ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 912-921

ПУЗЫРИ С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ КВАНТОВЫМИ ВИХРЯМИ

В ЗАХВАЧЕННЫХ БИНАРНЫХ БОЗЕ-КОНДЕНСАТАХ

В. П. Рубан^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 4 августа 2021 г.,

после переработки 4 августа 2021 г.

Принята к публикации 4 августа 2021 г.

Специфические топологические возбуждения энергетически устойчивых конфигураций типа

«яд-

ро»-«мантия» для двухкомпонентных несмешивающихся бозе-конденсатов, захваченных ловушкой, ис-

следуются численно в рамках связанных уравнений Гросса - Питаевского. В численном моделирова-

нии впервые наблюдаются нестационарные долгоживущие когерентные структуры, которые состоят из

нескольких квантованных вихревых нитей, пронизывающих мантию снаружи вовнутрь и обратно, и при

этом демонстрируют весьма нетривиальную динамику. Концы вихревых нитей способны надолго оста-

ваться присоединенными к границе раздела между мантией и ядром, если последнее достаточно велико,

а поверхностное натяжение не мало. Форма таких «пузырей» подвержена сильному влиянию вихрей и

иногда далека от сферической.

DOI: 10.31857/S0044451021120130

стояния бинарных несмешивающихся конденсатов

в ловушках [14-16] (включая оптические решетки

1. ВВЕДЕНИЕ

[17-19]), динамика пузырей [20], квантовые анало-

ги классических гидродинамических неустойчиво-

Многокомпонентные смеси ультрахолодных бо-

стей (Кельвина - Гельмгольца [21, 22], Рэлея - Тей-

зе-конденсированных атомных газов активно изуча-

лора [23-25], Плато - Рэлея [26], параметрическая

ются вот уже на протяжении четверти века [1-5].

неустойчивость капиллярных волн на границе раз-

Такие системы состоят либо из разных химических

дела [27, 28]), сложные текстуры во вращающихся

элементов, либо из разных изотопов одного и то-

бинарных конденсатах [29-31], вихри с заполненны-

го же элемента, либо из одного изотопа в различ-

ми сердцевинами [3, 32-37], трехмерные топологи-

ных внутренних (сверхтонких) квантовых состояни-

ческие структуры [38-42], капиллярная плавучесть

ях. Взаимодействия между различными видами ато-

плотных капель в захваченных несмешивающихся

мов приводят к богатому разнообразию уникальных

бозе-конденсатах [43] и т. д.

эффектов, которые не существуют для однокомпо-

нентного бозе-конденсата. Что очень важно, пара-

Квантовые вихри давно признаны объектами

метры нелинейных взаимодействий для волн мате-

первостепенного интереса и важности среди осталь-

рии, будучи пропорциональными длинам рассеяния,

ных когерентных структур. Уже для однокомпо-

могут во многих случаях произвольно настраивать-

нентных конденсатов было получено множество вы-

ся путем привлечения резонансов Фешбаха [6-10].

разительных результатов о вихревых конфигураци-

В частности, при достаточно сильном перекрестном

ях и их динамике (см., например, [44-55] и ссыл-

отталкивании между двумя компонентами проис-

ки там). Что касается вихрей в многокомпонентных

ходит разделение фаз [11, 12]. Оно лежит в осно-

конденсатах, данная научная область даже еще бо-

ве многих весьма интересных конфигураций и яв-

лее велика и содержит обширные неизведанные тер-

лений, таких как доменные стенки и поверхност-

ритории. Многие интересные находки все еще воз-

ное натяжение между сегрегированными конденса-

можны там для исследователя. В данной работе как

тами [4,13], нетривиальная геометрия основного со-

раз представлен новый вид довольно изящных дол-

гоживущих структур, составленных из пузырей и

^* E-mail: ruban@itp.ac.ru

вихрей и демонстрирующих нетривиальную дина-

912

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Пузыри с присоединенными квантовыми вихрями.. .

мику. Чтобы объяснить, что они собой представля-

Насколько известно автору, такие трехмерные

ют в общих чертах, следует вспомнить, что в двух-

комплексы в захваченных несмешивающихся бо-

компонентных несмешивающихся конденсатах воз-

зе-конденсатах до сих пор не обсуждались в ли-

можны доменные стенки с присоединенными к ним

тературе. Однако известны их отдаленные анало-

квантовыми вихрями [41]. По сути, это сильно де-

ги, такие как квантовые вихри в коре нейтронных

формированные вихревые листы особой формы. Ав-

звезд (см., например, обзор [56]), или топологичес-

торы работы [41] исследовали подобные комплек-

кие структуры³He-⁴He, предложенные в работе [57]

сы в случае равных коэффициентов самоотталки-

(капелька⁴He, погруженная в жидкость³He). Цель

вания. Численные решения были там получены для

данной работы — ввести в рассмотрение пузыри с

бинарных конденсатов в продолговатых ловушках,

присоединенными квантовыми вихрями теоретиче-

где равновесная граница раздела между компонен-

ски в контексте ультрахолодных газов и проиллю-

тами представляла собой диск с краем на поверхнос-

стрировать на нескольких представительных чис-

ти Томаса - Ферми. Квантовые вихри присутствова-

ленных примерах их основные свойства. Научная

ли в обеих компонентах и были направлены пример-

значимость этих новых структур обусловлена их

но вдоль оси ловушки.

теоретическим существованием (и, хочется надеять-

Здесь будет показано, что существенно новое и

ся, экспериментальной реализуемостью) в широких

интересное свойство возникает в случае, когда име-

и реалистических диапазонах параметров, а также

ется неравенство (асимметрия) между коэффици-

их достаточно нетривиальной динамикой.

ентами. В приблизительно сферической гармониче-

ской ловушке это приводит к образованию устойчи-

2. МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

вой и компактной фоновой равновесной конфигура-

ци типа «ядро»-«мантия». Присутствие устойчиво

Основная математическая модель в нашем иссле-

захваченного безвихревого ядра в центре, в сочета-

довании — хорошо известные и широко применяе-

нии с поверхностным натяжением между компонен-

мые связанные уравнения Гросса - Питаевского для

тами, стремится стабилизировать возможные вихре-

двух комплексных волновых функций, A(r, t) (пер-

вые нити, присоединенные к подобному пузырю сна-

вая компонента — мантия) и B(r, t) (вторая компо-

ружи и пронизывающие мантию (см. ниже рис. 1 в

нента — ядро). Эта консервативная модель примени-

качестве примера). Конечно же, число (выходящих)

ма в пределе нулевой температуры для достаточно

вихрей всегда равно числу (входящих) антивихрей.

разреженных бозе-газов. Для простоты здесь рас-

Плотность внешней компоненты при этом настолько

сматриваются равные массы m₁ = m₂ = m атомов

пренебрежимо мала внутри ядра, что практически

обоих видов (либо близкие по массе изотопы, как,

не имеет значения, какой из вихрей является про-

например,⁸⁵Rb и⁸⁷Rb, и тогда небольшой разни-

должением данного антивихря. Лишь суммарный

цей в массах можно пренебречь [8]). Пусть осесим-

баланс обычно существенен. Каждый вихрь или ан-

метричная ловушка с гармоническим потенциалом

тивихрь типично сохраняет свою индивидуальность

характеризуется поперечной частотой ω_⊥ и анизо-

и направлен приблизительно вдоль локального ра-

тропией λ = ω_∥/ω_⊥. С использованием характерных

диуса. Благодаря взаимодействиям вихри находятся

для ловушки единиц времени τ = 1/ω_⊥, длины l_tr =

√

в поперечном движении, простом или сложном. Но

ℏ/ω_⊥m и энергии ε = ℏω_⊥ уравнения движения

иногда два присоединенных вихря (один входящий

записываются в безразмерном виде:

и один выходящий) могут динамически спариться,

[

]

затем оторваться от пузыря и, наконец, образовать

iA˙ =-¹∇2A+

V (x, y, z)+g₁₁|A|²+g₁₂|B|²

(1)

отдельную вихревую нить. Однако при таком сцена-

[

]

рии вихревая пара должна преодолеть «потенциаль-

iB˙ =-

∇²B+

V (x, y, z)+g₂₁|A|²+g₂₂|B|²

(2)

ный барьер», обусловленный поверхностным натя-

жением. Для относительно больших пузырей и ма-

где V = (x2 + y2 + λ2z2)/2 — потенциал ловушки,

лого числа вихрей такие процессы случаются весь-

а g_αβ — симметричная 2 × 2-матрица нелинейных

ма редко. Поэтому структуры данного типа способ-

взаимодействий. Физически взаимодействия опреде-

ны существовать на протяжении тысяч временных

ляются длинами рассеяния a_αβ [2]:

единиц ловушки, как показывают наши численные

g^physαβ = 2πℏ²a_αβ(m-1α + m-1β).

(3)

эксперименты. Мы также увидим далее, что дина-

мика становится все более сложной при увеличении

Нас интересует случай всех положительных g_αβ. Без

числа присоединенных вихрей.

потери общности первый коэффициент самооттал-

913

В. П. Рубан

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

кивания может быть нормирован на единицу, g₁₁ =

этим слоем поверхностное натяжение, грубо пропор-

= 1, поскольку в данной работе величины g_αβ рас-

циональное величине

√g [11,13]. Проведенные здесь

сматриваются как постоянные во времени парамет-

численные эксперименты были ориентированы на

ры. При таком выборе сохраняющиеся числа захва-

экспериментально реализуемые смеси⁸⁵Rb-⁸⁷Rb [8],

ченных атомов даются формулами

где a₁₂/a₂₂ ≈ 2, тогда как величина a₁₁ может зада-

∫

ваться достаточно произвольно с помощью резонан-

l_tr

N₁ =

|A|²dr =

n₁,

(4)

са Фешбаха. Поэтому во всех наших прогонах (runs)

4πa₁₁

a₁₁

∫

g₁₂ = 2g₂₂. С другой стороны, оптимальное значе-

l_tr

N₂ =

|B|²dr =

n₂.

(5)

ние отношения g₂₂/g₁₁ должно обеспечивать боль-

4πa₁₁

a₁₁

шое поверхностное натяжение и одновременно быть

В реальных экспериментах отношение l_tr/a₁₁ нахо-

не близким к единице для надежной устойчивости

дится в диапазоне примерно от нескольких сотен до

ядра в потенциале ловушки. В этой работе мы по-

нескольких тысяч.

лагали обычно g₂₂ = 0.5 либо g₂₂ = 0.6, но в неко-

Хорошо известно, что система (1), (2) в режи-

торых прогонах, с целью сравнения, брали g₂₂ = 0.3

ме разделения фаз подобна потенциальным тече-

или g₂₂ = 0.8.

ниям в классической гидродинамике двух несмеши-

Связанные уравнения Гросса - Питаевского (1),

вающихся сжимаемых жидкостей, за исключением

(2) решались численно с использованием стандарт-

окрестности доменных стенок и сердцевин вихрей,

ного метода Фурье с расщепленным шагом по време-

где «квантовые давления» вступают в игру. Гидро-

ни второго порядка точности. Пространственное и

динамические давления первой и второй «жидкос-

временное разрешения были достаточными для со-

тей» волн материи есть соответственно g₁₁|A|⁴/2 и

хранения соответствующего функционала Гамиль-

g₂₂|B|⁴/2, причем по обе стороны от границы разде-

тона и чисел частиц n₁ и n₂ до пятого десятично-

ла они приблизительно равны (разница, вызванная

го знака на протяжении интервала времени T_run =

поверхностным натяжением и медленными течени-

= 2000.

ями, относительно невелика). При равных давлени-

Начальные состояния, содержащие лишь мягкие

ях более плотной оказывается та компонента, у ко-

возбуждения, были приготовлены с применением

торой коэффициент самоотталкивания меньше. По-

процедуры градиентного спуска, что в данном слу-

этому, чтобы обеспечить относительно более плот-

чае эквивалентно распространению в мнимом вре-

ное устойчивое ядро, необходимо выполнение нера-

мени (imaginary-time propagation) на некотором от-

венства g₂₂ < g₁₁ = 1.

резке вспомогательной квазивременной переменной.

Равновесные состояния, как известно, характе-

На вход этой диссипативной процедуры подавалась

ризуются двумя химическими потенциалами, μ₁ и

«затравочная» конфигурация первой компоненты в

μ₂. В рассматриваемых нами условиях μ₁ ≫ 1 и

виде A_inp =

A₀(r)C₀(r) с действительной величиной

μ₂ ≫ 1, так что фоновые профили плотности да-

A₀(r). Несколько вихревых нитей вводились путем

ются приближением Томаса - Ферми:

использования комплексного множителя

∏

|A₀|² ≈ [μ₁ - V (x, y, z)] ≡ μ₁ρ1eq(r),

(6)

w_j

C₀(r) =

√

(8)

|B₀|² ≈ [μ₂ - V (x, y, z)]/g₂₂ ≡ μ₁ρ2eq(r),

(7)

|w_j |² + ϵ

где мы ввели нормированные плотности ρ₁

где явный вид w_j (r) зависел от желаемой «входной»

= |A|²/μ₁ и ρ₂ = |B|²/μ₁. Первая формула верна

формы нити. В частности, ориентированная близко

внутри мантии, а вторая — внутри ядра. Эффектив-

к z-направлению нить вводилась выражением вида

ный поперечный размер конденсата, таким образом,

есть R_⊥ =

^√2μ₁, тогда как для характерной толщи-

w_j = [x - X_j(z)] ± i[y - Y_j(z)]

(9)

ны вихревых линий в мантии справедлива оценка

ξ ∼ 1/√μ1.

с относительно малыми произвольными функциями

Предполагается выполненным условие

X_j(z) и Y_j(z). Соответственно, переменная x либо y

параметризовала вихревые нити, ориентированные

g = (g²¹² - g₁₁g₂₂) > 0

близко к направлению соответственно x либо y. Ма-

разделения фаз [11, 12]. Важно, что имеются узкий

лая положительная величина ϵ применялась, чтобы

переходный слой между сегрегированными конден-

избежать нуля в знаменателях. Выбор знака «±»

сатами (его ширина примерно пропорциональна ве-

определял направление вращения j-го вихря. Каж-

личине 1/√g; он также виден на рис. 1) и связанное с

дая такая нить на выходе диссипативной процеду-

914

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Пузыри с присоединенными квантовыми вихрями.. .

Рис. 1. Численный пример долгоживущего захваченного конденсатного пузыря с одной парой присоединенных вихревых

нитей. Показаны отнормированные плотности обеих компонент конденсата в сечении y = 0 (заметьте разницу в диапазо-

нах цветной шкалы): a — мантия; б — ядро. Переходный слой между облаками довольно резкий. Конфигурация медленно

вращается вокруг оси z, с наложенными колебаниями поверхности раздела, и показана в тот момент времени, когда оба

вихря лежат в плоскости y = 0. В этом численном эксперименте λ = 1.1, g11 = 1.0, g22 = 0.6, g12 = 1.2, n1 = 1521.8,

n2 = 175.8 и μ1 = 30

ры давала один вихрь и один антивихрь в указан-

Необходимо также сказать, что никакие корот-

ном ранее смысле. «Затравка» второй компоненты

комасштабные неустойчивости не наблюдались в на-

B_inp =

B₀(r) не содержала вихрей.

шем моделировании. Структуры никогда не распа-

дались при наличии малого возмущения. На данный

Данная диссипативная процедура «отфильтро-

факт можно смотреть как на косвенное свидетель-

вывала» быстрые потенциальные возбуждения и

ство их динамической устойчивости. Некоторые из

приводила систему близко к ее фоновой равновес-

полученных численных результатов представлены и

ной конфигурации (6), (7), включая специфический

обсуждаются в следующем разделе.

узкий профиль стенки между мантией и ядром. При

этом также формировались правильные поперечные

сечения вихрей в соответствии с фоновой плотнос-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

тью. Медленные же возбуждения — позиции вих-

рей — не успевали достичь минимума своей энергии

Простейший случай захваченного пузыря всего

за относительно короткое распространение в мни-

лишь с одной парой присоединенных вихревых ни-

мом времени, и этот факт обеспечивал последую-

тей представлен на рис. 1. Там ясно видно, что яд-

щую нетривиальную вихревую динамику на основ-

ро далеко не сферическое по форме, поскольку кон-

ной — консервативной — стадии численного экспе-

цы вихрей оттягивают поверхность раздела. В част-

римента. Выбирая различные значения для μ₁ и μ₂,

ности, граница ядра имеет резкие конические осо-

различные вихревые конфигурации X_j (z) и Y_j (z) на

бенности вблизи концов вихрей. В данном примере

входе диссипативной процедуры и различные пери-

начальная вихревая конфигурация была приблизи-

оды для распространения в мнимом времени, можно

тельно симметричной относительно экваториальной

получить различные значения для n₁ и n₂, а также

плоскости z = 0, так что движение представляет со-

различные начальные расположения присоединен-

бой медленное вращение вокруг оси z, сопровожда-

ных вихрей.

емое колебаниями пузыря из-за «несовершенства»

Анизотропия ловушки выбиралась близкой к

начальных условий (см. видео [58]). В другом про-

единице, типично λ = 1.1. Это делалось, чтобы на-

гоне, без экваториальной симметрии, движение бы-

рушить сферическую симметрию, но лишь слегка.

ло несколько менее монотонным, поскольку мгно-

915

В. П. Рубан

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 2. Долгоживущий нестационарный пузырь с двумя парами присоединенных вихрей. Цветная шкала соответствует

x-координате тех точек численной решетки, которые являются ближайшими к поверхности, определяемой уравнением

ρ1(r, t) = 0.5ρ1eq(r). Показаны только точки внутри области ρ1eq(r) > 0.2, и поэтому внешние концы нитей «отсечены».

В этом численном эксперименте структура не просто вращается вокруг зависящей от времени мгновенной оси (не сона-

правленной с осью z), но также подвержена медленным деформациям. В целом, это напоминает кувырки. Параметры:

λ = 1.1, g11 = 1.0, g22 = 0.6, g12 = 1.2, n1 = 1552.2, n2 = 117.9, μ1 = 30

венная ось вращения зависела от времени (не пока-

когда приблизительно стационарная конфигурация

зано).

вращается вокруг оси z аналогично предыдущему

примеру.

Поведение становится нетривиальным, начиная с

двух пар присоединенных вихрей. Пример показан

В проведенных вычислениях наблюдалось, что,

на рис. 2, где форма эффективной (внутренней) гра-

в зависимости от параметров и начальных условий,

ницы первой компоненты представлена для несколь-

три и более пары присоединенных вихрей демон-

ких моментов времени. В данном случае движе-

стрируют как регулярную динамику, так и весьма

ние напоминает какое-то гимнастическое представ-

драматичную и неустойчивую. Регулярная динами-

ление с кувырками либо вращающегося в воздухе

ка соответствует простейшему случаю, когда сим-

парашютиста-скайдайвера (см. видео [59]). Разуме-

метричный пучок из нескольких вихрей находится

ется, более «спокойные» режимы также возможны,

в примерно стационарном вращении вокруг оси z,

916

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Пузыри с присоединенными квантовыми вихрями.. .

Рис. 3. Регулярно вращающийся пузырь с тремя парами присоединенных вихрей. Параметры: λ = 1.1, g11 = 1.0, g22 = 0.8,

g12 = 1.6, n1 = 1503.3, n2 = 141.7, μ1 = 30. Изначально вихри были ориентированы примерно вдоль трех декартовых

осей. Мгновенная ось вращения медленно прецессирует вокруг z-направления

а также чуть более нетривиальному случаю, когда

И в самом деле, движения выглядят иногда весь-

вращение происходит вокруг прецессирующей мгно-

ма забавно (см. видео [61]). Пример последователь-

венной оси (см. рис. 3 и видео [60] как пример). Та-

ности изменений для пузыря с тремя парами при-

кие спокойные режимы характерны для достаточно

соединенных вихрей представлен на рис. 4 (взято

больших значений поверхностного натяжения, на-

из видео [61]). Данный численный эксперимент так-

пример при g₂₂ = 0.8. Напротив, при g₂₂ = 0.5, 0.6

же показывает, что требующиеся для возможности

пузырь-вихревые комплексы часто ведут себя нере-

рассматриваемого явления числа захваченных ато-

гулярно, так что взаимное расположение вихрей

мов могут быть относительно небольшими. Так, при

изменяется во времени сложным и, по-видимому,

реалистичной длине ловушки l_tr/a₁₁ ≈ 100 имеем

непредсказуемым образом. Используя опять срав-

N₁ ≈ 3.3 · 10⁴ и N₂ ≈ 1.5 · 10⁴.

нение с атлетическими упражнениями, можно ска-

Здесь надо снова сказать, что при неустойчивой

зать, что подобное представление мог бы дать лишь

динамике концы двух вихрей с противоположны-

какой-то фантастический, идеально гибкий клоун,

ми знаками часто приближаются друг к другу, и

обладающий более чем двумя парами конечностей.

в некоторых случаях они способны соединиться и

917

В. П. Рубан

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 4. Нестационарный пузырь с тремя парами присоединенных вихрей. Параметры: λ = 1.1, g11 = 1.0, g22 = 0.5,

g12 = 1.0, n1 = 332.5, n2 = 145.7, μ1 = 18. В этом примере динамика вихрей довольно быстрая и драматичная, тогда

как числа частиц относительно невелики

оторваться от пузыря, формируя таким образом от-

рей с потенциальными осцилляциями мантии могут

дельную нить (два примера отрыва имеются на ви-

оставаться все еще важными. В целом, эта ситуация

део [61, 62]). Весьма легко отрыв происходит в слу-

напоминает физику вихрей и антивихрей в обычных

чае слабого поверхностного натяжения (в частно-

бозе-конденсатах, имеющих форму тонкой оболочки

сти, когда g22 = 0.3). Если же поверхностное на-

[55]. Рисунок 4 соответствует промежуточному ре-

тяжение достаточно сильное, то подобное поведение

жиму между полностью трехмерным и эффективно

типично главным образом для систем с относитель-

двумерным режимами.

но малыми ядрами. Вихревые нити в мантии тогда

довольно энергонасыщенны и находятся в полно-

Из всех приведенных выше примеров становится

стью трехмерном режиме, и потому они имеют воз-

ясно, что динамика присоединенных вихрей может

можность быть наклоненными под большими угла-

быть приблизительно конечномерной в том смысле,

ми к локальной нормали пузыря, инициируя таким

что в нее эффективно вовлечено лишь конечное чис-

образом процесс отделения.

ло мягких степеней свободы. Очевидно, что движе-

Напротив, относительно большое тяжелое ядро

ние присоединенных вихрей сильно зависит от их

и тонкая мантия делают вихри короткими (а тече-

начального расположения. Численно нетрудно при-

ния первой компоненты — приблизительно двумер-

готовить практически любое начальное состояние.

ными на сфероиде) и направленными почти строго

Однако здесь необходимо подчеркнуть, что наша

перпендикулярно к равновесной поверхности пузы-

численная процедура инициализации не имеет ниче-

ря, и тогда их динамика качественно похожа на дви-

го общего с требуемой реальной экспериментальной

жение точечных вихрей на сфероидальной поверх-

процедурой приготовления пузырей с присоединен-

ности. Однако вопрос о количественной примени-

ными вихрями в бинарных конденсатах. Но в этом

мости этой аналогии требует дальнейшего тщатель-

месте можно вспомнить, что «вращающиеся» потен-

ного исследования, поскольку взаимодействия вих-

циалы ловушки

918

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Пузыри с присоединенными квантовыми вихрями.. .

Рис. 5. Пузырь с тремя парами присоединенных вихрей, сформированных вращающейся ловушкой, у которой угол по-

(√

)

ворота φ(t) = 0.08 · 2π

t² + 400² - 400

, а поперечная анизотропия ν(t) = 0.05t²/(t² + 400²). Остальные параметры:

λ = 1.0, g11 = 1.0, g22 = 0.6, g12 = 1.2, n1 = 894.7, n2 = 182.5, μ1 = 24. На этом рисунке внешние концы вихрей

«отсечены» условием ρ1eq (r) > 0.3

[

]

ментов (не проиллюстрированных здесь) показали

V (r, t) =

(x²+y²+λ²z²)+ν(t) Re

(x+iy)²e-2iφ(t)

действенность подобного сценария для приготовле-

как известно, «тянут» вихревые нити от периферии

ния конфигураций, подобных представленной выше

к оси конденсата. Здесь φ(t) — угол поворота ло-

на рис. 1, включая асимметрию относительно оси

вушки, а ν(t) — параметр ее анизотропии в плоскос-

z. Угловая скорость вращения ловушки — важный

ти xy. Предположим, что вначале мы имеем близ-

параметр в таких ситуациях. Если сделать враще-

кое к равновесному состояние с короткой вихревой

ние достаточно быстрым, то в результате сложно-

нитью вблизи внешней поверхности мантии. Когда

го и существенно неравновесного переходного про-

ловушка начинает вращаться, нить приближается

цесса к пузырю могут присоединиться две, три и

к ядру, присоединяется к нему и затем формиру-

большее число пар вихрей, ориентированных под

ет пару вихрь-антивихрь. Ядро остается безвихре-

не слишком большими углами к оси z (см. при-

вым в этом процессе. По меньшей мере несколько

мер на рис. 5). Таким образом, вращающаяся ло-

проведенных дополнительных численных экспери-

вушка представляется одним из возможных экспе-

919

В. П. Рубан

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

риментальных способов. Что до более общей задачи,

G. Modugno, M. Modugno, F. Riboli, G. Roati, and

как произвести в лаборатории пузырь с нескольки-

M. Inguscio, Phys. Rev. Lett. 89, 190404 (2002).

ми произвольно расположенными присоединенными

J. P. Burke, Jr., J. L. Bohn, B. D. Esry, and

вихрями, то тут требуется отдельное и глубокое ис-

C. H. Greene, Phys. Rev. Lett. 80, 2097 (1998).

следование, включающее усилия высококвалифици-

рованных экспериментаторов. Поэтому такая зада-

G. Thalhammer, G. Barontini, L. De Sarlo, J. Catani,

ча выходит за рамки данного чисто теоретического

F. Minardi, and M. Inguscio, Phys. Rev. Lett. 100,

рассмотрения.

210402 (2008).

S. B. Papp, J. M. Pino, and C. E. Wieman, Phys.

Rev. Lett. 101, 040402 (2008).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

S. Tojo, Y. Taguchi, Y. Masuyama, T. Hayashi,

Подведем итоги. В этой работе впервые тео-

H. Saito, and T. Hirano, Phys. Rev. A 82, 033609

ретически указана возможность специфических

(2010).

комплексов типа стенка-вихри в двухкомпонентном

бозе-конденсате, обусловленных его компактной,

10.

C. Chin, R. Grimm, P. Julienne, and E. Tiesinga,

устойчиво стратифицированной конфигурацией.

Rev. Mod. Phys. 82, 1225 (2010).

Эти комплексы представляют собой долгоживущие

11.

E. Timmermans, Phys. Rev. Lett. 81, 5718 (1998).

пузыри с присоединенными вихрями, существу-

ющие в широких параметрических диапазонах

12.

P. Ao and S. T. Chui, Phys. Rev. A 58, 4836 (1998).

и демонстрирующие в численных экспериментах

13.

B. Van Schaeybroeck, Phys. Rev. A 78, 023624

весьма интересное динамическое поведение. Нами

(2008).

наблюдались как регулярные, так и нерегулярные

режимы. Поскольку здесь налицо новый пример

14.

A. A. Svidzinsky and S. T. Chui, Phys. Rev. A 68,

богатой физики, содержащейся в относительно

013612 (2003).

простой (по крайней мере для численного ис-

следования) структуре, необходимы дальнейшие

15.

S. Gautam and D. Angom, J. Phys. B 43, 095302

(2010).

теоретические усилия в этом направлении, включая

развитие аналитических подходов.

16.

R. W. Pattinson, T. P. Billam, S. A. Gardiner,

Параметры наших симуляций вполне реалистич-

D. J. McCarron, H. W. Cho, S. L. Cornish, N. G. Par-

ны, так что будущее экспериментальное воплоще-

ker, and N. P. Proukakis, Phys. Rev. A 87, 013625

ние таких систем представляется вполне возмож-

(2013).

ным. Трудностью для экспериментаторов, возмож-

17.

K. Suthar, Arko Roy, and D. Angom, Phys. Rev.

но, окажется приготовить бинарный конденсат без

A 91, 043615 (2015).

мелких капель и разбиения на множество областей,

а только лишь с одним ядром в центре. После этого

18.

K. Suthar and D. Angom, Phys. Rev. A 93, 063608

нужно будет внедрить в оболочку несколько вихрей.

(2016).

Возможная методика для этого — вращающаяся ло-

вушка.

19.

K. Suthar and D. Angom, Phys. Rev. A 95, 043602

(2017).

20.

K. Sasaki, N. Suzuki, and H. Saito, Phys. Rev. A 83,

ЛИТЕРАТУРА

033602 (2011).

1. Tin-Lun Ho and V. B. Shenoy, Phys. Rev. Lett. 77,

21.

H. Takeuchi, N. Suzuki, K. Kasamatsu, H. Saito, and

3276 (1996).

M. Tsubota, Phys. Rev. B 81, 094517 (2010).

2. H. Pu and N. P. Bigelow, Phys. Rev. Lett. 80, 1130

22.

N. Suzuki, H. Takeuchi, K. Kasamatsu, M. Tsubota,

(1998).

and H. Saito, Phys. Rev. A 82, 063604 (2010).

3. B. P. Anderson, P. C. Haljan, C. E. Wieman, and

23.

K. Sasaki, N. Suzuki, D. Akamatsu, and H. Saito,

E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 85, 2857 (2000).

Phys. Rev. A 80, 063611 (2009).

4. S. Coen and M. Haelterman, Phys. Rev. Lett. 87,

24.

S. Gautam and D. Angom, Phys. Rev. A 81, 053616

140401 (2001).

(2010).

920

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Пузыри с присоединенными квантовыми вихрями.. .

25.

T. Kadokura, T. Aioi, K. Sasaki, T. Kishimoto, and

43.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 113, 848 (2021).

H. Saito, Phys. Rev. A 85, 013602 (2012).

44.

C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Con-

26.

K. Sasaki, N. Suzuki, and H. Saito, Phys. Rev. A 83,

densation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press,

053606 (2011).

Cambridge (2002).

27.

D. Kobyakov, V. Bychkov, E. Lundh, A. Bezett, and

45.

L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Con-

M. Marklund, Phys. Rev. A 86, 023614 (2012).

densation, Oxford Univ. Press, Oxford (2003).

28.

D. K. Maity, K. Mukherjee, S. I. Mistakidis, S. Das,

46.

A. L. Fetter, Rev. Mod. Phys. 81, 647 (2009).

P. G. Kevrekidis, S. Majumder, and P. Schmelcher,

47.

A. A. Svidzinsky and A. L. Fetter, Phys. Rev. A 62,

Phys. Rev. A 102, 033320 (2020).

063617 (2000).

29.

K. Kasamatsu, M. Tsubota, and M. Ueda, Phys. Rev.

48.

V. P. Ruban, Phys. Rev. E 64, 036305 (2001).

Lett. 91, 150406 (2003).

49.

A. Aftalion and I. Danaila, Phys. Rev. A 68, 023603

30.

K. Kasamatsu and M. Tsubota, Phys. Rev. A 79,

(2003).

023606 (2009).

50.

T.-L. Horng, S.-C. Gou, and T.-C. Lin, Phys. Rev.

31.

P. Mason and A. Aftalion, Phys. Rev. A 84, 033611

A 74, 041603(R) (2006).

(2011).

51.

S. Serafini, L. Galantucci, E. Iseni, T. Bienaime,

32.

K. J. H. Law, P. G. Kevrekidis, and L. S. Tuckerman,

R. N. Bisset, C. F. Barenghi, F. Dalfovo, G. Lampo-

Phys. Rev. Lett. 105, 160405 (2010); Erratum, Phys.

resi, and G. Ferrari, Phys. Rev. X 7, 021031 (2017).

Rev. Lett. 106, 199903 (2011).

52.

C. Ticknor, W. Wang, and P. G. Kevrekidis, Phys.

33.

M. Pola, J. Stockhofe, P. Schmelcher, and P. G. Kev-

Rev. A 98, 033609 (2018).

rekidis, Phys. Rev. A 86, 053601 (2012).

34.

S. Hayashi, M. Tsubota, and H. Takeuchi, Phys. Rev.

53.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 108, 638 (2018).

A 87, 063628 (2013).

54.

C. Ticknor, V. P. Ruban, and P. G. Kevrekidis, Phys.

35.

A. Richaud, V. Penna, R. Mayol, and M. Guilleumas,

Rev. A 99, 063604 (2019).

Phys. Rev. A 101, 013630 (2020).

55.

K. Padavić, K. Sun, C. Lannert, and S. Vishveshwara,

36.

A. Richaud, V. Penna, and A. L. Fetter, Phys. Rev.

Phys. Rev. A 102, 043305 (2020).

A 103, 023311 (2021).

56.

N. Chamel and P. Haensel, Liv. Rev. Relat. 11, 10

37.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 113, 539 (2021).

(2008).

38.

K. Kasamatsu, M. Tsubota, and M. Ueda, Phys. Rev.

Lett. 93, 250406 (2004).

57.

G. E. Volovik, Proc. Natl. Ac. Sci. USA 97, 2431

(2000).

39.

H. Takeuchi, K. Kasamatsu, M. Tsubota, and M. Nit-

ta, Phys. Rev. Lett. 109, 245301 (2012).

58.

http://home.itp.ac.ru/~ruban/12APR2021/v1.avi

40.

M. Nitta, K. Kasamatsu, M. Tsubota, and H. Ta-

59.

http://home.itp.ac.ru/~ruban/12APR2021/v2.avi

keuchi, Phys. Rev. A 85, 053639 (2012).

60.

http://home.itp.ac.ru/~ruban/12APR2021/v3.avi

41.

K. Kasamatsu, H. Takeuchi, M. Tsubota, and M. Nit-

ta, Phys. Rev. A 88, 013620 (2013).

61.

http://home.itp.ac.ru/~ruban/12APR2021/v4.avi

42.

S. B. Gudnason and M. Nitta, Phys. Rev. D 98,

125002 (2018).

62.

http://home.itp.ac.ru/~ruban/12APR2021/v5.avi

921

ЖЭТФ, вып. 6 (12)