ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 4 (10), стр. 508-519

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ГРАВАСТАРОВ

ДЛЯ СЛУЧАЯ ЧД ABG

М. Шариф^*, Ф. Джавед^**

Department of Mathematics, University of the Punjab

Lahore-54590, Pakistan

Поступила в редакцию 5 мая 2021 г.,

после переработки 22 мая 2021 г.

Принята к публикации 27 мая 2021 г.

(Перевод с английского)

DYNAMICAL STABILITY OF GRAVASTARS COVERED

WITH ABG BLACK HOLES

M. Sharif, F. Javed

Построена геометрия гравастаров с тонкой оболочкой на основе сшивания внутреннего решения де Ситте-

ра и внешней черной дыры Айон-Беато - Гарсиа (де Ситтера). На тонкой оболочке эти два пространства-

времени связываются с помощью техники “cut and paste”. Наличие тонкого слоя материи на тонкой

оболочке играет важную роль для объяснения динамики и устойчивости гравастаров. Оказалось, что

физические характеристики, такие как собственная длина, энтропия и энергетические условия зависят

от толщины оболочки. Устойчивость гравастаров исследуется с использованием линеаризованного ра-

диального возмущения и баротропного уравнения состояния. Получено, что области устойчивости для

черных дыр Айон-Беато и Гарсиа - де Ситтера больше, чем для черных дыр Айон-Беато и Гарсиа, а также

для черных дыр Шварцшильда. Оказалось, что гравастары с тонкой оболочкой более устойчивы, если

для баротропного уравнения состояния радиус оболочки меньше, чем ожидаемый горизонт событий.

DOI: 10.31857/S0044451021100072

дает достаточно информации относительно физиче-

ских характеристик ЧД. Астрономические объекты,

которые гипотетически можно было бы интерпрети-

1. ВВЕДЕНИЕ

ровать как ЧД, — это гравастары (звезды гравита-

ционного вакуума). Эту гипотезу предложили Ма-

Гравитационный коллапс массивной звезды при-

зур и Мотолла в работе [1]. Основная идея заклю-

водит к формированию области пространства-вре-

чается в предотвращении формирования горизонта

мени с сильными гравитационными эффектами, от-

событий и сингулярностей, если остановить коллапс

куда ничто не может вырваться, даже свет. Полная

материи на горизонте событий или вблизи него.

масса звезды сжимается к центральной точке, по-

этому в точке центральной сингулярности кривиз-

В работе [1] рассматривался холодный компакт-

на пространства-времени становится бесконечной.

ный объект, состоящий из внутренней области, ко-

Такие области называются черными дырами (ЧД).

торой соответствует геометрия де Ситтера (DS), и

Черные дыры невозможно наблюдать из-за наличия

внешней области, которой соответствует геометрия

горизонта событий и центральной сингулярности. В

Шварцшильда, при этом к гравитационным струк-

настоящее время общая теория относительности не

турам применялся принцип бозе-эйнштейновской

^* E-mail: msharif.math@pu.edu.pk

конденсации. Эти области с различными геомет-

^** E-mail: faisalrandawa@hotmail.com

риями разделены границей фаз, имеющей малую

508

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Динамическая устойчивость гравастаров для случая ЧД ABG

конечную толщину (r_i - r_o

= δ), также извест-

влияние на их устойчивость электрического заря-

ную как тонкая оболочка; здесь r_i и r_o — соответ-

да, скорости звука, параметра УС и поверхностно-

ственно внутренний и внешний радиусы граваста-

го красного смещения. В работе [15] было получе-

ра. Следовательно, распределение материи в этих

но, что при наличии электромагнитного поля гра-

областях можно описывать с помощью соответству-

вастары имеют устойчивую конфигурацию, а также

ющих уравнений состояния (УС), имеющих следую-

рассматривался гравастар в мире на бране с ЧД в

щий вид:

качестве внешнего многообразия.

В работе [16] представлен новый вид граваста-

• Для внутреннего многообразия 0 ≤ r < r_i

ра, полученный подстановкой фантома Борна - Ин-

фельда для внутренней геометрии DS. В работе

p = -ρ,

[17] была построена динамическая модель прототи-

па гравастаров, заполненных фантомной энергией.

• Для тонкой оболочки r_i < r < r_o

В этой работе исследовались гравастары с тонкой

оболочкой с внешним пространством-временем Вай-

p = ρ,

дьи, заполненные идеальной жидкостью. Было по-

лучено, что при различных распределениях материи

• Для внешнего многообразия r_o < r

на тонкой оболочке такая структура может пред-

ставлять собой частичный (“bounded excursion”) гра-

p = 0 = ρ.

вастар или коллапсировать к геометрии ЧД. В ра-

Здесь ρ — плотность энергии, а p — давление. Рас-

боте [18] в рамках подхода Чандрасекара исследова-

пределение материи в промежуточной области игра-

лись гравастары с непрерывным давлением, а также

ет важную роль для преодоления эффектов грави-

было получено уравнение состояния для статическо-

тационного коллапса, поскольку является источни-

го случая. В работе [19] приведено краткое исследо-

ком достаточного давления для поддержания устой-

вание гравастара в размерности (2 + 1) и исследо-

чивой геометрии рассматриваемой структуры. В ра-

ваны его физические характеристики, такие как эн-

боте [2] для вычисления физических величин для

тропия, длина, а также различные энергетические

материальной поверхности на тонкой оболочке ис-

условия. Физические характеристики и устойчивые

пользовался формализм Израэля. В работе [3] для

конфигурации некоммутативных гравастаров рас-

получения геометрической структуры гравастара

смотрены в работе [20]. Было показано, что вблизи

при отсутствии центральной сингулярности и гори-

ожидаемого горизонта событий должны существо-

зонта событий использовался метод “cut and paste”,

вать устойчивые области. В работе [21] с использова-

который позволяет сшивать внутреннее многообра-

нием радиальных возмущений исследовалась устой-

зие DS и внешнее многообразие, соответствующее

чивость некоммутативных гравастаров.

ЧД Шварцшильда. В работах [4-11] этот метод ис-

В 1968 г. Бардин предложил использовать регу-

пользовался для объяснения кротовых нор с тон-

лярные ЧД как решения полевых уравнений Эйн-

кой оболочкой, образованных из двух эквивалент-

штейна [22]. Такие области пространства-времени

ных копий пространства-времени ЧД.

содержат горизонт событий, однако из них исклю-

В работе [12] представлена простейшая модель

чена центральная сингулярность. Затем Айон-Беато

гипотезы Мазура - Моттолы с использованием ме-

и Гарсиа [23] расширили эту концепцию ЧД в рам-

тода “cut and paste” для внешнего и внутреннего

ках нелинейной электродинамики, получив ЧД, из-

многообразий. В работе [13] рассматривались гра-

вестные как ЧД ABG. Авторы работы [24] предло-

вастары с тонкой оболочкой для различных случа-

жили регулярные ЧД ABG, связанные с космоло-

ев внутренней и внешней геометрий, а именно, мно-

гической постоянной, такие ЧД известны как ЧД

гообразий ЧД DS или анти-DS в качестве внутрен-

ABG-DS. Построение гравастаров с тонкой оболоч-

ней геомтрии и ЧД Шварцшильда-DS/анти-DS или

кой и исследование их устойчивости для различных

Райснера - Нордстрема (RN) в качестве внешней. В

внешних регулярных ЧД является одной из инте-

этой работе рассматривались различные значения

ресных задач общей теории относительности. Устой-

параметров, при которых для гравастара получа-

чивость гравастаров с тонкой оболочкой в контек-

ются устойчивые решения, а также были получены

сте регулярного пространства-времени (ЧД Барди-

различные качественные результаты для уравнения

на и ЧД Бардина-DS) исследовалась в работе ав-

состояния. В работе [14] рассматривались граваста-

торов [25]. Были исследованы физическая достовер-

ры с электрическим зарядом, а также исследовалось

ность предложенной модели с использованием энер-

509

М. Шариф, Ф. Джавед

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

гетических условий и устойчивость с использовани-

чить точное несингулярное решение, удовлетворяю-

ем радиальных возмущений оболочки относительно

щее слабым энергетическим условиям. Электричес-

положения равновесия. Затем в работе [26] были ис-

кое поле, соответствующее регулярному решению

следованы устойчивые и динамические конфигура-

полевых уравнений, имеет вид [23, 24]

ции гравастаров с тонкой оболочкой для ЧД Хэй-

15Qr⁴⁺m

Qr⁴⁺(r²⁺ - 5Q²)

ворда для массивного и безмассового скалярных по-

2(r²⁺ + Q²)7/2

(r²⁺ + Q²)⁴

лей. Недавно авторы исследовали влияние перемен-

ного УС на устойчивые конфигурации гравастаров

При больших значениях r₊ это решение асимпто-

с тонкой оболочкой для заряженной ЧД Киселева в

тически соответствует решению для ЧД RN. Соот-

качестве внешнего многообразия [27]. Интересно за-

ветствующая метрическая функция и электричес-

метить, что области устойчивости уменьшаются при

кое поле принимают вид

возрастании величины заряда и увеличиваются при

(

)

возрастании космологической постоянной.

Q²

Λr²⁺

B₊(r₊) = 1 -

В настоящей работе рассматриваются граваста-

r²⁺

r³

ры для случаев ЧД ABG и ABG-DS. Работа постро-

(

)

ена следующим образом. В разд. 2 приведен фор-

Q²

мализм гравастаров с тонкой оболочкой и рассмот-

r²⁺

r³

рена их динамика. В разд. 3 с использованием ра-

Используем теперь подход Виссера для сшива-

диального возмущения и баротропного УС исследу-

ния внутреннего пространства-времени ЧД DS и

ется устойчивость гравастаров с тонкой оболочкой.

внешнего пространства-времени регулярной ЧД на

Наконец, в последнем разделе обобщаются получен-

тонкой оболочке. Плотность энергии и давление ма-

ные результаты.

терии, располагающейся на тонкой оболочке, имеют

вид [25]

2. ФОРМАЛИЗМ ГРАВАСТАРОВ

{√

}

√

ρ=-

u² + B₊(u) -

u² + B_-(u)

(2)

4πu

Чтобы исследовать геометрическую структуру

гравастара с тонкой оболочкой, выберем ЧД DS в

{

качестве внутреннего многообразия и ЧД ABG-DS

2u² + 2uü + 2B₊(u) + uB′+(u)

в качестве внешнего. Будем использовать метод “cut

√

8πu

u² + B₊(u)

and paste”. Обозначим внутреннюю и внешнюю гео-

}

метрии как Υ^- и Υ⁺, соответственно. Линейный

2u² + 2uü + 2B_-(u) + uB^′-(u)

√

(3)

элемент этих многообразий можно записать как [24]

u² + B_-(u)

ds2± = -B_±(r_±)dt2± + B-1±(r_±)dr2± +

Заметим, что

+ r2±(dθ2± + sin2 θ_±dφ2±),

(1)

u₀ = ü₀ = 0,

где u₀ — равновесный радиус оболочки. Компонен-

где

ты тензора энергии-импульса при u = u₀ имеют вид

r2-

B_-(r_-) = 1 -

α²

{√

√

}

ρ₀ = -

B₊(u₀) -

B_-(u₀)

(4)

2r²⁺m

Q²m

Λr²⁺

4πu₀

B₊(r₊) = 1 -

(r²⁺ + Q²)²

{

здесь α — ненулевая постоянная, Λ — космологичес-

2B₊(u₀) + u₀B′+(u₀)

кая постоянная, Q — заряд, а m — масса регуляр-

p₀ =

√

8πu₀

B₊(u₀)

ной ЧД. Оказывается, ЧД ABG-DS сводится к ЧД

}

ABG, если космологическая постоянная обращается

2B_-(u₀) + u₀B^′-(u₀)

√

(5)

в нуль, и к ЧД Шварцшильда, если Q = 0 = Λ. В ра-

B_-(u₀)

боте [23] представлено регулярное решение, связан-

ное с чисто нелинейной электродинамикой; обычная

Мы использовали физические параметры рассмат-

линейная теория Максвелла получается в прибли-

риваемой структуры, такие как гравитационная по-

жении слабого поля. Такое взаимодействие гравита-

стоянная (G), космологическая постоянная (Λ), за-

ции и нелинейной электродинамики позволяет полу-

ряд (Q), масса тонкой оболочки (M), масс ЧД

510

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Динамическая устойчивость гравастаров для случая ЧД ABG

Рис. 1. Зависимости собственной длины l [км] оболочки от толщины ϵ [км] для q = 0.5 (синий), q = 0.9 (красный),

q = 1.2 (зеленый) (левая панель) и Λ = 0.1 (синий), Λ = 0.3 (красный), Λ = 0.5 (зеленый) (правая панель)

√

(m), равновесный радиус оболочки (u₀) и α. Эти

df(r)

B-1+(r) =

величины имеют следующую размерность: Λ

= 4.33 · 10-66эВ2 = α, M = 3.36 · 1066эВ, G =

откуда

= 6.72 · 10-57эВ-2 [28]. Масса тонкой оболочки при-

близительно в три раза больше массы Солнца, что

∫

df(r)

представляет собой нижнюю границу массы ЧД.

dr = f(u + ϵ) - f(u) ≈

Равновесный радиус оболочки измеряется в кило-

метрах. Однако удобнее использовать безразмерные



√

величины физических параметров: m = 0.5, Λ = 0.5



df(r)

≈ ϵ



= ϵ B-1+ (u).

и α = 0.5, Q = 0.5 для подходящей области значе-



r=u

ний u₀. Эти значения могут оказаться полезны при

рассмотрении влияния физических параметров на

Поскольку 0 < ϵ ≪ 1, мы пренебрегаем квадратич-

физические характеристики и устойчивость грава-

ными и более высокими степенями ϵ. Отсюда имеем

старов с тонкой оболочкой [5-10].

[

]-1/2

2u²m

Q²m

Λu²

l=ϵ 1-

(u² + Q²)3/2

(u² + Q²)²

2.1. Физические характеристики

Из этого выражения видно, что собственная дли-

Рассмотрим некоторые физические характери-

на пропорциональна толщине оболочки. Поскольку

стики гравастаров с тонкой оболочкой, такие как

приведенное выше выражение является сложным,

собственная длина, энтропия и плотность энергии

для исследования влияния величины заряда и кос-

на поверхности оболочки. Пусть внешней и внут-

мологической постоянной на поведение собственной

ренней границам оболочки отвечают радиусы r = u

длины был проведен численный анализ. Было полу-

и r = u + ϵ, где ϵ — собственная толщина тонкой

чено, что собственная длина возрастает с ростом Λ

оболочки, причем 0 < ϵ ≪ 1. Собственная толщина

и убывает с ростом заряда, см. рис. 1.

промежуточной области вычисляется как [29, 30]

Энтропия является мерой возмущения или бес-

порядка в геометрической структуре. Мы вычисля-

u+ϵ

√

ем энтропию в области оболочки как [29,30]

B-1+(r)dr =

√

S = ϵηu²

8πp(u)B-1+(u),

u+ϵ

√

где η — безразмерный параметр. Из этого выра-

2r²m

Q²m

Λr

жения видно, что энтропия также пропорциональ-

(r² + Q²)3/2

(r² + Q²)²

на толщине оболочки. Зависимости энтропии S от

толщины оболочки при различных значениях Q и Λ

Это уравнение можно решить, предполагая

приведены на рис. 2. Видно, что энтропия убывает с

511

М. Шариф, Ф. Джавед

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Рис. 2. Зависимости энтропии оболочки от ее толщины

Рис. 3. Зависимости распределения энергии оболочки от ее толщины

(√

√

)

p₀

ростом Λ и возрастает с ростом заряда. Более того,

Δ^-(u₀)-Δ⁺(u₀) =

B₊(u₀)+

B_-(u₀)

2u₀

распределение энергии в рассматриваемой структу-

(

)

ре определяется выражением [29, 30]

ρ₀

B₊(u₀)^′

B_-(u₀)^′

√

(6)

B₊(u₀)

B_-(u₀)

u+ϵ

где Δ^±(u₀) — напряжение, действующее вдоль ра-

ε=

4πr²ρ(r)dr ≈ 4ϵπu²ρ(u).

диального направления тонкой оболочки, для внут-

ренней и внешней геометрий. Приведенное выше

уравнение определяет радиальные напряжения и их

Видно, что распределение энергии пропорциональ-

разность в терминах компонент тензора энергии-

но ϵ. Распределение энергии внутри оболочки оди-

импульса материальной поверхности для равновес-

наково для всех значений заряда и возрастает при

ного радиуса оболочки. Видно, что напряжение

увеличении Λ (см. рис. 3).

вдоль радиального направления для внешнего ва-

куумного решения обращается в нуль, т. е.

Δ⁺(u₀) = 0.

2.2. Равновесное уравнение состояния

Для исследования динамики гравастаров будем

Равновесное уравнение состояния для давления

предполагать, что плотность поверхностной энер-

можно получить, используя компоненты внешней

гии при u

= u₀ обращается в нуль. Поэтому

кривизны для обоих многообразий [31]:

соответствующее уравнение (6) принимает вид

512

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Динамическая устойчивость гравастаров для случая ЧД ABG

Рис. 4. Динамика гравастаров с тонкой оболочкой при различных значениях Λ, m = 0.5

Рис. 5. Динамика гравастаров с тонкой оболочкой при различных значениях α, m = 0.5

(√

√

)

p₀

Δ^-(u₀) =

B₊(u₀) +

B_-(u₀)

(7)

ния гравастаров с тонкой оболочкой убывают с рос-

2u₀

том Λ (см. рис. 5, левая панель). Кроме того, для

Это уравнение описывает соотношение между

пространства-времени Шварцшильда гравастар де-

монстрирует только расширение, при этом для ЧД

радиальным напряжением внутреннего пространст-

ABG-DS и ЧД ABG он демонстрирует как расши-

ва-времени (Δ^-(u₀)) и поверхностным давлением

рение, так и коллапс (см. рис. 6, правая панель).

тонкого слоя материи на оболочке.

Нетрудно видеть, что если Δ^-(u₀) < 0, то p₀ < 0,

а при расширении оболочки Δ^-(u₀) > 0 имеем

p₀ > 0, что соответствует коллапсирующему пове-

3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

дению гравастаров с тонкой оболочкой. Рисунок 4

иллюстрирует динамику гравастаров с тонкой обо-

лочкой, а именно, зависимости поверхностного дав-

В данном разделе мы рассмотрим характеристи-

ки устойчивости гравастаров, используя линеаризо-

ления от u = u₀. На левой и правой панелях рис. 4

ванное радиальное возмущение относительно u = u₀

видно, что при Λ < 0.8 гравастар с тонкой оболочкой

и баротропное УС. Для этого рассмотрим уравнения

претерпевает сначала коллапс, а затем расширение,

сохранения и уравнение движения гравастара с тон-

тогда как при Λ ≥ 0.8 происходит только коллапс.

кой оболочкой. Из (2) получаем

Аналогично, как видно на рис. 5, гравастар с тон-

кой оболочкой демонстрирует коллапс, только если

α ≥ 2. Оказалось, что скорости коллапса и расшире-

u² + Ω(u) = 0,

513

М. Шариф, Ф. Джавед

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Рис. 6. Динамика гравастаров с тонкой оболочкой для ЧД ABG-DS (синий, Λ = 0, Q = 5), ABG (красный, Λ = 0,

Q = 0.5) и Шварцшильда (зеленый, Λ = 0, Q = 0), m = 0.5

(

)

где

B₀ = -

4p²⁰ + 6p₀ρ₀ + 3ρ²⁰

256π⁴u⁴⁰ρ⁴⁰ +

(

+u₀ρ₀

u₀ρ₀

B_-(u₀)^′′

16π²u²⁰ρ²⁰ - B_-(u₀) +

(

))

Ω_ABGDS(u) =

u²

+ B₊(u₀)) +B₊(u₀)^′′

B_-(u₀)+16π²u²⁰ρ²⁰-B₊(u₀)

(u² + Q²)3/2

)^′ -

+ 2B_-(u₀)^′ (u₀ρ₀B₊(u₀

)

- 2(B_-(u₀) - B₊(u₀))(2p₀ + ρ₀))-

(u² + Q²)

α²

- u₀ρ0 (B_-(u₀)^′)² - u₀ρ0 (B₊(u₀)^′)²

(

)₂

+ 4B₊(u₀)^′(2p₀ + ρ₀)(B_-(u₀) - B₊(u₀))) -

(

)

(

12p²⁰+10p₀ρ₀+ρ²⁰

B_-(u₀)²+2B_-(u₀)

12p²⁰+ρ²⁰ +

+Λ

α²

(

)

(u² + Q²)3/2

(u² + Q²)

−

+ 10p₀ρ₀)B₊(u₀) - B₊(u₀)²

12p²⁰ + 10p₀ρ₀ + ρ²⁰

576π²ρ²

а η²⁰ = dp/dρ|u=u0 — параметр УС. Области устой-

- 4π²u²ρ²,

чивости гравастаров с тонкой оболочкой можно ха-

(

рактеризовать следующим образом:

Ω_ABG(u) =

u²

если Υ₀ < 0, то η²⁰ < B₀/Υ₀,

(u² + Q²)3/2

если Υ₀ > 0, то η²⁰ > B₀/Υ₀.

)

Устойчивость гравастара с тонкой оболочкой

- 4π²u²ρ² -

α²

можно анализировать, рассматривая изменения

(u² + Q²)

(

)₂

B₀/Υ₀ и η²⁰ при различных значениях физических

параметров, а именно, α, Q, m и Λ. Оказалось,

(u² + Q²)3/2

(u² + Q²)²

α²

что области устойчивости гравастаров зависят от

заряда, причем при его росте они уменьшаются (см.

64π²ρ²

рис. 7). Было получено, что области устойчивости

Из уравнения сохранения получаем

увеличиваются как с ростом m, так и с ростом α

(см. рис. 8 и 9). Увеличение космологической по-

ρ^′ = -

(p(ρ) + ρ).

стоянной приводит к росту областей устойчивости

При анализе устойчивости можно записать [25]

гравастаров с тонкой оболочкой (см. рис. 10). Нали-

чие регулярного пространства-времени в качестве

Ω^′′(u₀) > 0 ⇒ Υ(u0)η20 - B(u0) > 0,

внешней геометрии также увеличивает области

где

устойчивости гравастаров (см. рис. 11). Таким об-

разом, степень устойчивость гравастаров с тонкой

Υ₀ = (4ρ₀p₀ + 4ρ²⁰)×

(

)

оболочкой для различных внешних многообразий

-256π⁴u₀ + (B_-(u₀) - B₊(u₀))²)⁴ρ⁴⁰

можно расположить следующим образом:

514

М. Шариф, Ф. Джавед

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

u₀B^′-(u₀)

(см. рис. 12, 13). Устойчивость гравастара возраста-

ϖ=-

B_-(u₀) + 16π²ρ²⁰u²⁰ - B₊(u₀)

ет с ростом Λ и α, при этом устойчивость оболоч-

u₀B′+(u₀)

ки возрастает, если в качестве внешнего многооб-

(8)

-B_-(u₀) + 16π²ρ²⁰u²⁰ + B₊(u₀)

разия использовать пространство-время регулярной

ЧД. Таким образом, гравастары более устойчивы в

Устойчивость анализируется с помощью Ω^′′(u₀) с ба-

случае ЧД ABG-DS, чем в случае ЧД ABG.

ротропным УС для пространства-времени ЧД ABG

В работе было получено, что физические ха-

и ABG-DS. На рис. 12 (левая панель) показан гори-

рактеристики гравастаров с тонкой оболочкой, та-

зонт событий (u = 0.825) для гравастаров с тонкой

кие как собственная длина, энтропия и энергети-

оболочкой. На правой панели изображены зависи-

ческие условия, зависят от толщины оболочки, а

мости Ω^′′(u₀) при m = 0.5. На рисунке видно, что

также от массы и заряда, что согласуется с лите-

гравастар с тонкой оболочкой демонстрирует устой-

ратурными данными [19, 32]. Существование обла-

чивое поведение при u₀ < 0.825 и неустойчивое при

стей устойчивости вблизи ожидаемого горизонта со-

u0 > 0.825 (правая панель). Аналогично, резуль-

бытий также согласуется с результатами недавних

таты анализа соответствующих горизонта событий

работ [20, 21, 25]. Кроме того, было получено, что

и устойчивости гравастара приведены на рис. 13.

область устойчивости возрастает с ростом космо-

Видно, что устойчивость гравастара увеличивается

логической постоянной и убывает с ростом заряда.

с ростом как Λ, так и α.

Важно отметить, что результаты настоящей работы

продолжают теоретические исследования поведения

гравастаров с тонкой оболочкой, проведенные для

4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

случая ЧД Бардина [25].

В настоящей работе рассмотрен общий форма-

лизм гравастаров с тонкой оболочкой, а именно, с

использованием метода сшивания внутреннего (ЧД

ЛИТЕРАТУРА

DS) и внешнего (регулярные ЧД) пространства-

времени с помощью техники “cut and paste”. Про-

P. Mazur and E. Mottola, Proc. Nat. Acad. Sci. 101,

анализированы некоторые физические характери-

9545 (2004); arXiv:gr-qc/0109035.

стики гравастаров с тонкой оболочкой, результаты

W. Israel, Nuovo Cimento B 44, 1 (1966).

приведены на рис. 1-3. Оказалось, что на эти ха-

рактеристики сильно влияют электромагнитное по-

M. Visser, S. Kar, and N. Dadhich, Phys. Rev. Lett.

ле и космологическая постоянная. Динамика грава-

90, 201102 (2003).

старов с тонкой оболочкой рассматривалась с помо-

S. H. Mazharimousavi, M. Halilsoy, and Z. Amirabi,

щью равновесного уравнения состояния, при этом

Phys. Rev. D 81, 104002 (2010).

оказалось, что скорости расширения и коллапса для

F. Rahaman, S. Ray, A. K. Jafry, and K. Chakrabor-

пространства-времени регулярной ЧД ABG-DS воз-

ty, Phys. Rev. D 82, 104055 (2010).

растали быстрее, чем для других. Динамика грава-

стара с тонкой оболочкой зависит от космологичес-

M. Sharif and M. Azam, Eur. Phys. J. C 73, 2407

кой постоянной, массы и заряда, соответствующих

(2013).

внешнему пространству-времени (см. рис. 4-6).

M. Sharif and F. Javed, Gen. Relativ. Gravit. 48, 158

Во-первых, мы нашли области устойчивости для

(2016).

ЧД ABG, причем оказалось, что они существуют

S. D. Forghani, S. H. Mazharimousavi, and M. Halil-

вблизи ожидаемого горизонта событий. Было полу-

soy, Eur. Phys. J. C 78, 469 (2018).

чено, что области устойчивости уменьшаются с рос-

том заряда внешнего линейного элемента и увели-

M. Sharif and F. Javed, Astrophys. Space Sci. 364,

чиваются с ростом Λ и α (см. рис. 7-10). Области

179 (2019); Int. J. Mod. Phys. D 28, 1950046 (2019);

устойчивости гравастара для пространства-времени

Ann. Phys. 407, 198 (2019); Chin. J. Phys. 61, 262

ЧД ABG-DS больше, чем для ЧД Шварцшильда,

(2019); Mod. Phys. Lett. A 35, 1950350 (2019); Int.

Шварцшильда-DS и ABG (см. рис. 11). Во-вторых,

J. Mod. Phys. A 35, 2040015 (2020); Ann. Phys. 416,

168146 (2020); Int. J. Mod. Phys. D 29, 2050007

мы рассмотрели устойчивость, используя баротроп-

(2020); Mod. Phys. Lett. A 39, 2050309 (2020).

ное УС. Было получено, что гравастар с тонкой обо-

лочкой становится устойчивым, если радиус оболоч-

10.

M. Sharif, S. Mumtaz, and F. Javed. J. Mod. Phys.

ки меньше радиуса ожидаемого горизонта событий

A 35, 2050030 (2020).

518

ЖЭТФ, том 160, вып. 4 (10), 2021

Динамическая устойчивость гравастаров для случая ЧД ABG

11. M. Sharif and F. Javed, Phys. Scr. 96, 055003 (2021);

22. J. M. Bardeen, Proc. GR5, Tiflis, USSR (1968).

Astron. Rep. 65, 353 (2021).

23. E. Ayón-Beato and A. Garc´ia, Phys. Rev. Lett. 80,

12. M. Visser and D. L. Wiltshire, Class. Quantum Grav.

5056 (1998).

21, 1135 (2004).

24. M. Wen-Juan, C. Rong-Gen, and S. Ru-Keng,

13. B. M. N. Carter, Class. Quantum Grav. 22, 4551

Commun. Theor. Phys. 46, 453 (2006).

(2005).

14. D. Horvat, S. Sasa Ilijic, and A. Marunovic, Class.

25. M. Sharif and F. Javed, Ann. Phys. 415, 168124

Quantum Grav. 26, 025003 (2009).

(2020).

15. Usmani et al., Phys. Lett. B 701, 388 (2011).

26. M. Sharif and F. Javed, J. Exp. Theor. Phys. 132,

381 (2021).

16. N. Bil´ic, G. B. Tupper, and R. D. Viollier, J. Cosmol.

Astropart. Phys. 2006, 013 (2006).

27. M. Sharif and F. Javed, Eur. Phys. J. C 81, 47 (2021).

17. P. Rocha, R. Chan, M. F. A. da Silva, and A. Wang,

28. T. Tangphati, A. Chatrabhuti, D. Samart, and

J. Cosmol. Astropart. Phys. 2008, 10 (2008); ibid

P. Channuie, Eur. Phys. J. C 80, 722 (2020).

2009, 10 (2009); ibid 2011, 13 (2011).

29. S. Ghosh, F. Rahaman, B. K. Guha, and S. Ray, Phys.

18. D. Horvat, S. Ilijic, and A. Marunovic, Class.

Lett. B 767, 380 (2017).

Quantum Grav. 28, 195008 (2011).

30. S. Ray, R. Sengupta, and H. Nimesh, Int. J. Mod.

19. F. Rahaman, A. A. Usmani, S. Ray, and S. Islam,

Phys. D 29, 2030004 (2020).

Phys. Lett. B 707, 319 (2012); ibid 717, 1 (2012).

31. F. Rahaman, A. Banerjee, and I. Radinschi, Int. J.

20. F. S. N. Lobo and R. Garattini, J. High Energy Phys.

1312, 065 (2013).

Theor. Phys. 52, 2943 (2013).

21. A.

Övgün, A. Banerjee, and K. Jusufi, Eur. Phys. J.

32. Z. Yousaf, K. Bamba, M. Z. Bhatti, and U. Ghafoor,

C 77, 566 (2017).

Phys. Rev. D 100, 024062 (2019).

519