ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 1 (7), стр. 95-106

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ОБЛАСТИ ФАЗОВОГО

ПЕРЕХОДА В МАГНИТОУПОРЯДОЧЕННУЮ ФАЗУ

В СРЕДАХ С ТЕТРАГОНАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

В. В. Меньшенин^*

Институт физики металлов им. М. Н. Михеева Уральского отделения Российской академии наук

620108, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 15 января 2021 г.,

после переработки 5 февраля 2021 г.

Принята к публикации 6 февраля 2021 г.

Исследовано распространение продольных упругих волн вблизи фазового перехода из парамагнитной в

несоизмеримую фазу в слоистых системах, имеющих тетрагональную структуру. На основе работы [22]

сделан вывод о том, что фазовый переход второго рода возможен, если в кристалле отсутствуют сдви-

говые деформации, а перенормировка параметров взаимодействия не меняет знака этих параметров

в слагаемых действия, содержащих четвертые степени компонент параметра порядка. С помощью ре-

нормгруппового подхода для продольных звуковых волн в направлении [100] найден степенной закон

температурного изменения скорости звука в критической области, а также смещение положения точки

минимума частоты (а значит, и скорости) этих волн относительно точки фазового перехода. Выяснены

причины различного изменения скорости продольных звуковых волн при их распространении в направ-

лениях [100], [110] и [001].

DOI: 10.31857/S0044451021070105

которая действует на эту моду [4, 5]. При этом

временной коррелятор случайной силы является

гауссовым, а коэффициент затухания упругой вол-

1. ВВЕДЕНИЕ

ны пропорционален этому коррелятору. В работе [5]

Распространение продольных звуковых волн

с учетом обменной стрикции в качестве механизма

вблизи точки фазового перехода второго рода

влияния магнитной подсистемы на упругие степени

изучается достаточно давно. Так, в работе Белова с

свободы были рассчитаны коэффициенты затуха-

соавторами [1] была построена феноменологическая

ния продольных упругих волн вблизи температуры

теория распространения таких волн на основе

Нееля в соединении MnF₂ для направлений распро-

теории Ландау - Халатникова [2]. В этой работе

странения волн [100], [001] и [110]. Были найдены

было показано, что пик изменения скорости звука

зависимости коэффициентов затухания этих волн

и критического затухания имеют место при одной

от температуры, констант обменного взаимодей-

и той же температуре, а максимум затухания

ствия и волновых чисел соответствующих звуковых

расположен ниже критической точки и зависит от

волн. Дальнейшее развитие этого направления

частоты. Однако экспериментальные исследования

привело к разработке теории описания критической

продольного звука в соединении MnF₂ показали,

динамики фазовых переходов второго рода, в рам-

что максимум затухания этих волн лежит несколь-

ках которой можно исследовать распространение

ко выше, чем температура Нееля, и нет изменения

звука вблизи таких переходов. Важное отличие

скорости упругой волны при температуре Нееля

этой теории от статического случая состоит в том,

[3]. Другой подход, развивавшийся в работах Мори,

что необходимо принять во внимание уравнения

основан на использовании стохастического урав-

движения стохастического типа. Эти уравнения

нения Ланжевена для нормальной моды звуковых

должны быть необратимы относительно обращения

колебаний путем введения

«случайной» силы,

времени, а значит, содержать диссипативные члены

[6]. Появление этих членов связано со случайными

^* E-mail: menshenin@imp.uran.ru

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

тепловыми возбуждениями. Первоначально подход

лученных для этого соединения. Пусть простран-

к рассмотрению критической динамики развивался

ственная симметрия среды описывается группой

подобно ϵ-разложению в ренормгрупповом (РГ)

I4/mcm(D184h). Ионы железа занимают позицию 2a.

подходе. Формально РГ-преобразование проводится

Заметим, что далее везде работаем с примитивной

в два этапа [7]. На первом этапе проводится исклю-

ячейкой кристалла и рассматриваем для описания

чение быстрых мод, а на втором этапе — изменение

группы установку, данную в монографии Ковале-

масштаба. Новое уравнение движения записывается

ва [17]. Волновой вектор несоизмеримой магнитной

в прежнем виде, но с новыми коэффициентами,

структуры равен

{

}

которые представляют собой РГ-преобразование

2πμ

исходных коэффициентов. Однако далее было пока-

, 0, 0

зано, что любая стохастическая задача может быть

сведена к квантово-полевой модели с удвоенным

2μ = 0, ±1, ±2 . . .

числом переменных [8-11]. Тогда для вычисления

Введем сначала переменные, описывающие на-

корреляционных функций удается воспользоваться

шу систему. Мы будем рассматривать длиннопери-

всем теоретико-полевым аппаратом РГ-анализа. На

одическую магнитную структуру типа продольной

основе этого подхода в работе [12] анализировалось

спиновой волны. В этом случае, как показано в рабо-

амплитудное соотношение для затухания звука

те [18], магнитное состояние вблизи перехода описы-

выше и ниже критической точки для одноосного

вается с помощью двумерного вектора S = {S₁, S₂},

ферромагнетика. Работа

[13] посвящена иссле-

где величины S₁ и S₂ есть аксиальные орты вдоль

дованию критического затухания ультразвука в

осей координат x и y в разложении плотности маг-

изотропных системах. Обратим внимание на то,

нитного момента по базисным функциям неприво-

что большинство работ посвящено критическому

димого представления пространственной группы, по

затуханию звуковых волн. В то же время вблизи

которому происходит переход из парамагнитной фа-

точки перехода второго рода изменяется также

зы в несоизмеримую магнитную фазу. Далее мы бу-

и скорость продольных упругих волн. В работе

дем рассматривать модель C критической динами-

[14] такое изменение скорости обнаружено в сло-

ки [6]. Рассмотрим для определенности распростра-

истом соединении FeGe₂ вблизи точки перехода

нение звука вдоль направления [100]. В этом слу-

из парамагнитной фазы в несоизмеримую маг-

чае статическое действие системы можно записать

нитную фазу. Скорости продольных упругих волн

по аналогии с работой [13] в виде

меняются различным образом для направлений

∫ {

распространения

[100],

[001],

[110] волн

[14, 15].

S^st = -

r₀(S²¹ + S²²) +

(∂_iS₁)² +

Причины такого различия в работах [14, 15] не

обсуждаются. Представляет интерес обсудить эти

g₁₀

(∂_iS₂)² +

(S²¹ + S²¹)² +

причины. В работе [16] результаты по неупругому

рассеянию нейтронов были использованы для опре-

g₂₀

S²¹S²² +

u² + γu0u(S²¹ + S²²)+

деления закона дисперсии фононов в дигерманиде

}

железа при температурах 300 К, 500 К, 650 К.

s² + γs0s(S²¹ + S²²) + wsu d^dx.

(1)

Проведено вычисление с использованием теории

функционала плотности в квазигармоническом

В равенстве (1) мы учли тетрагональную симмет-

приближении температурных смещений дисперсии

рию системы, величина u — звуковая переменная,

фононов. Результаты расчетов оказались плохо

пропорциональная флуктуациям плотности в систе-

согласующимися с экспериментальными данными.

ме [13], s — пропорциональна флуктуациям энтро-

пии на единицу массы [13]. Величина d, указываю-

щая размерность пространства, равна d = 4 - 2ε,

2. СТАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ

ε ≪ 1, ∂_i = ∂/∂x_i, r₀ = (T - TC0), TC0 — затравоч-

ная температура фазового перехода. В упомянутой

Наша задача состоит в изучении критической

статье авторы указали, что наличие слагаемых

динамики распространения продольных звуковых

∫ (

)

волн вблизи перехода из парамагнитного состояния

u² +

s² + wus d^dx

в несоизмеримую магнитную фазу. К таким систе-

мам относится, например, соединение FeGe₂. Про-

можно обосновать с помощью теории термодинами-

ведем наше рассмотрение, исходя из данных, по-

ческих флуктуаций. Возникновение этих слагаемых

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Распространение звука в области фазового перехода. . .

можно понять из следующих соображений. Как из-

которые со знаком минус войдут и в статическое

вестно [19], вероятность флуктуации ξ для вывода

действие. Заметим, что величина u пропорциональ-

тела из состояния равновесия при постоянных дав-

на изменению объема, а значит, и плотности систе-

лении и температуре пропорциональна

мы, т. е. не должна менять знака при пространствен-

(

)

ной инверсии. Отметим также, что и тензор дефор-

δΦ_tot

ξ ∼ exp

мации не меняет знака при смене знаков координат.

где T — температура тела, а δΦ_tot — изменение тер-

модинамического потенциала тела в целом. Далее

при рассмотрении тела как некоторого числа под-

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И

систем, слабо взаимодействующих между собой, из-

КВАНТОВО-ПОЛЕВАЯ МОДЕЛЬ

менение термодинамического потенциала всего тела

может быть представлено в виде

В этом случае взаимодействие параметра поряд-

∫

ка со звуком вблизи фазового перехода описывается

ΔΦ_tot = (δΦ(x)) d^dx,

следующими стохастическими уравнениями [13]:

где интегрирование ведется по всему объему систе-

dS_i

δS^st

мы, а δΦ(x) — локальное изменение термодинами-

=λ₀

+ θ_i(x, t),

ческого потенциала одной из подсистем. Для этой

δS_i

подсистемы локальное изменение термодинамичес-

δS^st

кого потенциала при постоянных давлении и тем-

(4)

= -κΔ

+ θ_s(x, t),

δs

пературе равно минимальной работе, необходимой

для того, чтобы перевести подсистему из одного со-

δS^st

Mü = -Δ

+ DMΔ˙u + θ_u(x, t).

стояние в другое обратимым образом. В нашем слу-

δu

чае при распространении упругой волны выражение

для минимальной работы имеет вид

Первое из уравнений (4) описывает релаксацию

компонент параметра порядка с коэффициентом ре-

R_min = δE(S₁, S₂, ▽S₁, ▽S₂, S, u₁₁)-

лаксации λ₀. Второе уравнение описывает перенос

T₀δS - (σ₁₁₍₀₎)δu₁₁,

(2)

энергии из-за диффузии, а коэффициент κ есть

где δE, δS, δu₁₁ — изменение внутренней энергии,

температурная проводимость. Последнее уравнение

энтропии и тензора деформации подсистемы, индекс

следует из стандартного уравнения движения звуко-

«0» указывает на то, что величины относятся к телу

вых волн. Величина M является обратным квадра-

в целом. Раскладывая в ряд изменение внутренней

том адиабатической скорости звука, D — константа

энергии, сразу найдем, что линейные по изменениям

затухания [13]. В уравнениях (4) величины θ_i, θ_s,

δS, δu₁₁ слагаемые в выражении (2) сокращаются, а

θ_u играют роль «случайных» сил. Средние значе-

первые производные по компонентам параметра по-

ния этих сил равны нулю, а для их корреляторов

рядка и их градиентам равны нулю. Выделяя в сла-

выполняются соотношения [6, 13]

гаемых второго порядка члены вида

)

〈θ_i(x, t)θ_j (x^′, t^′)〉 = 2λ₀δ^d(x - x^′)δ(t - t^′)δ_ij ,

⁽∂²E

∂²E

(δS)² + 2

δSδu₁₁ +

(δu₁₁)2

∂S²

∂S∂u₁₁

∂u²

〈θ_s(x, t)θ_s(x^′, t^′)〉 = -2κ▽²δ^d(x - x^′)δ(t - t^′),

(5)

введем следующие обозначения:

∂²E

〈θ_u(x, t)θ_u(x^′, t^′)〉 = 2DM▽⁴δ^d(x - x^′)δ(t - t^′).

(δS)² = (s(x))²,

(δu₁₁)² = (u(x))²,

∂s²

∂u²

∂²E

Эту стохастическую модель можно свести к

а слагаемое

δSδu₁₁ запишем следующим об-

∂S∂u11

рассмотрению некоторой квантово-полевой модели.

разом: wu(x)s(x). Следовательно, в выражении для

Можно показать [20], что стохастическая модель

термодинамического потенциала всей системы по-

полностью эквивалентна квантово-полевой модели с

явятся слагаемые

∫ (

)

удвоенным числом полей, а именно S_i,

S_i, (i = 1, 2),

s, s, u, ũ. Функционал действия в этом случае имеет

s(x)² +

u(x)² + wu(x)s(x) d^dx,

(3)

вид

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

∫∫

[

]

∂

S = d^dxdt

S₁(x, t)λ₀

S₁(x, t) +

S₁λ₀

S₁

+λ₀(r₀-Δ) S₁ = -LKL^T /2,

(10)

∂t

]

^[∂S₁

δS^st

S₂(x, t)λ₀S2(x, t) -

S₁

-λ₀

где L = (S₁,S1), оператор K равен

∂t

δS₁

]

[

]

^[∂S₂

δS^st

(∂_t + λ₀[r₀ - Δ]^T )

−

S₂

-λ₀

+ ũDM▽⁴ũ - sκΔs-

∂t

δS₂

(∂_t + λ₀[r₀ - Δ])

-D

[

]

∂²u

δS^st

∂u

-ũ M

+Δ

- DMΔ

а знак T означает транспонирование. Для такой

∂t²

δu

∂t

]]

блочной матрицы с симметричной операцией D =

^[∂s

δS

- s

+ κΔ

(6)

= D^T обратный оператор Δ(S) = K-1 записывается

∂t

δs

в виде [20]

Переход к квантово-полевой модели позволяет

[

]

в полной мере использовать методы теории поля

Δ(S)12DΔ(s)21 Δ(S)12

Δ(S) =

(11)

для анализа нашей модели. Это означает, что функ-

Δ(S)21

ции Грина стохастической задачи можно вычислять

где

с помощью обычных функций Грина модели (6),

которые определяются производящим функциона-

Δ(S)12 = (∂_t + λ₀[r₀ - Δ])-1,

лом [20]

(12)

Δ(S)21 = [(∂_t + λ₀[r₀ - Δ])^T ]-1.

∫

G(J) = DS₁DS₂

S₁

S₂DsDsDuDũ×

Введем далее обозначение

× exp(S + J_ϕϕ +

ϕ),

(7)

Δ(S)11 = Δ(S)12DΔ(S)21,

(13)

где ϕ = (S₁, S₂, s, u),

ϕ =

S₁,S2, s, ũ), по ним про-

при этом

водится суммирование, J_ϕ,

ϕ — источники соот-

ветствующих полей, кроме того, в последних двух

(∂_t + λ₀[r₀ - Δ])^T = (-∂_t + λ₀[r₀ - Δ]).

(14)

слагаемых под знаком экспоненты проводится инте-

Тогда

запаздывающая

функция

Грина

грирование по пространственным и временным ар-

Δ(S)12(x - x^′, t - t^′) линейного оператора L

гументам. Обеспечивающий нормировку G(0) = 1

= ∂_t + λ₀[r₀ - Δ] является затравочным коррелято-

множитель включен в величину DS₁ . . . Dũ.

ром вида

Вычислим входящие в равенство (6) вариацион-

ные производные и подставим их в это равенство.

Δ(S)12(x - x^′, t - t^′) = 〈S₁(x, t

S₁(x^′, t^′)〉₀,

(15)

Тогда выражение (6) можно представить в виде сум-

мы двух слагаемых:

а опережающая функция Грина равна

∫

S = d^dxdt(S₀(x,t))+V(ϕ(x,t),

ϕ(x, t)),

(8)

Δ(S)21(x - x^′, t - t^′) =

S₁(x, t)S₁(x^′, t^′)〉₀.

(16)

где первое слагаемое в равенстве (8) — часть дей-

Линейному оператору -Dδ(x - x^′) соответствует

ствия, квадратичная по динамическим переменным,

функция Грина

а второе слагаемое описывает взаимодействие этих

Δ(S)11(x - x^′, t - t^′) = 〈S₁(x, t)S₁(x^′, t^′)〉₀.

(17)

полей. Далее удобно провести сдвиги на константы,

которые позволяют исключить из рассмотрения ли-

Понятно, что в общем случае имеем

нейные по источникам слагаемые в производящем

функционале (7). Покажем это на примере суммы

〈S_i

S_j〉 = 〈S_iSi〉δij,

слагаемых [20]

〈S_iS_j〉 = 〈S_iS_i〉δ_ij ,

(18)

[

]

∂

S_i

S_j〉 = 0.

A₁ =

S₁λ₀

S₁ -

S₁

+ λ₀(r₀ - Δ) S1 +

∂t

Заменой переменных вида

+JS1S₁ +J˜S

S₁,

(9)

L=y+J_SK-1,

В равенстве (9) предполагается интегрирование по

временным и пространственным координатам. Обо-

где вектор-строка

значая λ₀ = D/2, первые два слагаемых запишем в

(

)

виде

J_S = J_S J

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Распространение звука в области фазового перехода. . .

величина

Δ₁ = (ad - kn)(bl - kn).

(24)

LKL

A₁ = -

+J_SL^T

В равенствах (20)-(23) обратная матрица K-1 запи-

сана поэлементно. В частности,

приводится к виду

yKy

J_SK-1J^TS

Δ₁₂ = (K-11)₁₂ = l(bl - kn)-1 =

A₁ = -

([

]

∂²

∂

Подчеркнем еще раз, что в последнем соотношении

= M

-Δ-DMΔ

∂t²

∂t

ядро K-1 имеет смысл функций Грина линейной за-

(

)-1)-1

дачи KL = J_s [20]. По переменным y интегралы ока-

∂

− kw²Δ²

- κΔ

(25)

зываются гауссовыми и могут быть вычислены точ-

∂t

но. Переменные набора {u, ũ, s, s} cвязаны между

собой билинейными слагаемыми в действии. Поэто-

Фурье-образ функции Грина Δ₁₂(x - x^′, t - t^′)

му процедура избавления от линейных по этим по-

имеет вид

лям слагаемых с источниками аналогична рассмот-

ренной выше. В этом случае оператор K₁ имеет вид

Δ₁₂(p, ω) =

⎡

⎤

(

[

]

)-1

κw²p²

-Mω²+p² 1-

-DMp²iω

(26)

⎢

⎥

κp²-iω

⎢

c n

0⎥

K₁ =⎢b

⎥,

⎢

⎥

Отметим еще раз, что в нашем случае набора пе-

⎣0

d⎦

ременных (u, ũ, s, s) выражениям (25), (26) соответ-

ствуют именно функции Грина 〈uũ〉₀. В работе [13]

где

эта функция обозначена как 〈ũu〉₀.

[

]_T

∂²

∂

После исключения в производящем функциона-

a= M

-Δ-DMΔ

∂t²

∂t

ле слагаемых, линейных по динамическим перемен-

[

]

∂²

∂

ным, равенство (7) может быть представлено в виде

b= M

-Δ-DMΔ

∂t²

∂t

(19)

G(J) = N-1 ×

c = -2DM▽⁴, k = -wκΔ,

[

])

( ∫

[

]

∂

×exp

- d^dxdt V

,...,

- κΔ

- κΔ ,

δJS1

δJ_u

δJ_ũ

δJ˜S1

∂t

∫

^[1

n = -wΔ, q = 2κΔ.

× exp

d^dx₁d^dx₂dt₁dt₂J_i(x₁, t₁) ×

Выражение для обратной матрицы можно предста-

]

вить следующим образом:

× Δ(S)ij(x₁ - x₂, t₁ - t₂)J_j(x₂ - t₂) ×

∫

(K-11)₁₁ = Δ-11(-cdl - nq²),

⁽1

× exp

d^dx₁d^dx₂dt₁dt₂J_k(x₁, t₁) ×

(K-11)₁₂ = Δ-11l(ad - kn),

)

(20)

(K-11)₁₃ = Δ-11(ckl + anq),

× Δ_kl(x₁ - x₂,t₁ - t₂)J_l(x₂,t₂)

(27)

(K-11)₁₄ = Δ-11(-dan + kn²),

В равенстве (27) индексы i, j пробегают значения

(K-11)₂₁ = Δ-11d(bl - kn),

{S₁, S₂,S1,S2} c учетом равенств (18), индексы k,

(K-11)₂₂ = (K-11)₂₄ = 0,

(21)

l — значения {u, ũ,s, s} с учетом того, что функции

Грина 〈ũũ〉, 〈ss〉, 〈ũs〉, 〈sũ〉 равны нулю, а по повто-

(K-11)₂₃ = Δ-11n(-bl + k²),

ряющимся индексам проводится суммирование, N

(K-11)₃₁ = Δ-11(cdk + bnq),

определяется из условия нормировки G(J = 0) = 1

(K-11)₃₂ = Δ-11k(-ad + kn),

и обычно опускается. Здесь следует сделать следу-

(22)

(K-11)₃₃ = Δ-11(-ck² - abq),

ющее замечание. В выражение для той части дей-

ствия, которая учитывает взаимодействие полей,

(K-11)₃₄ = Δ-11b(-ad - kn),

˜iSi и SiSi.

входят композитные операторы вида

(K-11)₄₁ = Δ-11n(-bl + kn),

При проведении расчетов мы рассматривали входя-

(K-11)₄₂ = (K-11)₄₄ = 0,

(23)

щие в них операторы как отдельные операторы, но

обладающие одинаковыми координатами.

(K-11)₄₃ = Δ-11a(bl - kn),

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

4. ФОНОННЫЙ ОКЛИК

где x = x^′ - x^′′, t = t^′ - t^′′. В равенствах (30), (31)

θ(t) — тэта-функция Хэвисайда, J_ν (x) — функция

Рассмотрим функцию Грина

〈u(x, t_x)ũ(y, t_y)〉,

Бесселя. Подставим эти выражения в интеграл

где среднее означает усреднение с плотностью веро-

∫

ятности в конфигурационном пространстве равной

I = d^dxdt×

exp(S), где S — действие. Эта функция получается

из генерирующего функционала следующим обра-

× exp[ip · x - iωt]Δ(S)12 (x, t)Δ(S)11 (x, t).

(32)

зом:

Примем теперь во внимание следующее равенство:

∫

∞

G(u) = 〈u(x, t_x)ũ(y, t_y)〉 =

exp[-λ₀tq²]

dq qd/2J-1+d/2(q|x|)

(r₀ + q²)

(x, t_x)

(y, t_y )G(J)|J=0.

(28)

δJ_u

δJ_ũ

⁽ |x|r₀ )-1+d/2

exp[λ₀r₀|t|] ×

Далее рассматриваются только связные диаграм-

мы [21]. Записывая функцию G(u) в виде

[(

)(2-d)/4

|x|²

I-1+d/2 (|x|

√r₀ ) ×

G(u) = G(u)0 + G(u)0ΣG(u),

(

)

∑

(

)_n

⁽d⁾

(-1)ⁿ

r₀

×Γ

|x|²

где G(u)0 — невозмущенная функция Грина, Σ —

n=0

(

)]

собственно-энергетическая часть, вычислим исходя

× γ

1-n-

,λ₀r₀t

(33)

из (28) последнюю величину во втором порядке по

теории возмущений. В этом приближении фурье-

где I_ν (x) — модифицированная функция Бесселя,

образ Σ(p, ω) записывается следующим образом:

γ(a, x) — неполная гамма-функция. Тогда интеграл

{

(32) равен

λ₀γ2s0κ²w²p⁶

Σ(p, ω) = 8 γ2u0λ₀p² +

[-iω + κp²]²

(r₀)-1+d/2λ₀Γ(1 - d/2)Γ(d/2)

}

I =

λ₀γu0γs0κwp

(2)1+d/2(2π)d/2(-iω + λ₀p²)²

(

)

[-iω + κp²]

p²λ²⁰r

∫

×₁ F₁

(34)

d^dp₁dω₁

p²λ₀ - iω

Δ(S)12(p₁, ω₁)Δ(S)11(p₁-p, ω₁-ω).

(29)

[2π]d+1

В равенстве (34) величина ₁F₁(a, b, x) есть функция

Кумера, Γ(x) — гамма-функция. Отметим, что сла-

Заметим теперь, что интеграл в равенстве (29) есть

гаемые, которые возникают от интегралов с непол-

фурье-преобразование величины

ной гамма-функцией, оказываются равными нулю.

Δ(S)12(x - x^′, t - t^′)Δ(S)11(x - x^′, t - t^′).

5. О ВОЗМОЖНОСТИ ФАЗОВОГО

Оказывается, что интеграл в (29) проще считать,

ПЕРЕХОДА ВТОРОГО РОДА

вычисляя это фурье-преобразование. В координат-

Влияние решеточных степеней свободы на тип

ном пространстве функции Δ(S)12(x^′ - x^′′, t^′ - t^′′),

фазового перехода рассматривалось ранее различ-

Δ(S)11(x^′ - x^′′, t^′ - t^′′) равны

ными авторами. Так, в работе [22] на примере уп-

руго-изотропного сегнетоэлектрика было показано,

Δ(S)12(x, t) =

что наличие сдвиговых напряжений и акустических

(4π)d/2(λ₀t)d/2

[

]

волн приводит к реализации фазового перехода пер-

(|x|)²

вого рода, близкого ко второму. Этот вывод справед-

× θ(t)exp -λ0r0t -

(30)

4λ₀t

лив и для модели Изинга. В монографии [23] для

магнитного перехода в ферромагнитное состояние в

простой модели учета обменострикции как функции

exp[-λ₀r₀|t|]

относительного объема системы также анализирова-

Δ(S)11(x, t) =

(2π)d/2|x|-1+d/2

лась возможность изменения типа фазового перехо-

∫∞

да. В этой модели происходит изменение термодина-

exp[-λ₀k²|t|]

× dk kd/2J1+d/2(k|x|)

(31)

мического потенциала, приводящее к уменьшению

(r₀

+k²)

100

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Распространение звука в области фазового перехода. . .

коэффициента при четвертой степени параметра по-

мально это означает, что продольные колебания ре-

рядка. Смена знака этого коэффициента нарушает

шетки при исследовании фазового перехода несуще-

условие существования перехода второго рода.

ственны. Ниже уточним этот вывод. В этом случае

Вернемся к нашей модели. Действие в квантово-

неренормированное действие запишется в виде

полевой теории ренормгруппы выбирается безраз-

∫

мерным в канонической размерности [20]. Поэтому

S_c = d^dxdt

S₁λ₀

S₁ -

S₁[S

1 + λ0([r0 - Δ]S1 +

все слагаемые, входящие в действие, должны быть

g₁₀ - 12γ2u0

g₂₀

безразмерными величинами. Величина β_c = 1/T_C

(S²¹ + S²²)S₁ +

S₁S²² +

обычно не пишется, так как ее убирают подходящим

[

растяжением переменных действия. Всем перемен-

+ 2(γs0 - wγu0)sS₁)] +

S₂λ₀

S₂ -

S₂

2 +

ным можно приписать канонические размерности,

g₁₀ - 12γ2u0

определив их из требования безразмерности каж-

+ λ₀([r₀ - Δ]S₂ +

(S²¹ + S²²)S₂ +

дого из вкладов в действие. В статическом случае

]

g₂₀

должна соблюдаться инвариантность относительно

S²¹S₂ + 2(γs0 - wγu0)sS₂)

растяжения всех величин и координаты (импульса)

− sκΔs - s[ s + κΔ(1 - w²)s +

[20]. В динамике существуют два независимых пре-

+ (γs0 - wγu0)(S²¹ + S²²)]).

(36)

образования масштабов, в одном из которых, как

и в статическом случае, растягиваются величины и

Обратим внимание на то, что имеет место пе-

координаты (импульс), а во втором — величины и

ренормировка константы взаимодействия g₁₀. Фазо-

время (частота). Поэтому любая величина обладает

вый переход второго рода может иметь место только

двумя независимыми каноническими размерностя-

в том случае, если выполняется неравенство

ми, а именно: импульсной d^pF , где d — обозначение

γ₁₀ - 12γ2u0 > 0.

(37)

канонической размерности, F — величина, для ко-

торой она определяется (индекс p указывает на им-

Следовательно, при наличии обменной стрикции и

пульсную размерность), и частотной d^ωF , где индекс

в отсутствие сдвиговых напряжений могут возник-

«ω» указывает на частотную размерность. Сейчас

нуть условия для реализации перехода первого рода,

действие должно быть инвариантным относительно

если неравенство (37) будет противоположным. Та-

общего масштабного преобразования, в котором од-

ким образом, в рассматриваемой модели, описыва-

новременно и согласованно растягиваются все вре-

ющей звуковые волны в области фазового перехода

мена и координаты (или частоты и импульсы). То-

второго рода, должно выполняться неравенство (37)

гда общие канонические размерности d_F для каж-

и отсутствовать сдвиговые напряжения в системе.

дой величины F определяются соотношениями [20]

При записи производящего функционала для

функций Грина с действием (36) нужно принять во

d_F = d^pF + Δ_ωd^ωF , ω ∼ pΔω.

(35)

внимание, что невозмущенные функции Грина Δ(S)12

Обратимся теперь к той части динамического дей-

и Δ(S)11 имеют тот же вид, что и раньше, а для функ-

ствия, которая описывает взаимодействие в систе-

ций 〈ss〉₀ и 〈ss〉₀ получим следующие выражения:

ме и характеризуется внешним параметром e. Ес-

(

)-1

ли d_e ≥ 0, то взаимодействие оказывается (инфра-

∂

〈ss〉₀ =

+ (1 - w²)κΔ

красно) существенным и должно приниматься во

∂t

(

)-1

внимание при исследовании фазового перехода. Ес-

∂

〈ss〉₀ =

+ (1 - w²)κΔ

(38)

ли d_e < 0, то взаимодействие с этим внешним па-

∂t

раметром необходимо отбросить. Отсюда следует,

(

)-1T

∂

что в модели, описывающей критическую динамику,

× 2κΔ

+ (1 - w²)κΔ

∂t

все инфракрасные несущественные вклады должны

быть отброшены, в том числе и в свободной части

действия [20]. В рассматриваемой модели величина

6. РЕНОРМГРУППОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Δ_ω ≈ 2. Можно показать, что действие (6) явля-

ется мультипликативно ренормируемым и для него

Нас интересует критическое поведение величины

имеем d_M = 2 - 2Δ_ω, d_DM = -2Δ_ω, что совпада-

I (34), полученное на основе действия (6). Однако в

ет с результатами в [13]. Таким образом, в динами-

предыдущем разделе было показано, что слагаемые,

ческом действии должны быть опущены слагаемые,

содержащие упругие переменные, не влияют на фа-

пропорциональные коэффициентам M и DM. Фор-

зовый переход. Поэтому исследование критического

101

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

поведения различных функций Грина нужно про-

рим связную ренормированную функцию Грина

ŃN)

водить на основе базового действия S_cB [20]. Оно

(p, ω, g₁, g₂, r, λ, μ).В этой функции имеет-

получается из (36) заменой величины r₀ = (T - TC0)

ся

M вставок типа

SS, M вставок типа SS,

на r = (T - T_C ) (где T_C — температура перехо-

сомножителей

S и N сомножителей S. Мы опу-

да, наблюдаемая экспериментально), величины λ₀ —

стили индексы у спиновых переменных, посколь-

на ее ренормированное значение λ, а также заме-

ку, как указано выше, все индексы равны единице.

ной неренормированных параметров взаимодейст-

Величины g₁, g₂, r, λ являются ренормированны-

вия gi0i = 1, 2 на параметры g_iB = g_iμ2ε (где g_i —

ми. Тогда ренормгрупповое уравнение для функции

ренормированные параметры, μ — затравочная мас-

ŃN)

(p, ω, g₁, g₂, r, λ, μ) записывается в виде

са) и γj0(j = s, u) — на величины γ_jB = γ_jμ^ε. Вы-

[

ражение для I содержит полюс относительно ма-

∂

+ β₁(g₁)

+ β₂(g₂)

лой величины ε. Поэтому необходимо ренормиро-

∂μ

∂g₁

∂g₂

]

вать эту величину для исключения расходимости.

∂

Выше уже указывалось, что действие (6) является

−γ_rr

-γ_λλ

+Nγ_S+

Ńγ˜S- Mγ_S2-

Mγ(˜SS)

∂r

∂λ

мультипликативно ренормируемым. Следовательно,

ŃN)

×W

(p, ω, g₁, g₂, r, λ, μ) = 0.

(41)

мы можем работать в схеме с минимальными вычи-

таниями [20]. Поэтому в рассматриваемом прибли-

В равенстве (41) параметры γ_i(i = r, S,S,S2,SS)

жении ренормировка I сводится просто к вычита-

есть аномальные размерности [20] величин, приве-

нию из нее полюсной части. В этом случае ренор-

денных в скобках, β_j (j = 1, 2) — бета-функции со-

мированная величина I_R записывается следующим

ответствующих ренормированных зарядов g1,2. Они

образом:

связаны с неренормированными зарядами g₁₀, g

rλ

соотношениями [20]

IR =

[ln r - ln 4π] ×

2³(2π)²

gi0 = g_iμ2εZgi , i = 1, 2,

(42)

(

)

Γ(2)

-p²λ²r

exp

(39)

где μ — затравочная масса, Zgi, (i = 1, 2) — конс-

(λp² - iω)²

λp² - iω

танты ренормировки зарядов [20]. Нас будет интере-

В равенстве (39) отброшены малые слагаемые,

ŃN)

совать функция W

непосредственно в кри-

пропорциональные степеням εⁿ с n > 1, а так-

тической точке фазового перехода, в которой обра-

же принята во внимание только экспоненциальная

щаются в нуль коэффициенты β₁(g₁), β₂(g₂). Обо-

часть функции Кумера, не зависящая от этого ма-

значим значения ренормированных констант взаи-

лого параметра. Заметим, что по аналогии с полу-

модействия в точке перехода как g∗1, g∗2. Исполь-

чением базового действия проведена замена нере-

зуя метод получения уравнения в критической точ-

нормированных параметров r₀, λ₀ на их ренор-

ке [20], получим следующее ренормгрупповое урав-

мированные значения r, λ. Функция I_R получе-

нение для искомой ренормированной функции W :

на нами в однопетлевом приближении и не содер-

[

жит констант взаимодействия g1B, g2B, γ_uB, γ_sB .

∂

+Δ_ωω

+Δ_rr

- ŃΔ˜S-NΔ_S+MΔ_S2 +

Фактически нужно исследовать критическое пове-

∂p

∂ω

∂r

]

дение функции

S_i(x, t)S_i(x, t)S_j(y, t^′)S_j(y, t^′)〉. Фор-

ŃN)

+MΔ(˜SS) W

(p, ω, g∗1, g∗2, r, λ, μ) = 0,

(43)

мально исследуется поведение этой функции, когда

спиновые индексы одинаковы и равны, скажем, ин-

где Δ_i = d_i + γ^∗i. В последнем равенстве аномаль-

дексу i = 1. Наличие других компонент учитывается

ная размерность γ^∗i получается путем подстановки

симметрийными множителями. Так, в однопетлевом

в ее выражение величин g∗1, g∗2. Обратим внимание

приближении этот множитель равен

)

на следующее обстоятельство. Критическая размер-

⁽10

2α

ность Δ_λ обращается в нуль [20]. Поэтому в уравне-

B = (g1B - 12γ2uB)

нии (43) отсутствует слагаемое с производной ∂_λ.В

12 + 4α

результате возникает связь между аномальной раз-

+g2B(g1B - 12γ2uB)

(40)

мерностью γ^∗λ

в критической точке и критической

g2B

α=

размерностью Δ_ω вида [20]

2(g1B - 12γ2uB)

Δ_ω = -(d

+ γ^∗λ)/d^ωλ,

Поэтому исследуем ренормгрупповое уравне-

ние для такого коррелятора. Для этого рассмот-

при этом d^pλ = -2, d^ωλ = 1.

102

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Распространение звука в области фазового перехода. . .

Ведем также безразмерные переменные

В результате в последнем сомножителе в правой

части уравнения (47) и возникает указанный по-

=ζ,

= z,

= q.

(44)

казатель степени. В монографии [20] сформули-

μ²

λμ²

ровано утверждение, что нетривиальный критиче-

В этих безразмерных переменных уравнение (43)

ский скейлинг характеризуется таким асимптотиче-

можно записать в виде

ским поведением, в котором аргументы скейлинго-

[

вой функции

∂

(

)

-ζ

-Δ_rz

-Δ_ωq

∂ζ

∂z

∂q

⁽p)-1/ν ω

⁽p)-Δω

]

W′(1100)

,g∗1, g^∗

μ²

λμ²

+ NΔ_S +

^ŃΔ˜S -MΔ_S2-

^MΔ(˜SS)

оказываются величинами порядка (или меньше)

ŃN)

×W^′

(ζ, z, q, g∗1, g∗2) = 0.

(45)

единицы, что приводит к взаимно согласованной ма-

лости переменных p, r, ω:

Штрих у ренормированной функции W означает,

что она записана через безразмерные переменные.

p → 0, r ∼ p1/ν, ω ∼ pΔω.

(48)

Решение уравнения (45) имеет вид

Интересно рассмотреть случай, когда к нулю

стремится величина r = (T - T_C ). В этой ситуации

ŃN)

W^′

(ζ, z, q, g∗1, g∗2) =

величину W′(1100)R(ζ, z, q, g∗1, g∗2) запишем в несколько

ŃN)

=W^′

(1, zζ-Δr , qζ-Δω , g∗1, g∗2) ×

ином виде:

⎡

⎤

∫

′(1100)

,g∗2) =

WR(ζ,z,q,g1

×exp⎣dt(NΔS +

^Ń

S-MΔ_S2-

^MΔ(˜SS))⎦.

(46)

(

)

(

)

(

)-νΔω

-ν

=W′(1100)

,g∗1, g^∗

μ μ²

λμ²

μ²

В равенстве (46) параметр t — переменная интегри-

(

)-ν(2d-2/ν+Δω)

рования, от которой критические размерности Δ_i

(49)

под знаком интеграла не зависят. В интересующем

μ²

нас случае будем иметь

Тогда самосогласованная малость величин r, p, ω

представляется в виде

W′(1100)R(ζ, z, q, g∗1, g∗2) =

(

)

r → 0, p ∼ r^ν, ω ∼ rνΔω.

(50)

-1/ν

⁽p⁾

⁽p)-Δω

=W′(1100)R

,g∗1, g^∗

Отметим теперь следующее обстоятельство. Ес-

μ²

λμ²

ли выразить величину I_R, определенную равен-

)-(2d-2/ν+Δω)

⁽p

ством (39), через инвариантные безразмерные пе-

(47)

ременные (44), то полученное выражение совпада-

′(1100)

ет с величиной W_R

(ζ, z, q, g∗1, g∗2)/B(g∗1, g∗2), где

В правой части уравнения (47) принято во внима-

B(g∗1, g∗2) определено в (40) с соответствующей заме-

ние, что критическая размерность Δ_r величины r =

ной параметров взаимодействия (42) их ренормиро-

= T - T_C, где T_C — истинная температура пере-

ванными значениями в критической точке.

хода, не меняется при переходе от статики к дина-

мике [20], т. е. равна 1/ν. Аномальная размерность

вставки S² есть 2 - 1/ν [24]. Размерность компонен-

7. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

ты параметра порядка d_S равна d/2 - 1 [13,20]. Та-

ЗВУКОВЫХ ВОЛН

ким образом, критическая размерность Δ_S2 равна

d - 1/ν. Размерность d˜S = d/2 + 1. Следовательно,

Дисперсионное уравнение для звуковых (упру-

d(˜SS) = d. Из данных работы [13] можно получить

гих) волн определяется полюсом функции G(u). Это

следующее соотношение для аномальных размерно-

уравнение справедливо и вблизи температуры пере-

стей: γ(˜SS) = -γ_r - γ_λ. В этом случае

хода в несоизмеримую фазу. Принимая во внима-

ние (26), получим [13]

γ^∗

= Δ_ω - 1/ν,

SS)

(

)

κw²p²

а критическая размерность

p²

- Mω² - DMp²iω -

κp² - iω

Δ(˜SS) = d + Δ_ω - 1/ν.

- Σ(p, ω) = 0.

(51)

103

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Действительная часть этого уравнения определяет

магнитной подсистемой и решеткой. Величина этой

зависимость частоты волны от волнового вектора. В

константы определяется обменной стрикцией. В ди-

общем виде уравнение для определения закона дис-

германиде железа, обладающем слоистой структу-

персии можно записать следующим образом:

рой, эти константы будут различными при распро-

странении звуковых волн вдоль главной оси и в слое.

wκ²p

Обменная стрикция будет сильнее в слое, посколь-

p²(1 - 8λ₀γ2u0 Re I_R) -

(κp²)² + ω²

ку расстояние между магнитными атомами внутри

8wκωp⁴λ₀γu0γs0

слоя оказывается меньше, чем это расстояние меж-

× [w-8λ₀γu0γs0 Re I_R]-

Im I_R -

(κp²)² + ω²

ду слоями. Отсюда ясно, что при распространении

упругих волн вдоль главной оси изменение часто-

8λ₀γ2s0w²p

16λ₀γ2s0w²p⁸ωκ

[(κp²)²-ω²] Re I_R+

ты волны будет меньше, чем при распространении

[(κp²)²+ω²]²

[(κp²+ω²)]²

волны вдоль слоя.

× Im I_R - Mω² = 0.

(52)

Определим фазовую скорость упругой волны со

Это неявное уравнение зависимости частоты ω от

стандартным соотношением c = ω/p, где ω — часто-

волнового вектора p аналитически вряд ли может

та волны, а p — модуль волнового вектора. Исполь-

быть решено. Поэтому необходимо сделать суще-

зуя это определение, запишем разность квадратов

ственное упрощение этого уравнения. Первое упро-

частот δω² в уравнении (56) так: δω² = (c² - c₀)p². В

щение состоит в том, что мы пренебрегаем вкла-

этом равенстве c — скорость звуковой волны, наблю-

дом от энтропии в это уравнение, т. е. полагаем кон-

даемая в эксперименте, c₀ — адиабатическая ско-

станту w равной нулю. В этом приближении урав-

рость звуковой волны, распространяющейся вдоль

нение (52) приобретает вид

оси [100] кристалла. Здесь необходимо сделать важ-

ное замечание. В критической области температур

p²(1 - 8λ₀γ2u0 Re I_R) - Mω² = 0,

(53)

адиабатическую скорость звука, обратный квадрат

где p — модуль волнового вектора упругой волны.

которой определяет величину M в (55), можно брать

Выразим коррелятор I_R через безразмерные пе-

как линейную экстраполяцию изменения скорости

ременные (44). Используя теперь равенство (49), бу-

звука при температурах значительно выше, чем

дем иметь

T_C [25]. Используем далее приближение c² - c²⁰ =

= δc² ∼ -(δc)². В этом случае из равенства (56)

IR(ζ, z, q) =

будем иметь

(

)

(

)

-ν

(

)-νΔω

[

(

=I_R

(

)_-ν

μ μ²

λμ²

μ²

δc

∼γu0

8λ₀ Re I_R

(

c₀

μ μ²

)-ν(2d-2/ν+Δω)

(54)

(

)

)]1/2

-νΔω

μ²

λμ²

μ²

Запишем квадрат частоты в уравнении (53) в ви-

де

(

)-ν(d-1/ν+Δω/2)

ω² = ω²⁰ + δω²,

(57)

(55)

μ²

ω²⁰ = p2/M.

В монографии [20] приведено значение индекса ν ≈

С учетом равенств (53)-(55) величина δω² может

быть представлена следующим образом:

≈ 0.671 для размерности пространства d = 3, в ра-

боте [10] рассчитана величина Δ_ω = 2+Rη, где R =

= 0.726(1 - 0.189) для d = 3, а индекс η = 0.040 [20].

δω² = -8λ₀γ2u0ω²⁰ ×

(

)

В этом случае модуль показателя степени в послед-

(

)

-ν

(

)-νΔω

нем сомножителе в правой части (57) равен 1.69.

× Re I_R

μ μ²

λμ²

μ²

Из экспериментальных данных работы [14] сле-

(

)-ν(2d-2/ν+Δω)

дует, что скорость звука продольной волны вдоль

(56)

направления [100] изменяется существенно больше,

μ²

чем в направлении [001], в котором это изменение

Изменение квадрата частоты, как видно из ра-

оказывается наименьшим. Понятно также, почему

венства (56), прямо пропорциональна квадрату кон-

изменение скорости волны вдоль направления [110]

станты γu0, определяющей величину связи между

оказывается промежуточным по величине, посколь-

104

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Распространение звука в области фазового перехода. . .

ку γu0 определяет тогда обменную стрикцию по диа-

лей задача была сведена к квантово-полевой моде-

гонали в слое.

ли. Определение функций Грина проводилось с ис-

Отметим, что характер изменения скорости

пользованием генерирующего функционала, в кото-

упругой волны формально совпадает с температур-

ром было проведено преобразование «смещения на

ным поведением функции f(r) = |r|(ln |r| - ln 4π),

константу», для избавления от слагаемых, линей-

входящей в выражение для I_R, так как в критичес-

ных по источникам полей. Дисперсионное уравне-

кой области последнее справедливо как выше, так

ние упругих волн определялось полюсом функции

и ниже температуры перехода [20]. При смещении

Грина 〈uũ〉. Собственно-энергетическая часть опре-

от точки перехода вверх по температуре эта функ-

делялась с точностью до второго порядка по теории

ция уменьшается по величине в той области темпе-

возмущений.

ратур, где существенны флуктуации параметра по-

Установлено, что в критической области вбли-

рядка. При температуре перехода она имеет макси-

зи температуры перехода второго рода в несоиз-

мум, в котором ее значение равно нулю. При тем-

меримую магнитную структуру изменение скорости

пературах ниже температуры перехода f(r) также

упругой волны относительно адиабатической скоро-

сначала уменьшается при удалении от точки пере-

сти этой волны, получаемой линейной аппроксима-

хода, достигая минимума, а затем начинает расти.

цией высокотемпературных значений, отнесенное к

Температура минимума равна T = TC - T0, тем-

адиабатической скорости, имеет степенной харак-

пература T₀ ∼ 4π/e ∼ 4.62 K. Тогда можно поло-

тер вида (T - T_C)-ν(d-1/ν+Δω/²⁾. Изменение квад-

жить, что в критической области c = c(T_C ) + δc, где

рата частоты упругой волны с температурой так-

δc ∼ Qf(r), Q — некоторая константа. При этом зна-

же имеет степенной характер с показателем степени,

чение температуры, в которой функция f(r) дости-

удвоенным по сравнению с написанным выше. По-

гает локального минимального значения, находится

казано, что изменение скорости звука в критической

в хорошем согласии с экспериментальными данны-

области коррелирует с температурным поведением

ми работы [14].

функции |r|(ln |r|-ln4π). Различная величина изме-

нения скорости продольного звука в направлениях

[100], [110], [001] cвязана с тем, что константы обме-

нострикции при распространении звука в этих на-

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

правлениях не совпадают между собой, причем об-

В работе рассмотрено распространение продоль-

менострикция при распространении вдоль направ-

ной упругой (звуковой) волны в окрестности фазо-

ления [001] оказывается наименьшей.

вого перехода в несоизмеримую магнитную структу-

Отметим, в заключение, что подход, развивае-

ру в слоистых тетрагональных системах на приме-

мый в статье для описания распространения звука

ре соединения FeGe₂. Описание проводилось на ос-

вблизи магнитного фазового перехода второго рода

нове анализа критической динамики с введением в

беспорядок-порядок может быть распространен и

рассмотрение случайных сил с корреляторами гаус-

на переходы в соизмеримую магнитную фазу, ко-

сова типа. На этом этапе важным оказывается то,

торая описывается двухкомпонентным параметром

каким образом вводится динамическая переменная,

порядка. Магнитный переход в этом случае не дол-

описывающая стохастическую решеточную динами-

жен сопровождаться изменением тетрагональной

ку. Для введения этой переменной учитываем из-

кристаллической структуры.

менение плотности термодинамического потенциала

в результате флуктуации. Представим систему как

Финансирование. Работа выполнена в рам-

набор подсистем, слабо взаимодействующих между

ках государственного задания Министерства науки

собой (например, только за счет градиентов пара-

и высшего образования РФ (шифр «Квант») Г.р.

метров порядка), тогда флуктуация в малой подси-

№ АААА-А18-118020190095-4.

стеме пропорциональна минимальной работе, кото-

рая совершается над подсистемой, включающей и

изменение тензора деформации. В результате уда-

ЛИТЕРАТУРА

ется ввести динамическую переменную, описываю-

1. K. P. Belov, G. I. Katayev, and R. Z. Levitin, J. Appl.

щую стохастическую решеточную динамику и вклю-

Phys. Suppl. 31, 1535 (1960).

чить слагаемые с этой переменной в изменение тер-

модинамического потенциала системы, а значит, и в

2. Л. Д. Ландау, Т. М. Халатников, ДАН СССР 96,

действие нашей задачи. Путем удвоения числа по-

469 (1954).

105

В. В. Меньшенин

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

J. R. Neighbours, R. W. Olivers, and C. H. Stillwell,

16.

H. L. Smith, Y. Chen, D. S. Kim et al., Phys. Rev.

Phys. Rev. Lett. 10, 125 (1963).

Mater. 2, 103602 (2018).

H. Mori, Progr. Theor. Phys. 33, 423 (1965).

17.

О. В. Ковалев, Неприводимые и индуцирован-

ные представления и копредставления федоров-

K. Tani and H. Mori, Progr. Theor. Phys. 39, 876

ских групп, Наука, Москва (1986).

(1968).

18.

В. В. Меньшенин, ФТТ 61, 652 (2019).

B. I. Halperin, P. C. Hoenberg, and S.-Keng Ma,

19.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

Phys. Rev. Lett. 29, 148 (1972).

физика, ч. 1, Наука, Москва (1976).

Ш. Ма, Современная теория критических явле-

20.

А. Н. Васильев, Квантовополевая ренормгруппа в

ний, Мир, Москва (1980).

теории критического поведения и стохастичес-

H. K. Jenssen, Z. Phys. B 23, 377 (1976).

кой динамике, Изд-во ПИЯФ, Санкт-Петербург

(1998).

C. De Domimicis and L. Peleti, Phys. Rev. B 18, 363

(1977).

21.

А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошин-

ский, Методы теории поля в статистической

10.

Н. В. Антонов, А. Н. Васильев, ТМФ 60, 59 (1984).

физике, Изд-во Добросвет, Москва (1998).

11.

R. Bausch, H. H. Janssen, and H. Wagner, Z. Phys.

22.

А. И. Ларкин, С. А. Пикин, ЖЭТФ 56, 1664

B 24, 113 (1976).

(1969).

12.

R. Dengler and F. Schwabl, Z. Phys. B 69, 327 (1987).

23.

Физика магнитных диэлектриков, под ред.

Г. А. Смоленского, Наука, Москва (1974).

13.

B. Drossel and F. Schwabl, Z. Phys. B 91, 93 (1993).

24.

D. J. Amit, Field Theory, the Renormalization Group

14.

K. Б. Власов, Е. В. Устелемова, Р. И. Зайнуллина

and Critical Phenomena, Singapore Nat. Printers

и др., ФТТ 32, 1385 (1990).

(Pte) Ltd, Singapore (1978).

15.

Р. И. Зайнуллина, М. А. Миляев, ФТТ 61, 1336

25.

K. Kawasaki and A. Ikushima, Phys. Rev. B 1, 3143

(2019).

(1970).

106