 0^◦C. Производителем предусмотрен

На рис. 3 представлена зависимость T(h), харак-

стандартный диапазон 77-423 K, для которого из-

теризующая распределение температуры в горло-

вестны зависимость сопротивления R от темпера-

вине дьюара. Напомним, что ее нижний конец на-

туры T и другие параметры датчиков. Чтобы ис-

ходится на отметке h = 390 мм. Измерения прово-

пользовать такие термометры при значительно бо-

дились с помощью рассмотренных выше платино-

лее низких температурах, были измерены зависи-

вых термометров, смонтированных на штанге. В хо-

мости R(T ) для всех пяти датчиков в интервале

де измерений штанга поэтапно с шагом 10 мм погру-

4.2 K < T < 300 K; при этом в качестве репера ис-

жалась в горловину. После очередного погружения

пользовался калиброванный термометр сопротивле-

температура устанавливалась за время около 5 мин,

ния Cernox CX-1010-SD-0.1L. Эти результаты пред-

и далее регистрировались показания всех пяти тер-

ставлены на рис. 2. На верхней вставке для примера

мометров. Таким образом, многие из точек на рис. 3

продемонстрировано поведение одного из пяти дат-

являются результатом измерения температуры по-

чиков в интервале 4.2-8 K. Очевидно, что опреде-

очередно несколькими термометрами.

ляющий вклад в зависимость R(T ) в этой области

вносит величина остаточного сопротивления. Значе-

ния R_i(4.2 K) находятся в диапазоне 11.75-12.19 Ом.

4. АКУСТИЧЕСКАЯ АППАРАТУРА

Здесь же (рис. 2) на нижней вставке показана тем-

пературная зависимость чувствительности dR/dT

Для акустических измерений использовался

платиновых термометров. По сравнению с высоко-

U-образный резонатор на основной моде — полови-

температурной областью при температуре 4.2 K чув-

на длины волны. В ходе экспериментов измерялось

ствительность падает в 250 раз. Тем не менее да-

статическое давление с помощью тензометрическо-

же в этом случае при достаточной точности измере-

го датчика абсолютного давления МИДА-ДА-13П

ния сопротивления (ΔR/R ∼ 10-4) можно фиксиро-

с диапазоном 0-1.6 бар. Чувствительность датчика

вать изменение температуры с погрешностью при-

(3.1

В/бар) оказалась достаточной для наблюде-

мерно 1 K.

ния акустических колебаний большой амплитуды.

924

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Предкритическая термоакустика в гелии

При изучении колебаний с малой амплитудой

и четырех термометров. Далее, между 9-й и 32-й ми-

(p < 0.4 мбар) использовались два электретных

нутами, проведена запись резонансной кривой.

микрофона Panasonic WM-52 с чувствительностью

На 34-й минуте, при выключенном генераторе,

примерно 0.6 В/мбар. Наличие двух микрофонов

резонатор был опущен на глубину 398 мм. По срав-

позволяло контролировать разность фаз сигналов

нению со всеми предыдущими измерениями резо-

на двух концах резонатора. Для возбуждения

нансов здесь наблюдается существенное отличие,

вынужденных колебаний в схеме резонатора преду-

обусловленное, очевидно, предельной близостью си-

смотрен динамик диаметром 16 мм.

стемы к критической точке. Как и ранее, возника-

ют возмущение и релаксация термометров, и одно-

временно (чего не было раньше) происходит всплеск

спонтанных колебаний на частоте около 80 Гц про-

5. НАБЛЮДЕНИЕ РЕЗОНАНСОВ

должительностью около минуты.

После релаксации системы и включения генера-

Одна из целей эксперимента заключалась в на-

блюдении эволюции основной моды колебаний с по-

тора, начиная с 42-й минуты, измерялся последний

резонанс. На 56-й минуте, после прохождения мак-

нижением температуры. При исследовании резонан-

сов термометрическая штанга находилась в неиз-

симума резонансной кривой A(f) и переключения

генератора на следующую частоту 81.5 Гц, эта час-

менном положении и температура непрерывно кон-

тота была зафиксирована, и далее отслеживалось

тролировалась в пяти точках, отмеченных квадра-

поведение системы в режиме вынужденных колеба-

тами на рис. 3. После того как возмущение темпера-

ний при слабом дрейфе температуры.

турного поля, вызванное очередным опусканием ре-

На 64-й минуте система потеряла устойчивость и

зонатора, релаксировало, проводилось измерение³⁾

возникли спонтанные колебания. Измеряемая часто-

амплитуды A вынужденных колебаний давления в

зависимости от частоты f генератора, возбуждаю-

та оторвалась от частоты генератора и понизилась

до величины f = 80, 2 Гц, а амплитуда выросла в

щего динамик. Одновременно частота измерялась

частотомером на выходе микрофона. При этом, как

5 раз⁴⁾. Одновременно произошли кратковременные

изменения в показаниях датчиков давления и темпе-

и следовало ожидать, показания частотомера совпа-

ратуры. Спустя приблизительно 10 минут генератор

дали с частотой генератора. Кроме того, непрерыв-

был выключен, что никак не сказалось на поведении

но контролировалось статическое давление p внут-

системы, которая оставалась в режиме автоколеба-

ри резонатора. Таким образом, представленные ни-

ний. Вплоть до окончания эксперимента наблюдал-

же данные являются результатом последовательно-

ся лишь слабый немонотонный дрейф температуры,

го циклического опроса восьми датчиков. Время од-

амплитуды и частоты колебаний.

ного цикла (примерно 17 с) обусловлено компромис-

На рис. 5 представлены пять резонансных кри-

сом между точностью измерений и быстродействием

измерительной схемы.

вых A(f), ближайших к точке потери устойчивости

стационарного состояния. Экспериментальные точ-

По изложенному сценарию, начиная с высоты

ки аппроксимируются формулой, естественной для

h = 507 мм (положение резонатора определяем по

уединенной слабозатухающей моды гармонических

координате его нижней точки), за время около вось-

колебаний любой механической системы (см. § 26

ми часов были получены 9 резонансных кривых

в [17]),

A(f) на девяти высотах. На рис. 4 представлены

A_r

хронологические зависимости h(t), f(t), A(t), p(t) и

√

(1)

(2π(f - f_r)τ)² + 1

показания четырех термометров T₁(t), . . . , T₄(t) (см.

рис. 1) в течение последних 100 минут эксперимента.

со следующими тремя параметрами: A_r — макси-

Данные нижнего термометра T₅ не приведены, по-

мальная амплитуда вынужденных колебаний, про-

скольку с точностью до измерительных шумов его

порциональная амплитуде возбуждения; f_r — резо-

температура оставалась постоянной и равной 4.2 К.

нансная частота; τ = 1/γ — время затухания.

На второй минуте в очередной раз резонатор был

На рис. 6 представлены зависимости парамет-

опущен с высоты 405 мм до 400 мм. Одновременно

ров формулы резонансной кривой (1) от координа-

зафиксированы возмущение и релаксация давления

⁴⁾ Такое поведение указывает на то, что бифуркация про-

исходит по жесткому (но близкому к мягкому) режиму само-

³⁾ Предварительно контролировалась линейность колеба-

возбуждения. Для окончательного вывода, очевидно, необхо-

ний при изменении амплитуды возбуждения. При этом раз-

димо проведение наблюдений за динамикой развития бифур-

ность фаз на концах резонатора составляла 180^◦.

кации с лучшим временным разрешением.

925

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Предкритическая термоакустика в гелии

ты h резонатора. Амплитуда растет по закону A_r ∝

∝ (h - h_c)-1, где h_c = 397.5 мм, а частота f_r и пара-

метр затухания γ демонстрируют линейное поведе-

ние.

Таким образом, на примере термоакустики

сценарий Ландау потери устойчивости в гидроди-

намике находит экспериментальное подтверждение.

Благодарности. Благодарим А. Ф. Андреева,

С. Т. Болдарева, Е. А. Бренера, И. К. Буткевича,

Р. Б. Гусева, В. В. Дмитриева, Л. А. Мельниковско-

го, В. В. Сиренева, А. И. Смирнова и И. Н. Хлюсти-

кова за полезные обсуждения, помощь и советы.

ЛИТЕРАТУРА

C. Sondhauss, Ann. der Phys. Chem. 79, 1 (1850).

W. H. Keesom, Helium, Elsevier, Amsterdam (1942),

p. 174.

Рис. 5. Ближайшие к критической точке резонансные кри-

C. J. Lawn and G. Peneelet, Int. J. Spray Combust.

вые

Dyn. 10, 3 (2018).

N. Dittmar, S. Kloeppel, Ch. Haberstroh et al., Phys.

Proc. 67, 348 (2015).

W. Stautner, R. Chen, M. Xu et al., IOP Conf. Ser.:

Mater. Sci. Eng. 101, 012038 (2015).

J. R. Clement and J. Gaffney, Adv. Cryog. Eng. 1,

302 (1954).

J. Gaffney and J. R. Clement, Rev. Sci. Instr. 26, 620

(1955).

T. von Hoffmann, U. Lienert, and H. Quack, Cryo-

genics 13, 400 (1973).

T. Yazaki, A. Tominaga, and Y. Narahara, Cryoge-

nics 19, 393 (1979).

10.

T. Yazaki, A. Tominaga, and Y. Narahara, J. Low

Temp. Phys. 41, 45 (1980).

11.

Y. Gu and K. D. Timmerhaus, Adv. Cryog. Eng. 39,

1733 (1994).

12.

N. Rott, Adv. Appl. Mech. 20, 135 (1980).

13.

C. C. Lin, The Theory of Hydrodynamic Stability,

Cambrige Univ. Press (1955).

14.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

Наука, Москва (1986).

15.

Л. Д. Ландау, ДАН 44, 339 (1944).

16.

Л. П. Горьков, ЖЭТФ 33, 402 (1957).

Рис. 6. Поведение параметров резонансных кривых вблизи

точки бифуркации

17.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Наука,

Москва (1973).

927