ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 4 (10), стр. 520-526
© 2021
К ТЕОРИИ ДВУМЕРНОГО ГОМОГЕННОГО ЗАРОЖДЕНИЯ
ЗАРОДЫШЕЙ НА ПЛОТНОУПАКОВАННЫХ ГРАНЯХ
КРИСТАЛЛОВ, РАСТУЩИХ ИЗ ПАРОВОЙ ФАЗЫ
М. С. Вещунов*
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук (ИБРАЭ РАН)
115191, Москва, Россия
Поступила в редакцию 26 апреля 2021 г.,
после переработки 26 апреля 2021 г.
Принята к публикации 30 мая 2021 г.
Критически проанализирована и уточнена традиционная теория двумерного гомогенного зародышеобра-
зования на плоских плотноупакованных гранях бездислокационного кристалла, растущего из пара. Разра-
ботан более последовательный подход к проблеме зародышеобразования, основанный на диффузионной
теории роста одиночного зародыша на плоской грани, путем распространения теории Зельдовича на
двумерный случай. Это приводит к значительному снижению (в 102-103 раз) неравновесного фактора
Зельдовича.
DOI: 10.31857/S0044451021100084
1. ВВЕДЕНИЕ
В соответствии с теорией Косселя [1], при росте
плоских плотноупакованных поверхностей бездис-
локационного кристалла из пара конденсация про-
Зародыши в форме диска моноатомной толщины и адатом
на плоской грани кристалла
исходит путем последовательного роста монослоев
на поверхности кристалла; а образование таких мо-
нослоев может происходить в результате двумерно-
сыщенном твердом растворе путем диффузии ато-
го гомогенного зародышеобразования. Процесс об-
мов примеси, конденсирующихся в зародышах но-
разования двумерных зародышей в форме диска на
вой фазы. В этой теории скорость конденсации ато-
кристаллической грани исследовался в соответствии
мов определялась энергией активации диффузии и
с общей теорией зародышеобразования [2-4] в ра-
средней концентрацией атомов в сплаве, по анало-
боте [5]. Согласно этой теории, после исчезновения
гии с зарождением капель в паре. Однако Кабрера и
вицинальных (ступенчатых) граней с высокими ин-
Бартон [8] отметили, что это предположение не со-
дексами на начальной стадии роста кристалл бу-
всем верно, поскольку предполагает однородность
дет продолжать расти путем двумерного зарожде-
пересыщения по всему объему, которая нарушается
ния новых молекулярных слоев на гранях плотней-
в случае диффузионного массопереноса.
шей упаковки (см. рисунок). Как и при любом за-
Классическая теория зародышеобразования
родышеобразовании, вероятность образования дву-
[2-5], в которой предполагается, что зародыши
мерных зародышей является очень чувствительной
новой фазы критического размера находятся в
функцией пересыщения паровой фазы (с парциаль-
равновесии с исходной фазой, дает выражение для
ным давлением p) и экспоненциально мала вблизи
скорости нуклеации
точки насыщения (с парциальным давлением p0).
Аналогичный подход был применен в работах
N
=N∗ω∗.
(1)
[6, 7] к рассмотрению выпадения зародышей в пере-
Здесь ω∗ — частота присоединения атомов к крити-
* E-mail: vms@ibrae.ac.ru
ческим зародышам, N∗ — концентрация зародышей
520
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
К теории двумерного гомогенного зарождения зародышей. . .
критического радиуса r∗, вычисленная в [3] как
выражение для ω∗ принимает вид
(
)
ΔG∗
ω∗ ≈ 2πr∗nDsl-10.
(4)
N∗ = nexp
-
,
(2)
kT
В дальнейшем этот подход был усовершенствован
где n — концентрация молекул пара (мономеров) в
Хирсом [12], который рассчитал фактор Зельдови-
газовой фазе (с парциальным давлением p), ΔG∗ —
ча для дискообразного зародыша на поверхности в
свободная энергия образования критического заро-
рамках общего подхода Паунда [10] как
дыша. Зельдович [9] уточнил эту теорию, учитывая
(
)1/2
неравновесность критических зародышей, приводя-
ΔG∗
Z =
,
(5)
щую к появлению дополнительного множителя Z,
4πkTi∗2
так называемого фактора Зельдовича, в выражении
где
для скорости зарождения:
πr∗2
i∗ ≈
N
s′
=ZN∗ω∗.
(3)
— число адатомов в критическом зародыше, и оце-
Двумерная теория скорости зародышеобразова-
нил его как Z= 10-2. Суперпозиция уравнений (2)-
ния была разработана Паундом [10] (см. также [11]),
(5) приводит к выражению
который модифицировал классическое выражение
√
(
)
Ds
ε
πεr∗
(2) для N∗, рассматривая n как концентрацию ад-
N
˙
≈s′
n2
exp
-
(6)
l0
r∗kT
kT
сорбированных атомов (адатомов) на поверхности
кристалла, находящихся в равновесии с паровой фа-
По аналогии с рассмотрением в [6, 7] трехмер-
зой, а
ного зародышеобразования в твердом растворе при
′
πε2s
конденсации атомов примеси, Паунд и Хирс предпо-
ΔG∗ ≈ πεr∗ =
kT ln α
лагали равномерное распределение адатомов по по-
определял как свободную энергию образования кри-
верхности, что с точки зрения [8] является ошибоч-
тического дискообразного зародыша (мономолеку-
ным в случае существования поверхностной диф-
лярной высоты l0) на поверхности, где ε — энергия
фузии. Действительно, в терминах числа Кнудсена,
на единицу длины края мономолекулярной ступени,
Kn = λ/r (где λ — длина свободного пробега мо-
s′ ≈ l20 — удельная площадь поверхности, приходя-
номеров, или средняя длина скачка, r — радиус за-
щаяся на один адатом,
родыша), этот подход соответствует свободномоле-
p
n
кулярному режиму, Kn ≫ 1, и может быть хорошо
α=
=
p0
n0
обоснован для классической задачи конденсации за-
родышей из пара.
— коэффициент насыщения (см. также разд. 2).
Однако в случае решеточной диффузии в кри-
В этой теории
сталле или по поверхности кристалла, когда λ ≈ l0,
1
справедливым оказывается противоположное нера-
ω∗ ≈
n2πr∗l0
4
венство, Kn ≈ l0/r ≪ 1, что соответствует «конти-
— частота, с которой адатомы присоединяются к
нуальному», или диффузионному, режиму массопе-
критическому зародышу, определяемая произведе-
реноса. В этом случае диффузионный профиль кон-
нием количества адатомов, расположенных в бли-
центрации адатомов вокруг зародыша имеет харак-
жайшей окрестности к зародышу, ≈ 2nπr∗l0, и час-
терный размер xs = (Dsτs)1/2, определяемый как
тоты их скачков по поверхности,
среднеквадратичное смещение адатома за время его
(
)
средней жизни τs на поверхности перед испарением
ΔGsd
ν ≈ νs exp
-
,
с поверхности ([8]; см. также ниже). Соответственно,
kT
подход Паунда - Хирса [10, 12] для зарождения на
умноженным на вероятность скачка в направлении
грани кристалла, основанный на предположении о
критического зародыша, равную 1/4. Здесь νs —
равномерном распределении адатомов на поверхно-
частота колебаний адатомов, а величина Gsd пред-
сти, становится справедливым лишь в пределе xs ∼
полагается равной энергии активации поверхност-
∼ l0, когда диффузионные профили исчезают.
ной диффузии; таким образом, с учетом выражения
Следовательно, в этом случае рост одиночного
для коэффициента диффузии поверхности,
зародыша на плоской грани контролируется поверх-
(
)
1
ΔGsd
ностным диффузионным переносом адатомов, свя-
Ds ≈
l20s exp
-
,
занным с неоднородным распределением адатомов
4
kT
521
5
ЖЭТФ, вып. 4 (10)
М. С. Вещунов
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
вокруг зародыша, n (r), и вычисляемым в рамках
p — фактическое парциальное давление пара, p0 —
модели Кабреры и Бартона [8] (см. также [13]). Сле-
значение насыщения.
дует заметить, что при решении задачи диффузии
В этих обозначениях минимальная работа при-
адатомов к растущему зародышу проблема зароды-
нимает вид
шеобразования рассматривалась в работе [8] лишь
πε
на качественном уровне.
Rmin (a) = πacrε -
(a - acr)2 ,
(9)
acr
Легко понять, что реализация предложенного в
[8, 13] механизма роста зародышей, адекватно учи-
при этом равновесное число N (n) (на единицу пло-
тывающего диффузионный перенос адатомов к рас-
щади) зародышей с n адатомами, n ≫ 1, оценивает-
тущему зародышу, должна существенно снизить
ся (см. Приложение) как
скорость нуклеации по сравнению с упрощенным
(
)
Rmin
подходом [10-12]. В частности, это позволяет пред-
N (n) ≈ n0∞ exp
-
(10)
kT
положить, что фактор Зельдовича, входящий в (3),
может быть значительно переоценен в рамках тра-
Функция равновесного распределения зародышей
диционного подхода и, следовательно, должен быть
по размерам f0 (a) da, определяемая как количество
пересчитан с использованием диффузионного меха-
зародышей в диапазоне размеров от a до a + da, мо-
низма роста зародышей.
жет быть пересчитана из уравнения (10) как
(
πa2
) 2πada
f0 (a) da = N (i)di = N i =
,
2. СКОРОСТЬ НУКЛЕАЦИИ
s′
s′
Для корректного рассмотрения зародышеобразо-
и, таким образом, принимает вид
вания в пересыщенном твердом растворе (первона-
(
)
a
πε
чально исследованном в [6,7]) Ландау и Лифшиц [14]
f0 (a) = f0 (acr)
exp
(a - acr)2
(11)
acr
kTacr
применили теорию Зельдовича [9] к механизму обра-
зования зародышей, который адекватно учитывает
Здесь
диффузионный перенос атомов к растущему ядру.
(
Модификация теории [9, 14] применительно к дву-
2πacr
πεacr )
f0 (acr) ≈
n0∞ exp
-
(12)
мерному зарождению на поверхности грани может
s′
kT
быть осуществлена следующим образом.
Используя эту функцию, скорость генерации кри-
Минимальная работа, необходимая для образо-
тических зародышей (на единицу площади) можно
вания круглого зародыша (террасы) радиусом a, со-
рассчитать как [14]
ставляет
⎛
⎞-1
2
∫
∞
πa
da
Rmin (a) = -
(μ - μ′) + 2πaε,
(7)
N
=⎝
⎠
,
(13)
s′
f0 (a)B (a)
0
где ε — энергия на единицу длины края террасы,
s′ ≈ l20 — удельная площадь адатома, Δμ = μ - μ′ —
где
разность химических потенциалов в двух фазах
kT
( da)
B (a) = -
адатомов (поверхностный решеточный газ и плот-
R′min (a) dtmacro
ный моноатомный слой соответственно). Критиче-
и
2πε
ский радиус зародыша, который дает экстремум для
R′min (a) = -
(a - acr) .
acr
Rmin в случае Δμ > 0, равен
Скорость роста двумерного зародыша, контроли-
′
εs
εs′
εs′
acr =
=
(
) =
,
(8)
руемая уравнением поверхностной диффузии адато-
Δμ
n
kT ln α
мов, в терминах безразмерной концентрации
kT ln
n0∞
n - n(r)
где n и n0∞ — соответственно средняя (вдали от
ψ (r) =
= α - α(r)
n0∞
зародыша) и равновесная (вблизи зародыша беско-
принимает вид
нечного радиуса) концентрации адатомов, α — ко-
эффициент насыщения, определяемый как
x2s▽2ψ (r) = ψ (r) ,
n
p
α=
=
≥ 1,
где
n0∞
p0
522
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
К теории двумерного гомогенного зарождения зародышей. . .
xs = (Dsτs)1/2
или в пределе α ≈ 1, соответствующем
— диффузионная длина [8,13]. Решение этого урав-
n0∞ ≈ n
нения
и
(
)
r
α-1
I0
≈ 1,
xs
ln α
ψ (r) = ψ (a)
), r < a,
сводится к выражению
( a
I0
√
(
xs
Ds
ε
πεacr )
N
≈ 2s′
n2
exp
-
(16)
(
)
xs
0∞ acr
kT
kT
r
K0
xs
Сравнивая этот результат с формулой (6), вы-
ψ (r) = ψ (a)
), r > a,
( a
веденной Хирсом [10], можно видеть, что при диф-
K0
xs
фузионном подходе в (16) возникает дополнитель-
с равновесным граничным условием
ный множитель 2l0/xs, который в [13] оценивался
как 10-2-10-3. Это подтверждает сделанное выше
(
)
′
εs
предположение, что входящий в уравнение (3) фак-
n (a) = n0a = n0∞ exp
akT
тор Зельдовича, вычисленный в [10] как
kT
определяет диффузионный поток к краю зародыша,
Z =
(ln α)3/2 = 10-2,
2πεl0
dn
dn
был переоценен в 10-2-10-3 раз и в итоге составляет
Js = -2πrDs
+ 2πrDs
=
dr
dr
r=a+0
r=a-0
kT
Z =
(ln α)3/2 ≈ 10-4-10-5.
2πDsn0∞ψ (a)
2πεxs
=-
) (
),
( a
a
K0
I0
xs
xs
3. СКОРОСТЬ РОСТА ПРИ МАЛОМ
ПЕРЕСЫЩЕНИИ
и скорость роста закритического («макро») зароды-
ша,
При малом пересыщении, α ≈ 1, временем роста
критического зародыша (до образования монослоя)
( da)
s′2πDsn0∞ψ (a)
=
) (
) =
можно пренебречь по сравнению с обратной скоро-
dt
( a
a
macro
стью его генерации
N-1, определяемой уравнением
2πaK0
I0
xs
xs
(16), которая в этом (так называемом «моноядер-
s′Ds
a-acr
ном») случае и определяет скорость перемещения
=
) (
) (n - n0∞)
,
грани,
( a
a
a
aK0
I0
√
xs
xs
ε
uf =
N Sl0 ≈ 2πDsL2s′ l0
n2
×
xs
0∞ acrkT
или при a/xs ≫ 1
(
πεacr )
× exp
-
,
(17)
( da)
2s′D
a-acr
s
kT
≈
(n - n0∞)
(14)
dtmacro
xs
a
где S ≈ πL2 — площадь грани.
Подставляя (8) в (17), получаем явную зависи-
Интегрирование уравнения (13), в пренебрежении
мость скорости роста от степени насыщения, кото-
гораздо более медленной зависимостью от a пред-
рую можно использовать для сравнения с измерени-
экспоненциального множителя, в рассматриваемом
ями,
двумерном случае приводит к выражению
√
l0
ln α
N
≈ B (acr)f0 (acr) ×
uf ≈ 2πDsL2s′
n2
×
xs
0∞ s′
⎛
⎞-1
∫
∞
[
(
)]
(
)
πε
πε2
s′
s′
√
×⎝ exp -
(a - acr)2
da⎠
≈
× exp
-
≈ 2πDsL2
n20∞
ln α ×
kTacr
(kT)2 ln α
xs
0
(
)
√
(
πε2
s′
α-1
Ds
ε
πεacr )
× exp
-
(18)
≈
2s′
n2
exp
-
,
(15)
ln α
xs
0∞ acrkT
kT
(kT )2 ln α
523
5*
М. С. Вещунов
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
Аналогичная попытка расчета скоростей зарож-
тора Зельдовича (входящего в выражение для ско-
дения и роста граней в рамках диффузионного под-
рости нуклеации (1) и оцениваемого в традиционном
хода была предпринята в работе [15]. Однако аль-
подходе как Z
= 10-2). Этот результат становит-
тернативный, упрощенный метод расчета привел
ся существенным для анализа экспериментальных
к ошибочному предсказанию зависимости скорости
измерений скорости роста кристаллов вблизи точки
роста от степени насыщения α (которая впослед-
насыщения [16].
ствии была использована в работе [16] для интерпре-
тации экспериментальных наблюдений). А именно,
ПРИЛОЖЕНИЕ
по сравнению с уравнениями (15) и (18) в [15] был
получен дополнительный множитель ln α, который
Для зародышеобразования в газовой фазе рав-
стремится к 0 при α → 1 и, таким образом, зна-
новесное число ядер Ni (состоящих из i мономеров)
чительно снижает скорости зародышеобразования и
рассчитывалось в работе [3] в терминах химического
роста грани вблизи точки насыщения. В результате
равновесия, iC1 ↔ Ci, между мономерами и крити-
полученное соотношение для скорости зародышеоб-
ческими зародышами, рассматриваемыми как смесь
разования не сходилось к классическому выраже-
двух идеальных газов Ci и C1, в виде
нию (6) в пределе xs ∼ l0 (когда диффузионный про-
филь вокруг ядра исчезает, см. разд. 1). Кроме то-
iμ1 = μi,
(A.1)
го, следуя модифицированной теории Паунда - Хир-
где μ1,i — химические потенциалы двух компонент
са [11] (см. Приложение), в расчетах [15] был опущен
(соответственно C1 и Ci).
фактор ns′ ≪ 1, происходящий из определения (2);
Для зародышеобразования в кристаллической
это может частично компенсировать лишний мно-
решетке (3d или 2d) условие равновесия между мо-
житель ln α ≪ 1 в пределе α → 1, но при этом будет
номерами и кластерами, C1 и Ci, распределенными
сильно завышать скорость нуклеации при больших
по кристаллической решетке (а не в газовой фазе),
пересыщениях.
следует уточнить. Из-за их взаимодействий (столк-
новений) термодинамические потенциалы системы
не равны сумме термодинамических потенциалов
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
для каждого компонента, и свободная энергия Гибб-
са может быть вычислена аналогично рассмотренно-
Критически проанализирована и уточнена клас-
му в [17] случаю слабого раствора следующим обра-
сическая теория [10-12] гомогенного образования
зом.
двумерных зародышей на плоских плотноупакован-
Пусть Φ0 (P, T, N) = N1μ0 (P, T) — свободная
ных гранях бездислокационного кристалла, расту-
энергия Гиббса решеточного газа мономеров («рас-
щего из пара. В частности, было показано, что под-
творителя»), где μ0 (P, T) — химический потенци-
ход Паунда - Хирса [10-12] для определения скоро-
ал мономеров, а N1 — их количество. Пусть α
сти зародышеобразования на грани кристалла, осно-
обозначает небольшое изменение, которое произо-
ванный на предположении об однородном распреде-
шло бы в свободной энергии при добавлении в рас-
лении адатомов вокруг ядра, оказывается справед-
творитель одного кластера («растворенной молеку-
ливым лишь в пределе xs ∼ l0, где xs — диффузи-
лы»). Из-за взаимодействий кластеров с мономера-
онная длина, l0 — постоянная решетки. Однако этот
ми (например, в результате пермутаций (переста-
предел вряд ли может быть достигнут в реальном
новок) мономеров между кластерами, рассмотрен-
случае роста кристалла из паровой фазы (с типич-
ных в [18]) это значение следует рассматривать как
ным значением xs/l0 ∼ 102-103 [13]).
функцию от N1, т.е. α = α (P, T, N1). Благодаря то-
Соответственно, более последовательный подход
му, что Ni ≪ N1, взаимодействиями между класте-
к проблеме зародышеобразования, основанный на
рами можно пренебречь и, таким образом, свобод-
диффузионной теории роста одиночного зародыша
ная энергия системы принимает вид
на плоской грани [8, 13], был развит в настоящей
статье путем распространения формализма Зельдо-
Φ = N1μ0 (P,T)+Niα(P,T,N1)+kT ln(Ni!), (A.2)
вича [9,14] на двумерный случай. В результате пока-
зано, что скорость нуклеации, рассчитанная Хирсом
где последнее слагаемое учитывает идентичность
[10], была занижена на дополнительный множитель
всех кластеров одного сорта i. Это выражение в точ-
l0/xs, что можно интерпретировать как значитель-
ности совпадает со свободной энергией слабого рас-
ное завышение (в 102-103 раз) неравновесного фак-
твора, что приводит к следующим выражениям, по-
524
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
К теории двумерного гомогенного зарождения зародышей. . .
лученным в [17]: для химического потенциала рас-
что приводит к формуле (10),
творителя
(
)
ΔGi
μ1 = μ0 - kTci ≈ μ0,
(A.3)
ci ≈ n0∞ exp
-
(A.8)
kT
где
Ni
Ni
В последующих после [10, 12] статьях Хирс и
ci =
≈
≪ 1,
N1 + Ni
N1
Паунд модифицировали уравнение (A.7), полагая,
и растворенного вещества
что при выводе этого уравнения мономеры и класте-
ры рассматривались как локализованные (см., на-
μi = kT ln ci + ψi,
(A.4)
пример, [11]). По этой причине они ошибочно до-
бавили к свободной энергии образования кластеров
где ψi представляет собой свободную энергию («ло-
кализованного») кластера, а логарифмический член
ΔGi статистический член, отвечающий за «делока-
лизацию» кластеров по поверхности, что в конеч-
kT ln ci учитывает случайное распределение («дело-
кализацию») кластеров в растворенном веществе. В
ном итоге привело к дополнительному коэффици-
енту N0/N1 (N0 — число узлов в поверхностной ре-
результате закон действующих масс, полученный из
условия равновесия (A.1), принимает вид
шетке) или замене c1 на 1 в уравнении (A.7). Та-
ким образом, в модифицированном подходе эффект
Ni
ci ≈
= K (T)
(A.5)
делокализации кластеров учитывался дважды (пер-
N1
вый раз в уравнении (A.4)), что привело к сильному
с константой равновесия
завышению окончательного результата в N0/N1 раз.
(
)
(
)
Чтобы избежать этого недоразумения и допол-
ψi - iμ0
ΔGi
Ki (T) = exp
-
= exp
-
, (A.6)
нительно обосновать (A.8), этот результат может
kT
kT
быть независимо подтвержден в кинетическом под-
где
ходе, который был использован в работе [3] для рас-
ΔGi = Rmin (a)
смотрения неравновесных концентраций кластеров
в приближении Фоккера - Планка (приводящего к
— свободная энергия (или минимальная работа) об-
разования (локализованного) кластера радиуса
возникновению фактора Зельдовича [9]). Для рас-
чета равновесного распределения кластеров по раз-
)1/2
′
(is
мерам этот подход можно свести к рассмотрению
a=
,
π
нулевого потока в «пространстве размеров», J = 0
(вместо ненулевого постоянного потока в неравно-
так что
(
)
ΔGi
весном стационарном случае [3]). В этом пределе
ci = c1 exp
-
(A.7)
kT
роста кластеров не происходит, поскольку скорости
Если концентрации других кластеров Ck с k = i
образования и распада кластеров любого размера
равны, что в терминах модели Хирса [12], представ-
также малы, ck ≪ 1, их вклады в полную свобод-
ленной в разд. 1, принимает вид
ную энергию системы линейны и, таким образом,
их концентрации подчиняются соотношениям, по-
J = J+ - J- = ωi-1ci-1 - ω′ici = 0,
(A.9)
добным уравнению (A.7).
Как отмечено в [14], термодинамическое рас-
где J+ — поток мономеров, конденсирующихся на
смотрение функции распределения зародышей по
кластерах Ci-1, J- — поток испарения из кластеров
размерам справедливо только в применении к пол-
Ci. Как отмечено в работе [12], поток испарения из
ному статистическому равновесию и, таким обра-
кластера равен потоку атомов, конденсирующихся
зом, может быть расширено для приближенного
в кластер из популяции мономеров, находящихся в
рассмотрения неравновесных (метастабильных) сис-
равновесии с кластером, и, таким образом,
тем только в небольшой окрестности состояния рав-
n0a
новесия (насыщения), т. е. при
ω′i
=ωi
,
n
P
где
(
)
α=
≈ 1.
εs′
P0
n0a = n0∞ exp
akT
В этом пределе концентрация мономеров близка к
(см. обозначения в разд. 2), и с достаточной точнос-
их равновесной (насыщенной) концентрации,
тью ωi ≈ ωi-1. Таким образом, из уравнения (A.9)
n0∞
c1 =
≈n0∞,
получаем
α
525
М. С. Вещунов
ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021
(
)
(
)
ci-1
P0
εs′
1
εs′
3.
M. Volmer and A. Weber, Z. Phys. Chem. 119, 277
=
exp
=
exp
=
ci
P
akT
α
akT
(1926).
(
)
1/2
1
εs′1/2π
4.
R. Becker and W. Doering, Ann. Phys. 24, 719
=
exp
,
(A.10)
α
i1/2kT
(1935).
или аналогично расчетам в 3d-случае [19]
5.
R. Kaishew and I. Stranski, Z. Phys. Chem. B 26,
317 (1934).
c1
c1 c2
ci-1
1
=
≈
×
ci
c2 c3
ci
αi-1
6.
J. Frenkel, Sowjet Phys. 1, 498 (1932).
(
)
1/2
∑
εs′1/2π
7.
R. Becker, Ann. Phys. 32, 128 (1938).
× exp
k-1/2
≈
kT
k=2
8.
N. Cabrera and W. K. Burton, Disc. Faraday Soc. 5,
⎛
⎞
∫
i
40 (1949).
1/2
1
≈
exp⎝εs′1/2π
k-1/2dk⎠, (A.11)
αi-1
kT
9.
Ja. B. Zeldovich, Acta Physicochim. URSS 18, 1
0
(1943).
в результате чего
(
)
10.
G. M. Pound, M. T. Simnad, and L. Yang, J. Chem.
1/2
2εs′1/2π1/2i
Phys. 22, 1215 (1954).
ci = c1αi-1 exp
-
=
kT
11.
J. P. Hirth and G. M. Pound, Condensation
(
)
1/2
and Evaporation: Nucleation and Growth Kinetics,
2εs′1/2π1/2i
= n0∞αi exp
-
=
Macmillan, London (1963).
kT
(
)
1/2
12.
J. P. Hirth, Acta Met. 7, 755 (1959).
2εs′1/2π1/2
i
= n0∞ exp
-
+ ilnα
=
kT
13.
W. K. Burton, N. Cabrera, and F. C. Frank, Phil.
(
)
Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, Math. Phys. Sci.
ΔGi
= n0∞ exp
-
,
(A.12)
243(866), 299 (1951).
kT
что в точности совпадает с формулой (A.8).
14.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-
зика, т. 10, Физическая кинетика, Наука, Москва
(1978).
Благодарности. Автор благодарит В. И. Тара-
сова (ИБРАЭ РАН) за внимательное чтение руко-
15.
B. Lewis, J. Cryst. Growth 21, 29 (1974).
писи и ценные замечания.
16.
B. Lewis, J. Cryst. Growth 21, 40 (1974).
17.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая фи-
ЛИТЕРАТУРА
зика, т. V, Статистическая физика, ч. 1, Наука,
1. W. Kossel, Nachr. Ges. Wiss. Goettingen 2,
135
Москва (1976).
(1927).
18.
H. Reiss and J. L. Katz, J. Chem. Phys. 46, 2496
2. M. Volmer, Kinetics of Phase Formation (Kinetik
(1967).
der Phasenbildung), Dresden and Leipzig, Steinkopf
19.
S. K. Friedlander, Smoke, Dust and Haze: Fundamen-
pdf.
tals of Aerosol Behavior, New York (1977).
526
