ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 4 (10), стр. 553-564

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПРОТЕКАНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕГО³He

ЧЕРЕЗ НЕМАТИЧЕСКИЙ АЭРОГЕЛЬ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Е. В. Суровцев^*

Институт физических проблем им. П. Л. Капицы Российской академии наук

119334, Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 июня 2021 г.,

после переработки 26 июня 2021 г.

Принята к публикации 29 июня 2021 г.

Рассматривается потенциальное протекание сверхтекучего³He через нематический аэрогель сфериче-

ской формы. Особенностью рассматриваемой системы является то, что сверхтекучие фазы внутри и

снаружи аэрогеля могут быть разными. В частности, в работе рассмотрены случаи, когда внутри аэро-

геля реализуется полярная фаза сверхтекучего³He, а снаружи аэрогеля существуют либо B-фаза, либо

А-фаза сверхтекучего³He. При условии, что параметр порядка системы является непрерывной функцией

пространственной координаты без особых точек и линий на поверхности аэрогеля, а также при условии

отсутствия джозефсоновских токов через поверхность аэрогеля получены граничные условия на фазу па-

раметра порядка на поверхности аэрогеля, необходимые для гидродинамического описания течения. При

помощи полученных граничных условий найден тензор присоединенной массы потенциального движе-

ния жидкости для рассматриваемых случаев. Проведено сравнение с имеющимися экспериментальными

данными.

DOI: 10.31857/S0044451021100126

недавних экспериментах с колеблющейся в³He про-

волочкой, к которой был прикреплен нематический

аэрогель [3]. При рассматриваемом фазовом перехо-

1. ВВЕДЕНИЕ

де наблюдалось возникновение дополнительной мо-

ды колебаний системы, а также изменение темпера-

Использование различных типов аэрогелей в экс-

турной зависимости основной моды (механической)

периментах со сверхтекучим³He позволило наблю-

в области существования полярной фазы. Дополни-

дать сверхтекучие состояния, невозможные в чи-

тельная мода колебаний связана, по всей видимости,

стом³He. В последние годы наибольший интерес

со совместным колебанием нитей аэрогеля и нор-

представляет изучение свойств сверхтекучего³He

мальной компоненты сверхтекучего³He относитель-

в так называемом нематическом аэрогеле, который

но сверхтекучей части жидкости. Данные колебания

представляет собой набор сонаправленных нитей

аналогичны второму звуку в сверхтекучей системе с

диаметром порядка 5-10 нм со средним расстоянием

той лишь разницей, что в данном случае возвращаю-

между нитями порядка 100 нм. Ввиду высокой пори-

щая сила в основном связана с упругостью аэрогеля,

стости рассматриваемых структур сверхтекучесть

а не с градиентом температуры. Из эксперименталь-

³He, заполняющего аэрогель, сохраняется. Однако

ных данных по температурной зависимости частот

из-за анизотропии рассеяния квазичастиц на при-

двух колебательных мод следует их сильная связь

месных нитях, изменяется симметрия сверхтекуче-

в области температур вблизи перехода в полярную

го состояния. В частности, при использовании нафе-

фазу. Однако в дальнейшем мы не будем рассматри-

на, особого типа нематического аэрогеля с высокой

вать взаимодействие двух мод колебаний, а сконцен-

степенью анизотропии, в экспериментах по ядерно-

трируемся лишь на изучении влияния потенциаль-

му магнитному резонансу удалось наблюдать пере-

ного течения сверхтекучей жидкости вокруг аэроге-

ход в полярную фазу сверхтекучего³He [1,2]. Пере-

ля на частоту механических колебаний системы.

ход в полярную фазу удалось также обнаружить в

В простейшей модели одномерного незатухаю-

^* E-mail: e.v.surovtsev@gmail.com

щего осциллятора с заданной жесткостью квадрат

553

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

частоты колебаний обратно пропорционален полной

массе системы: ω²⁰ ∼ 1/M₀. В нашем случае пол-

ная масса складывается из массы проволочки, мас-

сы аэрогеля и массы жидкости, которая движется

вместе с аэрогелем и проволочкой. Массу жидкости,

которая увлекается при колебаниях, можно услов-

но разделить на две части: первая часть связана с

потенциальным (безвихревым) потоком сверхтеку-

чей и нормальной компоненты жидкости, а вторая

возникает из-за вязкости нормальной компоненты

жидкости [4]. Первый вклад в массу движущейся

Рис. 1. Геометрия задачи: нематический аэрогель сфери-

жидкости можно оценить как ρa³, где ρ — плот-

ческой формы с внутренней осью анизотропии, направ-

ность жидкости, a — характерный размер аэроге-

ленной вдоль вектора m, движется со скоростью u(t) в

ля, а второй вклад оценивается соответственно как

сверхтекучем³He. Форма параметра порядка внутри и сна-

∼ ρ_nδS, где ρ_n — характерное значение плотнос-

ружи аэрогеля различается. Изменение формы параметра

ти нормальной компоненты³He, S — площадь по-

порядка происходит на длине когерентности сверхтекучего

√

верхности аэрогеля, δ ∼

η/(ωρ_n) — зависящая от

³He — ξ(τ) вблизи поверхности аэрогеля. При потенциаль-

ном течении сверхтекучий ток внутри и снаружи аэрогеля

частоты колебаний вязкая глубина проникновения,

η — вязкость³He, ω — частота колебаний. Далее

определяется функцией ϕs(r). Для решения задачи необ-

ходимо установить граничное условие на функцию ϕs(r) на

мы будем предполагать, что колебания происходят

поверхности аэрогеля. δ(ω) — глубина вязкого проникно-

с достаточно большой частотой, чтобы можно бы-

вения, которая определяет область, где происходит вязкое

ло считать характерные размеры аэрогеля, a, много

течение нормальной компоненты жидкости. Предполага-

большими вязкой глубины проникновения δ(ω), т. е.

ются следующие соотношения между параметрами зада-

δ ≪ a. Данное условие позволяет пренебречь вкла-

чи: ξ(τ ) ≪ δ(ω) ≪ a

дом в массу движущейся жидкости, связанным с ее

вязкостью. Поэтому именно вклад от потенциаль-

ного движения мы в дальнейшем будем называть

ется, что на границе аэрогеля существует система

присоединенной массой, и он вычисляется в рамках

вихрей, обеспечивающая сброс фазы на границе.

данной работы.

В настоящей работе рассмотрена простая модель

Задача о вычислении присоединенной массы,

протекания сверхтекучего³He через нематический

возникающей при движении образцов аэрогеля в

аэрогель, основанная на предположении, что пара-

сверхтекучей жидкости, была впервые рассмотрена

метр порядка системы является непрерывной функ-

в работах [5, 6]. В статье Габая и др. [5] решалась

цией пространственной координаты (рис. 1). В отли-

задача для скалярного параметра порядка (сверх-

чие от подхода Габаи и др. [5] сверхтекучие состоя-

текучий⁴He). Авторы заметили, что при условии

ния снаружи и внутри аэрогеля могут быть разны-

непрерывности фазы параметра порядка на грани-

ми, поэтому определение функции фазы парамет-

це аэрогеля задача о протекании сверхтекучей жид-

ра порядка требует уточнения. Снаружи аэрогеля в

кости решается аналогично поиску напряженности

зависимости от температуры и давления могут ре-

электрического поля вокруг диэлектрического те-

ализовываться объемные либо A-фаза, либо B-фаза

ла [7]. Другой подход, который использовался для

сверхтекучего³He. В то же время мы будем счи-

описания частоты колебаний аэрогеля в сверхтеку-

тать, что внутри аэрогеля реализуется только по-

чем³He при сверхнизких температурах, был пред-

лярная фаза, орбитальная часть параметра поряд-

ложен в работе Брусарди и др. [6]. Основная раз-

ка которой фиксируется осью анизотропии аэроге-

ница между двумя подходами при описании проте-

ля. На границе аэрогеля в слое толщиной порядка

кания сверхтекучей жидкости сквозь аэрогель за-

температурной длины когерентности сверхтекучего

ключается в граничных условиях, которые накла-

³He (ξ(τ)) амплитуды параметров порядка наруж-

дываются на фазовую часть параметра порядка на

ного сверхтекучего состояния и внутреннего состоя-

границе аэрогеля, при том что условие сохранения

ния подавляются, что обеспечивает пространствен-

нормальной компоненты плотности массового тока

ное согласование между ними. В работе качественно

в обоих случаях выполняется. В статье [6] функция

исследовано влияние подавления параметра поряд-

фазы параметра порядка имеет разрыв на поверх-

ка на границе аэрогеля на возникающие эффектив-

ности аэрогеля. Таким образом, неявно предполага-

ные граничные условия на фазу параметра порядка

554

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Потенциальное протекание сверхтекучего³He. ..

на поверхности аэрогеля в предположении, что дли-

Заметим, что уравнение (3) можно переписать в

на когерентности гораздо меньше размеров аэроге-

другом виде:

ля. Другими словами, граничные условия получены

с точностью до ξ(τ)/a.

∇_i(j_s)_i = 0,

(4)

Данная статья организована следующим обра-

где мы ввели j_s — плотность сверхтекучего потока

зом: в первой части статьи из уравнений Гинзбур-

массы, которая дается известным выражением [8]

га - Ландау получено уравнение, определяющее

сверхтекучий поток массы, а также выписаны

[(

(j_s)_i ∼ -i

K₁A^∗μj∇_iA_μj + K₂A^∗μj∇_jA_μi +

решения уравнения для случая трех рассматри-

)

]

ваемых в работе сверхтекучих состояний. После

+ K₃A^∗μi∇_jA_μj

- c.c.

(5)

этого получено граничное условие для функции

фазы параметра порядка на поверхности аэрогеля.

Полученное уравнение можно трактовать как усло-

При помощи полученного граничного условия

вие несжимаемости сверхтекучей компоненты в рас-

найден тензор присоединенной массы для двух

сматриваемом пределе.

возможных наружных сверхтекучих состояний.

При помощи определения (5) можно легко запи-

Наконец, в последней части статьи проводится

сать выражения, определяющие сверхтекучие мас-

сравнение влияния присоединенной массы на часто-

совые токи в различных сверхтекучих состояниях.

ту собственных колебаний системы с имеющимися

Параметр порядка полярной фазы (состояния) мож-

экспериментальными данными.

но записать в следующем виде:

A_μj = Δ_P · e^iϕd_μm_j,

2. УРАВНЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕГО ПОТОКА

где Δ_P — амплитуда параметра порядка, d_μ, m_j —

Уравнение, описывающее сверхтекучий поток

действительные единичные векторы соответственно

проще всего получить из уравнений Гинзбур-

в спиновом и орбитальном пространствах, ϕ — фа-

га - Ландау для сверхтекучего³He. В сверхтекучем

за параметра порядка. Орбитальный вектор m на-

³He реализуется триплетное спаривание с равным

правлен вдоль оси анизотропии аэрогеля (двукрат-

единице орбитальным моментом. Как следствие,

ное вырождение по направлению связано с тем, что

параметром порядка системы является комплекс-

аэрогель нематический). Из определения (5) полу-

ная матрица 3 × 3 — A_μj , где греческие буквы в

чим выражение для плотности сверхтекучего мас-

индексах соответствуют орбитальной части пара-

сового потока в полярной фазе:

метра порядка, а латинские соответственно его

(

)

ℏ

спиновой части. Уравнения Гинзбурга - Ландау для

j^P

=ρ^P

∇_jϕ,

(6)

s i

сверхтекучего³He имеют стандартный вид:

2m_He3

где тензор сверхтекучей плотности полярной фазы

∂δF⁽²⁾

∂δF⁽⁴⁾

- (K₁∇_p∇_pA_μj +

определяется выражением

∂A^∗μj

∂A^∗

μj

+ (K₂ + K₃)∇_j ∇_pA_μp) = 0,

(1)

ρ^Pij = (ρ^P∥ - ρ^P⊥)m_im_j + ρ^P⊥δ_ij,

(7)

здесь ρ_∥ — сверхтекучая плотность в направлении,

∂δF⁽²⁾

∂δF⁽⁴⁾

- (K₁∇_p∇_pA^∗μj +

параллельном оси анизотропии аэрогеля. Следует

∂A_μj

отметить, что в так называемом пределе слабой свя-

+ (K₂ + K₃)∇_j ∇_pA^∗μp) = 0,

(2)

зи, который хорошо описывает термодинамические

свойства системы при нулевом давлении, справед-

где F⁽²⁾, F(4) — члены соответственно второго и

ливо следующее соотношение: K₁ = K₂ = K₃. Соот-

четвертого порядков, а K_i — феноменологические

ветственно в данном пределе существует следующая

константы, возникающие в функционале Гинзбур-

связь между главными значениями тензора сверхте-

га - Ландау перед градиентными членами. Комбини-

кучей плотности полярной фазы:

руя выписанные уравнения, легко можно получить

следующее равенство:

ρ^P∥ = 3ρ^P⊥ = 3ρ^Ps .

(K₁A^∗μj ∇_p∇_pA_μj +

В дальнейшем мы будем использовать данный пре-

+ (K₂ + K₃)A^∗μj ∇_j ∇_pA_μp) - c.c. = 0.

(3)

дел и для других сверхтекучих состояний, чтобы

555

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

упростить вычисления. Также, мы будем использо-

пространственной координаты. Спиновая степень

вать соотношение

свободы никак не связана с границей раздела двух

состояний, если только не рассматривать слабое

ℏ

= 1,

спин-орбитальное взаимодействие. Форма парамет-

2m_3He

ра порядка в приграничной области может быть бо-

при котором сверхтекучая скорость будет выра-

лее сложной, однако для качественного описания

жаться через градиент фазы параметра порядка

данный анзац кажется вполне удовлетворительным.

(v_s)_i = ∇_iϕ. В случае полярной фазы с не завися-

Заданная выше форма параметра порядка приводит

щим от координат орбитальным вектором m урав-

к следующему выражению для сверхтекучего пото-

нение, определяющее сверхтекучий поток (4), сво-

ка массы:

дится к

(j_s)_i ∼ 5Δ2B∇_iϕ^B + Δ2P (δ_ij + 2m_im_j )∇_j ϕ^P +

(ρ^Ps )_ij ∇_i∇_j ϕ = 0.

(8)

+ Δ_BΔ_P(∇_jϕ^B + ∇_jϕ^P)(δ_ijR_μkd_μm_k +

Даже более простое выражение для сверхтеку-

+ R_μjd_μm_i + R_μid_μm_j)cos(ϕ^B - ϕ^P)+

чего тока может быть записано для случая B-фазы,

+ (Δ_P ∇_j Δ_B - Δ_B ∇_j Δ_P )(δ_ij R_μkd_μm_k +

параметр порядка которой равен

+ R_μjd_μm_i + R_μid_μm_j)sin(ϕ^B - ϕ^P)+

A_μj = Δ_B · e^iϕR_μj,

+ Δ_BΔ_P{(∇_iR_μj)d_μm_j + (∇_jR_μj)d_μmi +

+ (∇_j R_μi) d_μm_j - R_μj d_μ∇_im_j

где Rμj — произвольная ортогональная матрица.

- R_μjd_μ∇_jm_i - R_μid_μ∇_jm_j}sin(ϕ^B - ϕ^P).

(11)

Тогда выражение для тока будет просто ρ^Bs∇_iϕ, где

ρ^Bs — сверхтекучая плотность B-фазы. Рассмотрен-

Первые два члена определяют сверхтекучий ток в

ные два случая достаточно просты в силу того, что

пределах соответственно B-фазы и полярной фазы,

сверхтекучий поток массы определяется в них толь-

а последние два, пропорциональные sin(ϕ^B - ϕ^P ),

ко градиентом фазы параметра порядка.

соответствуют джозефсоновским токам через гра-

Более интересное выражение для сверхтекучего

ницу раздела состояний. Наконец, член, пропорци-

тока получается для случая А-фазы, которое в пре-

ональный cos(ϕ^B - ϕ^P ), также возникает благода-

деле слабой связи имеет следующий вид [8]:

ря интерференции двух состояний. Таким образом,

из вида выражения для сверхтекучего тока следуют

(j^As)_i = ρ^As(2δ_ij - l_il_j )(v^As)_j -

)

условия отсутствия тока через границу: ϕ^B = ϕ^P =

⁽1

= const или ϕ^B = ϕ^P + π = const. Глобальный мини-

-ρ^A

δ_ij - l_il_j e_jkt∇_kl_t.

(9)

мум соответствуют одному из условий и может быть

найден при решении уравнений Гинзбурга - Ландау

Последний член в выражении (9) показывает, что

в приграничной области.

даже в отсутствие градиента фазы параметра по-

Можно рассмотреть два существенно различаю-

рядка сверхтекучий ток может существовать в неко-

щихся случая сверхтекучего протекания через гра-

торых неоднородных текстурах вектора l. Однако в

ницу аэрогеля. Первый случай соответствует отсут-

дальнейшем мы будем рассматривать только такие

ствию джозефсоновских токов через границу, т. е.

текстуры, в которых e_ijk∇_jl_k = 0, т.е. сверхтекучий

ϕ^B -ϕ^P = πn, n ∈ Z и, как следствие, ∇_iϕ^B = ∇_iϕ^P .

поток будет чисто потенциальным.

Таким образом, в этом случае сверхтекучий ток

В качестве примера сверхтекучего тока через

определяется выражением

границу раздела двух сверхтекучих состояний рас-

смотрим ток через границу между полярной и B-фа-

(j_s)_i ∼ [5Δ2Bδ_ij + Δ2P (δ_ij + 2m_im_j )]∇_j ϕ ±

зами. В рассматриваемой области пространства па-

± 2Δ_BΔ_P (δ_ijR_μkd_μm_k +

раметр порядка можно искать в виде суперпози-

ции двух решений однородных уравнений Гинзбур-

+ R_μjd_μm_i + R_μid_μm_j)∇_jϕ.

(12)

га - Ландау:

При помощи написанного выражения, а также из

[

]

A_μj = eiϕP Δ_P d_μm_j + eiϕBΔBRμj ,

(10)

условия постоянства нормальной к границе компо-

ненты сверхтекучего тока, можно приближенно вы-

где все параметры за исключением параметров из

числить дополнительную разницу фаз между состо-

спинового подпространства являются функциями

яниями, набегающую на границе раздела из-за изме-

556

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Потенциальное протекание сверхтекучего³He. ..

нения амплитуд параметра порядка (поверхностны-

В новых обозначениях уравнение сохранения массы

ми токами в этом случае необходимо пренебречь).

имеет вид

Рассмотрим теперь кратко случай протекания

∂_tρ + ∇_i(ρ(v_n)_i + (j_s)_i) = 0.

(14)

через границу джозефсоновских токов. В присут-

ствии сверхтекучих токов в объеме вокруг образца

В пределе несжимаемой жидкости ρ = const из него

аэрогеля изменение фазы происходит на масштабах

следует, что

порядка размера аэрогеля, в то время как ампли-

∇_i(v_n)_i = 0.

(15)

туда параметра порядка существенно меняется на

длине когерентности на границе раздела двух состо-

Существуют два характерных масштаба, определя-

яний. Таким образом, в случае ненулевой разницы

ющих изменения нормальной компоненты скорости

фаз двух состояний порядка π/2 джозефсоновские

v_n. На больших расстояниях от поверхности тела

токи могут давать главный вклад в ток через гра-

r ≫ δ и при достаточно малых амплитудах движе-

ницу. Качественно, джозефсоновский сверхтекучий

ния rot v_n ≈ 0, поэтому решение для нормальной

ток через границу можно аппроксимировать с помо-

скорости можно искать в форме потенциального по-

щью обычного выражения:

тока: (v_n)_i = ∇_iϕ_n [4]. В области вблизи поверхно-

сти аэрогеля r ∼ δ необходимо учитывать вязкость

Δ0BΔ0P

(j_s)_i ∼

sin(ϕ^B - ϕ^P )n_i,

(13)

нормальной компоненты³He. В то же время заме-

тим, что ввиду δ ≫ ξ(τ) зависимость тензора сверх-

где n_i — нормаль к поверхности аэрогеля, а λ име-

текучей плотности от координаты может быть связ-

ет размерность длины и λ ∼ ξ(τ). Следует отме-

на исключительно с текстурой параметра порядка,

тить, что написанное выражение может описывать

характерный масштаб изменения которой определя-

как токи, которые возбуждаются движением аэро-

ется размерами аэрогеля a ≫ δ. Исходя из этого,

геля (нестационарный эффект), так и токи, которые

можно считать что (ρ^s)_ij ≈ const и уравнение сверх-

могут возникнуть из-за постоянной разности фаз в

текучего потока в этой области сводится к

покоящемся состоянии аэрогеля (стационарный эф-

фект). Однако в последнем случае из-за того, что

∇_i((ρ^s)_ij[(v_s)_j - (v_n)_j]) ≈ ∇_i(ρ^s)_ij(v_s)_j -

на противоположных концах аэрогеля направление

(ρ^s)_ij ∇_i(v_n)_i = ∇_i (ρ^s)_ij (v_s)_j = 0.

тока меняется (разность фаз постоянна), происхо-

дит нескомпенсированное втекание или вытекание

Таким образом, в рассматриваемой области уравне-

сверхтекучей жидкости в (из) аэрогель, что приве-

ние сверхтекучего потока можно решать независимо

дет к разнице давлений и возбуждению собствен-

по отношению к нормальной компоненте жидкости.

ных колебаний аэрогеля с изменением его объема.

При этом из-за сильной вязкости нормальной ком-

2.1. B-фаза

поненты такие колебания будут сопровождаться за-

туханием, что в итоге приведет к их полному за-

Для случая B-фазы уравнения потоков принима-

туханию и выравниванию фаз сверхтекучих состоя-

ют простейший вид — такой же, как и для случая

ний внутри и снаружи аэрогеля. Условие возможно-

идеальной жидкости:

сти пренебрежения нестационарыми джозефсонов-

Δϕ_s = 0,

скими токами требует отдельного рассмотрения.

(16)

В двухжидкостной гидродинамике плотность

Δϕ_n = 0, r ≫ δ.

полного массового тока определяется выражением

Другими словами, можно рассматривать две незави-

j_i = (ρ_n)_ij(v_n)_j + (ρ_s)_ij(v_s)_j,

симые идеальные жидкости с различными плотно-

стями ρ_n и ρ_s. Поскольку в рассматриваемой геомет-

где v_n — скорость нормальной компоненты жидкос-

рии B-фаза находится снаружи аэрогеля, необходи-

ти,

мо искать решение с убывающей на бесконечности

(ρ_n)_ij + (ρ_s)_ij = ρδ_ij ,

фазой:

ρ — полная плотность³He и (v_s)_i — сверхтекучая

скорость, введенные ранее. В результате, если воз-

(A_s,n)_ir_i

ϕ_s,n(r) =

(17)

можны два типа движения, то сверхтекучий ток в

r³

этом случае должен быть переопределен следую-

где A_s,n — постоянные векторы [4]. Написанное вы-

щим образом:

ражение является асимптотикой решения на боль-

(j_s)_i = ρ^sij [(v_s)_j - (v_n)_j ].

ших расстояниях и определяет самую медленную

557

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

возможную убывающую зависимость ϕ от расстоя-

Решение для «нормальной» части фазы находится

ния r для случая несжимаемой жидкости. Для сфе-

аналогично случаю B-фазы:

рического тела выписанное решение можно исполь-

(A_n)_ir_i

зовать вплоть до поверхности тела. В общем случае

ϕ_n =

r³

постоянные векторы A_s,n находятся из граничных

условий на поверхности тела и зависят от его фор-

Поэтому для «сверхтекучей» части фазы получает-

мы. Из выражений для фазы легко получить убыва-

ся выражение

ющие на бесконечности зависимости двух скоростей

A_ir_i

(A_n)_ir_i

в виде

ϕ^As =

(22)

r^γ

r³

(A_s,n)_i

3r_i((A_s,n)_jr_j)

(v^Bs,n)_i =

(18)

r³

r⁵

2.3. Полярная фаза

Для сверхтекучего типа движения найденное реше-

В пределе слабой связи уравнение сверхтекучего

ние справедливо для расстояний от поверхности по-

потока для полярной фазы запишется в виде

рядка r ≫ ξ(τ), где можно считать ρs постоян-

ной. Для нормальной скорости ситуация немного

ρ^Ps (δ_ij + 2m_im_j)∇_i[∇_jϕ^Ps - (v^Pn )_j] = 0.

(23)

сложнее, и вблизи поверхности r необходимо решать

уравнение Стокса с эффективной плотностью ρ_n.

Поскольку по предположению вязкая глубина про-

никновения δ много больше среднего расстояния

между нитями, образующими нематический аэро-

2.2. A-фаза

гель, скорость нормальной компоненты v_n внутри

Как пример того, что задача может быть решена

аэрогеля должна совпадать со скоростью движения

для случая А-фазы, рассмотрим сферическое тело,

аэрогеля u. Для рассматриваемой геометрии задачи

которое движется в сверхтекучем³He. Предполо-

необходимо искать решение для ϕ_s которое не рас-

жим, что в системе реализуется текстура с вектором

ходится при r = 0. Исходя из этого, мы будем искать

l, перпендикулярным поверхности шара, т.е. так на-

решение в виде

зываемая текстура типа «ежа»: l_i(r) = n_i = r_i/r.

(

)

(

)

Очевидно, что для такой текстуры не возникает

ϕ_s =

ri(v^sn)i

+b δ_ij -

m_im_j r_ir_j,

(24)

сверхтекучих токов, связанных с пространственным

изменением направления вектора l. Таким образом,

с неизвестной константой b и постоянной скоростью

выражение для сверхтекучего тока в этом случае

v^ins. Для несжимаемой жидкости второй член в вы-

будет следующим:

ражении можно опустить, так как он приводит к ко-

(j^As)_i = ρ^As(2δ_ij - n_in_j )∇_j ϕ, r ≫ δ,

(19)

нечному значению потока через любую замкнутую

поверхность, который не может быть скомпенсиро-

где ϕ = ϕ_s - ϕ_n. После подстановки данного выра-

ван противотоком нормальной компоненты ввиду ее

жения в уравнение сверхтекучего потока получим

жесткой связи с нитями аэрогеля. В таком прибли-

следующее:

жении сверхтекучая скорость внутри аэрогеля будет

n_j∇_jϕ

постоянной величиной:

Δϕ -

n_in_j∇_i∇_jϕ = 0.

(20)

(v^Ps )_i = (v^ins)_i

(25)

Будем искать убывающее на бесконечности решение

в виде

3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

A_ir_i

ϕ=

γ ≥ 3,

(21)

r^γ

При выводе граничных условий мы будем рас-

которое приводит к уравнению для γ:

сматривать предел, в котором можно пренебречь

A_ir_i

джозефсоновскими токами через границу аэрогеля.

(γ² - 3γ - 2)

= 0.

rγ+2

Как следствие, в задаче остается лишь одна фазо-

вая переменная как функция от пространственной

Поскольку по предположению A_i — это постоянный

координаты. В дальнейшем мы будем предполагать,

вектор, то подходящее решение уравнения для γ бу-

что кинетическая энергия сверхтекучего движения

дет

√

много меньше энергии конденсации, и поэтому зада-

γ =

≈ 3.56.

ча может быть решена последовательно в два этапа.

558

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Потенциальное протекание сверхтекучего³He. ..

(j_s · n) = const = ρ^Bs[(v^Bs - u) · n]:

(j_s)_in_i ∼ [5Δ2B + Δ2P (1+2(m_in_i)²)](∂_z ϕ - u_z) ±

± 2Δ_BΔ_P (R_μkd_μm_k+2R_μjd_μm_in_j)(∂_zϕ - u_z) =

= (ρ_s)_zz (∂_z ϕ - u_z).

(28)

Пусть

ϕ(z) = [v^Bs · n]z + χ(z),

тогда для χ(z) имеем

∫

(ρ_s)_zz (z^′) - ρ^Bs

χ(z) = (v^Bs - u) · n

dz^′.

(29)

(ρ_s)_zz (z^′)

−∞

Рис. 2. В пределе a ≫ ξ(τ ) можно рассматривать одномер-

Асимптотика выражения для χ(z) при z ≫ ξ(τ) име-

ную задачу о протекании сверхтекучего тока через грани-

ет вид

цу раздела двух сверхтекучих состояний. Плотность тока

ρ^Bs - (ρ^Ps )_zz

в направлении, перпендикулярном границе аэрогеля, счи-

χ(z) = α + [(v^Bs - u) · n]

(30)

тается постоянной

(ρ^Ps )_zz

где α определяется выражением

⎛

∫

На первом шаге можно найти изменение параметра

ρ_zz(z^′) - ρ^Bs

порядка на границе аэрогеля, считая, что ток через

α = [(v^Bs - u) · n]⎝

dz^′ +

ρ_zz(z^′)

границу отсутствует. Затем найденное решение для

-∞

⎞

амплитуд параметра порядка можно подставить в

∫

ρ_zz(z^′) - ρ^Ps

уравнение сверхтекучего потока. В пределе a ≫ ξ(τ)

dz^′⎠ .

(31)

можно ограничиться рассмотрением одномерной за-

ρ_zz(z^′)

дачи, в которой уравнение потока может быть про-

интегрировано, откуда можно найти изменение фа-

Сравнивая полученный результат с разложениями

зы на границе аэрогеля.

(26), (27), мы приходим к граничному условию вида

Мы начнем с рассмотрения простого случая

A·R

- v^ins · R = α.

(32)

аэрогеля сферической формы, который движется

R³

сквозь сверхтекучий³He с постоянной скоростью

Поскольку по предположению ρ_zz(z) не имеет осо-

u (рис. 2). Для начала предположим, что снаружи

бых точек на поверхности аэрогеля, можно оценить

аэрогеля (z < 0) находится B-фаза. Как было пока-

α как [(v^Bs - u)· n]ξ(τ). Таким образом, если измене-

зано ранее, в области координат, удовлетворяющих

ние фазы на размере аэрогеля много больше изме-

условиям (r - R) = z < 0 и (r - R) ≫ ξ(τ), фаза

нения фазы на границе, то в нулевом приближении

имеет вид Ar/r³. Для достаточно малых расстояний

по ξ(τ)/R ≪ 1 граничное условие упрощаются до

R ≫ |r - R| ≫ ξ(τ) мы можем разложить данную

функцию до членов, линейных по z:

A·R

= v^ins · R,

(33)

R³

A·R

A·n

ϕ(r) =

z, z < 0,

(26)

и в таком виде будет использоваться в дальнейшем.

R³

Очевидно, что с заданной точностью написанное

здесь n — это внутренняя нормаль к поверхности.

условие будет справедливо для тела любой формы,

Аналогично для области z > 0 можно записать

если ξ(τ) ≪ a, где a — характерный радиус кривиз-

ны поверхности тела:

ϕ(r) = v^ins · R + v^ins · n z, z > 0.

(27)

ϕ^Ps = ϕ^Bs, r ∈ S.

(34)

Такая же форма решения может быть получена

Более того, если сверхтекучий ток является чисто

после интегрирования уравнения потока в предпо-

потенциальным (т. е. на поверхности отсутствуют

ложении постоянства тока через границу аэрогеля

токи, связанные с текстурой параметра порядка),

559

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

то в рассмотренном доказательстве снаружи и внут-

После простых выкладок можно записать ответ для

ри аэрогеля можно использовать параметр порядка

сверхтекучей скорости внутри аэрогеля:

произвольной формы и результат при этом не изме-

(

ρ^Ps - ρ^Bs

нится:

(v^ins)_i =

δ_ij +

ρ^Ps + 2ρ

)

ϕ^ins = ϕ^outs, r ∈ S.

(35)

6ρ^Ps ρ^Bs

m_im_j u_j.

(41)

)

(ρ^Ps + 2ρ^Bs)(2ρ^Bs + 3ρ^Ps

Именно данное граничное условие использовалось в

Матрица, связывающая скорость u со сверхтекучей

работе Габая и др. [5] для случая скалярного пара-

скоростью v^ins, имеет два главных значения:

метра порядка [5].

Запишем теперь граничное условие для скорости

ρ^Ps

u ⊥ m,

(42)

нормального движения:

2 ρ^Ps + 2ρ^Bs

3ρ^Ps

v_n · n = u · n, r ∈ S.

(36)

u ∥ m.

(43)

2 3ρ^Ps + 2ρ^Bs

Данное условие отражает тот факт, что через гра-

Как видно из написанного выражения, в случае

ницу аэрогеля не течет тепловой поток. Посколь-

ρ^P = 0 мы получим хорошо известное выражение

ку скорость движения аэрогеля u является посто-

для поля скоростей вокруг непроницаемого шарика,

янным вектором, а внутри аэрогеля по предполо-

движущегося в идеальной жидкости.

жению v_n = u, в отсутствие проскальзывания нор-

Кинетическая энергия жидкости, увлекаемой

мальной компоненты жидкости из условия (36) сле-

движением шара, содержит следующие члены:

дует, что v_n = u на всей границе аэрогеля. Таким

образом, полный набор граничных условий, которые

(ρ^Pn )_ij u_iu_j

(ρ^Ps )_ij (v^ins)_i(v^ins)_j

E =

V₀ +

используются далее, выглядит следующим образом:

ρ^Bn

u_iu_i

V₀

ρ^Bs(v^ins)_i(v^ins)_i

2V₀,

(44)

ϕ^ins = ϕ^outs, r ∈ S,

(37)

v_n = u, r ∈ S,

здесь V₀ — объем тела. Первый член — это кинети-

ческая энергия нормальной части жидкости, кото-

рая движется вместе с аэрогелем внутри его объема.

jⁱⁿ · n = j^out · n, r ∈ S.

(38)

Второй член — это энергия противотока сверхтеку-

чей компоненты через аэрогель. Третий член — это

энергия потенциального течения нормальной компо-

4. ДВИЖЕНИЕ АЭРОГЕЛЯ В В-ФАЗЕ

ненты вокруг шара. Наконец, последний член воз-

Как и ранее, мы начнем решение задачи со слу-

никает из-за потенциального течения сверхтекучей

чая, когда снаружи аэрогеля находится В-фаза.

компоненты в наружной области и получается после

Условие сохранения тока через поверхность (37)

простого интегрирования:

можно переписать, используя выражение для тензо-

∫

ρ^Bs(v^ins)_i(v^ins)_i

ра сверхтекучей плотности полярной фазы (7), ре-

d³r.

шения для сверхтекучих скоростей внутри и снару-

r>R

жи аэрогеля (18), (25), а также тот факт, что на

Удобно переписать выражение для энергии в виде

границе аэрогеля v_n = u:

[

]

V₀

E =

ρu²V₀ -

2(ρ^Ps )_ij + ρ^Bs δ_ij

u_iu_j

ρ^Ps (δ_ij + 2m_im_j)[(v^ins)_j - u_j]n_i =

)

[

]

⁽ (A_s)_i

3n_i((A_s)_jn_j)

(ρ^Ps )_ij + 2ρ^Bsδ_ij

(v^ins)_i(v^ins)_j V₀,

(45)

=ρ^B

-u_i n_i.

(39)

R³

где мы выделили член, описывающий не зависящую

Из непрерывности на границе аэрогеля функции

от температуры энергию потенциального движения

фазы следует, что (A_s)_i = (v^ins)_iR³, после чего по-

жидкости для нормальной фазы³He. Подстановка

лучим выражение

выражения для v^ins из (41) в (45) позволяет полу-

чить энергию как квадратичную форму по u_i:

(

)

[ρ^Ps + 2ρ^Bs]δ_ij + 2ρ^Ps m_im_j

(v_s)^inj =

M^adiju_iu_j

(46)

= ([ρ^Ps - ρBs ]δ_ij + 2ρ^Ps m_im_j )u_j.

(40)

560

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Потенциальное протекание сверхтекучего³He. ..

где M^atij — это тензор присоединенной массы жид-

Решение для потенциального потока нормальной

кости в отсутствие вязкости,

части жидкости вокруг аэрогеля находится анало-

гично случаю B-фазы. Из определения функции ϕ

(

ρ^Ps ρ^Bs

ее сверхтекучая часть выражается как

M^adij =

ρV₀

δ_ij - 3

ρ(ρ^Ps + 2ρ^Bs)

A_ir_i

u_ir_i R

[

])

ϕ_s =

(49)

4ρ^Bs

r^β

r³

× δ_ij +

m_im_j

(47)

3ρ^Ps

+ 2ρ^B

где было использовано, что

u_ir_i R

Согласно выражениям (46) и (47) энергия потенци-

ϕ_n = -

r³

ального движения вокруг и через аэрогель является

Строго говоря, выписанное выражение имеет смысл

квадратичной функцией от косинуса угла между на-

лишь в области |r-R| ≫ δ, но мы расширим область

правлением скорости движения аэрогеля u и осью

применимости выражения вплоть до поверхности

анизотропии аэрогеля (совпадает с направлением

аэрогеля, предполагая, что δ ≪ a. Для рассматрива-

вектора m). В отсутствие сверхтекучести³He внут-

емого случая граничные условия можно переписать

ри аэрогеля выражение для присоединенной мас-

в виде

сы упрощается до 3ρV₀/2, что совпадает с ответом

для непроницаемого шарика, движущего в идеаль-

A_iR_i

u_iR_i

= (v^ins)_iR_i,

(50)

ной жидкости, с учетом того, что масса шарика уве-

R^β

личивается на ρV₀ за счет массы жидкости внутри

него. Выражение (47) может быть обобщено на слу-

ρ^Ps (δ_ij + 2m_im_j)[(v^ins)_j - u_j]n_i =

)

чай аэрогеля эллиптической формы (см. Приложе-

⁽ (A)_i

βn_i((A)_jn_j)

=ρ^A

n_i,

(51)

ние):

^s R^β

R^β

где было использовано, что (ρ^As)_ij nj = ρAsni (см.

M^adij = (1 + α)ρV₀ ×

(

(9)). Комбинируя выписанные равенства, можно вы-

ρ^Ps ρ^Bs

разить сверхтекучую скорость внутри аэрогеля v^ins

× δ_ij - (1 + α)

ρ(ρ^Bs + αρ^Ps )

через u:

[

])

2ρ^Bs

× δ_ij +

m_im_j

(48)

⁽ρ^Ps - (β - 1)ρAs /2

ρ^Bs

+ 3αρ^P

(v^ins)_i =

δ_ij +

ρ^Ps + (β - 1)ρ

)

где α — «размагничивающий» фактор тела в на-

3(β-1)ρ^Ps ρ^As

m_im_j u_j.

(52)

правлении потока (α = 1/2 для шарика).

(ρ^Ps +(β-1)ρ^As)(3ρ^Ps +(β-1)ρ^As)

В дальнейшем мы разделим тензор присоединен-

Если m ∥ u или m ⊥ u, то выражения для v^ins до-

ной массы на два члена:

статочно просты:

)

⁽3

3ρ^Ps

M^adij =

ρV₀δ_ij - δM^B-Pij ,

v^ins =

u, m ∥ u,

(53)

2 3ρ^Ps + (β - 1)ρ^As

)

⁽3

ρ^Ps

где последний член возникает только в присутствии

v^ins =

u, m ⊥ u.

(54)

сверхтекучести внутри аэрогеля, δM^B-Pij > 0.

2 ρ^Ps + (β - 1)ρ^As

Отметим, что полученные выражения отличают-

ся от случая, когда снаружи аэрогеля существует

5. ДВИЖЕНИЕ АЭРОГЕЛЯ В А-ФАЗЕ

В-фаза (42), (43). Как и ранее, запишем выражение

для кинетической энергии жидкости в виде

Перейдем теперь к рассмотрению случая, ко-

гда снаружи аэрогеля находится А-фаза. Напом-

(ρ^Pn )_ij u_iu_j

(ρ^Ps )_ij (v^ins)_i(v^ins)_j

E =

V₀ +

ним, что мы рассматриваем случай текстуры векто-

∫

ра l типа «ежа», для того чтобы исключить из рас-

(ρ^An)_ij (v^outn)_i(v^outn)_j

d³r +

смотрения сверхтекучие токи, связанные со вторым

r>R

членом в выражении (9). Помимо этого, необходи-

∫

(ρ^As)_ij (v^outs)_i(v^outs)_j

мо отметить, что рассматриваемые скорости потока

d³r,

(55)

должны быть малы, для того чтобы не происходила

r>R

переориентация вектора l на границе аэрогеля.

561

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

где

E =

ρu_iu_iV₀ +

(ρ^Ps )_ij [(v^ins)_i(v^ins)_j - u_iu_j] V₀ +

(A_n)_i

n_i(A_n)_jn_j

[

(v^outn)_i =

-3

(56)

ρ^As

⁽β² - 2β + 5

u_i ][

u_i ]

r³

(v^ins)_i +

2β - 3

u_i

)

[

(A_n)_i = -

R³,

(1 + β)

u_i ]

− 2

(v^ins)_i +

u_i V₀.

(58)

(57)

(A)_i

n_i(A)_jn_j

(v^outs)_i =

-β

+ (v^outn)_i.

r^β

Из последнего выражения легко получить главные

После простых, но длительных вычислений полу-

значения тензора присоединенной массы для рас-

чим

сматриваемого случая:

(

)

3ρ^Ps ρ^As(ρ^As(β - 1)(2β - 3)(β² + 3β + 4) - 3ρ^Ps (5β³ - 6β² - 7β - 12))/2

M^ad∥ =

ρV₀

(59)

β(2β - 3)(3ρ^Ps + (β - 1)ρ^As)²ρ

(

{

}

)

ρ^Ps ρ^As ·

ρ^As(β - 1)(2β - 3)(β² + 3β + 4) - ρ^Ps (5β³ - 6β² - 7β - 12)

M^ad⊥ =

ρV₀

(60)

β(2β - 3)(ρ^Ps + (β - 1)ρ^As)²ρ

Несмотря на громоздкость выражений, численное

δM^P — масса части сверхтекучей жидкости, кото-

значение сверхтекучей части присоединенной массы

рая не участвует в движении из-за частичного про-

в области температур, где 2ρ^As ≈ 3ρ^Ps ≈ ρ^Bs совсем

текания сверхтекучей компоненты через аэрогель.

немного отличается от того, что было для случая

Для дальнейшего анализа удобно ввести дополни-

внешней В-фазы. В частности, оценка отношения

тельные обозначения [6]:

δM^A-P /δM^B-P получается следующей:

ω²⁰ =

(64)

δM^A-P∥ /δM^B-P∥ ≈ 0.84,

(61)

M_w + M_a

δM^A-P⊥ /δM^B-P⊥ ≈ 0.93.

(62)

ω2n =

(65)

M_w + M_a + M

— собственная частота системы в вакууме,

где ω₀

6. КОЛЕБАНИЯ АЭРОГЕЛЯ

а ω_n — собственная частота системы с учетом при-

соединенной массы³He M0ad. Заметим, что здесь мы

В эксперименте [3] образец аэрогеля был при-

пренебрегли вязкостью системы, которая дает вклад

креплен к тоненькой проволочке, через которую

как в инерционную массу системы, так и в затуха-

пропускался переменный электрический ток, кото-

ние. При помощи новых обозначений можно перепи-

рый, в свою очередь, приводил к колебаниям си-

сать результат, выразив в явном виде δM^P :

стемы, находящейся в постоянном магнитном поле.

Оценка зависимости частоты собственных колеба-

δM^P

ω2n/ω² - 1

ний такой составной системы от сверхтекучей плот-

(66)

M0ad

ω2n/ω²⁰ - 1

ности³He может быть проведена в рамках модели

одномерного незатухающего осциллятора с задан-

Левую часть формулы (66) можно вычислить при

ной жесткостью K. В таком случае собственная час-

помощи соотношений (47), (48), (59), (60). Из нее

тота системы дается выражением

можно оценить скачок собственной частоты колеба-

ний системы при фазовом переходе снаружи аэро-

ω² = K/M,

геля из-за изменения функции потенциального об-

текания. Полагая, что

где M — полная масса системы,

ω_B - ω_n

M =M_w+M_a+M0ad -δM^Pad,

(63)

1 - δM^A-P/δM^B-P ≪ 1,

≪ 1,

ω_n

здесь M_w — масса проволочки, M_a — масса аэроге-

ω_B - ω_A

ля, M0ad = 3ρV₀/2 — масса присоединенной жидко-

≪ 1,

ω_B

сти из-за потенциального обтекания шара (в нор-

получим скачок частоты:

мальном состоянии³He в пределе нулевой вязко-

сти) плюс полная масса жидкости внутри аэрогеля,

ω_B - ω_A ∼ (ω_A - ω_n)(1 - δM^A-P /δM^B-P ),

(67)

562

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Потенциальное протекание сверхтекучего³He. ..

где ω_A, ω_B — частоты колебаний системы вблизи А-

аэрогеля u. Из вида выражения (68) при условии,

В перехода снаружи аэрогеля (соответственно выше

что λ ∼ ξ(τ), а также при помощи оценки для раз-

и ниже точки перехода). Из эксперимента [3] извест-

ности фаз двух состояний, полученной при выводе

но, что при давлении 15.4 бар частота собственных

граничных условий, можно заключить, что нестаци-

колебаний системы в пределе нулевой вязкости рав-

онарные джозефсоновские токи имеют тот же поря-

на f_n = ω_n/2π ≈ 566 Гц (см. рис. 2 в [3]). К со-

док, что и токи, связанные с градиентом фазы. По-

жалению, из-за взаимодействия двух мод колебаний

этому для рассматриваемой в работе точности гра-

экспериментально оценить величину ω_A, определен-

ничные условия измениться не должны. Таким об-

ную выше, достаточно сложно, так как из-за дан-

разом, можно заключить, что для выполнения гра-

ного взаимодействия происходит видимое уменьше-

ничных условий помимо условия ξ(τ)/a ≪ 1 необ-

ние частоты основной моды. В области перехода в

ходимо, чтобы изменение фазы через границу было

полярную фазу уменьшение частоты составляет по-

мало, т. е. u ≪ ℏ/(m3_Heξ(τ)). К примеру, для нулево-

рядка 20 Гц (при том же давлении, см. рис. 6 из

го давления и τ = 0.001 получается, что u ≪ 1 см/с.

[3]). Оценим величину f_A = ω_A/2π, предполагая, что

рассмотренный сдвиг частоты слабо зависит от тем-

Найденная температурная зависимость частоты

пературы. Поскольку по определению величина ω_A

механического резонанса системы возникает из-за

должна быть вычислена без учета эффекта вязко-

соответствующей зависимости присоединенной мас-

сти, с учетом сдвига частоты из-за взаимодействия

сы от сверхтекучих плотностей наружного и внут-

мод имеем f_a ≈ (563 + 20) = 583 Гц. Таким образом,

реннего сверхтекучих состояний. Как следует из

используя соотношение (61), скачок частоты можно

найденного соотношения, присоединенная масса ми-

оценить примерно как 3 Гц, что не сильно противо-

нимальна, когда сверхтекучая плотность внутренне-

речит экспериментальным данным.

го состояния становится равной сверхтекучей плот-

ности внешнего состояния. В этом случае сверхтеку-

чая часть жидкости покоится и не участвует в по-

7. ВЫВОДЫ

тенциальном обтекании аэрогеля, поэтому в присо-

единенной массе системы остается лишь вклад нор-

В настоящей статье представлен последователь-

мальной компоненты жидкости. Этот вклад может

ный вывод граничных условий для фазового мно-

быть разделен на две части — первый возникает из-

жителя параметра порядка при условии протекания

за потенциального течения нормальной части жид-

сверхтекучего тока между двумя различными со-

кости в объеме порядка размеров аэрогеля, а вто-

стояниями сверхтекучей жидкости с p-спариванием.

рой из-за влияния вязкости в маленьком объеме δS

Было показано, что в нулевом приближении по ма-

вблизи поверхности аэрогеля. Для эксперименталь-

лому параметру ξ(τ)/a фазу параметра порядка

ных условий [3] (в области температур и частот ко-

можно считать непрерывной функцией простран-

лебаний имеет место неравенство δ ≪ a), второй

ственной координаты. Данное утверждение справед-

вклад гораздо меньше первого. К сожалению, экс-

ливо только при условии пренебрежения джозефсо-

периментально полученная температурная зависи-

новскими токами через границу аэрогеля, а также

мость частоты оказалась более быстрой, чем это сле-

при условии отсутствия текстурных сверхтекучих

дует из теоретической модели, рассмотренной в ста-

токов на границе аэрогеля. Можно привести также

тье. Одно из возможных объяснений наблюдаемого

простую оценку влияния нестационарных джозеф-

расхождения может быть связано с одновременным

соновских токов на полученные граничные условия.

возбуждением второй моды колебаний, в которой

Выражение для данного тока можно записать в виде

происходят совместные колебания нитей аэрогеля и

³He внутри него. Эффективное отталкивание двух

мод колебаний может быть причиной более сильной

Δ_BΔ_P

j·n=

(ϕ^Bs (r) - ϕ^Ps (r)), r ∈ S,

(68)

температурной зависимости механической ветви ко-

лебаний. Можно предположить, что в случае коле-

где мы предположили малость разницы фаз двух

баний аэрогеля в направлении, перпендикулярном

сверхтекучих состояний на границе аэрогеля. Как

оси анизотропии аэрогеля, вторая мода колебаний

видно из написанного выражения, в состоянии по-

не будет возбуждаться в силу сильной анизотропии

коя аэрогеля джозефсоновские токи должны ис-

тензора упругости нематического аэрогеля, и в та-

чезнуть, так как согласно полученным результатам

ком случае рассмотренная теоретическая модель бу-

фазы ϕ_s должны быть пропорциональны скорости

дет лучше описывать экспериментальные данные.

563

Е. В. Суровцев

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Благодарности. Автор признателен И. А. Фо-

и после несложных преобразований получим

мину, В. В. Дмитриеву и А. А. Солдатову за полез-

ные обсуждения результатов работы.

(ρ^Ps )_jk

V₀[(v^ins)_i(v^ins)_k - u_iu_k].

(72)

Финансирование. Исследование выполнено

при финансовой поддержке Российского научного

Итоговое выражение для кинетической энергии за-

фонда (проект №18-12-00384).

пишем как

8. ПРИЛОЖЕНИЕ

ρu_iu_i

(1 + α)²ρ^Ps ρ^Bs

E = (1 + α)

V₀ -

ρ^Bs + αρ^P

Для случая, когда снаружи аэрогеля существует

(

)

2ρ^Bs

В-фаза, полученный результат может быть обобщен

× δ_ij +

m_im_j u_iu_j.

(73)

ρ^Bs

+ 3αρ^P

для тела эллиптической формы в предположении,

что аэрогель движется вдоль одной из главных осей

Таким образом, получается следующий вид тензора

эллипсоида. Основная идея заключается в том, что

присоединенной массы для нематического аэрогеля

задача аналогична задаче о диэлектрическом теле

эллиптической формы:

в однородном электрическом поле. В нашей задаче

A_i можно поставить в соответствие дипольный мо-

(

ρ^Ps ρ^Bs

мент из задачи о диэлектрическом теле. Поскольку

M^ad

= (1 + α)ρV₀ δ_ij - (1 + α)

ρ(ρ^Bs + αρ^Ps )

дипольный момент тела инвариантен относительно

[

])

галилеевского преобразования, мы можем использо-

2ρ^Bs

× δ_ij +

m_im_j

(74)

ρ^Bs

+ 3αρ^P

вать хорошо известный результат из [4], в котором

необходимо заменить диэлектрические проницаемо-

сти на тензоры сверхтекучей плотности наружнего

и внутреннего состояний системы. В итоге имеем

ЛИТЕРАТУРА

V₀

1+α

(A_s)_i =

K. Aoyama and R. Ikeda, Phys. Rev. B 73, 060504(R)

4π ρ^Bs + αρ^P

(2006).

(

)

2(1 + α)ρ^Ps ρ^Bs

× [ρ^Ps - ρ^Bs]δ_ij +

m_im_j u_j,

(69)

ρ^Bs

+ 3αρ^P

V. V. Dmitriev, A. A. Senin, A. A. Soldatov, and

A. N. Yudin, Phys. Rev. Lett. 115, 165304 (2015).

где α — «размагничивающий» фактор тела в на-

правлении потока (α = 1/2 для шара), V₀ — объем

В. В. Дмитриев, М. С. Кутузов, А. А. Солдатов,

тела.

Е. В. Суровцев, А. Н. Юдин, Письма в ЖЭТФ

Получим теперь выражение для тензора присо-

112, 820 (2020).

единенной массы эллиптического аэрогеля. Первые

три члена в (44) остаются такими же, а последний

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика,

может быть вычислен следующим образом [4]:

Наука, Москва (2005).

∫

ρ^Bs

ρs

(v^outs(r))²d³r =

(-4πA_iu_i - V₀u_iu_i) +

C. Gabay, P. E. Wolf, and L. Puech, Physica B 284

(2000).

V /V0

∫

ρ^Bs

(ϕ + u_ir_i)((v^outs)_j - u_j) df_j ,

(70)

P. Brussaard, S. N. Fisher, A. M. Guenault, A. J. Ha-

le, N. Mulders, and G. R. Pickett, Phys. Rev. Lett.

86, 4580 (2001).

где df = -nr²dΩ — ориентированный элемент по-

верхности тела. При помощи граничных условий ин-

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика

теграл можно переписать в виде

сплошных сред, Наука, Москва (2005).

∫

(ρ^P)jk

((v^ins)_ir_i+u_ir_i)((v^ins)_k-u_k) dn_j r²dΩ,

(71)

D. Vollhardt and P. Wölfle, The Superfluid Phases of

³He, Taylor and Francis, London (1990).

564