ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 1 (7), стр. 119-125

ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА И ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

ДЕКОРИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА

НА КУБИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

В. А. Мутайламов^*, А. К. Муртазаев

Институт физики Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук

367003, Махачкала, Россия

Поступила в редакцию 15 февраля 2021 г.,

после переработки 15 марта 2021 г.

Принята к публикации 15 марта 2021 г.

С использованием методов вычислительной физики исследовано статическое критическое поведение

трехмерной декорированной модели Изинга на кубической решетке. Рассмотрен случай, когда обменное

взаимодействие между узловыми спинами Jn = -1 является антиферромагнитным, а взаимодействие

J_d между узловыми спинами и декорированными изменяется в пределах [-3.0; 3.0]. Для различный зна-

чений J_d определено основное состояние модели, вычислены критические температуры и критические

индексы, построена фазовая диаграмма. Показано, что при любых соотношениях обменных взаимо-

действий в модели при переходе из упорядоченного состояния в парамагнитное наблюдается фазовый

переход второго рода, а критические индексы близки к значениям для стандартной модели Изинга.

DOI: 10.31857/S0044451021070129

емкости. Богатство критического поведения декори-

рованных решеток обусловлено возможностью мно-

гократного декорирования.

1. ВВЕДЕНИЕ

Понятие декорированная решетка, относящееся

В современной физике конденсированного состо-

к магнитной модели Изинга, впервые предложено

яния интенсивно изучаются модели магнитных ма-

в 1951 г. в работе Сиози [1]. Суть его заключается

териалов, в которых помимо обменных взаимодей-

во введении дополнительных спинов в промежутки

ствий учитываются различные усложняющие фак-

между узлами исходной решетки. Это понятие мож-

торы, не учитываемые моделями первого приближе-

но обобщить и на другие типы кристаллических ре-

ния. Эти факторы могут оказывать значительное

шеток. Фактически, подавляющее большинство ре-

влияние на характер критического поведения маг-

альных структур являются декорированными.

нетиков и приводить к появлению большого разно-

Большого прогресса достигло исследование пла-

образия магнитных упорядоченных состояний и фа-

нарных декорированных структур методами теоре-

зовых переходов между ними.

тической физики. Так, например, найдены точные

В последние годы возрос интерес к исследованию

решения для декорированных моделей со смешан-

декорированных структур благодаря разнообразию

ными спинами на двумерной квадратной решетке

наблюдаемых в них новых явлений и особенностей

[2, 3], точное решение для двукратно декорирован-

по сравнению с исходными недекорированными ре-

ной модели на квадратной решетке [4]. Исследо-

шетками. В частности, декорирование порождает

ваны магнитные и магнитокалорические свойства

множество фрустрационных эффектов, может при-

с построением фазовых диаграмм основного состо-

водить как к подавлению фазовых переходов, су-

яния модели Изинга со смешанными спинами на

ществующих в недекорированных решетках, так и

треугольной решетке [5]. Изучены декорированные

к возникновению новых фазовых переходов. Кроме

структуры на квадратной решетке с многоспиновым

того, появляются новые типы частичного упорядо-

взаимодействием [6,7].

чения, а также дополнительные экстремумы тепло-

При изучении критических свойств моделей маг-

^* E-mail: vadim.mut@mail.ru

нитных материалов успешно применяются и мето-

119

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

ды вычислительной физики. В частности, данные

узловыми спинами, а вторая сумма — обменное вза-

методы применялись нами ранее для изучение кри-

имодействие между узловыми и декорированными

тических свойств двумерной декорированной моде-

спинами.

ли Изинга на квадратной решетке [8, 9]. Методы

Обменное взаимодействие между узловыми спи-

численного эксперимента применимы для структур,

нами являлось антиферромагнитным и его величи-

для которых нет точного аналитического решения.

на J_n

= -1 не менялась в ходе моделирования.

Это, как правило, трехмерные модели, модели со

При этом обменное взаимодействие между узловы-

сложным гамильтонианом, учитывающим влияние

ми спинами и декорированными изменялось в широ-

дополнительных факторов (внешнее поле, анизотро-

ких пределах от антиферромагнитного с величиной

пия и т. п.). Методы вычислительной физики стро-

J_d = -3 до ферромагнитного J_d = 3.

го математически обоснованы и позволяют исследо-

В процессе исследований нами моделировались

вать критические свойства широкого спектра моде-

частицы кубической формы с периодическими гра-

лей магнитных материалов.

ничными условиями, содержащие L × L × L элемен-

тарных ячеек в каждом кристаллографическом на-

правлении. Как видно на рис. 1, на каждую кри-

2. МОДЕЛЬ И МЕТОД

сталлографическую ячейку приходится один узло-

вой спин и три декорированных. Частица ориен-

Нами методами численного эксперимента иссле-

тировалась в пространстве таким образом, чтобы

довано статическое критическое поведение трехмер-

оси координат совпадали с кристаллографическими

ной декорированной модели Изинга на кубической

осями.

решетке. В данной модели декорированные спины

Вычисления проводились как стандартным алго-

располагаются между узлами исходной кубической

ритмом Метрополиса метода Монте-Карло [10, 11],

решетки в x-, y- и z-направлениях. Рассмотрен слу-

так и методом Ванга - Ландау [12]. Метод Ван-

чай, когда обменное взаимодействие присутствует

га - Ландау использовался для определения основ-

как между спинами, расположенными в узлах ре-

ного состояния спиновой системы при различных

шетки (узловые спины), так и между декорирован-

значениях J_d, для получения температурных зави-

ными спинами и узловыми. Схематически структу-

симостей теплоемкости, модуля намагниченности и

ра решетки приведена на рис. 1.

энтропии, для построения фазовой диаграммы. Ре-

Гамильтониан исследованной модели может

зультаты получены в температурном интервале от

быть представлен в следующем виде:

T = 0.01 до T = 10 с шагом ΔT = 0.01 (темпе-

ратура приведена в единицах обменного интегра-

∑

H =-

J_n

S_iS_j -

J_d

S_kS_l, S_i = ±1,

(1)

ла k_BT/|J_n|, где k_B — постоянная Больцмана). Ис-

i,j

k,l

следовались частицы с линейным размером L = 6,

содержащие N = 864 спина. Выбранного размера

где S_i — изинговский спин в узле решетки i, первая

достаточно для получения достоверной качествен-

сумма учитывает обменное взаимодействие между

ной картины за приемлемое время вычислений. Для

улучшения статистики проводилось пять процессов

моделирования при каждом значении J_d. Получен-

ные результаты усреднялись между собой.

Алгоритм Метрополиса использовался для опре-

деления критических индексов и критических тем-

ператур при нескольких значениях J_d. Моделирова-

лись частицы с линейными размерами от L = 10 до

L = 30, содержащие соответственно от N = 4000

до N = 108000 спинов. Вычисления проводились

при температурах вблизи точки фазового перехо-

да. В ходе моделирования для приведения спиновой

системы в состояние термодинамического равнове-

сия отбрасывался начальный неравновесный уча-

сток Марковской цепи в 5 · 10⁴ шагов Монте-Карло

Рис. 1. Декорированная модель Изинга на кубической ре-

шетке (◦ — узловые спины, • — декорированные)

на спин, заведомо больший, чем время релаксации

исследуемой частицы. В равновесном состоянии вы-

120

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Фазовая диаграмма и основное состояние.. .

числялись средние по ансамблю значения термоди-

намических величин. Длина равновесного участка

составляла 1.5·10⁵ шагов Монте-Карло на спин. Для

улучшения статистики при каждой температуре T

для всех линейных размеров L и значений обменно-

го взаимодействия J_d проводилось десять процессов

моделирования при различных начальных спино-

вых конфигурациях. Полученные результаты усред-

нялись между собой.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

3.1. Основное состояние

Для определения основного состояния анализи-

Рис. 2. Зависимость модуля вектора намагниченности от

ровались спиновые конфигурации, получаемые в хо-

температуры при различных значениях обменного взаимо-

де моделирования методом Ванга - Ландау, соответ-

действия J_d

ствующие минимуму энергии. Всего было получено

четыре типа основного состояния в зависимости от

3.2. Термодинамические функции

величины обменного взаимодействия J_d.

При значениях J_d < -1 спиновая система упоря-

На рис. 2 представлена зависимость модуля на-

дочена антиферромагнитно: все узловые спины на-

магниченности M от температуры для различных

правлены в одну сторону, а все декорированные в

значений обменного взаимодействия J_d (здесь и да-

другую. Число узловых спинов составляет 1/4 от об-

лее все величины приведены в относительных еди-

щего числа спинов, число декорированных 3/4. В ре-

ницах). Для всех значений обменного взаимодей-

зультате суммарный магнитный момент оказывает-

ствия в интервале -1 ≤ J_d ≤ 1 кривые намагничен-

ся нескомпенсированным на величину 1/2. Модель

ности лежат вблизи нулевого значения и наклады-

фактически является ферримагнитной.

ваются друг на друга, поэтому на графике для на-

При значениях J_d > 1 система находится в фер-

глядности приведена только одна кривая для случая

ромагнитном состоянии: узловые и декорированные

J_d = 0. При остальных значениях обменного инте-

спины направленны в одну сторону.

грала наблюдается переход в парамагнитное состо-

В области значений -1 < J_d < 1 в основном

яние с ростом температуры. С ростом по модулю

состоянии подрешетка узловых спинов упорядоче-

величины J_d область перехода смещается в сторону

на антиферромагнитно, а подрешетка декорирован-

более высоких температур. Как следует из графика,

ных спинов полностью разупорядочена. Суммарный

температуры перехода совпадают для одинаковых

магнитный момент в данном случае равен нулю.

значений |J_d|.

При этом в спиновой системе наблюдается вырож-

Температурные зависимости энтропии S приве-

дение в основном состоянии и появляются фруст-

дены на рис. 3. Кривые энтропии для равных по

рации, обусловленные конкуренцией обменных вза-

модулю значений J_d точно накладываются друг на

имодействий между узловыми и декорированными

друга. В области значений |J_d| ≤ 1 для наглядности

спинами. Строго говоря, модель не является полно-

на рисунке приведен лишь один график, так как все

стью фрустрированной, так, здесь мы имеем дело

кривые при таких значениях J_d расположены близ-

с вырождением не всей спиновой системы, а лишь

ко друг к другу. Как видно на графике, энтропия

ее части. Такое состояние спиновой системы часто

стремится к нулю при T → 0 для значений обменно-

называют частично разупорядоченным.

го интеграла |J_d| > 1. При значениях |J_d| ≤ 1 энтро-

При значениях J_d = -1 и J_d = 1 модель являет-

пия стремится к отличному от нуля значению, что

ся полностью фрустрированной: разупорядочена не

также указывает на наличие вырождения в основ-

только декорированная подрешетка, но и узловая.

ном состоянии. При |J_d| = 1 для линейного размера

Соответственно, фрустрации в данном случае обу-

L = 6 это значение составило 0.525(1), а при |J_d| < 1

словлены конкуренцией обменных взаимодействий

находится в диапазоне от 0.520(1) до 0.521(1). С рос-

как между узловыми и декорированными спинами,

том температуры энтропия для всех значений об-

так и между узловыми спинами.

менного интеграла стремится к величине S = ln(2).

121

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Рис. 3. Зависимость энтропии от температуры при различ-

Рис. 5. Дополнительные экстремумы теплоемкости при ве-

ных значениях обменного взаимодействия J_d

личине обменного взаимодействия |J_d| = 1.05

3.3. Дополнительные экстремумы

теплоемкости

Отдельно необходимо выделить небольшую об-

ласть значений обменного интеграла 1 < |J_d| ≤ 1.2,

в которой на графике теплоемкости наблюдаются

три экстремума. Пример такой зависимости приве-

ден на рис. 5 для случая |J_d| = 1.05. Первый мак-

симум имеет ярко выраженный характер и соот-

ветствует переходу из упорядоченного состояния в

парамагнитное. Второй и третий максимумы более

широкие и меньше первого по высоте. С увеличе-

нием обменного взаимодействия J_d второй и тре-

тий максимумы еще больше уменьшаются по высо-

те и нам не удалось их обнаружить при значени-

Рис. 4. Зависимость теплоемкости от температуры при

ях |J_d| > 1.2. Появление этих максимумов связано

различных значениях обменного взаимодействия J_d

с особенностями упорядочения магнитных подреше-

ток исследуемой модели.

После перехода в парамагнитное состояние с рос-

На рис. 4 приведена зависимость теплоемкости C

том температуры подрешетка декорированных спи-

от температуры для различных значений |J_d|. Как

нов все время остается в разупорядоченном состоя-

и в случае с энтропией, графики для равных по мо-

нии. В подрешетке же узловых спинов начинает на-

дулю значений J_d накладываются друг на друга. На

блюдаться антиферромагнитное упорядочение, ко-

рисунке видно, что при |J_d| > 1 теплоемкость име-

торое возрастает с ростом температуры. Таким об-

ет ярко выраженные максимумы, соответствующие

разом, спиновая конфигурация становится похожа

переходу из упорядоченного состояния в парамаг-

на спиновую конфигурацию в частично разупорядо-

нитное. С увеличением |J_d| максимумы смещаются в

ченном состоянии, характерную для области |J_d| <

строну более высоких температур. Максимумы при

< 1: декорированные спины разупорядочены, узло-

|J_d| ≤ 1 соответствуют переходу из частично разу-

вые упорядочены антиферромагнитно. Дальнейший

порядоченного состояния в парамагнитное. По срав-

рост температуры приводит к разупорядочению уже

нению с |J_d| > 1 они имеют более широкую форму

и узловой подрешетки.

пика, меньше по абсолютному значению и с увели-

Сказанное демонстрирует рис. 6, на котором при-

чением |J_d| смещаются в сторону более низких тем-

ведены температурные зависимости параметров по-

ператур.

рядка η спиновых подрешеток. График получен ал-

122

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Фазовая диаграмма и основное состояние.. .

Рис. 6. Зависимость параметров порядка узловой подре-

Рис. 7. Фазовая диаграмма, построенная по максимумам

шетки (◦) и декорированной подрешетки (△) от темпера-

теплоемкости для линейного размера L = 6: AF — анти-

туры. L = 14, J_d = 1.10

ферромагнитная фаза, F — ферромагнитная, PD — час-

тично разупорядоченная, MF — смешанная, P — парамаг-

нитная

горитмом Метрополиса для линейного размера L =

= 14 при величине обменного взаимодействия J_d =

фазами уменьшается, что приводит к уменьшению

= 1.10. В качестве параметра порядка для декори-

энергетических флуктуаций и спаду второго экстре-

рованной подсистемы использовался модуль ее век-

мума теплоемкости.

тора намагниченности, а для узловой подсистемы

Дальнейшее повышение температуры приводит

модуль ее вектора антиферромагнетизма. Рост па-

к уменьшению доли частично разупорядоченной

раметра порядка подрешетки узловых спинов соот-

фазы и полному переходу системы в парамагнитное

ветствует второму максимуму теплоемкости, а спад

состояние. Количество переходов спиновой системы

параметра порядка — третьему.

из одного фазового состояния в другое опять увели-

Нам не удалось установить причину такого ано-

чивается, возрастают флуктуации энергии, до тех

мального поведения параметра порядка. Величина

пор пока вся спиновая система не перейдет в полно-

обменного взаимодействия J_d близка к области зна-

стью парамагнитную фазу. Данный процесс форми-

чений, при которых модель находится в частично

рует третий экстремум на температурной зависимо-

разупорядоченной фазе. Вероятно, при небольших

сти теплоемкости.

температурах часть спиновой системы из-за тепло-

вых флуктуаций может легко переходить из пара-

3.4. Фазовая диаграмма

магнитного состояния в частично разупорядоченное

и обратно. Поскольку этим состояниям соответству-

Температурные зависимости теплоемкости для

ют различные значения энергии, то переходы меж-

различных значений обменного взаимодействия J_d

ду ними увеличивают энергетические флуктуации.

использовались нами для построения фазовой диа-

Рост флуктуаций энергии приводит к закономерно-

граммы. Границы фаз определялись по положению

му росту теплоемкости и появлению второго экстре-

максимумов теплоемкости. Итоговая фазовая диа-

мума на ее температурной зависимости.

грамма исследуемой модели для линейного разме-

Таким образом, в модели при данных условиях

ра L = 6 приведена на рис. 7. Как было сказано

одновременно присутствуют две фазы: парамагнит-

выше, нам не удалось обнаружить второй и тре-

ная и частично разупорядоченная. С ростом темпе-

тий максимумы теплоемкости при |J_d| > 1.2. Со-

ратуры доля частично разупорядоченной фазы уве-

ответственно, нам не удалось определить точную

личивается и достигает своего максимального зна-

границу между смешанной и парамагнитной фа-

чения. Хотя при этом, как видно на рис. 6, она

зами при данных значениях обменного взаимодей-

не полностью вытесняет парамагнитную фазу, так

ствия. На графике эта граница указана пунктиром

как параметр порядка подрешетки узловых спинов

при |J_d| = 1.2. Вертикальные линии при значени-

не достигает единицы. Количество переходов между

ях |J_d| = 1 соответствуют полностью фрустрирован-

123

В. А. Мутайламов, А. К. Муртазаев

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Рис. 9. Гистограмма энергии для величины обменного

Рис. 8. Зависимость производной логарифма плотности

взаимодействия J_d = 1.15, L = 48, T = 0.26375

состояний от энергии. L = 06, J_d = 1.10

ному состоянию исследуемой модели. Как видно на

Моделирование алгоритмом Метрополиса гене-

рисунке, фазовая диаграмма симметрична относи-

рирует ненормализованное каноническое распреде-

тельно линии J_d = 0. Различается лишь тип упоря-

ление при заданной температуре. В случае фазового

дочения при различных значениях обменного взаи-

перехода первого рода распределение при темпера-

модействия |J_d| > 1: антиферромагнитное при отри-

туре фазового перехода будет иметь два максиму-

цательных значениях и ферромагнитное при поло-

ма, расположенных симметрично относительно рав-

жительных.

новесного значения энергии [14]. В случае фазово-

го перехода второго рода должен наблюдаться один

максимум, приходящийся на равновесное значение

3.5. Тип фазового перехода

энергии. Форму канонического распределения вос-

производит гистограмма энергии, которая показы-

Отдельного внимания заслуживает изучение фа-

вает, сколько раз в процессе моделирования выпада-

зового перехода из упорядоченного состояния в па-

ло то или иное энергетическое состояние спиновой

рамагнитное. Для определения типа перехода мы

системы. Отметим, что наличие двух максимумов

использовали производную логарифма плотности

однозначно указывает на фазовый переход первого

состояний по энергии и гистограммы энергии.

рода, тогда как их отсутствие еще не служит дока-

Производная логарифма плотности состояний

зательством фазового перехода второго рода. Два

g(E) по энергии E позволяет получить зависимость

пика могут быть не обнаружены при малых линей-

обратной температуры от энергии. В случае фазо-

ных размерах модели, неточном определении кри-

вого перехода первого рода эта зависимость имеет

тической температуры, слабой статистике.

характерную S-образную форму, симметричную

относительно горизонтальной линии, соответствую-

Нами был получен только один максимум на гис-

щей обратной температуре фазового перехода 1/T_c

тограммах энергии при различных значениях об-

[13]. В случае фазового перехода второго рода гра-

менного взаимодействия J_d. На рис. 9 приведена ти-

фик производной имеет горизонтальный участок,

пичная нормированная на максимальное значение

приходящийся на значение 1/T_c. На рис. 8 приведе-

гистограмма, построенная для J_d = 1.15. Для ее по-

на зависимость производной плотности состояний

лучения использовалась частица с линейным раз-

от энергии для значения обменного взаимодействия

мером L = 48, содержащая N = 442368 спинов.

Моделирование проводилось при температуре T =

J_d = 1.10. Как видно на рисунке, в области 1/T_c

на графике отсутствует S-образная форма, но

= 0.26375. В ходе вычислений отбрасывался нерав-

имеется горизонтальный участок. Аналогичные

новесный участок в 5 · 10⁴ шагов Монте-Карло на

зависимости наблюдались и при других значениях

спин, длина равновесного участка составила 9 · 10⁵

обменного взаимодействия J_d.

шагов Монте-Карло на спин.

124

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Фазовая диаграмма и основное состояние.. .

Таким образом, при всех значениях J_d нам не

критическим индексам изинговского класса универ-

удалось обнаружить признаков фазового перехо-

сальности статического критического поведения.

да первого рода. По всей видимости в исследован-

ном диапазоне обменных взаимодействий переход из

упорядоченного состояния в парамагнитное являет-

ЛИТЕРАТУРА

ся фазовым переходом второго рода. Исходя из это-

I. Syozi, Prog. Theor. Phys. 35, 306 (1951).

го, нами с использованием теории конечно-размер-

ного скейлинга была произведена оценка значений

J. Strečka, M. Rebič, O. Rojas, and S. M. de Souza,

критических индексов намагниченности β, воспри-

J. Mag. Magn. Mater. 469, 655 (2019).

имчивости γ и радиуса корреляции ν. Для определе-

J. Strečka, O. Rojas, and S. M. de Souza, Phys. Lett.

ния критических температур использовался метод

A 383, 2451 (2019).

куммулянтов Биндера четвертого порядка [15,16], а

термодинамические функции вычислялись по флук-

Čenčariková, J. Strečka, and M. L. Lyra, J. Mag.

туационным соотношениям [16]. В результате на-

Magn. Mater. 401, 1106 (2016).

ми было получено, что для всего диапазона |J_d| >

L. Gálisová snd J. Strečka, Physica E 99, 244 (2018).

> 1 значение критических индексов составило β =

= 0.33(1), γ = 0.25(1) и ν = 0.64(2). Эти значения

M. Jaščur, V.

Štubňa, K. Szalowski et al., J. Mag.

совпадают со значениями индексов, полученных для

Magn. Mater. 417, 92 (2016).

«обычной» модели Изинга на простой кубической

Štubňa and M. Jaščur, J. Mag. Magn. Mater. 442,

решетке: β = 0.32630(22), γ = 1.23701(28) и ν =

364 (2017).

= 0.629912(86) [16].

Ф. А. Кассан-Оглы, А. И. Прошкин, А. К. Мурта-

заев и др., ФТТ 62, 683 (2020).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

V. A. Mutailamov and A. K. Murtazaev, Low Temp.

Phys. 46, 1016 (2020).

Добавление декорированных спинов в антифер-

ромагнитную модель Изинга на кубической решет-

10.

D. P. Landau, Physica A 205, 41 (1994).

ке в значительной степени может изменять свой-

11.

К. Биндер, Методы Монте-Карло в статисти-

ства модели. От величины и знака обменного вза-

ческой физике, Мир, Москва (1982).

имодействия между узловыми спинами и декори-

рованными зависит тип упорядочения в основном

12.

D. P. Landau, Shan-Ho Tsai, and M. Exler, Amer. J.

состоянии, появляются фрустрационные эффекты,

Phys. 72, 1294 (2004).

возникают дополнительные экстремумы теплоемко-

13.

Y. Komura and Y. Okabe, Phys. Rev. E

85,

сти. Появляется смешанная фаза в определенной

010102(R) (2012).

области температур и значений обменного взаимо-

действия. При этом для любых значений обменно-

14.

F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. E 64, 056101

го взаимодействия переход из антиферромагнитной

(2001).

фазы в парамагнитную и из ферромагнитной фа-

15.

K. Binder, Phys. Rev. Lett. 47, 693 (1981).

зы в парамагнитную является фазовым переходом

второго рода. Критические индексы вдоль всей ли-

16.

A. M. Ferrenberg, J. Xu, and D. P. Landau, Phys.

нии фазового перехода второго рода соответствуют

Rev. E 97, 043301 (2018).

125