ЖЭТФ, 2021, том 160, вып. 1 (7), стр. 5-12

СКОРОСТЬ ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ В СИЛЬНОМ ПОЛЕ

В ТЕОРИИ ПЕРЕХОДОВ ЛАНДАУ - ДЫХНЕ

В. М. Петрович^a, Х. С. Делибашичa*, И. Д. Петрович^b

^a University of Kragujevac, Faculty of Science

34000, Kragujevac, Serbia

^b University of Kragujevac, Technical Collage of Applied Studies

34000, Kragujevac, Serbia

Поступила в редакцию 24 декабря 2020 г.,

после переработки 24 декабря 2020 г.

Принята к публикации 13 января 2021 г.

(Перевод с английского)

STRONG-FIELD TUNNELING IONIZATION RATE BASED

ON LANDAU-DYKHNE TRANSITION THEORY

V. M. Petrović, H. S. Delibašić, I. D. Petrović

С помощью теории переходов Ландау- Дыхне исследована ионизация атома гелия и подобных ему атомов

в поле линейно-поляризованного лазерного излучения низкой частоты. С учетом кулоновской поправ-

ки и взаимодействия электронов в основном состоянии получено выражение для скорости туннельных

переходов, вызванных импульсами линейно-поляризованного излучения с тригонометрической формой

огибающей. Проведено сравнение этой зависимости с результатами теории Аммосова - Делоне - Край-

нова. Полученная зависимость имеет правильную форму, но скорость ионизации превышает результат

теории Аммосова - Делоне - Крайнова. В дополнение к этому проведено исследование при различных

длинах волн, а также при учете пондеромоторного сдвига в потенциале ионизации. Проведенный анализ

показывает, что учет дополнительных членов в потенциале ионизации приводит к уменьшению скорости

переходов. Эта скорость зависит от формы лазерных импульсов. Согласно нашим расчетам скорость

ионизации также сильно зависит от длины волны лазерного излучения (его частоты) и от параболичес-

кой координаты.

DOI: 10.31857/S0044451021070014

низм фотоионизации, который необходимо детально

изучить как с теоретической, так и с эксперимен-

тальной точек зрения [3, 4].

1. ВВЕДЕНИЕ

Зависимость вероятности ионизации (скорости

Результатом исследований взаимодействия ла-

зерного излучения и атомов, выполненных за по-

ионизации) от потенциала ионизации и свойств по-

ля лазерного излучения была теоретически исследо-

следние три десятилетия, стало общее понимание

нелинейных оптических явлений вне рамок теории

вана в работе Келдыша [5]. В ней ионизация пони-

возмущения, таких как генерация гармоник высоко-

малась как покидание валентным электроном ато-

ма или молекулы под воздействием поля лазерно-

го порядка, оптическое отражение, смешивание час-

тот и самофокусировка света [1,2]. Объяснение фи-

го излучения большой напряженности при погло-

щении нескольких фотонов (многофотонная иони-

зической картины этих процессов включает меха-

зация) или в результате туннелирования под потен-

^* E-mail: hristina.delibasic@pmf.kg.ac.rs

циальным барьером, который создается благодаря

В. М. Петрович, Х. С. Делибашич, И. Д. Петрович

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

действию кулоновских сил и полю лазерного излу-

сти поля лазерного излучения F₀. Справедливость

чения (туннельная ионизация). Для того чтобы раз-

этого выражения была многократно проверена экс-

личить эти два механизма фотоионизации, был вве-

периментально [8, 9], а также подтверждена срав-

ден параметр Келдыша γ, который представляет со-

нением с результатами вычислений, использующих

бой отношение частоты туннелирования ω_t и угло-

зависящее от времени уравнение Шредингера. Сле-

вой частоты лазерного излучения ω, γ = ω_t/ω [5].

дует заметить, что АДК-теория хорошо описыва-

Этот параметр можно выразить как отношение ха-

ет экспериментальные данные для инертных газов

√

рактерного атомного импульса

2mI_p и импульса

(одним из них является гелий) только при γ < 0.5

eF/ω, приобретенного в электрическом поле, γ =

[10]. В остальных случаях теория переоценивает экс-

√

= ω

2mI_p/eF, где I_p — это потенциал ионизации,

периментальную величину и предсказание АДК не

а F — напряженность электрического поля. В атом-

совпадает с результатами экспериментов. Причиной

ных единицах (e = m = ℏ = 1), которые будут ис-

этого является тот факт, что при γ > 1 время тун-

пользоваться в этой статье, параметр Келдыша за-

нелирования электрона становится гораздо больше,

писывается в виде γ = ω√2Ip/F. Механизм тун-

чем период оптических колебаний, и квазистати-

нельной фотоионизации преобладает при γ ≪ 1,

ческое приближение перестает работать даже при

а механизм многофотонной ионизации преобладает

сильном подавлении кулоновского барьера [9].

при γ ≫ 1. При γ ∼ 1 режим, в котором находит-

После получения Аммосовым, Делоне и Крайно-

ся система, является промежуточным. Определение

вым аналитического выражения для скорости тун-

режимов важно для хорошего понимания разнооб-

нельной ионизации [7] многие авторы пытались

разных явлений, обусловленных ионизацией в силь-

уточнить его [11-13]. В результате было выдвинуто

ном поле.

и разработано множество других теорий, например,

Следуя пионерской работе Келдыша, были по-

теория квантовых переходов Ландау - Дыхне (ЛД)

лучены многочисленные аналитические выражения,

[14], теория неадиабатической туннельной иониза-

описывающие скорости ионизации атомов и моле-

ции (НТИ) [15] и асимптотическая теория в режи-

кул. Один из таких результатов, известный как ППТ

ме слабого поля (СЛП) [16]. В дальнейшем теория

(Переломов, Попов, Терентьев) [6], весьма хорошо

НТИ детально разрабатывалась Юдиным и Ивано-

описывает экспериментально измеренные зависимо-

вым [15] в предположении нулевого начального им-

сти скоростей ионизации в многофотонном и тун-

пульса испускаемого электрона (экспериментальные

нельном режимах. В исследовании [6] была пред-

исследования НТИ проводились, например, в ра-

ложена более точная модель для расчета скорости

ботах [17-19]). Ими было получено простое выра-

ионизации, в которой учитывается кулоновское вза-

жение в замкнутой форме для скорости ионизации

имодействие покидающего атом фотоэлектрона и

как функции мгновенной фазы лазерного излуче-

иона. Позднее Аммосов, Делоне и Крайнов уточ-

ния для произвольных значений γ в обычном при-

нили формулы, выведенные для сложных атомов

ближении сильного поля (СП). Приближение СЛП

и ионов в так называемом туннельном режиме, и

было впервые использовано в работе Оппенгеймера

получили наиболее часто используемое выражение

[20], но лишь через 50 лет после этого было полу-

для скорости ионизации, АДК. В случае линейно-

чено правильное выражение для асимптотической

поляризованного поля лазерного излучения и нену-

зависимости скорости ионизации простейшей систе-

левого начального импульса, p = 0, скорость иони-

мы, содержащей водород в основном состоянии [21].

зации дается выражением

Несмотря на значительную работу, проделанную в

этой области, до сих пор отсутствует общепринятая

W_ADK(F₀, ω, p, η) ∼

формула, и дебаты продолжаются. Настоящая рабо-

[

]

та посвящена изучению разновидности ЛД-теории

p(F₀, η)²γ(F₀, η)³

∼ exp

[14], которая характеризуется достаточной просто-

3F₀n∗3

3ω

той и точностью.

см. [7], где n^∗ обозначает эффективное квантовое

число, n^∗ = Z/2I_p, а Z — заряд иона. Из приве-

денного выражения следует, что скорость перехода

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

WADK (F0, ω, p, η) зависит от второй степени началь-

ного импульса p(F₀, η) испускаемых фотоэлектро-

В настоящей статье исследуется двухэлектрон-

нов и от параметра Келдыша γ(F₀, η), а также от

ная система (нейтральный атом гелия и подобные

эффективного квантового числа n^∗ и интенсивно-

ему атомы), которая является предельным случа-

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Скорость туннельной ионизации в сильном поле. . .

ем задачи многих тел, взаимодействующих с линей-

Векторный потенциал определяется согласно рабо-

но-поляризованным лазерным излучением. Целью

те [26],

∫

работы является выяснение влияния интенсивности

A(t) = c F (t) dt,

лазерного излучения, формы луча и длины волны

(частоты) на скорость туннельной фотоионизации.

и имеет следующий вид:

Для этого нами была получена аналитическая фор-

cF₀

A(t) = -

cos(2ωt),

мула для конкретного профиля лазерного импульса

4ω

и проведено сравнение с результатом широко приме-

где c — скорость света.

няемой АДК-теории, а также с некоторыми доступ-

Согласно подходу, сформулированному в рабо-

ными экспериментальными результатами.

тах [14, 22], нами была использована ЛД-теория с

Следуя работе [22], мы использовали ЛД-теорию

заданными значениями E_i и E_f (t). В начальном со-

[14, 21], которая широко применяется в различных

стоянии мы учли электрон-электронные корреляции

областях физики, где исследуемая система подвер-

[27] (второй член в выражении E_i), а в конечном со-

гается воздействию поля сильного лазерного излу-

стоянии была учтена кулоновская поправка (второй

чения. Необходимое условие применимости ЛД-тео-

член в выражении E_f (t) в параболических коорди-

рии состоит в том, что энергия фотона ω должна

натах η) [28]. В итоге

быть мала по сравнению с энергией ионизации I_p.

Как было установлено Дыхне [14], если гамильто-

E_i = -I_p +

ниан системы

^H(t) является медленноменяющейся

функцией времени и

где Z — заряд иона, а

(

)₂

√

A(t)

(2n₂ + |m| + 1)

2I_p

^H(t)Ψ_n(t) =

E(t)Ψ_n(t), n = i, f

E_f =

(где i и f обозначают начальное (связанное) и конеч-

Кулоновский член приводит к появлению параболи-

ное состояния соответственно), вероятность перехо-

ческого n₂ и магнитного m квантовых чисел [26].

да Ψ_i → Ψ_f , W (F, ω, p), выражается через мнимую

Время поворота τ определяется на комплексной

часть классического действия S следующей форму-

плоскости с помощью седловой точки из уравнения

лой:

E_i(τ) = E_f (τ) [14,22]:

W (F, ω, p) ∝ exp[-2 Im(S)],

(

)

A(t)

где

-I_p +

∫τ

√

S =

[E_f (t) - E_i(t)] dt.

(2n₂ + |m| + 1)

2I_p

(1)

Здесь комплексное значение τ является точкой по-

Тригонометрическую функцию cos(2ωτ) можно раз-

ворота в комплексной плоскости времени. Для его

ложить в ряд Маклорена (используются лишь пер-

нахождения используются метод седловой точки и

вые два члена разложения, остальными членами

условие равенства начальной и конечной энергий

пренебрегаем). В результате последовательных пре-

E_i(τ) = E_f (τ).

образований из уравнения (1) можно получить вы-

Как указывалось ранее, в общем случае линейно-

ражение для точки поворота τ в комплексном виде:

поляризованное поле лазерного излучения записы-

вается в виде

32ω²D(η)p

16ω²p³

τ =

4ω

F₀

F₀₃

3F₀

F (t) = F₀f(t) cos(ωt + ϕ),

(

√

2D(η)

2ω²D(η)

D(η)

-i

где f(t) — нормированная огибающая функция [23].

F₀

3F₀

В нашей работе исследуются импульсы с тригоно-

√

)

16ω²p²

2D(η)

метрической формой огибающей

(2)

F₀

f (t) = sin(ωt + ϕ)

Для упрощения записи было введено следующее

обозначение:

[24], F₀ — пиковая амплитуда, а ϕ — фаза несущей

(

)₂

огибающей (ФНО), которая для циклов большого

A(t)

(2n₂+|m|+1)√2Ip

D(η) = I_p-

количества импульсов полагается равной нулю [25].

В. М. Петрович, Х. С. Делибашич, И. Д. Петрович

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

где D(η) является поправкой к I_p и может рассмат-

Для сравнения экспериментальных данных с

риваться как некоторый эффективный потенциал

теорией следует отметить существенность таких не

ионизации. Согласно уравнению (2) точка поворо-

связанных напрямую с актом элементарной иониза-

та на комплексной плоскости зависит от величины

ции факторов как пондеромоторное ускорение ис-

электрического поля F₀, угловой частоты ω и от на-

пускаемых электронов и насыщение вероятности

чального импульса испускаемых фотоэлектронов в

ионизации [31,32]. Чтобы учесть их влияние на ско-

области вне барьера, который можно выразить че-

рость перехода, мы включили пондеромоторный по-

рез параболическую координату η:

тенциал U_p в уравнении (3). Для поля с линейной

)

поляризацией при усреднении кинетической энер-

(√

p(F₀, η) =

F₀η - 1 -

√

гии электрона во времени пондеромоторный потен-

F₀η - 1

циал дается следующим выражением: U_p(F₀, ω) =

= F₀₂/4c² [31]. В соответствии с этим выражением

[29,30]. Если полная энергия системы не зависит от

во всех приведенных выше формулах мы заменили

координаты η, импульс сохраняется вдоль класси-

потенциал ионизации I_p на значение I^corrp = I_p +

ческой траектории, p_η = p [29].

Подставляя уравнение (2) в формулу для скорос-

+F₀₂/4c², учитывающее поправку. Новые обозначе-

ти перехода

ния имеют вид

√

W (F, ω, p) ∝ exp[-2 Im(S)]

(2n₂ + |m| + 1)

2I_p

D^eff (F₀, ω, η) = I^corrp -

и интегрируя по времени, разделяя действитель-

ную и мнимую части (нас интересует только мнимая

√

часть, содержащая 1/Fⁿ, n ≤ 3), находим

2D^eff (F₀, ω, η)

γ^′eff (F₀, ω, η) =

[

F₀

⁽2D(η)γ^′(F₀, η)

W (F₀, ω, p, η) ∼ exp

-2

3ω

Основываясь на сказанном выше, уравнение (3)

√

можно переписать в следующем виде:

D(η)F₀π

2D(η)

32ω²

5F₀

(

))]

80D(η)ω²

W^corr(F₀, ω, p, η) ∼

(F₀, η)²γ^′(F₀, η)

(3)

[

(

∼ exp -2

D^eff (F₀, ω, η)γ^′eff (F₀, ω, η) -

3ω

Получаемое в результате выражение для скоро-

√

D^eff (F₀, ω, η)F₀π²

2D^eff (F₀, ω, η)

сти перехода W(F₀, ω, p, η) имеет компактную фор-

му, в которой не содержится суммирование рядов и

32ω²

5F₀

интегрирование. Оно состоит из двух частей: пер-

вой, не зависящей от начального импульса испус-

−

(F₀, η)²γ^′eff (F₀, ω, η) ×

(

))]

каемых фотоэлектронов p(F₀, η), и второй, которая

80D^eff (F₀, ω, η)ω²

зависит от импульса. На часть, не зависящую от

(4)

импульса, сильно влияют эффективный потенциал

ионизации D(η), а также напряженность электриче-

Штарковским сдвигом атомных уровней в сла-

ского поля F₀ и угловая частота ω. Введем модифи-

бых полях при условии непрерывности границы

цированный параметр Келдыша

можно пренебречь [22].

√

Скорость однократной фотоионизации может

γ^′(F₀, η) = (ω

2D(η))/(F₀),

быть рассчитана и по стандартным формулам

который учитывает поправку в потенциале иониза-

АДК-теории туннельной ионизации. Для лазерного

ции D(η). Оставшаяся часть зависит от квадрата на-

излучения с линейной поляризацией и ненулевого

чального импульса p(F₀, η)² как

начального импульса p скорость ионизации дается

(

)

следующим выражением [7]:

2p(F₀, η)²γ^′(F₀, η)

80D(η)ω²

WADK (F0, ω, p, η) ∼

[

]

Мы предполагаем, что импульсы достаточно малы,

2Z³

p(F₀, η)²γ(F₀, η)³

так что четвертой и более высокими степенями мож-

∼ exp

(5)

3F₀n∗3

3ω

но пренебречь по сравнению со второй степенью.

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Скорость туннельной ионизации в сильном поле. . .

Рис. 1. Скорости ионизации W (F0, ω, p, η) (a) и WADK(F0, ω, p, η) (б) как функция интенсивности лазерного излучения

I = (1 · 10¹⁴-1 · 10¹⁵) Вт/см². Параболическая координата принимает значение η = 20, начальный импульс испускаемых

фотоэлектронов меняется в диапазоне p = (0.2-0.8) ат. ед. Все теоретические кривые построены для угловой частоты

ω = 0.0569 ат.ед. (λ = 800 нм)

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

та обеих кривых начальный импульс предполагался

ненулевым.

В этой работе для исследования ионизации ато-

На рис. 1a видно, что теоретическая кривая,

ма гелия и ему подобных атомов нами предложе-

полученная нами, демонстрирует типичную зави-

но выражение для импульсов с тригонометрической

симость туннельного типа, и ее согласие с кри-

формой огибающей. Проанализировано, как про-

вой АДК-теории, вообще говоря, весьма неплохое.

филь лазерного луча влияет на скорость однократ-

Ширина нашей кривой больше, чем предсказано

ной фотоионизации. Импульсы лазерного излучения

АДК-теорией (рис. 1б), и она имеет менее резко вы-

предполагаются короткими. Мы использовали ла-

раженную форму. Это демонстрирует существенное

зерное излучение с длинами волн 800 нм, 1000 нм и

влияние формы лазерного луча на скорость иониза-

1200 нм и соответствующими угловыми частотами

ции. Можно сделать вывод, что сдвиг и уширение

0.0569 ат. ед., 0.0455 ат. ед. и 0.0379 ат. ед. Параметр

нашей кривой непосредственно связаны с парамет-

Келдыша γ был рассчитан в зависимости от интен-

√

рами источников лазерного излучения, что согласу-

сивности поля I (F₀ ∼

I), которая менялась в ин-

ется с результатами [7, 31, 32]. Для сравнения кри-

тервале 10¹⁴ Вт/см² < I < 10¹⁵ Вт/см². Выбран-

вых мы использовали одни и те же единицы, что со-

ные параметры ограничивают значения γ диапазо-

храняет количественное соотношение между ними.

ном, который характерен для туннельной ионизации

Обе зависимости демонстрируют экспоненциальный

γ ≪ 1. В завершение мы проанализировали, как на

рост, достигают максимального значения, а затем

скорость ионизации влияют поправки, модифициру-

убывают, пока поле не достигнет насыщения (при

ющие потенциал ионизации. Приводятся обсужде-

значениях I ∼ 1 · 10¹⁵ Вт/см²). Область насыще-

ние и сравнение наших результатов с предсказания-

ния соответствует результатам [29]. Оба пика распо-

ми АДК-теории и имеющимися экспериментальны-

лагаются почти при одном и том же значении ин-

ми результатами.

тенсивности поля примерно 3·10¹⁴ Вт/см². Расчеты

Чтобы проанализировать применимость полу-

по нашей формуле совпадают с результатами чис-

ченных нами формул для описания туннельной

ленного моделирования [30] и с экспериментальны-

ионизации, на рис. 1 приводится сравнение наших

ми данными [33] в диапазоне интенсивностей около

результатов (уравнение (3), рис. 1a) и кривой по

5·10¹⁴ Вт/см², а при более высоких интенсивностях

АДК-теории (уравнение (5), рис. 1б). Для расче-

возникает отклонение в соответствии с [29]. Причи-

В. М. Петрович, Х. С. Делибашич, И. Д. Петрович

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

и колебательной энергии. Это приводит к снижению

скорости фотоионизации [29].

Мы также построили скорость ионизации

W (F₀, ω, p, η) (уравнение

(3)) в зависимости от

интенсивности лазерного излучения при различных

длинах волн. Скорость рассчитана для выбран-

ных значений длинноволнового диапазона 800 нм,

1000 нм и 1200 нм. Результаты показаны на рис. 3.

Вычисления проводились при исходных условиях,

т. е. для невозмущенного значения потенциала

ионизации I_p.

На рис.

видно, что скорость ионизации

W (F₀, ω, p, η) зависит от длины волны. Лазерное

излучение более коротких длин волн дает большие

значения скорости ионизации при всех значениях

интенсивности излучения. Такое поведение соот-

ветствует работе [34]. Наши расчеты показывают,

что соответствующий сдвиг скоростей уменьша-

ется при увеличении длин волн, что согласуется

с результатами, полученными в [27, 34]. Кривые,

Рис.

Сравнение скоростей ионизации как

функций

интенсивности

лазерного

излучения

соответствующие разным длинам волн, ведут себя

I = (1 · 10¹⁴-1 · 10¹⁵) Вт/см²

для W(F0, ω, p,η) и

качественно одинаково. Как видно на рис. 3, любая

W^corr(F0, ω,p, η) при фиксированном значении па-

из этих кривых сначала возрастает, достигает

раболической координаты η

20. Угловая частота

максимального значения, а затем убывает с ростом

ω = 0.0569 ат.ед. (λ = 800 нм), а начальные импуль-

интенсивности лазерного излучения. Примечатель-

сы испускаемых фотоэлектронов лежат в интервале

но, что величина и положение максимума зависят

p = (0.2-0.8) ат.ед.

от длины волны (частоты) лазерного излучения.

Для длин волн 800 нм, 1000 нм и 1200 нм максимум

располагается соответственно при 2.91 · 10¹⁴ Вт/см²,

на этого отклонения при больших интенсивностях

3.01 · 10¹⁴ Вт/см² и 3.14 · 10¹⁴ Вт/см². Эти результа-

может заключаться в том, что выражение для ско-

ты соответствуют ожиданиям, поскольку согласно

рости ионизации в [29] выведено в предположении

работе [28] пондеромоторная энергия увеличива-

малости импульса испущенного электрона, которым

ется с уменьшением длины волны, ограничивая

можно пренебречь [12, 13].

вероятность туннельной ионизации. При больших

Далее анализируется влияние пондеромоторного

длинах волн и большом колебательном радиусе,

потенциала U_p на скорость туннельной ионизации

когда пондеромоторной энергией можно прене-

W (F₀, ω, p, η). На рис. 2 приведены кривые, полу-

бречь, скорость ионизации достигает насыщения

ченные согласно уравнениям (3), (4).

и начинает убывать с ростом интенсивности ла-

Согласно теоретическим кривым W (F₀, ω, p, η) и

зерного излучения. Кроме того, видно, что линии,

W^corr(F₀, ω, p, η), построенным на рис. 2, учет пон-

соответствующие разным длинам волн, совпада-

деромоторного потенциала U_p приводит к умень-

ют приблизительно при 10¹⁴ Вт/см². Сравнение

шению скорости ионизации (штриховая линия) по

наших теоретических результатов с результатами

сравнению с исходной кривой (уравнение (3), сплош-

эксперимента показывает их хорошее согласие [29].

ная линия). Максимальное значение скорости иони-

зации с учетом поправки съезжает ниже и правее

в область больших интенсивностей лазерного излу-

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

чения. Максимум исходной кривой располагается

при значении примерно 3 · 10¹⁴ Вт/см², а на кри-

В этой работе исследовалась туннельная иони-

вой с учетом поправки он достигается примерно при

зация двухэлектронных атомов. Была получена

3.8·10¹⁴ Вт/см². Такое уменьшение обусловлено тем,

удобная формула для скорости однократной тун-

что часть энергии фотонов «тратится» на сообще-

нельной ионизации атома гелия и ему подобных

ние испускаемому электрону начального импульса

атомов в поле линейно-поляризованного лазер-

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

Скорость туннельной ионизации в сильном поле. . .

Рис. 3. a) Скорость ионизации W (F0, ω, p, η) как функция интенсивности лазерного излучения I при фиксирован-

ных значениях длин волн λ, б) контурный график для скорости ионизации W (F0, ω, p, η) как функции интенсивно-

сти лазерного излучения и длины волны λ (800 нм-1200 нм). Значение параболической координаты фиксировано

η = 20, а интенсивность лазерного излучения и начальный импульс испускаемых фотоэлектронов меняются в интер-

валах I = (1 · 10¹⁴-1 · 10¹⁵) Вт/см² и p = (0.2-0.8) ат. ед.

ного излучения в нерелятивистском режиме.

2. N. J. Dawson and M. Kounta, J. Nonlinear Opt. Phys.

Полученная нами формула хорошо согласуется с

Mater. 28, 1950033 (2019).

теоретическими и экспериментальными данными в

3. A. V. Andreev, O. A. Shoutova, and V. A. Makarov,

области малых полей и имеет ожидаемую форму.

In ICONO

2005: Nonlinear Optical Phenomena

Продемонстрировано, что конкретная форма ла-

6259, 625901 (2006).

зерного импульса оказывает влияние на скорость

ионизации. В наших расчетах учитывался пондеро-

4. Y. H. Lai, J. Xu, U. B. Szafruga et al., Phys. Rev.

моторный потенциал электрона в поле лазерного

A 96, (2017).

излучения, а сдвиг Штарка не учитывался. Показа-

5. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1945 (1964).

но, что получаемые результаты сильно зависят от

длины волны лазерного излучения, от параболиче-

6. A. M. Perelomov, V. S. Popov, and M. V. Terent’ev,

ской координаты и от интенсивности. Как следует

Sov. Phys. JETP 24, 207 (1967).

из полученных теоретических зависимостей, все эти

7. M. V. Ammosov, N. B. Delone, and V. P. Krainov,

параметры влияют на величину скорости иониза-

ЖЭТФ 91, 2008 (1986).

ции. Описанная теоретическая модель может быть

использована для атомов других инертных газов,

8. H. Ni, U. Saalmann, and J. M. Rost, Phys. Rev. A 97,

что послужит ее дальнейшей верификации.

013426 (2018).

9. R. Wang, Q. Zhang, D. Li et al., Opt. Express 27,

Финансирование. Работа выполнена при под-

647 (2019).

держке министерства Образования, Науки и Тех-

нологического Развития республики Сербия (грант

10. Y. Z. Fu, S. F. Zhao, and X. X. Zhou, Chin. Phys.

№ 451-03-68/2020-14/200122) и гранта Европейского

B 21, 113101 (2012).

Содружества в Области Науки и Технологий COST

11. N. Abro, K. Wang, X. Zhu, B. Li, and C. Jin, Phys.

CA18222 «Аттосекундная Химия».

Rev. A 98, 023411 (2018).

12. R. Sun, X. Lai, W. Quan et al., Phys. Rev. A 98,

ЛИТЕРАТУРА

053418 (2018).

1. P. Xia, C. Kim, F. Lu et al., Opt. Express 26, 29393

13. S. Luo, M. Li, W. Xie et al., Phys. Rev. A 99, 053422

(2018).

(2019).

В. М. Петрович, Х. С. Делибашич, И. Д. Петрович

ЖЭТФ, том 160, вып. 1 (7), 2021

14. A. M. Dykhne, Sov. Phys. JETP 14, 1 (1962).

25. M. Harooni, High Power Laser Systems (BoD-Books

on Demand, 2018).

15. G. L. Yudin and M. Y. Ivanov, Phys. Rev. A 64,

013409 (2001).

26. V. P. Krainov, J. Opt. Soc. Amer. B 14, 425 (1997).

16. L. B. Madsen, O. I. Tolstikhin, and T. Morishita,

27. V. P. Krainov, J. Phys. B 36, L169 (2003).

Phys. Rev. A 85, 053404 (2012).

28. M. Inguscio and L. Fallani, Atomic Physics: Precise

17. I. Barth and O. Smirnova, Phys. Rev. A 87, 065401

Measurements and Ultracold Matter, OUP Oxford

(2013).

18. M. Li, M. M. Liu, J. W. Geng et al., Phys. Rev. A 95,

29. M. Petersilka and E. K. U. Gross, Laser Phys. 9, 1

053425 (2017).

(1999).

19. K. Liu, S. Luo, M. Li et al., Phys. Rev. Lett. 122,

30. Z. Chen, L. Zhang, Y. Wang et al., Phys. Rev. A 99,

053202 (2019).

(2019).

20. J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 31, 66 (1928).

31. Е. А. Волкова, А. М. Попов, О. В. Тихонова,

ЖЭТФ 140, 450 (2011).

21. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics

(Nonrelativistic Theory), Pergamon, Oxford (1977).

32. R. Wiehle, Experimental Examination of Ionization

Processes of Noble Gases in Strong Laser Fields,

22. D. I. Bondar, W. K. Liu et al., Phys. Rev. A 79

Doctoral Dissertation, Verlag Nicht Ermittelbar

(2009).

(2005).

23. C. D. Lin, C. Jin, A. T. Le, and H. Wei, Attose-

33. B. Walker, B. Sheehy, L. F. DiMauro et al., Phys.

cond and Strong-Field Physics: Principles and Appli-

Rev. Lett. 73, 1227 (1994).

cations, Cambridge Univ. Press (2018), pp. 86.

34. K. Nagaya, K. Mishima, M. Hayashi, and S. H. Lin,

24. I. Barth and M. Lein, J. Phys. B 47, 204016 (2014).

J. Chem. Phys. 124, 144303 (2006).