ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 4 (10), стр. 572-586

ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНОЙ

ЖИДКОСТИ В МОНОСЛОЙНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ НА

ОСНОВЕ ДИХАЛЬКОГЕНИДОВ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ

П. Л. Пехa*, П. В. Ратниковb**, А. П. Силинa,c***

^a Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^b Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

^c Московский физико-технический институт

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 30 апреля 2021 г.,

после переработки 2 июня 2021 г.

Принята к публикации 30 июня 2021 г.

В последние несколько лет интерес к мономолекулярным слоям дихалькогенидов переходных метал-

лов (ДПМ) был обусловлен их необычными электронными и оптическими свойствами, которые очень

привлекательны для создания функциональных элементов наноэлектроники нового поколения. Недав-

но появились экспериментальные доказательства образования высокотемпературной сильносвязанной

электронно-дырочной жидкости (ЭДЖ) в монослоях ДПМ. Сильное связывание носителей тока обу-

словлено существенным уменьшением экранирования кулоновского взаимодействия в монослойных ге-

тероструктурах. В настоящей работе рассмотрен фазовый переход газ-жидкость в системе электронов и

дырок в квазидвумерных гетероструктурах на основе ДПМ и рассчитаны критические параметры такого

перехода. Описан переход диэлектрик-металл и построена фазовая диаграмма для таких гетероструктур.

DOI: 10.31857/S004445102110014X

ДПМ. Они имеют структуру сэндвича со слоем ато-

мов переходного металла M, заключенного между

1. ВВЕДЕНИЕ

слоями атомов халькогена X, и описываются хими-

Последние полтора десятка лет ознаменовались

ческой формулой MX₂. Наиболее изученными пред-

интенсивными исследованиями двумерного (2D) уг-

ставителями этого класса веществ являются соеди-

леродного материала графена в качестве основы на-

нения с атомами металла VI группы (M = Mo, W) и

ноэлектроники нового поколения [1]. Возникла об-

S, Se, Te в качестве халькогена. Объемные слоистые

ширная деятельность по изучению 2D-материалов,

ДПМ, такие как MoS₂, WS₂, MoSe₂, WSe₂, имеют

таких как монослои гексагонального нитрида бо-

непрямую энергетическую щель E_g ∼ 1 эВ [4, 5], а

ра, черного фосфора, дихалькогенидов переходных

их мономолекулярные слои становятся прямозонны-

металлов (ДПМ), а также многих других соеди-

ми полупроводниками с E_g около 2 эВ [6].

нений [2]. Перспективным направлением этой дея-

тельности стало создание и изучение вертикальных

В монослоях ДПМ можно добиться селективно-

(ван-дер-ваальсовых) гетероструктур, в которых в

го по долинам возбуждения носителей тока цир-

заданной последовательности комбинируются раз-

кулярно-поляризованной электромагнитной волной

личные 2D-материалы [3].

[7-11]. Это подтолкнуло исследователей к разработ-

Особое место в проводимых ныне исследовани-

ке приборов наноэлектроники нового типа — долин-

ях 2D-материалов заняли мономолекулярные слои

нотроники, где наряду с переносом электрического

заряда осуществлялся бы селективный перенос но-

^* E-mail: pavel.pekh@phystech.edu

^** E-mail: ratnikov@lpi.ru

сителей тока с определенным долинным индексом

^*** E-mail: a.p.silin@mail.ru

[1, 12-14].

572

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

Оптические свойства мономолекулярных слоев

нонным ветром (см., например, обзор [18] и приве-

ДПМ во многом определяются экситонами и три-

денные в нем ссылки).

онами. Энергия связи экситона E_x в ДПМ состав-

В работе [24] при комнатной температуре бы-

ляет сотни мэВ, а триона — десятки мэВ [6]. Вклю-

ла изучена ЭДЖ в ультратонких фотоячейках

чение тонких слоев ДПМ в ван-дер-ваальсовы ге-

графен-тонкая (несколько монослоев) пленка

тероструктуры позволяет наблюдать многочастич-

MoTe₂-графен. Когда мощность возбуждающего

ные эффекты в системах с большим временем жиз-

лазера достигала P

= 3 мВт, плотность e-h-пар

ни носителей тока. Благодаря этим обстоятельствам

становилась настолько большой, что среднее рассто-

структуры на основе ДПМ считаются идеальными

яние между ними a_xx = 1-3 нм было сопоставимо с

системами для исследования высокотемпературной

боровским радиусом экситонов a_x = 2.3 нм [25]. При

электронно-дырочной жидкости (ЭДЖ).

этих условиях наблюдалась аннигиляция экситонов

Обычно [15-20] энергия одной электрон-дыроч-

(переход диэлектрического экситонного газа в ме-

таллическую ЭДП). Затем при большем значении

ной (e-h) пары в ЭДЖ |E_EHL| ≳ E_x, а критичес-

кая температура фазового перехода газ-жидкость

мощности лазера P_c = 6 мВт ЭДП претерпевала

переход газ-жидкость. Формирование

2D-капли

T_c ∼ 0.1 |E_EHL|. Поэтому можно ожидать, что в мо-

ЭДЖ было доказано появлением характерной за-

нослоях ДПМ будет наблюдаться ЭДЖ даже при

комнатных температурах.

висимости фототока от мощности возбуждающего

лазера и динамикой фототока на пикосекундном

В 2019 году был опубликован ряд работ каса-

масштабе. Подобное поведение наблюдалось при

тельно ЭДЖ в монослоях ДПМ. Остановимся на

образовании капель ЭДЖ в традиционных по-

них подробнее для освещения текущей ситуации.

лупроводниках (Si, Ge, GaAs и др.) при низких

Отметим статью [21], в которой изложены ре-

температурах [16,17].

зультаты наблюдения электронно-дырочной плазмы

Теоретическая работа [26] посвящена расчету

(ЭДП) в монослое MoS₂. Хотя в этой публикации

фазовой диаграммы ЭДЖ в подвешенном монослое

не заявлялось о наблюдении ЭДЖ, были получены

MoS₂. Работа была мотивирована эксперименталь-

важные для дальнейшего исследования результаты.

ными результатами, изложенными в статье [23]. Для

В частности, было продемонстрировано, что фото-

расчета свойств ЭДЖ авторы работы [26] использо-

возбуждение монослоя MoS₂ приводит к переходу от

вали потенциал, описывающий кулоновское взаимо-

прямой к непрямой энергетической щели, что спо-

действие носителей тока в пленках конечной толщи-

собствует образованию ЭДЖ.

ны (потенциал Келдыша [27-29]), который хорошо

В работе [22] показано, что возрастание интен-

себя зарекомендовал для объяснения значительного

сивности непрерывного оптического возбуждения

отклонения энергии нескольких первых экситонных

монослоя MoS₂ в подщелевом режиме инициирует

уровней от ридберговской серии [6].

переход диэлектрического газа экситонов в метал-

Согласно оценкам [26] переход металл-диэлект-

лическую ЭДП.

рик в MoS₂ происходит в жидкой фазе при плотно-

Была исследована высокотемпературная сильно-

сти выше критической для перехода газ-жидкость.

связанная ЭДЖ с T_c ≃ 500 K в подвешенном моно-

Отметим, что ЭДП в ультратонкой пленке MoTe₂ во

слое MoS₂ [23]. Наблюдался фазовый переход пер-

многом подобна ЭДП в монослое MoS₂, поэтому ве-

вого рода газ-жидкость, характеризующийся кри-

роятнее всего в обеих системах переход металл-ди-

тической плотностью и температурой. При одина-

электрик предшествует переходу газ-жидкость.

ковом возбуждении ЭДЖ отличается от ЭДП боль-

По нашему мнению, такое качественное расхож-

шей плотностью носителей тока, а следовательно, и

дение вызвано неоправданным использованием в

большей фотолюминесценцией. В эксперименте на-

расчетах ЭДЖ [26] потенциала Келдыша, что при-

блюдалось резкое скачкообразное увеличение фото-

водит к смещению критической точки в сторону

люминесценции, когда мощность накачки возраста-

меньших плотностей и температур. При расчете эк-

ла примерно до 3 кВт/см². Была продемонстриро-

ситона и ЭДЖ главные вклады дают существенно

вана несжимаемость ЭДЖ: при дальнейшем воз-

различные диаграммы теории возмущений — соот-

растании мощности накачки площадь, занимаемая

ветственно лестничные и петлевые [30].

ЭДЖ, возрастала пропорционально числу рожден-

Влияние диэлектрического окружения, а также

ных e-h-пар, а плотность ЭДЖ сохранялась посто-

электронного легирования (когда плотности элект-

янной. В экспериментах наблюдалось возникнове-

ронов и дырок не равны) на фазовую диаграмму

ние люминесцентного кольца, обусловленного фо-

ЭДЖ (переходы газ-жидкость и металл-диэлект-

573

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

рик) исследовались в работе [31] методом спектраль-

∑

1+ς

∑

1-ς

H₌

p²a†pskapsk +

p²b†pslbpsl +

ных функций. Фазовая диаграмма ЭДЖ в легиро-

psk

psl

ванных многодолинных полупроводниках рассмат-

{

∑

ривалась ранее в работах [32-34].

V (q)

a†pska†p′s′k′^ap^′+qs^′k^′ ap-qsk⁺

В предыдущей нашей работе [30] было показа-

pp^′qss^′

kk^′

но, что в монослойных гетероструктурах на осно-

∑

ве ДПМ образование высокотемпературной силь-

+ b†pslb†p′_s′_l′bp′+qs′l′bp-qsl -

носжатой и сильносвязанной ЭДЖ обусловлено

ll^′

}

ослаблением экранирования кулоновского взаимо-

∑

- 2

a†pskb^†

b_p′+qs′_lap-qsk

(1)

действия. Кулоновское взаимодействие носителей

p^′s^′l

тока в монослойных пленках определяется полусум-

мой диэлектрических проницаемостей окружения

Здесь apsk (a†psk) и bpsl (b†psl) — фермиевские опера-

(для образца на подложке это вакуум и подложка, а

торы уничтожения (рождения) электрона и дырки с

для подвешенного образца это вакуум). В обоих слу-

квазиимпульсом p и спином s соответственно в до-

чаях эффективная диэлектрическая проницаемость

линах k и l. Число электронных долин равно ν_e, а

существенно меньше, чем у пленок ДПМ. Вслед-

число дырочных долин равно ν_h. В общем случае

ствие этого образуется ЭДЖ с аномально боль-

ν_e = ν_h.

шой энергией основного состояния |E_EHL|, состав-

ляющей доли электронвольт, и большой плотно-

Нормировочная площадь слоя положена равной

стью n_EHL. Например, для подвешенного монослоя

единице. Используется система единиц с постоян-

MoS₂ были получены экспериментальные значения

ной Планка ℏ = 1 и удвоенной приведенной массой

2m = 1 (m-1 = m-1e + m-1h). В данной работе, на-

|E_EHL| = 0.48 эВ и n_EHL = 4 · 10¹³ см-2 [23].

ряду с отношением эффективных масс электрона и

Опираясь на свои предыдущие результаты, в на-

дырки σ = m_e/m_h, мы используем параметр ς =

стоящей статье мы исследуем фазовую диаграмму

= (1 - σ)/(1 + σ).

ЭДЖ в квазидвумерных гетероструктурах на осно-

ве ДПМ.

В модельном гамильтониане (1) масса электро-

на (дырки) полагается одинаковой для всех долин

Возникновение ЭДЖ происходит путем фазово-

го перехода первого рода, когда плотность носи-

и спиновых состояний. Следует отметить, что в мо-

нослоях ДПМ существует хотя и малая, но конеч-

телей тока, свободных и/или связанных в эксито-

ны, достигает некоторого зависящего от темпера-

ная разница в массах для верхней и нижней спи-

новых веток данной долины. Например, в расчетах,

туры критического значения n_G(T) плотности на-

сыщенного пара [15]. При критической температу-

использующих теорию функционала плотности, для

ре T_c достигается критическая плотность e-h-пар

монослоя MoS₂ получены эффективные массы элек-

трона m^↑e = 0.520m₀, m^↓e = 0.449m₀ и дырки m^↑h =

n_G(T_c) = n_c.

В настоящей работе мы исследуем переход ме-

= 0.537m₀, m^↓h = 0.624m₀ (↑ для спина вверх и ↓

талл-диэлектрик (переход Мотта), который проис-

для спина вниз в точке K₊; m₀ — масса свободно-

ходит при плотности e-h-пар n_dm(T ). Этот переход

го электрона) [37]. Поскольку точность проводимых

при увеличении плотности обычно предшествует пе-

вычислений параметров ЭДЖ около 20 %, то учет

реходу газ-жидкость (n_dm(T ) < n_c) и происходит в

такого небольшого различия в массах носителей то-

ка привел бы лишь к более громоздким выражени-

газовой фазе [15, 16].

ям и едва заметному улучшению точности расчетов.

Мы проведем поиск полупроводников, в пленках

которых ЭДЖ будет характеризоваться наиболь-

При этом массы носителей тока, получаемые из экс-

периментальных данных, имеют значительную по-

шей энергией связи и, следовательно, самой высокой

критической температурой. Для этого мы рассмот-

грешность. Для монослоя MoS₂ m_e/m₀ = 0.67 ± 0.08

и m_h/m₀ = 0.6 ± 0.08 [38].

рим модельные полупроводники с различным чис-

лом электронных и дырочных долин и неравными

Отметим, что в монослоях ДПМ имеются так-

эффективными массами электронов и дырок.

же и непрямые оптические переходы с рождени-

ем электрона в долине Λ-точки (посередине отрезка

Γ-K). Эта долина находится близко по энергии к до-

2. МОДЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

лине K-точки. В частности, в WSe₂ она лежит ниже

Мы описываем модельную квазидвумерную

примерно на 80 мэВ долины K-точки [39]. Однако

неравновесную e-h-систему гамильтонианом [35, 36]

эти переходы существенно более редкие, чем пря-

574

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

мые переходы в K-точке (необходимо участие фо-

венно объяснено тем, что помимо различия в классе

нонов с большим волновым вектором около четвер-

диаграмм [30] в r₀ входят еще и разные диэлектри-

ти зоны Бриллюэна). Поэтому число электронов в

ческие проницаемости материала пленки: для экси-

долине Λ-точки значительно меньше, чем в долине

тона статическая ε₀, а для ЭДЖ высокочастотная

K-точки (вероятно, как минимум на два порядка).

ε_∞ [41]. Поскольку ДПМ являются полярными по-

Учет электронов в долине Λ-точки был бы значи-

лупроводниками, в них может быть ε₀ ≫ ε_∞. В част-

тельным превышением точности расчетов ЭДЖ, по-

ности, для MoS₂ ε₀ = 14.29 [40] и ε_∞ = 4.2 [42].

этому мы учитываем электроны только в долине

При определении системы единиц также поло-

K-точки.

жим e²

= 1. Тогда автоматически энергия свя-

В этой работе для учета взаимодействия в ЭДЖ

зи и радиус 2D-экситона равны единице: E_x

мы используем обычный кулоновский 2D-потенциал

= 2me⁴/ℏ² = 1 и a_x = ℏ²/2me² = 1. Ниже подра-

V (q) = 2πe²/|q|, а не потенциал Келдыша [26-30]

зумевается, что энергия и температура измеряются

в E_x, а плотность e-h-пар — в a-2x.

2πe

V (q) =

(2)

В двух следующих разделах мы сконцентриру-

|q|(1 + r₀|q|)

емся на расчете энергии основного состояния ЭДЖ

где r₀ = d/2δ — «длина экранирования», d — тол-

и ее термодинамике в монослое ДПМ, используя в

щина пленки, δ = ε_eff /ε, ε — диэлектрическая про-

том числе полученные ранее результаты для квази-

ницаемость материала пленки, ε_eff = (ε₁ + ε₂)/2 —

двумерных систем [43-45].

эффективная диэлектрическая проницаемость

сред, окружающих пленку (например, ε₁

= 1 —

3. ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ

диэлектрическая проницаемость вакуума, ε₂

—

диэлектрическая проницаемость подложки), e2 =

Мы рассматриваем полупроводник, у которого

= e²/ε_eff. Применительно к системам с монослоями

число электронных и дырочных долин не обязатель-

ДПМ величина r₀ является подгоночным пара-

но равно. В дальнейшем без ограничения общности

метром, который был использован для расчета

будем считать, что ν_e ≥ ν_h (т. е. назовем носители

экситонов [6].

тока с большим числом долин электронами). Им-

В предыдущей работе [30] мы рассчитали харак-

пульсы q будем измерять в единицах q_F = q^eF ≤ q^hF ,

теристики ЭДЖ с использованием обычного куло-

где q^eF и q^hF — импульсы Ферми соответственно элек-

√

новского 2D-потенциала и потенциала Келдыша в

тронов и дырок, q^e,hF =

2πn/ν_e,h. Частоту ω будем

случае одинаковых кратностей вырождения элек-

измерять в единицах q2F /2m. Мы вводим безразмер-

√

тронов и дырок. Оказалось, что при помощи одно-

ное расстояние между частицами r_s =

ν_e/πn, где

го подгоночного параметра невозможно согласовать

n — 2D-плотность носителей тока.

с экспериментальными обе рассчитываемые харак-

Здесь и далее мы полагаем, что и для электро-

теристики: энергию связи ЭДЖ и ее равновесную

нов, и для дырок имеется вырождение по спину.

плотность. Следует отметить, что длина экраниро-

В ряде случаев спин-орбитальное расщепление

вания r₀ очень мала (менее 1Å) и потенциал Келды-

валентной зоны в ДПМ весьма велико (например, в

ша фактически совпадает с обычным потенциалом.

MoS₂ оно равно 148 мэВ [26]), тогда вместо ν_h следу-

Мы уточнили свои расчеты энергии связи ЭДЖ

ет использовать ν_h/2 (мы учитываем только верхние

в подвешенном монослое MoS₂ с учетом разной

спиновые ветви валентной зоны).

кратности вырождения электронов g_e = 4 (есть две

При интенсивном фотовозбуждении пленки

долины и вырождение по спину) и дырок g_h = 2

MoTe₂ дырки стекаются в Γ-точку, поэтому ν_h = 1,

(есть две долины, но нет вырождения по спину

в то время как число электронных долин не

в каждой долине). Для r₀ ≈ 0.30Å энергия свя-

меняется и ν_e = 2 [24].

зи ЭДЖ совпадает с экспериментальной 480 мэВ

Энергия основного состояния двумерной ЭДЖ,

[23], хотя расчетная равновесная плотность ЭДЖ

приходящаяся на одну e-h-пару, равна [30, 35, 36]

2.4 · 10¹³ см-2 получается ниже эксперименталь-

ной. Дальнейший рост r₀ приводит к уменьшению

E_gs = E_kin + E_exch + E_corr.

(3)

|E_EHL| и n_EHL. При r₀

≈ 0.66Å энергия связи

Первое слагаемое — кинетическая энергия (κ

ЭДЖ сравнивается с энергией связи экситона и при

= ν_e/ν_h и κ ≥ 1)

больших r₀ ЭДЖ не образуется.

Расчет показал [40], что для экситона r0

1+κσ

= 41.47Å. Такое расхождение может быть качест-

E_kin =

r-2s.

(4)

1+σ

575

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Рис. 2. (В цвете онлайн) Численный расчет σc(κ)

Рис. 1. Диаграммы второго порядка по взаимодействию,

При выполнении неравенств

определяющие функцию I(q) при q ≫ 1: а) прямая коль-

√

цевая диаграмма; б) обменная диаграмма

1+κσ<σ

κ(1 + 2κσ),

σ²κ3/2

(9)

1+κσ>

√

σ²κ - 1

Второе слагаемое — обменная энергия

√

возможны еще две ветви затухающих колебаний:

(

E_exch = -

^√κ) r-1s.

(5)

√

3π

2(1 + κσ)

2κ³σ³q²

ω₂(q) =

Третье слагаемое — корреляционная энергия, кото-

η_e

^√1 + 2κσq-

ν_eη2er_s(1 + 2κσ)3/2

[

]

рую представим в виде интеграла по передаваемому

2(1 + κσ)

3κ⁶σ⁶

−

√

q³,

(10)

импульсу [30, 35, 36, 46, 47]

η_e

1 + 2κσ ν^eη^er^s(1 + 2κσ)³

∫∞

E_corr = I(q)dq.

(6)

2√κ

ω₃(q) =

²+

η_h

(

При q ≪ 1 мы используем приближение хаоти-

σ²κ3/2

1+κσ-

√

q³.

(11)

ческих фаз (ПХФ) [35, 36, 46, 47]. Функция I(q) при

η_h

^√κ

σ²κ - 1

q ≫ 1 определяется суммой диаграмм второго по-

Мы предполагали, что реализуется наиболее частый

рядка по взаимодействию (рис. 1). В промежуточ-

случай σ√κ > 1 (для многих ДПМ σ = 0.73-1.12 и

ной области функция I(q) аппроксимируется отрез-

при ν_e = ν_h отношение κ ≥ 2).

ком касательной [30, 35, 36].

Неравенства (9) выполняются при σ > σ_c(κ),

Для произвольных значений σ и κ разложение

функции I(q) при малых q получается весьма гро-

1.032κ3/4

σ_c(κ) ≈

(12)

моздким. Для случая равных масс электрона и дыр-

κ - 0.136

ки (σ = 1) и равного числа электронных и дырочных

В частности, σ_c(2) = 0.931. График функции σ_c(κ)

долин (κ = 1) оно приведено в нашей предыдущей

представлен на рис. 2.

работе [30].

По-видимому, наличие дополнительных ветвей

Слагаемые в I(q) при q ≪ 1 с полуцелыми степе-

(8), (10), (11), которые отсутствуют в трехмерном

нями q являются вкладом от 2D-плазмона:

случае, обеспечивает сильное связывание двумерной

ЭДЖ.

ω(q) = 21/4(ν_er_sq)1/2 +

)

Равновесная энергия ЭДЖ E_EHL является ми-

⁽ 1

q3/2.

(7)

нимумом энергии основного состояния E_gs

25/4(ν_er_s)1/2 η3e

η³



∂E_gs



Здесь η_e = m_e/m = 1 + σ и η_h = m_h/m = 1 + σ-1.

= 0, E_EHL = E_gs(n_EHL),



∂n

nEHL

Интересно отметить, что в отличие от трехмер-

ного в двумерном случае существует также ветвь

где n_EHL — равновесная плотность ЭДЖ.

затухающих возбуждений

Уравнение для n_EHL

√



(

)₂

1+κσ

2(1 +

^√κ)

∂E_corr



ω₁(q) =

q² +

q³

(8)



η_e

κσ

1+σ ν_e

3√πνenEHL +

∂n

nEHL

576

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

очень громоздко и ради краткости мы его здесь не

ры при подходе к n_c носят размытый (диффуз-

приводим. В случае равного числа электронных и

ный) характер [51]. Отметим, что в реальных гетеро-

дырочных долин для определения n_EHL и E_EHL

структурах на основе монослоев ДПМ диссоциация

можно использовать соответственно формулы (21)

экситонов происходит при заметно меньших темпе-

и (22) нашей работы [30].

ратурах из-за энтропийного фактора [52].

Наиболее перспективными для наблюдения эк-

ситонно-плазменного перехода являются полупро-

4. ТЕРМОДИНАМИКА МОНОСЛОЯ

водники, в которых из-за снятия вырождения зон

уменьшается стабильность ЭДЖ и понижается T_c

Исходя из аналогии неравновесных носителей то-

Благодаря этому в таких полупроводниках при до-

ка в полупроводниках с электронами и ионами в

статочно низких температурах можно реализовать

кристаллах, Келдыш высказал предположение [48],

близкие к n_c плотности экситонного газа. Например,

что при уменьшении температуры или увеличении

в одноосно деформированном Ge было эксперимен-

плотности газа экситонов или экситонных молекул

тально обнаружено, что переход металл-диэлектрик

(биэкситонов) будет происходить сжижение этого

происходит при r_s = 2±0.1. Это хорошо согласуется

газа в ЭДЖ — система будет претерпевать фазовый

с оценкой r_s ≈ 1.8, полученной при использовании

переход первого рода газ-жидкость. С конца 1960-х

диэлектрической экранировки экситонов [49].

годов образование ЭДЖ наблюдалось во многих по-

Трехкомпонентная система (ЭДЖ, свободные

лупроводниках (см., например, [16-20] и приведен-

экситоны и свободные носители тока) была рассмот-

ные там ссылки).

рена в работах [53, 54].

На плоскости (n, T) переходу газ-жидкость со-

ответствует колокообразная кривая с критической

Расчеты термодинамических свойств ЭДЖ в

точкой (n_c, T_c) в вершине. Эта кривая проходит че-

квазидвумерных системах были проведены ранее

рез точки n = n₀ и n = n_EHL при T = 0. Величина

в работах [43-45]. Такие материалы, как монослои

n₀ определяется равенством |E_EHL| = E_x + E_D/2,

ДПМ и графен, являются 2D-кристаллами. Термо-

где E_D — энергия диссоциации биэкситона [17]. Об-

динамика e-h-систем применима в равной степе-

ласть левее ветви n_G, выходящей из точки (n₀, 0),

ни как к квазидвумерным гетероструктурам, так

отвечает (би)экситонному диэлектрическому газу;

и 2D-кристаллам. Однако для последних возника-

правее ветви n_L, выходящей из точки (n_EHL, 0), на-

ет сомнение в их устойчивости по отношению к ко-

ходится область ЭДЖ. Под «колоколом» находится

лебаниям атомов поперек плоскости кристалла [55].

неустойчивая область, в которой происходит рассло-

Кроме того, в процессе интенсивного фотовозбужде-

ение на капли ЭДЖ с плотностью n_L и насыщенный

ния может возникать локальный перегрев образца.

пар экситонов или e-h-пар с плотностью n_G.

Это может привести к локальной деформации кри-

Фазовая диаграмма также содержит вторую ко-

сталлической решетки и к плавлению 2D-кристалла

[56-60]. Экспериментально наблюдаемая интенсив-

локообразную кривую, которая соответствует экси-

ная фотолюминесценция позволяет сделать вывод

тонно-плазменному переходу (переходу металл-ди-

электрик). Построение этой кривой при произволь-

о почти полном отсутствии дефектов в моносло-

ях ДПМ. Безызлучательная рекомбинация носите-

ных плотностях и температурах затруднительно и

мы ограничимся лишь оценками в наиболее инте-

лей тока на дефектах привела бы к гашению люми-

несценции. Мы полагаем, что температура плавле-

ресных областях. В классической области (T ≫ E_F ,

E_F — энергия Ферми e-h-пар) эта кривая определя-

ния существенно превышает критическую темпера-

туру перехода газ-жидкость T_c, а интенсивное фо-

ется реакцией образования экситона из свободных

товозбуждение 2D-кристалла может привести лишь

электрона и дырки. При повышении плотности при

к снятию долинного вырождения, которое наблюда-

заданной температуре электроны и дырки связыва-

лось, например, в ультратонкой пленке MoTe₂ [24].

ются в экситоны. В квантовой области (T ≪ E_F ) по-

вышение плотности экситонов приводит к их диссо-

В рассматриваемых нами системах e-h-пары в

циации (происходит переход Мотта). Возможность

разных спиновых и долинных состояниях обладают

перехода металл-диэлектрик в жидкой фазе обсуж-

различными временами жизни. Характерные для

далась в работах [49, 50].

них времена релаксации лежат в пределах 10 фс [61],

В области T ∼ E_x экситоны испытывают теп-

что значительно меньше времен их жизни. Поэтому

ловую диссоциацию, поэтому переход экситонов в

мы предполагаем, что термодинамическое равнове-

ЭДП существенно размывается и экситонные спект-

сие успевает установиться для всех носителей тока.

577

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Таблица 1. Критическая точка перехода газ-жид-

Результаты численного расчета отношений

кость и параметры двумерной ЭДЖ в монослоях

n_EHL/n_c и |E_EHL|/T_c для различного числа долин

ДПМ

представлены на рис. 3.

При σ = 1 область ν_e ≈ ν_h ≫ 1 (правый верх-

(ν_e, ν_h)

(1, 1)

(2, 1)

(2, 2)

(4, 1)

(4, 4)

ний угол на верхних панелях рис. 3) соответствует

близким к максимальным n_EHL/n_c и |E_EHL|/T_c.

n_c

0.035

0.054

0.089

0.075

0.242

При ν_e = 1, ν_h ≳ 5 или при ν_h = 1, ν_e ≳ 5 от-

T_c

0.136

0.164

0.196

0.198

0.294

ношение n_EHL/n_c близко к максимуму, а |E_EHL|/T

n_EHL

0.164

0.264

0.450

0.394

1.302

стремится к минимуму. Это объясняется более быст-

|E_EHL|

1.090

1.340

1.661

1.606

2.545

рым нарастанием T_c по сравнению с |E_EHL| в этих

областях.

n_EHL/n_c

4.686

4.889

5.056

5.253

5.379

При σ = 1 (здесь взято σ = 0.8, см. нижнюю

|E_EHL|/T_c

8.015

8.171

8.111

8.070

8.718

левую панель рис. 3) заметно изменяется n_EHL/n_c:

минимум перемещается в область с большими ν_e и

малыми ν_h; максимумы остаются в области боль-

Химический потенциал ансамбля e-h-пар в мо-

ших ν_h и малых ν_e; при ν_e ≈ ν_h ≫ 1 значения про-

нослое ДПМ представим в виде [44, 45]

межуточные. Интересно отметить, что подобной пе-

[(

)(

)]

2πn

2πσn

рестройки для более фундаментального отношения

μ(n, T ) = T ln e

(1+σ)νeT

-1

e(1+σ)νhT

-1

|E_EHL|/T_c не происходит — изменения возникают в

√

(

⁾√

∂

основном в области ν_e = 1, ν_h ≳ 5 (см. нижнюю

(nE_corr) .

(13)

√π

√ν_e +

√ν_h n⁺

∂n

правую панель рис. 3).

В пределе большого числа долин (νe = νh =

Правая часть (13) представляет собой химичес-

= ν → ∞) корреляционная энергия в выражении

кий потенциал невзаимодействующих частиц μ_kin

(13) является степенной функцией плотности:

(первое слагаемое) вместе с обменным μ_exch и корре-

ляционным μ_corr вкладами (соответственно второе

E_corr = -A(σ)n^γ.

(15)

и третье слагаемые). Мы пренебрегли в (13) зави-

Для 2D-систем показатель степени γ =¹/₃. Функ-

симостью μ_exch и μ_corr от температуры, поскольку

ция A(σ) была нами определена в предыдущей на-

температурные поправки к μ_exch и μ_corr взаимно со-

шей работе [30]. В частности, A(1) ≈ 4.774.

кращаются при T ≪ E_F . Это находится в согласии с

В пределе ν → ∞ можно пренебречь обменным

полученными ранее результатами для трехмерного

вкладом как в энергию, так и в химический потен-

случая [17, 62, 63].

циал. При этом пара уравнений (14) сводится [15] к

Критическая точка (n_c, T_c) перехода газ-жид-

уравнению

кость определяется двумя уравнениями:



∂μ

∂²μ

z_c = (1 - γ)×



= 0.

(14)

n=nc

∂n

∂n²

(ch z_c - ch(ςz_c)) (ezc - ch(ςz_c) - ς sh(ςz_c))

T =Tc

(16)

(1 + ς²) (ch z_c ch(ςz_c) - 1) - 2ς sh z_c sh(ςz_c)

Для проверки наших методов исследования фа-

с неизвестным z_c = πn_c/νT_c. Здесь ς = (1-σ)/(1+σ).

зовой диаграммы ЭДЖ в монослоях ДПМ мы рас-

Критические параметры ЭДЖ выражаются че-

считали характерное для перехода газ-жидкость во-

рез z_c формулами

обще (см. примечание на с. 296 книги [64]) соотно-

шение подобия T_c ≃ 0.1|E_EHL| [15], а также харак-

^[γ(1 + γ)Aν

терное для низкотемпературной ЭДЖ отношение

n_c =

критической плотности к равновесной n_c/n_EHL ≈

]1/(1-γ)

≈ 0.2 [17].

ch z_c - ch(ςz_c)

(17)

В табл. 1 приведены результаты численного ре-

e^zc - ch(ςz_c) - ς sh(ςz_c)

шения уравнений (14) для σ = 1. Отметим, что для

относительно небольшого числа долин отношение

πνγ/(1-γ)

^[γ(1 + γ)A

T_c =

|E_EHL|/T_c почти не зависит от числа долин. Макси-

z_c

мум этого отношения достигается при ν_e = ν_h = 4,

]1/(1-γ)

ch z_c - ch(ςz_c)

что возможно для сплавов Mo_xW1-xS₂ с эквива-

(18)

лентными по энергии долинами MoS₂ и WS₂.

e^zc - ch(ςz_c) - ς sh(ςz_c)

578

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Рис. 4. (В цвете онлайн) Численный расчет зависимос-

ти от σ отношений α = nEHL/nc (красная кривая) и

β = |EEHL|/Tc (синяя кривая) при ν → ∞

Рис. 5. (В цвете онлайн) Численный расчет nG(T ) и nL(T )

для νe = 2 и νh = 1 (красная кривая) и νe = νh = 2 (фио-

летовая кривая) при σ = 1. Точками указаны критические

В частном случае σ = 1 уравнение (16) значи-

точки перехода газ-жидкость. Штриховыми линиями вы-

тельно упрощается:

делены части кривых в области малых плотностей носите-

лей тока, где ПХФ становится неприменимым

z_c = (1 - γ)(ezc - 1).

(22)

{

(

)

1+ς

Для γ =¹/₃ оно имеет решение z_c = 0.7627, при этом

μ_c ≈ -T_c

z²

γ(1 - γ)

n_EHL/n_c = 4.7133 и |E_EHL|/T_c = 7.1896,

[

(

)]}

1+ς²

]1/(1-γ)

- z_c - ln (1 - ς²)z²

z²

(29)

^[γ(1 + γ)Aν

n_c =

z_ce-zc

≈ 0.077ν3/2,

(23)

2π(1 - γ)

Для получения температурной зависимости

плотности e-h-пар в газовой n_G(T ) и в жидкой

]1/(1-γ)

⁽νz_c)γ/(1-γ) ^[γ(1 + γ)A

n_L(T) фазах воспользуемся правилом Максвелла:

T_c =

e-zc

≈

2(1 - γ)

∫

≈ 0.315ν1/2,

(24)

μ(n, T ) dn = μ(T )(n_L - n_G),

(30)

}

^{1-γ

z_c

где μ(T ) = μ(n_G, T ) = μ(n_L, T ).

μ_c = -2

- ln

T_c ≈

1-γ

Набор пар точек n_G и n_L образует колоколооб-

разную кривую на плоскости (n, T ). Две типичные

≈ -8.307T_c.

(25)

кривые для монослоя ДПМ с ν_e = 2 и ν_h = 1 и ν_e =

С хорошей точностью функция z_c(σ) получается

= ν_h = 2 в случае σ = 1 представлены на рис. 5.

разложением правой части (16) в ряд по z_c вплоть

При ν ≫ 1 находим с той же точностью, что и

до членов третьего порядка:

(26), температурные зависимости плотности e-h-пар

в газовой и в жидкой фазах и химического потенци-

z_c(σ) ≈

ала вблизи критической точки T_c - T ≪ T_c:

2(1 + ς²)

[√

]

n_c - n_G(T) = n_L(T) - n_c ≈

8γ

(1 + ς²) - 1

(26)

√ (

) (

)1/2

3(1 - γ)

1+ς²

T_c - T

≈

z²

n_c

(31)

тогда

12γ

T_c

(

)]1/(1-γ)

{

}

^[γ(1 - γ²)Aν

1+ς²

[

]

1+ς²

n_c ≈

z²

(27)

μ(T ) - μ_c =

2 - ln

(1 - ς²)z2c

z²

2π

× (T_c - T ) .

(32)

γ/(1-γ)

πν

T_c ≈

При низких температурах, T ≪ T_c, плотность в

z_c

газовой фазе экспоненциально мала:

)]1/(1-γ)

^[γ(1 - γ²)A ⁽

1+ς

z²

(28)

νT

2π

n_G(T) ≈

√

e-|μ0|/2T ,

(33)

1-ς²

580

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

Таблица

2. Значения эффективного показателя

где μ₀ = μ(n_EHL, T = 0) = E_EHL. В жидкой фа-

степени и константы в корреляционной энергии

зе она отклоняется от равновесной плотности ЭДЖ

n_EHL квадратично по температуре:

(ν_e, ν_h)

(1, 1)

(2, 1)

(2, 2)

(4, 1)

(4, 4)

{

⁽1-γ)(1+γ)/(1-γ)

γ_n

0.341

0.320

0.305

0.291

0.281

n_L(T) = n_EHL

6(1-ς²)

(

)

γ_T

0.300

0.296

0.285

0.299

0.280

1+ς²

× (1 + γ)2/(1-γ) z2γ/(1-γ)c

z²

A_n

2.976

3.006

3.021

3.121

3.313

6(1 - γ)

)₂}

⁽T

A_T

2.763

2.910

2.974

3.143

3.314

(34)

T_c

Поправка к химическому потенциалу также квадра-

При ν_e = ν_h = 4 число долин достаточно велико и

тична по температуре:

γ_n ≈ γ_T ≈ 0.28 и вопрос о выборе критерия несуще-

{

ствен. При этом эффективный показатель степени

(1+γ)/(1-γ)

π²γ

⁽1-γ⁾

ближе к слоистому γ =¹/₄, чем к¹/₃, что указывает

μ(T ) = μ₀

6(1 - ς²)

на аналогию между многодолинными и многослой-

(

)

ными системами.

1+ς²

× (1 + γ)2/(1-γ) z2γ/(1-γ)c

z²

В случае малого числа (одной или двух элек-

6(1 - γ)

тронных (дырочных) долин) следует определиться

)₂}

⁽T

с выбором критерия. Численные расчеты фазовых

(35)

T_c

диаграмм для систем с ν_e = 2, ν_h = 1 и ν_e = ν_h = 2

с использованием выражения (15) продемонстриро-

Формулы (16)-(22) и (26)-(35) нами были выпи-

вали лучшее согласие с рассчитанными ранее кри-

саны для произвольного γ с той целью, что эти фор-

выми (см. рис. 5) для эффективного показателя сте-

мулы нам понадобятся при рассмотрении трехмер-

пени γ_T . Таким образом, по нашему мнению, второй

ных слоистых систем, когда γ =¹/₄. Соответствую-

критерий является более точным.

щие формулы приведены в работе [15].

Полученные результаты для эффективного по-

Монослой ДПМ, вообще говоря, представляет со-

казателя степени γ могут быть использованы при

бой «трехслойную» систему, в которой между дву-

расчете обменно-корреляционного вклада в методе

мя слоями атомов халькогена вставлен слой атомов

функционала плотности [65-68].

переходного металла. Поэтому может оказаться, что

релевантное значение показателя степени в корреля-

ционной энергии будет промежуточным между¹/₄

5. ПЕРЕХОД МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК В

и¹/₃.

МОНОСЛОЕ

В случае конечного числа долин можно подо-

брать эффективный показатель степени γ в выра-

Во Введении мы указали на качественное рас-

жении для корреляционной энергии (15), чтобы про-

хождение между теоретической работой [26] и экспе-

стые приближенные расчеты согласовались с точ-

риментом [24]. В эксперименте при увеличении воз-

ными. Для этого можно предложить два критерия:

буждения переход металл-диэлектрик предшество-

1) по совпадению n_EHL/n_c с полученным из уравне-

вал переходу газ-жидкость, т.е. переход металл-

ния (20); 2) по совпадению |E_EHL|/T_c с полученным

диэлектрик происходил в газовой фазе, а теоретиче-

из уравнения (21).

ские расчеты предсказывали, что этот переход про-

Опираясь на данные табл. 1, для случая σ = 1

исходит в жидкой фазе. Мы отметили, что указан-

мы провели расчеты эффективных значений γ по

ное расхождение возникло из-за неоправданного ис-

обоим критериям: γ_n по первому критерию, γ_T по

пользования потенциала Келдыша при вычислении

энергии основного состояния ЭДЖ.

второму (см. табл. 2).

Случай конечных ν может сильно отличаться от

В качестве критерия возникновения перехода ме-

предельного случая ν → ∞. В однодолинном полу-

талл-диэлектрик в работе [26] было взято равенство

проводнике, когда формула (15) для корреляцион-

|δE_g| = E_x, где δE_g — перенормировка запрещенной

ной энергии вряд ли работает, γ_n >¹/₃. Совпадение

зоны, E_g = Eg0) + δE_g (Eg0) — затравочная величи-

γ_n и γ_T улучшается при увеличении числа долин.

на запрещенной зоны), δE_g = μ_exch + μ_corr. Качест-

581

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

венно это соответствует «наползанию» дна зоны

использованного в работах [44, 69] тем, что в выра-

проводимости при увеличении плотности e-h-пар на

жении для Π₀(q) учтено наличие нескольких долин

уровень экситона, если его положение считать неиз-

(ν_e электронных и ν_h дырочных).

менным. По нашему мнению такой критерий некор-

Функция f(q) — поправка Хаббарда к ПХФ, учи-

ректен, потому что не учитывает экранировку ку-

тывающая вклад обменных диаграмм при больших

лоновского взаимодействия при большой плотнос-

передаваемых импульсах [44,69,70]. В случае равно-

ти e-h-пар. Мы «подходим» к переходу металл-ди-

го числа долин ν_e = ν_h = ν ≥ 1

электрик со стороны низких плотностей. Перенор-

мировкой запрещенной зоны в этой области плот-

f (q) = 1 -

(40)

4ν q + q_F

ностей можно пренебречь ввиду того, что в диэлек-

трической (экситонной) фазе плотность свободных

Здесь учтено, что число обменных диаграмм рас-

e-h-пар мала.

тет линейно по ν, в то время как число кольцевых

Мы используем в качестве критерия перехода ме-

диаграмм растет квадратично по ν. Поэтому отно-

талл-диэлектрик обращение в нуль энергии основ-

сительный вклад первых уменьшается как 1/ν.

ного состояния (энергии связи) экситона

В случае ν_e = ν_h импульсы Ферми электронов и

дырок разные и удобно взять их среднее геометри-

√

E_exc(n_dm) = 0.

(36)

ческое q_F = q^eF q^hF , тогда

Здесь n_dm — плотность этого перехода.

Для нахождения зависимости E_exc(n) мы реша-

f (q) = 1 -

(41)

2(ν_e + ν_h) q + q_F

ем уравнение Шредингера вариационным методом

в импульсном представлении

Пробная волновая функция выбирается в виде

∫

фурье-образа экспоненциально убывающей волно-

p²

d²q

ψ(p) -

V (q)ψ(q - p) = E_excψ(p)

(37)

вой функции двумерного экситона (a — вариацион-

(2π)²

ный параметр):

(m — приведенная масса электрона и дырки).

√

8πa²

Экранированный кулоновский потенциал при

ψ(p) =

(42)

(a² + p²)3/2

большой плотности e-h-пар [44,45,69]

Сначала мы проверили правильность вариацион-

V₀(q)

V (q) =

(38)

ных расчетов на случае нулевой плотности носите-

1 + f(q)V₀(q)Π₀(q)

лей тока (n = 0). В табл. 3 собраны расчетные и

где исходное неэкранированное кулоновское взаимо-

экспериментальные данные по энергии связи экси-

действие V₀(q) берется в виде потенциала Келдыша

тонов для восьми гетероструктур.

(2), Π₀(q) — статический двумерный поляризацион-

Для расчетов энергии связи экситона в моно-

ный оператор электронов и дырок:

слое MoS₂ на подложке SiO₂ (MoS₂/SiO₂) эффек-

тивные массы электрона и дырки были взяты из

Π₀(q) = ν_eΠe0(q) + ν_hΠh0(q),

(39)

эксперимента [38]. Значение длины экранирования

r₀ бралось из теоретической работы [40]. Получен-

ный нами результат сравнивался с эксперименталь-

Πe,h0(q) =me,h

ной энергией связи экситонов [71]. Близкое значение

⎧

⎫

(

)₂

энергии связи (340 мэВ) было получено путем вари-

⎨

⎬

(

)

2q^e,hF

ационного решения уравнения Шредингера в коор-

^√1 -

θ q - 2q^e,h

^×⎪⎩1-

⎭

динатном пространстве [72].

Для монослоев ДПМ, инкапсулированных тон-

кими слоями гексагонального нитрида бора (hBN),

Здесь θ(x) — функция Хевисайда,

экспериментальные данные были взяты из рабо-

{

0, x < 0,

ты [73].

θ(x) =

Для WS₂ и WSe₂ на подложке SiO₂ (WS₂/SiO₂

1, x > 0.

и WSe₂/SiO₂) расчетные параметры были взяты из

Поляризационный оператор берется в статиче-

работ [40,74]. Экспериментальные энергии связи эк-

ском пределе, поскольку нас интересует обращение

ситонов в WS₂/SiO₂ и WSe₂/SiO₂ были получены

в нуль энергии связи экситона. Π₀(q) отличается от

соответственно в работах [71] и [75].

582

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

Таблица 3. Параметры монослоев ДПМ, рассчитанные (|Eexc(0)|) и экспериментальные (Eb) энергии связи экси-

тонов; m0 — масса свободного электрона

Гетероструктура

m, m₀

r₀,Å

ε_eff

|E_exc(0)|, мэВ

E_b, мэВ

Ссылки

MoS₂/SiO₂

0.320±0.04

16.926

2.45

336

310±40

[38, 40, 71]

hBN/MoS₂/hBN

0.275±0.015

7.640

4.45

215

221±3

[73]

hBN/MoSe₂/hBN

0.350±0.015

8.864

4.4

226

231±3

[73]

hBN/MoTe₂/hBN

0.360±0.04

14.546

4.4

173

177±3

[73]

WS₂/SiO₂

0.220

15.464

2.45

310

360±60

[40, 71, 74]

hBN/WS₂/hBN

0.175±0.007

7.816

4.35

175

180±3

[73]

WSe₂/SiO₂

0.230

18.414

2.45

283

370

[40, 74, 75]

hBN/WSe₂/hBN

0.200±0.01

4.5

158

167±3

[73]

погрешность, обусловленную неточностью в измере-

нии эффективных масс носителей тока. В силу той

же причины неточности в E_x также вносят дополни-

тельную погрешность в обезразмеренную величину

E_exc(0). Экспериментальные точки для всех гетеро-

структур (кроме WSe₂/SiO₂) с учетом погрешностей

совпадают с расчетной кривой. Для гетерострук-

туры WSe₂/SiO₂ авторы работы [75], по-видимому,

рассчитали энергию связи экситонов E_b для подве-

шенного образца в вакууме, что дало завышенное

значение E_b.

Мы приходим к выводу, что описанный выше ме-

тод вариационного решения уравнения Шредингера

Рис. 6. (В цвете онлайн) Численный расчет зависимости

применим к нахождению энергии связи экситонов

энергии связи экситона при нулевой плотности носителей

при нулевой плотности e-h-пар.

тока |Eexc(0)| от длины экранирования r0. Выделены точ-

Нами были исследованы зависимости плотности

ки, соответствующие нескольким системам, которые бы-

перехода металл-диэлектрик n_dm при нулевой тем-

ли изучены в эксперименте. На вставке показана зависи-

мость вариационного параметра a0, отвечающего макси-

пературе от длины экранирования r₀ для различных

муму энергии связи, от r0

чисел электронных и дырочных долин и отношения

масс носителей тока (σ = 0.8 ÷ 1.1). Результирую-

щие кривые n_dm(r₀) для различных ν_e,h и σ оказа-

Для гетероструктур MoS₂/SiO₂ и WS₂/SiO₂ рас-

считанные нами энергии связи попадают в интер-

лись очень близкими. Мы сравнили результаты на-

вал погрешностей экспериментальных величин. Для

ших расчетов для ν_e = ν_h = 2 с опубликованными в

других гетероструктур также получилось хорошее

работе [69] для ν_e = ν_h = 1 (см. рис. 7). В интересу-

соответствие расчетных значений с эксперименталь-

ющей нас области 1 ≲ r₀ ≲ 10 значения n_dm также

ными за исключением WSe₂/SiO₂, для которой не

весьма близки к расчетной кривой. Это позволяет

был приведен интервал погрешностей [75]. Как сле-

сделать вывод о слабой зависимости n_dm от ν_e, ν_h

дует из табл. 3, в целом достигнуто хорошее согласие

и σ.

наших расчетов с экспериментом.

Для вычисления зависимости энергии связи эк-

Мы также рассчитали зависимость энергии свя-

ситона от плотности e-h-пар при T = 0 нам пона-

зи |E_exc(0)| от r₀ (см. рис. 6). Следует отметить,

добится поляризационный оператор при конечной

что интервалы погрешностей для обезразмеренных

температуре. После суммирования по дискретным

экспериментальных значений энергии связи появи-

мацубаровским частотам и аналитического продол-

лись также по оси абсцисс, так как единица изме-

жения на вещественные частоты находим его веще-

рения a_x, на которую мы обезразмеривали r₀, имеет

ственную часть на нулевой частоте в виде

583

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Рис. 7. (В цвете онлайн) Численный расчет зависимости

плотности перехода металл-диэлектрик n_dm от r0 для сис-

темы с двумя электронными и двумя дырочными доли-

нами и равными массами электронов и дырок. Точками

Рис.

8. (В цвете онлайн) Температурные зависи-

нанесены значения n_dm из работы [69] для системы с од-

мости плотности перехода металл-диэлектрик n_dm(T )

ной электронной и одной дырочной долиной и равными

для гетероструктур MoS2/SiO2 (зеленая кривая) и

массами электронов и дырок

hBN/MoS2/hBN (синяя кривая) и кривая перехода

газ-жидкость (красная кривая). Бирюзовой точкой ука-

зана критическая точка. Желтыми точками указаны точ-

Π₀(q, T) = ν_eΠe0(q, T) + ν_hΠh0(q, T),

(43)

ки пересечения кривых n_dm(T) с кривой перехода газ-

жидкость

∫

d²k n^αF (k) - n^αF (k + q)

Πα0(q, T) = 2--

(44)

(2π)²

εαk+q - ε^α

Отметим, что величины n_c и n_dm для гетеро-

структуры hBN/MoS₂/hBN очень близки (отличие

где

≲ 10 %), и мы не можем строго утверждать, что пе-

n^αF (p) = 1/[exp((εαp - μ^αkin)/T) + 1]

реход происходит в жидкой фазе. Уточнение расче-

— фермиевская функция распределения α-го сорта

тов n_dm с использованием диэлектрической экрани-

ровки [50] заслуживает отдельного рассмотрения.

частиц (α = e, h) с химическим потенциалом μ^αkin

(рассчитанного для газа невзаимодействующих час-

тиц),

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1±ζ

εαp = p²/η_α =

p²

В данной работе мы рассчитали фазовую диа-

грамму ЭДЖ в монослойных гетероструктурах на

— закон дисперсии частиц α-го сорта (плюс для

основе ДПМ для произвольного отношения масс

электронов, минус для дырок). Черта у интеграла

электрона и дырки и числа долин.

означает, что он взят в смысле главного значения.

Мы продемонстрировали, что в многодолинном

Используя значения m, r₀ и ε_eff , приведенные в

случае главный вклад в образование ЭДЖ дает кор-

табл. 3, мы рассчитали температурные зависимос-

реляционная энергия. Расчет показал, что энергия

ти плотности перехода металл-диэлектрик n_dm(T)

связи и равновесная плотность ЭДЖ тем больше,

для гетероструктур MoS₂/SiO₂ и hBN/MoS₂/hBN и

чем больше число долин в ДПМ. Отметим, что при

сопоставили их с кривой перехода газ-жидкость на

равном суммарном числе долин максимальные зна-

рис. 8. Точки пересечения кривых на фазовой диа-

чения достигаются при одинаковом числе электрон-

грамме (n, T ): для первой гетероструктуры n_dm =

ных и дырочных долин.

= 0.029 (2.8·10¹² см-2) при T_dm = 0.164 (638 К) и для

Мы показали, что соотношение между критиче-

второй n_dm = 0.060 (4.6 · 10¹² см-2) при T_dm = 0.165

ской температурой перехода газ-жидкость и энер-

(412 К). Критическая точка перехода газ-жидкость

гией связи ЭДЖ T_c ≃ 0.1 |E_EHL| выполняется с хо-

n_c = 0.055 (5.5 · 10¹² см-2 и 4.2 · 10¹² см-2 соответ-

рошей точностью для различных гетероструктур.

ственно для первой и второй гетероструктур) и T_c =

Разработанный нами метод позволил определить

= 0.165 (644 К и 412 К соответственно для первой

степенной закон зависимости корреляционной энер-

и второй гетероструктур) находится между ними.

гии от плотности E_corr = -An^γ и оценить показа-

Следовательно, в MoS₂/SiO₂ переход происходит в

тель степени γ. Расчеты показали, что он ограничен

газовой фазе, а в hBN/MoS₂/hBN — в жидкой фазе.

значениями для трехмерного (слоистого или много-

584

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Фазовая диаграмма электронно-дырочной жидкости.. .

долинного) и двумерного случаев,¹/₄ < γ <¹/₃. Ис-

Л. Н. Булаевский, УФН 116, 449 (1975).

ключением являются однодолинные ДПМ, для ко-

Л. Н. Булаевский, УФН 120, 259 (1976).

торых степенной закон для корреляционной энергии

неприменим ввиду отсутствия малого параметра.

М. В. Дурнев, М. М. Глазов, УФН 188, 913 (2018).

Мы исследовали зависимость энергии связи эк-

H. Zeng, J. Dai, W. Yao et al., Nature Nanotechnol.

ситона в монослойных гетероструктурах на основе

7, 490 (2012).

ДПМ от их параметров и обнаружили хорошее со-

гласие расчетных значений с экспериментальными.

K. F. Mak, K. He, J. Shan, and T. F. Heinz, Nature

Мы изучили переход металл-диэлектрик. В ка-

Nanotechnol. 7, 494 (2012).

честве критерия такого перехода мы использовали

D. Xiao, G.-B. Liu, W. Feng et al., Phys. Rev. Lett.

обращение в нуль при повышении плотности носи-

108, 196802 (2012).

телей тока энергии связи экситона. Соответствую-

щая плотность n_dm слабо зависит от числа долин и

10.

T. Cao, G. Wang, W. Han et al., Nature Commun.

отношения масс электрона и дырки.

3, 887 (2012).

Обычно переход металл-диэлектрик происходит

11.

A. M. Jones, H. Yu, N. J. Ghimire et al., Nature

в газовой фазе. Мы показали, что диэлектрическое

Nanotechnol. 8, 634 (2013).

окружение монослоя ДПМ может определять, в ка-

12.

Q. H. Wang, K. Kalantar-Zadeh, A. Kis et al., Nature

кой фазе (газовой или жидкой) происходит переход

Nanotechnol. 7, 699 (2012).

из диэлектрической в металлическую фазу. Приме-

ром такого поведения являются гетероструктуры на

13.

K. F. Mak, K. L. McGill, J. Park, and P. L. McEuen,

основе монослоя MoS₂. Если монослой находится

Science 344, 1489 (2014).

на подложке SiO₂, то переход металл-диэлектрик

14.

K. F. Mak and J. Shan, Nature Photon. 10, 216

происходит в газовой фазе, а если монослой инкап-

(2016).

сулирован hBN, то переход, по-видимому, происхо-

дит в жидкой фазе. Следует отметить, что в ин-

15.

Е. А. Андрюшин, Л. В. Келдыш, А. П. Силин,

капсулированном монослое точка перехода металл-

ЖЭТФ 73, 1163 (1977).

диэлектрик очень близка к критической точке пе-

16.

Т. Райс, Дж. Хенсел, Т. Филлипс, Г. Томас,

рехода газ-жидкость и полученные результаты не

Электронно-дырочная жидкость в полупроводни-

очень надежны и требуют уточнения.

ках, Мир, Москва (1980).

По нашему мнению, наиболее интересными для

исследования ЭДЖ и перехода металл-диэлектрик

17.

Электронно-дырочные капли в полупроводниках,

являются гетероструктуры, основанные на моно-

под ред. К. Д. Джеффрис, Л. В. Келдыш, Наука,

Москва (1988).

слое MoS₂, свободно подвешенном или находящемся

на подложке SiO₂, как обладающая максимальными

18.

С. Г. Тиходеев, УФН 145, 3 (1985).

|E_EHL| и n_EHL.

19.

Н. Н. Сибельдин, ЖЭТФ 149, 678 (2016).

Интересно исследовать, как внешнее диэлект-

рическое окружение и электронное допирование

20.

Н. Н. Сибельдин, УФН 187, 1236 (2017).

влияет на переход металл-диэлектрик, и выяснить,

21.

A. W. Bataller, R. Younts, A. Rustagi et al., Nano

в какой фазе (газовой или жидкой) он происходит.

Lett. 19, 1104 (2019).

Финансирование. П. В. Ратников благодарит

22.

R. Younts, A. Bataller, H. Ardekani et al., Phys. Stat.

за поддержку Фонд развития теоретической физи-

Sol. B 256, 1900223 (2019).

ки и математики «БАЗИС» (грант № 20-1-3-68-1).

23.

Y. Yu, A. W. Bataller, R. Younts et al., ACS Nano

13, 10351 (2019).

ЛИТЕРАТУРА

24.

T. B. Arp, D. Pleskot, V. Aji, and N. M. Gabor,

1. П. В. Ратников, А. П. Силин, УФН 188, 1249

Nature Photon. 13, 245 (2019).

(2018).

2. P. Miró, M. Audiffred, and T. Heine, Chem. Soc. Rev.

25.

Y. Sun, J. Zhang, Z. Ma et al., Appl. Phys. Lett. 110,

43, 6537 (2014).

102102 (2017).

3. A. K. Geim and I. V. Grigorieva, Nature 499, 419

26.

A. Rustagi and A. F. Kemper, Nano Lett. 18, 455

(2013).

(2018).

585

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

27.

Н. С. Рытова, Вестн. Моск. ун-та, сер. 3, Физ. Аст-

50.

А. Н. Лобаев, А. П. Силин, ФТТ 26, 2910 (1984).

рон. №3, 30 (1967).

51.

И. В. Кукушкин, В. Д. Кулаковский, Т. Г. Тратас,

28.

А. В. Чаплик, М. В. Энтин, ЖЭТФ 61, 2496

В. Б. Тимофеев, ЖЭТФ 84, 1145 (1983).

(1971).

52.

J. Zipfel, M. Kulig, R. Perea-Causin et al., Phys. Rev.

B 101, 115430 (2020).

29.

Л. В. Келдыш, Письма в ЖЭТФ 29, 716 (1979).

53.

Л. В. Келдыш, А. А. Маненков, В. А. Миляев,

30.

П. Л. Пех, П. В. Ратников, А. П. Силин, Письма в

Г. Н. Михайлова, ЖЭТФ 66, 2178 (1974).

ЖЭТФ 111, 80 (2020).

54.

В. Д. Санина, Труды ФИАН 161, 3 (1985).

31.

A. Steinhoff, M. Florian, M. Rösner et al., Nature

Comm. 8, 1166 (2017).

55.

Ю. Е. Лозовик, С. П. Меркулова, А. А. Соколик,

УФН 178, 757 (2008).

32.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 32, 3010

(1990).

56.

В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970).

57.

В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971).

33.

E. A. Andryushin and A. P. Silin, J. Moscow Phys.

Soc. 1, 57 (1991).

58.

J. M. Kostelitz and D. J. Thouless, J. Phys. C 11,

1181 (1973).

34.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 32, 3579

(1990).

59.

D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev. Lett. 41,

121 (1978).

35.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 18, 2130

(1976).

60.

D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev. B 19,

2457 (1979).

36.

E. A. Andryushin and A. P. Silin, Solid State Comm.

61.

M. Danovich, I. L. Aleiner, N. D. Drummond, and

20, 453 (1976).

V. I. Fal’ko, IEEE Journal of Selected Topics in

37.

N. Zibouche, A. Kuc, J. Musfeldt, and T. Heine, Ann.

Quantum Electronics 23, 168 (2017).

Phys. 526, 395 (2014).

62.

G. A. Thomas, T. M. Rice, and J. C. Hensel, Phys.

38.

T. Eknapakul, P. D. C. King, M. Asakawa et al., Nano

Rev. Lett. 33, 219 (1974).

Lett. 14, 1312 (2014).

63.

T. M. Rice, Nuovo Cimento 23B, 226 (1974).

39.

C. Zhang, Y. Chen, A. Johnson et al., Nano Lett. 15,

64.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

6494 (2015).

физика, ч. 1, Наука, Москва (1995).

40.

T. C. Berkelbach, M. S. Hybertsen, and D. R. Reich-

65.

E. S. Kryachko and E. V. Ludeña, Phys. Rep. 544,

man, Phys. Rev. 88, 045318 (2013).

123 (2014).

41.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 21, 839 (1979).

66.

R. O. Jones, Rev. Mod. Phys. 87, 897 (2015).

42.

X. Yan, L. Zhu, Y. Zhou et al., Appl. Opt. 54, 6732

67.

J.-L. Bretonnet, AIMS Mater. Sci. 4, 1372 (2017).

(2015).

68.

Density Functional Theory, ed. by D. Glossman-Mit-

nik, IntechOpen, Zagreb (2019).

43.

А. В. Ключник, Ю. Е. Лозовик, ФТТ 20, 625

(1978).

69.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, В. А. Санина, ФТТ

23, 1200 (1981).

44.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 21, 219 (1979).

70.

J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 243, 336 (1957).

45.

А. П. Силин, Труды ФИАН 188, 11 (1988).

71.

A. F. Rigosi, H. M. Hill, K. T. Rim et al., Phys. Rev.

94, 075440 (2016).

46.

M. Combescot and P. Nozières, J. Phys. C 5, 2369

(1972).

72.

P. V. Ratnikov, Phys. Rev. B 102, 085303 (2020).

47.

Е. А. Андрюшин, А. П. Силин, ФТТ 19, 1405

73.

M. Goryca, J. Li, A. V. Stier et al., Nature Comm.

(1977).

10, 4172 (2019).

74.

F. A. Rasmussen and K. S. Thygesen, J. Phys. Chem.

48.

L. V. Keldysh, Proc. 9th Int. Conf. Phys. Semicond.

C 119, 13169 (2015).

Nauka L. (1968), p. 1307.

75.

K. He, N. Kumar, L. Zhao et al., Phys. Rev. Lett.

49.

В. Е. Бисти, А. П. Силин, ФТТ 20, 1850 (1978).

113, 026803 (2014).

586