ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 835-864

ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ УЛЬТРАХОЛОДНЫХ АТОМОВ

В КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛАХ

И. А. Дынников^a, А. Я. Мальцевb*

^a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 28 июля 2021 г.,

после переработки 8 августа 2021 г.

Принята к публикации 12 августа 2021 г.

Мы рассматриваем квазипериодические потенциалы на плоскости, которые могут служить «переходным

звеном» между упорядоченными (периодическими) и хаотическими (случайными) потенциалами. Прак-

тически в любом семействе квазипериодических потенциалов, зависящих от некоторого набора парамет-

ров, можно выделить множество (в пространстве параметров), где, согласно определенному критерию,

возникают потенциалы, обладающие признаками упорядоченных потенциалов, и множество, где воз-

никают потенциалы, обладающие признаками случайных потенциалов. Эти множества дополняют друг

друга в полном пространстве параметров, при этом каждое из них имеет свою специфическую структуру.

Различие между «упорядоченными» и «хаотическими» потенциалами будет проявляться, в частности,

в транспортных свойствах при различных значениях энергии, которые мы будем рассматривать здесь

применительно к системам ультрахолодных атомов. Отметим здесь также, что транспортные свойства

частиц в рассматриваемых потенциалах могут сопровождаться явлениями «частичной интегрируемо-

сти», свойственными двумерным гамильтоновым системам.

DOI: 10.31857/S0044451021120075

Вопросы, рассматриваемые нами здесь, будут

главным образом связаны с геометрией областей, за-

1. ВВЕДЕНИЕ

даваемых соотношением

В данной работе мы рассмотрим приложения по-

лученных сравнительно недавно результатов в тео-

f (x, y) ≤ ϵ₀

(1.1)

рии квазипериодических функций на плоскости к

для различных значений энергии ϵ₀. Функция

динамике ультрахолодных атомов в квазипериоди-

f (x, y) будет играть при этом роль потенциала,

ческих потенциалах. Общая теория квазипериоди-

в котором рассматривается двумерная динамика

ческих функций представляет в настоящее время

частицы. Легко видеть, что если динамика явля-

классическую область математики и математиче-

ется чисто классической, то такие области играют

ской физики, истоки которой восходят к исследова-

роль «областей доступности», в которых может

ниям Бора и Безиковича [1,2]. В разных источниках

оказаться частица с энергией ϵ₀. Как мы увидим

можно встретить несколько различающиеся опре-

ниже, сложность движения частицы, свойственная

деления квазипериодической функции. Здесь будем

в общем случае любой гамильтоновой динамике,

называть квазипериодической функцией на плос-

может складываться со сложностью геометрии

кости функцию f(x, y), полученную ограничением

соответствующих

«областей доступности», спо-

гладкой d-периодической функции F (z¹, . . . , z^d) при

собных обладать определенными

«хаотическими

афинном вложении R2 ⊂ Rd общего положения.

свойствами».

Размерность d мы при этом будем называть чис-

Кроме геометрии «областей доступности» для

лом квазипериодов соответствующей квазипериоди-

частицы с заданной энергией нам будет также ин-

ческой функции на плоскости.

тересно описание изменений этой геометрии при из-

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

менении параметров, задающих функцию f(x, y) в

835

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

реальных системах. В частности, может представ-

В данной работе мы постараемся использовать

лять интерес управление динамикой газа частиц в

наиболее полным образом результаты, полученные к

квазипериодических потенциалах путем изменения

настоящему времени при исследовании задачи Но-

таких параметров.

викова, для описания главных особенностей дина-

Нетрудно видеть, что геометрия областей (1.1)

мики частиц в потенциалах, связанных с этой за-

тесно связана в действительности с геометрией ли-

дачей. Кроме того, анализ результатов, полученных

ний уровня

для задачи Новикова, позволяет, в действительно-

сти, предложить критерий, разделяющий все ква-

f (x, y) = ϵ₀

(1.2)

зипериодические потенциалы (с тремя и более ква-

функции f(x, y), ограничивающих эти области при

зипериодами) на два типа, а именно, потенциалы

соответствующих значениях ϵ₀. Можно также ска-

с топологически регулярными линиями уровня и

зать, что каждая из областей (1.1) является объеди-

потенциалы с хаотическими линиями уровня. Если

нением линий уровня (1.2) для всех ϵ′0 ≤ ϵ₀.

рассматривать квазипериодические потенциалы как

Общая задача описания геометрии линий уров-

модель перехода между периодическими и случай-

ня квазипериодических функций на плоскости бы-

ными потенциалами, то потенциалы первого типа

ла поставлена Новиковым в начале 1980-х годов

можно отнести к потенциалам, динамика в которых

[3] и затем активно исследовалась в его топологи-

сохраняет некоторую топологическую интегрируе-

ческой школе [4-11]. В своей первоначальной по-

мость, а потенциалы второго типа — к потенциалам,

становке она предполагала исследование геометрии

динамика в которых близка к динамике в случай-

линий уровня функций с тремя квазипериодами,

ных потенциалах. В этом смысле, только потенциа-

что совпадает в действительности с задачей описа-

лы второго типа могут представлять собой модели

ния геометрии линий пересечения произвольной 3-

случайных потенциалов.

периодической двумерной поверхности в R³ плоско-

В действительности, довольно часто квазиперио-

стями заданного направления. В такой постановке

дические потенциалы возникают некоторыми семей-

задача Новикова имеет самое непосредственное от-

ствами (и так будет в данной работе), т. е. мы имеем,

ношение к задаче описания динамики электронов в

как правило, целое семейство функций V (x, y, U),

металлах со сложными поверхностями Ферми, кото-

зависящих гладким образом от ряда дополнитель-

рая, в свою очередь, играет важнейшую роль при

ных параметров U = (U¹, . . . , U^N ). В этой ситуации

описании гальваномагнитных явлений в металлах

важным является то, что потенциалы разных ти-

[12-18]. Отметим здесь, что результаты, полученные

пов возникают, как правило, на множествах, обла-

при исследовании задачи Новикова в этом случае,

дающих весьма специфической структурой. Так, по-

оказались весьма важны для описания гальваномаг-

тенциалы первого типа, будучи устойчивы по отно-

нитных явлений в металлах в наиболее общей ситуа-

шению к малым вариациям параметров, возникают

ции. В частности, оказалось возможным определить

на открытых множествах в полном пространстве па-

нетривиальные топологические числа, наблюдаемые

раметров. Более того, это множество является объ-

в проводимости нормальных металлов со сложными

единением (конечного или счетного) числа областей

поверхностями Ферми в достаточно сильных маг-

(зон устойчивости), каждая из которых определя-

нитных полях [19]. Кроме того, полная классифика-

ется своим значением некоторого топологического

ция возможных типов динамики (траекторий) элек-

инварианта (набором целых чисел). Напротив, по-

тронов на поверхности Ферми позволила дать также

тенциалы второго типа возникают на множествах

полное описание различных асимптотических режи-

фрактального типа, образованных дополнениями к

мов поведения проводимости в металлах с произ-

описанным выше множествам.

вольными поверхностями Ферми в пределе сильных

магнитных полей [20-22].

Можно видеть, таким образом, что для создания

В целом, задача Новикова для произвольного

квазипериодических потенциалов, наиболее близ-

числа квазипериодов тесно связана с теорией слое-

ких к истинно случайным потенциалам, необходи-

ний и теорией динамических систем на многообрази-

мо нахождение довольно сложного множества в

ях. В частности, эта связь также играет важнейшую

пространстве параметров, задающих квазиперио-

роль при исследованиях задачи Новикова для четы-

дические потенциалы рассматриваемого семейства.

рех квазипериодов (см. [23, 24]), позволивших полу-

Можно отметить здесь также, что с ростом числа

чить ряд основополагающих результатов для этого

квазипериодов такое множество становится все бо-

случая.

лее и более богатым.

836

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Наиболее удобными системами для эксперимен-

ной динамики в них необходимо представить пол-

тального изучения динамики в квазипериодических

ную картину, возникающую при исследовании об-

потенциалах нам представляются системы ультра-

щей задачи Новикова.

холодных атомов в оптических ловушках, где такие

Нетрудно видеть, что рассматриваемая нами за-

потенциалы могут быть легко реализованы путем

дача быстро усложняется с ростом числа квазипе-

наложения нескольких стоячих волн. Надо сказать,

риодов. Как мы уже сказали, строгие аналитические

что, несмотря на специальную методику создания

результаты существуют на данный момент лишь

таких потенциалов, они, в действительности, обла-

для случая трех и четырех квазипериодов. Здесь

дают всеми особенностями задачи Новикова в об-

удобно для сравнения кратко рассмотреть также

щей постановке, так что такие системы позволяют

ситуациии «одного» и «двух» квазипериодов, от-

изучать все существенные аспекты рассматривае-

вечающие периодическим потенциалам, зависящим

мой нами задачи.

лишь от одной координаты, и двояко-периодичес-

Мы будем, как уже сказано выше, заниматься

ким потенциалам на плоскости соответственно.

изучением динамики частиц в таких потенциалах

В нашей ситуации случай «одного» квазиперио-

при различных энергиях частицы. Приведенные ре-

да будет соответствовать в действительности на-

зультаты, таким образом, будут иметь прямое отно-

личию весьма простого потенциала, который часто

шение к описанию транспортных явлений в преде-

можно приближенно записать в виде

ле почти не взаимодействующих атомов в ловушках

V (x, y) = V₀ sin kx,

(2.1)

c рассматриваемыми потенциалами. Этот предел, в

действительности, возникает довольно часто в слу-

где T = 2π/k представляет собой обычный период

чае малой концентрации (нейтральных) атомов, за-

потенциала вдоль оси x. Создание потенциалов та-

хваченных в ловушку, а также малого радиуса их

кого типа является наиболее простым с технической

взаимодействия. В нашем случае мы должны по-

точки зрения и, конечно, такие потенциалы широко

требовать, чтобы средняя длина свободного пробега

используются в системах холодных атомов.

атомов была больше типичной длины, на которой

Линии уровня потенциала (2.1), очевидно, пред-

проявляются глобальные геометрические особенно-

ставляют собой вертикальные прямые, а движение

сти их траекторий в рассматриваемом потенциале.

атомов в таком потенциале происходит в прямых

При этом двумерные гамильтоновы системы обла-

вертикальных полосах при E < V₀. В действитель-

дают, как правило, весьма специальной динамикой

ности, легко видеть, что в данной ситуации дви-

[25,26], будучи интегрируемыми на достаточно низ-

жение атома ограничено вертикальной полосой при

ких уровнях энергии и переходя к хаотическим ре-

условии

жимам при повышении энергии. В нашем случае,

E - p2y/2m < V₀,

мы будем иметь возможность наблюдать, как дан-

при этом атом совершает периодические осцилля-

ное обстоятельство коррелирует с геометрией линий

ции по оси x и движется равномерно вдоль оси y.

уровня наших потенциалов.

При нарушении приведенного выше условия, оче-

видно, атом движется вдоль периодической траек-

тории, имеющей ненулевой средний наклон по отно-

2. ОБЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ

шению к оси y. Нетрудно видеть, что аналогичные

РЕЗУЛЬТАТЫ. РЕГУЛЯРНЫЕ И

условия могут быть выписаны также в движущей-

СЛУЧАЙНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

ся равномерно системе отчета, что позволяет также

дать аналогичное описание движения атомов в по-

Как хорошо известно, наиболее распространен-

тенциалах вида

ным методом создания внешних потенциалов для

атомов в оптических ловушках является интерфе-

V (x, y, t) = V₀ sin k(x - ut).

ренция стоячих волн от дополнительных лазерных

источников [27-31]. В главном приближении такие

Здесь можно видеть, что при достаточно низких

потенциалы имеют обычно конечное число гармо-

энергиях атомов и значении скорости u движущий-

ник, т. е. представимы в виде суммы конечного чис-

ся потенциал осуществляет полную «транспорти-

ла синусоидальных потенциалов. Несмотря на это

ровку» атомного газа вдоль оси x. В общем слу-

обстоятельство, как мы увидим ниже, в рассматри-

чае, при значительном разбросе энергий движущий-

ваемых нами ситуациях такие потенциалы обладают

ся потенциал позволяет осуществлять лишь частич-

уже достаточной сложностью, и для описания атом-

ную «транспортировку» атомного газа.

837

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Геометрия линий уровня дважды периодическо-

го потенциала на плоскости (с двумя независимы-

ми периодами e₁ и e₂) также имеет сравнительно

простое описание. Как и в случае «одного» квази-

периода, значения потенциала V (x, y) лежат здесь в

некотором замкнутом отрезке [V_min, V_max]. Нетруд-

но видеть при этом, что для потенциалов общего

положения линии уровня потенциала являются за-

мкнутыми при значениях E, достаточно близких к

V_min или V_max. В первом случае, однако, замкну-

тые линии уровня ограничивают области меньших

значений потенциала, в то время как во втором слу-

Рис. 1. Периодическая сеть сингулярных линий уровня, от-

чае они ограничивают области больших значений.

деляющая области меньших значений от областей боль-

В случае общего положения при этом имеются два

ших значений периодического потенциала

различных значения V₁, V₂:

Vmin < V1 < V2 < Vmax,

ских сдвигах потенциала в плоскости атомы, нахо-

таких что при всех фиксированных значениях

дящиеся в ограниченных областях, сдвигаются вме-

V (x, y), лежащих в интервале (V₁, V₂), соответству-

сти с ними, в то время как атомы, находящиеся в

ющие уровни содержат открытые (незамкнутые)

периодических полосах, сдвигаются вместе с поло-

компоненты. Все открытые компоненты (линии)

сами лишь при движении в направлении, перпенди-

уровня потенциала V (x, y) являются в этом случае

кулярном к полосам. В отличие от случая «одно-

периодическими кривыми, имеющими одно и то же

го» квазипериода, однако, здесь сдвиг потенциала

среднее направление в плоскости (для всех уровней

вдоль направления полос также оказывает влияние

в интервале (V₁, V₂)). Среднее направление откры-

на движение атомов, поскольку полосы имеют те-

тых линий уровня может быть при этом любым

перь нетривиальную форму.

целочисленным направлением, т. е. направлением,

Для периодических потенциалов необщего поло-

задаваемым вектором

жения (например, имеющих элементы вращатель-

ной симметрии) значения V₁ и V₂ могут совпадать.

l=n₁e₁ +n₂e₂

Открытые линии уровня у таких потенциалов от-

с некоторыми целыми (n₁, n₂). Отметим, что наи-

сутствуют, а на уровне V₁ = V₂ возникает сингу-

более естественным является при этом определить

лярная сеть (рис. 1), отделяющая области мень-

числа (n₁, n₂) как несократимую пару целых чисел,

ших значений V (x, y) от областей больших зна-

заданную с точностью до общего знака.

чений. Атомы движутся в ограниченных областях

Все открытые линии уровня при заданном значе-

при V_min

< ϵ₀

< V₁ = V₂ и во всей плоскос-

нии потенциала можно разделить на конечное чис-

ти с исключенными ограниченными областями (и,

ло семейств, таких что все линии одного семейства

возможно, изолированных ограниченных областях)

переходят друг в друга при сдвиге на некоторый пе-

при V₁ = V₂ < ϵ₀ < V_max.

риод V (x, y). Число таких различных семейств все-

Методы создания периодических потенциалов

гда является четным (хотя может меняться внутри

в плоскости естественно подразумевают наличие

интервала (V₁, V₂) для достаточно сложных потен-

некоторого конечного числа параметров, описываю-

циалов).

щих такие потенциалы. Например, при формирова-

Можно видеть, таким образом, что движение

нии потенциала с помощью наложения двух синусо-

атомов в периодических потенциалах общего по-

идальных стоячих волн (с генерацией высших гар-

ложения происходит в ограниченных областях при

моник или без нее) такими параметрами могут быть

V_min < ϵ₀ < V₁, в периодических полосах (а также,

ориентации обеих синусоид, их амплитуды, перио-

возможно, и изолированных ограниченных облас-

ды, положения максимумов, возможно, угол меж-

тях) при V₁ < ϵ₀ < V₂, в плоскости с исключенными

ду их поляризациями и относительный сдвиг фаз.

ограниченными областями (и, возможно, изолиро-

Нетрудно видеть, что в этом случае сдвиг максиму-

ванных ограниченных областях) при V₂ < ϵ₀ < V_max

мов любой из синусоид приводит в действительнос-

и во всей плоскости при ϵ₀ > V_max. При адиабатиче-

ти к сдвигу результирующего потенциала как цело-

838

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

го и не меняет качественно рассматриваемой нами

картины.

Что касается более общих (непрерывных) вари-

аций описанных выше параметров, то здесь можно

отметить одну общую важную особенность. А имен-

но, потенциалы общего положения образуют откры-

тое множество, т. е. соотношение V₂ > V₁ является

устойчивым по отношению к произвольному малому

изменению параметров. Напротив, условие V₁ = V₂

является неустойчивым и разрушается при сколь

угодно малой вариации параметров общего вида.

Кроме этого, локально устойчивыми являются так-

же числа (n₁, n₂), связывающие средние направле-

Рис. 2. Наложение трех стоячих волн в плоскости с образо-

ния открытых линий уровня с периодами потенци-

ванием потенциала с тремя квазипериодами (схематично).

ала (хотя сами e₁ и e₂ могут меняться с изменени-

(Векторы ηi указывают направления фронтов волн, а век-

ем параметров), которые могут меняться лишь при

торы ai — сдвиги между максимумами их амплитуд)

переходе потенциала через ситуацию необщего по-

ложения (V₁ = V₂). Таким образом, можно видеть,

что полное пространство параметров можно в об-

щем случае разделить на области, соответствующие

смотрим здесь случаи трех и четырех квазиперио-

различным целочисленным парам (n₁, n₂) и разде-

дов, для которых на данный момент имеются глу-

ленные границами, на которых имеет место соотно-

бокие аналитические результаты. В данном разде-

шение V₁ = V₂.

ле мы просто сформулируем строгие аналитические

Здесь мы хотели бы также сразу отметить, что

результаты, полученные для таких потенциалов к

несмотря на сравнительно простое описание «об-

настоящему времени. В следующем разделе мы бо-

ластей доступности» в периодических потенциа-

лее детально рассмотрим особенности возникающей

лах при любых значениях энергии, консервативная

здесь геометрии на конкретных примерах.

динамика холодных атомов в таких потенциалах

Как мы отметили, наиболее глубоко исследован-

может обладать весьма нетривиальными свойства-

ной является на данный момент задача Новикова с

ми [32-34].

тремя квазипериодами, которую мы и рассмотрим

Мы перейдем теперь к рассмотрению потенциа-

здесь наиболее подробно. В рассматриваемой нами

лов с большим числом квазипериодов, что и будет

методике создания потенциалов в плоскости эта си-

составлять основное содержание нашей работы.

туация соответствует потенциалам, получаемым на-

Создание квазипериодических потенциалов в си-

ложением трех синусоидальных стоячих волн, ори-

стемах ультрахолодных атомов с помощью интер-

ентированных под разными углами (с появлением

ференции стоячих волн также привлекало интерес

высших гармоник или без него) (рис. 2).

как с теоретической, так и с экспериментальной точ-

ки зрения. В частности, такие потенциалы рассмат-

Наложение трех (и более) стоячих волн в ре-

ривались как в случае трехмерных [35], так и в

шетках холодных атомов может использоваться не

случае двумерных [36-39] оптических решеток для

только для создания квазипериодических, но и ин-

плененных атомов в магнитооптических ловушках

тересных периодических потенциалов в двумерных

(см. также обзор по созданию, удержанию и мони-

системах (в частности, такая схема была предложе-

торингу поведения газов ультрахолодных атомов в

на в работе [42] для создания шестиугольных (со-

том числе в потенциалах различной формы в работе

товых) решеток и в работе [43] для создания три-

[40]). Можно отметить также, что квазипериодиче-

шестиугольных (Кагоме) решеток). В этом случае

ские (квазикристаллические) структуры в двумер-

волновые числа соответствующих волн должны, во-

ных системах взаимодействующих ультрахолодных

обще говоря, удовлетворять ряду специальных до-

атомов могут возникать и при отсутствии специаль-

полнительных условий. В нашей ситуации мы будем

ной внешней модуляции [41].

предполагать, что волновые числа являются незави-

Как мы уже сказали выше, нас здесь будут инте-

симыми параметрами на пространстве рассматрива-

ресовать квазипериодические потенциалы для дву-

емых потенциалов. В случае общего положения рас-

мерных систем ультрахолодных атомов. Мы рас-

сматриваемые нами потенциалы не будут иметь точ-

839

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

ных периодов в плоскости, которые могут возникать

плоскости, в действительности, приводились в ра-

лишь для специальных значений параметров.

боте [44], где изучались электронные транспортные

явления в таких потенциалах в присутствии сильно-

Как мы уже говорили, приводимые ниже резуль-

го магнитного поля. Отметим, однако, что в рабо-

таты будут основываться лишь на квазипериодиче-

те [44] главную роль играла геометрия линий уров-

ских свойствах возникающих при этом потенциалов,

ня квазипериодических потенциалов, а не геометрия

поэтому многие дополнительные детали их возник-

областей их меньших значений, которую мы будем

новения не будут, в действительности, играть ка-

рассматривать здесь.

кой-либо роли.

Нетрудно видеть, что потенциал, порожденный

Нам будет удобно начать с замечания, что, хо-

тремя синусоидальными волнами (и высшими гар-

тя этого и не происходит в случае общего положе-

мониками),

ния, потенциалы, полученные описанным нами спо-

собом, могут быть и периодическими. Такая ситу-

∑

ация возникает всякий раз, когда соответствующая

V (r) =

V_i cos(k(i)r + δ_i) + . . .,

плоскость R² ⊂ R³ является целочисленной (раци-

i=1

ональной), т. е. содержит два независимых целочис-

является ограничением периодической в R³ функ-

ленных вектора в R³. Нетрудно видеть, что соответ-

ции

ствующие потенциалы являются всюду плотными

∑

среди всех рассматриваемых нами потенциалов, при

V (X¹, X², X³) =

V_i cosXⁱ + . . .

этом их периодические свойства определяются зна-

i=1

чениями параметров (k₁, k₂, k₃). Для описания ли-

при афинном вложении R² → R³, задаваемом фор-

ний уровня таких потенциалов могут быть исполь-

мулами

зованы все сделанные ранее утверждения о периоди-

ческих потенциалах, однако, здесь надо сразу отме-

⎛

⎞

(

)

k¹⁽¹⁾x + k²⁽¹⁾y + δ₁

тить, что подавляющее большинство этих потенциа-

⎜

⎟

⎜

⎟

лов будут иметь весьма большие (по абсолютной ве-

→

x+k²⁽²⁾y+δ₂

⎝ k

(2)

⎠⁼

личине) периоды e₁ и e₂. Как следствие этого, опи-

k¹⁽³⁾x + k²⁽³⁾y + δ₃

санные выше свойства линий уровня таких потен-

⎛

⎞

циалов будут наблюдаться лишь на очень больших

k₍₁₎r + δ₁

масштабах, при этом на меньших масштабах их ли-

⎜

⎟

⎝ k₍₂₎r + δ₂

⎠.

(2.2)

нии уровня могут обладать совсем другими нетри-

виальными свойствами, более важными для описа-

k₍₃₎r + δ₃

ния наблюдаемых экспериментальных данных. В ре-

Можно отметить при этом, что потенциалам,

зультате, для потенциалов с большими периодами,

различающимся лишь сдвигами максимумов сто-

как правило, более информативными оказываются

ячих волн (δ_i), отвечает одна и та же функция

более общие утверждения о линиях уровня квазипе-

V (X¹, X², X³) в R³, и их различие обусловлено

риодических потенциалов, приводимые нами ниже.

лишь изменением афинного вложения R2 → R3,

при котором плоскость R² сдвигается в R³, сохра-

Вместе с тем, как оказывается, роль всюду плот-

няя свое направление.

ного множества периодических потенциалов в про-

Как мы уже сказали, даже квазипериодеские по-

странстве параметров является, в действительно-

тенциалы, содержащие небольшое число гармоник,

сти, чрезвычайно важной при исследовании зада-

обладают уже достаточной сложностью, позволяю-

чи Новикова для рассматриваемых нами квазипе-

щей наблюдать все аспекты общей задачи Новикова

риодических потенциалов. Ниже мы сформулируем

для трех квазипериодов, поэтому мы будем прово-

чрезвычайно важное утверждение, касающееся ма-

дить рассмотрение описанной нами задачи исходя

лых деформаций периодических потенциалов и вы-

из общих результатов для функций с тремя квазипе-

текающее из результатов работ [4,5]. Отметим здесь,

риодами. Ниже мы сформулируем в наиболее удоб-

что в работах [4, 5] предполагается в действитель-

ной для нас здесь форме ряд основополагающих ре-

ности выполнение некоторых условий регулярности

зультатов для общей задачи Новикова, следующих

(общего положения), которые мы не приводим здесь

из результатов работ [4-11]. Аналогичные утвержде-

подробно, предполагая, что они всегда выполняют-

ния для искусственно создаваемых потенциалов в

ся для реально возникающих физических потенциа-

840

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Тройки (m¹, m², m³) имеют в действительности

топологическое происхождение и могут быть введе-

ны также другим способом. А именно, вспомним,

что среди параметров рассматриваемых нами потен-

циалов присутствуют, в частности, положения мак-

симумов стоячих волн, используемых при создании

потенциала. В рассматриваемой нами теперь кар-

Рис. 3. Открытая линия уровня квазипериодического по-

тине сдвиг отдельной стоячей волны уже не экви-

тенциала, лежащая в прямой полосе конечной ширины и

валентен простому сдвигу результирующего потен-

проходящая ее насквозь (схематично)

циала и представляет собой несколько более слож-

ное преобразование. Легко видеть также, что сдвиг

лов¹⁾. В этом случае в наиболее простой форме нуж-

фронта стоячей волны (перпендикулярно самому се-

ные нам следствия из [4,5] могут быть сформулиро-

бе) на период этой волны эквивалентен тождествен-

ваны следующим образом.

ному преобразованию. В целом, совокупность всех

Пусть некоторый полный набор параметров

таких преобразований образует трехпараметриче-

скую группу (T³), содержащую простые сдвиги в

U₀ = (k⁰⁽¹⁾, k⁰⁽²⁾, k⁰⁽³⁾, V⁰¹, V⁰², V⁰³, . . . )

качестве алгебраической подгруппы. Вместе с тем,

простые сдвиги образуют всюду плотное множество

отвечает некоторому периодическому потенциалу в

в рассматриваемой группе преобразований для по-

плоскости. Тогда в пространстве параметров суще-

тенциалов общего положения, поэтому все такие по-

ствует открытая окрестность Ω точки U₀ («зона

тенциалы, связанные описанными преобразования-

устойчивости»), такая что для любых U ∈ Ω:

ми, являются, в некотором смысле, родственными.

A1. Все открытые линии уровня соответству-

В частности, такие потенциала имеют схожие линии

ющего двумерного потенциала V (x, y, U) лежат в

уровня при любом значении энергии ϵ₀.

прямых полосах конечной ширины, проходя их на-

Если теперь мы рассмотрим потенциал

сквозь (рис. 3);

V (x, y, U) (общего положения) для некоторых

A2. Среднее направление l(U) полос, содержа-

значений U ∈ Ω и зафиксируем значение ϵ₀, отве-

щих открытые линии уровня потенциала V (x, y, U),

чающее появлению открытых линий уровня, то мы

определяется во всей области Ω некоторой (несокра-

можем проследить за изменением любой из таких

тимой) целочисленной тройкой (m¹, m², m³) из соот-

линий при каждом из трех непрерывных сдвигов

ношения

фронтов стоячих волн (в направлении роста фазы)

(

)

на соответствующие периоды. Каждому из непре-

m¹k₍₁₎ + m²k₍₂₎ + m³k₍₃₎, l(U)

= 0.

(2.3)

рывных сдвигов при этом будет соответствовать

Отметим здесь, что для вложений (2.2) макси-

движение открытой линии уровня в плоскости

мальной иррациональности соотношения (2.3) опре-

(возможно, со слиянием с ней и отделением от нее

деляют однозначно (с точностью до знака) тройку

замкнутых линий уровня в процессе движения), в

(m¹, m², m³).

результате которого она в конечном итоге перейдет

в некоторую другую линию того же потенциала при

¹⁾ Одним из основных условий, накладываемых в [4, 5] на

сдвиге волны на полный период (рис. 4). Можно

функцию V (X¹, X², X³) и рациональное направление вложе-

показать, что количество позиций N, на которое

ния R² → R³, является отсутствие во всех плоскостях задан-

ного направления сингулярных линий уровня, соединяющих

при этом сместится линия, одинаково для всех

две разные особые точки потенциала, хотя бы на одном из

открытых линий уровня, и определяется лишь

уровней энергии в интервале существования открытых ли-

выбранным преобразованием.

ний уровня. Для морсовских функций V (X¹, X², X³) и раци-

Тройка чисел (N¹, N², N³), определенная при

ональных направлений вложения R² → R³ общего положения

это условие выполняется. В некоторых физических примерах

трех последовательных сдвигах соответственно пер-

это условие может в действительности нарушаться из-за на-

вой, второй и третьей волн может быть при этом

ложения каких-либо дополнительных специальных симмет-

представлена в виде

рий. Мы не предполагаем здесь специального наличия таких

дополнительных симметрий на рассматриваемых семействах

(N¹, N², N³) = M(m¹, m², m³),

потенциалов. В этом случае нарушение указанного условия

может происходить лишь при некоторых специальных раци-

где M ∈ Z и (m¹, m², m³) — несократимая цело-

ональных направлениях вложения, что, в действительности,

не меняет описываемой картины в соответствующем семей-

численная тройка. Число M при этом всегда яв-

стве квазипериодических потенциалов.

ляется четным и также имеет топологическое про-

841

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 5. Усложнение геометрии «топологически регуляр-

ных» открытых линий уровня квазипериодического потен-

Рис. 4. Сдвиг регулярных открытых линий уровня квази-

циала с ростом значений (m¹, m², m³) (схематично)

периодического потенциала при сдвиге максимумов одной

из стоячих волн на полный период в направлении роста

фазы

уменьшаются, при этом также увеличивается оцен-

ка снизу на ширину полос, содержащих открытые

линии уровня (и соответствующие области меньших

исхождение (количество «классов эквивалентности»

значений). В этом случае приведенное выше описа-

открытых линий уровня в плоскости), а тройка

ние также начинает относиться ко все большим и

(m¹, m², m³) совпадает с введенной ранее с точнос-

большим масштабам в плоскости R² и не дает по-

тью до знака.

дробной информации о геометрии линий уровня на

Таким образом, можно видеть, что в простран-

меньших масштабах (рис. 5). Как мы увидим ни-

стве параметров рассматриваемых нами потенциа-

же, в этой ситуации поведение линий уровня (на

лов можно выделить совокупность «зон устойчиво-

небольших масштабах) уже не может быть описано

сти» Ωm,M , параметризуемых введенными выше це-

столь же простым образом и обладает гораздо более

лочисленными тройками m = (m¹, m², m³) (а так-

сложными (хаотическими) свойствами. Как мы уви-

же числами M). Числа (m¹, m², m³), вообще гово-

дим также, в предельных случаях такое поведение

ря, не пробегают всего множества целочисленных

может приводить к полностью хаотическому пове-

(несократимых) троек, однако их число в общем слу-

дению линий уровня квазипериодических потенци-

чае бесконечно, и они могут принимать сколь угод-

алов, обладающему сложными хаотическими свой-

но большие значения. Каждая «зона устойчивости»

ствами на всех масштабах.

представляет собой в действительности некоторую

Исходя из описанных выше свойств линий уров-

открытую область в пространстве параметров, об-

ня квазипериодических потенциалов в зонах устой-

ладающую кусочно-гладкой границей (границы раз-

чивости, можно видеть, что весьма схожими свойст-

личных зон могут примыкать друг к другу). Мно-

вами должны обладать в этом случае также и облас-

жество «зон устойчивости» представляет собой до-

ти V (x, y, U) < ϵ₀, если линии уровня V (x, y, U) = ϵ₀

вольно богатую структуру в пространстве парамет-

являются открытыми (рис. 6).

ров, в частности, «зоны устойчивости» содержат все

А именно, если на уровне ϵ₀ имеются незамкну-

значения параметров, отвечающие появлению пери-

тые линии уровня, то любая открытая связная об-

одических потенциалов V (x, y, U) (см. сноску 1)).

ласть V (x, y, U) < ϵ₀ также лежит в прямой поло-

Можно видеть, что приведенное выше описание

се конечной ширины, проходя ее насквозь. Среднее

открытых линий уровня потенциалов, возникающих

направление такой полосы, очевидно, совпадает со

в зонах Ωm,M , является весьма простым и очень ин-

средним направлением открытых линий уровня и

формативным (особенно, в случае небольших зна-

задается уравнением (2.3). Отметим здесь сразу, что

чений (m¹, m², m³)). В частности, оно дает гораз-

теперь как линии уровня, так и области меньших

до больше информации о поведении линий уров-

значений потенциала, уже не являются периодиче-

ня принадлежащих Ωm,M периодических потенци-

скими для общих значений параметров. Свойства

алов с большими периодами, чем может быть полу-

(A1), (A2), однако, как можно видеть, дают опре-

чено из факта их периодичности. С ростом значе-

деленную аналогию со случаем периодических по-

ний (m¹, m², m³) размеры зон устойчивости Ωm,M

тенциалов.

842

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

для многих вопросов транспортировки атомов в оп-

тических решетках (см. [45] и приводимые там ссыл-

ки). Такое движение, вообще говоря, осуществляет

неполную транспортировку атомов в соответствую-

щем направлении из-за отделения от «областей до-

ступности» одних замкнутых областей и присоеди-

нения к ним других в процессе их перемещения.

Отметим здесь также еще одно важное обсто-

ятельство. А именно, как мы уже сказали, нали-

чие зоны устойчивости в пространстве параметров

рассматриваемых нами потенциалов означает, есте-

ственно, сохранение определяемой ею картины при

Рис. 6. Область меньших значений квазипериодического

достаточно малых вариациях таких параметров. В

потенциала, лежащая в прямой полосе конечной ширины

действительности, как следует из топологических

и проходящая ее насквозь (схематично)

рассмотрений, эта картина является устойчивой и

по отношению к гораздо более общим вариациям

потенциала, в частности, вариациям, возникающим

Легко видеть, что транспортные явления в по-

на конечных масштабах, если они достаточно ма-

тенциале с параметрами, лежащими в одной из зон

лы. Можно видеть, таким образом, что приведен-

устойчивости, могут обладать резко выраженной

ное описание геометрии областей V (x, y, U) < ϵ₀,

анизотропией. Это свойство должно, как правило,

а также особенностей транспортных явлений, яв-

наблюдаться в том случае, если в ансамбле частиц,

ляется устойчивым по отношению к возмущениям

помещенных в такой потенциал, присутствуют час-

или «дефектам» достаточно малой величины. Отме-

тицы с энергиями, отвечающими появлению откры-

ченное обстоятельство является важным также при

тых линий уровня потенциала. Можно видеть, в дей-

наличии дополнительных (неквазипериодических)

ствительности, что подобная анизотропия может на-

медленно меняющихся потенциалов, которые так-

блюдаться также и при более общих предположени-

же нередко присутствуют в экспериментальных по-

ях, в частности, в системах сильно взаимодейству-

становках. Приведенное выше описание (с теми же

ющих частиц или в гидродинамическом приближе-

самыми числами (m¹, m², m³)) сохраняется в этом

нии.

случае в областях, где максимальное изменение та-

Здесь надо сделать важное замечание относи-

ких потенциалов не превышает энергетического ин-

тельно транспортных явлений в рассматриваемом

тервала существования открытых линий уровня по-

нами случае. А именно, в зонах устойчивости с боль-

тенциала V (x, y, U). Надо сказать, что оценка допу-

шими значениями чисел (m¹, m², m³) ширина полос,

стимых вариаций потенциала V (x, y, U) здесь также

содержащих области V (x, y, U) < ϵ₀ при наличии от-

быстро уменьшается с ростом чисел (m¹, m², m³).

крытых линий уровня при V (x, y, U) = ϵ₀, становит-

Несмотря на то, что совокупность всех зон устой-

ся довольно большой, а сама форма таких областей

чивости Ωm,M образует открытое покрытие всю-

все более и более сложной, что (весьма схематич-

ду плотного множества в пространстве параметров,

но) показано на рис. 6. Как следствие этого, движе-

она, вообще говоря, не покрывает его целиком, и

ние частиц в таких областях становится все более

квазипериодические потенциалы с тремя квазипери-

и более сложным, постепенно приобретая признаки

одами могут обладать, как мы уже сказали, лини-

блуждания в случайном потенциале.

ями уровня, более сложными по сравнению с опи-

Отметим здесь также, что описанное нами вы-

санными выше [6,10]. Можно сказать, тем не менее,

ше движение открытых линий уровня (и ограничи-

что описанная выше «регулярная» ситуация являет-

ваемых ими «областей доступности») при сдвигах

ся, в некотором смысле, основной для случая трех

максимумов каждой из стоячих волн зависит самым

квазипериодов, в то время как более сложное пове-

существенным образом от значений (m¹, m², m³). В

дение линий уровня требует специального построе-

частности, скорость перемещения «областей доступ-

ния соответствующего потенциала. Для более пол-

ности» при больших значениях (m¹, m², m³) может

ного описания возникающей в общем случае карти-

значительно превышать скорость движения макси-

ны мы приведем здесь, основываясь на результатах

мумов стоячих волн. Последнее обстоятельство мо-

работ [7, 11], ряд важных утверждений о структу-

жет, в действительности, играть существенную роль

ре линий уровня потенциалов с тремя квазиперио-

843

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

дами самого общего вида. В действительности, вме-

лее сложным хаотическим поведением (это возни-

сте с приведенными выше утверждениями, приводи-

кает в точках накопления бесконечного числа зон

мые ниже результаты представляют в определенном

Ωm,M с неограниченно возрастающими значениями

смысле полную теорию линий уровня потенциалов

(m¹, m², m³)).

с тремя квазипериодами на плоскости.

Можно видеть, таким образом, что появление от-

Отметим, что все потенциалы, получаемые из

крытых линий уровня в «зонах устойчивости» со-

3-периодических функций при вложении R² ⊂ R³

вершенно не соответствует аналогичному явлению

можно в действительности разделить на три ти-

для истинно случайных потенциалов, где, как пра-

па. А именно, прежде всего, как мы уже видели,

вило, открытые линии уровня возникают на единст-

при определенных значениях (k₍₁₎, k₍₂₎, k₍₃₎) соот-

венном уровне энергии (если рассматривать случай-

ветствующий потенциал V (x, y, U) может оказать-

ные потенциалы с точки зрения теории перколя-

ся в действительности двоякопериодическим. Назо-

ции [46, 47]). Также потенциалы, возникающие на

вем здесь такие потенциалы потенциалами типа I.

границах «зон устойчивости», хотя и имеют откры-

Вторая возможность заключается в том, что потен-

тые линии уровня лишь при одном значении ϵ₀, не

циал V (x, y, U), не являясь двоякопериодическим,

очень подходят на роль случайных потенциалов в

все-таки имеет один (с точностью до множителя)

силу «слишком регулярного поведения» их откры-

период в плоскости R². Такие потенциалы можно

тых линий уровня. Поэтому можно видеть, что в

назвать потенциалами типа II. Как и потенциалы

качестве моделей случайного потенциала естествен-

типа I, они возникают на всюду плотном множестве

но рассматривать лишь потенциалы с хаотическими

в пространстве параметров (k₍₁₎, k₍₂₎, k₍₃₎), имею-

линиями уровня. Как мы уже сказали, в случае трех

щем меру нуль. Наконец, к потенциалам типа III

квазипериодов такие потенциалы всегда возникают

мы можем отнести потенциалы, не имеющие точных

в точках накопления «зон устойчивости» со все бо-

периодов в плоскости R². Только потенциалы типа

лее сложной геометрией открытых линий уровня по-

III при этом являются потенциалами общего поло-

тенциалов, так что здесь всегда имеется предельный

жения и соответствуют множеству полной меры в

переход от «регулярного» случая к «хаотическому».

пространстве параметров. В формулируемых ниже

Необходимо отметить также, что хаотические

утверждениях о линиях уровня квазипериодических

линии уровня, возникающие у потенциалов типа II

потенциалов мы будем предполагать, что соответ-

сильно отличаются от хаотических линий уровня,

ствующие потенциалы являются потенциалами типа

возникающих у потенциалов типа III. Так, хаотичес-

II или III, поскольку потенциалы типа I уже были в

кие линии уровня потенциалов типа II всегда пред-

действительности рассмотрены выше. При сделан-

ставляют собой кривые, имеющие асимптотическое

ных предположениях можно сформулировать сле-

направление в плоскости R² [10]. Такие линии уров-

дующие утверждения.

ня напоминают в некоторой степени описанные вы-

Пусть V (x, y, U) — потенциал с тремя квази-

ше «регулярные» линии уровня, проходя через плос-

периодами, принимающий значения в интервале

кость в целом вдоль некоторого фиксированного на-

[V_min(U), V_max(U)]. Тогда:

правления. Их отличие заключается в том, что от-

B1. Открытые линии уровня V (x, y, U) суще-

клонения такой линии в перпендикулярном направ-

ствуют в связном интервале [V₁(U), V₂(U)],

лении не обязательно являются ограниченными, и

она не может быть заключена ни в какой прямой

V_min(U) < V₁(U) ≤ V₂(U) < V_max(U),

полосе конечной ширины. То же самое можно ска-

который может вырождаться в единственную точку

зать и о соответствующих областях меньших значе-

V₀(U) = V₁(U) = V₂(U).

ний потенциала

B2. Всякий раз, когда открытые линии уров-

V (x, y, U) ≤ V₀,

ня возникают в конечном интервале [V₁(U), V₂(U)],

они обладают сформулированными выше свойства-

а именно, они представляют собой некоторые «поло-

ми (A1), (A2).

сы», проходящие всю плоскость в некотором фикси-

B3. В случае, когда интервал [V₁(U), V₂(U)] стя-

рованном направлении. Ширина этих полос, одна-

гивается в единственную точку V₀(U) = V₁(U) =

ко, может варьироваться неограниченно на разных

= V₂(U), возникающие на соответствующем уровне

участках, и они не могут быть заключены в прямые

открытые линии уровня могут как удовлетворять

полосы фиксированной ширины. При сдвиге гра-

условиям (A1), (A2) (это происходит на грани-

ничного значения ϵ₀ вниз на сколь угодно малую ве-

цах зон устойчивости Ωm,M ), так и обладать бо-

личину область меньших значений соответствующе-

844

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

деленном направлении в плоскости и ему перпенди-

кулярном (0 < α, β < 1). В целом стохастические

свойства таких линий уровня довольно сложны и в

настоящее время являются объектом интенсивных

исследований (см., например, [10, 11, 50-65]).

Хаотичность линий уровня потенциала, образо-

ванного тремя стоячими волнами, инвариантна от-

носительно сдвигов фаз δ_i (т. е. положения максиму-

мов стоячих волн) при фиксированных остальных

параметрах. При таких сдвигах сохраняется значе-

ние V₀, а также геометрические особенности хаоти-

ческих линий уровня (в частности, показатели α и

Рис. 7. «Хаотическая» открытая линия уровня потенциа-

β). Изменение «областей доступности» V (x, y) ≤ V₀

ла с тремя квазипериодами (схематично)

при сдвигах максимумов стоячих волн сопровожда-

ется здесь их довольно сложным движением, а так-

го потенциала состоит из сильно вытянутых ограни-

же многочисленными перестройками на их грани-

ченных областей, а при сдвиге ϵ₀ вверх эта область

цах. Вообще говоря, транспортировка атомного га-

представляет собой всю плоскость, из которой ис-

за при адиабатическом изменении положений мак-

ключены сильно вытянутые ограниченные области

симумов стоячих волн в этой ситуации должна вы-

(а также, возможно, добавлены не связанные с глав-

числяться отдельно для каждого такого потенциала.

ной компонентой дополнительные ограниченные об-

В данной работе мы постараемся представить

ласти, лежащие внутри исключенных областей).

такие линии уровня и соответствующие им обла-

Можно задаться вопросом, насколько потенциа-

сти меньших значений потенциала наиболее нагляд-

лы типа II с хаотическими линиями уровня могут

ным образом. Кроме того, как мы уже говорили,

рассматриваться в качестве модели случайного по-

нам будет интересна динамика ультрахолодных ато-

тенциала. В некотором смысле, их можно считать

мов в описанных нами областях. Особенно интерес-

промежуточным случаем между «регулярными» и

ным при этом, на наш взгляд, является наложение

«хаотическими» потенциалами.

свойств хаотической динамики как таковой на хао-

Хаотические линии уровня, возникающие у по-

тические свойства «областей доступности» для этой

тенциалов типа III, являются гораздо более слож-

динамики.

ными и «заметают» всю плоскость R² хаотическим

Здесь мы хотели бы отметить еще одно важное

образом (рис. 7). Аналогичное поведение проявляют

свойство «хаотических» линий уровня потенциалов

при этом и соответствующие таким потенциалам об-

V (x, y, U) с тремя квазипериодами, а именно, на-

ласти меньших значений V (x, y, U) ≤ V₀. При сдви-

личие на них участков, где такая линия уровня (а

ге граничного значения ϵ₀ вниз на сколь угодно ма-

также соответствующая область меньших значений

лую величину область меньших значений соответ-

V (x, y, U) ≤ V₀) «очень близко» подходит к самой

ствующего потенциала состоит из довольно слож-

себе (рис. 8). Говоря точнее, рассматривая все боль-

ных ограниченных областей, а при сдвиге ϵ₀ вверх

шие и большие области в плоскости, мы можем най-

эта область представляет собой всю плоскость, из

ти на такой линии уровня участки, сколь угодно

которой исключены ограниченные области сложной

близко подходящие друг к другу. Как следствие это-

формы (а также, возможно, добавлены не связан-

го, при рассмотрении квазиклассической динамики

ные с главной компонентой дополнительные огра-

атомов с энергиями, близкими к соответствующему

ниченные области, лежащие внутри исключенных

уровню V₀, необходимо всегда рассматривать также

областей). Важным обстоятельством здесь являет-

эффекты туннелирования из одной части «области

ся то, что линейные размеры таких областей рас-

доступности» в другую вблизи таких участков.

тут при приближении к значению ϵ₀ по степенно-

Еще одним следствием указанного выше обсто-

му закону с некоторыми дробными показателями

ятельства является то, что, в отличие от ситуации

(∼ |ϵ - ϵ₀|^-α), что объединяет такие потенциалы

в зонах устойчивости, здесь глобальная геометрия

со случайными потенциалами [48, 49]. Надо отме-

областей V (x, y, U) ≤ V₀ является неустойчивой по

тить, однако, что здесь в общем случае может на-

отношению к сколь угодно малым локальным ва-

блюдаться определенная анизотропия, а именно, на-

риациям потенциала V (x, y) и может сильно изме-

личие двух показателей роста, α и β, в одном опре-

няться (на больших масштабах) при наличии сколь

845

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 8. Эффекты туннелирования между различными ча-

стями классических «областей доступности» при их сбли-

жении для потенциалов с тремя квазипериодами

угодно малых возмущений или дефектов. Как след-

ствие этого, транспортные свойства частиц в таких

Рис. 9. Зоны устойчивости для квазипериодических потен-

потенциалах могут также сильно зависеть от нали-

циалов в плоскости, получаемых ограничением потенциа-

чия таких дефектов в плоскости потенциала. При

ла cos X¹ + cos X² + cos X³ при всевозможных афинных

наличии дополнительных медленно меняющихся по-

вложениях R² → R³ [54, 55]. Зоны представляют собой

тенциалов, например, типа

области на единичной сфере, образованной концами еди-

ничных векторов, ортогональных направлению вложения

V (x, y) = ax², a → 0,

глобальная геометрия открытых линий уровня и со-

R². Концы таких векторов лежат на единичной сфе-

ответствующих им областей меньших значений сум-

ре S² и, таким образом, все зоны устойчивости мо-

марного потенциала чаще всего будет повторять со-

гут быть представлены как области на единичной

ответствующую геометрию для плавного потенциа-

сфере. Можно видеть, что объединение (бесконечно-

ла на больших масштабах и вести себя типичным

го числа) таких областей задает довольно сложное

«хаотическим» образом на малых масштабах.

множество на сфере, а дополнение к нему обладает

Согласно общей гипотезе Новикова, в случае

фрактальными свойствами. Отметим здесь также,

трех квазипериодов появление потенциалов с хаоти-

что гипотеза Новикова пока не доказана строго, хо-

ческими линиями уровня может происходить лишь

тя была подтверждена в ряде серьезных численных

на множестве меры нуль и, более того, фракталь-

экспериментов.

ной коразмерности строго больше единицы, в пол-

Сформулируем теперь аналитические результа-

ном пространстве параметров. Можно видеть, та-

ты, известные к настоящему времени для потенци-

ким образом, что для экспериментальной реализа-

алов с четырьмя квазипериодами. Надо сразу ска-

ции потенциала с тремя квазипериодами, близкого

зать, что задача Новикова для случая четырех ква-

по свойствам к случайному в описанном выше смыс-

зипериодов является еще более сложной по срав-

ле, необходим весьма специальный подбор парамет-

нению со случаем трех квазипериодов. Вместе с

ров, задающих такой потенциал. На рис. 9 приведен

тем, случай четырех квазипериодов может оказать-

пример расположения зон устойчивости в простран-

ся весьма важным в рассматриваемой нами поста-

стве существенных параметров при ограничении по-

новке в связи с проблемой модулирования двумер-

тенциала

ных квазикристаллов в системах холодных атомов.

cosX¹ + cosX² + cosX³

В рассматриваемой нами постановке потенциалы

на двумерные плоскости при всевозможных афин-

с четырьмя квазипериодами получаются в резуль-

ных вложениях R² → R³. В данном случае суще-

тате наложения четырех независимых синусоидаль-

ственным является лишь направление вложения, ко-

ных стоячих волн (возможно, с генерацией высших

торое может быть задано единичным вектором в

гармоник, рис. 10) и могут быть записаны в следу-

R³, ортогональным вложенным в него плоскостям

ющей общей форме:

846

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

стей («зон устойчивости» Ω), таких что в каждой из

областей Ω:

C1. Открытые линии уровня V (x, y, U) суще-

ствуют в конечном связном интервале энергий

[V₁(U), V₂(U)]:

V_min(U) < V₁(U) ≤ V₂(U) < V_max(U).

C2. Все открытые линии уровня соответству-

ющего двумерного потенциала V (x, y, U) лежат в

прямых полосах конечной ширины, проходя их на-

сквозь (рис. 3);

C3. Среднее направление l(U) полос, содержа-

Рис. 10. Наложение четырех стоячих волн в плоскости

щих открытые линии уровня потенциала V (x, y, U),

с образованием потенциала с четырьмя квазипериодами

определяется во всей области Ω некоторой (несокра-

(схематично). Векторы ηi указывают направления фрон-

тимой) целочисленной четверкой (m¹, m², m³, m⁴)

тов волн, а векторы ai — сдвиги между максимумами их

из соотношения

амплитуд

(

)

m¹k₍₁₎ + m²k₍₂₎ + m³k₍₃₎ + m⁴k₍₄₎ , l(U)

= 0.

∑

Как и в случае трех квазипериодов, четверки

V (r) =

V_i cos(k(i)r + δ_i) + . . .

(m¹, m², m³, m⁴) имеют в действительности тополо-

i=1

гическое происхождение и могут быть определены

Квазипериодические

свойства

потенци-

аналогичным описанному ранее способом, опираю-

ала определяются при этом параметрами

щимся на преобразованиях сдвигов параметров δ_i.

(k₍₁₎, k₍₂₎, k₍₃₎, k₍₄₎), задающими афинное вложение

Так же, как и в случае трех квазипериодов, объ-

R² → R⁴, согласно формулам

единение зон устойчивости (в общем случае) не по-

⎛

⎞

крывает здесь всего пространства параметров. До-

k¹⁽¹⁾x + k²⁽¹⁾y + δ₁

полнение к этому объединению образует сложное

(

)

⎜

⎟

⎜

k¹⁽²⁾x + k²⁽²⁾y + δ₂

⎟

множество, отвечающее возникновению потенциа-

→

⎜

⎟₌

⎜

⎟

лов с хаотическими линиями уровня. Надо сказать,

⎝ k⁽³⁾x + k⁽³⁾y + δ3

⎠

что как особенности хаотического поведения линий

k¹⁽⁴⁾x + k²⁽⁴⁾y + δ₄

уровня, так и структура соответствующего множе-

⎛

⎞

k₍₁₎r + δ₁

ства в пространстве параметров к настоящему вре-

⎜

⎟

мени почти не изучены. В частности, можно пред-

⎜

k₍₂₎r + δ₂

⎟

=^⎜

^⎟.

положить, что множество параметров, отвечающих

⎜

⎟

⎝ k(3)r + δ3

⎠

потенциалам с хаотическими линиями уровня, име-

k₍₄₎r + δ₄

ет здесь ненулевую меру. Таким образом, в про-

странствах потенциалов с четырьмя квазипериода-

Мы приведем несколько упрощенные следствия

ми построение потенциалов со свойствами истинно

из результатов работ [23, 24], являющиеся аналогом

случайных потенциалов может быть более простым

первого из утверждений, сформулированных выше

с экспериментальной точки зрения. Отметим, что,

для случая трех квазипериодов. Как и ранее, мы не

как и в случае трех квазипериодов, каждый «хао-

будем подробно рассматривать все условия регуляр-

тический» потенциал является пределом усложня-

ности (общего положения), накладываемые на рас-

ющихся «регулярных» потенциалов из-за накопле-

сматриваемые потенциалы в работах [23, 24], и бу-

ния бесконечного числа «зон устойчивости» вблизи

дем предполагать, что они всегда выполняются для

точки U₀, определяющей такой потенциал.

реальных потенциалов. Тогда из результатов работ

Переходя к потенциалам с большим числом ква-

[23, 24] следует утверждение:

зипериодов, задаваемым вложениями

полное пространство параметров

⎛

⎞

⎛

⎞

(

)

k¹⁽¹⁾x+k²⁽¹⁾y+δ₁

k₍₁₎r+δ₁

U₀ = (k⁰⁽¹⁾, k⁰⁽²⁾, k⁰⁽³⁾, k⁰⁽⁴⁾, V⁰¹, V⁰², V⁰³, V⁰⁴, . . . ),

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

→

задающих потенциалы с четырьмя квазипериодами,

⎝

⎠⁼

⎝

⎠

содержит всюду плотное множество открытых обла-

k1(d)x+k2(d)y+δ_d

k(d)r+δ_d

847

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

отметим, что никаких строгих аналитических ре-

могут быть определены и чисто топологическим об-

зультатов для случая d > 4 на данный момент нет.

разом (путем последовательных сдвигов максиму-

Можно, однако, видеть, что и в этом случае квазипе-

мов стоячих волн на период и наблюдения соответ-

риодические потенциалы могут обладать «регуляр-

ствующих сдвигов открытых линий уровня).

ным» поведением открытых линий уровня. В общем

В общем случае можно констатировать, что при

случае мы будем говорить, что потенциал с d квази-

создании квазипериодических потенциалов по пове-

периодами имеет регулярные открытые линии уров-

дению их линий уровня их естественно разделить на

ня, если выполняются следующие условия:

потенциалы, сохраняющие определенные свойства

D1. Открытые линии уровня V (x, y) существуют

упорядоченных потенциалов, и потенциалы, при-

в конечном связном интервале энергий

ближающиеся к случайным потенциалам. Потенци-

алы первого типа при этом устойчивы и возника-

V_min < V₁ ≤ V (x, y) ≤ V₂ < V_max.

ют на некоторых открытых областях в пространст-

ве задающих их параметров, при этом каждая из

D2. Все открытые линии уровня потенциала

таких областей определяется своим значением то-

V (x, y) лежат в прямых полосах конечной ширины,

пологического инварианта — целочисленного векто-

проходя их насквозь (рис. 3);

ра (m¹, . . . , m^d). Потенциалы второго типа неустой-

D3. Среднее направление l полос, содержащих

чивы и возникают на достаточно сложных множе-

открытые линии уровня потенциала V (x, y), опреде-

ствах фрактального типа (дополнениях к объедине-

ляется некоторым (несократимым) целочисленным

нию областей Ω(m1_,...,md₎). Для построения потенци-

вектором (m¹, . . ., m^d) из соотношения

алов со свойствами случайных потенциалов необхо-

димо, таким образом, выделить совокупность облас-

(

)

m¹k₍₁₎ + · · · + m^dk(d), l

= 0.

тей Ω(m1_,...,md₎ из пространства параметров. Рас-

сматривая потенциалы на полученном дополнении,

Потенциалы с d квазипериодами с регулярным

можно предположить, что соответствующие потен-

поведением открытых линий уровня возникают, в

циалы с большим числом квазипериодов могут слу-

частности, всегда, когда они образуются с помо-

жить, в действительности, одной из моделей случай-

щью достаточно малых (квазипериодических) до-

ных потенциалов, поскольку сложность поведения

бавок к потенциалам с меньшим числом квазипе-

их открытых линий уровня очень быстро нарастает

риодов (и регулярным поведением открытых линий

с ростом числа квазипериодов. В заключение дан-

уровня). Но в действительности, этим такие ситуа-

ного раздела отметим, что возникновение случай-

ции не ограничиваются и можно построить огром-

ных потенциалов также рассматривалось в систе-

ное количество примеров весьма сложных потенци-

мах оптических решеток для ультрахолодных ато-

алов с большим числом квазипериодов и регуляр-

мов [66, 67].

ным поведением открытых линий уровня в описан-

ном выше смысле.

Можно показать, что в самом общем случае су-

3. ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ПОТЕНЦИАЛАХ

ществует огромное множество ситуаций, когда для

РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

потенциала общего положения на некотором се-

мействе квазипериодических потенциалов V (x, y, U)

Главным объектом изучения в данном разделе

имеют место свойства (D1)-(D3) и, более того, такая

будет динамика ультрахолодных атомов в двумер-

ситуация является локально устойчивой. При этом

ной плоскости в присутствии квазипериодического

в пространстве параметров возникает зона устой-

потенциала V (x, y). В главном приближении такая

чивости Ω(m1_,...,md₎, содержащая исходную точку

динамика может рассматриваться классическим об-

U₀, такая что условия (D1)-(D3) выполняются во

разом, когда предполагается, что атомы обладают

всех ее точках с некоторыми значениями V₁(U) и

достаточно хорошо определенными траекториями в

V₂(U) и неизменными (m¹, . . ., m^d). Границы зоны

R². Исключение при этом может представлять дви-

Ω(m1,...,md) в действительности определяются при

жение атомов на специальных участках траекторий,

этом условием V₁(U) = V₂(U).

где важную роль может играть квантовое тунне-

Возвращаясь к рассмотренной нами методике со-

лирование с одного участка траектории на другой.

здания квазипериодических потенциалов в систе-

Как мы уже неоднократно говорили, нам, прежде

мах холодных атомов (суперпозиция стоячих волн),

всего, будет интересна динамика атомов с энергия-

можно показать, как и ранее, что числа (m¹, . . . , m^d)

ми, соответствующими появлению открытых линий

848

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

уровня рассматриваемых потенциалов. Для приме-

ным двумерным торам, совершая редкие «прыжки»

нения квазиклассического описания мы должны, та-

(полеты Леви) между различными торами, а так-

ким образом, предполагать выполнение соотноше-

же другие подобные эффекты. Эта особенность ди-

√

ния h/

2MV ≪ a, где a — типичная величина пери-

намики исследовалась в системах холодных атомов

одов используемых нами стоячих волн. В рассмат-

как для свободных атомов, движущихся в перио-

риваемой ситуации мы предполагаем, что распре-

дических потенциалах [33, 34], так и при наличии

деление атомов по энергии таково, что достаточно

дополнительного взаимодействия движения атома с

большое количество атомов в ансамбле имеют энер-

внутренними степенями свободы [72,73].

гии, отвечающие появлению открытых линий уров-

В данной работе мы не будем рассматривать

ня потенциала, что предполагает также соотноше-

внутренних степеней свободы атомов и сосредото-

ние T

≃ V . Таким образом, в нашем случае на-

чимся лишь на движении атома как целого. Как

√

до положить также h/

2MT ≪ a. В общем слу-

мы уже говорили, мы будем интересоваться здесь

чае, силы, действующие на атомы в оптических ло-

динамикой атомов с энергиями, отвечающими по-

вушках, могут содержать как консервативную, так

явлению открытых линий уровня у соответствую-

и диссипативную части [68, 71]. Мы будем рассмат-

щих потенциалов. Именно в этой области нам бу-

ривать здесь классическую динамику невзаимодей-

дет особенно интересно наблюдать сочетание раз-

ствующих атомов в бездиссипативном пределе, ко-

личных режимов (интегрируемость, ее усложнение

торый дает хорошее приближение к реальной дина-

и переход к хаотической динамике) в различных об-

мике тяжелых атомов во многих важных ситуациях.

ластях фазового пространства. Можно сразу отме-

Как можно видеть, особенности геометрии ква-

тить, что поскольку открытые линии уровня ква-

зипериодических потенциалов должны проявляться

зипериодического потенциала также возникают при

более всего в динамике частиц при энергиях, лежа-

некоторых «промежуточных» (между минималь-

щих в интервалах появления открытых линий уров-

ным и максимальным) его значениях, часто описан-

ня потенциала. Мы сосредоточимся именно на ис-

ная выше «постепенная хаотизация» динамики бу-

следовании такой динамики. Как легко видеть, осо-

дет возникать именно вблизи таких линий уровня.

бенности этой динамики должны естественным об-

Можно также при этом сказать, что такая хаоти-

разом проявляться в транспортных свойствах уль-

зация должна, конечно, коррелировать с нетриви-

трахолодного газа при наличии частиц соответству-

альной геометрией «областей доступности» движе-

ющих энергий в ансамбле.

ния атомов в рассматриваемых нами потенциалах. В

Как мы видели в предыдущем разделе, квази-

частности, для развитой хаотизации движение ато-

периодические потенциалы могут быть в действи-

мов должно быть близко к диффузионному, так что

тельности разделены на два типа в соответствии с

транспортные свойства атомного газа определяют-

поведением их открытых линий уровня. Такое раз-

ся диффузией атомов в областях заданной геомет-

деление имеет при этом самое непосредственное от-

рии. В условиях «промежуточной» хаотизации мож-

ношение к динамике частиц в таких потенциалах,

но ожидать, что геометрия областей доступности

поскольку определяет геометрию «областей доступ-

влияет существенным образом на полеты Леви меж-

ности» при движении частиц с определенными энер-

ду двумерными торами, что, конечно, также являет-

гиями. Как следствие этого, можно ожидать разли-

ся определяющим при рассмотрении транспортных

чие в динамике частиц в потенциалах этих двух ти-

свойств атомного газа. Кроме того, в рассматри-

пов, наблюдаемого при исследовании систем ультра-

ваемой ситуации двумерные торы, отвечающие ин-

холодных атомов.

тегрируемой динамике, могут разделять (трехмер-

Как мы уже упоминали выше, динамика в дву-

ные) многообразия постоянной энергии нетривиаль-

мерных гамильтоновых системах обладает еще од-

ным образом, так что мы можем наблюдать также

ной особенностью, а именно, она является интегри-

неинтегрируемую динамику, локализованную в раз-

руемой на низких уровнях энергии и хаотизирует-

личных участках «областей доступности». Геомет-

ся при большой энергии [25,26]. На промежуточных

рия таких участков и их расположение при этом, ко-

энергетических уровнях фазовое пространство сис-

нечно, также связана с общей геометрией «областей

темы разделяется на области, где имеет место инте-

доступности» при заданной энергии частицы. В це-

грируемый случай, и множества, где возникает хао-

лом, как нетрудно видеть, в рассматриваемой нами

тическая динамика. В частности, можно наблюдать

модели именно режимы диффузии или полетов Ле-

эффекты постепенной хаотизации динамики, когда

ви определяют те транспортные свойства атомного

частица может надолго «прилипать» к инвариант-

газа, которые могут позволять наблюдать различия

849

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

между введенными выше «регулярными» и «хаоти-

ческими» квазипериодическими потенциалами.

Ниже мы приводим результаты численного ис-

следования классической динамики частиц в опи-

сываемых нами потенциалах. В качестве модели мы

рассмотрим здесь потенциалы с тремя квазиперио-

дами, получаемые ограничением потенциала

(

)

cosX¹ + cosX² + cosX³

на плоскости, задаваемые различными (изометриче-

скими) вложениями (2.2). Надо сказать, что в этом

семействе потенциалов возникают абсолютно все си-

туации, возможные для потенциалов с тремя квази-

периодами с точки зрения задачи Новикова, а имен-

Рис. 11. Потенциал (3.2), обладающий «регулярными» от-

но, мы найдем здесь как устойчивые «регулярные»

крытыми линиями уровня, из самой крупной зоны устой-

чивости на рис. 9. Закрашенные области отвечают значе-

потенциалы с самыми различными особенностями

ниям V (x, y) ≤ 0

геометрии открытых линий уровня, так и богатую

совокупность «хаотических» потенциалов. Можно

отметить лишь единственную особенность потенци-

вложения R²

→ R³ и описывается диаграммой,

алов данной совокупности, которая заключается в

представленной на рис. 9. Можно видеть, что, под-

следующем. Именно, для любого «регулярного» по-

бирая параметры вложения, мы легко можем реали-

тенциала, возникающего в описанном семействе, ин-

зовать любую из интересующих нас ситуаций.

тервал существования открытых линий уровня сим-

Для сравнения динамики в потенциалах различ-

метричен относительно нуля, т. е. мы всегда имеем

ного типа мы приведем здесь результаты для трех

соотношение V₁(U) = - V₂(U) для введенных вы-

потенциалов, первые два из которых обладают «ре-

ше величин V₁(U) и V₂(U). Точно также, для всех

гулярными» открытыми линиями уровня и принад-

«хаотических» потенциалов данного семейства от-

лежат довольно крупным зонам устойчивости на

крытые линии уровня возникают в точности на ну-

рис. 9, а третий — «хаотическими» открытыми ли-

левом уровне энергии (V₀ = 0). Данная особенность

ниями уровня, возникающими лишь при нулевом

свойственна приведенному нами семейству потенци-

значении энергии.

алов и, вообще говоря, не имеет места в самом общем

Наша первая серия вычислений будет относить-

случае. Во всем остальном геометрические свойства

ся к потенциалу

линий уровня потенциалов рассматриваемого нами

семейства отражают самую общую ситуацию. По-

a₁ = -0.12251993420338196,

скольку, как мы уже сказали, нам интересна ди-

b₁ = -0.2250221718850486,

намика частиц в областях появления открытых ли-

c₁ = 1.5505542426422338,

ний уровня потенциала, мы часто будем исследовать

здесь такую динамику при значении ϵ = 0.

a₂ = 0.9924660526802913,

Все потенциалы, таким образом, будут иметь вид

b₂ = -0.02777898711920925,

(3.2)

c₃ = 0.12374024573075965,

V (x, y) = cos (a₁x + b₁y + c₁) +

a₃ = 0,

+ cos(a₂x + b₂y + c₂) + cos(a₃x + b₃y + c₃)

(3.1)

b₃ = 0.9739575709622912,

с некоторыми коэффициентами a_i, b_i и c_i. В дей-

c₃ = 3.1548761694687415

ствительности, поскольку выбор направления коор-

динатных осей в плоскости R² не будет иметь для

(рис. 11), лежащему внутри самой крупной зоны на

нас большого значения, мы будем полагать, что ось

рис. 9 с топологическими числами (m¹, m², m³) =

x совпадает с линией пересечения R² с плоскостью

= (1, 0, 0). Надо сказать, что мы специально про-

(X¹, X²) в R³. Таким образом, мы можем всегда по-

водим здесь отдельное рассмотрение потенциала

ложить здесь a₃ = 0.

из этой зоны, поскольку она в действительности

Как мы уже отмечали выше, тип потенциала

несколько отличается от остальных зон. А именно,

определяется в нашем случае лишь направлением

кроме упомянутой нами выше «частичной» инте-

850

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

грируемости, свойственной двумерным гамильтоно-

вым системам, здесь имеется дополнительная бли-

зость к интегрируемой ситуации, связанная с тем,

что центру данной зоны отвечает интегрируемый

при всех энергиях потенциал

V (x, y) = cos x + cos y.

Как следствие этого, интегрируемая динамика

может здесь возникать на более богатых множествах

начальных условий по сравнению с потенциалами из

других зон. Как мы в действительности увидим, это

предположение подтверждается, в частности, нам

не удалось здесь найти хорошо выраженной диффу-

зионной динамики на уровне ϵ = 0, которая возника-

ет лишь при заметном увеличении энергии частицы.

Вместе с тем, возникновение потенциалов именно из

этой зоны является наиболее вероятным по сравне-

нию с другими в эксперименте в силу значительных

размеров этой зоны.

Как мы уже говорили, мы сразу ограничиваем-

ся здесь рассмотрением трехмерных многообразий

в фазовом пространстве, фиксируя полную энергию

частицы. Рассматриваемый нами потенциал имеет

открытые линии уровня в весьма широком интерва-

ле энергий

-0.7493 ≤ V ≤ 0.7493

(приближенно), мы вначале рассмотрим динамику

частиц с энергией ϵ = 0. Как мы уже сказали вы-

ше, мы можем ожидать здесь появления целых об-

ластей, где динамика в действительности является

интегрируемой и происходит на двумерных торах,

вложенных в фазовое пространство. Именно это и

происходит на уровне ϵ = 0, более того, подбирая

специально начальные данные, можно обнаружить

области их значений, где динамика на торах отве-

чает довольно простому движению в координатном

пространстве (рис. 12).

При изменении начальных данных на уровне ϵ =

= 0 (и том же самом потенциале) можно, однако,

Рис. 12. Примеры инвариантных торов, отвечающих срав-

обнаружить (меньшие) области, в которых геомет-

нительно простой динамике атомов в «регулярном» по-

рия инвариантных торов все более усложняется, что

тенциале (3.2) при нулевой полной энергии

приводит также к усложнению движения частиц в

координатном пространстве (рис. 13).

Подбирая начальные данные еще более специ-

Режимы, представленные на рис. 12-14, отве-

альным образом (на уровне ϵ = 0), можно увидеть

чают динамике частиц с нулевой полной энергией.

также еще более сложные перестройки инвариант-

Как мы уже говорили, для этого потенциала нам не

ных торов, где происходит «прилипание» частиц на

удалось обнаружить диффузионных режимов при

довольно длительное время к более простым инва-

ϵ = 0, однако они появляются при увеличении энер-

риантным торам и «прыжки» с одного из таких то-

гии частиц (рис. 15). В действительности, отчетли-

ров на другой (полеты Леви), совершаемые в опре-

во выраженное диффузионное поведение возника-

деленные моменты времени (рис. 14).

ет здесь при энергиях, когда открытые линии уров-

851

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Рис. 15. Области доступности и переход к диффузионному

режиму в «регулярном» потенциале (3.2) при повышении

энергии частицы (ϵ = 0.5 и ϵ = 0.98)

мика имеет одновременно вид полетов Леви с «при-

липанием» к инвариантным торам. Как мы уже го-

ворили, такое поведение свойственно, видимо, лишь

потенциалам из зоны с (m¹, m², m³) = (1, 0, 0) (и

идентичных с ней зон) в силу упомянутых выше об-

стоятельств. В частности, мы приведем ниже описа-

Рис. 16. Появление баллистических траекторий в «регу-

ние динамики в потенциале из другой крупной зо-

лярном» потенциале (3.2) при повышении энергии части-

ны устойчивости, которое, по-видимому, свойствен-

цы (ϵ = 4)

но большинству потенциалов с «регулярными» ли-

ниями уровня.

ческое движение возникает уже при достаточно низ-

При дальнейшем повышении энергии движение

ких энергиях (рис. 16). При повышении энергии чис-

частиц в потенциале переходит от диффузионного

ло таких направлений возрастает и можно наблю-

движения к баллистическому. Мы должны отметить

дать также баллистические траектории с направле-

здесь, однако, что баллистическое движение в ква-

ниями, отличными от указанных трех.

зипериодических потенциалах также обладает, по-

видимому, весьма существенными особенностями. В

Кроме описанных выше «чисто» баллистиче-

частности, для потенциалов рассматриваемого на-

ских траекторий, можно наблюдать также траекто-

ми семейства даже при довольно высоких энерги-

рии, состоящие из длинных баллистических участ-

ях довольно большую часть фазового объема зани-

ков указанных направлений, соединенных коротки-

мают баллистические траектории определенных на-

ми участками «переключения» между двумя на-

правлений. Для рассматриваемого нами потенциа-

правлениями (рис. 17). Как и «чисто» баллистиче-

ла можно сразу выделить три основных направле-

ские траектории, такие траектории должны также

ния, а именно направления линий уровня трех ко-

вносить специфические особенности в транспорт-

синусов в формуле (3.1), вдоль которых баллисти-

ные явления при соответствующих энергиях частиц.

853

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

эта структура является более простой и непосред-

ственно связана с задающими потенциал гармони-

ками. Как мы увидим дальше, это свойство балли-

стического движения проявляется в действительно-

сти для потенциалов всех типов, и, в этом смыс-

ле, соответствующие транспортные явления почти

не отличают «регулярных» квазипериодических по-

тенциалов от «хаотических». При этом, в отличие

от случая диффузионного движения, дающего хо-

рошо наблюдаемый вклад в процессы переноса, свя-

занный с геометрией открытых линий уровня потен-

циала, экспериментальное наблюдение транспорт-

ных вкладов от баллистических траекторий устой-

чивых направлений может быть существенно более

сложным из-за сложения большого количества та-

ких вкладов при высоких энергиях. С другой сторо-

ны, баллистическое движение в квазипериодических

потенциалах также, по-видимому, является фунда-

ментальным свойством таких потенциалов, в част-

ности, баллистические направления также играют

важную роль в квантовой динамике в потенциалах

этого типа (см. [38]).

Как мы уже отмечали выше, диффузионная ди-

намика, а также динамика, содержащая далекие

прыжки между различными типами локализован-

ной динамики, которые дают нам более всего ин-

формации и типе и топологических параметрах по-

тенциала, в данном примере возникают преимуще-

ственно при энергиях, лежащих выше интервала су-

ществования открытых траекторий. Однако такая

динамика сохраняет «память» о геометрии откры-

тых линий уровня потенциала и дает сильно ани-

зотропный вклад соответствующего направления в

транспортные явления при этих энергиях. Такая

особенность, как мы уже говорили выше, по-види-

мому, связана с «дополнительными причинами» по-

явления интегрируемой динамики в соответствую-

щей зоне устойчивости, приводящими к увеличению

Рис. 17. «Почти» баллистическиe траектории в «регуляр-

фазового объема, заполненного такой динамикой.

ном» потенциале (3.2) (ϵ = 4)

Вторая серия наших вычислений будет относить-

ся к потенциалу

Можно видеть, однако, что с увеличением числа со-

a₁ = -0.6194151736623348,

ответствующих баллистических направлений, а так-

b₁ = -0.44502823229775823,

же усложнением геометрии «квазибаллистических»

траекторий, обнаруживать такие свойства будет все

c₁ = 1.4421279589366298,

сложнее и сложнее.

a₂ = 0.7850635914605004,

Можно видеть, таким образом, что транспорт-

b₂ = -0.3511272752829312,

(3.3)

ные явления, обусловленные баллистическим дви-

c₃ = 0.8986352554278761,

жением атомов, также раскрывают геометриче-

a₃ = 0,

скую структуру квазипериодических потенциалов.

По сравнению со структурой, отвечающей геомет-

b₃ = 0.8238079321117983,

рии открытых линий уровня потенциала, однако,

c₃ = 2.3379002628621635,

854

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Рис. 18. Потенциал (3.3), обладающий «регулярными» от-

крытыми линиями уровня, из зоны устойчивости на рис. 9,

отвечающей топологическим числам (m¹, m², m³)

= (1, 1, 1). Закрашенные области отвечают значениям

V (x, y) ≤ 0

лежащему внутри зоны на рис. 9 с топологически-

ми числами (m¹, m², m³) = (1, 1, 1) (рис. 18). Как

и предыдущий потенциал, потенциал (3.3) обладает

достаточно большим интервалом энергий

-0.7548 ≤ V ≤ 0.7548,

содержащим открытые линии уровня потенциала.

Здесь, в действительности, для наблюдения

большинства описанных режимов достаточно ис-

следовать динамику частиц при энергии ϵ

= 0.

В частности, мы также можем наблюдать здесь

наличие инвариантных торов различной сложности

(рис. 19), а также области в фазовом пространстве,

разделяемые такими торами (рис. 20).

Здесь можно также наблюдать такое явление,

как неполное разделение инвариантными торами

энергетического уровня, когда между торами име-

ются «зазоры», позволяющие траектории выходить

из «почти изолированной» области в определенные

моменты времени. Такая ситуация выражается в ко-

Рис. 19. Примеры инвариантных торов, отвечающих дина-

ординатном пространстве длительным блужданием

мике атомов в «регулярном» потенциале (3.3) при нулевой

частиц в определенных областях с весьма редкими

полной энергии

переходами (полетами Леви) между ними (рис. 21).

Наконец, в определенных областях начальных

такую динамику (как в предыдущем случае). Как

данных на нулевом уровне энергии здесь можно так-

нетрудно видеть, геометрия областей доступности

же наблюдать гораздо более сложные полеты Ле-

для частиц фиксированной энергии оказывает здесь

ви (рис. 22), переходящие в диффузионные режимы

самое непосредственное влияние на геометрию поле-

(рис. 23). Мы предполагаем, что наличие явно выра-

тов Леви и диффузионной динамики.

женной диффузионной динамики среди прочих ре-

Как и в предыдущем случае, дальнейшее повы-

жимов в интервале существования открытых линий

шение энергии приводит к возникновению баллисти-

уровня является в действительности общим явлени-

ческих траекторий в рассматриваемом потенциале.

ем для «регулярных» квазипериодических потенци-

Главные устойчивые направления таких траекторий

алов, если нет специальных причин, подавляющих

(рис. 24) здесь также определяются просто направ-

855

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 20. Неинтегрируемая динамика в области, отделенной

от остального фазового пространства в «регулярном» по-

тенциале (3.3) при нулевой полной энергии

Рис. 22. Частые полеты Леви в «регулярном» потенциале

(3.3) при нулевой полной энергии частицы

предыдущем случае, можно отметить, что геометри-

Рис. 21. Редкие полеты Леви в «регулярном» потенциале

ческие особенности вклада баллистических траекто-

(3.3) при нулевой полной энергии частицы

рий в транспортные явления становятся все более

и более «размытыми» с ростом числа устойчивых

направлений таких траекторий, а также с услож-

лениями линий уровня косинусов, представленных

нением геометрии «квазибаллистических» траекто-

в формуле (3.1), и не связаны, в действительности,

рий. Что же касается определения типа потенциала,

с типом возникающего потенциала. Баллистические

а также его устойчивых топологических парамет-

траектории устойчивых направлений, как мы уже

ров (чисел (m¹, m², m³)), они, как и в предыдущем

отмечали выше, занимают конечный фазовый объ-

случае, лучше всего определяются вкладом диф-

ем при фиксированном уровне энергии.

фузионных траекторий, а также траекторий, содер-

При дальнейшем повышении энергии частиц ко-

жащих длинные «перескоки» (полеты Леви) между

личество устойчивых направлений баллистических

участками почти интегрируемой или локализован-

траекторий растет. Кроме того, как и в предыду-

ной динамики. Можно отметить, что в данном при-

щем случае, здесь также возникает множество «ква-

мере (в отличие от предыдущего) соответствующая

зибаллистических» траекторий, имеющих довольно

динамика возникает по большей части в интервале

длинные баллистические участки, разделенные ко-

существования открытых линий уровня потенциала.

роткими переходами между ними (рис. 25). Как и в

Мы предполагаем, что это свойство должно прояв-

856

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Рис. 24. Баллистические траектории «главных» направ-

лений в «регулярном» потенциале (3.3) (ϵ = 4)

ляться в действительности для большинства типов

«регулярных» потенциалов (в отсутствие дополни-

тельных причин для увеличения фазового объема,

занятого интегрируемой динамикой), создаваемых

рассматриваемым способом.

Последняя серия наших вычислений относится к

потенциалу

a₁ = -0.6190763027420052,

b₁ = -0.2572674789786692,

c₁ = 1.311209111211166,

a₂ = 0.7853308419916342,

b₂ = -0.20280395367888493,

(3.4)

c₃ = 0.8662242771884692,

a₃ = 0,

b₃ = 0.9448195598272575,

c₃ = 2.950743051151684,

имеющему «хаотические» линии уровня (рис. 26). В

данном случае открытые линии уровня, как мы уже

говорили, существуют лишь при значении V₀ = 0.

Как и в предыдущих двух случаях, в этом случае

на уровне энергии ϵ = 0 также существуют области,

отвечающие движению по торам как сравнительно

простой (рис. 27), так и более сложной геометрии

(рис. 28).

Кроме того, в определенных областях начальных

данных можно наблюдать и неинтегрируемую ди-

намику, ограниченную, однако, некоторыми инвари-

Рис. 23. Диффузионная динамика в «регулярном» потен-

циале (3.3) при нулевой полной энергии частицы

антными торами на многообразии ϵ = 0. Такая дина-

857

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 26. Потенциал (3.4), обладающий «хаотическими»

открытыми линиями уровня. Закрашенные области отве-

чают значениям V (x, y) ≤ 0

тории частицы к инвариантным торам на довольно

длительное время, перемежаемое полетами Леви в

определенные моменты (рис. 30).

Так же, как и предыдущем случае, изменяя на-

чальные данные, мы можем добиться усложнения

геометрии торов и перехода к диффузионной ди-

намике частиц (рис. 31). Диффузионная динами-

ка здесь также ограничена «областью доступности»,

которая имеет теперь совершенно другую геомет-

рию и сама обладает в некотором смысле «диф-

фузионными свойствами». Надо сказать, что, по-

видимому, в классическом пределе транспортные

свойства частиц на нулевом уровне энергии здесь

близки к транспортным свойствам локализованных

(хотя и в больших областях) частиц, поскольку ве-

роятность далекого диффундирования в рассматри-

ваемой области очень мала. Можно отметить, что в

случае трех квазипериодов такие области всегда со-

держат участки границы, очень близко подходящие

друг к другу, где возможно квантовое туннелиро-

вание. В этом случае именно квантовое туннелиро-

вание, по-видимому, должно играть большую роль

для транспортных явлений при ϵ = 0.

В целом, транспортные свойства атомного газа

в описанном потенциале при постепенном повыше-

Рис. 25. «Почти» баллистическиe траектории в «регуляр-

ном» потенциале (3.3) (ϵ = 4)

нии энергии частиц ансамбля должны (в классиче-

ском пределе) существенно меняться при появлении

в ансамбле частиц с положительными энергиями.

Действительно, при увеличении энергии области до-

мика также легко отличима от других типов при ее

ступности расширяются и становятся неодносвязны-

проекции на координатное пространство (рис. 29).

ми в отличие от случая ϵ = 0. Можно сказать, что в

Как и в предыдущих случаях, при определен-

некотором смысле у таких областей при этом появ-

ных начальных условиях на нулевом уровне энер-

ляется свойство «протекания». Вместе с тем, они со-

гии можно также наблюдать «прилипание» траек-

храняют некоторое время и определенную «диффу-

858

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 30. Полеты Леви в «хаотическом» потенциале (3.4)

при нулевой полной энергии

ченными областями в плоскости. Можно видеть, та-

ким образом, здесь заметную разницу с потенциала-

ми, обладающими «регулярными» линиями уровня,

где картина существенно не меняется при вариации

энергии частиц вблизи нуля.

При значительном повышении энергии в потен-

циале (3.4) возникают баллистические траектории,

обладающие устойчивыми направлениями (рис. 33).

Как и в предыдущих двух случаях, главными устой-

чивыми направлениями являются при этом направ-

ления линий уровня косинусов, задающих потенци-

ал (3.4) согласно формуле (3.1). Соответствующие

траектории появляются на наиболее низких уровнях

энергии, при дальнейшем повышении энергии число

таких направлений растет. Так же, как и в преды-

дущих двух случаях, конечный фазовый объем за-

нимают «квазибаллистические» траектории, состо-

ящие из длинных участков баллистических траек-

торий, разделенных короткими промежуточными

участками (рис. 34). При этом, как мы уже говори-

ли выше, для определения геометрических особен-

Рис. 29. Неинтегрируемая динамика, ограниченная инва-

ностей «хаотического» потенциала, как и в «регу-

риантными торами в фазовом пространстве в «хаотиче-

лярном» случае, более всего подходит, видимо, изу-

ском» потенциале (3.4) при нулевой полной энергии

чение вклада «диффузионных» и «скачущих» тра-

екторий, появляющихся при «промежуточных» зна-

чениях энергии.

860

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

Рис. 31. Переход к диффузионной динамике при измене-

нии начальных условий в «хаотическом» потенциале (3.4)

при нулевой полной энергии частицы

Рис. 32. Области доступности и диффузионная динами-

ка в «хаотическом» потенциале (3.4) при положительных

энергиях частиц (ϵ = 0.64 и ϵ = 0.72)

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассматриваются вопросы, связанные

с геометрией квазипериодических потенциалов на

ний уровня и потенциалы с «хаотическим» поведе-

плоскости, методами их создания, зависимостью от

нием открытых линий уровня. В каждом семействе

управляющих параметров, а также динамикой ква-

квазипериодических потенциалов, зависящих глад-

зиклассических частиц в таких потенциалах. Основ-

ко от некоторого набора параметров, потенциалы

ные рассмотрения относятся к ситуации появления

из этих классов возникают на множествах различ-

таких потенциалов в системах ультрахолодных ато-

ной структуры, дополняющих друг друга в полном

мов в магнитооптических ловушках, хотя приводи-

пространстве параметров. А именно, первое множе-

мые нами результаты имеют место в действительно-

ство представляет собой объединение (счетного чис-

сти для самых общих типов квазипериодических по-

ла) областей с кусочно-гладкими границами, в то

тенциалов. Показано, что в общем случае квазипе-

время как второе имеет фрактальные свойства. По

риодические потенциалы на плоскости естественно

поведению открытых линий уровня первые потен-

разделить на два основных класса, а именно, потен-

циалы могут быть отнесены к «регулярному» типу

циалы с «регулярным» поведением открытых ли-

(приближающихся к периодическим потенциалам),

861

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 33. Появление баллистических траекторий в «хаоти-

ческом» потенциале (3.4) при повышении энергии части-

цы (ϵ = 5)

в то время как вторые могут рассматриваться в ка-

честве модели случайных потенциалов. Бездиссипа-

тивная динамика ультрахолодных атомов в рассмат-

риваемых потенциалах является интегрируемой на

нижних уровнях энергии, постепенно хаотизируясь

с ростом энергии атомов. Как правило, в интерва-

ле существования открытых линий уровня потенци-

ала присутствуют оба типа (интегрируемый и хао-

тический) такой динамики, при этом свойства хао-

тической динамики атомов существенно зависят от

Рис. 34. «Почти» баллистическиe траектории в «хаотиче-

геометрии линий уровня потенциала. Исследование

ском» потенциале (3.4) (ϵ = 4)

транспортных свойств атомного газа в квазиперио-

дических потенциалах при наличии в ансамбле час-

ЛИТЕРАТУРА

тиц с соответствующими энергиями может, таким

образом, позволить наблюдать различия между по-

1. H. Bohr, Acta Mathematica 47, 237 (1926).

тенциалами обоих типов, а также дать более подроб-

ную информацию о геометрии их открытых линий

2. A. S. Besicovitch, Proceed. London Math. Soc. 2, 495

уровня.

(1926).

862

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Особенности движения ультрахолодных атомов. ..

С. П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

26.

А. Лихтенберг, М. Либерман, Регулярное и сто-

хастическое движение, Мир, Москва (1984).

А. В. Зорич, УМН 39, 235 (1984).

27.

В. С. Летохов, Письма в ЖЭТФ 7, 348 (1968).

И. А. Дынников, УМН 47, 161 (1992).

28.

V. Letokhov, Laser Control of Atoms and Molecules,

С. П. Царев, Частное сообщение (1992-93).

Oxford University Press, New York (2007).

И. А. Дынников, Математические заметки 53, 57

29.

I. Bloch, Nature Phys. 1, 23 (2005).

(1993).

30.

I. Bloch, J. Dalibard, and W. Zwerger, Rev. Mod.

A. V. Zorich. in: Proc. Geometric Study of Foliations,

Phys. 80, 885 (2008).

(Tokyo, November 1993), ed. by T. Mizutani et al.,

World Scientific, Singapore (1994), p. 479.

31.

M. Greiner and S. Fölling, Nature 453, 736 (2008).

I. A. Dynnikov, Surfaces in 3-Torus: Geometry of

32.

A. Hemmerich, D. Schropp, Jr., and T. W. Hänsch,

Plane Sections, Proc. of ECM2, BuDA (1996).

Phys. Rev. A 44, 1910 (1991).

10.

I. A. Dynnikov, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Vol.

33.

D. Hennequin and P. Verkerk, arXiv:0906.2121

179, AMS, Providence, RI (1997), p. 45.

[physics.atom-ph]

11.

И. А. Дынников, УМН 54, 21 (1999).

34.

D. Hennequin and P. Verkerk, Eur. Phys. J. D 57, 95

(2010).

12.

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 69, 419

(1959).

35.

L. Guidoni, C. Triche, P. Verkerk, and G. Grynberg,

Phys. Rev. Lett. 79, 3363 (1997).

13.

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 78, 411

(1962).

36.

L. Guidoni, B. Depret, A. di Stefano, and P. Verkerk,

Phys. Rev. A 60, R4233 (1999).

14.

И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН 87, 389

(1965).

37.

L. Sanchez-Palencia and L. Santos, Phys. Rev. A 72,

053607 (2005).

15.

Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел,

Наука, Москва (1967).

38.

K. Viebahn, M. Sbrocia, E. Carter, Jr-Chiun Yu, and

U. Schneider, Phys. Rev. Lett. 122, 110404 (2019).

16.

И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов,

Электронная теория металлов, Наука, Москва

39.

R. Gautier, H. Yao, and L. Sanchez-Palencia, Phys.

(1971).

Rev. Lett. 126, 110401 (2021).

17.

А. А. Абрикосов, Основы теории металлов, Нау-

40.

L. Guidoni and P. Verkerk, J. Optics B: Quantum

ка, Москва (1987).

and Semiclassical Optics 1, R23 (1999).

18.

M. I. Kaganov and V. G. Peschansky, Phys. Rep. 372,

41.

S. Gopalakrishnan, I. Martin, and E. A. Demler,

445 (2002).

Phys. Rev. Lett. 111, 185304 (2013).

19.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, Письма в ЖЭТФ

42.

L.-M. Duan, E. Demler, and M. D. Lukin, Phys. Rev.

63, 809 (1996).

Lett. 91, 090402 (2003).

20.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, УФН 168, 249

43.

L. Santos, M. A. Baranov, J. I. Cirac, H.-U. Everts,

(1998).

H. Fehrmann, and M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett.

93, 030601 (2004).

21.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Sol. State Phys.,

Bulletin of Braz. Math. Society, New Series 34, 171

44.

A. Ya. Maltsev, J. Math. Phys. 45, 1128 (2004).

(2003).

45.

M. R. Lam, N. Peter, Th. Groh, W. Alt, C. Robens,

22.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, J. Stat. Phys. 115,

D. Meschede, A. Negretti, S. Montangero, T. Calarco,

31 (2004).

and A. Alberti, Phys. Rev. X 11, 011035 (2021).

23.

С. П. Новиков, УМН 54, 147 (1999).

46.

D. Stauffer, Phys. Rep. 54, 1 (1979).

24.

И. А. Дынников, С. П. Новиков, УМН 60, 3 (2005).

47.

J. W. Essam, Rep. Prog. Phys. 43, 833 (1980).

25.

E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge

48.

E. K. Riedel, Physica A: Statistical Mechanics and

Univ. Press, Cambridge (1983).

its Applications 106, 110 (1981).

863

И. А. Дынников, А. Я. Мальцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

49.

S. A. Trugman, Phys. Rev. B 27, 7539 (1983).

64.

A. Avila, P. Hubert, and A. Skripchenko, Bulletin de

la Société Mathématique de France 144, 539 (2016).

50.

А. Я. Мальцев, ЖЭТФ 112, 1710 (1997).

51.

A. Zorich, Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, Vol. 197,

65.

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков, Труды МИАН 302,

AMS, Providence, RI (1999), p. 135.

296 (2018).

52.

Р. Де Лео, УМН 55, 181 (2000).

66.

P. Horak, J.-Y. Courtois, and G. Grynberg, Phys.

Rev. A 58, 3953 (1998).

53.

Р. Де Лео, УМН 58, 197 (2003).

67.

D. Boiron, C. Mennerat-Robilliard, J.-M. Fournier,

54.

R. De Leo, Phys. Lett. A 332, 469 (2004).

L. Guidoni, C. Salomon, and G. Grynberg, Eur. Phys.

J. D — Atomic, Molecular, Opt. Plasma Phys. 7, 373

55.

R. De Leo, Physica B: Cond. Matt. 362, 62 (2005).

(1999).

56.

R. De Leo, Exper. Math. 15, 109 (2006).

68.

J. P. Gordon and A. Ashkin, Phys. Rev. A 21, 1606

57.

Р. Де Лео, И. А. Дынников, УМН 62, 151 (2007).

(1980).

58.

R. De Leo and I.A. Dynnikov, Geom. Dedicata 138,

69.

J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, Journal of the

51 (2009).

Optical Society of America B 2, 1707 (1985).

59.

A. Skripchenko, Discrete Contin. Dyn. Sys. 32, 643

70.

V. G. Minogin and V. S. Letokhov, Laser Light

(2012).

Pressure on Atoms, CRC Press; 1st edition (January

60.

A. Skripchenko, Ann. Glob. Anal. Geom. 43, 253

1, 1987).

(2013).

71.

A. P. Kazantsev, G. I. Surdutovich, and V. P. Yakov-

61.

I. Dynnikov and A. Skripchenko, Amer. Math. Soc.

lev, Mechanical Action of Light on Atoms, World

Transl., Ser. 2, Vol. 234, AMS, Providence, RI (2014),

Scientific Publishing Company; Illustrated edition

p. 173, arXiv:1309.4884.

(August 1, 1990).

62.

I. Dynnikov and A. Skripchenko, Trans. Moscow

72.

В. Ю. Аргонов, С. В. Пранц, ЖЭТФ 123, 946

Math. Soc. 76, 287 (2015).

(2003).

63.

A. Avila, P. Hubert, and A. Skripchenko, Invent.

Math. 206, 109 (2016).

73.

С. В. Пранц, ЖЭТФ 158, 459 (2020).

864