ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 898-902
© 2021
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСИ
В РЕЗКО КОНТРАСТНОЙ СРЕДЕ В ПРИСУТСТВИИ
ОДИНОЧНОЙ КРУПНОМАСШТАБНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ
П. С. Кондратенко*, К. В. Леонов
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук
115191, Москва, Россия
Поступила в редакцию 11 июля 2021 г.,
после переработки 11 июля 2021 г.
Принята к публикации 12 июля 2021 г.
Проанализированы неклассические режимы переноса примеси в статистически однородной резко кон-
трастной среде в присутствии одиночной крупномасштабной неоднородности в форме адвективного ка-
нала. В основной среде на пути от источника примеси к каналу реализуются различные режимы переноса
(классические и неклассические), включая быструю и медленную адвекцию-диффузию, квазидиффузию
и субдиффузию. Распределение концентрации в канале состоит из экспоненциально малого многоступен-
чатого предвестника и основного концентрационного сигнала, форма и длительность которого зависят
от соотношения между характеристиками основной среды.
DOI: 10.31857/S0044451021120117
являются однородными. Между тем большой прак-
тический интерес представляет перенос в средах,
содержащих резкие крупномасштабные неоднород-
1. ВВЕДЕНИЕ
ности. Настоящая работа посвящена исследованию
Уже давно неклассические процессы переноса
переноса примеси в резко контрастной двупористой
примеси являются предметом интенсивных исследо-
среде в присутствии одиночной крупномасштабной
ваний (см. [1-9]). Одним из характерных признаков,
неоднородности в форме адвективного канала. За-
которые их выделяют, является зависимость основ-
дача актуальна для проведения оценок надежности
ной области локализации примеси от времени,
захоронений радиоактивных отходов в геологиче-
ских средах.
R(t) ∝ tγ ,
(1)
Дальнейшая структура статьи следующая. В
разд. 2 сформулирована постановка задачи. Раз-
в которой, в отличие от классической диффузии,
дел 3 посвящен анализу режимов переноса в резко
γ = 1/2. Физическими предпосылками для неклас-
контрастной двупористой среде при наличии уда-
сических процессов могут быть дальнодействующие
ленного адвективного канала. В заключительном
корреляции или долговременные релаксации харак-
разделе кратко подведены итоги.
теристик среды, формирующих механизмы перено-
са. В первом случае возникает тенденция к супер-
диффузии, когда в соотношении (1) имеет место
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
γ > 1/2, а во втором — к субдиффузии, когда γ <
< 1/2. Примером, относящимся ко второй категории
Начнем раздел с краткой формулировки модели
сред, является резко контрастная двупористая сре-
резко контрастной двупористой среды. Среда в мо-
да, неравновесная модель переноса в которой была
дели [10,11] представлена в виде совокупности двух
разработана в [10, 11].
подсистем: быстрой — набора проницаемых кана-
Большинство исследований неклассических про-
лов, пронизывающих всю среду, и медленной — на-
цессов переноса касаются сред, которые в среднем
бора изолированных слабопроницаемых пористых
блоков. И каналы, и блоки пропитаны влагой. Сред-
* E-mail: kondrat@ibrae.ac.ru
няя ширина канала намного меньше, чем средний
898
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Неклассические процессы переноса примеси. ..
размер блока, a ≪ b. Механизм переноса приме-
течет жидкость (вода) с постоянной скоростью U,
си — это адвекция и диффузия в каналах и диф-
удовлетворяющей условию
фузия внутри пористых блоков. На стенках кана-
U ≫ u.
(4)
лов и порах в блоках происходит сорбция примеси.
Прямой перенос между блоками отсутствует. При-
Обозначим зависящую от координаты x, направ-
месь, сконцентрированную в каналах, будем назы-
ленной вдоль оси канала, и времени одномерную
вать активной. Длина корреляции в распределении
(проинтегрированную по поперечному сечению ка-
транспортных характеристик среды имеет порядок
нала) концентрацию C(x, t) — отнесенное к единице
размера блока b. Уравнение переноса для концен-
длины вдоль оси x количество примеси в канале.
трации активной примеси, усредненное по объему
Благодаря неравенству (4) перенос в канале оказы-
с характерным размером порядка корреляционной
вается значительно быстрее в сравнении с перено-
длины, и начальное условие имеют вид
сом в основной (двупористой) среде. Отсюда выте-
кают три следствия. Первое — это то, что характер-
t
∫
∂
ный размер основной области локализации примеси
[c(r, t) + dt′ϕ(t - t′)c(r, t′)] +
∂t
в основной среде значительно меньше продольного
0
размера концентрационного сигнала в канале. Вто-
+u∇c(r, t) - D△c(r, t) = 0,
рое — источник примеси для канала на его границе
(2)
c(r, 0) = Nδ(r).
с основной средой можно считать точечным, и тре-
Здесь u — средняя скорость адвекции, D — коэф-
тье — задачу о переносе примеси в основной среде,
фициент диффузии, учитывающий вклад дисперсии
как и в адвективном канале, можно считать одно-
(∼ ub), возникающей из-за извилистости каналов, и
мерной с координатой ξ, направленной вдоль скоро-
молекулярную диффузию. Второй член в квадрат-
сти u с нулевым граничным условием для концен-
ных скобках в левой части уравнения (2) отвечает за
трации в точке пересечения координаты ξ с кана-
обмен примесью между каналами и блоками. Кон-
лом:
центрация n(r, t) обозначает количество частиц при-
n(ξ, t)|ξ=h = 0.
(5)
меси в единице объема и имеет размерность обрат-
Здесь
ного объема, N — полное число частиц примеси. На-
∫
чало координат выбрано совпадающим с положени-
n(ξ, t) = d2r⊥c(r, t),
(6)
ем источника примеси, размер которого предполага-
ется много меньше других линейных масштабов за-
r⊥ — двумерная координата в плоскости, перпенди-
дачи, и потому он считается точечным; δ(r) — трех-
кулярной скорости u, h — расстояние по координате
мерная функция Дирака. Скорость адвекции удо-
ξ от источника примеси в основной среде до пересе-
влетворяет условию несжимаемости: div u = 0. Ин-
чения с адвективным каналом.
тегральное ядро зависит от распределения блоков
Таким образом, концентрация примеси в канале
по размеру и форме, поэтому при его поиске в об-
удовлетворяет следующему уравнению:
щем виде возникают трудности. В пределе малых и
∂C
∂C
+U
= q(t)δ(x),
(7)
больших значений аргумента оно может быть опре-
∂t
∂x
делено и согласно [10, 11] дается выражениями
где
⎧
(
)
⎨
(πtta)-1/2,
t≪tb,
d
q(t) = u - D
n(ξ, t)|ξ=h
(8)
√
ϕ(t)=
(3)
dξ
tb
⎩
δ(t - ε), ε → +0, t ≫ tb,
— полный поток частиц примеси из основной среды
ta
в адвективный канал.
где d — коэффициент диффузии в блоках, ta ∼
Решение уравнения (7) имеет вид
∼ a2/4d — характерное время, за которое примесь
1
x
проникла в блоки на расстояние порядка размера
C(x, t) =
q(t)θ(x),
t= t -
,
(9)
U
U
канала a; tb ∼ b2/4d — характерное время, за кото-
рое примесь из каналов почти заполнила весь объем
где θ(x) — функция Хевисайда:
{
блоков и находится в обменном равновесном состо-
1, x > 0,
янии, ta ≪ tb.
θ(x) =
0, x < 0.
Адвективный канал расположен на значитель-
ном расстоянии от источника. По форме он пред-
Геометрия задачи, сведенной нами к одномерной
ставляет собой прямой цилиндр, вдоль оси которого
версии, схематически изображена на рисунке.
899
П. С. Кондратенко, К. В. Леонов
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
x
находим решение одномерной версии уравнения (2)
в представлении Лапласа, справедливое в области
U
ξ ≤ h и удовлетворяющее граничному условию (5):
N
np(ξ) =
euξ/2D[e-|ξ|Π(p)-e(ξ-2h)Π(p)].
(14)
2DΠ(p)
Здесь
√
u
tu1 + Λ(p)
4D
Π(p) =
,
tu =
(15)
2
D
u
S
Характерное время tu определено таким образом,
Геометрия задачи. S — источник примеси, u — средняя
что на текущих временах t ≫ tu перенос примеси в
скорость адвекции в основной среде
основной среде будет происходить главным образом
за счет адвекции, а при t ≪ tu — диффузии. Под-
3. РЕЖИМЫ ПЕРЕНОСА И
ставляя (14) в соотношение (8), находим выражение
КОНЦЕНТРАЦИЯ ПРИМЕСИ В
для потока частиц примеси из основной среды в ад-
АДВЕКТИВНОМ КАНАЛЕ
вективный канал в представлении Лапласа:
[
(
)]
Одномерная версия уравнения (2) с начальным
u
qp = N exp h
- Π(p)
(16)
условием
2D
n(ξ, t)|t=0 = Nδ(ξ)
(10)
Приступая к анализу распределения концентрации
в адвективном канале, сделаем предположение, что
в условно бесконечной среде в представлении Фу-
расстояние от источника до канала удовлетворяет
рье - Лапласа
неравенству
∫∞
∫
npk
= dte-pt dξe-ikξ n(ξ, t)
h≫u√tatb.
(17)
0
-∞
Это условие, с одной стороны, дает возможность
имеет вид
проявиться всем режимам переноса, свойственным
(Λ(p) + iuk + Dk2)npk = N.
(11)
основной среде, а с другой — представляется прак-
тически наиболее реальным.
Здесь Λ(p) = p(1+ϕp), ϕp — образ Лапласа функции
Дальнейшие вычисления потока частиц примеси
ϕ(t) из (2). С учетом соотношений (3) имеем следу-
в канал
ющие предельные выражения для функции Λ(p):
⎧
∫
[
(
)
]
dp
u
⎪
p,
p≫t-1a,
⎪
q(t) = N
exp h
- Π(p)
+ pt ,
⎨
2πi
2D
m-i∞
(18)
√ p , t-1b ≪ p ≪ t-1a,
Λ(p)=
ta
(12)
⎪
⎪
√ta
Re m > 0,
⎩
p,
p≪t-1b.
tb
зависят от соотношения между характерными вре-
Разрешая алгебраическое уравнение (11) относи-
менами ta, tb и tu. Приведем результаты для каждо-
тельно npk,
го из возможных случаев отдельно, воспользовав-
шись методом стационарной фазы. Стационарная
N
npk =
,
точка p0 определяется из уравнения
Λ(p) + iuk + Dk2
∂Π
и выполняя с помощью теории вычетов обратное
-h
+ t = 0.
(19)
преобразование Фурье
∂p
p=p0
+∞
dk
После каждой формулы будем указывать режим пе-
np(ξ) =
eikξnpk,
(13)
реноса в основной среде, относящийся к соответ-
2π
-∞
ствующему интервалу времени.
900
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Неклассические процессы переноса примеси. ..
1. tu ≪ ta ≪ tb.
Этот случай соответствует квазидиффузии.
(
)
(
)
h
(h - ut)2
h
(h - ũt)
2
q(t)= N
√
exp
-
,
q(t)= N
√
exp
-
,
2
πDt3
4Dt
4Dt
(20)
2
π Dt3
h
(26)
√
t≪
h
t
b
u
t≫
u
ta
В этом интервале времен справедливо неравенство
Аналогично
(22), реализуется медленная адвек-
p0 ≫ t-1a, которое ведет к режиму быстрой адвек-
ция-диффузия.
ции-диффузии.
3. ta ≪ tb ≪ tu.
(
)
h
h2
(
)
√
q(t)= N
√
exp
-
,
2
h
h
h
2
πDut3
4Dut
q(t)= N
√
exp
-
,
t≪
ta .
(27)
√
(21)
4Dt
u tu
2
πDt3
h
h
tb
≪t≪
,
Аналогично (23) — быстрая диффузия.
u
u
ta
(
)
N
3
где Du = u2ta. Здесь t-1b ≪ p0 ≪ t-1a и реализуется
q(t)=
√
exp
-
η(t)
,
режим квазидиффузии.
t
6πη(t)
4
(
)
(28)
√
(
)
h
(h - ũt)2
1/4
q(t)= N
√
exp
-
,
h
ta
h
t3b
≪t≪
4Dt
2
2
π Dt3
u
tu
u tat
√
(22)
u
h
tb
Аналогично (24) — субдиффузия.
t≫
,
u
ta
(
)
2
h
(h - ũt)
где
q(t)= N
√
exp
-
,
√ta
√ta
ta
2
π Dt3
4˜t
ũ=u
,
D= D
,
≪ 1.
(29)
tb
tb
tb
(
)1/4
h
t3b
В этом случае реализуется режим медленной адвек-
t≫
u tat2
u
ции-диффузии, который в отличие от (20) имеет пе-
ренормированные скорость адвекции и коэффици-
Аналогично (22) — медленная адвекция-диффузия.
ент диффузии.
Отметим, что согласно (15), (16) величина пото-
2. ta ≪ tu ≪ tb.
ка q(t) удовлетворяет естественному соотношению
(
)
√
∫
∞
h
h2
h
q(t)= N
√
exp
-
,
t≪
ta .
(23)
dt q(t) = N,
(30)
2
πDt3
4Dt
u tu
0
Здесь выполняется неравенство p0 ≫ t-1a ≫ t-1u, ко-
представляющему собой закон сохранения числа
торое ведет к режиму быстрой диффузии.
частиц примеси.
(
)
Формулы для распределения концентрации в ад-
N
3
q(t)=
√
exp
-
η(t)
,
вективном канале получаются подстановкой q(t) из
t
6πη(t)
4
(20)-(29) в выражение (9). Особенностью этого рас-
√
(24)
пределения при условии (17) является то, что на
h
ta
h
≪t≪
(tu)1/4,
временах t < h/ũ в канал приходит экспоненциаль-
u
tu
u ta
но малый многоступенчатый предвестник и лишь
где
при t ∼ tN = h/ũ туда доходит основной концен-
(
)1/3
4
h
трационный сигнал, определяемый режимом пере-
η(t) =
4D2tat
носа медленной адвекции-диффузии. Длительность
и пространственная протяженность основной части
Реализуется режим субдиффузии.
концентрационного сигнала в канале согласно выра-
(
)
h
h2
жениям (9), (22), (29) составляют, соответственно,
q(t)= N
-
,
2√πDut3exp
4Dut
величины порядка
(25)
√
)1/4
√
1
h
(tu
h
tb
△t ∼
DtN ,
△x ∼ U△t.
≪t≪
ũ
u ta
u
ta
901
П. С. Кондратенко, К. В. Леонов
ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021
Что касается ступеней предвестника, то в со-
рая адвекция-диффузия, квазидиффузия и медлен-
ответствии с (9) они определяются модификацией
ная адвекция-диффузия. При ta ≪ tu ≪ tb после-
формул (20)-(29) и подчиняются известному [9] пра-
довательность режимов следующая: быстрая диф-
вилу: чем более удаленная ступень, тем более ран-
фузия, субдиффузия, квазидиффузия и медленная
ний режим переноса ее определяет.
адвекция-диффузия. В случае ta ≪ tb ≪ tu реали-
зуются режимы: быстрая диффузия, субдиффузия
и медленная адвекция-диффузия.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, распределение концентрации на
расстояниях, много больших размеров основной об-
Основные результаты работы состоят в следую-
ласти локализации примеси, описывается многосту-
щем.
пенчатыми экспоненциально убывающими асимпто-
Проанализированы свойства переноса примеси в
тиками. С увеличением расстояния характер убыва-
резко контрастной среде в присутствии одиночной
ния в асимптотиках диктуется все более ранними по
крупномасштабной неоднородности в форме удален-
времени режимами.
ного адвективного канала. С учетом сильного пре-
восходства скорости течения в канале по сравнению
со скоростью просачивания жидкости в основной
ЛИТЕРАТУРА
(резко контрастной двупористой) среде, U ≫ u, за-
дача в этой среде сведена к одномерной. Также од-
1. Ю. А. Дрейзин, А. М. Дыхне, ЖЭТФ 63, 242
номерной оказалась и задача в адвективном канале,
(1973).
поскольку была сформулирована относительно кон-
2. H. Sher and M. Lax, Phys Rev. B 7, 4491 (1973).
центрации как количества частиц примеси, отнесен-
ного к единице длины вдоль канала. Передвигаю-
3. S. P. Neuman, Water Resources Res. 26, 1749 (1990).
щееся со скоростью U распределение концентрации
4. J. P. Bouchaud and A. Georges, Phys. Rep. 195, 127
в канале состоит из экспоненциально малого мно-
(1990).
гоступенчатого предвестника и основного концен-
трационного сигнала на поздних временах. Основ-
5. M. Sahimi, Phys. Rep. 306, 213 (1998).
ной сигнал определяется самым поздним режимом
медленной адвекции-диффузии. Между простран-
6. Л. М. Зеленый, А. В. Милованов, УФН 174, 809
(2004).
ственной протяженностью и временной длительно-
стью основного сигнала в канале имеет место соот-
7. L. Bolshov, P. Kondratenko, K. Pruess, and V. Seme-
ношение
nov, Vadose Zone J. 7, 1135 (2008).
△x ∼ U△t.
8. О. Г. Бакунин, УФН 185, 271 (2015).
Совокупность и последовательность режимов пе-
реноса в основной среде зависят от соотношения
9.
9. Л. А. Большов, П. С. Кондратенко, Л. В. Мат-
между тремя характерными временами задачи ta,
веев, УФН 189, 691 (2019).
tb и tu. Выделены три случая: tu ≪ ta ≪ tb, ta ≪
10. Л. В. Матвеев, ЖЭТФ 142, 943 (2012).
≪ tu ≪ tb, ta ≪ tb ≪ tu. В первом случае реа-
лизуется последовательность трех режимов: быст-
11. L. V. Matveev, Physica A 406, 119 (2014).
902
