ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 877-882

ВОЗБУЖДЕНИЕ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ

В. А. Астапенкоa*, Ю. А. Кротов^b, Е. В. Сахно^a

^a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

141701, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^b Научно-исследовательский институт «Полюс» им. М. Ф. Стельмаха

117342, Москва, Россия

Поступила в редакцию 16 декабря 2020 г.,

после переработки 25 декабря 2020 г.

Принята к публикации 28 декабря 2020 г.

Исследуется возбуждение линейного квантового осциллятора (ЛКО) при столкновении с заряженной

частицей, движущейся по прямолинейной траектории. Расчет вероятности и сечения процесса проведен

вне рамок теории возмущений для различных зарядов налетающей частицы, включая многозарядные

ионы. Рассмотрено возбуждение между стационарными состояниями ЛКО, а также полное возбужде-

ние из основного состояния. Проанализированы характеристические черты процесса в зависимости от

параметров задачи.

DOI: 10.31857/S0044451021050035

некорректным при описании ударного возбуждения

медленными частицами и многозарядными ионами.

1. ВВЕДЕНИЕ

Возбуждение квантового осциллятора коротки-

ми лазерными импульсами исследовалось в работах

Теория возбуждения квантовых объектов в ре-

[6, 7] с помощью точной формулы для вероятности

зультате столкновения с заряженными частицами

процесса, полученной Швингером [8] в его теории

впервые рассматривалась Ферми в его классической

квантованного поля.

работе [1] в рамках метода эквивалентных фотонов

еще до создания квантовой механики с использова-

Модель квантового осциллятора активно исполь-

нием экспериментальных данных для сечений фото-

зуется при расчете потерь энергии в ходе столк-

возбуждения.

новения заряженных частиц с атомами [9]. Так, в

В настоящее время для расчета сечения удар-

работах [10, 11] формула Швингера, обобщенная на

ного возбуждения атомов используется последова-

трехмерный случай, применялась для расчета по-

тельный квантовомеханический подход [2].

терь энергии при столкновении заряженных частиц

Кроме того, для быстрой оценки сечения воз-

с квантовым осциллятором, находящемся в основ-

буждения на дипольно-разрешенных переходах ато-

ном состоянии. В работе [10] рассматривались флук-

мов и молекул применяются полуфеноменологиче-

туации потерь энергии, в статье [11] — эффективное

ские формулы, полученные методом функций по-

торможение.

добия (см., например, [3, 4]). Данные формулы мо-

гут быть выведены с использованием спектроскопи-

Отметим, что в статьях [9-11] вычислялась сум-

ческого принципа соответствия, в рамках которого

ма по всем возбужденным состояниям осциллятора.

атом при взаимодействии с электромагнитным по-

Сечения отдельных переходов не рассматривались.

лем представляется набором классических осцилля-

Настоящая работа посвящена расчету и анализу

торов [5]. Такой подход соответствует первому по-

рядку теории возмущений по взаимодействию ми-

вне рамок теории возмущений вероятности и сече-

ний возбуждения квантового линейного осциллято-

шени с налетающей частицей (НЧ) и становится

ра на переходах между стационарными состояниями

^* E-mail: astval@mail.ru

при столкновении с заряженными частицами.

877

В. А. Астапенко, Ю. А. Кротов, Е. В. Сахно

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

импульса путем сдвига его координаты: x → x-ξ(t),

где ξ(t) — координата классического осциллятора,

В работе исследуется случай, когда заряженная

ассоциированного с квантовым аналогом (имеющем

частица, возбуждающая осциллятор, двигается рав-

те же параметры).

номерно и прямолинейно со скоростью v, образую-

Для полной вероятности возбуждения квантово-

щей угол α с осью осциллятора [12]. На рис. 1 пред-

го осциллятора из основного состояния формула (2)

ставлена диаграмма процесса, ρ — прицельный па-

дает

раметр.

W_tot(ν) = 1 - exp(-ν).

(4)

Тогда для фурье-образа напряженности электри-

ческого поля, создаваемого нерелятивистским заря-

Отметим, что формула (4) совпадает с выражением

дом Ze в месте расположения осциллятора, можно

для вероятности возбуждения квантового перехода

получить

при столкновении с заряженной частицей, получен-

ным Ферми в работе [1], если под параметром ν по-

2Ze ω

нимать величину

E(ω, ρ, v) =

v²

{ (_ωρ)

}

∫

⁽ωρ⁾

J (ω)σ(ω)

× K₁

e_n + iK₀

e_τ

(1)

ν →

dω,

ℏω

где en,τ — нормальный и тангенциальный (по от-

где σ(ω) — сечение квантового перехода, J(ω) —

ношению к вектору скорости v = const) единич-

спектральный поток энергии поля заряженной час-

ные векторы, ρ — прицельный параметр, K0,1(z) —

тицы.

функции Макдональда нулевого и первого порядка.

Пусть линейный осциллятор направлен вдоль

Вероятность возбуждения квантового осцилля-

оси x, тогда энергия возбуждения классического ос-

тора на переходе между стационарными состояни-

циллятора под действием поля заряженной частицы

ями n → m определяется формулой [8]

(1) равна



Wmn =

ν^m-n exp(-ν)

^L^m-nn(ν)

² .

(2)

e²

ε(ρ, v) =

|E_x(ω₀, ρ, v)|²

(5)

Здесь L^kn(ν) — обобщенный полином Лагерра, пара-

где E_x — проекция фурье-образа напряженности по-

метр ν определяется равенством [6, 13]

ля заряженной частицы на ось осциллятора. Для

квадрата модуля этой величины имеем

ν =

(3)

ℏω₀

где ε — энергия возбуждения классического осцил-

⁽2Ze ω)2

|E_x(ω₀, ρ, v)|² =

лятора с той же частотой ω₀ и массой M внеш-

v²

{

}

ним электрическим полем. Предполагаем, что за-

⁽ω₀ρ⁾

× K²

sin² α cos² ϕ+K²

cos² α

(6)

туханием осциллятора можно пренебречь. Подроб-

ный вывод выражения (2) как функции параметра

где α — угол между вектором скорости v и единич-

ν, определенного формулой (3), содержится в рабо-

ным вектором e_x в направлении оси осциллятора. В

те [14]. Вывод основывается на аналитическом ре-

формуле (6) введен азимутальный угол ϕ, равный

шении уравнения Шредингера для заряженного гар-

углу между вектором e_n и плоскостью v × e_x. Он

монического осциллятора в поле электромагнитного

определяет плоскость траектории движения заря-

женной частицы. Таким образом, вероятность воз-

буждения определяется двумя траекторными пара-

метрами ρ и ϕ, которые входят в выражение для

сечения процесса:

∫2π

∫

∞

σ_mn = dϕ W_mn(ρ, ϕ)ρ dρ.

(7)

Здесь мы ввели параметр «обрезания» a ≈ 1 ат. ед.,

Рис. 1. Диаграмма процесса

который ограничивает область прицельных пара-

метров снизу. Анализ показывает, что зависимостью

878

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Возбуждение квантового осциллятора заряженными частицами

рамках теории возмущений, дает монотонно убыва-

ющую функцию прицельного параметра ρ.

Как видно из приведенных графиков, максимум

вероятности возбуждения линейного квантового ос-

циллятора (ЛКО) с ростом скорости НЧ смещается

в область меньших значений прицельного парамет-

ра, при этом ширина максимума уменьшается.

Сечения возбуждения ЛКО между соседними

стационарными состояниями n - 1 → n как функ-

ции скорости налетающей частицы представлены на

рис. 3 для зарядов НЧ Z = 10, 30, 60.

Анализ графиков показывает, что при возбужде-

нии перехода n - 1 → n сечение процесса в макси-

муме зависимости от скорости заряженной частицы

√

пропорционально ее заряду Z, а также величине

Кроме того, значение скорости в максимуме опреде-

√

ляется соотношением v_max ∝

Сечения возбуждения ЛКО из основного состо-

яния в заданные возбужденные, а также полное се-

чение возбуждения как функции скорости НЧ пред-

ставлены на рис. 4 для различных зарядов НЧ.

Из приведенных рисунков следует, что максимум

сечения возбуждения перехода 0 → n слабо смеща-

ется в область меньших значений скорости с ростом

квантового числа n, а величина сечения в максиму-

ме пропорциональна заряду НЧ.

Зависимости полного сечения возбуждения ЛКО

из основного состояния от скорости НЧ для различ-

ных углов α между вектором скорости и осью ЛКО,

вычисленные с помощью формул (4), (7), представ-

Рис. 2. Вероятность возбуждения перехода 0 → 1 в кван-

товом осцилляторе под действием НЧ с зарядом Z = 10

лены на рис. 5.

(а), 30 (б) как функция прицельного параметра, ϕ = π/4,

Из рисунка видно, что зависимость сечения воз-

α = π/2, для разных скоростей НЧ: сплошная кривая —

буждения ЛКО от скорости НЧ с ростом угла α

v = 0.1 ат.ед., пунктирная — v = 0.2 ат.ед., штриховая —

уменьшается в максимуме и более медленно убывает

v = 0.4 ат.ед., штрихпунктирная — v = 0.8 ат.ед.

в области больших скоростей.

Полные сечения возбуждения ЛКО с параметра-

ми, отвечающими молекулам СО и NH, представле-

сечения (7) от величины параметра a при a ≤ 1 мож-

ны на рис. 6.

но пренебречь.

Видно, что для более легкого ЛКО (NH) сече-

Результаты расчета вероятности возбуждения

ние возбуждения больше и максимум зависимости

ЛКО на переходе 0 → 1 представлены на рис. 2

от скорости НЧ смещен в область больших скоро-

как функции прицельного параметра для различ-

стей. Численный анализ показывает, что при про-

ных скоростей и зарядов НЧ. При этом были ис-

чих равных параметрах сечение полного возбужде-

пользованы параметры осциллятора, соответствую-

ния ЛКО в максимуме зависимости от скорости за-

щие колебаниям молекулы CO в основном электрон-

висит от массы осциллятора согласно соотношению

√

ном состоянии: M = 12500 ат. ед., ω₀ = 0.01 ат. ед.

σ_tot(v_max) ∝ 1/

Характерно, что рассчитанные с использованием

Сравним теперь полученные выше сечения воз-

формулы (2) зависимости, изображенные на рис. 2,

буждения квантового осциллятора на переходе 0 →

представляют собой кривые с максимумом, причем

→ 1 с результатами расчета по теории возмуще-

Wmax10 = e-1 ≈ 0.368. Отметим, что вероятность воз-

ний. Соответствующее выражение в последнем слу-

буждения квантового осциллятора, рассчитанная в

чае имеет вид [12]

879

В. А. Астапенко, Ю. А. Кротов, Е. В. Сахно

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 3. Сечение столкновительного возбуждения различ-

Рис. 4. Сечение возбуждения квантового осциллятора из

ных переходов в квантовом осцилляторе НЧ с зарядом

основного состояния НЧ с зарядом Z = 10 (а), 30 (б),

Z = 10 (а), 30 (б), 60 (в) как функция скорости НЧ,

60 (в) как функция скорости НЧ, пунктирные кривые —

сплошные кривые — переход 0 → 1, пунктирные — переход

переход 0 → 1, штриховые — переход 0 → 2, штрихпунк-

1 → 2, штриховые — переход 2 → 3, штрихпунктирные —

тирные — переход 0 → 3, сплошные — полное сечение

переход 3 → 4, угол между осью осциллятора и вектором

возбуждения

скорости НЧ α = π/2

880

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Возбуждение квантового осциллятора заряженными частицами

Рис. 7. Сечение возбуждения молекулы CO на колебатель-

Рис. 5. Зависимости полного сечения возбуждения ЛКО

ном переходе 0 → 1 при столкновении с однозарядным

из основного состояния от скорости НЧ для различных уг-

ионом: сплошная кривая (α = π/2), пунктирная (α = 0) —

лов α: сплошная кривая — α = 0, пунктирная — α = π/6,

расчет с использованием (8); штриховая кривая (α = π/2),

штриховая — α = π/2, штрихпунктирная — α = 2π/3,

штрихпунктирная (α = 0) — расчет по теории возмущений

Z = 30

Из рис. 7 следует, что в рассматриваемом слу-

чае для малых скоростей НЧ (v < 0.1 ат. ед.) ре-

зультат расчета по теории возмущений существенно

превышает результат, полученный с помощью точ-

ной формулы (8). Для относительно быстрых НЧ

(v > 0.1 ат. ед.) рассчитанные зависимости совпада-

ют.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С использованием точной формулы в работе рас-

считаны и проанализированы вероятность и сечение

возбуждения ЛКО в результате соударения с заря-

женной НЧ, двигающейся равномерно и прямоли-

нейно.

Показано, что полученные зависимости для ве-

Рис. 6. Сечение полного возбуждения ЛКО с параметрами

роятности процесса представляют собой кривые с

молекул СО (сплошная кривая, M = 12500 ат. ед., ω0 =

максимумом в отличие от результатов расчета в

= 0.01 ат. ед.) и NH (пунктирная кривая, M = 1713 ат. ед.,

рамках теории возмущений.

ω0 = 0.01 ат. ед.), Z = 10, α = π/2

Установлено, что величина максимума сечения

перехода ЛКО между соседними стационарными

∞

уровнями n - 1 → n как функция скорости НЧ про-

∫

порциональна ее заряду Z, а также величине

√n.

σ₁₀ =

dϕ

|E_x(ω₀, ρ, v)|² ρ dρ.

(8)

√

2Mω₀

Значение скорости в максимуме: v_max ∝

Максимум сечения возбуждения ЛКО из основ-

Отметим, что при записи (8) было учтено, что сила

ного состояния 0 → n слабо смещается в область

осциллятора на рассматриваемом переходе равна 1.

меньших значений скорости с ростом квантового

Сечения, рассчитанные по формуле (8) и с ис-

числа n, величина сечения пропорциональна заря-

пользованием точного выражения для вероятности

ду НЧ.

возбуждения (2), представлены на рис. 7 для двух

Показано, что полное сечение возбуждения ЛКО

значений угла α = π/2, 0.

слабо зависит от угла между вектором скорости НЧ

881

ЖЭТФ, вып. 5

В. А. Астапенко, Ю. А. Кротов, Е. В. Сахно

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

и осью осциллятора и уменьшается с ростом массы

6. V. A. Astapenko and E. V. Sakhno, Appl. Phys.

осциллятора M в максимуме зависимости от скорос-

B 126, 23 (2020).

√

ти согласно соотношению σ_tot(v_max) ∝ 1/

7. V. A. Astapenko and E. V. Sakhno, Symmetry 12,

1293 (2020).

8. J. Schwinger, Phys. Rev. 91, 728 (1953).

ЛИТЕРАТУРА

9. P. Sigmund and U. Haagerup, Phys. Rev. A 34, 892

1. E. Fermi, Z. Phys. 29, 315 (1924).

(1986).

2. Л. А. Вайнштейн, И. И. Собельман, Е. А. Юков,

10. Д.Н. Макаров, ЖЭТФ 146, 711 (2014).

Возбуждение атомов и уширение спектральных

линий, Наука, Москва (1979).

11. Д. Н. Макаров, ЖЭТФ 85, 7 (2015).

3. V. A. Astapenko, A. V. Eletskii, V. P. Kudrya et al.,

12. В. А. Астапенко, Взаимодействие излучения с

Laser Phys. 10, 1220 (2000).

атомами и наночастицами, Интеллект, Долго-

прудный (2010).

4. S. Adamson, V. Astapenko, M. Deminskii et al.,

Chem. Phys. Lett. 436, 308 (2007).

13. K. Husimi, Progr. Theor. Phys. 9, 4 (1953).

5. N. Bohr, H. A. Kramers, and J. C. Slater, Phil. Mag.

14. V. A. Astapenko, F. B. Rosmej, and E. V. Sakhno,

47, 785 (1924).

arXiv:2009.04233 [physics.atom-ph].

882