ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 6 (12), стр. 818-834

ФОРМА ЛИНИИ СУБДОПЛЕРОВСКИХ РЕЗОНАНСОВ

В ГАЗЕ АТОМОВ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ В ПОЛЕ

ВСТРЕЧНЫХ БИХРОМАТИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ

А. М. Михайлов^a,b, Р. Будоc*, Д. В. Бражниковa,b**

^a Институт лазерной физики Сибирского отделения Российской академии наук

630090, Новосибирск, Россия

^b Новосибирский государственный университет

630090, Новосибирск, Россия

^c FEMTO-ST, CNRS, Université de Bourgogne Franche-Comté

25030, Besançon, France

Поступила в редакцию 13 июля 2021 г.,

после переработки 13 июля 2021 г.

Принята к публикации 1 августа 2021 г.

Высококонтрастные субдоплеровские резонансы, наблюдаемые в парах атомов щелочных металлов в

поле встречных бихроматических лазерных пучков, имеют хорошие перспективы в квантовой метро-

логии для создания миниатюрного оптического стандарта частоты. До настоящего времени эти нели-

нейные резонансы были изучены только экспериментально или с использованием численных расчетов.

Для дальнейшего развития теории наблюдаемых резонансов крайне важным представляется разработка

упрощенной теоретической модели, позволяющей получить явные и компактные аналитические выра-

жения для формы резонансной линии. В настоящей работе проведен такой теоретический анализ на

основе трехуровневой Λ-схемы атома. При этом исследованы два режима: режим слабой стоячей волны

с близкими интенсивностями встречных пучков (I1 ≈ I2) и режим пробной волны, в котором один из

пучков имеет интенсивность, заметно меньшую интенсивности встречного пучка (I2 ≪ I1). Получен-

ные аналитические выражения позволяют установить качественные различия между этими режимами,

а также явным образом выделить вклады от различных нелинейных эффектов в поглощение светового

поля, в том числе слагаемые, ответственные за образование высококонтрастного субдоплеровского пика.

Полученные выражения находятся в качественном согласии с ранее полученными экспериментальными

данными.

DOI: 10.31857/S0044451021120063

доплеровского уширения (субдоплеровские резо-

нансы), активно используются в лабораториях для

проведения различных экспериментов, в которых

1. ВВЕДЕНИЕ

необходимо осуществлять стабилизацию часто-

Лазерная спектроскопия играет важнейшую

ты лазерного излучения. На основе резонансов

роль в развитии физики, позволяя изучать стро-

насыщенного поглощения создаются некоторые

ение атомов, молекул и их взаимодействия [1],

транспортируемые квантовые стандарты частоты

выполнять прецизионные измерения эффектов

(КСЧ) оптического диапазона с использованием

квантовой теории поля [2, 3], специальной и общей

молекулярных [8-11] или атомарных газов [12, 13].

теории относительности [4-6]. Один из основных

Некоторые из таких стандартов применяются в

космических научных миссиях [14, 15].

методов лазерной спектроскопии — метод насыщен-

ного поглощения в газе атомов или молекул [1, 7].

До недавнего времени наиболее компактные (ми-

Резонансы насыщенного поглощения, свободные от

ниатюрные) образцы КСЧ разрабатывались лишь

^* Rodolphe Boudot.

для микроволнового диапазона. В таких устрой-

^** E-mail: brazhnikov@laser.nsc.ru

ствах частота СВЧ-генератора порядка нескольких

818

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

гигагерц стабилизируется по резонансам когерент-

ного пленения населенностей (КПН) [16] в парах

щелочных металлов (Rb или Cs). Современные об-

разцы таких КСЧ используют газовые ячейки объ-

емом V

≪ 1 см³, при этом общий объем устрой-

ства обычно составляет менее 70 см³ [17-19]. Отно-

сительная стабильность частоты (девиация Аллана)

КСЧ-КПН лежит в диапазоне σ_y ∼ 10-11-10-10 за

1 с усреднения. Такие миниатюрные микроволновые

стандарты чрезвычайно востребованы для развития

многих современных технологий, в том числе свя-

занных с использованием малых спутников: монито-

Рис. 1. Резонансное поглощение светового поля парами

атомов Cs, наблюдаемое на фотодетекторе в обычном

ринг ионосферы Земли [20], спутниковая навигация

одночастотном (штриховая линия) и в двухчастотном

и связь, в том числе для дальнего космоса [21].

(сплошная) режимах. В одночастотном режиме возбужда-

Создание миниатюрных КСЧ оптического диа-

ется переход Fg = 3 → Fe = 4 в D1-линии, Tcell ≈ 60^◦C.

В двухчастотном режиме одновременно возбуждаются пе-

пазона представляет собой весьма сложную задачу.

реходы Fg = 3, 4 → Fe = 4, Tcell ≈ 45^◦C. Суммарная оп-

Поэтому долгое время не существовало соответству-

тическая мощность в ячейке Ptot ≈ 1.1 мВт при диаметре

ющих разработок, сравнимых по характеристикам

пучков около 2 мм. Сигналы нормированы на постоянное

с микроволновыми аналогами. Одна из причин за-

значение, пропорциональное интенсивности света на входе

ключается в том, что отношение сигнал/шум, опре-

в ячейку

деляющее кратковременную стабильность частоты,

не достигало приемлемого уровня при использова-

нии миниатюрных газовых ячеек. Действительно,

ризациями. Этот метод весьма близок к стандартно-

наиболее компактные КСЧ оптического диапазона

му методу насыщенного поглощения. Основное от-

были основаны на резонансах насыщенного погло-

личие состоит в том, что каждый из встречных пуч-

щения в ячейках объемом, равным нескольким ку-

ков содержит две спектральные компоненты с ча-

бическим сантиметрам или значительно большем.

стотами ω₁ и ω₂, так что их разность совпадает с час-

Например, в работах [11, 14, 15] длина ячеек с мо-

тотой сверхтонкого расщепления ω_hfs основного со-

лекулярным йодом составляла от 10 до 30 см. За-

стояния в атоме (2π·9.2 ГГц для¹³³Cs). В этих усло-

метный прогресс в развитии миниатюрных КСЧ оп-

виях, как было впервые обнаружено в эксперимен-

тического диапазона произошел лишь в последние

тальной работе [27], при сканировании частоты лазе-

несколько лет с появлением серии работ группы уче-

ра наблюдается субдоплеровский резонанс с необыч-

ных из NIST (г. Болдер) и других организаций США

но большим контрастом, а значение отношения ам-

[22-24]. В них было предложено использовать мик-

плитуда/ширина более чем на порядок превосходит

роячейку (V ≈ 10 мм3), наполненную парами ато-

аналогичное значение для резонансов, наблюдаемых

мов⁸⁷Rb, и метод двухфотонной спектроскопии для

в стандартном одночастотном методе насыщенного

получения реперного резонанса, необходимого для

поглощения. Примеры резонансов, полученные в на-

стабилизации оптической частоты. Полный объем

ших недавних экспериментах с миниатюрной куби-

КСЧ составил всего 35 см³ [24], что сравнимо с ми-

ческой стеклянной ячейкой (объемом V ≈ 125 мм³)

ниатюрными образцами микроволновых КСЧ. Важ-

представлены на рис. 1 [28]. Из рисунка следует, что

но отметить, что активные работы в этом направ-

при использовании двухчастотного метода наблю-

лении на протяжении нескольких лет приводили к

дается более узкий субдоплеровский резонанс в ви-

постоянному улучшению стабильности частоты оп-

де провала в проходящей через ячейку интенсивно-

тических КСЧ с σ_y ≈ 10-11 за 1 с в одной из первых

сти света по сравнению с аналогичным резонансом в

работ [22] примерно до 2 · 10-13 в недавней рабо-

стандартной одночастотной схеме, в которой наблю-

те [25].

дается обычный резонанс насыщенного поглощения

В работе [26] был предложен альтернативный

в виде пика пропускания. Кроме того, этот высо-

подход к созданию миниатюрных оптических КСЧ.

коконтрастный провал имеет более высокую ампли-

В его основе лежит субдоплеровская спектроскопия

туду, чем пик резонанса насыщенного поглощения.

атомов цезия в поле встречных бихроматических ла-

Эти особенности крайне важны для приложений но-

зерных пучков с ортогональными линейными поля-

вых нелинейных резонансов к решению задач кван-

819

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

товой метрологии, в частности, для создания мини-

2. ТЕОРИЯ

атюрного КСЧ оптического диапазона. Так, в пер-

2.1. Модель на основе Λ-схемы

вых же экспериментах с использованием цезиевой

микроячейки (V ≈ 5 мм³) была достигнута стабиль-

Для наблюдения высококонтрастных субдопле-

ность оптической частоты, равная 2 · 10-12 за 1 с

ровских резонансов методом двухчастотной спект-

[26]. Важно отметить, что кроме высокой стабиль-

роскопии атомы цезия облучались встречными ла-

ности частоты предложенная двухчастотная техни-

зерными пучками, каждый из которых состоит как

ка демонстрирует хорошие результаты при относи-

минимум из двух спектральных компонент с часто-

тельно малой температуре паров: около 60^◦C для

тами ω₁, ω₂ и соответствующими волновыми числа-

двухчастотной спектроскопии Cs против 80-100^◦C

ми k₁, k₂ (k_j = ω_j/c, где c — скорость света). Для

для двухфотонной спектроскопии Rb [24, 25]. Это

упрощения теории рассмотрим случай, когда две

обстоятельство означает потенциально более низкое

спектральные компоненты излучения в каждом из

энергопотребление всего КСЧ.

пучков имеют равные амплитуды. Тогда световое

поле может быть представлено в виде

Описанный новый метод двухчастотной спектро-

скопии уже успешно используется для стабилиза-

E(z, t) = E₁ {exp[-i(ω₁t - k₁z)] +

ции оптической частоты лазера в схеме высокоста-

бильных микроволновых КСЧ на основе резонан-

+ exp[-i(ω₂t - k₂z)]} +

сов КПН [29, 30]. Кроме того, недавно этот метод

+ E2 {exp[-i(ω₁t + k₁z - α + φ₁)] +

был опробован и на атомах рубидия для создания

КСЧ оптического диапазона [31]. Однако, несмот-

+ exp[-i(ω₂t + k₂z + α + φ₂)]} + c.c.

(1)

ря на эти успехи и еще большие перспективы, тео-

Здесь E₁ — вещественная амплитуда волн, бегущих

рия наблюдаемых высококонтрастных нелинейных

по оси z (оси квантования), а E₂ — волн, бегущих

резонансов имеет свои пробелы. В частности, каче-

против этой оси. Для упрощения, интенсивность ла-

ственное описание наблюдаемых эффектов, а также

зерного поля считаем однородной по поперечному

численные расчеты в модели трехуровневой Λ-схе-

сечению пучков (Π-образный профиль), т. е. ампли-

мы были представлены в работах [27, 32, 33]. Чис-

туды волн не зависят от поперечных координат x и

ленные расчеты, учитывающие реальную структу-

y. Учет гауссова распределения интенсивности, как

ру уровней энергии в атоме цезия, были проведены в

правило, приводит лишь к незначительным измене-

работе [26]. В этих работах была показана ключевая

ниям субдоплеровского резонанса [34]. В выражении

роль явления КПН в наблюдении высококонтраст-

(1) введены фазы φ₁ и φ₂, чтобы учесть возмож-

ных субдоплеровских резонансов. Между тем до сих

ную разность фаз между волнами, бегущими по оси

пор не было представлено никаких аналитических

z и против нее. Как мы увидим далее, наблюдае-

выражений для формы линии наблюдаемых резо-

мые резонансы чувствительны не к этим фазам по

нансов в газе атомов, которые бы явно демонстри-

отдельности, а к их разности φ₁-φ₂. Эта разность

ровали возможность наблюдения резонанса в виде

может контролироваться в эксперименте, например,

субдоплеровского пика в поглощении среды.

посредством перемещения зеркала, формирующего

В настоящей работе нами представлена упро-

встречный световой пучок [26,32,33].

щенная спектроскопическая модель на основе трех-

Как и в работе [32], всю совокупность уров-

уровневой Λ-схемы атома, позволяющая получить

ней энергии в реальном атоме будем моделировать

явные аналитические выражения, адекватно опи-

трехуровневой Λ-схемой, изображенной на рис. 2.

сывающие экспериментально наблюдаемые резонан-

Расстояние Δ_g между подуровнями энергии ос-

сы. Модель демонстрирует взаимное влияние таких

новного состояния, |1〉 и |2〉, соответствует вели-

нелинейных эффектов, как самонасыщение среды

чине сверхтонкого расщепления. При этом частот-

от каждого из двух лазерных пучков, насыщенное

ная компонента поля ω₁ вызывает дипольные пере-

поглощение от взаимного действия встречных пуч-

ходы |1〉 ↔ |3〉, тогда как компонента ω₂ — перехо-

ков, а также два типа нелинейных эффектов, свя-

ды |2〉 ↔ |3〉. Отметим, что Λ-схема уровней энергии

занных с КПН: просветление среды вдали от цен-

часто используется в теории при рассмотрении ши-

тра резонансной кривой и взаимная «конкуренция»

рокого круга задач из области лазерной спектроско-

разных КПН-состояний в центре этой кривой, кото-

пии атомов [35-37], динамики распространения им-

рая и отвечает за наблюдение высококонтрастных

пульсов света в резонансных средах [38-40] и иных

субдоплеровских резонансов.

задач, связанных с явлением КПН.

820

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

Оператор

V в уравнении (2) описывает взаи-

модействие атома с полем (1) в электродипольном

приближении. Его можно представить в виде сум-

мы операторов для каждого из встречных пучков,

V =

V₁ +

V₂, где в резонансном приближении

V₁ = -ℏR₁ {exp[-i(ω₁t - k₁z)]|3〉〈1| +

+ exp[-i(ω₂t - k₂z)]|3〉〈2|} + H.c.,

(4)

Рис. 2. Λ-схема уровней энергии в атоме. Сплошными

V₂ = -ℏR₂ {exp[-i(ω₁t + k₁z + φ₁ - α)] |3〉〈1| +

стрелками обозначены переходы, индуцируемые двухча-

+ exp[-i(ω₂t + k₂z + φ₂ + α)] |3〉〈2|} + H.c.

(5)

стотным пучком E1, распространяющимся вдоль оси z.

Штриховые стрелки — переходы, индуцируемые встреч-

Здесь введены вещественные частоты Раби соглас-

ным двухчастотным пучком E2. Волнистые стрелки обо-

но определению R_j = d₀E_j /ℏ, где d₀ — дипольные

значают каналы спонтанной релаксации. Пролетная релак-

моменты оптических переходов в Λ-схеме, которые,

сация не показана

для упрощения, мы считаем равными.

Оператор

R в уравнении (2) описывает релакса-

Для наблюдения высококонтрастных субдопле-

ционные процессы в атоме. Как и дипольные момен-

ровских резонансов в работах [26,27] использовались

ты переходов, скорости спонтанной релаксации по

встречные пучки с взаимно ортогональными линей-

каналам |3〉 → |1〉 и |3〉 → |2〉 также считаем одина-

ными поляризациями. Несмотря на то, что поле (1)

ковыми и равными βγ, где β — коэффициент ветвле-

записано в скалярном виде, в нашей модели вектор-

ния, принимающий значение в диапазоне 0 ≤ β ≤ 1

ную природу света можно учесть введением в (1)

(в частности, β = 1 соответствует закрытой систе-

фазы ±α, которая соответствует углу между линей-

ме уровней). В уравнение (2) для матрицы плотнос-

ными поляризациями встречных пучков (см. также

ти не входят дифференциальные операторы ∂/∂x и

работу [32]). При необходимости на основе Λ-схемы

∂/∂y по поперечным координатам, что формально

могут быть рассмотрены и эллиптически поляризо-

означает неограниченный размер лазерных пучков.

ванные волны [41].

В принятом случае Π-образного профиля интенсив-

Теоретический анализ будем проводить на ос-

ности учет ограниченности пучков и, следовательно,

нове стандартного квазиклассического формализма

конечного времени взаимодействия атомов с полем

одноатомной матрицы плотности ρ, когда внутрен-

можно учесть соответствующей константой пролет-

ние степени свободы атома описываются квантово-

ной релаксации, которую обозначим Γ. Выпишем в

механическим образом, тогда как световое поле счи-

явном виде оператор

^R:

тается классическим (не квантуется) [1,42]. Соответ-

[

ствующее уравнение движения имеет линдбладовс-

R₌ γ βρ₃₃

P₁₁ + βρ₃₃P22 - 2ρ33P33 -

кий вид:

(

)]

−

ρ₃₁

P₃₁ + ρ₃₂P32 + H.c.

]

dρ

[(

)

{

}

H₀ +

,ρ

+ R

(2)

∑

[

]

ℏ

-Γ

ρ_nm

P_nm +

P₁₁ +

P₂₂ ,

(6)

Здесь d/dt = ∂/∂t+υ ∂/∂z, где υ — проекция скоро-

n=1 m=1

сти атома на ось квантования z. Гамильтониан

H₀

где введены проекционные операторы

P_nm=|n〉〈m|.

описывает невозмущенное состояние атома (в отсут-

ствие лазерного поля). В базисе собственных функ-

Из этого выражения следует, что в наших обозначе-

ниях спонтанная релаксация возбужденного уров-

ций он имеет диагональный вид:

ня |3〉 равна 2γ. В свою очередь, релаксация опти-

∑

ческих когерентностей — недиагональных элемен-

H₀ =

E_n|n〉〈n| ,

(3)

тов ρ₃₁, ρ₃₂ матрицы плотности и комплексно-со-

n=1

пряженных им ρ₁₃, ρ₂₃ — описывается константой

где E_n — энергия уровня |n〉 в атоме (см. рис. 2), так

γ_eg = γ + Γ. Релаксация населенностей подуровней

что ω_mn = (E_m - E_n)/ℏ есть частоты соответствую-

основного состояния ρ₁₁, ρ₂₂ и низкочастотных ко-

щих переходов в Λ-схеме.

герентностей ρ₁₂, ρ₂₁ = ρ∗12 происходит со скорос-

821

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

тью Γ. Последнее слагаемое в выражении (6) опи-

откуда видно, что эти элементы осциллируют во

сывает установление изотропного состояния в ато-

времени на низкой частоте δ₁₂ = ω₁ - ω₂. Свойство

ме, когда подуровни |1〉 и |2〉 имеют одинаковую на-

эрмитовости матрицы плотности дает следующую

селенность, равную 1/2. Отметим, что мы считаем

связь амплитуд гармоник: ρ⁽⁺⁾²¹

= ρ(-)∗12 и ρ(-)21 =

газ атомов достаточно разреженным, чтобы прене-

=ρ(+)∗12.

бречь столкновениями и связанными с ними эффек-

Разложения на гармоники (7)-(9) приводят к

тами (в частности, столкновительной релаксацией).

необходимости учета в оптических когерентностях

Все сделанные приближения достаточно типичны в

не только гармоник вида exp(± i k₁z) и exp(± i k₂z),

теории субдоплеровской спектроскопии атомов ще-

как в Λ-схеме, взаимодействующей с одним бихро-

лочных металлов в ячейках без релаксационного по-

матическим пучком, но и комбинированных гармо-

крытия стенок и без буферного газа.

ник вида exp[± i (2k₁ -k₂)z] и exp[± i (k₁ -2k₂)z] (см.

Матрица плотности ρ является функцией как

также [32]). Таким образом, для оптических коге-

времени (t), так и координат (z). Будем рассмат-

рентностей имеем следующие представления:

ривать стационарный режим, в котором все пере-

[

ходные процессы (например, при влете атома в ла-

ρ₃₁(z, t) = exp(-iω₁t)

ρ(-1)31 exp(-i k₁z - i φ₁)+

зерный пучок) установились и населенности уров-

+ ρ⁽⁺¹⁾³¹exp(ik₁z) + ρ^(+21)31exp[i(2k₂ - k₁)z]+

ней энергии не зависят от времени. Между тем, как

]

было предсказано теоретически [32] и подтвержде-

+ ρ(-21)31exp[-i(2k₂ - k₁)z - iφ₁]

(10)

но экспериментально [26, 33], величина резонансно-

го поглощения поля в газовой ячейке медленно ос-

[

циллирует в пространстве. Это является следстви-

ρ₃₂(z, t) = exp(-iω₂t)

ρ(-2)32 exp(-i k₂z - i φ₂)+

ем «конкуренции» состояний КПН, индуцируемых

+ ρ⁽⁺²⁾³²exp(ik₂z) + ρ^(+12)32exp[i(2k₁ - k₂)z]+

в атоме каждым из встречных двухчастотных пуч-

]

ков (см. разд. 2.2): области конструктивной интер-

+ ρ(-12)32exp[-i(2k₁ - k₂)z - iφ₂]

(11)

ференции состояний КПН сменяются областями де-

структивной интерференции. Для учета такого эф-

Аналогичные выражения можно записать для

фекта в населенностях уровней Λ-схемы необходимо

остальных оптических когерентностей, учитывая

учесть низкочастотные пространственные гармони-

связь между ними: ρ₁₃ = ρ∗31, ρ₂₃ = ρ∗32.

ки exp(± 2i k₁₂z), где k₁₂ = k₁ - k₂. Таким образом,

Используя все выписанные выражения (3)-(11),

для диагональных элементов матрицы плотности

из (2) можно получить систему уравнений (опти-

будем использовать следующее фурье-разложение:

ческие уравнения Блоха) для всех элементов (гар-

моник) матрицы плотности. Эта система довольно

ρ_nn(z) ≈ ρ(0)nn + ρ(+)nn exp(2ik₁₂z)+

громоздка, так как имеет ранг, равный 29. Однако

из нее можно легко исключить все гармоники оп-

+ ρ(-)nnexp(-2ik₁₂z),

(7)

тических когерентностей и понизить ранг системы

где n = 1, 2, 3. В силу эрмитовости матрицы плотно-

до 13. Кроме того, мы будем рассматривать част-

сти (ρ = ρ^†) имеем ρⁿ

n =ρⁿ

n иρⁿ

n =ρⁿ

ный случай, который представляет наибольший ин-

Состояние КПН в Λ-схеме есть особая суперпо-

терес с точки зрения наблюдения наибольшего кон-

зиция подуровней |1〉 и |2〉 (см. разд. 2.2). Она обра-

траста субдоплеровских резонансов в рассматрива-

зуется под действием когерентного взаимодействия

емом двухчастотном методе [26, 27, 32, 33]. А имен-

атома одновременно с обоими спектральными со-

но, будем считать рамановскую (двухфотонную) от-

ставляющими поля. В свою очередь, это состояние

стройку частоты равной нулю, т. е. ω₁ - ω₂ = Δ_g

характеризуется недиагональными элементами ρ₁₂

(см. рис. 2). Итак, запишем оптические уравнения

и ρ₂₁ матрицы плотности. Поэтому для последних

Блоха в явном виде, которые будут являться осно-

справедливо следующее представление:

вой для получения аналитических решений в следу-

(0)

ющих разделах. Для нулевой гармоники ρ

имеем

ρ₁₂(z, t) ≈ exp(iδ₁₂t)×

(

)

[

]

ρ⁽⁺⁾¹² exp(ik₁₂z) + ρ(-)12 exp(-ik₁₂z)

(8)

ρ⁽⁰⁾¹¹ - βγτρ⁽⁰⁾

+ 2γ_egτ S₁ + S₂ N⁽⁰⁾¹³ +

{

}

(-)

+ 2R²τ Re L1ρ

ρ₂₁(z, t) ≈ exp(-iδ₁₂t)×

{

}

[

]

(+)

+ 2R²²τ Re L₂ρ

e^iθ

(12)

ρ⁽⁺⁾²¹ exp(ik₁₂z) + ρ(-)21 exp(-ik₁₂z)

(9)

822

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

Здесь и далее τ = Γ-1 — среднее время пролета

Отметим, что для закрытой системы (β = 1), как и

атома через лазерное поле, а θ = 2α - φ₁₂. Так-

должно быть, из выражений (16)-(18) и (7) следу-

же, для краткости, будем использовать обозначение

ет сохранение полной населенности подуровней для

=ρⁿ

-ρm0m для гармоник разности насе-

всех z и t:

ленностей подуровней.

{

}

Далее, для гармоники ρ⁽⁺⁾¹¹ имеем

ρ(z, t)

= ρ₁₁(z, t)+ ρ₂₂(z, t)+ ρ₃₃(z, t) = 1 . (19)

(

)

Осталось выписать уравнения для гармоник низ-

1 + 2ik₁₂υτ ρ⁽⁺⁾¹¹ - βγτρ⁽⁺⁾³³+

кочастотных когерентностей. В частности, для ρ⁽⁺⁾¹²

[

]

имеем

+ R²¹L₁ + R²²L^∗

τN⁽⁺⁾¹³+

[

(

)]

+R²¹τL₁ρ⁽⁺⁾¹² + R²²τL∗2ρ⁽⁺⁾²¹e^-iθ = 0 ,

(13)

1 + ik₁₂υτ + 2γ_egτ S₁ + S₂ ρ⁽⁺⁾¹²+

[

]

для гармоники ρ⁽⁰⁾²² —

+R²¹τ L₁N⁽⁺⁾¹³ + L∗1N⁽⁺⁾

(

)

[

]

ρ⁽⁰⁾²² - βγτρ⁽⁰⁾

+ 2γ_egτ S₁ + S₂ N⁽⁰⁾²³ +

+R²²

τe^-iθ L₂N⁽⁰⁾¹³ +L∗2N⁽⁰⁾

=0,

(20)

{

}

+ 2R²¹τ Re L∗1ρ(-)

{

}

для гармоники ρ(-)12 —

+ 2R²²τ Re L∗2ρ⁽⁺⁾¹²

e^iθ

(14)

[

(

)]

(-)

1 - ik₁₂υτ + 2γ_egτ S₁ + S₂ ρ

для гармоники ρ⁽⁺⁾²² —

[

]

(

)

+R²¹τ L₁N⁽⁰⁾¹³ + L∗1N⁽⁰⁾

1 + 2ik₁₂υτ ρ⁽⁺⁾²² - βγτρ⁽⁺⁾³³+

[

]

[

]

+ R²¹L∗1 + R²L2 τN(+)23 +

+R²²

τe^-iθ L₂N(-)13 +L∗2N(-)

= 0.

(21)

+R²¹τL∗1ρ⁽⁺⁾¹² + R²²τL₂ρ⁽⁺⁾²¹e^-iθ = 0 .

(15)

Остальные два уравнения для гармоник ρ(-)21 и ρ⁽⁺⁾²¹

получаются комплексным сопряжением уравнений

Уравнения для гармоник ρ(-)11 и ρ(-)22 можно полу-

соответственно (20) и (21).

чить комплексным сопряжением уравнений соответ-

В выписанных уравнениях были использованы

ственно (13) и (15). Аналогичные уравнения мож-

следующие обозначения для параметров насыще-

но получить для гармоник возбужденного состоя-

ния:

ния ρ⁽⁰⁾³³, ρ⁽⁺⁾³³ и ρ(-)33. Однако их можно заменить

R21,2

гораздо более компактными уравнениями, которые

S1,2 =

(22)

γ2eg + (δ ∓ kυ)²

можно получить сложением уравнений для разных

гармоник. Например, сложение уравнений для ρ⁽⁰⁾¹¹,

и комплексных лоренцианов:

ρ⁽⁰⁾²² и ρ⁽⁰⁾³³ дает простое уравнение вида

L1,2 =

(23)

γ_eg + i (δ ∓ kυ)

ρ⁽⁰⁾¹¹ + ρ⁽⁰⁾²² + ρ⁽⁰⁾³³ + 2γτ(1 - β)ρ⁽⁰⁾³³ = 1 .

(16)

| ≈

При этом было использовано приближение |k₁

Аналогично, складывая уравнения для ρ⁽⁺⁾¹¹, ρ⁽⁺⁾²² и

≈ |k₂| ≡ k. Далее мы также будем полагать, что

ρ⁽⁺⁾³³, приходим к следующему простому уравнению:

выполняется условие

(

)[

]

1 + 2iτk₁₂υ

ρ⁽⁺⁾¹¹ + ρ⁽⁺⁾²² + ρ⁽⁺⁾³³

υk₁₂ ≈ υΔ_g/c ≪ Γ, γ_egS1,2.

+ 2γτ(1 - β)ρ⁽⁺⁾³³ = 0 .

(17)

Это условие может быть выполнено для узких све-

товых пучков, о которых речь пойдет далее, и не

Комплексным сопряжением последнего уравнения

очень слабых световых полей. В частности, для пуч-

можно получить следующее:

ков диаметром d ∼ 1 мм, которые, например, ис-

(

)[

]

пользовались в работе [26], типовое значение Γ по-

1 - 2iτk₁₂υ

ρ(-)11 + ρ(-)22 + ρ(-)33

рядка 10-2γ. Тогда получаем, что для цезия, для

+ 2γτ(1 - β)ρ(-)33 = 0 .

(18)

которого 2γ ≈ 2π · 4.6 МГц, приближение υk₁₂ ≪ Γ

823

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

выполняется с хорошим запасом для всех атомов,

При δ ≫ Δ_res, где Δ_res — полная ширина субдо-

движущихся со скоростями менее 10³ м/с, а это по-

плеровского резонанса на полувысоте (FWHM), в

давляющая часть атомов цезия при комнатной тем-

силу эффекта Доплера атомы газа могут находить-

пературе (при T ≈ 300 К средняя тепловая скорость

ся в резонансе одновременно только с одним из двух

атомов цезия в газе составляет примерно 230 м/с).

встречных световых пучков. Тогда, при достаточно

Таким образом, в самих уравнениях для матрицы

малой константе релаксации Γ основного состояния,

плотности мы будем полагать k₁₂ ≈ 0, что является

большая часть атомов оказывается в одном из двух

типовым приближением, например, в теории явле-

состояний, (26) или (27). Этим объясняется слабое

ния КПН [35] (отказ от этого приближения приво-

поглощение поля на крыльях доплеровского конту-

дит лишь к некоторому дополнительному уширению

ра (см. рис. 1, сплошная кривая). В центре же ре-

КПН-резонанса).

зонансной кривой, где δ ≤ Δ_res, атомы одновремен-

В выражениях (22), (23) была введена отстройка

но взаимодействуют с двумя встречными лазерны-

несущей частоты ω₀ лазерного излучения от средней

ми пучками. В этом смысле можно говорить о «кон-

частоты двух переходов в Λ-схеме:

куренции» лазерных пучков в приготовлении кван-

тового состояния в атоме, результат которой сильно

ω₃₁ + ω₃₂

δ=ω₀ -

(24)

зависит от «степени» эквивалентности двух состо-

яний, (26) и (27). Действительно, рассмотрим ска-

Именно эта отстройка сканируется в экспериментах

лярное произведение

для наблюдения резонансной кривой, тогда как упо-

}

1^{

мянутые выше две спектральные компоненты, ω₁ и

|〈NC₁|NC₂〉| =

1 + exp[i(θ - 2k₁₂z)] ,

(28)

ω₂, получаются из несущей частоты ω₀, например, с

откуда видно, что при

помощью СВЧ-модуляции излучения электроопти-

ческим модулятором. Таким образом, по существу

θ - 2k₁₂z = (2n - 1)π (n = 1,2,...)

(29)

ω₁ и ω₂ — это боковые полосы порядков соответст-

венно +1 и -1.

состояния |NC₁〉 и |NC₂〉 ортогональны, т.е. они

не могут существовать одновременно в атоме. Это

можно назвать деструктивной интерференцией тем-

2.2. Когерентное пленение населенностей и

ных состояний, которая приводит к заметному по-

образование пика в поглощении

глощению света атомом по сравнению с уровнем по-

Перед решением выписанных оптических урав-

глощения при δ ≫ Δ_res. Описанные особенности

нений Блоха продемонстрируем на качественном

формирования состояний КПН в рассматриваемой

уровне причину наблюдения высококонтрастного

конфигурации лазерного поля позволяют качествен-

субдоплеровского пика в поглощении лазерного по-

но объяснить возможность наблюдения высококон-

ля средой резонансных атомов. Для этого запишем

трастного субдоплеровского пика поглощения в экс-

в явном виде состояния КПН, которые могут быть

периментах (см. рис. 1).

индуцированы в атоме каждым из двух встречных

Если атом находится в чистом состоянии КПН,

пучков по отдельности. Эти состояния, которые мы

например |NC₁〉, то его матрица плотности может

будем обозначать |NC〉 (noncoupled), подчиняются

быть представлена в виде

уравнениям [43]

ρ(NC₁) = |NC₁〉〈NC₁

〈3

Vj |NCj 〉 = 0, j = 1, 2.

(25)

1^{

|1〉〈1| + exp(2i k₁₂z)|2〉〈2| -

Используя выражения (4) и (5), получаем явный вид

нормированных на единицу волновых функций:

- exp[i(δ₁₂t - k₁₂z)]|1〉〈2| -

}

{

}

- exp[-i(δ₁₂t - k₁₂z)]|2〉〈1|

(30)

|NC₁〉 =

√

|1〉 - exp[-i (δ₁₂t - k₁₂z)]|2〉 ,

(26)

Если атом находится в состоянии |NC₂〉, то по-

{

}

|NC₂〉 =

√

|1〉- exp[-i (δ₁₂t + k₁₂z - θ)]|2〉

(27)

мимо появления фазы θ в этих гармониках у k₁₂

сменится знак. Из этого простого анализа следу-

Как видно из (25), находясь в состоянии КПН, атом

ет, что населенности подуровней (матричные эле-

не взаимодействует с лазерным полем и, следова-

менты вида 〈n|ρ|n〉) должны содержать гармоники

тельно, не флюоресцирует. Поэтому КПН-состояние

exp(±2k₁₂z), в то время как низкочастотные коге-

также называют «темным».

рентности осциллируют во времени и пространстве,

824

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

как exp[±i(δ₁₂t ± k₁₂z)]. С этим и связано появление

появления субдоплеровского пика в поглощении

соответствующих гармоник в выражениях (7), (8) и

среды. Этому и посвящены следующие два раздела.

(9). Отметим, что если среда облучается только од-

ним из двух встречных пучков, то квантовое состо-

2.3. Режим пробной волны

яние в движущемся атоме газа адиабатически сле-

Рассмотрим сначала режим, в котором один из

дует за полем и ненулевые пространственные гармо-

двухчастотных пучков (пробный пучок) значитель-

ники в населенностях (7) не возникают [35]. Также

можно показать, что в таком однопучковом режиме

но слабее другого. Пусть это будет поле E₂ (см.

рис. 2). Причем интенсивность этого пучка также

гармоники ρ⁽⁺⁾¹² = ρ(-)21 = 0. При этом если атом на-

ходится в чистом состоянии |NC₁〉, то для оставших-

полагаем гораздо меньше интенсивности насыщения

ся ненулевых гармоник элементов матрицы плотно-

Isat, которая для атомов щелочных металлов состав-

сти получаем простые и очевидные решения:

ляет единицы милливатт на квадратный сантиметр.

Другой пучок, поле накачки E₁, мы не будем по-

ка существенно ограничивать по интенсивности, т. е.

ρ⁽⁰⁾¹¹ = ρ⁽⁰⁾²² =

ρ⁽⁰⁾³³ = 0, ρ(-)12 = ρ⁽⁺⁾²¹ = -¹

она может быть сравнима с I_sat. В таком случае за-

дачу можно решить в линейном режиме по проб-

В экспериментах условие

(29) может быть

ному полю, когда это поле никак не отражается на

выполнено различными способами: перемещением

оптических характеристиках среды, а лишь «пробу-

ячейки вдоль оси z, перемещением зеркала в схе-

ет» то состояние атомов, которое подготовлено вол-

ме, где встречный пучок формируется простым

ной накачки. Поэтому в уравнениях для матрицы

отражением исходного пучка обратно в ячейку

плотности следует учесть только влияние поля E₁ и

положить R₂ = 0. Кроме того, из системы уравне-

(при этом изменяется фаза φ₁₂, а, следователь-

но, и θ), изменением угла α между линейными

ний исчезнут некоторые гармоники, например, ρⁿ

(n = 1, 2, 3), которые являются следствием действия

поляризациями встречных пучков. Все эти осо-

бенности наблюдались в экспериментах [26, 32, 33].

двух полей одновременно. В итоге ранг этой систе-

мы понижается до 5, и она примет простой вид:

Из условия (29), в частности, следует, что с точки

зрения максимизации амплитуды субдоплеровского

ρ⁽⁰⁾¹¹ - βγτρ⁽⁰⁾³³ + 2γ_egτS₁N⁽⁰⁾¹³ +

пика преимуществом обладают короткие ячейки,

{

}

в которых это условие с достаточной точностью

+ 2R²¹τ Re L₁ρ(-)

(31)

выполняется на всей длине. Период осцилляций

амплитуды резонанса при перемещении отражаю-

щего зеркала может быть найден из выражения

ρ⁽⁰⁾²² - βγτρ⁽⁰⁾³³ + 2γ_egτS₁N⁽⁰⁾²³ +

(29): Δz = π/2|k12| (здесь коэффициент 2 связан

{

}

с тем, что при перемещении зеркала на Δz от-

+ 2R²¹τ Re L∗1ρ(-)

(32)

раженные от него волны приобретают удвоенный

фазовый сдвиг 2k1,2Δz). В частности, для цезия

(

)

период осцилляций амплитуды резонанса состав-

1 + 2γ_egτS₁ ρ(-)12+

ляет Δ_z(Cs) ≈ 8 мм, что также подтверждается

[

]

экспериментами с микроячейкой (L

≈ 1.4 мм),

+R²¹τ L₁N⁽⁰⁾¹³ + L∗1N⁽⁰⁾

=0.

(33)

изготовленной по технологии MEMS

[26], и с

компактной стеклянной ячейкой (L ≈ 5 мм) [33].

Уравнение для ρ⁽⁰⁾³³ остается в неизменном виде (16),

Рассматриваемая Λ-схема уровней является

а уравнение для ρ⁽⁺⁾²¹ может быть получено ком-

лишь приближением реальной структуры уровней

плексным сопряжением уравнения (33).

энергии в атомах щелочных металлов. Поэтому

Легко показать, что в выписанных уравнени-

на ее основе можно делать лишь грубые оценки

ях присутствует симметрия относительно замены

параметров субдоплеровского резонанса, наблюда-

ρ⁽⁰⁾¹¹

↔ ρ⁽⁰⁾²². Это же следует из качественного ана-

емого в экспериментах. Реальная схема уровней

лиза рис. 2 в рассматриваемых условиях. Следова-

энергии была рассмотрена в работе [26] на основе

тельно, не решая систему, мы получаем ρ⁽⁰⁾¹¹ = ρ⁽⁰⁾²² и

численных расчетов оптических уравнений Блоха.

N⁽⁰⁾¹³ = N⁽⁰⁾²³. Тогда из (33) для ρ(-)12 находим

Между тем Λ-схема может быть использована для

получения явных аналитических выражений для

(-)

ξ₁

N⁽⁰⁾¹³ ,

(34)

формы резонансной линии и объяснения причин

1+ξ₁

825

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

где введен пролетный параметр насыщения соглас-

с осцилляциями exp(ikz)). Здесь, как и раньше, мы

но определению [44]

положили k₁ ≈ k₂ = k. Учитывая, что I = cE²/2π

]

и P = n_aTr

d₀ ρ

, где

d₀ — оператор дипольного мо-

ξ_j ≡ 2γ_egτS_j .

(35)

мента, n_a — концентрация атомов, можно прийти к

следующему дифференциальному уравнению, опи-

Из (34), в частности, следует, что гармоника ρ(-)12

сывающему изменение интенсивности двухчастот-

вещественная, как и гармоника ρ⁽⁺⁾²¹ = ρ(-)∗12. Как

ного пробного пучка в среде:

уже было отмечено в разд. 2.2, этими элемента-

dI₂

ми матрицы плотности описывается состояние КПН

= -2γ_egℏkcn_aS₂ ×

как суперпозиция уровней |1〉 и |2〉. Их веществен-

[

(

)]

δ+kυ

ность является следствием того, что мы изначально

× N⁽⁰⁾¹³ +ρ(-)

cosη +

sinη

(40)

γ_eg

положили рамановскую отстройку равной нулю.

Выпишем окончательное решение уравнений

При выводе этого выражения было учтено, что

Блоха в линейном приближении по пробному полю:

ρ(-)12 — вещественная функция и N₁₃(0) = N₂₃(0).

Также была введена фаза η(z) = θ - 2k₁₂z. Форму-

ρ⁽⁰⁾¹¹ = ρ⁽⁰⁾²² =

ла (40) имеет простой физический смысл. Действи-

(1 + 2(1 - β)γτ)/2

тельно, ℏkc = pc = E_ph

— это энергия одного фо-

[

] ξ₁,

(36)

(

)

тона пробного пучка, которая в линейном режиме

1 + 2γτ + 4 + 2

2-β

γτ ξ₁

по полю рассеивается со скоростью порядка γ_egS₂.

Количество этой энергии, рассеиваемой в единице

ξ₁

ρ⁽⁰⁾³³ =

[

]

(37)

объема среды, должно быть пропорционально коли-

(

)

1 + 2γτ + 4 + 2

2-β

γτ ξ₁

честву рассеивающих частиц, т. е. n_a. Все нелиней-

ные процессы, которые влияют на скорость рассея-

ния энергии из пробного пучка, описываются слага-

ξ₁/2

ρ(-)12 = ρ⁽⁺⁾²¹ = -

емыми в квадратных скобках. Так, в линейном ре-

1+ξ₁

[

]

жиме (по обоим пучкам) населенности подуровней в

3 + 2(1 - β)γτ

× 1-

[

] ξ₁

(38)

Λ-схеме совпадают с изотропным начальным состо-

(

)

1 + 2γτ + 4 + 2

2-β

γτ ξ₁

янием: ρ₁₁ = ρ₂₂ = 1/2, ρ₃₃ = 0, ρ(-)12 = 0, поэтому

N⁽⁰⁾¹³ = ρ₁₁ = 1/2. Отклонение от этих значений —

Из этого решения, в частности, следует, что в закры-

суть проявление нелинейных эффектов. В частнос-

той системе (β = 1) в пределе достаточно большого

ти, первое слагаемое в скобках (N⁽⁰⁾¹³) связано с вы-

времени взаимодействия (τ→∞) все атомы накачи-

равниванием населенностей подуровней основного и

ваются в состояние КПН, для которого

возбужденного состояний, происходящее под влия-

нием пучка накачки и описывающее явление насы-

ρ⁽⁰⁾¹¹ = ρ⁽⁰⁾²² =

ρ⁽⁰⁾³³ = 0, ρ(-)12 = ρ⁽⁺⁾²¹ = -¹

щенного поглощения. Это явление при перестройке

частоты лазера (т.е. при сканировании δ) приводит

Этот же результат мы получали в разд. 2.2 без реше-

к наблюдению резонанса насыщенного поглощения

ния системы для матрицы плотности, что является

в проходящей через ячейку интенсивности пробного

проверкой полученных решений.

пучка. Второе слагаемое в скобках, пропорциональ-

В рассматриваемом режиме (I₂≪I₁) исследуе-

ное ρ(-)12, связано с образованием когерентного состо-

мым сигналом является поглощение пробного пучка

яния как суперпозиции подуровней |1〉 и |2〉. При-

с интенсивностью I₂, включающего две спектраль-

чем, как видно из (40), это состояние либо умень-

ные составляющие, E₂(ω₁) и E₂(ω₂), которые вза-

шает поглощение пробной волны, либо увеличива-

имодействуют с отдельными переходами в Λ-схеме.

ет его в зависимости от фазы η(z), что находится в

Укороченное волновое уравнение для медленной ам-

качественном согласии с анализом, проведенным в

плитуды каждой из этих составляющих имеет из-

разд. 2.2.

вестный вид (j = 1, 2):

Учитывая связь параметра насыщения S₂ c ин-

тенсивностью волны I₂ и дипольным моментом

dE₂(ω_j )

= 2πikP(ω_j),

(39)

перехода d₀, а также известную формулу d²⁰

= 3βγℏ/4k³, перепишем уравнение (40) в виде

где P (ω_j ) — поляризация среды на частоте ω_j , изме-

dI₂

3λ²n_a

няющаяся медленно в пространстве (по сравнению

κ(I₁, z)I₂ ,

(41)

2π

826

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

где был введен безразмерный показатель поглоще-

Как мы покажем далее, слагаемое в скобках, про-

ния пробной волны

порциональное sin η, после усреднения по скоростям

приведет к важной особенности показателя погло-



щения — к появлению асимметрии нелинейного ре-

κ(I₁, z) = βγγ_egL2

²×

зонанса. С учетом приближения (45) усреднение по

[

(

)]

δ+kυ

скоростям атомов становится тривиальным и при-

× N⁽⁰⁾¹³ +ρ(-)

cosη +

sinη

(42)

γ_eg

водит к выражению вида

Здесь лоренциан L₂ определяется формулой (23).

Υ_total(δ) = Υ_lin(δ) + Υ_SAR(δ) + Υ_interCPT (δ),

(46)

Как уже отмечалось выше в разд. 2.2, корот-

кие газовые ячейки предпочтительны для исполь-

где линейное поглощение пробного поля, не завися-

зования в методе двухчастотной спектроскопии (см.

щее от интенсивности пучка накачки, описывается

также работы [26, 33]). В таких ячейках можно

слагаемым

пренебречь зависимостью показателя поглощения κ

)

√πβγ

⁽γ_eg + iδ

от переменной z, происходящей из-за присутствия

Υ_lin(δ) =

Φ_r

(47)

2Δ_D

Δ_D

медленных гармоник exp(±2ik₁₂z). Иными словами,

в выражении (42) переменную z, для упрощения,

которое приводит к формированию широкого кон-

можно считать еще одним заданным параметром.

тура Фойгта (см. рис. 1). В своей центральной час-

Тогда уравнение (41) имеет весьма простое решение

ти этот контур близок к доплеровскому контуру с

в виде известного закона Бугера:

полушириной по уровню e-1, равной Δ_D = kυ₀. По-

этому в спектроскопии его часто также называют

I₂(z = L_cell) = I₂₀ exp[-κ(I₁)L_cell].

(43)

доплеровским. В последнем выражении была введе-

на функция

Здесь I₂₀ — интенсивность пробного пучка на входе

в ячейку, а I₂(z = L_cell) — на выходе из нее.

{

[

]}

Φ_r(x) = Re exp(x²)

1 - erf(x)

(48)

Таким образом, резонансное поглощение пробно-

го поля E₂ описывается функцией κ(δ). Между тем

эта функция также зависит от скорости υ атома.

где erf(x) — функция ошибок.

Поэтому в случае газа атомов необходимо провести

Второе и третье слагаемые в (46) описывают

ее усреднение по скоростям теплового движения с

нелинейные эффекты. В частности, слагаемое Υ_SAR

учетом распределения Максвелла:

ответственно за резонанс насыщенного поглощения:

3 + 2(1 - β)γτ

√πβ²γ³γ_egτ

Υ(δ) ≡

κ(δ, υ)_υ =

Υ_SAR(δ) = -

(

)×

∞

1 + 2γτ

8Δ_D

γ2eg + δ²

∫

(

)

υ²

[ (_γ

)

)]I

κ(δ, υ) exp

dυ ,

(44)

eg + iδ

γ_eg

⁽γ_eg + iδ

√πυ₀

υ²

× Φ_r

Φ_i

¹ ,

(49)

-∞

Δ_D

Δ_D I_sat

√

где

где υ₀ =

2k_BT/m₀ — наиболее вероятная скорость

{

[

]}

теплового движения атома в газе (k_B — постоянная

Φ_i(x) = Im exp(x²)

1 - erf(x)

(50)

Больцмана, m₀ — масса атома).

а интенсивность насыщения введена стандартной

Для дальнейшего упрощения задачи и получе-

формулой: I_sat = 4π²ℏcγ/λ³.

ния компактного аналитического выражения для

Слагаемое Υ_interCPT связано с образованием со-

Υ(δ) воспользуемся приближением первого поряд-

стояния КПН в атоме под действием волны накачки,

ка по теории возмущений для пучка накачки, по-

которое взаимодействует с пробной волной:

лагая ξ₁ ≪ 1. Тогда, учитывая явный вид решений

(36)-(38), приближенное выражение для показателя

√πβ²γ³γ_egτ

поглощения пробной волны примет вид

Υ_interCPT (δ) = -

(

)×

8Δ_D

γ2eg + δ²



[

[ (_γ

)

)]

βγγ_eg



3 + 2(1 - β)γτ

eg + iδ

γ_eg

⁽γ_eg + iδ

κ≈

L2



ξ₁ -

× Φ_r

Φ_i

1 + 2γτ

Δ_D

(

)]

(

)

δ+kυ

I₁

-ξ₁

cosη +

sinη

(45)

× cosη +

sinη

(51)

γ_eg

Isat

827

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Выражениям (49) и (51) можно придать более

с учетом того, что знаки у этих вкладов различают-

простой вид, учитывая, что эти функции сконцен-

ся, это обосновывает возможность наблюдения кон-

трированы по большей части в области δ ∼ γ_eg ≪

трастного субдоплеровского резонанса в виде про-

≪ Δ_D, поэтому

вала в проходящей через среду интенсивности света

(рис. 1, сплошная кривая) вместо обычного резонан-

)₂

са насыщенного поглощения в виде пика пропуска-

⁽2γ_egδ

4γ_egδ

Φ_r ≈ 1 - 2

≈ 1, Φ_i ≈

≪ 1.

ния (рис. 1, штриховая кривая). С другой стороны,

Δ2D

Δ²

в существенно открытой системе (β ≪ 1), как лег-

Тогда для нелинейных вкладов в Υ имеем выраже-

ко видеть из выражения (54), вклад от Υ_SAR все-

ния

гда будет хоть и незначительно, но преобладать над

вкладом от Υ_interCPT , и субдоплеровский резонанс

будет иметь вид пика (провала) в пропускании (по-

3 + 2(1 - β)γτ

Υ_SAR(δ) ≈ -

глощении) ячейки. Эти выводы согласуются с чис-

1 + 2γτ

ленными решениями оптических уравнений Блоха,

√πβ²γ³γ_egτ

I₁

проведенными в работе [32].

(

)

(52)

8Δ_D

γ2eg + δ²

Isat

Продемонстрируем сказанное выше графически.

На рис. 3 изображены по отдельности линейный и

нелинейные вклады в показатель поглощения Υ(δ)

при β

= 1, η

= π, I₁

= 50 мкВт/см², Δ_D

√πβ²γ³τ

Υ_interCPT (δ) ≈ -

(

)×

= 2π·230 МГц, Γ = 5·10-2γ, 2γ = 2π·4.56 МГц, λ =

8Δ_D

γ2eg + δ²

= 894.6 нм — это соответствует D₁-линии цезия при

температуре атомов около 50^◦C и диаметре пучка

(

) I₁

× γ_eg cosη) + δ sinη

(53)

около 0.5 мм, как в экспериментах с микроячейка-

Isat

ми. Интенсивность насыщения при этих параметрах

равна примерно 2.5 мВт/см². На рис. 3б видно, что

Как видно из этих выражений, функция (52) яв-

вклад от Υ_interCPT существенно превосходит вклад

ляется четной по δ и описывается простым лорен-

от Υ_SAR, что в результате и приводит к наблюдению

цевским контуром. В то же время функция (53)

однородно уширенного резонанса в виде высококон-

содержит слагаемое δ sin η, что приводит к появ-

трастного провала (пика) в прохождении (поглоще-

лению асимметрии субдоплеровского резонанса при

нии) света резонансной средой (см. рис. 1, сплошная

= πn, где n

= 0, 1, 2, . . . Также из этих вы-

кривая). Суммарное действие всех вкладов отраже-

ражений следует, что функция Υ_SAR всегда будет

но на рис. 3в.

иметь отрицательный знак, тогда как знаком функ-

ции Υ_interCPT можно управлять, меняя фазу η. В

Выше мы отмечали важную особенность функ-

ции Υ(δ), связанную с появлением асимметрии при

частности, особый интерес представляет случай, ко-

гда фаза η = (2n - 1)π, при которой, как было по-

η =πn, где n = 0,1,2,... На рис. 4а хорошо вид-

казано в разд. 2.2, можно ожидать появления резо-

на эта асимметрия при η = π/2, когда в выраже-

нансного провала в проходящей через ячейку интен-

нии (53) sin η = 1. Такого рода асимметрия обыч-

сивности пробного пучка. Для явной демонстрации

но является нежелательной при использовании ре-

такой возможности, исходя из полученных выраже-

зонанса в качестве репера для стабилизации часто-

ний, сравним относительные веса слагаемых Υ_SAR

ты в КСЧ, поскольку она приводит к появлению до-

полнительного сдвига сигнала ошибки, не связанно-

и Υ_interCPT при выбранной фазе η:

го с динамическим штарковским сдвигом уровней

энергии перехода. Поэтому фаза η должна хорошо

Υ_interCPT

1 + 2γτ

≈-

(54)

контролироваться в экспериментах при стабилиза-

Υ_SAR

3 + 2(1 - β)γτ

ции частоты излучения в рассматриваемой схеме с

Отсюда следует, что в закрытой системе (β = 1)

пробным пучком. Другая особенность полученных

вклад от Υ_interCPT будет преобладать по моду-

решений демонстрируется на рис. 4б и связана с ис-

лю над вкладом от Υ_SAR при выполнении условия

чезновением пика поглощения в существенно откры-

γτ > 1, которое обычно выполняется с хорошим за-

той системе. На рисунке субдоплеровский резонанс

пасом в экспериментах с атомами щелочных метал-

неразличим на фоне широкого доплеровского кон-

лов. Таким образом, при η = (2n - 1)π в закрытой

тура, поскольку Υ_interCPT ≈ -Υ_SAR при β ≪ 1 и

системе выполняется условие Υ_interCPT ≫ Υ_SAR, а

γτ ≫ 1.

828

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

Рис. 4. Общий вид резонансной кривой в следующих слу-

чаях: а — асимметрия субдоплеровского резонанса при

β = 1, η = π/2; б — отсутствие нелинейного резонанса

в открытой системе при β = 0.1, η = π. Остальные пара-

метры расчета такие же, как для рис. 3

тем, что в экспериментах режим стоячей световой

волны чаще всего формируется простым отражени-

Рис. 3. Различные вклады в показатель поглощения проб-

ем пучка E₁, после его прохождения ячейки, обрат-

ного пучка: а — линейное поглощение (доплеровский кон-

но в ячейку с помощью зеркала (так формирует-

тур); б — нелинейные слагаемые ΥSAR и ΥinterCP T ; в —

ся пучок E₂). Тогда на фотоприемнике наблюдается

общий вид резонансной кривой с учетом всех вкладов. Па-

сигнал, пропорциональный поглощению обоих пуч-

раметры расчета приведены в тексте

ков.

Для получения аналитических выражений мы

будем использовать теорию возмущений по пролет-

2.4. Режим слабой стоячей волны

ному параметру насыщения ξ, полагая ξ₁ ∼ ξ₂ ≪ 1

В этом разделе рассмотрим другой, часто ис-

и γτ > 1. Эти условия соответствуют приближению

пользуемый на практике, режим — поле стоячей све-

узких световых пучков [44]. Отметим, что слагаемые

товой волны. В этом режиме интенсивности встреч-

в оптических уравнениях Блоха, пропорциональные

{

}

ных пучков близки (I₁ ≈ I₂). В этом режиме будем

R2jτRe

L_j

(j = 1, 2) имеют порядок малости ξ_j или

интересоваться поглощением обоих встречных све-

меньше. Также для упрощения задачи полагаем си-

товых пучков в резонансной среде. Это связано с

стему уровней закрытой (β = 1). Очевидно, что в

829

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

нулевом порядке малости по ξ1,2, т. е. в отсутствие

темных состояний в атомах под действием каждого

поля, отличными от нуля являются только нулевые

из пучков по отдельности. Эти состояния начина-

гармоники населенностей подуровней основного со-

ют «конкурировать» в центре резонансной кривой,

стояния: ρ(0)11,0 = ρ(0)22,0 = 1/2. Здесь и далее нижний

что описывается гармоникой ρ(+)33,2 и приводит, со-

индекс после запятой означает порядок по теории

гласно выражению (60), к зависимости населенно-

возмущений. С учетом этих значений, из уравнений,

сти возбужденного состояния от z. Выражение для

представленных в разд. 2.1, легко получить реше-

этой гармоники имеет вид

ние для следующих ненулевых элементов матрицы

(

)

ξ₁ξ₂

kυ

плотности в первом порядке теории возмущений:

ρ(+)33,2 = -

1+i

e^-iθ.

(62)

1 + 2γτ

γ_eg

ξ₂)/2

ρ(0)11,1 = ρ(0)22,1 = -(ξ1 +

(55)

Далее, по аналогии с (44), необходимо усреднить

1 + 2γτ

выражения (56), (61) и (62) по скоростям атомов.

ξ₁ + ξ₂

Для удобства мы введем краткое обозначение для

ρ(0)33,1 = -2ρ(0)11,1 =

(56)

1 + 2γτ

усредненной населенности возбужденного уровня и

запишем ее в следующем виде:

ρ(+)12,1 = ρ(-)∗21,1 = -ξ2

e^-iθ ,

(57)

W (δ) ≡

ρ₃₃(δ, υ)_υ =

ρ(-)12,1 = ρ(+)∗21,1 = -ξ₁/2 .

(58)

=W_lin +W_SS +W_CPT +W_SAR +W_interCPT

(63)

При ξ₂ = 0 эти выражения совпадают с (36)-(38) в

рассматриваемом приближении (ξ₁ ≪ 1 и β = 1).

Здесь первое слагаемое описывает линейное погло-

Из уравнений Максвелла - Блоха можно пока-

щение суммарного поля в ячейке, т. е. W_lin/I_t не за-

зать, что поглощение суммарного поля E₁(z, t) +

висит от интенсивности I_t:

+ E₂(z, t) пропорционально полной населенности

)

√πγ²τ

⁽γ_eg + iδ

I_t

возбужденного уровня ρ₃₃, т.е.

W_lin(δ) =

Φ_r

(64)

2Δ_D(1 + 2γτ)

Δ_D I_sat

dI_t

∝ ρ₃₃(I₁, I₂, z),

(59)

Остальные слагаемые в (63) описывают различные

нелинейные эффекты. Так, эффект самонасыщения

где I_t = I₁ + I₂. Исходя из выражения (7), величина

среды от каждого из пучков по отдельности описы-

ρ₃₃ может быть представлена в виде

вается вкладом

{

}

ρ₃₃(z) = ρ⁽⁰⁾³³ + 2 Re

exp(2ik₁₂z)ρ⁽⁺⁾³³

(60)

[

3γ⁴τ²

2γ_eg

WSS (δ) = -

где, как и раньше, мы полагаем зависимость от ко-

8Δ_Dγ_eg(1 + 2γτ)² Δ_D

ординаты достаточно медленной, чтобы переменная

(

) (

)

√

2γ2eg

γ_eg + iδ

z считалась параметром, постоянным на длине ячей-

Φ_r

ки, — это избавляет от необходимости интегрирова-

Δ2D

Δ_D

ния по координате в (59). Далее, для краткости, мы

)]

2√πγegδ

⁽γ_eg + iδ

I²¹ + I²²

приведем решения только для гармоник ρ₃₃, входя-

Φ_i

(65)

Δ2D

Δ_D

I²

щих в анализируемый сигнал (60). Так, во втором

порядке теории возмущений имеем

Помимо самонасыщения каждый из пучков вдали от

центра резонанса просветляет среду за счет накач-

ξ²¹ + ξ²²

ξ₁ξ₂

ξ²¹ + ξ²²

ρ(0)33,2 = -3

-6

(61)

ки атомов в состояние КПН, что описывается очень

(1 + 2γτ)²

1 + 2γτ

похожим слагаемым:

Первое слагаемое здесь описывает эффект самона-

[

сыщения среды под действием каждого из встреч-

γ⁴τ²

2γ_eg

WCP T (δ) = -

ных пучков. Этот эффект отсутствовал при ана-

8Δ_Dγ_eg(1 + 2γτ) Δ_D

лизе поглощения только пробного пучка в линей-

(

) (

)

√

2γ2eg

γ_eg + iδ

ном режиме (см. разд. 2.3). Далее следует слага-

Φ_r

емое, пропорциональное произведению интенсивно-

Δ2D

Δ_D

стей встречных пучков и описывающее, после усред-

)]

2√πγegδ

⁽γ_eg + iδ

I²¹ + I²²

нения по скоростям, резонанс насыщенного погло-

Φ_i

(66)

Δ2D

Δ_D

I²s

щения. Последнее слагаемое связано с образованием

830

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

Последние две формулы можно записать в прибли-

√πγ⁴γ_egτ² cos η

W_interCPT (δ) = -

женном виде, поскольку выполняется соотношение

4Δ_D(1 + 2γτ)(γ2eg + δ²)

[ (

)

)]

γ_eg ≪ Δ_D:

γ_eg + iδ

γ_eg

⁽γ_eg + iδ

I₁I₂

× Φ_r

Φ_i

(71)

Δ_D

I2s

3√πγ4τ

W_SS(δ) ≈ -

8Δ_Dγ_eg(1 + 2γτ)²

Как и предыдущее слагаемое, выражение для

)

⁽γ_eg + iδ

I²¹ + I²²

W_interCPT можно приближенно записать в более

×Φ_r

(67)

простой форме, описываемой функцией Лоренца:

Δ_D

I²

√πγ⁴τ

W_interCPT (δ) ≈

WCP T (δ) ≈ -

8Δ_Dγ_eg(1 + 2γτ)

√πγ⁴γ_egτ² cos η

I₁I₂

)

≈-

(72)

⁽γ_eg + iδ

I²¹ + I²²

4Δ_D(1 + 2γτ)(γ2eg + δ²) I²

×Φ_r

(68)

Δ_D

I²

Из этого выражения вытекает важное следствие. А

Отметим, что эффекты, описываемые этими двумя

именно, как мы видели в разд. 2.3, в линейном ре-

слагаемыми, отсутствуют в показателе поглощения

жиме по пробному полю нелинейный резонанс мо-

Υ(δ), исследованном в предыдущем разделе. Это

жет приобретать асимметрию при η = πn. В данном

связано с тем, что этот показатель был рассчитан

случае функция (72) не содержит нечетных по δ сла-

в линейном режиме по пробному полю, тогда как в

гаемых, в отличие от функции Υ_CPT из (53). Это

настоящем разделе населенность W (δ) содержит в

связано с тем, что в режиме стоячей волны мы рас-

себе нелинейные эффекты от обоих пучков. Далее,

сматриваем полное поглощение поля в резонансной

как можно видеть из сравнения выражений (67) и

среде, а не поглощение какого-либо одного пучка.

(68), при формальном условии γτ ≫ 1 эффект от на-

Так же, как и в случае с Υ_interCPT и Υ_SAR

качки атомов в состояние КПН (W_CPT ) преоблада-

в разд. 2.3, можно легко показать, что вклад от

ет над эффектом самонасыщения (W_SS) оптических

W_interCPT преобладает над вкладом от W_SAR, что

переходов в Λ-схеме. Это неудивительно, посколь-

при cos η < 0 может приводить к образованию конт-

ку при увеличении времени взаимодействия с лазер-

растного пика в поглощении среды. Действительно,

ным полем (τ ≫ γ-1) атомы больше накапливаются

по аналогии с (54) при η = π имеем

в состоянии КПН, переставая взаимодействовать с

излучением, чем испытывают эффект самонасыще-

W_interCPT

1 + 2γτ

≈-

(73)

ния от выравнивания населенностей возбужденного

W_SAR

и основных подуровней.

Нелинейный эффект, приводящий к резонансу

Это выражение совпадает с (54) при β = 1. Отсю-

насыщенного поглощения, описывается слагаемым

да следует, что при γτ ≫ 1 выполняется соотноше-

| между вкладами от двух

ние |W_interCPT | ≫ |W_SAR

√πγ⁴γ_egτ

нелинейных эффектов.

W_SAR(δ) = -

4Δ_D(1 + 2γτ)²(γ2eg + δ²)

Далее, как и в разд. 2.3, проиллюстрируем гра-

[ (

)

γ_eg + iδ

γ_eg

⁽γ_eg + iδ)] I1I2

фически различные вклады в общий сигнал (63). На

× Φ_r

Φ_i

(69)

Δ_D

I²

рис. 5 представлены парциальные вклады от линей-

ного поглощения и от различных нелинейных эф-

В отличие от слагаемых (65) и (66), последнее выра-

фектов в населенность W возбужденного уровня

жение описывает функцию, локализованную вбли-

при таких же параметрах, как для рис. 3. В рас-

зи δ ∼ γ_eg. Поэтому, по аналогии с (49) и (52), эту

сматриваемом режиме стоячей волны эти парамет-

функцию можно приближенно записать в виде про-

ры следует дополнить интенсивностью второго пуч-

стого лоренцевского контура:

ка: I₂ = I₁ = 50 мкВт/см². Как видно на рис. 5а, до-

плеровский контур линейного поглощения светового

√πγ⁴γ_egτ

I₁I₂

W_SAR(δ) ≈ -

(70)

поля (штриховая кривая) имеет амплитуду больше,

4Δ_D(1 + 2γτ)²(γ2eg + δ²) I²

чем соответствующая амплитуда суммарного резо-

Последнее слагаемое в (63) связано с конкурен-

нанса (сплошная). Это является следствием прояв-

цией различных состояний КПН в центре резонанса,

ления двух нелинейных эффектов: самонасыщения

как это качественно описано в разд. 2.2. Это слага-

(рис. 5б, штриховая кривая) и накачки в состоя-

емое имеет вид

ние КПН (рис. 5б, сплошная). Причем последний

831

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Рис. 6. а) Резонансная кривая при различных значениях

фазы η. б) Осцилляции амплитуды субдоплеровского ре-

зонанса при изменении фазы η. Параметры расчета такие

же, как для рис. 5

личных состояний КПН (сплошная кривая) сущест-

венно больше амплитуды резонанса насыщенного

поглощения, что и приводит к появлению субдоп-

леровского резонанса в виде пика поглощения или

провала в прозрачности среды, как на рис. 1 или 5а

(сплошные кривые).

Рисунок 6а демонстрирует симметричность ре-

Рис. 5. Различные вклады в показатель поглощения проб-

ного пучка: а — линейное поглощение Υ_lin (доплеровский

зонанса при фазе η = πn в отличие от режима проб-

контур); б — нелинейные слагаемые ΥSAR и ΥinterCP T ;

ного пучка (ср. с рис. 4а). Рисунок 6б отражает

в — общий вид резонансной кривой с учетом всех вкла-

эффект пространственных осцилляций амплитуды

дов. Параметры расчета приведены в тексте

субдоплеровского резонанса при вариации фазы η,

который был предсказан в работе [32] на основе чис-

ленных расчетов и подтвержден экспериментально

эффект влияет на величину доплеровского погло-

в работах [26, 33].

щения гораздо сильнее. Центральный (субдоплеров-

ский) резонанс на рис. 5а (сплошная кривая) фор-

мируется в результате конкуренции двух субдопле-

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ровских спектральных структур, изображенных на

5в. Из этого рисунка следует, что амплитуда резо-

В настоящей работе построена теория и полу-

нанса, возникающего вследствие конкуренции раз-

чены аналитические выражения для формы линии

832

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

Форма линии субдоплеровских резонансов в газе. ..

субдоплеровских резонансов, наблюдаемых в поле

R. M. Godun, P. B. R. Nisbet-Jones, J. M. Jones et

встречных бихроматических лазерных пучков. При

al., Phys. Rev. Lett. 113, 210801 (2014).

этом в явном виде выделены слагаемые, отвечаю-

S. Haroche and F. Hartmann, Phys. Rev. A 6, 1280

щие за различные линейные и нелинейные эффекты

(1972).

в поглощении поля резонансной средой. На основе

полученных формул дано теоретическое объяснение

M. A. Gubin, D. A. Tyurikov, A. S. Shelkovnikov et

al., IEEE J. Quant. Elect. 31, 2177 (1995).

эффекта возникновения высококонтрастного пика

поглощения, который может быть использован для

S. N. Bagayev, A. K. Dmitriyev, and P. V. Pokasov,

создания миниатюрных оптических стандартов

Laser Phys. 7, 989 (1997).

частоты нового поколения. Выполнено сравне-

10.

G. Galzerano, C. Svelto, A. Onae, and E. Bava, SPIE

ние двух режимов наблюдения субдоплеровских

Proc. 4269, 224 (2001)

резонансов: режима стоячей волны и режима

пробного поля. Показано, что в первом случае не

11.

S. M. Ignatovich, M. N. Skvortsov, V. I. Vishnyakov

наблюдается асимметрия нелинейного резонанса,

et al., J. Phys. Conf. Ser. 793, 012010 (2017).

что может явиться ключевым фактором при вы-

12.

C. Affolderbach and G. Mileti, Rev. Sci. Instrum. 76,

боре конкретной схемы реализации оптического

073108 (2005).

КСЧ. Действительно, подобного рода асимметрия

резонанса может приводить к нежелательным

13.

N. Almat, W. Moreno, M. Pellaton et al., IEEE

сдвигам частоты КСЧ при ее стабилизации по

Trans. Ultrason. Ferr. 65, 919 (2018).

субдоплеровскому резонансу методом синхронного

14.

T. Schuldt, K. Döringshoff, E. V. Kovalchuk et al.,

детектирования и формирования сигнала ошибки.

Appl. Opt. 56, 1101 (2017).

В таком случае асимметрия приводит к сдвигу

сигнала ошибки, что может сказаться на долговре-

15.

V. Schkolnik, K. Döringshoff, F. B. Gutsch et al., Eur.

менной стабильности КСЧ. В целом, полученные

Phys. J. Quant. Techn. 4, 9 (2017).

результаты существенно дополняют теорию вы-

16.

G. Alzetta, A. Gozzini, L. Moi, and G. Orriols, Nuovo

сококонтрастных субдоплеровских резонансов в

Cim. B 36, 5 (1976).

бихроматическом лазерном поле, ранее построен-

17.

H. Zhang, K. Okada, H. Herdian et al., IEEE J. Sol.

ную лишь на основе численных расчетов.

St. Circ. 54, 3135 (2019).

Финансирование. Работа А. М. Михайлова

18.

R. Vicarini, M. Abdel Hafiz, V. Maurice et al., IEEE

и Д. В. Бражникова была поддержана гранта-

Trans. Ultrason. Ferr. 66, 1962 (2019).

ми Российского научного фонда (17-72-20089) и

19.

М. Н. Скворцов, С. М. Игнатович, В. И. Вишняков

Российского фонда фундаментальных исследова-

и др., КЭ 50, 576 (2020) [M. N. Skvortsov, S. M. Ig-

ний (20-02-00075). Р. Будо благодарит за поддерж-

natovich, V. I. Vishnyakov et al., Quant. Electron.

ку Национальное агентство научных исследований

50, 576 (2020)].

(Agence Nationale de la Recherche) в рамках проекта

“LabeX FIRST-TF” (грант ANR 10-LABX-0048).

20.

C. L. Chow, M. Cho, K. Aheieva et al., Overview

of Project SPATIUM

— Space Precision Ato-

mic-Clock Timing Utility Mission, in Proc. 33rd

ЛИТЕРАТУРА

Annual AIAA/USU Conf. on Small Satellites,

Logan, Utah, USA

3-8

August

(2019), paper

1. V. S. Letokhov and V. P. Chebotayev, Nonlinear

No. SSC19-WKVII-07.

Laser Spectroscopy, Springer, Berlin (1977).

2. T. W. Hänsch, S. A. Lee, R. Wallenstein, and C. Wie-

21.

J. W. Conklin, S. Nydam, T. Ritz et al., Preliminary

Results from the CHOMPTT Laser Time-Transfer

man, Phys. Rev. Lett. 34, 307 (1975).

Mission, in [20], paper No. SSC19-VI-03.

3. J. L. Hall, C. J. Borde, and K. Uehara, Phys. Rev.

Lett. 37, 1339 (1976).

22.

M. T. Hummon, S. Kang, D. G. Bopp et al., Optica

5, 443 (2018).

4. С. Н. Багаев и В. П. Чеботаев, Письма в ЖЭТФ

16, 614 (1972) [S. N. Bagaev and V. P. Chebotaev,

23.

Z. L. Newman, V. Maurice, T. E. Drake et al., Optica

JETP Lett. 16, 433 (1972)].

6, 680 (2019).

5. M. Takamoto, I. Ushijima, N. Ohmae et al., Nature

24.

V. Maurice, Z. Newman, S. Dickerson et al., Opt.

Photon. 14, 411 (2020).

Express 28, 24708 (2020).

833

А. М. Михайлов, Р. Будо, Д. В. Бражников

ЖЭТФ, том 160, вып. 6 (12), 2021

25. Z.L. Newman, V. Maurice, C. Fredrick et al.,

35. E. Arimondo and G. Orriols, Lett. Nuovo Cim. 17,

arXiv:2105.00610v1 [physics.atom-ph].

333 (1976).

26. D. Brazhnikov, M. Petersen, G. Coget et al., Phys.

36. H. R. Gray, R. M. Whitley, and C. R. Stroud, Jr.,

Rev. A 99, 062508 (2019).

Opt. Lett. 3, 218 (1978).

27. M. Abdel Hafiz, G. Coget, E. De Clercq, and

37. K.-J. Boller, A. Imamoglu, and S. E. Harris, Phys.

R. Boudot, Opt. Lett. 41, 2982 (2016).

Rev. Lett. 66, 2593 (1991).

28. D. V. Brazhnikov, S. M. Ignatovich, I. S. Mesenzova

38. L. V. Hau, S. E. Harris, Z. Dutton, and C. H. Beh-

et al., J. Phys. Conf. Ser. 1859, 012019 (2021).

roozi, Nature 397, 594 (1999).

29. P. Yun, F.Tricot, C. E. Calosso et al., Phys. Rev.

39. V. G. Arkhipkin and I. V. Timofeev, Phys. Rev. A 64,

Appl. 7, 014018 (2017).

053811 (2001).

30. M. Abdel Hafiz, G. Coget, M. Petersen et al., J. Appl.

40. V. I. Yudin, M. Yu. Basalaev, D. V. Brazhnikov, and

Phys. 121, 104903 (2017).

A. V. Taichenachev, Phys. Rev. A 88, 023862 (2013).

31. M. Zhao, X. Jiang, R. Fang et al., Appl. Opt. 60,

41. D. V. Brazhnikov, A. V. Taichenachev, and

5203 (2021).

V. I. Yudin, Eur. Phys. J. D 63, 315 (2011).

32. M. Abdel Hafiz, D. V. Brazhnikov, G. Coget et al.,

42. S. G. Rautian and A. M. Shalagin, Kinetic Problems

New J. Phys. 19, 073028 (2017).

of Nonlinear Spectroscopy, North-Holland, Amster-

dam (1991).

33. Д. В. Бражников, С. М. Игнатович, И. С. Месен-

зова и др., КЭ 50, 1015 (2020) [D. V. Brazhnikov,

43. E. Arimondo, Progr. Opt. 35, 257 (1996).

S. M. Ignatovich, I. S. Mesenzova et al., Quant.

44. Д. Б. Лазебный, Д. В. Бражников, А. В. Тайчена-

Electron. 50, 1015 (2020)].

чев и др., ЖЭТФ 148, 1068 (2015) [D. B. Lazebnyi,

34. S. N. Bagayev, V. P. Chebotayev, and E. A. Titov,

D. V. Brazhnikov, A. V. Taichenachev et al., JETP

Laser Phys. 4, 224 (1994).

121, 934 (2015)].

834