ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 865-872

О ВОЗМОЖНОСТИ СОХРАНЕНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ

В АНСАМБЛЕ ОДИНАКОВЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

А. М. Башаровa,b*, А. И. Трубилкоc**

^a Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

123182, Москва, Россия

^b Московский физико-технический институт (технический университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^c Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

196105, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 25 августа 2021 г.,

после переработки 25 августа 2021 г.

Принята к публикации 31 августа 2021 г.

Показано, что ансамбль из Nc независимых одинаковых квантовых осцилляторов в случае их нерезо-

нансного взаимодействия с одним затухающим осциллятором эффективно описывается как ансамбль

одинаковых осцилляторов, распадающихся в поле общего термостата. Скорость излучения такого ан-

самбля необычным образом зависит от числа Nc осцилляторов и может быть полностью подавлена в

зависимости от числа осцилляторов ансамбля и при условии нулевой плотности фотонов термостата в

определенной частотной области спектра. Такая особенность отражает невинеровский характер динамики

ансамбля осцилляторов и возникает при корректном учете всех антивращающих и быстроменяющихся во

времени (в картине Дирака) слагаемых в операторах взаимодействия осцилляторов, которыми обычно

пренебрегают.

DOI: 10.31857/S0044451021120087

цилляторов, взаимодействующей с гармонически-

ми осцилляторами термостатного бозонного поля,

первой замеченной проблемой была некорректность

1. ВВЕДЕНИЕ

результатов, получаемых стандартными методами

в случае квадратичного гамильтониана. Важным

Задача о динамике гармонических осцилляторов

здесь является словосочетание «стандартными ме-

является классической задачей физики и возникает

тодами», под которым имеются в виду методы мат-

в самых разнообразных ее разделах. Помимо физи-

рицы плотности, описанные в книге [1]. В работе

ческих приложений задача о гармонических осцил-

[2] установлено, что корректное кинетическое урав-

ляторах является хорошим полигоном для отработ-

нение получается для квантового гармонического

ки различных математических методов теории от-

осциллятора в случае пренебрежения в операторе

крытых квантовых систем.

взаимодействия так называемыми антивращающи-

Основной проблемой теории открытых кванто-

ми слагаемыми. Такое приближение иначе извест-

вых систем является получение кинетического урав-

но как приближение вращающейся волны. В даль-

нения открытой системы, взаимодействующей с тер-

нейшем основная масса работ по теории открытых

мостатным окружением. Основным используемым

квантовых систем была выполнена в приближении

здесь приближением является марковское прибли-

вращающейся волны. Однако в работе [3] было ука-

жение и представление о термостатном окружении

зано, что при рассмотрении двух связанных друг с

как о дельта-коррелированном поле. В случае от-

другом осцилляторов, каждый из которых распада-

крытой системы из гармонических квантовых ос-

ется в свой термостат, нарушается второе начало

термодинамики. В работе [4] показано, что второе

^* E-mail: basharov@gmail.com

начало термодинамики не нарушается, а прибли-

^** E-mail: trubilko.andrey@gmail.com

865

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

жение вращающейся волны должно сопровождать-

В недавней работе [12] показано, что ансамбль

ся жесткими ограничениями на частотный спектр

квантовых осцилляторов распадается в общий тер-

участвующих во взаимодействии полей так, как это

мостат невинеровским образом, т. е. интенсивность

требует алгебраическая теория возмущений [5, 6].

импульса излучения зависит от числа осцилляторов

При обсуждении системы гармонических осцил-

в ансамбле осциллирующим образом. Этот необыч-

ляторов многие полагают, что нет ничего принципи-

ный результат пока не получен в рамках глобаль-

ально нового в их рассмотрении, поскольку в случае

ного подхода и он целиком обязан общему выво-

квадратичного гамильтониана система из осцилля-

ду квантовой теории открытых систем — стоха-

торов может быть легко диагонализована преобра-

стическое дифференциальное уравнение Шрединге-

зованием Боголюбова. В случае открытых систем,

ра управляется всеми основными квантовыми слу-

т. е. при взаимодействии ансамбля осцилляторов с

чайными процессами: уничтожающим, рождающим

ансамблем дельта-коррелированных термостатных

и считывающим [13]. Роль считывающего процес-

осцилляторов, в работе [7] показано, с какими мате-

са в динамике открытой системы выделена терми-

матическими сложностями приходится здесь стал-

нологически — если считывающий процесс играет

киваться. При этом общие формулы, полученные

роль, то динамику такой открытой системы назы-

обобщенным преобразованием Боголюбова, оказы-

вают невинеровской. Общий вид уравнения получен

вается не так просто проанализировать. Так, из об-

давно, однако до работы [12] не было примера осцил-

щих формул не видно, как «изолированный» осцил-

ляторных систем, в которых считывающий процесс

лятор, нерезонансно связанный с затухающим ос-

проявил бы себя.

циллятором, распадается в тот же термостат, что и

Роль общего термостата в распаде ансамбля оди-

затухающий, но в другую частотную область. Этот

наковых квантовых частиц состоит как в появлении

результат получен в рамках алгебраической тео-

режима квантового запутывания в динамике частиц

рии возмущений [8] и свидетельствует о пользе ло-

[14], так и в специфических эффектах стабилизации

кального анализа осцилляторных систем, несмот-

возбужденного состояния ансамбля по отношению к

ря на возможность диагонализации квадратично-

коллективному распаду [15, 16]. Поэтому поиск си-

го гамильтониана. Деление анализа осцилляторных

туаций, в которых появляется режим общего термо-

открытых квантовых систем на глобальный и ло-

стата, весьма актуален.

кальный подходы введено в работах [3, 9], отчасти

Новая модель распада системы осцилляторов в

вследствие ошибочного результата [3] о противоре-

поле общего термостата возникает, если осциллято-

чии локального подхода второму началу термодина-

ры нерезонансно взаимодействуют с общим затуха-

мики. Наша задача — показать эффективность ло-

ющим осциллятором, а именно с осциллятором, ре-

кального подхода, который, в отличие от глобаль-

зонансно взаимодействующим с термостатом. Такая

ного подхода, относительно просто указывает на но-

задача аналогична задаче о распаде атомов, поме-

вые физические эффекты, которые не видны в об-

щенных внутрь резонатора в условиях дисперсион-

щих формулах глобального подхода. При этом та-

ного предела для резонансной частоты атомов по от-

кая простота держится на нетривиальном матема-

ношению к частоте моды резонатора [17]. Если мода

тическом аппарате — алгебраической теории возму-

резонатора затухает, то атомы оказываются распа-

щений и технике квантовых стохастических диффе-

дающимися в поле общего термостата.

ренциальных уравнений. Необходимость алгебраи-

Отметим, что эффект стабилизации возбужден-

ческой теории возмущений особенно видна для оп-

ного состояния ансамбля по отношению к коллек-

тических открытых систем [10], поскольку без пе-

тивному распаду определяется корректным учетом

рехода к эффективному гамильтониану, не содер-

антивращающих слагаемых, а это выполняется в

жащему в представлении взаимодействия быстро-

рамках алгебраической теории возмущений. Под-

меняющихся переменных, стандартное приближе-

черкнем, что вопрос о корректном учете антивра-

ние дельта-коррелированных полей окружения не

щающих слагаемых в кинетическом уравнении для

будет отвечать рассматриваемой физической ситуа-

квантового гармонического осциллятора вне рамок

ции. Квантовые стохастические дифференциальные

алгебраической теории возмущений в рамках ло-

уравнения не знакомы физикам, однако в марков-

кального подхода не решен.

ском приближении уравнение Шредингера откры-

В данной статье покажем, что корректный учет

той системы и ее окружения строго определено

антивращающих слагаемых в случае ансамбля

именно в смысле квантового стохастического диф-

невзаимодействующих между собой одинаковых

ференциального уравнения [11].

квантовых осцилляторов, нерезонансно связанных с

866

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

О возможности сохранения возбуждения.. .

одним затухающим осциллятором, приводит к рас-

ческая теория возмущений дает возможность кор-

паду ансамбля в поле общего бозонного термостата

ректно учесть антивращающие слагаемые и позво-

с невинеровской зависимостью эффективной конс-

ляет представить эффективное взаимодействие ан-

танты распада от числа осцилляторов в ансамбле.

самбля «независимых» осцилляторов с бозонным

При определенных числах осцилляторов их ан-

термостатом затухающего осциллятора в виде слу-

самбль распадается не с увеличенной скоростью

чайного считывающего квантового процесса в слу-

распада [18-20], а противоположным образом —

чае нулевой плотности фотонов термостата на час-

коллективный распад в поле общего термостата мо-

тоте изолированных осцилляторов.

жет быть полностью подавлен. То есть и ансамбль

квантовых осцилляторов, нерезонансно связанных

с затухающим осциллятором, испытывает эффект

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

стабилизации возбужденных состояний аналогично

ансамблю одинаковых гармонических осциллято-

В качестве исходного гамильтониана H^Ini задачи

ров и возбужденных атомов, распадающихся в

о нерезонансном взаимодействии ансамбля «изоли-

поле общего термостата [12, 15, 16]. Подчеркнем,

рованных» осцилляторов с общим затухающим ос-

что с учетом работы

[12] найдено два случая

циллятором возьмем следующий:

своеобразной динамики ансамбля гармонических

осцилляторов. Эти случаи пока не обнаружены

H^Ini = H^Osc + H^D + H^Th + H^D-Th + H^D-Osc,

в рамках глобального подхода с диагонализацией

гамильтониана всех осцилляторов рассматриваемой

где

задачи. Между тем факт диагонализации гамиль-

∑

тониана системы ни о чем не говорит, поскольку

H^Osc = ℏΩ_cc^†ic_i

i=1

общие формулы здесь совершенно непрозрачны

[7] и увидеть новый физический результат весьма

— гамильтониан системы одинаковых осцилляторов

затруднительно

— во всяком случае, в рамках

частоты Ω_c,

глобального подхода еще не установлен факт стаби-

H^D = ℏΩ_Da^†a

лизации возбужденного состояния осцилляторов по

отношению к коллективному распаду в поле общего

— гамильтониан затухающего осциллятора с часто-

термостата. Правда, в рамках глобального подхода

той Ω_D,

∫

задача о динамике осцилляторов, нерезонансно

H^Th = ℏ ωb^†ωb_ω dω

связанных с затухающим осциллятором, пока и не

ставилась.

— гамильтониан термостата, в который распадает-

В статье методами алгебраической теории воз-

ся затухающий осциллятор. Операторы рождения и

мущений рассмотрена система одинаковых кванто-

уничтожения c^†i и c_i квантов i-го осциллятора, а так-

вых гармонических осцилляторов в количестве N_c,

же аналогичные операторы a^† и a для затухающего

нерезонансно взаимодействующих с затухающим ос-

осциллятора подчиняются обычным бозонным ком-

циллятором. Такая модель для одного осциллято-

мутационным соотношениям и коммутируют для

ра была рассмотрена в работе [4]. Было показано,

различных осцилляторов и с бозонными оператора-

что и «изолированный» осциллятор, пусть и нере-

ми b^†ω и b_ω рождения и уничтожения квантов термо-

зонансно связанный с затухающим, также начинает

стата. Локальный подход к теории открытых кван-

релаксировать, оставаясь при этом независимым от

товых систем предполагает, чтобы и для затухающе-

затухающего осциллятора. Если рассматривать сис-

го осциллятора, и для нерезонансно с ним связанно-

тему из N_c «изолированных» осцилляторов, нерезо-

го ансамбля осцилляторов кинетические уравнения

нансно связанных с одним затухающим осциллято-

выводились бы заново.

ром, то указанную релаксацию при определенных

Взаимодействие затухающего осциллятора с тер-

N_c можно полностью подавить. Такая зависимость

мостатом определяется обычным образом:

скорости распада от числа частиц N_c в квантовом

∫

ансамбле одинаковых частиц противоположна из-

(

)(

)

H^D-Th = γ(ω) a + a^† b_ω + b^†

dω,

(1)

вестному эффекту типа сверхизлучения, когда ско-

рость релаксации возрастает пропорционально N_c

[18-20]. Необычная зависимость обусловлена уче-

где γ(ω) — параметр связи затухающего осциллято-

том антивращающих слагаемых. Именно алгебраи-

ра с термостатом.

867

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Нерезонансное взаимодействие одинаковых ос-

H^Eff(t) = V^Tr(t) + V^St(t),

(3)

цилляторов с затухающим осциллятором имеет вид

∫

G²

(g — параметр связи)

V^St(t) = -

N_c

b^†ωb_ω′ ei(ω-ω′)^tdω dω^′,

2ℏΩ_c

(

)

ω,ω^′∈(Ωc)

∫

H^D-Ocs = g c_ie-iΩct + c^†ieiΩct

∑

V^Tr(t) = -G

c^†ib_ωe-i(ω-Ωc)^tdω -

(

)

ω∈(Ωc)

× ae-iΩDt + a^†eiΩDt .

(2)

∑ ∫

-G

c_ib^†ωei(ω-Ωc)^tdω.

В операторе (1) антивращающими слагаемыми

ω∈(Ωc)

являются следующие:

При этом сдвиг Лэмба включаем в частоту перехо-

∫

да осцилляторов, поскольку больше он ни на что

(

)

γ(ω) ab_ω + a^†b^†

dω,

не влияет. Все процессы определяются эффектив-

ной константой взаимодействия

аналогичные слагаемые в операторе (2), но в силу

gγ(Ω_D)

нерезонансности взаимодействия (2) все представ-

2ℏΩ_D

ленные там слагаемые в картине Дирака являют-

В соответствии с общей [22] теорией структу-

ся быстроменяющимися функциями времени. В то

ра эффективного гамильтониана, получаемая ме-

же время и часть интегралов, отвечающих вращаю-

тодами алгебраической теории возмущений, в ча-

щимся слагаемым,

сти взаимодействия с термостатом содержит два ти-

∫

па слагаемых. Первый, V^Tr(t), описывает переходы

(

)

γ(ω) a^†b_ω + ab^†

dω,

с изменением энергии — осцилляторное возбужде-

ние переходит в квант термостата и наоборот. В

марковском приближении эти слагаемые выража-

в картине Дирака являются быстроменяющимися

ются через рождающий и уничтожающий кванто-

функциями времени. Это чаcть интеграла, где ин-

вые случайные процессы, которыми моделируется

тегрирование ведется за пределами узкой частот-

термостат. Их можно выразить через квантовые ви-

ной области спектра вблизи частоты Ω_D. Согласно

неровские случайные процессы, и если только они

анализу [10] все быстроменяющиеся во времени сла-

присутствуют в эффективном гамильтониане, то ди-

гаемые H^Ini должны быть исключены унитарным

намику ансамбля одинаковых осцилляторов иногда

преобразованием и переходом к эффективному га-

называют винеровской [6].

мильтониану. Эта идея и лежит в основе алгебраи-

Второй тип слагаемых описывает виртуальный

ческой теории возмущений [6]. Выше, когда говори-

обмен квантов с термостатом без изменения энер-

лось об учете антивращающих слагаемых, имелся в

гетического состояния осцилляторов рассматривае-

виду учет всех быстроменяющихся слагаемых в кар-

мого ансамбля. Мы называем это слагаемое штар-

тине Дирака.

ковским взаимодействием с термостатом. В марков-

Алгебраическая теория возмущений дает воз-

ском приближении это слагаемое описывается кван-

можность записать эффективный гамильтониан для

товым считывающим процессом [16]. В отличие от

всей системы. Оказывается, что из него можно вы-

винеровских процессов, для квантового считываю-

делить эффективный гамильтониан H^Eff ансамб-

щего процесса имеет место другая алгебра для диф-

ля осцилляторов, которые во втором порядке тео-

ференциалов Ито. Подчеркнем, что в марковском

рии возмущений оказываются взаимодействующи-

приближении в случае эффективных гамильтониа-

ми с термостатом затухающего осциллятора, но с

нов типа (3) естественно уравнение Шредингера для

квантами другой частотной области, нежели той, с

волнового вектора состояния ансамбля и термоста-

которой взаимодействует затухающий осциллятор.

та описывать как квантовое стохастическое диффе-

Обобщая результаты работ [3,4,21] для нескольких

ренциальное уравнение, управляемое всеми основ-

«изолированных» осцилляторов, эффективный га-

ными квантовыми случайными процессами — рож-

мильтониан H^Eff (t) ансамбля одинаковых осцилля-

дающим, уничтожающим и считывающим. Области

торов получаем в виде (использована картина Ди-

интегрирования обозначены как (Ω_c) с центральной

рака, о чем указывает явное написание аргумента

частотой Ω_c и шириной порядка скорости релак-

времени)

сации «изолированного» осциллятора. Именно эта

868

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

О возможности сохранения возбуждения.. .

частотная область термостата и представляется в

эффективную константу связи G, и его термостат,

марковском приближении упомянутыми квантовы-

который определяет релаксацию ансамбля «изоли-

ми случайными процессами [6].

рованных» осцилляторов. Важно подчеркнуть, что

Подчеркнем особенность оператора штарковско-

ансамбль «изолированных» осцилляторов взаимо-

го взаимодействия V^St(t) . Он мал по сравнению с

действует с другой частотной областью термостата,

оператором перехода, но содержит множитель, про-

а именно (Ω_c), тогда как затухающий осциллятор

порциональный числу осцилляторов в ансамбле N_c.

взаимодействует с областью (Ω_D). За исключением

При представлении оператора штарковского вза-

штарковского взаимодействия этот результат обоб-

имодействия квантовым считывающим случайным

щает случай одного «изолированного» осциллято-

процессом эта малая величина входит в большую ве-

ра [8,22] на ансамбль изолированных осцилляторов.

личину в виде множителя, роль которого возраста-

Специфика ансамбля проявляется именно в необхо-

ет с ростом N_c. В ансамблях с достаточным числом

димости учета штарковского взаимодействия.

частиц этот множитель осциллирует с изменением

В заключение раздела отметим, что в рамках из-

N_c. Если исходить из масштабов слагаемых V^Tr(t) и

ложенного подхода получаются также кинетические

V^St(t), то эффект должен проявиться при N_c ≈ 10²

уравнения для затухающего осциллятора, которые

[16]. Появление осциллирующего множителя в слу-

здесь мы не приводим. Факт рассмотренного нерезо-

чае ансамбля из одинаковых атомов интерпретиро-

нансного взаимодействия с ансамблем «изолирован-

вано в предыдущих работах как результат своеоб-

ных» осцилляторов проявляется только в дополни-

разной интерференции процесса с излучением кван-

тельном сдвиге частоты, аналогичном полученному

та в термостат и виртуальных процессов переизлу-

в работе [4]. При этом сами кинетические уравнения

чения квантов, когда энергетическое состояние си-

и константа распада затухающего осциллятора оста-

стемы не меняется.

ются неизменными, т. е. затухающий осциллятор и с

В результате стандартных вычислений, которые

учетом нерезонансного взаимодействия с ансамблем

подробно изложены в работах [8, 16, 22, 23], получа-

распадается независимо от распада ансамбля.

ем кинетическое уравнение, описывающее динамику

ансамбля осцилляторов, нерезонансно связанных с

затухающим осциллятором:

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

dρ^S (t)

= -^Γρ^S (t),

(4)

Мы свели задачу о нерезонансном взаимодейст-

вии затухающего осциллятора с ансамблем кванто-

[

]

вых гармонических осцилляторов к случаю распада

^Γρ^S(t) = -

ρ^S(t), H^L-S +

ℏ

ансамбля квантовых осцилляторов в общий бозон-

)

⁽1

ный термостат. Параметры затухающего осцилля-

L₊L_-ρ^S(t)+

ρ^S(t)L₊L_--L_-ρ^S(t)L₊

тора вошли в параметры, определяющие распад ан-

самбля в общий термостат, и задача свелась к уже

∑

2πG

sinY_Λ - Y_Λ

исследованной нами [12]. Перечислим основные ре-

H^L-S =

c^†

c_k,

(5)

ℏ²Ω_c

Y²

зультаты.

j=1

k=1

Аналогично случаю динамики атомного ансамб-

∑

Ye_Λ

ля невинеровская динамика ансамбля осцилляторов

L_- =

c_j, L₊L_- =

характеризуется двумя новыми эффектами. Пер-

Λ j=1

вый — релаксационный сдвиг частоты

∑

1 - cosY_Λ

c^†

c_k,

Y²

π²G⁴

j=1

k=1

ΔΩ_R ≈

N_c,

3ℏ⁴Ω_c

Y e_Λ = e-iYΛ - 1.

точнее, коллективный сдвиг энергии уровней осцил-

Подчеркнем, что с операторами и величинами (5)

ляторов, зависящий от числа осцилляторов в ан-

кинетическое уравнение (4) рассматривается как

самбле. Этот сдвиг определяется слагаемым H^S-L

уравнение в безразмерных величинах.

в релаксационном операторе (4), (5):

Заметим, что операторы затухающего осцилля-

тора в марковском приближении не вошли напря-

∑

π²G⁴

H^L-S =

N_c

c^†

c_k.

(6)

мую в уравнения (4) и (5). От затухающего осцил-

3ℏ³Ω

лятора остались константы связи, которые вошли в

j=1

k=1

869

А. М. Башаров, А. И. Трубилко

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Направление коллективного сдвига противополож-

случайным распределением фаз осцилляторов зна-

но лэмбовскому сдвигу, который выписан в других

чение среднего 〈C^†C〉₀ ∝ N_c, поскольку в этом слу-

работах [4, 22] и здесь просто включается в часто-

чае 〈C^†〉₀ ∝ 〈C〉₀ ∝

√N_c.

ту Ω_c.

Второй эффект — зависимость коллективной ре-

лаксации от числа частиц в осцилляторе, отличная

от полученной в работах [18-20]. Если ввести кол-

4. ВЫВОДЫ

лективные операторы рождения и уничтожения воз-

буждения в ансамбле осцилляторов,

Результаты данной работы дополняют преды-

дущие работы авторов [8, 10, 12, 17, 21, 22] и по-

∑

C^† = c^†j, C = c_k,

казывают, что и ансамбль одинаковых атомов, и

j=1

k=1

ансамбль одинаковых осцилляторов испытывают

сходную невинеровскую динамику, если ансамбль

то интенсивность излучения ансамбля осцилляторов

локализован в объеме, много меньшем длины вол-

оценим как

ны, и распадается в общий термостат, а число час-

d〈C^†C〉

тиц в ансамбле становится критическим (порядка

I(t) = -ℏΩ_c

(7)

сотни). При этом физическая реализация общего

причем согласно (4) и (5) имеем

термостата может быть различной. В дополнение к

естественным ситуациям, например, атомы в окру-

1 - cos(G²N_c/2Ω2c)

〈C^†C〉 = -G

〈C^†C〉.

(8)

жающем вакуумном электромагнитном поле, общий

(G²N_c/2Ω2c)²

термостат возникает в случае нерезонансного вза-

(В уравнениях (6)-(8) величины размерные.) Допол-

имодействия элементов ансамбля с одной затухаю-

нительный множитель, о котором говорили выше

щей нерезонансной модой резонатора. Этот случай

при обсуждении штарковского взаимодействия, вхо-

важен, поскольку здесь можно несколько ослабить

дящий мультипликативно в константу винеровского

требования к степени локализации ансамбля. Неви-

распада, дается выражением

неровская динамика в описанном в статье смысле

1 - cos(G²N_c/2Ω2c)

противоположна известным результатам — вместо

(G²N_c/2Ω2c)²

увеличения скорости распада с ростом числа частиц

возможно полное подавление коллективной релак-

При значениях числа осцилляторов в ансамбле

сации. К тому же появляется новый коллектив-

2Ω2c

ный релаксационный сдвиг частоты, зависящий от

N_c = 2nπ

n = 1,2,3,4,...,

G²

числа частиц в ансамбле — атомов или квантовых

константа коллективной релаксации принимает зна-

осцилляторов. Отличие случая атомов от случая

чение, в точности равное нулю. Такое поведение —

гармонических осцилляторов заключается в раз-

следствие корректного учета антивращающих сла-

ных формах импульса коллективного излучения.

гаемых в методе алгебраической теории возмуще-

У атомов импульс сверхизлучения формируется с

ний.

некоторой задержкой, в случае осцилляторов рас-

Вид импульса сверхизлучения во времени,

пад начинается без задержки сразу. Невинеровская

⎛

(

)

⎞

динамика ансамбля отражает общие результаты

G²N_c

⎜

1 - cos

⎟

теории открытых квантовых систем, а также су-

⎜

2Ω²

⎟

〈C^†C〉 = 〈C^†C〉₀ exp

-G

щественную роль учета квантового считывающего

⎜

)₂

⎟

⎝

⁽G²N_c

⎠

процесса. Подчеркнем, что все известные работы

2Ω²

по теории открытых квантовых систем, выполнен-

зависит от начального состояния осцилляторов,

ные с использованием представлений о квантовых

определяемого средним 〈C^†C〉₀, или способа приго-

случайных процессах (кроме исследований детек-

товления коллективной системы. Как и в случае ви-

тирования излученных фотонов [24, 25]), не учиты-

неровской динамики, значение интенсивности ока-

вали квантовый считывающий процесс [13] и ис-

зывается пропорциональным квадрату числа осцил-

пользовали только представления о рождающем и

ляторов N2c только для случая сфазированно приго-

уничтожающем квантовых случайных процессах.

товленного начального состояния, когда 〈C^†C〉₀ ∝

Однако роль квантового считывающего процесса и

∝ N2c. Для такого состояния и средние 〈C^†〉0 ∝

его вклад в динамику открытой системы следуют

∝ 〈C〉₀ ∝ N_c. В случае приготовления системы со

из строгих общих математических результатов, и

870

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

О возможности сохранения возбуждения.. .

актуальной задачей было найти физические ситу-

неровская динамика, как следует из результатов

ации, в которых квантовый считывающий процесс

данной работы, способна подавить коллективную

проявил бы себя. Такая ситуация возникла в зада-

релаксацию и сохранить возбуждение в ансамбле

чах взаимодействия вакуумного электромагнитного

одинаковых частиц. Авторы надеются, что и для

поля с ансамблем одинаковых частиц. В работе [16]

задач дискретной фотоники [27,28] эффекты сохра-

процессы второго порядка по константе взаимодей-

нения возбуждения могут оказаться интересными

ствия с вакуумным электромагнитным полем были

при рассмотрении квантовых аналогов явлений.

представлены через квантовый считывающий про-

цесс в марковском приближении. Однако в силу

Финансирование. Работа выполнена при

второго порядка малости эти процессы были малы-

частичной финансовой поддержке Российского

ми. Но оказалось, что, несмотря на свою малость,

фонда фундаментальных исследований (грант

считывающий процесс проявляется в ансамблях ли-

№19-02-00234а).

бо атомов, либо квантовых осцилляторов. Кванто-

вый считывающий процесс в силу алгебраических

ЛИТЕРАТУРА

свойств дифференциалов Ито оказался способным

встраиваться в рождающий и уничтожающий про-

К. Блум, Теория матрицы плотности и ее при-

ложения, Мир, Москва (1983).

цессы и перенормировать константу взаимодействия

ансамбля с вакуумным электромагнитным полем.

D. F. Walls, Z. Phys. 234, 231 (1970).

Физически такое встраивание можно интерпрети-

A. Levy and R. Kozloff, Europhys. Lett. 107, 20004

ровать как своеобразные процессы конкуренции и

(2014).

интерференции квантовых переходов в открытой

системе с испусканием реального фотона и вирту-

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 156, 407

альных процессов переизлучения. В первом случае

(2019).

в открытой квантовой системе менялось квантовое

A. I. Maimistov and A. M. Basharov, Nonlinear Op-

состояние и его энергия. Во втором случае энергия

tical Waves, Kluwer Acad., Dordrecht (1999).

открытой системы не изменялась, так что соот-

ветствующий оператор диагонален по квантовым

А. М. Башаров, ЖЭТФ 158, 978 (2020).

состояниям открытой системы. Здесь важно заме-

A. E. Teretenkov, Infinite Dimensional Analysis,

тить, что в стандартном подходе к выводу кинети-

Quantum Probability and Related Topics

22,

ческого уравнения, известном большинству специ-

1930001 (2019).

алистов [1], в силу ограниченности этого подхода,

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, ЖЭТФ 157, 74

такие слагаемые вклада в релаксационный опера-

(2020).

тор кинетического уравнения не дают. Это отдельно

подчеркнуто в [1]. Более изощренные методы ана-

A. S. Trushechkin and I. V. Volovich, Europhys. Lett.

лиза динамики открытых квантовых систем, напри-

113, 30005 (2016).

мер, на основе квантового стохастического предела

10.

А. И. Трубилко, А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ

[26], учитывают диагональные слагаемые, однако

111, 632 (2020).

пока нет примеров применения данного подхода

11.

C. W. Gardiner and P. Zoller, Quantum Noise, Sprin-

к эффективному гамильтониану. В данной работе

ger-Verlag, Berlin (2004).

представлен анализ нового случая, в котором про-

явились свойства квантового считывающего процес-

12.

А. М. Башаров, А. И. Трубилко, ЖЭТФ 160, 498

са. Представляется, что набор различных случаев

(2021).

реализации открытых квантовых систем позволит

13.

А. С. Холево, в сб. Итоги науки и техн. Совр.

найти экспериментально реализуемую ситуацию,

пробл. математики. Фунд. направления, ВИНИТИ

допускающую такую систему управления оптиче-

83, 3 (1991).

скими возбуждениями, которая может пригодиться

для формирования контролируемой невинеровской

14.

А. М. Башаров, Письма в ЖЭТФ 75, 151 (2002).

динамики ансамбля возбужденных квантовых час-

15.

А. М. Башаров, ЖЭТФ 140, 431 (2011).

тиц. Последнее может оказаться востребованным в

16.

A. M. Basharov, Phys. Rev. A 84, 013801 (2011).

задачах квантовой информации, где рассматрива-

ются многокубитные системы и коллективная ре-

17.

A. M. Basharov, V. N. Gorbachev, and A. A. Rodich-

лаксация приводит к быстрой декогеренции. Неви-

kina, Phys. Rev. A 74, 042313 (2006).

871