ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 4 (10), стр. 595-604

АСИММЕТРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛЕВОПОЛЯРИЗОВАННЫХ

НЕЙТРИНО В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

А. Е. Лобанов^*, А. В. Чухнова^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 11 мая 2021 г.,

после переработки 5 июня 2021 г.

Принята к публикации 7 июня 2021 г.

Исследуется эволюция нейтрино в неоднородном электромагнитном поле. На основании точных решений

уравнения, которое описывает как флейворные осцилляции, так и поворот спина, получены вероятности

спин-флейворных переходов нейтрино. Детально рассмотрен случай распространения нейтрино в поле то-

чечного магнитного диполя. Для этого случая показано, что полная вероятность поворота спина зависит

от угла между направлением скорости нейтрино и осью диполя. Из полученных результатов следует, что

эффективное уменьшение потока левых нейтрино от астрофизического объекта с высоким магнитным

полем или на финальной стадии коллапса сверхновой может быть вызвано поворотом спина как в облас-

ти с высокой плотностью вещества, так и при дальнейшем распространении нейтрино в окружающем

объект поле.

DOI: 10.31857/S0044451021100163

мо учитывать не только флейворные осцилляции, но

и эволюцию спина, для корректного описания кото-

рой необходимо использовать явно релятивистское

1. ВВЕДЕНИЕ

уравнение. Если нейтрино распространяется вдоль

Предложенная Понтекорво [1] идея осцилляций

направления магнитного поля или в неподвижной

нейтрино существенно изменила наши представле-

среде, то спиральность нейтрино не изменяется, и

ния о поведении фундаментальных частиц. На ос-

достаточно рассматривать осцилляции нейтрино с

нове этой идеи была развита феноменологическая

определенной спиральностью аналогично тому, как

теория осцилляций, в которой флейворное состоя-

это делается при изучении распространения нейтри-

ние нейтрино описывается как суперпозиция мас-

но в вакууме. Однако в общем случае наличие элек-

совых состояний. Эта теория позволяет рассматри-

тромагнитного поля [4,5], а также движущейся или

вать также и распространение нейтрино в ферми-

поляризованной среды [6] (см. также [7]), приводит

онной среде с помощью эффективного потенциала,

к изменению ориентации спина. При этом вслед-

предложенного Вольфенштейном [2]. Важным след-

ствие корреляций между осцилляциями нейтрино и

ствием такого подхода явилось открытие эффекта

поворотом спина эти процессы необходимо рассмат-

резонансного поведения вероятностей флейворных

ривать одновременно, что может иметь важное зна-

переходов нейтрино при определенной плотности ве-

чение для астрофизики [8-16]. В указанных рабо-

щества, называемого эффектом Михеева - Смирно-

тах исследовались особенности поведения нейтрино

ва - Вольфенштейна [3].

и был получен ряд интересных результатов, в том

Однако обобщение феноменологического подхо-

числе с использованием квантово-полевых методов.

да, который использует эффективное уравнение ти-

При этом, как и в феноменологической теории ос-

па уравнения Шредингера, на случай движущейся

цилляций, флейворное состояние нейтрино в этих

среды или наличия внешнего электромагнитного по-

работах рассматривалось как суперпозиция массо-

ля затруднено. Действительно, поскольку нейтри-

вых. Альтернативный подход для описания осцил-

но — массивная частица, то в этом случае необходи-

ляций в рамках квантовой теории поля предложен

в работе [17].

^* E-mail: lobanov@phys.msu.ru

^** E-mail: av.chukhnova@physics.msu.ru

595

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Отметим, что исследование возможности постро-

ных характеристик внешнего поля. В настоящей ра-

ения флейворных состояний как суперпозиции мас-

боте в модели трех флейворов изучаются вероятно-

совых с точки зрения квантовой теории поля прово-

сти спин-флейворных переходов дираковских нейт-

дилось неоднократно (см., например, [18,19]). Одна-

рино в неоднородном магнитном поле. В качестве

ко непротиворечивое квантовополевое описание су-

примера мы детально рассматриваем нейтрино в по-

перпозиции состояний с различными массами сопря-

ле точечного диполя. Полученные результаты при-

жено с существенными математическими сложнос-

меняются для исследования возможного поведения

тями [20]. В работах [21, 22] было показано, что эту

спина нейтрино от астрофизических объектов, ха-

проблему можно обойти, если работать в рамках мо-

рактеризующихся сильным магнитным полем.

дификации Стандартной модели, в которой фермио-

ны с разными электрослабыми квантовыми числами

объединены в мультиплеты. Такое описание позво-

2. ВЕРОЯТНОСТИ СПИН-ФЛЕЙВОРНЫХ

ляет построить пространство Фока для произволь-

ПЕРЕХОДОВ НЕЙТРИНО В

ной суперпозиции массовых состояний нейтрино и

НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

соответствующие операторы рождения и уничтоже-

В работах [23-25] эволюция нейтрино была ис-

ния, что дает возможность описывать осцилляции

следована в квазиклассическом приближении, кото-

нейтрино в рамках S-матричного подхода. Посколь-

рое применимо для нейтрино ультрарелятивистких

ку волновое уравнение для мультиплета нейтрино в

энергий E_ν и позволяет удерживать члены порядка

данном подходе становится 12-компонентным, в его

m_ν/E_ν. При таком рассмотрении 4-скорость нейт-

решениях содержится информация как о флейворе,

рино u^μ можно считать постоянной. Действитель-

так и о поляризации нейтрино. Это уравнение может

но, в работе [22] показано, что существуют решения

быть обобщено на случай взаимодействия нейтрино

12-компонентного уравнения Дирака в вакууме, та-

со средой и электромагнитным полем.

кие что все массовые состояния распространяются

Именно такой подход был использован нами в ра-

с одной скоростью. В настоящей работе мы также

ботах [23,24], в которых были получены и исследо-

ограничиваемся исследованием нейтрино в квази-

ваны вероятности спин-флейворных переходов для

классическом приближении.

нейтрино, взаимодействующего с движущейся сре-

Квазиклассическое уравнение эволюции для ней-

дой постоянной плотности через нейтральные и за-

трино в электромагнитном поле имеет вид (см. [24])

ряженные токи или взаимодействующего с постоян-

ным однородным электромагнитным полем. В [25]

(

мы обобщили результаты, полученные в [24], на слу-

I - IM - μ₀Mγ⁵γμ ⋆F_μνu^ν -

чай неоднородного магнитного поля и показали в

dτ

)

адиабатическом приближении, что не только в плот-

− M_hγ⁵γ^μ⋆F_μνu^ν - M_ahγ⁵γ^μF_μν

u^ν Ψ(τ) = 0,

(1)

ной среде, но и в магнитном поле может иметь место

резонансное поведение вероятности флейворного пе-

рехода. Этот резонанс в определенной степени ана-

где τ

— собственное время нейтрино, а Ψ(τ)

логичен резонансу Михеева - Смирнова - Вольфен-

представляет собой

12-компонентную квазиклас-

штена и обусловлен наличием у нейтрино переход-

сическую волновую функцию нейтрино, которая

ных магнитных моментов.

удовлетворяет условию

В наших работах [23-25], как и в других статьях,

посвященных исследованию спин-флейворных пере-

γ^μu_μΨ(τ) = Ψ(τ).

ходов в магнитном поле (см., например, [26,27]), ис-

Собственное время связано с длиной пробега нейт-

пользовалось приближение двух флейворов. В этом

рино L соотношением τ = L/|u|. В уравнении (1)

приближении результаты получаются более нагляд-

I — единичная матрица 3×3, M — массовая матри-

ными. К сожалению, имеет место и другая причи-

ца нейтрино,

на — получить в модели трех флейворов явное ана-

литическое выражение для вероятностей переходов

в общем случае не представляется возможным. Од-

^⋆F^μν = -

e^μνρλF_ρλ

нако в некоторых частных случаях в реалистич-

ной модели трех флейворов можно получить точ-

— тензор, дуальный тензору электромагнитного по-

ные решения уравнения эволюции и соответствую-

ля F^μν . Взаимодействие с переходными магнитны-

щие вероятности переходов даже в случае перемен-

ми и электрическими моментами нейтрино [5] (см.

596

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Асимметрия распространения левополяризованных нейтрино. . .

также [28]) учитывается с помощью эрмитовых мат-

(см., например, [30]), или, что фактически то же са-

риц M_h и M_ah. В первом и втором слагаемых урав-

мое, с помощью Т-экспоненты, однако в виде явного

нения (1) подразумевается домножение на единич-

аналитического выражения ее можно представить

ную матрицу из алгебры матриц Дирака. Матрица

только в нескольких частных случаях, один из ко-

γ⁵ здесь определена как γ⁵ = -iγ⁰γ¹γ²γ³.

торых будет рассмотрен далее. Поскольку мы пре-

В работах [24, 25] было показано, что влияние

небрегаем переходными моментами нейтрино, эле-

переходных моментов на эволюцию нейтрино суще-

менты матрицы смешивания в магнитном поле в

ственно при энергиях, близких к энергии резонан-

рассматриваемом случае совпадают с их вакуумны-

са, которая для чисто магнитного поля определяет-

ми значениями. Таким образом, волновая функция

ся соотношением

нейтрино является линейной комбинацией волновых

√

функций массовых состояний. Это обстоятельство

μ₀|B|

(u₀)² - |u|² cos² ϑ ∼ 1,

(2)

позволяет получить явное решение уравнения.

Если направление магнитного поля остается

где u^μ — 4-скорость нейтрино, B — индукция маг-

неизменным на траектории нейтрино, то при ра-

нитного поля, ϑ — угол между скоростью нейтри-

венстве нулю переходных магнитных моментов

но и направлением магнитного поля в лабораторной

для уравнения (1) существует спиновый интеграл

системе отсчета, а величина μ₀ является коэффи-

движения S:

циентом пропорциональности между диагональным

√

магнитным моментом и массой нейтрино. В рамках

S = γ⁵γμ ⋆F_μνu^ν/N, N = uμ ⋆Fμα ⋆F_ανu^ν.

(6)

Стандартной модели значение параметра μ₀ задает-

ся известным соотношением [4]

Очевидно, что для нейтрино в чисто магнитном поле

с индукцией B величина N определяется выражени-

3eG_F

μ₀ =

√

(3)

ем

√

2π²

N = |B| u²⁰ - |u|2 cos2 ϑ,

а переходные моменты подавлены по сравнению с

где ϑ — угол между направлением движения нейт-

диагональными за счет GIM-механизма [29]. В нас-

рино и вектором магнитной индукции в лаборатор-

тоящей работе мы пренебрегаем переходными мо-

ной системе отсчета. Оператор S определяет проек-

ментами нейтрино, положив в уравнении (1) M_h и

цию спина нейтрино на направление магнитного по-

M_ah равными нулю. Таким образом, мы рассматри-

ля в системе покоя нейтрино. Соответствующий это-

ваем случай дорезонансных энергий нейтрино. Вы-

му интегралу движения 4-вектор поляризации нейт-

числение вероятностей переходов в квазиклассиче-

рино определяется как

ском приближении мы будем проводить, используя

оператор эволюции для уравнения (1), с помощью

sμ = H^μ/N, H^μ =^⋆F^μν u_ν .

(7)

которого волновая функция записывается следую-

В этом случае мы получаем точное выражение для

щим образом:

оператора эволюции в следующем виде:

Ψ (τ) =

√ U(τ)Ψ₀,

(4)

U (τ) =

2u₀

⎛

⎞

∫τ

∑

где Ψ₀ постоянный 12-компонентный математичес-

exp^⎝-im_i

(1-ζμ₀N(τ)) dτ^⎠ ×

кий объект, который определяет начальное состоя-

i=1,2,3 ζ=±1

ние нейтрино и может быть представлен в виде

(

)

1-ζγ⁵γ^μs_μ

P(i),

(8)

(

)

Ψ₀ =

(1 - γ⁵γ_μsμ0)(γ_μu^μ + 1)

ψ⁰ ⊗ e_j

где P(i) представляет собой проектор на состояние с

(5)

определенной массой m_i. Суммирование по ζ = ±1

Ψ₀Ψ₀ = 2.

соответствует различным значениям проекции спи-

Здесь ψ⁰ — постоянный биспинор, e_j — произволь-

на нейтрино на направление магнитного поля.

ный единичный вектор в трехмерном пространстве

Пусть направление магнитного поля достаточно

над полем комплексных чисел, а sμ0 представляет со-

медленно меняется относительно направления ско-

бой 4-вектор поляризации нейтрино, который удов-

рости нейтрино, а именно скорость изменения на-

летворяет условию (us₀) = 0.

правления поля удовлетворяет условиям [31]

В общем случае резольвента может быть запи-

≪ 1,

(9)

сана как мультипликативный интеграл Вольтерра

2μ₀N

597

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

где

для вероятностей спин-флейворных переходов нейт-

рино:

√

κ= H²

H ² - (H

^H)²/N²,

(10)

∑

U^∗αkU_αlU^∗βlU_βk ×

κ=

e^αβγδ H_α H˙_βH_γu_δ.

W(α),ζα →(β),ζβ⁼

H²

H ² - (H

^H)²

k,l=1

∑

exp(-i(m_kτ-ζΦ_k(τ))) ×

Здесь точка обозначает дифференцирование по соб-

ζ,ζ^′=±1

ственному времени. В этом случае оператор S мож-

× exp(i(m_lτ-ζ^′Φ_l(τ))) ×

но рассматривать как интеграл движения прибли-

(

)

женно, и как резольвента (8), так и выражения для

^{1+ζ_αζ_β

1 - ζ_α(ζ + ζ^′)(ss_sp) + ζζ^′(ss_sp)²

вероятностей переходов между состояниями с опре-

}

деленными флейвором и спиральностью, получен-

1-ζ_αζ_β

(

)

ζζ^′

1 - (ss_sp)²

(14)

ные на ее основе, остаются приближенно верными.

Для описания чистого состояния с определенным

где

исходным флейвором α и начальной спиральностью

ζ_α (ζ_α = -1 для левополяризованных нейтрино и

∫

ζ_α = 1 для правополяризованных нейтрино) мы бу-

Φ_k(τ) = m_kμ₀ N dτ.

(15)

дем использовать квазиклассические спин-флейвор-

ные матрицы плотности чистых состояний (см. [23])

Для удобства записи вероятностей переходов да-

(

)(

)

лее мы используем обозначения

ρ(α),ζα (τ) =

U (τ)

γ^μu_μ+1

1-ζ_αγ⁵γ_μs^μsp

4u⁰

× P(α)0U(τ),

(11)

ΔΦ_kl = Φ_k(τ) - Φ_l(τ), Δm_kl = m_k - m_l.

(16)

где 4-вектор поляризации, соответствующий спи-

Суммирование по индексам ζ, ζ^′ приводит к следую-

ральному состоянию нейтрино, задается формулой

щим соотношениям. Вероятность перехода нейтрино

из состояния с флейвором α и поляризацией ζ_α в со-

{

}

стояние с флейвором β без изменения спиральности

s^μsp =

|u|, u⁰u/|u|

определяется формулой

В уравнении (11) проектор P(α)0 определяет на-

чальный флейвор нейтрино, а проектор

W(α),ζα→(β),ζ_β=ζα⁼

− ζ_αγ⁵γ_μs^μsp)/2 — начальную поляризацию нейтри-

∑

(

)

|U_αk|²|U_βk|²

cos² Φ_k(τ)+(ss_sp)² sin² Φ_k(τ)

но.

k=1

В соответствии с фундаментальными принципа-

∑

^{1(

)₂

(

)

ми квантовой механики вероятность перехода из со-

+ R_αβkl

1 - ζ_α(ss_sp)

cos

τ Δm_kl -ΔΦ_kl

стояния с флейвором α и поляризацией ζ_α в состоя-

k>l

ние с флейвором β и поляризацией ζ_β зависит от

(

)₂

(

)

1 + ζ_α(ss_sp)

cos

τ Δm_kl +ΔΦ_kl

собственного времени τ и составляет

}

(

)

(

)

{

}

1 - (ss_sp)²

cos(τΔm_kl)cos

Φ_k(τ)+Φ_l(τ)

(τ = 0)

(12)

W(α),ζα →(β),ζβ=Trρ(α),ζα(τ)ρ(β),ζβ

∑

^{1(

)₂

(

)

+ I_αβkl

1-ζ_α(ss_sp)

sin

τ Δm_kl-ΔΦ_kl

Учитывая соотношение

k>l

{

}

)₂

(

)

Tr P(k)U^†P(α)UP(l)U^†P(β)U

1 + ζ_α(ss_sp)

sin

τ Δm_kl +ΔΦ_kl

=U^∗αkU_αlU^∗βlU_βk,

(13)

(

)

1 - (ss_sp)²

sin(τΔm_kl) ×

}

(

)

где U — матрица смешивания Понтекорво - Ма-

× cos

Φ_k(τ) + Φ_l(τ)

(17)

ки - Накагавы - Сакаты, мы получаем выражения

598

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Асимметрия распространения левополяризованных нейтрино. . .

Вероятность перехода с изменением спиральности

которые можно получить в земных условиях, явно

определяется выражением

недостаточны для наблюдения указанного эффекта.

Поэтому имеет смысл рассматривать только удален-

∑

ные источники нейтрино. Поскольку нас интересуют

W(α),ζ

|U_αk|²|U_βk|² ×

α →(β),ζβ =ζα =

поля, которые могут быть сгенерированы локализо-

k=1

(

)

ванным источником, для достаточно больших τ у

1 - (ss_sp)²

sin² Φ_k(τ)+

фаз Φ_k(τ) существует конечный предел, т.е.

∑

(

)

(

)

^{1

+ R_αβkl

1-(ss_sp)²

cos

τ Δm_kl-ΔΦ_kl

Φ_k(τ) → Φ_k.

(21)

τ →∞

k>l

Следовательно, на больших расстояниях от источ-

)

(

)

1 - (ss_sp)²

cos

τ Δm_kl +ΔΦ_kl

ника эволюция нейтрино характеризуется вакуум-

опре-

ными длинами осцилляций, а параметры Φ_k

}

(

)

(

)

деляют только сдвиги фаз. В этом случае, если счи-

1-(ss_sp)²

cos(τΔm_kl)cos

Φ_k(τ)+Φ_l(τ)

тать, что разброс расстояний между источником

нейтрино и точкой регистрации значительно пре-

∑

^{1(

)

(

)

вышает характерную длину вакуумных осцилляций

+ I_αβkl

1-(ss_sp)²

sin

τ Δm_kl-ΔΦ_kl

нейтрино, необходимо провести усреднение вероят-

k>l

ностей переходов по собственному времени. В ре-

)

(

)

зультате получаем

1 - (ss_sp)²

sin

τ Δm_kl +ΔΦ_kl

(

)

W(α),ζα→(β),ζ_β=ζα⁼

1 - (ss_sp)²

sin(τΔm_kl) ×

∑

(

)

}

|U_αk|²|U_βk|²

cos² Φ_k+(ss_sp)² sin² Φ_k

(

)

× cos

Φ_k(τ)+Φ_l(τ)

(18)

k=1

(22)

W(α),ζα→(β),ζ_β=-ζα⁼

В формулах (17), (18) использованы обозначения:

∑

(

)

|U_αk|²|U_βk|²

1 - (ss_sp)²

sin² Φ_k.

R_αβkl ≡ Re U^∗αkU_αlU^∗βlU_βk,

k=1

(19)

Iαβkl ≡ Im UαkUαl

βl

U_βk.

Вероятность сохранения спиральности, которая

представляет собой сумму вероятностей переходов

Естественно, в модели двух флейворов, когда мат-

в состояния со всеми возможными флейворами β,

рица смешивания приобретает вид

(

)

задается формулой

cosθ sinθ

∑

(20)

− sinθ cosθ

W(α)ζα→ζα⁼

W(α),ζα→(β),ζ_β=ζα⁼

(β)

формулы (17), (18) согласуются с полученными ра-

∑

нее при исследовании поведения нейтрино как в по-

|U_αk|²(cos² Φ_k + (ss_sp)² sin² Φ_k).

(23)

стоянном однородном [24] (см. также [26,27]), так и в

k=1

слабоменяющемся поле [25]. Следует отметить, что

Как хорошо известно, с высокой точностью только

если пренебречь влиянием поля, т. е. положить N =

нейтрино левой поляризации участвуют в процес-

= 0, то полученные соотношения переходят в стан-

сах взаимодействия с частицами Стандартной мо-

дартные выражения для осцилляций нейтрино в ва-

дели. Поэтому если считать, что ζ_α = -1, то с помо-

кууме (см., например, [32]), полученные в рамках

щью этого соотношения можно определить величи-

феноменологического подхода. Очевидно, что в ва-

ну потока нейтрино, который возможно зарегистри-

кууме переходы с переворотом спина отсутствуют.

ровать на больших расстояниях от источника.

Величины полей, необходимые для сколько-ни-

Соответствующая вероятность процесса с пере-

будь значимого проявления эффекта поворота спи-

воротом спина имеет вид

на нейтрино, очень велики. Детальные оценки эф-

∑

фекта в случае величины магнитного момента ней-

W(α)ζα→-ζα=W(α),ζα→(β),ζβ=-ζα⁼

трино, определяемого Стандартной моделью, даны

(β)

в [24]. Однако даже если использовать эксперимен-

∑

тальное ограничение на величину магнитного мо-

|U_αk|²(1 - (ss_sp)²) sin² Φ_k.

(24)

мента μ_ν

< 2.7 · 10-11μ_B [33, 34], ясно, что поля,

k=1

599

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Поскольку правополяризованные нейтрино практи-

массы почти равны между собой m_k ≈ m, и, следо-

чески стерильны, это соотношение определяет раз-

вательно,

личие между исходным потоком нейтрино от источ-

ника и потоком нейтрино, который может наблю-

Φ ≈ Φ_k,L_k ≈ L₀ (k = 1,2,3).

даться.

В этом случае вероятность сохранения спиральнос-

ти и вероятность поворота спина определяются со-

3. НЕЙТРИНО В ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО

отношениями

ДИПОЛЯ

W(α)ζ

= cos² Φ + (ss_sp)² sin² Φ,

α→ζα

В качестве примера рассмотрим нейтрино в по-

(

)

(29)

W(α)ζ

1 - (ss_sp)²

sin² Φ,

α →-ζα =

ле точечного диполя, которое, как хорошо известно,

задается формулой [35]

которые не зависят от углов смешивания. Величина

(ss_sp) зависит от угла ϑ между направлением рас-

R³⁰

B=B₀

(3r(m · r) - r²m).

(25)

пространения нейтрино и вектором магнитной ин-

r⁵

дукции, однако для нейтрино ультрарелятивистских

Здесь m — направление оси диполя, r — радиус-век-

энергий эта величина отлична от нуля только внут-

тор, проведенный из центра диполя, а B₀ — величи-

ри узкого диапазона углов, имеющего ширину по-

на магнитного поля на расстоянии R₀ от центра при

рядка обратного лоренц-фактора нейтрино вблизи

(m · r) = 0.

ϑ = 0 и ϑ = π (подробнее см. [24]), поэтому та-

Если скорость нейтрино направлена по радиусу,

кое приближение вполне состоятельно. Для просто-

то

ты мы положим (ss_sp) = 0. Тогда

R³⁰

(

)1/2

W(α)ζα→ζα=cos2 Φ,

(30)

=B₀

sin² ϕ + (3 cos² ϕ + 1)/|u|²

≈

|u|

r³

= sin² Φ.

(31)

W(α)ζα→-ζα

R³⁰

≈B₀

sinϕ,

(26)

r³

Вероятность сохранения спиральности (30) в случае

где ϕ — угол между осью диполя и направлени-

поля точечного диполя принимает вид

ем вылета нейтрино. Пусть нейтрино летит по на-

(

)

правлению из центра диполя и имеет определенный

πR₀

W(α)ζα →ζα=cos2

sinϕ

флейвор α и спиральность ζ_α на расстоянии R₀ от

L₀

центра. Тогда

= cos² (πr sinϕ)

(32)

∫

∞

m_kμ₀

R₀

и определяется только параметром

Φ_k =

N dr =

m_kμ₀B₀ sinϕ =

|u|

R₀

mμ₀B₀,

(33)

πR₀

L₀

2π

sinϕ,

(27)

L_k

который пропорционален как размеру источника,

где

так и величине поля на его поверхности.

2π

L_k =

(28)

Для различных значений параметра r распреде-

m_kμ₀B₀

ление потоков нейтрино в пространстве существен-

— характерная длина поворота спина. Если L_k су-

но меняется. На рис. 1-4 показана зависимость ве-

щественно превышает радиус объекта, то влияние

роятности сохранения спиральности в зависимости

магнитного поля на эволюцию нейтрино пренебре-

от угла между осью диполя и направлением выле-

жимо мало. Однако если L_k ≲ R₀, влияние магнит-

та нейтрино. С увеличением r анизотропия углового

ного поля становится существенным.

распределения левополяризованных нейтрино ста-

Поскольку мы не знаем точных значений масс

новится более ярко выраженной, причем когда вы-

нейтрино, исследовать следствия формулы (23) в

полняется условие r > 1/2, появляются выделенные

полном объеме не представляется возможным. По-

направления, при распространении вдоль которых

этому рассмотрим наиболее наглядный случай ква-

поток потенциально наблюдаемых нейтрино полно-

зивырожденного спектра масс нейтрино, когда все

стью исчезает.

600

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Асимметрия распространения левополяризованных нейтрино. . .

Рис. 1. Угловое распределение вероятности сохранения

Рис. 3. Угловое распределение вероятности сохранения

спиральности нейтрино для r ≈ 0.3

спиральности нейтрино для r ≈ 0.95

Рис. 2. Угловое распределение вероятности сохранения

Рис. 4. Угловое распределение вероятности сохранения

спиральности нейтрино для r ≈ 0.65

спиральности нейтрино для r ≈ 1.15

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

например, магнетара [36-40], могут генерироваться

В работе рассмотрена модельная задача распро-

тепловые нейтрино. Поле снаружи такого объекта

странения нейтрино в магнитном поле точечного

в первом приближении можно рассматривать как

мультиполя на примере поля дипольного типа. Вы-

поле точечного магнитного мультиполя. При этом

бор такой модели для исследования обусловлен сле-

вольфенштейновский потенциал внутри объекта по-

дующими соображениями. Внутри компактного аст-

давляет как флейворные осцилляции, так и поворот

рофизического объекта с высоким значением поля,

спина нейтрино.

601

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Действительно, плотность вещества в магнетаре

При исследовании нейтрино от магнетара с такой

чрезвычайно высока. Плотность нейтронов являет-

точки зрения начальное состояние нейтрино задает-

ся величиной порядка n(n) ∼ 10³⁴-10³⁵ см-3, а плот-

ся вблизи поверхности объекта, т. е. на сфере. По-

ность вещества в центре объекта может достигать

лученные нами результаты означают возможность

10⁴⁰ см-3. С учетом вида лагранжиана Стандарт-

анизотропии потока левых нейтрино вдали от маг-

ной модели, кажется разумным предположение, что

нетара. Если при этом ось вращения магнетара не

тепловые нейтрино в магнетаре рождаются как ле-

совпадает с магнитной осью, то возможно быстрое

вополяризованные нейтрино с электронным флейво-

периодическое изменение величины потока.

ром. Поскольку степень поляризации всех фермио-

Как уже было указано выше, значение парамет-

нов вещества внутри объекта невелика (см., напри-

ра r, определяющего степень асимметрии потока ле-

мер, [41]), то основное влияние на распространение

вых нейтрино, зависит от произведения магнитного

нейтрино будут оказывать нулевые компоненты по-

момента нейтрино, величины магнитного поля и ха-

тенциала взаимодействия через заряженные токи и

рактерного масштаба объекта. Из анализа формулы

потенциала взаимодействия через нейтральные то-

(32) следует, что направления с нулевым значени-

ки. Из общего вида уравнения для нейтрино в веще-

ем потока левых нейтрино появляются при значении

стве и электромагнитном поле [24] следует, что взаи-

r = 1/2. Если принять характерный размер магне-

модействием магнитного момента нейтрино с полем

тара R₀ ≈ 25 км и поле на расстоянии R₀ от центра

можно пренебречь, если

магнетара 10¹⁶ Гс, то этот эффект проявляется при



значении магнитного момента μ_ν ≳ 4.3 · 10-19μ_B,

√



что, вообще говоря, превышает величину магнитно-

2G_F

(e) -

n(n)

μ₀m_νB,

(34)

ⁿ

^≫

го момента, рассчитанного в рамках Стандартной

модели [4],

т. е. когда энергия взаимодействия магнитного мо-

(_m

)

мента с полем существенно меньше энергии взаи-

μ_ν ∼ 3 · 10-19

μ_B.

модействия с веществом. Для наглядности запишем

1 эВ

условие, при котором влияние магнитного поля ста-

Однако указанная нами величина магнитного мо-

новится существенным, в гауссовой системе единиц:

мента вполне удовлетворяет существующему экспе-

(

)₃ 



риментальному ограничению μ_ν < 2.7 · 10-11μ_B .

m_e

ℏ



≳

π²



(e) -

n(n)

(35)

К сожалению, даже если величины магнитного

ⁿ

,

B_c

m_ν m_ec

момента нейтрино, напряженность магнитного поля

и размер объекта достаточны для того, чтобы эф-

где B_c ≈ 4.41·10¹³ Гс — швингеровское поле. Соотно-

фект поворота спина был существенным, экспери-

шение n(e) -¹² n(n) < 0 выполняется внутри объекта,

ментальное обнаружение эффекта с помощью суще-

где концентрация электронов мала, но может нару-

ствующих в настоящее время установок представ-

шаться при переходе к внешним слоям магнетара.

ляется маловероятным вследствие малой величины

В таком случае знак величины n(e) -12 n(n) меня-

потока таких нейтрино. По этой причине интересно

ется внутри объекта и часть траектории нейтрино

рассмотреть, что будет происходить со спином ней-

может лежать в области, где влияние магнитного

трино на финальной стадии коллапса сверхновой,

поля, вообще говоря, может приводить в повороту

когда потоки нейтрино велики и могут быть зареги-

спина нейтрино. Возможность такого эффекта бы-

стрированы в земных условиях.

ла рассмотрена в работе [15]. Поскольку область, в

Очевидно, что при коллапсе сверхновой уже не

которой нарушается (34), очень узка по сравнению

будет выполняться предположение, что нейтрино

с характерной длиной поворота спина уже вслед-

будет иметь электронный флейвор и левую поляри-

ствие малых размеров самого магнетара, то с хоро-

зацию на фиксированном расстоянии от центра объ-

шей точностью можно считать, что левые электрон-

екта. Использованный нами подход позволяет нахо-

ные нейтрино сохраняют спиральность и флейвор

дить вероятности переходов и в том случае, когда

при распространении внутри объекта. Аналогично,

поляризация нейтрино в начальном и конечном со-

если в коре объекта осцилляции нейтрино и перево-

стояниях описывается разными 4-векторами поля-

рот спина возможны, влияние этих процессов также

ризации. Если начальное состояние нейтрино описы-

не будет существенным. Таким образом, можно счи-

вается 4-вектором поляризации s^μα и флейвором α,

тать, что вблизи поверхности объекта нейтрино на-

то вероятность обнаружить такое нейтрино в состоя-

ходится в состоянии с левой поляризацией и элект-

нии с поляризацией s

задается формулой

ронным флейвором.

602

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Асимметрия распространения левополяризованных нейтрино. . .

∑

(

)

Финансирование. Работа А. В. Ч. выполнена

W(α)s

|U_αk|²

cos² Φ_k

1 - (s_αs_β)

α →sβ =

при поддержке Фонда развития теоретической фи-

k=1

(

)

зики и математики «Базис» (грант № 19-2-6-100-1).

+ sin² Φ_k

1 + (s_αs_β) + 2(ss_α)(ss_β)

(

))

+ sin2Φ_k

e_μνρλu^μs^νs^ραs^λβ

(36)

ЛИТЕРАТУРА

Для того чтобы в качестве поляризации конечного

Б. М. Понтекорво, ЖЭТФ 33, 549 (1957).

состояния s^μβ рассматривать спиральное состояние

нейтрино, следует положить s^μβ = ζ_β s^μsp.

L. Wolfenstein, Phys. Rev. D 17, 2369 (1978).

Вообще говоря, начальное состояние нейтрино

С. П. Михеев, А. Ю. Смирнов, ЯФ 42, 1441 (1985).

при выходе из области, где существенно влияние ве-

K. Fujikawa and R. E. Shrock, Phys. Rev. Lett. 45,

щества, будет представлять собой уже не чистое в

963 (1980).

квантовомеханическом смысле состояние, а смешан-

ное. Тогда соответствующая вероятность переворота

R. E. Shrock, Nucl. Phys. B 206, 359 (1982).

спина задается выражением

A. E. Lobanov and A. I. Studenikin, Phys. Lett.

B 515, 94 (2001); arXiv:hep-ph/0106101.

∑

w_α

Win→sβ =

А. И. Студеникин, ЯФ 67, 1014 (2004).

α=e,μ,τ

E. Kh. Akhmedov and M. Yu. Khlopov, Phys. Lett.

∑

(

)

B 213, 64 (1988).

|U_αk|²

cos² Φ_k

1-(s_αs_β )

k=1

C. Volpe, Int. J. Mod. Phys. E 24, 1541009 (2015);

(

)

+ sin² Φ_k

1 + (s_αs_β) + 2(ss_α)(ss_β)

arXiv:1506.06222 [hep-ph].

(

))

+ sin2Φ_k

e_μνρλu^μs^νs^ραs^λβ

(37)

10.

A. Kartavtsev, G. Raffelt, and H. Vogel, Phys. Rev.

D 91, 125020 (2015); arXiv:1504.03230[hep-ph].

причем величины s^μα могут быть различны для нейт-

11.

A. Dobrynina, A. Kartavtsev, and G. Raffelt, Phys.

рино разных флейворов. Поскольку начальное со-

Rev. D 93, 125030 (2016); arXiv:1605.04512[hep-ph].

стояние является смешанным, величина |(s_αs_α)| мо-

12.

A. Vlasenko, G. M. Fuller, and V. Cirigliano, Phys.

жет отличаться от единицы, т. е. |(s_αs_α)| ≤ 1. Коэф-

Rev. D 89, 105004 (2014); arXiv:1309.2628[hep-ph].

фициенты w_α в выражении (37) имеют смысл веро-

ятностей нахождения в чистых состояниях с флей-

13.

A. I. Ternov, Phys. Rev. D 94, 093008 (2016).

вором α и поляризацией s^μα и удовлетворяют усло-

14.

А. И. Тернов, Письма в ЖЭТФ 104, 75 (2016).

вию w_e + w_μ + w_τ = 1.

15.

A. Grigoriev, E. Kupcheva, and A. Ternov, Phys.

Как показывает выражение (37), где фаза Φ_k

Lett. B 797, 134861 (2019).

определяется выражением (27), при достаточных

значениях поля анизотропия потока левых нейтри-

16.

P. Kurashvili, K. A. Kouzakov, L. Chotorlishvili, and

но также может иметь место. Указанный эффект

A. I. Studenikin, Phys. Rev. D 96, 103017 (2017);

arXiv:1711.04303[hep-ph].

не будет наблюдаться только в том случае, если в

некоторой точке, где влияние вещества перестает

17.

V. O. Egorov and I. P. Volobuev, Phys. Rev. D 100,

быть существенным, потоки нейтрино всех флейво-

033004 (2019).

ров будут полностью деполяризованы, что может

18.

M. Blasone and G. Vitiello, Ann. Phys. 244, 283

быть вызвано высокими значениями магнитной ин-

(1995).

дукции внутри коллапсирующего объекта. В этом

19.

C. Giunti, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 34, R93

случае поток левых нейтрино вдали от сверхновой

(2007).

во всех направлениях будет составлять в точности

половину исходного потока.

20.

R. Jost, Helv. Phys. Acta 39, 369 (1966).

21.

А. Е. Лобанов, ТМФ 192, 70 (2017).

Благодарности. Авторы выражают благодар-

22.

A. E. Lobanov, Ann. Phys. 403, 82 (2019); arXiv:

ность С. И. Блинникову, А. В. Борисову, И. П. Воло-

1507.01256[hep-ph].

буеву, А. Д. Долгову, В. Ч. Жуковскому, Е. М. Мур-

чиковой, В. А. Соколову и Д. Д. Соколову за пло-

23.

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова, Вестн. Моск. ун-та.

дотворные обсуждения.

Сер. 3. Физ. Астрон. 58, № 5, 22 (2017).

603

10*

А. Е. Лобанов, А. В. Чухнова

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

24. A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, Phys. Rev.

33. M. Agostini et al., Phys. Rev. D

96, 091103(R)

D 101, 013003 (2020); arXiv:1906.09351.

(2017); arXiv:1707.09355 [hep-ex].

25. A. V. Chukhnova and A. E. Lobanov, arXiv:2005.

34. A. G. Beda et al., Phys. Part. Nucl. Lett. 10, 139

04503 (2020).

(2013); arXiv:1005.2736[hep-ex].

26. M. Dvornikov and J. Maalampi, Phys. Lett. B 657.

35. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-

217 (2007).

зика. Том 2. Теория поля, Наука, Москва (1988).

27. A. Popov and A. Studenikin, Eur. Phys. J. C 79, 144

(2019); arXiv:1902.08195[hep-ph].

36. С. Б. Попов, М. Е. Прохоров, Труды ГАИШ 72,

ГАИШ МГУ (2003).

28. C. Giunti and A. Studenikin, Rev. Mod. Phys. 87,

531 (2015); arXiv:1403.6344[hep-ph].

37. А. Ю. Потехин, УФН 180, 1279 (2010).

29. S. L. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev.

D 2, 1285 (1970).

38. R. Turolla et al., Rep. Prog. Phys. 78, 116901 (2015).

30. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Физматлит,

39. V. M. Kaspi and A. M. Beloborodov, Ann. Rev.

Москва (2010).

Astron. Astrophys. 55, 261 (2017).

31. A. E. Lobanov, J. Phys. A 39, 7517 (2006); arXiv:

40. Online mcgill magnetar catalogue. www.physics.

hep-ph/0311021.

mcgill.ca/pulsar/magnetar/main.html.

32. C. Giunti and C. W. Kim, Fundamentals of Neutrino

Physics and Astrophisics, Oxford University Press

41. H. Nunokawa, V. B. Semikoz, A.Yu. Smirnov, and

(2007).

J.W. F. Valle, Nucl. Phys. B 501, 17 (1997).

604