ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 903-914

ГЕНЕРАЦИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДРОБНЫХ

ФЛАКСОНОВ В ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ СРЕДАХ

В. И. Ружицкий^a,b,c, А. А. Максимовская^a,b, И. И. Соловьев^a,b,c,

С. В. Бакурский^b,c, Н. В. Кленовa,d*

^a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет

119991, Москва, Россия

^b Всероссийский научно-исследовательский институт автоматики им. Н. Л. Духова

127055, Москва, Россия

^c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,

НИИ ядерной физики им. Д. В. Скобельцына

119991, Москва, Россия

^d Московский технический университет связи и информатики

111024, Москва, Россия

Поступила в редакцию 8 октября 2020 г.,

после переработки 8 октября 2020 г.

Принята к публикации 28 октября 2020 г.

Рассмотрены проблемы, связанные с использованием в джозефсоновских передающих линиях 0-π-кон-

тактов, имеющих нетривиальную ток-фазовую зависимость. Изучены различные типы возбуждений

(дробных флаксонов), распространяющихся в таких джозефсоновских средах. Исследована проблема

интеграции джозефсоновских передающих линий из 0-π-контактов (нетривиальных джозефсоновских

передающих линий) с обычной быстрой одноквантовой электроникой. Разобраны характерные процес-

сы преобразований возбуждений на границах обычных и нетривиальных джозефсоновских передающих

линий, во многом аналогичные андреевским отражениям от границы сверхпроводника и нормального

металла.

DOI: 10.31857/S0044451021050060

ных флаксонов — возбуждений, переносящих долю

кванта магнитного потока топологический заряд ко-

торых менее единицы [17-24].

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная работа находится на стыке фундамен-

На сегодняшний день «бистабильные» джозеф-

тальных и прикладных исследований.

соновские контакты, для которых функция, связы-

В разд. 2 мы рассматриваем динамические про-

вающая джозефсоновские ток I и фазу ϕ дважды за

цессы в джозефсоновской структуре на основе па-

период пересекает нуль с положительной производ-

раллельной цепочки из бистабильных джозефсонов-

ной [1, 2], представляют существенный теоретиче-

ских контактов, т. е. в джозефсоновской передаю-

ский и практический интерес. В частности, их мож-

щей линии (Josephson transmission line, JTL).

но использовать для создания быстрой криогенной

памяти, компактных и быстрых элементов цифро-

В разд. 3 подробно исследуется ставшая недавно

вой сверхпроводниковой электроники, перспектив-

актуальной в связи с развитием технологий [25-29]

ных квантовых битов [3-16]. С фундаментальной

проблема интеграции JTL, где перемещаются дроб-

точки зрения, такие структуры интересны в связи

ные флаксоны, с традиционными джозефсоновски-

с открывающейся возможностью исследовать про-

ми цифровыми схемами, где в качестве носителей

цессы рождения, распространения и гибели дроб-

информации используются вихревые токи, создаю-

щие магнитный поток, равный кванту Φ₀ (возбуж-

^* E-mail: nvklenov@gmail.com

дения с единичным топологическим зарядом).

903

В. И. Ружицкий, А. А. Максимовская, И. И. Соловьев и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОЛУФЛАКСОНОВ

одна и та же энергия для перехода из 0-состояния в

ПО ТОПОЛОГИЧЕСКИ-НЕТРИВИАЛЬНЫМ

π-состояние и из π-состояния в состояние с фазой 2π

ДЖОЗЕФСОНОВСКИМ ПЕРЕДАЮЩИМ

(в случае 2ϕ-контактов энергии одинаковы), причем

ЛИНИЯМ

этим динамическим процессам можно поставить в

соответствие прохождение части кванта магнитного

Рассмотрим динамические процессы, включая

потока через слабую связь в сверхпроводящем кон-

и процессы распространения дробных флаксонов,

туре.

в структурах на основе джозефсоновского контак-

Разберем процессы в нетривиальной джозефсо-

та с несинусоидальной ток-фазовой зависимостью

новской передающей линии (nontrivial Josephson

(ТФЗ) I(ϕ). Будем далее для простоты считать, что

transmission line, NJTL), которая получается из

ТФЗ содержат только две первые гармоники, амп-

обычной заменой

0-контактов на

2ϕ-контакты.

литуды которых обозначим A и B:

Пусть на первый из соединенных параллельно

2ϕ-контактов приходит импульс тока, который

I(ϕ) = A sin ϕ + B sin 2ϕ.

переведет его из 0-состояния в π-состояние. Тогда,

Именно среди подобных контактов существуют

если ток через индуктивность больше B (с учетом

токов питания), второй контакт тоже перейдет в

«бистабильные», причем особый интерес ввиду на-

глядности получаемых результатов для нас далее

состояние с фазой π. Таким образом, возбуждение

в виде волны токов и напряжений на контактах

представляют 0-π-контакты, имеющие при нулевом

протекающем токе устойчивые состояния с фазами

распространяется по NJTL, но переносимый поток

в два раза меньше: мы получаем распространение

πn, где n = 0, 1, 2, . . . Далее будем говорить о 0- и

полуфлаксонов. На рис.

показаны рассчитан-

π-состояниях (соответственно четное и нечетное n).

На рис. 1 видно, что при увеличении амплитуды A

ные нами напряжения и фазы на контактах при

распространении флаксонов в обычной JTL и

(амплитуда первой гармоники) для фиксированного

B = 1 (амплитуда второй гармоники) увеличивается

полуфлаксонов в NJTL. В рамках расчетов мы

всюду считали, что R — нормальное сопротивление

энергия метастабильного π-состояния и уменьшает-

ся барьер, разделяющий минимумы на зависимости

джозефсоновских гетероструктур, C — их емкость,

время и частота везде нормируются на обратную

энергии от фазы. При A > 2B π-состояние разру-

плазменную частоту используемых джозефсонов-

шается (исчезает «бистабильность»), тогда как при

√

ских контактов (ω_p =

2eA/ℏC), определяющую

A = 0 барьеры энергии 0- и π-состояний совпадают.

коэффициент затухания в системе a

= ω_p/ω_c

При рассмотрении генерации и перемещения

(ω_c = 2eRA/ℏ — характерная частота).

дробных квантов магнитного потока в системах, со-

стоящих из таких контактов, удобно полагать зна-

Заметим, что полуфлаксоны распространяются

быстрее флаксонов даже в случае одинаковых кри-

чение A малым (A = 0 для так называемых 2ϕ-кон-

тактов). В этом случае системе требуется примерно

тических токов (синяя и красная кривые на рис. 2),

так как в случае полуфлаксонов контакты в JTL

E /E_Jc

меняют фазу не на 2π, а на π. Аналогично обыч-

ной JTL, уменьшение нормированной величины со-

A = 0

единительной индуктивности l приводит к увели-

A = 0.5

A = 1.0

чению скорости движения полуфлаксона из-за уве-

A = 1.5

A = 2.0

личения тока через индуктивность (величина по-

A = 2.5

следнего близка к π/l). Получается, что NJTL мож-

но использовать для увеличения скорости передачи

информации в джозефсоновских цифровых устрой-

ствах.

Для сравнения приведем результаты расчетов в

рамках обобщенной резистивной модели для дина-

–6

–4

–2

мических процессов в системе из соединенных па-

раллельно 0-π-контактов с малыми значениями A

(A < 0.3). При больших значениях A системе будет

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимости джозефсоновской

сложно перейти из 0-состояния в π-состояние, так

энергии от фазы для 0-π-контакта при разных значениях

амплитуды A в ТФЗ; амплитуда B = 1

как из-за малой «глубины» потенциальной ямы, со-

ответствующей π-состоянию, система будет проска-

904

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Генерация и распространение дробных флаксонов. . .

Рис. 2. (В цвете онлайн) Изменения фазы на индуктивностях как функция их положения (номера k), а также напря-

жения и фазы на джозефсоновских контактах как функции времени в разные моменты времени (вставка для элемента

под номером k = 60) в обычной JTL(сплошная линия) и полуфлаксонов в NJTL (штриховая и штрихпунктирная линии).

Для JTL A = 1, B = 0, для NJTL A = 0, B = 1; частота следования импульсов 0.033, ток питания i_b = 0.75 (величина

нормирована на A)

кивать в состояние с фазой 2π. В зависимости от то-

ных ↑_π-флаксонов все наоборот. Проинтегрировав

го, из какого состояния в какое переходит контакт

площадь под графиками, мы получим нормирован-

(из 0- в π-, или из π- в 2π-), наблюдаются два ти-

ное значение потока, которое переносит конкретный

па дробных флаксонов. Эти два типа возбуждений

дробный флаксон (обычный флаксон переносит нор-

отличаются друг от друга по форме переносящей

мированный поток, равный 2π).

их волны токов и напряжений, их суммарный поток

все равно равен кванту Φ₀. На рис. 3 представле-

На рис. 4 на вставке показана зависимость пе-

ны графики ϕ˙(t) для выбранного контакта в NJTL

реносимого нормированного потока от амплитуды

(временное отображение движения возбуждений в

A первой гармоники для двух типов возбуждений

среде) для разных значений A.

и разных значений амплитуды B второй гармони-

ки. Отметим, что индуктивность влияет на форму

Дробные флаксоны, образуемые в результате пе-

и скорость распространения дробных флаксонов, но

рехода из 0- в π-состояние и обратно, будем назы-

не влияет на величину указанного потока. На основ-

вать соответственно первым, ↑₀, и вторым, ↑_π, ти-

ном графике показана зависимость размера дроб-

пом дробных флаксонов. Видно, что при увеличе-

ного флаксона, выраженного через количество за-

нии веса первой гармоники A в ТФЗ дробные флак-

нимаемых вихревым током джозефсоновских кон-

соны первого типа дольше проходят через выбран-

тактов, от величины соединительной индуктивности

ный контакт и имеют меньшую «высоту». Для дроб-

для разных значений A и для разных типов воз-

905

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Генерация и распространение дробных флаксонов. . .

d /dt_k

1.8

A = 0

= 0.1

1.6

= 0.2

A = 0.3

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

100

105

100

105

Рис. 5. (В цвете онлайн) Напряжения на выбранном джозефсоновском контакте как функция времени для возникновения

пар дробных флаксонов первого ↑0↑π (а) и второго ↑π↑0 (б) типов при разных видах ТФЗ

буждений. Заметим, что размер дробного флаксона

3. ИНТЕГРАЦИЯ

при A = 0 в точке l = 0.1 равен половине разме-

ТОПОЛОГИЧЕСКИ-НЕТРИВИАЛЬНЫХ

ра обычного флаксона в точке l = 0.05; при таких

ПЕРЕДАЮЩИХ ЛИНИЙ В СОСТАВ

ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ ЦИФРОВЫХ СХЕМ

значениях индуктивностей через них течет одина-

ковый ток (величины соединительных индуктивно-

После исследования процессов в изолированной

стей всюду нормированы на характерную индуктив-

ность используемых джозефсоновских контактов).

NJTL (где существуют возбуждения-флаксоны с то-

пологическим зарядом менее единицы) необходимо

Область l < 0.1 соответствует случаю, когда JTL

можно считать непрерывной структурой. В области

рассмотреть ее взаимодействие с обычными джо-

параметров, когда применима модель сосредоточен-

зефсоновскими цифровыми схемами. Для выявле-

ния ключевых закономерностей рассмотрим компо-

ных элементов (l > 0.1), размер возбуждений слабо

зависит от индуктивности. Также видно, что дроб-

зитную структуру (рис. 6), состоящую из двух обыч-

ных JTL, соединенных между собой при помощи

ные флаксоны первого типа увеличиваются в раз-

мере с ростом A, а второго типа — уменьшаются.

NJTL, причем в качестве соединений нам потребу-

ется 0-π-контакт, а не индуктивность.

При определенных условиях, которые будут рас-

Последнее требование к границам топологичес-

смотрены ниже, могут формироваться связанные

ки-нетривиальной области важно для рассмотре-

пары дробных флаксонов (обычные флаксоны по

ния процессов рождения и распространения дроб-

NJTL распространяться не могут). Их тоже мож-

ных флаксонов. При использовании индуктивности

но разделить на два типа (рис. 5): первый тип (пары

в качестве границы двух сред фаза на соединении

↑₀↑_π) соответствует переходу выбранного джозефсо-

будет возможно только одно устойчивое состояние.

новского контакта из 0-состояния в состояние с фа-

При использовании в качестве соединения 0-π-кон-

зой 2π; а второй (пары ↑_π↑₀) — переходу из π-сос-

такта флаксон может преобразоваться на границе

тояния в состояние с фазой 3π.

в дробный флаксон, причем детали процесса зави-

907

В. И. Ружицкий, А. А. Максимовская, И. И. Соловьев и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 6. Схема из двух обычных JTL, соединенных между собой NJTL. Обычными крестами обозначены джозефсоновские

контакты с синусоидальными ТФЗ; крестами в квадратах — 2ϕ-контакты, G и lG — генератор флаксонов и индуктивность,

связывающая с ним структуру

ϕk2-1 - ϕk2

ϕk2 - ϕk2+1

сят от критического тока и затухания элемента-со-

i_b +

l_NJTL

единения. На рис. 2 было показано распростране-

ние флаксонов для случая непрерывной структуры

=Bsin(2ϕk2)+αϕk2 +

ϕk2 ,

(6)

с большим числом контактов, связанных малой ин-

дуктивность (l ≪ 1). Теперь удобней будет рассмот-

ϕM2-2 - ϕM2-1_-i

реть структуру с лучшей локализацией флаксонов

i_b +

con2 =

l_NJTL

(lJTL ∼ 1). Кроме того, будем для простоты рас-

ϕM2-1,

(7)

сматривать случай 2ϕ-контактов.

=Bsin(2ϕM2-1)+αϕM2-1 +

Безразмерный ток через соединительный

2ϕ-контакт в рамках обобщенной резистивной

ϕM2 - ϕM2+1

модели имеет вид

i_b -

+icon2 =

JTL

=Asin(ϕM2)+αϕM2 +

ϕM2,

(8)

i_con = B₀ sin(2ϕk-1 - 2ϕ_k)+

+α₀(ϕ˙k-1 -ϕ˙_k) +

ϕk-1 -

ϕ_k),

(1)

ϕk3-1 - ϕk3

ϕk3 - ϕk3+1

i_b +

где B₀ — амплитуда второй гармоники соединитель-

l_JTL

ного контакта (т. е. его критический ток), α₀ — ко-

=A₂sin(ϕk3)+αϕk3 +

ϕk3 ,

(9)

эффициент затухания на соединении, k и k -1 — но-

мера узлов в соединении. Теперь запишем систему

уравнений для всей системы, пользуясь введенными

ϕ Ń-1-ϕ Ń₌A

i_b +

1 sin(ϕN˜ ) + αϕ˙N˜ +

ϕŃ,

(10)

l_JTL

выше безразмерными величинами:

где ib — токи питания, lJTL — индуктивности в

ϕ₁ - ϕ₂

i_pulse+i_b-

=A₁sin(ϕ₁)+αϕ₁ +

ϕ₁,

(2)

JTL, l_NJTL — индуктивности в NJTL, A₁ и A₂ —

l_JTL

критические токи контактов в первой и второй JTL,

B — критический ток контактов в NJTL. Критиче-

на соеди-

ский ток B₀ и коэффициент затухания α₀

ϕk1-1 - ϕk1

ϕk1 - ϕk1+1

i_b +

нениях возьмем равными единице.

l_JTL

Начнем с анализа процессов на границе между

=A₁sin(ϕk1)+αϕk1 +

ϕk1 ,

(3)

джозефсоновскими средами с разными ТФЗ кон-

тактов. Меняя параметры соединительного контак-

та (аналог границы на разделе двух сред), мы полу-

ϕJ1,N-1 - ϕJ1,N_-i

i_b +

con1 =

чаем разные режимы работы. На рис. 7 для грани-

l_JTL

цы JTL/NJTL видно, что при малых значениях α₀

=A₁sin(ϕJ1,N)+αϕJ1,N +

ϕJ1,N ,

(4)

пришедший из обычной передающей линии флаксон

меняет фазу соединительного 2ϕ-контакта на вели-

чину 2π, не меняя фазу в NJTL (режим затухания

i_b - (ϕM1 - ϕM1+1)/lNJTL + icon1 =

«1»). В случае больших значений α₀ и B₀ соеди-

=Bsin(2ϕM1)+αϕM1 +

ϕM1,

(5)

нительный контакт переключается медленнее, чем

908

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Генерация и распространение дробных флаксонов. . .

Рис. 7. (В цвете онлайн) Различные режимы прохождения возбуждений через границу JTL/NJTL на плоскости пара-

метров соединительного контакта B0 и α0: a — на границу JTL/NJTL из обычной передающей линии приходит флаксон

(режим «1» — затухание флаксона на соединительном контакте, «2» — преобразование флаксона в дробный флаксон,

«3» — преобразование флаксона в пару дробных флаксонов); б — на границу NJTL/JTL из топологически-нетривиальной

передающей линии приходит дробный флаксон (режим «1» — затухание дробного флаксона на соединительном контак-

те, «4» — преобразование дробного флаксона в флаксон с отражением дробного флаксона назад); в — на границу

NJTL/JTL из топологически-нетривиальной передающей линии приходит пара дробных флаксонов (режим «1» — за-

тухание полуфлаксонной пары на соединительном контакте, «4» — преобразование в флаксон с отражением дробного

флаксона назад, «5» — преобразование в флаксон без отражения)

контакты в JTL и NJTL, что приводит к преобра-

сон и создает ток в обратном направлении, который

зованию флаксона в пару дробных флаксонов (ре-

складывается с током второго дробного флаксона,

жим прохождения «3»). Наконец, при промежуточ-

что приводит к переключению соединительного кон-

ных значениях параметров «границы» флаксон пе-

такта с изменением фазы на π и рождению дробно-

реключает фазы соединительного контакта и перво-

го флаксона, распространяющегося в обратном на-

го контакта в NJTL на величину π, что приводит к

правлении. Отметим, что знак осциллирующего то-

преобразованию флаксона в дробный флаксон (ре-

ка на соединении может совпасть или не совпасть

жим «2»).

с направлением тока следующего дробного флаксо-

на. Сложение этих токов приводит к образованию

При анализе процессов на границе NJTL/JTL

области существования режима «4» при малых зна-

следует рассмотреть два случая, когда из NJTL на

чениях α₀. Как видим, суммарный топологический

границу падает 1) дробный флаксон и 2) пара дроб-

заряд возбуждений сохраняется во всех описанных

ных флаксонов. Для обоих случаев возможен опи-

процессах аналогично сохранению заряду возбуж-

санный выше режим затухания при малых значе-

дений в электронных коллективах в рамках андре-

ниях параметров α₀ и B₀. На рис. 7 на плоско-

евского отражения от границы между нормальным

сти параметров (α₀, B₀) голубым цветом отмечен

металлом (N) и сверхпроводником (S).

режим отражения от границы (режим «4»): дроб-

ный флаксон создает на границе достаточно боль-

шой ток, чтобы переключить контакт в JTL, ко-

торый, в свою очередь, создает ток через соедине-

Применим выявленные закономерности для ана-

ние в обратном направлении, не давая измениться

лиза проблемы интеграции JTL из 0-π-контактов

фазе соединительного контакта на -π. Это приво-

(нетривиальных JTL) в обычные быстрые однокван-

дит к образованию дробного флаксона, движуще-

товые схемы (rapid single flux quantum, RSFQ). Рас-

гося в обратном направлении. В случае, когда по

смотрим для этого композитную структуру, состоя-

NJTL движется пара дробных флаксонов (рис. 7),

щую из JTL и NJTL, соединенных 2ϕ-контактами с

кроме режима затухания возможны еще два типа

параметрами B₀ = 1, α₀ = 1. На входе такой струк-

процессов. При больших значениях параметров α₀

туры возможно возбуждение только в виде флаксо-

и B₀ реализуется режим прохождения, аналогичный

на, который, проходя через границу JTL/NJTL, пре-

наблюдавшемуся в случае границы JTL/NIJTL (ре-

образуется в дробный флаксон, который, в свою оче-

жим «5»). Также возможен процесс (тот же режим

редь, на границе NJTL/JTL превращается во флак-

«4»), когда дробный флаксон преобразуется в флак-

сон с отражением дробного флаксона.

909

В. И. Ружицкий, А. А. Максимовская, И. И. Соловьев и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

первой JTL перешел в NJTL, трансформировавшись

в полуфлаксон. Контакт k = 30 перешел в состоя-

ние с фазой π. Этот процесс можно описать следую-

щей символической формулой: ⇑→↑0,π. Далее, в мо-

мент времени t = 147, полуфлаксон преобразовался

в флаксон, который прошел во вторую JTL и отра-

зился в виде антиполуфлаксона. Контакты k = 30

и k = 43 перешли в состояния с фазой 2π. На зави-

симости видно, что формы полуфлаксона и антипо-

луфлаксона неотличимы, так как в обоих случаях

фаза меняется в положительном направлении (сна-

чала из 0 в π, затем из π в 2π); различается для

этих возбуждений лишь направление распростране-

ния по NJTL. Представим процесс в виде символов,

разделяя скобками разные JTL. В момент времени

t = 200 антиполуфлаксон прошел в первую JTL в

виде антифлаксона и отразился в виде полуфлаксо-

на. Это можно представить следующим образом¹⁾:

()(↓0,π)() → (⇓)(↑0,π)().

На практике довольно сложно отследить им-

пульсы напряжения на джозефсоновских контак-

тах пикосекундной длительности, соответствующие

прохождению через них одиночных флаксонов и

полуфлаксонов. Поэтому необходимо проанализи-

ровать поведение структуры JTL/NJTL/JTL под

действием последовательности токовых импульсов с

частотой 0.01. На рис. 9 продемонстрированы дина-

мические процессы в исследуемой структуре для та-

кого случая. Заметим, что они почти не отличаются

от рассмотренных ранее, кроме одного момента: на

зависимости на контакте k = 13 виден (t ≈ 170) вто-

рой флаксон, пришедший со входа, а в момент вре-

Рис. 8. (В цвете онлайн) Динамика переносящих тополо-

мени t ≈ 200 антифлаксон отсутствует. Таким обра-

гический заряд возбуждений в системе из двух обычных

зом, флаксон и антифлаксон аннигилируют, как и

JTL, соединенных между собой NJTL, при параметрах со-

ожидалось. Запишем это в виде формулы:

единения B0 = 1, α0 = 1. Первая JTL состоит из 20 кон-

тактов, вторая из 15, третья из 10. а) Изменения фазы на

(⇑)(↓0,π)() → (⇑ + ⇓)(↑0,π)() → ()(↑0,π )().

соединительных индуктивностях в зависимости от номера

перехода k. б) Нормированное напряжение на джозефсо-

В эксперименте может быть изучена зависимость

новских контактах в разных частях структуры (k = 13, 30,

среднего напряжения на выходе от частоты следова-

43) как функция времени

ния токовых импульсов на входе (аналог вольт-ам-

перной характеристики). На рис. 10 показана за-

висимость как выходного (на последнем контакте,

Результаты расчетов (рис. 8) показывают, что в

V_out), так и входного (на первом, V_in) напряжений от

момент времени t = 70 по первой JTL распростра-

частоты следования импульсов тока на входе, ω_puls.

няется флаксон с единичным топологическим заря-

При низких частотах следования задаваемых на

дом. На зависимости видно, что контакт k = 13 пе-

вход импульсов (вплоть до частоты осцилляций по-

решел в состояние с фазой 2π, а на зависимости

¹⁾ Здесь каждая из скобок символизирует состояние соот-

видно возникновение «стандартного одноквантово-

ветственно первой JTL, NJTL и второй JTL в определен-

го» импульса напряжения на джозефсоновском кон-

ный момент времени: нет возбуждения (пустая скобка), есть

такте. К моменту времени t = 120 флаксон (⇑) из

флаксон/антифлаксон, есть дробный флаксон.

910

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Генерация и распространение дробных флаксонов. . .

Рис. 10. (В цвете онлайн) Зависимости нормированных

входного и выходного (синяя и красная линии) средних на-

пряжений от частоты входящих импульсов для структуры

JTL/NJTL/JTL. Параметры линий и соединений приведе-

ны в подписи к рис. 8

участков, разделенных скачками. Понять такое по-

ведение структуры JTL/NJTL/JTL можно из ана-

лиза рис. 11, на котором представлены динамиче-

ские процессы при нормированных частотах ω_puls,

Рис. 9. (В цвете онлайн) а) Изменения фазы на соедини-

равных 0.014, 0.0156, 0.016 и 0.018 (точки A, B, C и

тельных индуктивностях и на джозефсоновских контактах

D на рис. 10). Эти частоты соответствуют разным

(на вставке) для дробных флаксонов в структуре из двух

линейным участкам на зависимости 〈V_out〉(ω_puls).

JTL, соединенных NJTL, при наличии периодических им-

Точке A на рис. 10 соответствует ситуация, ког-

пульсов на входе с нормированной частотой 0.01. б) Нор-

да редкие флаксоны (которые не аннигилировали во

мированные напряжения как функции времени на джозеф-

входной JTL) со входа поступают на границу одно-

соновских контактах в разных частях структуры, соответ-

временно (смещение во времени равно или меньше

ствующие различным возбуждениям

времени переключения соединительного контакта) с

антиполуфлаксоном. В результате их взаимодейст-

луфлаксона, ω_SFO) напряжения постоянны и прак-

вия антиполуфлаксон и флаксон уничтожаются и

тически равны, так как «источником» напряжения

рождается полуфлаксон:

на выходе является осциллирующий в NJTL полу-

(⇑)(↓0,π)() → ()(↑0,π)().

флаксон (редкие флаксоны на входе аннигилируют

с антифлаксонами). Напряжение снимается с джо-

Данный процесс происходит быстрее, чем просто от-

зефсоновских контактов, из чего следует, что знак

ражения антиполуфлаксона, что приводит к росту

для входного и выходного напряжений положитель-

напряжения на выходе. Отметим, что флаксоны и

ный. При рассмотрении напряжения на индуктив-

антиполуфлаксоны приходят на границу одновре-

ностях знак будет противоположным.

менно в некотором диапазоне частот ω_puls, так как

При дальнейшем увеличении частоты основ-

рассматриваемые возбуждения имеют размер боль-

ной вклад в напряжение будут вносить флаксо-

ше одной ячейки.

ны на входе, что объясняет линейные зависимости

При больших частотах (точка D на рис. 10) в

〈V_out,in〉 от ω_puls при частотах больше ω_SFO. Ан-

NJTL будет поступать флаксон со входа быстрее,

нигиляция возбуждений будет происходить всегда

чем произойдет одна осцилляция полуфлаксона, что

в разных участках структуры. Рассчитанная зави-

приводит к тому, что каждый второй флаксон со

симость 〈V_out〉(ω_puls) имеет более сложный вид, чем

входа будет аннигилировать в NJTL. На выходе бу-

можно было ожидать: имеется несколько линейных

дет в два раза меньше флаксонов, чем на входе, что

911

В. И. Ружицкий, А. А. Максимовская, И. И. Соловьев и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 11. Падения фазы на соединительных индуктивностях в структуре из двух JTL, соединенных NJTL, для разных

частот входного импульса (точки A, B, C и D на рис. 10)

Рис. 12. (В цвете онлайн) Схематическое изображение осцилляций полуфлаксона между границами топологически-нетри-

виальной джозефсоновской среды, иллюстрирующее аналогию между переносом топологического заряда через структуру

JTL/NJTL/JTL и куперовских пар через джозефсоновский SNS-контакт

приводит к уменьшению напряжения V_out в два раза

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

по сравнению с V_in:

Можно заключить, что в численном эксперимен-

(⇑)(↑0,π)() → (⇑)(↑0,π + ↓0,π)(⇑) → (⇑)()(⇑).

те было продемонстрировано распространение дроб-

ного флаксона по JTL с контактами, имеющими

До выхода на режим, при котором происходит

нетривиальную ток-фазовую зависимость (NJTL).

деление напряжения пополам, присутствуют про-

Показано, что скорость распространения полуфлак-

цессы, в которых до аннигиляции осциллирующе-

сонов выше, чем скорость распространения флаксо-

го полуфлаксона с флаксоном от входа происходит

нов. Выявлены два различных типа дробных флак-

конечное число раз отражений первого от границ,

сонов, каждый со своей спецификой распростране-

что приводит к скачкам на зависимости 〈V_out〉(ω_puls)

ния в такой джозефсоновской среде.

(точки B и C на рис. 10). Так, в процессе, соот-

При исследовании проблем интеграции тополо-

ветствующем точке C, полуфлаксон успевает отра-

гически-нетривиальных передающих линий (NJTL)

зиться один раз от границы на выходе. Линейный

в состав джозефсоновских цифровых схем мы об-

рост на участках с определенным числом осцилля-

наружили для границ между NJTL и JTL аналог

ций полуфлаксона между границам NJTL связан с

андреевского отражения электронов и дырок от гра-

тем, что при увеличении частоты после аннигиля-

ницы нормального металла (N) со сверхпроводни-

ции следующий флаксон приходит быстрее.

ком (S).

912

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Генерация и распространение дробных флаксонов. . .

Выделено несколько типов процессов на грани-

M. H. S. Amin, A. M. Zagoskin, A. N. Omelyanchouk,

цах NJTL/JTL и JTL/NJTL, возникающих для раз-

and M. Yu. Kupriyanov, Phys. Rev. Lett. 86, 5369

ных параметров соединительного контакта (разных

(2001).

«граничных условий»): затухание флаксона на гра-

A. Buzdin and A. Koshelev, Phys. Rev. B 67, 220504

нице, создание полуфлаксонов, создание полуфлак-

(2003).

сонных пар, прохождение возбуждения.

L. Trifunovic, Phys. Rev. Lett. 107, 047001 (2011).

В частности, найдены условия, при которых

структура JTL/NJTL/JTL является аналогом джо-

C. Richard, M. Houzet, and J. S. Meyer, Phys. Rev.

зефсоновского SNS-контакта (идея аналогии пред-

Lett. 110, 217004 (2013).

ставлена на рис. 12). В этом случае в NJTL оказал-

Avradeep Pal, Z. H. Barber, J. W. A. Robinson and

ся запертым полуфлаксон, который, отражаясь от

M. G. Blamire, Springer Science and Business Media

границ JTL/NJTL, генерирует флаксоны во вторую

5, 3340 (2014).

JTL и антифлаксоны в первую JTL. Аналогом па-

раметра порядка и потенциала спаривания, форми-

E. Goldobin, D. Koelle, and R. Kleiner, Phys. Rev.

рующего «потенциальную яму» для возбуждения с

B 67, 224515 (2003).

дробным топологическим зарядом, будет выступать

A. Zenchuk and E. Goldobin, Phys. Rev. B 69,

функция от амплитуд гармонических компонент в

024515 (2004).

ТФЗ: (1 + {A - B})/2.

Рассчитанные аналоги вольт-амперных харак-

N. G. Pugach, E. B. Goldobin, R. Kleiner, and D. Ko-

elle, Phys. Rev. B 81, 104513 (2010).

теристик для систем JTL/NJTL/JTL открывают

возможности для новых экспериментальных иссле-

E. Goldobin, D. Koelle, and R. Kleiner, Phys. Rev.

дований процессов переноса топологического заряда

B 91, 214511 (2015).

в джозефсоновских гетероструктурах. Специфиче-

10.

H. Sickinger, A. Lipman A., Weides M., R. G. Mints,

ские для бистабильных джозефсоновских элементов

H. Kohlstedt, D. Koelle, R. Kleiner, and E. Goldobin,

динамические процессы могут быть использованы

Phys. Rev. Lett. 109, 107002 (2012).

при создании компактных элементов фазовой логи-

ки и памяти.

11.

E. Goldobin, H. Sickinger, M. Weides, N. Ruppelt,

H. Kohlstedt, R. Kleiner, and D. Koelle, Appl. Phys.

Благодарности. Один из авторов (В. И. Р.) бла-

Lett. 102, 242602 (2013).

годарит за поддержку стипендиальную программу

12.

S. V. Bakurskiy, N. V. Klenov, T. Yu. Karminskaya,

Фонда развития теоретической физики и математи-

M. Yu. Kupriyanov, and A. A. Golubov, Supercond.

ки «БАЗИС»; другой автор (Н. В. К.) признателен

Sci. and Technol. 26, 015005 (2013).

Междисциплинарной научно-образовательной шко-

13.

D. B. Szombati, S. Nadj-Perge, D. Car, S. R. Plissard,

ле Московского университета «Фотонные и кванто-

E. P. A. M. Bakkers, and L. P. Kouwenhoven, Nature

вые технологии. Цифровая медицина».

Phys. 12, 568 (2016).

Финансирование. Моделирование динамичес-

ких процессов в джозефсоновских средах выпол-

14.

S. V. Bakurskiy, V. I. Filippov, V. I. Ruzhickiy,

нено при поддержке Российского научного фонда

N. V. Klenov, I. I. Soloviev, M. Yu. Kupriyanov, and

(грант № 20-12-00130). Исследование возможности

A. A. Golubov, Phys. Rev. B 95, 094522 (2017).

интеграции топологически-нетривиальных переда-

15.

S. V. Bakurskiy, N. V. Klenov, I. I. Soloviev,

ющих линий с цифровыми схемами поддержано Рос-

N. G. Pugach, M. Yu. Kupriyanov, and A. A. Go-

сийским фондом фундаментальных исследований

lubov, Appl. Phys. Lett. 113, 082602 (2018).

(грант № 19-32-90208). Аналогия между переносом

16.

S. V. Bakurskiy, A. A. Neilo, N. V. Klenov,

топологического заряда и транспортом куперовских

I. I. Soloviev, and M. Yu Kupriyanov, Nanotechno-

пар разработана в рамках гранта Президента Рос-

logy 30, 324004 (2019).

сийской Федерации (МД-186.2020.8).

17.

Y. S. Kivshar and B. A. Malomed, Rev. Mod. Phys.

61, 763 (1989).

ЛИТЕРАТУРА

18.

A. V. Ustinov, M. Cirillo, and B. A. Malomed, Phys.

Rev. B 47, 8357 (1993).

1. E. Il’ichev, M. Grajcar, R. Hlubina, R. P. J. IJs-

selsteijn, H. E. Hoenig, H.-G. Meyer, A. Golubov,

19.

A. V. Ustinov, Physica D 123, 315 (1998).

913

ЖЭТФ, вып. 5

В. И. Ружицкий, А. А. Максимовская, И. И. Соловьев и др.

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

20. O. M. Braun and Y. S. Kivshar, Phys. Rep. 306, 1

26. M. I. Faley, P. Reith, V. S. Stolyarov, I. A. Go-

(1998).

lovchanskiy, A. A. Golubov, H. Hilgenkamp, and

R. E. Dunin-Borkowski, IEEE Trans. Appl. Super-

21. O. M. Braun, B. Hu, and A. Zeltser, Phys. Rev. E 62,

cond. 29, 1100405 (2019).

4235 (2000).

27. M. I. Khabipov, D. V. Balashov, F. Maibaum,

22. O. M. Braun and Yu. S. Kivshar, The Frenkel-Kon-

A. B. Zorin, V. A. Oboznov, V. V. Bolginov,

torova Model: Concepts, Methods, and Applications,

A. N. Rossolenko, and V. V. Ryazanov, Supercond.

Springer-Verlag, Berlin (2004).

Sci. and Technol. 23, 045032 (2010).

23. R. Mints and I. Papiashvili, Phys. Rev. B 64, 134501

28. S. K. Tolpygo, V. Bolkhovsky, R. Rastogi, S. Zarr,

(2001).

A. L. Day, E. Golden, T. J. Weir, A. Wynn, and

24. R. Mints, I. Papiashvili, J. Kirtley, H. Hilgenkamp,

L. M. Johnson, IEEE Trans. Appl. Supercond. 29,

G. Hammerl, and J. Mannhart, Phys. Rev. Lett. 89,

1 (2019).

067004 (2002).

29. D. Hasegawa, Y. Takeshita, K. Sano, M. Tanaka,

25. T. Ortlepp, Ariando, O. Mielke, C. J. M. Verwijs,

A. Fujimaki, and T. Yamashita, in 17th IEEE In-

K. F. K. Foo, H. Rogalla, F. H. Uhlmann, and H. Hil-

ternational Superconductive Electronics Conference,

genkamp, Science 312, 1495 (2006).

ISEC-2019, Riverside, California (2019), pp. 1-3.

914