ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 1 (7), стр. 35-41

ДИФРАКЦИОННАЯ СТРУКТУРА КВАНТОВЫХ

ФАНТОМНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Д. А. Балакин^*, А. В. Белинский^**

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 7 февраля 2021 г.,

после переработки 17 февраля 2021 г.

Принята к публикации 24 февраля 2021 г.

Рассмотрено влияние дифракции, обусловленное конечной шириной накачки, освещающей нелинейный

кристалл, в котором происходит параметрическое рассеяние, на пространственное разрешение фантом-

ных изображений. Даны необходимые формальные соотношения, предложен алгоритм расчета и проведе-

но численное моделирование, учитывающее влияние этого искажающего фактора на качество фантомных

изображений.

DOI: 10.31857/S004445102107004X

объектном канале, в котором происходит освещение

регистрируемого объекта, а в сопряженном канале

[18]. Корреляция носителей света в этих каналах

1. ВВЕДЕНИЕ

позволяет восстанавливать изображение объекта.

Открытие и реализация параметрического рассе-

В настоящее время известно много разновиднос-

яния света, в ходе которого рождаются жестко кор-

тей схем формирования фантомных изображений

релированные пары фотонов, породило множество

[18-25], но почти всегда наиболее весомым факто-

новых направлений современной квантовой физики

ром, ограничивающим их пространственное разре-

и квантовой нелинейной оптики [1-6]. Спектр этих

шение, является дифракция [26-28]. Приближенные

оценки ее влияния рассмотрены в работах [26, 28],

новшеств необычайно широк: от фундаментальней-

ших вопросов квантовой теории, например, экспери-

но строгого решения задачи до сих пор не суще-

ментальной проверки теоремы Белла [7-15], до чи-

ствует. Мы попытались восполнить этот недостаток

сто прикладных задач, связанных, например, с без-

прямым аналитическим и численным моделирова-

эталонной калибровкой фотоприемников в режиме

нием процесса формирования квантовых фантом-

счета фотонов [16].

ных изображений с помощью трехфотонного пара-

метрического рассеяния света. В идеале, имея ха-

В свое время значительную часть оптических

рактерный объект регистрации и основные парамет-

приложений параметрического рассеяния было

ры нелинейно-оптической системы, хотелось бы по-

предложено называть двухфотонной оптикой [17].

лучать моделируемое изображение и оценивать его

Дело в том, что «обычные» изображения формиру-

качество, не тратя время и средства на натурный

ются и регистрируются обычной прямой фиксацией

одиночных фотонов или их групп. В двухфотонной

эксперимент. Этому и посвящена настоящая работа.

же оптике информативными являются только

одновременно регистрируемые коррелированные

фотонные пары. Это дает целый ряд преимуществ,

2. ОПТИЧЕСКАЯ СХЕМА

связанных с запутанностью фотонов пары, напри-

мер, в подавлении шума и др. Примером такого

Для формирования фантомных изображений

рода являются изображения, позже названные

необходим источник коррелированных световых

фантомными потому, что они появляются не в

пучков, один из которых взаимодействует с объек-

^* E-mail: balakin_d_a@physics.msu.ru

том, а другой — нет, см. рис. 1. При формировании

^** E-mail: belinsky@inbox.ru

квантовых фантомных изображений для этого, как

Д. А. Балакин, А. В. Белинский

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОЙ

СТРУКТУРЫ КВАНТОВЫХ ФАНТОМНЫХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для изучения влияния дифракции на формиро-

вание фантомного изображения вначале рассмот-

рим параметрическое рассеяние фотонов накачки в

нелинейном кристалле. Будем считать, что накач-

ка неистощима, а частоты сигнальных и холостых

фотонов одинаковы.

Для получения системы уравнений, моделирую-

щих параметрическое рассеяние фотонов накачки

в нелинейном кристалле, рассмотрим оператор им-

пульса электромагнитного поля, аналогичный рас-

смотренному в [29]:

(

∫

Рис. 1. Формирование квантового фантомного изображе-

Ĝ₌ ℏ dr^′

-igA_p(r^′)A†s(r′, z)A†i(r′, z)+H.c. +

ния. NC — нелинейный кристалл, ωp — луч накачки, ωs и

⎞

ωi — лучи запутанных фотонов (которые расходятся вслед-

∑

A^†j(r^′, z)∂Aˆ_j(r^′, z)

ствие использования неколлинеарного параметрического

⎠,

(1)

∂r^′

рассеяния), O — исследуемый объект, BD — собирающий

j=i,s

детектор в объектном канале, L — линза, CCD — матрица

где параметр g определяется оптической нелинейно-

датчиков в восстанавливающем канале, C — коррелятор

интенсивностей (схема совпадений)

стью среды, A_p(·) — пространственное распределе-

ние амплитуды накачки, k — волновое число рож-

дающихся фотонов.

В работах [30,31] был предложен формализм опе-

правило, используются параметрические процессы

ратора импульса и отмечено, что хотя при изучении

преобразования фотонов накачки в нелинейном

временной эволюции квантовой системы удобнее ра-

кристалле. При этом в объектном канале детектор

ботать с гамильтонианом, при изучении свойств си-

дает информацию только о полной интенсивности

стемы, связанных с распространением частиц вдоль

прошедшего излучения. Фотоны, направленные в

оси z с фиксированной по модулю скоростью, пред-

восстанавливающий канал, не взаимодействуют с

почтительно использование оператора импульса.

объектом, но регистрируются матрицей фотоде-

Позднее этот прием был успешно использован ав-

текторов, при помощи выходного сигнала которой

торами статьи [29] для моделирования распростра-

определяется пространственная корреляционная

нения света в нелинейном многослойном фотонном

функция интенсивности между двумя каналами.

кристалле. В рассматриваемом случае уравнения

эволюции имеют вид

Одним из важных доводов в пользу использова-

[

]

ния квантовых фантомных изображений является

A_s,i(r_⊥, z)

iℏ

Ĝ,As,i(r⊥, z) ,

(2)

создание максимально щадящих условий освещения

∂z

исследуемого объекта, когда воздействие излучения

где

A_s,i — полевые операторы сигнальных (s) и хо-

на объект (иногда необратимое) минимально [19].

лостых (i) фотонов, направление оси z совпадает

Качество изображения — его пространственное

с направлением распространения фотонов, вектор

разрешение с учетом уровня шумов — является ос-

r_⊥ перпендикулярен ему. Операторы

A_s,i(r_⊥, z) и

новной характеристикой практически любой опти-

A^†s,i(r_⊥, z) удовлетворяют коммутационным соотно-

ческой системы. В квантовых фантомных изобра-

шениям:

[

]

жениях ему в последнее время уделяется значитель-

A^†j(r_⊥, z),Ak(r′⊥, z) = -δjkδ(r⊥ - r′⊥),

ное внимание, что обусловлено не только существен-

[

]

(3)

ными пробелами в теории, но и неудовлетворитель-

A_j(r_⊥, z),Ak(r′⊥, z) = 0,

ным пространственным разрешением, достигнутым

в экспериментах. При этом основной ограничитель

где j, k ∈ {s, i}. Заметим, что обычно при изучении

пространственного разрешения — дифракция.

в картине Гейзенберга распространения квантовых

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Дифракционная структура квантовых фантомных изображений

частиц решается уравнение Гейзенберга для соот-

Обозначим полевые операторы на выходе кристалла

ветствующих полевых операторов при фиксирован-

A(out)s,i(r_⊥). В силу (5) они равны

ном волновом векторе, после чего пространствен-

ная координата вдоль направления распростране-

A(out)s,i(r_⊥) =

A(in)s,i(r_⊥)ch(|gA_p(r_⊥)|l) +

ния и время связываются через скорость распро-

gA_p(r_⊥)

странения. Тем самым частота частицы и ее вол-

+Aˆ(in)†i,s(r_⊥)

sh(|gA_p(r_⊥)|l).

(6)

|gA_p(r_⊥)|

новой вектор оказываются связанными. Напротив,

при использовании оператора импульса и уравнений

Как показано в [18], корреляционная функция

(2) рассматриваются полевые операторы при фикси-

флуктуаций интенсивности в каналах равна

рованной частоте и заданном направлении распро-

∫



странения [31]. Таким образом, моды с определен-



G(r^′⊥, r_⊥) =

r^′′⊥dr^′′′⊥h₁(r^′⊥, r^′′⊥)h₂(r_⊥, r^′′′⊥) ×

 d

ным волновым числом k (например, exp(-ikz)) за-



меняются на моды с определенной частотой ω (на-

²

× 〈A(out)s(r^′′⊥)A(out)i(r^′′′⊥)〉



(7)

пример, exp(-iωt)), распространяющиеся в задан-



ном направлении. Подстановкой оператора импуль-

где усреднение выполняется при вакуумном состо-

са (1) в уравнения эволюции (2) и последующим

янии полей на входе в кристалл, а h₁ и h₂ — пере-

использованием коммутационных соотношений по-

даточные функции каналов. Для получения форми-

лучаем, что в указанном приближении нелинейный

руемого изображения функцию (7) далее необходи-

процесс описывается следующей системой уравне-

мо проинтегрировать по r^′⊥, поскольку собирающий

ний в частных производных, см., например, [32-36]:

детектор в объектном канале регистрирует весь све-

(

)

∂

товой пучок и не обладает пространственным разре-

Δ_⊥

A_s(r_⊥, z) = gA_p(r_⊥)A†i(r⊥, z),

∂z

шением.

(4)

Пусть в объектном канале объект, описываемый

(

)

∂

амплитудным коэффициентом пропускания T (r_⊥),

Δ_⊥

A_i(r_⊥, z) = gA_p(r_⊥)A†s(r⊥, z),

∂z

находится на расстоянии s_s от кристалла и сразу

за ним расположен собирающий детектор, тогда в

0≤z≤l,

A_s,i(r_⊥, 0) = A(in)s,i(r_⊥),

приближении Френеля (§ 32 в [37])

где l — толщина кристалла, Δ_⊥ — поперечный ла-

k exp(iks_s)

пласиан. Для простоты мы рассматриваем колли-

h₁(r^′⊥, r^′′⊥) =

T (r^′⊥) ×

2πi

s_s

неарный процесс. Дело в том, что при втором типе

⁽ik(∥r^′⊥ - r^′′⊥∥²)).

параметрического рассеяния сигнальный и холостой

× exp

(8)

2s_s

пучки не вырождены по поляризации, поэтому их

можно разделить поляризационной призмой даже в

Если в восстанавливающем канале нет линз, а мат-

случае коллинеарного процесса.

рица датчиков расположена на расстоянии s от кри-

Отметим также, что система уравнений (4) ана-

сталла, то в приближении Френеля

логична соответствующей системе для комплекс-

ных амплитуд в классическом описании. Линей-

k exp(iks)

h₂(r_⊥, r^′′′⊥) =

ность уравнений позволяет заменить комплексные

2πi

амплитуды полей соответствующими операторами в

⁽ik(∥r_⊥ - r^′⊥∥²)⁾

× exp

(9)

представлении Гейзенберга благодаря отсутствию в

системе произведений операторов, вследствие чего

а если в восстанавливающий канал помещена тон-

некоммутативность операторов не влияет на резуль-

кая линза с фокусным расстоянием f = s/2 (напри-

тат.

мер, линза находится на расстояниях 2f от матри-

В силу малой толщины кристалла по сравнению

цы датчиков и от объекта вдоль осей каналов), то в

с длиной пути света от кристалла до детекторов

приближении Френеля (§ 35 в [37])

для упрощения системы уравнений (4) можно прене-

бречь дифракцией в кристалле, т. е. решать систему

exp(iks)

⁽ik(∥r_⊥-r^′′′⊥∥²)⁾

h₂(r_⊥, r^′′′

⊥

exp

∂

2πi

A_s(r_⊥, z) = gA_p(r_⊥)A†i(r⊥, z),

(

)

∂z

0≤z≤l.

(5)

ik∥r^′′′⊥∥2

∂

× exp

(10)

A_i(r_⊥, z) = gA_p(r_⊥)A†s(r⊥, z),

∂z

Д. А. Балакин, А. В. Белинский

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

∫

∫

k⁴



G(r_⊥) =

dr^′⊥|T (r^′⊥)|²



dr^′′⊥ ×



16π⁴s⁴

)

⁽ik(∥r^′⊥ - r^′′⊥∥² + ∥r_⊥ - r^′′⊥∥²)

× exp

(

)

ik∥r^′′⊥∥²

× exp

(

))

∥r^′′⊥∥²

× ch

gA₀l exp

2a²

(

)) 

∥r^′′⊥∥²

²

Рис. 2. Моделирование формирования квантовых фантом-



× sh gA₀l exp

(12)



2a²

ных изображений согласно формуле (12). Размер изобра-

жений 6×6 мм. Слева — распределение прозрачности объ-

где рассмотрено усиление в поле фокусиро-

екта T (·) (щель шириной 0.16 мм), справа — корреляци-

ванного гауссовского пучка накачки, A_p(r_⊥)

онная функция G(·)

(

)

= A0 exp

-∥r_⊥∥²/(2a²)

, и учтено, что g, A₀, a —

положительные числа. В случае же передаточной

функции (9)

∫

∫

k⁴



G(r_⊥) =

dr^′⊥|T (r^′⊥)|²

dr^′′⊥ ×



16π⁴s⁴

)

⁽ik(∥r^′⊥ - r^′′⊥∥² + ∥r_⊥ - r^′′⊥∥²)

× exp

(

))

∥r^′′⊥∥²

× ch

gA₀l exp

2a²

(

)) 

∥r^′′⊥∥²



× sh

gA₀l exp

(13)



2a²

Заметим, что если бы в формуле (12) отсутство-

вал связанный с накачкой множитель (последние

две строки), то она бы, с точностью до постоянного

для всего изображения множителя, соответствовала

формированию обычного изображения равномерно

освещенного объекта удаленной от него на расстоя-

Рис. 3. Профиль изображения щели на рис. 2, ср. с рис. 5

ние s тонкой линзой с тем же фокусным расстояни-

из [38], (сплошная линия) и профиль распределения про-

ем f = s/2 в плоскости на расстоянии s от линзы в

зрачностей самой щели (штриховая)

отсутствие вакуумных флуктуаций.

Поскольку внутренний интеграл в (12) не берет-

ся аналитически, для моделирования формирования

фантомных изображений использованы численные

С учетом (6)

методы. Для расчета заметим, что при фиксирован-

ном r^′⊥ внутренний интеграл в (12) может быть вы-

числен как свертка функции

〈A(out)s(r^′′⊥)A(out)i(r^′′′⊥)〉 = ch (|gA_p(r^′′⊥)|l) ×

k exp(iks)

⁽ik(∥·∥²)⁾

exp

gA_p(r^′′⊥)

2πis

sh(|gA_p(r^′′⊥)|l)δ(r^′′⊥ - r^′′′⊥).

(11)

|gA_p(r^′′⊥)|

с произведением функции

(

))

∥·∥²

Таким образом, при s = s_s формируемое фан-

ch gA₀l exp

2a²

томное изображение в случае конфигурации восста-

(

))

(

)

∥·∥²

ik∥·∥²

навливающего канала, охарактеризованной переда-

× sh gA₀l exp

exp

точной функцией (10), описывается функцией

2a²

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Дифракционная структура квантовых фантомных изображений

Рис. 5. Профиль изображения щели на рис. 4 (сплош-

ная линия) и профиль распределения прозрачностей са-

мой щели (штриховая)

Результаты вычисления по формуле (12) сфор-

мированных фантомных изображений показаны на

рис. 2-4. Использованные значения параметров: a =

= l = 3 мм, k ≈ 8.95 · 10³ мм (соответствует длине

волны 702.2 нм), gA₀l = 1.

На рис. 2, 3 s = 1500 мм, s_s = 1000 мм, f =

= 500 мм. Степень размытия, полученная в ре-

зультате компьютерного моделирования, согласует-

Рис. 4. Моделирование формирования квантовых фантом-

ся с экспериментально наблюденной степенью раз-

ных изображений оптических мир и щели согласно фор-

мытия, полученной в [38], см. рис. 3.

муле (12). Расстояния между щелями мир 0.01, 0.02, 0.05,

На рис. 4, 5 s = s_s = 500 мм, f = s/2.

0.1 мм (верхняя пара изображений; 50, 25, 10 и 5 штри-

хов на миллиметр), 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 мм (средняя пара

изображений; 25, 16.7, 12.5 и 10 штрихов на миллиметр).

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ширина щели 0.16 мм. В левом столбце распределения

прозрачностей объектов T(·), в правом — корреляционные

Итак, нам удалось смоделировать формирование

функции G(·)

фантомных изображений дифракционно-ограничен-

ной квантовой нелинейно-оптической системой. За-

давая произвольный объект регистрации, мы по-

и сдвинутой на r^′⊥ функции

лучаем его компьютерное изображение. При этом

сразу можно менять параметры системы, добива-

k exp(iks)

⁽ik(∥·∥²)⁾

ясь оптимальных характеристик и качества изобра-

exp

2πis

жения. Но это только начало работы. Не представ-

ляет принципиальной сложности вместо идеальной

Это позволило выполнить расчеты по формуле (12)

линзы установить реальный объектив, что позволит

вычислением дискретной свертки массива значений

учесть не только дифракционные ограничения, но

внутреннего интеграла при фиксированном значе-

и аберрационные искажения. Интересно также ис-

нии r^′⊥ и при всех значениях r_⊥, принадлежащих

следовать влияние пространственной конфигурации

выбранной сетке с постоянным шагом, а затем сум-

накачки. Но это предмет дальнейшей работы. А к

мированием поэлементных квадратов модулей по-

каким выводам можно прийти уже сейчас?

лученных массивов с весами, равными коэффици-

Подводя итоги, можно заключить, что компью-

ентам пропускания по интенсивности соответствую-

терное моделирование снова подтверждает утверж-

щих пикселей освещаемого объекта.

дение о большем влиянии дифракции на фантом-

Д. А. Балакин, А. В. Белинский

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

ные изображения по сравнению с обычными. В са-

J. S.Bell, Physics 1(3),

195

(1964), doi:10.1103/

мом деле, как отмечено выше, по дифракционным

physicsphysiquefizika.1.195.

свойствам фантомное изображение, полученное по

J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony et al., Phys.

схеме рис. 1, аналогично изображению, сформиро-

Rev. Lett. 23, 880 (1969), doi:10.1103/physrevlett.

ванному на расстоянии от объекта, равном сумме

23.880.

оптических длин каналов, что увеличивает влияние

дифракции по сравнению с обычным изображени-

A. Aspect, in Quantum

[Un]speakables, ed. by

ем приблизительно во столько раз, во сколько сум-

R. A. Bertlmann and A. Zeilinger (2002), p. 119,

ма оптических длин каналов превышает оптическую

doi: 10.1007/978-3-662-05032-3_9; arXiv:quant-ph/

0402001.

длину объектного канала. Вместе с тем использова-

ние гауссовского пучка накачки ограничивает попе-

10.

А. В. Белинский, Д. Н. Клышко, УФН

163,

речные размеры пучка более «мягко», чем это де-

(1993), doi:10.3367/UFNr.0163.199308a.0001.

лало бы размещенное на месте нелинейного кри-

[A.

V. Belinskii and D. N. Klyshko,

сталла зеркало или объектив с резкими границами,

Phys. Usp.

36,

653

(1993), doi:10.1070/

что, напротив, несколько уменьшает обусловленное

PU1993v036n08ABEH002299].

дифракцией размытие. Но все зависит, конечно, от

11.

X. Ma, J. Kofler, and A. Zeilinger, Rev. Mod.

апертуры оптики.

Phys. 88, 015005 (2016), doi:10.1103/revmodphys.

Однако это не означает бесперспективности уси-

88.015005.

лий по получению фантомных изображений высоко-

го качества. Так, в работах [39,40] предложено до-

12.

Н. Жизан, Квантовая случайность. Нелокаль-

полнительное формирование и регистрация в объ-

ность, телепортация и другие квантовые чуде-

ектном канале изображения исследуемого объекта,

са, Альпина нон-фикшн, Москва (2016) [N. Gisin,

что позволяет ослабить влияние дифракции при ис-

Quantum Chance: Nonlocality, Teleportation and

пользовании для последующей математической об-

Other Quantum Marvels, Springer-Verlag (2014)].

работки пары полученных изображений методом ре-

13.

А. В. Белинский, А. А. Клевцов, УФН 188, 335

дукции измерения к виду, свойственному измерени-

(2018), doi:10.3367/UFNr.2017.09.038210 [A. V. Be-

ям распределения прозрачности объекта. А в рабо-

linsky and A. A. Klevtsov, Phys. Usp. 61, 313 (2018),

те [41] показаны возможные преимущества в этом

doi:10.3367/UFNe.2017.09.038210].

плане встречного четырехфотонного смешения за

счет снятия ограничений на соблюдение фазового

14.

M. Proietti, A. Pickston, F. Graffitti et al., Sci. Adv.

5(9), eaaw9832 (2019), doi:10.1126/sciadv.aaw9832.

синхронизма для эффективной генерации сигналь-

ного и холостого пучков.

15.

А. В. Белинский, УФН 190,

1335

(2020), doi:

10.3367/UFNr.2020.05.038767 [A. V. Belinsky, Phys.

Usp. 63,

1256

(2020), doi:10.3367/UFNe.2020.05.

ЛИТЕРАТУРА

038767].

1. Д. Н. Клышко, Письма в ЖЭТФ 6, 490 (1967).

16.

Д. Н. Клышко, А. Н. Пенин, УФН 152, 653 (1987),

doi:10.3367/ufnr.0152.198708e.0653 [D. N. Klyshko

2. С. А. Ахманов, В. В. Фадеев, Р. В. Хохлов и др.,

and A. N. Penin, Sov. Phys. Usp. 30, 716 (1987)].

Письма в ЖЭТФ 6, 575 (1967) [S. A. Akhmanov,

V. V. Fadeev, R. V. Khokhlov et al., JETP Lett. 6,

17.

А. В. Белинский, Д. Н. Клышко, ЖЭТФ 105, 487

85 (1967)].

(1994) [A. V. Belinskii and D. N. Klyshko, JETP 78,

259 (1994)].

3. S. E. Harris, M. K. Oshman, and R. L. Byer, Phys.

Rev. Lett. 18, 732 (1967), doi:10.1103/physrevlett.

18.732.

18.

А. Гатти, Э. Брамбилла, М. Баке и др., в Кванто-

вое изображение, под ред. М. И. Колобова (ориг.),

4. D. Magde and H. Mahr, Phys. Rev. Lett. 18, 905

А. С. Чиркина (пер.), Физматлит, Москва (2009),

(1967), doi:10.1103/physrevlett.18.905.

с. 96 [A. Gatti, E. Brambilla, M. Bache et al., in

Quantum Imaging, ed. by M. I. Kolobov, Springer

5. D. Magde and H. Mahr, Phys. Rev. 171, 393 (1968),

(2007), p. 79].

doi:10.1103/physrev.171.393.

6. Д. Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика,

19.

M. G. Basset, F. Setzpfandt, F. Steinlechner et al.,

Наука, Москва (1980) [D. N. Klyshko, Photons and

Laser & Photon. Rev. 13,

1970042

(2019), doi:

Nonlinear Optics, CRC Press (1988)].

10.1002/lpor.201970042.

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Дифракционная структура квантовых фантомных изображений

20.

J. H. Shapiro and R. W. Boyd, Quant. Inf. Process.

31.

M. Toren and Y. Ben-Aryeh, Quant. Opt.: J. Europ.

11, 949 (2012), doi:10.1007/s11128-011-0356-5.

Opt. Soc., Part B 6, 425 (1994), doi:10.1088/0954-

8998/6/5/006.

21.

B. I. Erkman and J. H. Shapiro, Adv. Opt. Photon.

32.

С. А. Ахманов, А. В. Белинский, А. С. Чиркин,

2, 405 (2010), doi:10.1364/aop.2.000405.

КЭ 15, 873 (1988) [S. A. Akhmanov, A. V. Belinskii,

22.

D. Duan, Sh. Du, and Yu. Xia, Phys. Rev. A 88,

and A. S. Chirkin, Sov. J. Quant. Electron. 15, 873

053842 (2013), doi:10.1103/physreva.88.053842.

(1988)].

33.

М. И. Колобов, И. В. Соколов, ЖЭТФ 96, 1945

23.

D.-J. Zhang, H.-G. Li, Q.-L. Zhao et al., Phys.

(1989) [M. I. Kolobov and I. V. Sokolov, JETP 69,

Rev. A 92, 013823 (2015), doi:10.1103/physreva.92.

1097 (1989)].

013823.

34.

А. В. Белинский, А. С. Чиркин, ЖТФ 59(4), 174

24.

A. S. Chirkin, P. P. Gostev, D. P. Agapov et al., Laser

(1989).

Phys. Lett. 15,

115404

(2018), doi:10.1088/1612-

202x/aae4a6.

35.

А. В. Белинский, А. С. Чиркин, Вестник Московс-

кого унив. Серия 3. Физика, астрон. №30, 38 (1989)

25.

А. С. Чиркин, Письма в ЖЭТФ 102, 444 (2015)

[A. V. Belinskii and A. S. Chirkin, Moscow Univ.

[A. S. Chirkin, JETP Lett. 102, 404 (2015), doi:

Phys. Bull. 30(3), 38 (1989)].

10.1134/S0021364015180046].

36.

А. В. Белинский, А. С. Чиркин, КЭ 16, 2551 (1989)

26.

А. В. Белинский, Вестник Московского унив. Се-

[A. V. Belinsky and A. S. Chirkin, Sov. J. Quant.

рия 3. Физика, астрон. №5, 3 (2018) [A. V. Belinsky,

Electron. 19, 1638 (1989)].

Moscow Univ. Phys. Bull. 73(5), 447 (2018), doi:

10.3103/S0027134918050053].

37.

А. Н. Матвеев, Оптика, Высш. школа, Москва

(1985) [A. N. Matveev, Optics, Mir, Moscow (1988)].

27.

P.-A. Moreau, P. A. Morris, E. Toninelli et al.,

38.

Y.-H. Kim and Y. Shih, Found. Phys. 29,

1849

Sci. Rep. 8, 13183 (2018), doi:10.1038/s41598-018-

(1999), doi:10.1023/a:1018890316979.

31429-y.

39.

Д. А. Балакин, А. В. Белинский, Вестник Московс-

28.

P.-A. Moreau, E. Toninelli, P. A. Morris et al., Opt.

кого унив. Серия 3. Физика, астрон. № 4, 12 (2020)

Express 26, 7528 (2018), doi:10.1364/oe.26.007528.

[D. A. Balakin and A. V. Belinsky, Moscow Univ.

Phys. Bull. 75(4), 12 (2020)].

29.

A. S. Chirkin and E. V. Makeev, J. Opt. B:

Quant. Semiclass. Opt. 7, S500 (2005), doi:10.1088/

40.

D. A. Balakin and A. V. Belinsky, Quant. Inf.

1464-4266/7/12/010.

Process. 19(9), 316 (2020), doi:10.1007/s11128-020-

02820-4.

30.

B. Huttner, S. Serulnik, and Y. Ben-Aryeh, Phys.

41.

А. В. Белинский, Р. Сингх, ЖЭТФ 159, 258 (2021)

Rev. A 42, 5594 (1990), doi:10.1103/physreva.42.

5594.

[A. V. Belinsky and R. Singh, JETP 132, 212 (2021)].