ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 866-876

УВЕЛИЧЕНИЕ РАЗБРОСА ПО ИМПУЛЬСАМ В ПОТОКЕ

УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОНДУЛЯТОРЕ

В. В. Огнивенко^*

Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт»

61108, Харьков, Украина

Поступила в редакцию 30 ноября 2020 г.,

после переработки 25 декабря 2020 г.

Принята к публикации 13 января 2021 г.

Рассмотрена диффузия по импульсу в потоке ультрарелятивистских электронов, движущихся в прост-

ранственно-периодическом магнитном поле ондулятора. Получено выражение для коэффициента диффу-

зии по импульсу электронов с учетом их начального энергетического разброса. Исследованы зависимости

коэффициента диффузии как от расстояния, пройденного электронами в ондуляторе, так и от величи-

ны начального энергетического разброса электронов. Показано, что разброс по продольному импульсу

электронов увеличивается по мере движения пучка в ондуляторе. Установлено, что на кинетическом эта-

пе коэффициент диффузии не зависит от расстояния, проходимого пучком в ондуляторе. Обсуждается

возможность продвижения лазеров на свободных электронах в рентгеновскую область спектра.

DOI: 10.31857/S0044451021050023

ния пучка или, что то же самое, растет во времени.

Такая зависимость разброса по импульсам от време-

ни в системе, состоящей из большого числа частиц,

1. ВВЕДЕНИЕ

какой является электронный пучок, соответствует

предброуновскому движению частиц на начальной

Релятивистский электронный пучок, движущий-

стадии эволюции системы [2].

ся во внешнем периодическом поле (ондуляторе),

как известно, является источником интенсивно-

Поскольку в реальных потоках электроны дви-

го коротковолнового электромагнитного излучения.

жутся с различными скоростями, необходимо уста-

новить количественный критерий, определяющий

В пространственно-однородном потоке электронов

электромагнитные поля, создаваемые отдельными

возможность пренебрежения различием начальных

скоростей электронов при описании радиационной

электронами, имеют различные фазы, в результа-

те чего суммарное электромагнитное поле потока

релаксации пучка. С другой стороны, учет разли-

чия скоростей электронов представляет физический

таких электронов-излучателей является некогерент-

ным. При движении электронов в таком некоге-

интерес, поскольку позволяет исследовать диффу-

зию электронов в импульсном пространстве на ки-

рентном электромагнитном поле и периодическом

поле ондулятора возникают силы, действующие на

нетическом этапе эволюции системы [3], когда дви-

электроны, которые приводят к случайным откло-

жение электронов в процессе радиационной релак-

сации становится полностью случайным. Кроме то-

нениям импульса от равновесного значения. Изме-

нение квадратичных отклонений импульса от сред-

го, описание диффузии по импульсам электронов

в таких потоках представляет значительный ин-

них в потоке электронов, взаимодействующих по-

средством создаваемых ими электромагнитных по-

терес в связи с работами по созданию рентгенов-

ских лазеров на свободных электронах (ЛСЭ), ос-

лей, исследовано в работе [1]. В этой работе рассмот-

рена радиационная релаксация электронов, которые

нованных на самопроизвольном усилении спонтан-

ного излучения моноэнергетическим ультрареляти-

имеют одинаковую начальную энергию. В таком по-

токе скорость изменения квадратичных отклонений

вистским электронным пучком при движении в он-

импульса от среднего увеличивается по мере движе-

дуляторе [4-7].

В данной работе исследована диффузия по про-

^* E-mail: ognivenko@kipt.kharkov.ua

дольному импульсу в потоке ультрарелятивистских

866

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Увеличение разброса по импульсам. . .

электронов, имеющих некоторое начальное распре-

D_z (p_z, t) =

〈(Δp_z)²〉 =

деление по импульсам. Рассмотрено взаимодействие

2dt

∫t

∫

электронов друг с другом посредством создавае-

[

]

мых ими электромагнитных полей, на стадии спон-

= dt₁

F(s)z

x(0) (t) , t; x(0)s (t, q0s)

танного излучения. В приближении малого зна-

Ωq

[

]

чения параметра ондулятора получено выражение

×F(s)

x(0) (t₁) , t₁; x(0)s (t₁, q0s)

для силы парного взаимодействия релятивистских

электронов, движущихся с различными скоростя-

× f (q0s)v_z (t0s) dq0s,

(2)

ми (разд. 2). Это выражение использовано в фор-

мулах для коэффициента диффузии по продольно-

где Δp_z

= p_z - 〈p_z〉; p

— импульс электро-

му импульсу электронов (разд. 3), оно справедли-

на; Fzs) (x, t; x_s) — сила, действующая на электрон

во на произвольном расстоянии, пройденном элек-

(пробный), находящийся в точке r в момент вре-

тронами в ондуляторе. Из общих формул получены

мени t, со стор

(

)

явные выражения как для среднего квадратично-

= (r, p), xs0) = rs0), ps0)

— равновесные траекто-

го продольного импульса на предброуновской ста-

рия и импульс s-го электрона в ондуляторе, q0s =

дии движения электронов (разд. 4), так и для ко-

= (x0s, y0s, t0s, p0s) — начальные координаты и им-

эффициентов диффузии по продольному импуль-

пульс электрона в момент времени t0s, в который он

су на кинетическом этапе эволюции системы, когда

пересекает плоскость z = 0; dq0s = dx0sdy0sdt0sdp0s;

движение электронов становится полностью случай-

f (q0s) — одночастичная функция распределения

ным (разд. 5). С помощью численных методов опре-

электронов пучка по импульсам, Ω_q — область ин-

делен среднеквадратичный разброс по продольно-

тегрирования по начальным координатам и импуль-

му импульсу на произвольном расстоянии, прой-

сам электронов-излучателей (s-х), в поле которых

денном первоначально моноэнергетическим пучком

находится пробный электрон; угловые скобки озна-

электронов в ондуляторе (разд. 6). Обсуждение по-

чают усреднение по ансамблю.

лученных результатов и следующие из них выводы

Рассматривая взаимодействие электронов в он-

содержатся в заключительной части (разд. 7).

дуляторе посредством создаваемых ими электромаг-

нитных полей, выражение для силы парного взаимо-

действия можно записать в виде

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ОСНОВНЫЕ

]

F(s)z (x, t; x_s) =

v × rotA(s)

(3)

УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим поток релятивистских электронов,

ev^′s

A(s) (x, t; x_s) =

(4)

который пересекает плоскость z = 0 и движется

c (R^′s - β^′s · R^′s)

в положительном направлении оси z в пространст-

где R_s = r - r_s (t, q0s), β_s = v_s/c, v = p/mγ, e, m —

венно-периодическом статическом магнитном поле с

заряд (e < 0) и масса электрона, γ — релятивист-

правой круговой поляризацией, которое при z ≥ 0

ский фактор, c — скорость света в вакууме, штрих

имеет вид

означает, что величины взяты в предшествующий

момент времени

H_u = H₀[e_x cos(k_uz) + e_y sin(k_uz)],

(1)

t^′ = t - R^′s/c.

(5)

где k_u = 2π/λ_u; H₀, λ_u — амплитуда и период маг-

нитного поля ондулятора; e_x, e_y, ez — единичные

Будем пренебрегать разбросом поперечного (по

векторы декартовой системы координат x, y, z.

отношению к e_z) импульса электронов на входе в

Вычислим коэффициент диффузии по продоль-

ондулятор при z = 0, рассматривая влияние раз-

ному (вдоль оси z) импульсу электронов, который

броса продольного импульса на радиационную ре-

характеризует среднее изменение квадрата отклоне-

лаксацию электронного пучка. Тогда, учитывая (1),

ния продольного импульса от среднего по мере дви-

функцию распределения электронов по импульсам

жения пучка в ондуляторе. Исходное уравнение для

при z = 0 можно записать в виде

коэффициента диффузии, полученное на основе ди-

(

)

намики движения отдельных частиц, можно запи-

f (p0s) = n_bδ px0s -

δ (py0s) w (pz0s) ,

(6)

сать в виде [1,2]

k_uc

867

В. В. Огнивенко

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

где nb — средняя плотность электронов, δ (x) —

предшествующий момент времени t^′, удовлетворяю-

дельта-функция от x, w (p_z) — произвольная функ-

щий очевидному условию t^′ ≥ t0s. Из этого условия

ция. В этих условиях уравнение равновесной траек-

при учете уравнения (5) следует соотношение

тории электрона (например, s-го) при z ≥ 0 прини-

c (t - t0s) ≥ |r - r0s|,

(9)

мает вид (ср. [1])

определяющее координаты r и момент времени t,

r(0)s (t, q0s) = r0s + r_us (t, q0s) + e_zz_s (t),

(7)

в которых электромагнитное поле, создаваемое s-м

где

электроном, отлично от нуля. Строго говоря, усло-

вием представления векторного потенциала в виде

r_us (t, q0s) = -e_xr_⊥s sin[k_uz_s (t)] -

(8) является полное отсутствие поля s-го электрона

- e_yr_⊥s{1 - cos[k_uzs (t)]},

при t < t0s во всех точках пространства z ≥ 0.

Зная A(s), можно найти силу парного взаимодей-

z_s(t, q0s) = v_zs(t - t0s), r0s = (x0s, y0s, 0),

ствия электронов. Подставляя выражение (8) в фор-

|e|H₀

мулу (3), пренебрегая квазистатическими полями и

r_⊥s =

K =

γ0sβ_zsk_u

mc²k_u

быстро осциллирующими по z членами при вычис-

√

лении ротора вектора A(s), получим

(

)

v_zs = v0s

e²K²β_zsγ2zsk_u

γ0sβ0s

F(s)z (x, t; q0s) = -

G(r, t; q0s) ,

(10)

γγ0sR∗ (r, t)

Заметим, что по такой траектории будут дви-

гаться электроны, имеющие только продольную

где

составляющую скорости на некотором расстоя-

(

R0z

β_zs

нии z_H (z_H

< -λ_u/2π) до входа в ондулятор и

G(r, t; q0s) = β_zs +

R_∗

k20sR²

движущиеся в магнитном поле ондулятора, ам-

∗

)

(

)

плитуда которого адиабатически увеличивается

β_zsR20⊥

R0z

cosψ

sinψ + β_zs +

(λ_u (∂/∂z) ln H_u ≪ 2π) от нуля при z = z_H до H₀

2γ2zsR2∗

R_∗

k0sR_∗

при z = 0.

ψ = γ2zsku (R0s + β_zsR_∗), k0s = β_zsγ2zsk_u.

Найдем выражение для векторного потенциала

A(s). Для нахождения явных выражений векторно-

Формулы (10), (6) и (2) позволяют записать сле-

го потенциала и силы парного взаимодействия элек-

дующее выражение для коэффициента диффузии:

тронов рассмотрим малые значения параметра он-

дулятора K ≪ 1. Используя уравнение (5), (7), мож-

∫

∞

e⁴K⁴k2u

но получить выражение для R^′s. Подставляя это вы-

D_z =

dt₁

dpz0s ×

γ²

ражение в формулу (4), а затем разлагая возникаю-

-∞

щее выражение по степеням параметра K с точно-

× γ20sw (pz0s)Φ(t₁, pz0s),

(11)

стью до линейных членов, получим следующее вы-

ражение для векторного потенциала поля, создава-

где

емого s-м электроном:

∫∫∫

G (r, t; q0s) G (r₁, t₁; q0s)

Φ=

A(s) (r, t) =

R_∗ (r, t; q0s)R_∗ (r₁, t₁; q0s)

cR_∗

Ωq

[

(

)]

′

R0⊥ · v

R0⊥ · r^′us

× n_bvzs dx0s dy0s dt0s.

(12)

× v^′

+v_zs

(8)

cR_∗

γ2zsR²

∗

Зависимость коэффициента диффузии (11) от

где

√

импульса можно выявить, заменив в подынтеграль-

R_∗ = R20z + R20⊥γ

s , vus = rus,

ном выражении уравнения (12) координаты r и r₁

координатами пробного электрона r_t в моменты вре-

R0⊥ = e_x (x - x0s) + e_y (y - y0s),

мени t и t₁ соответственно, r

= rt (t)

≡ r₀

R0z = z - z_s (t, q0s),

+ v_z (t - t₀), r₁ = rt (t₁).

(

)-1/2

γ0s

γ_zs =

1-β2zs

√

В уравнении (12) область интегрирования Ω_q

1+K²

охватывает начальные координаты электронов-из-

Поле в точке r в момент времени t, создаваемое

лучателей (s-х), поле которых отлично от нуля в мо-

s-м электроном, определяется его координатами в

менты времени t и t₁. Поскольку t₁ < t, эта область

868

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Увеличение разброса по импульсам. . .

будет определяться соотношением (9), в котором r

где

и t следует заменить соответственно на rt (t₁) и t₁.

(

Для дальнейших вычислений удобно ввести

r cosθ + ξ

G(r, ξ) = β_zs +

вместо переменной t новую независимую перемен-

R_∗ (r, ξ)

)

ную — координату z, по формуле z = v_z (t - t₀),

β_zs

β_zsr² sin² θ

sinψ (r, ξ) +

при этом в правой части (11) заменить переменную

k20sR2∗ (r, ξ)

2R2∗ (r, ξ)

t1 новой переменной z1, полагая t1 = t0 + z1/vz.

(

)

r cosθ + ξ

cosψ (r, ξ)

Компоненты вектора R₀ тогда примут вид

+ β_zs +

(16)

R_∗ (r, ξ) k0sR_∗ (r, ξ)

(

)

v_zs

√

R0z (z₁) =

z₁+v_zs (t0s-t₀) ≡ Δz_s (z₁),

R_∗ (r, ξ) =

r² + 2rξ cosθ + ξ², r^′ = (r^′, ϕ, θ) ,

v_z

(

)

v_zs

ψ (r, ξ) = k_uγ2zs [r cos θ + ξ + β_zsR_∗ (r, ξ)] ,

R0z (z) = Δz_s (z₁) +

(z - z₁) ,

v_z

(

)

√

v_zs

ξ=

(z - z₁) .

R0⊥ = (x₀ - x0s)² + (y₀ - y0s)².

v_z

Легко убедиться, что подынтегральное выраже-

Подынтегральное выражение в правой части

ние в правой части уравнения (15) при ξ = 0 пере-

уравнения (12) зависит от начальных координат q0s

ходит в соответствующее выражение работы [1].

через функции Δz_s (z₁) и R0⊥. Поэтому удобно за-

писать условие (9), определяющее пределы интегри-

рования по q0s, через эти функции (ср. [1]):

3. КОЭФФИЦИЕНТ ДИФФУЗИИ

γ2zs [Δz_s (z₁) + β_zsR_∗ (z₁)] ≤ z₁,

(13)

Для нахождения явного выражения для ко-

эффициента диффузии ограничимся следующими

где

√

упрощающими допущениями.

R_∗ (z₁) =

[Δz_s (z₁)]² + R20⊥γ

s .

1. Рассмотрим разброс по импульсам электронов,

Для определения пределов интегрирования в

движущихся по оси пучка, полагая x₀ = y₀ = 0.

(12) следует также учесть конечные поперечные раз-

Тогда согласно условиям (13), (14) предел интегри-

меры пучка. Полагая, что пучок является сплош-

рования r^′max в формуле (15) является наименьшим

ным цилиндрическим радиуса r_b, имеем

значением из следующих двух величин:

√

z₁

x20s + y20s ≤ r_b.

(14)

(17)

γ2zs (cosθ + β_zs)

γ_zs sinθ

Будем считать, что средняя плотность пучка n_b

2. Будем учитывать электромагнитное поле

не зависит от координат q0s. Учитывая вид силы

электронов-излучателей, движущихся только за

парного взаимодействия электронов, в правой ча-

рассматриваемым (пробным) электроном. При этом

сти уравнения (12) целесообразно перейти от пере-

θ может меняться от 0 до π/2.

менных интегрирования x0s, y0s, t0s к новым пере-

3. Считаем, что расстояние между электронами,

менным r^′, ϕ, θ (0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π), используя

парное взаимодействие которых мы рассматриваем

формулы

(|z - z_s| < r^′), значительно больше теплового разле-

та этих электронов относительно друг друга за вре-

x0s = x₀-γ_zsr^′ cosϕsinθ, y0s = y₀-γ_zsr^′ sinϕsinθ,

мя рассматриваемого процесса ((Δv_z ) z/v_z > ξ), т. е.

r^′ ≫ ξ. Это условие, однако, не исключает возмож-

Δz_s (z₁) = r^′ cos ϕ.

ность теплового разлета электронов на расстояние,

Уравнение (12) тогда примет вид

большее длины волны ондуляторного излучения

∫

λ_u

(

)

λ=

1+K²

Φ = γ2zsn_b dϕ dθsinθ×

2γ²

4. Предполагаем, что радиус пучка больше дли-

∫

ны волны ондуляторного излучения в поперечном

G (r^′, ξ)

dr^′r^′

G (r^′, 0) ,

(15)

направлении: r_b ≫ λ_⊥/2π, где λ_⊥ = λ_u/β_zsγ_zs —

R_∗

(r^′, ξ)

длина волны ондуляторного излучения в системе

869

В. В. Огнивенко

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

отсчета, движущейся с поступательной скоростью

где

пучка.

(

)

√

2p_z

Принимая во внимание сделанные предположе-

α(x) = exp

cos(ηx) , z_c =

z2c

k_up_th

ния, в подынтегральном выражении уравнения (15)

(

)

разложим R_∗ (r^′, ξ) по малому параметру ξ/r^′ и всю-

p_zm

ду, за исключением фазы ψ (r^′, ξ), будем пренебре-

η=k_u

p_z

гать членами ξ/r^′ по сравнению с единицей. По-

скольку среднеквадратичный импульс изменяется

Выражение для r^′max (z₁, θ) можно получить, ис-

пользуя условие (17). Так, при 0 ≤ z₁ ≤ z_r находим

на расстоянии z > λ_u, из (17) следует, что k0sr^′max ≫

≫ 1. Далее, проинтегрируем по ϕ и r^′ в уравнении

(ср. [1])

(15), пренебрегая быстро осциллирующими членами

z₁

r^′max (z₁, θ) = r₁ (z₁, θ) ≡

(21)

типа cos [ψ (r^′, ξ) + ψ (r^′, 0)]. Подставляя полученное

γ2zm (β_zm + cosθ)

выражение в уравнение (11) и ограничиваясь лишь

членами, пропорциональными r^′max, находим

При z₁ > z_r получим

{

πe⁴K⁴k2un_b

r₁ (z₁, θ),

0 ≤ θ ≤ θ∗ (z₁),

D_z (p_z, z) =

r^′max(z₁, θ) =

(22)

4γ²v_z

rb/γzs sin θ, θ∗ (z1) < θ ≤ π/2,

∫z

∫

∞

∫

где z_r = β_zmγ_zmr_b, θ_∗ (z) = arccos a(γ_zmr_b/z),

× dz₁

dpz0sγ20sw (pz0s)

dθ sin θ ×

√

-∞

1+x²γ

m - βzmx²

[

]

a (x) =

× χ4 (θ)cos

γ2zsk_uξχ (θ)

r^′max (z₁, θ),

(18)

1+x²

где χ (θ) = 1 + β_zs cos θ.

Заметим, что θ_∗ (z) = 2 arctg(z_r/z) при γ_zm ≫ 1.

Предположим, что функция w (pz0s) имеет вид

Используя формулы (21) и (22), запишем урав-

[

]

нение (20) для расстояний z меньших и больших z_r.

(pz0s - p_zm)

w (pz0s) =

√

exp

(19)

При этом в правой части уравнения (20) заменим

2πp_th

2p²

переменную интегрирования z₁ на новую перемен-

где p_zm и p_th — соответственно среднее значение и

ную z^′ = z - z₁, а вместо θ, при интегрировании в

начальный разброс продольного импульса электро-

интервале (0, θ_∗(z₁)), введем новую переменную ин-

нов.

тегрирования y по формуле β_zm cosθ = y/z^′ - 1.

Будем считать, что начальный тепловой разброс

При z < z_r полная сила, действующая на проб-

в пучке удовлетворяет условию p_th ≪ p_zm. Кроме

ный электрон со стороны электронов-излучателей,

того, нас будет интересовать увеличение энергети-

не зависит от поперечных размеров пучка; иными

ческого разброса электронов, вследствие радиаци-

словами, излучение от электронов, движущихся на

онного взаимодействия, до значений Δγ ≪ γ_m. При-

периферии пучка r_⊥s = r_b, не достигает пробного

нимая во внимание эти условия, в подынтегральном

электрона. Изменив порядок интегрирования в фор-

выражении уравнения (18) разность скоростей запи-

муле (20) и проинтегрировав по z^′, получим следую-

шем в виде

щее выражение для коэффициента диффузии:

p_z - pz0s

v_z - v_zs =

mγ2zmγ_m

∫

πe⁴K⁴k2uγ2mn_b

и всюду, кроме этой разности, положим v_zs = v_zm.

D_z (p_z, z) =

dy (z - y)² ×

24γ²v_zz²

Здесь v_zm = p_zm/mγ_m — среднее значение продоль-

ной скорости.

× (y + 2z) [16α (2y) - α (y)] .

(23)

Подставив (19) в (18) и проинтегрировав по про-

дольному импульсу, используя значение интеграла

При z > z_r, как следует из выражения (22), r^′max

[8], получим следующее выражение для коэффици-

зависит от поперечных размеров пучка. Коэффици-

ента диффузии:

ент диффузии (20) теперь удобно записать в виде

двух членов:

∫

πe⁴K⁴k2uγ4mn_b

D_z (p_z, z) =

dz₁

dθ sin θ ×

πe⁴K⁴k2uγ2mn_b

4γ²v_z

D_z (p_z, z) =

4γ²v_z

× χ4 (θ)r′max (z₁,θ)α[χ(θ)(z - z₁)],

(20)

× [U₁ (z, p_z) + U₂ (z, p_z)] ,

(24)

870

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Увеличение разброса по импульсам. . .

где

5. КИНЕТИЧЕСКИЙ ЭТАП

∫z

∫

Найдем теперь коэффициент диффузии при z ≫

U₁ = dz^′ (z - z^′)

dχ χ³α (χz^′) ,

(25)

≫ z_c. Получим сначала асимптотическое выраже-

ние коэффициента диффузии при z < z_r. Для этого

χmax (z-z^′)

в уравнении (23), устремляя верхний предел инте-

грирования к бесконечности и пренебрегая слагае-

∫

(

)

мыми, пропорциональными exp

-z²/z2c

, при инте-

U₂ = z_r

dz^′

dθχ⁴ (θ) α [χ (θ) z^′] ,

(26)

грировании с помощью [8] получим

θ∗(z-z^′)

χ_max (x) = 1 при 0 ≤ x ≤ z_r, χ_max (x) = χ_∗ (x) при

7π3/2e⁴K⁴γ2mn_b

D_z (p_z) =

k2uz_c ×

z_r < x ≤ z, χ_∗ (x) = 1 + β_zm cosθ_∗ (x). Заметим, что

24γ²v_z

(

)

{

[

]

χ_∗ (x) = 2/

1 + z2r/x²

при γ_m ≫ 1.

(p_z - p_zm)²

Значительное упрощение в аналитическом реше-

× z exp -

2p²

нии уравнений (23), (25) и (26) возникает в двух

)}

случаях: когда в течение рассматриваемого процес-

9z_c

⁽p_z -p_zm

√

(29)

са смещение электронов относительно друг друга за

14√πφ

счет теплового движения мало либо когда это сме-

щение велико. Рассмотрим каждый из этих случаев

где

∫

отдельно.

dt.

φ (x) = 1 - 2xe-x2 et2

4. ПРЕДБРОУНОВСКИЙ ЭТАП

Численные значения функции φ (x), а также пред-

ставление в виде степенного ряда для малых x и

Найдем разброс по импульсам при z ≪ z_c. В

асимптотическое разложение для x ≫ 1 можно по-

этом случае наибольший вклад в подынтегральные

лучить, например, с помощью [9].

выражения (23), (25) и (26) будут давать значения

Первый член в выражении (29) зависит линей-

|p_z - p_zm| ≪ p_th и, следовательно, можно ограни-

но от z. Это связано с тем, что с ростом z увели-

читься основным членом разложения функции α по

чивается число электронов-излучателей, в области

малому параметру z/z_c, положив α = 1.

влияния которых находится пробный электрон.

При z < z_r, интегрируя в правой части выраже-

Вычислим теперь коэффициент диффузии при

ния (23), используя определение (2), получим

z > zr. Переходя к вычислению интегралов (25),

(26), прежде всего, заметим, что при z - z_r ≫ z_c

15πe⁴K⁴k2uγ2mn_b

〈(Δp_z)²〉 =

z².

(27)

основной вклад в значение этих интегралов дает

16γ²v²

область z′ < zc ≪ z, поскольку при больших z′

При z > z_r, вычисляя двойные интегралы в (25),

подынтегральная функция в (25), (26) быстро убы-

(26), учитывая (24) и (2), получаем

вает. Воспользовавшись этим неравенством, вычис-

лим сначала U₁. Разлагая внутренний интеграл в

2πe⁴K⁴k2uγ2mn_b

⁽z),

уравнении (25) по малому параметру z^′/z до линей-

〈(Δp_z)²〉 =

z_rzB

(28)

γ²v2z

z_r

ных членов включительно и затем меняя порядок

интегрирования в двойных интегралах, получим

где

(

)

∫

35⁽

π⁾

B (x) =

arctgx -

U₁ =

dχχ

dy (zχ - y) α (y) +

)

(z-zr )χ

⁽1+x

∫

32x

dχχ

dy (zχ - y) α (y) +

Заметим, что выражение (28) при z = z_r переходит

χ∗(z)

в (27). Легко убедиться, что выражение (27), спра-

∫

ведливое при z < z_r, и выражение (28) для значений

4β_zmz2rz

dy y [zχ_∗ (z) - y] α (y) .

(30)

z ≫ z_r совпадают с соответствующими формулами

(z2r

+z²)²

работы [1].

871

В. В. Огнивенко

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Здесь вместо переменной z^′ мы ввели новую пере-

Подставляя выражения (31) и (33) в уравнение

менную y = χz^′ в первом и втором двойных интегра-

(24), окончательно получаем следующее выражение

лах и переменную y = z^′χ_∗ (z) в третьем интеграле.

для коэффициента диффузии:

Найдем теперь асимптотическое выражение ин-

5π5/2e⁴K⁴γ2mn_b

тегралов (30) в предельном случае z -z_r ≫ z_c. Пер-

D_z (p_z, z) =

k2uz_rz_c ×

вый двойной интеграл в уравнении (30) по порядку

16γ²v_z

)

[ (

) (

величины равен

(p_z - p_zm)²

× B₂

exp

z_rz4c (z - z_r)-3 e-z2/zc .

z_r

)]

Вычисляя второй двойной и третий интегралы в

8z_rz_c

⁽p_z -p_zm

−

√

(34)

уравнении (30) с помощью [8] в том же приближе-

5π3/2z²

2p_th

нии, что и (29), удерживая члены до z2r/z², получим

[

(

)

где

2z2rz_c

√

(p_z - p_zm)

U₁ =

π exp

B₂ (x) =

arctg x -

15π

5πx

2p²

)]

При z ≫ z_r выражение (34) для малых отклоне-

z_c

⁽p_z -p_zm

ний импульса от среднего, |p_z - p_zm| < p_th, прини-

√

(31)

2p_th

мает вид

Перейдем теперь к вычислению U₂. В правой

5π5/2e⁴K⁴γ2mn_b

D_z (p_z) =

k2uz_rz_c ×

части уравнения (26), разлагая внутренний инте-

16γ²v

(

)

грал в ряд по малому параметру z^′/z до линейных

)

⁽1

(p_z - p_zm)²

членов включительно и меняя порядок интегриро-

exp

(35)

15π

2p²

вания в двойном интеграле, получим

∫

Для больших отклонений импульса от среднего,

U₂ = z_r

dθχ³ (θ)

dy α (y) -

|p_z - p_zm| ≫ p_th, при

√

θ∗(z)

21/2λ_uz_rp_zp_th/π

(p_z - p_zm)²

exp

≡z_p

∫

|p_z - p_zm|

2z2r

χ2∗ (z)

dy yα (y) .

(32)

z2r + z²

коэффициент диффузии (34) обратно пропорциона-

лен квадрату этого отклонения:

Здесь вместо переменной z^′ мы ввели новую пере-

πe⁴K⁴n_bβ_zz2rp2zm

менную интегрирования y по формуле y = z^′χ (θ) в

D_z (p_z, z) =

v_zmz² (p_z - p_zm)²

первом слагаемом и y = z^′χ_∗ (z) — во втором. Инте-

грируя в уравнении (32) так же, как в (31), получим

Для значений z > z_p выражение (34) принимает вид

следующее асимптотическое выражение:

(35). Таким образом, на больших расстояниях коэф-

(

)

фициент диффузии не зависит от z. Такая зависи-

√π

⁽z

(p_z - p_zm)²

U₂ =

z_rz_cB₁

exp

мость коэффициента диффузии от координаты или

z_c

2p²

же от времени соответствует кинетическому этапу

)

4z2rz2c

⁽p_z -p_zm

эволюции системы, состоящей из большого числа

√

(33)

z²

2p_th

частиц (см., например, [3, 10, 11]).

где

∫

B₁ (x) =

dθ (1 + β_zm cos θ)³ .

6. ПЕРВОНАЧАЛЬНО

МОНОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОТОК

θ∗(x)

ЭЛЕКТРОНОВ

При γ_zm ≫ 1 имеем

(

π⁾

Для получения ультракоротковолнового коге-

B₁ (x) = 5 arctg x -

рентного электромагнитного излучения в процес-

)

⁽11

се самопроизвольного усиления спонтанного излуче-

(1 - μ)

μ+

μ²

ния релятивистские электроны должны иметь ма-

лый разброс по импульсу, удовлетворяющий усло-

(

)

где μ =

1+x²

-1.

вию p_th ≪ p_zmλ_u/L_u (cм., например, [12-14]). Это

872

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Увеличение разброса по импульсам. . .

неравенство можно переписать в виде L_u ≪ 2z_c,

∫

где L_u = λ_u/ρ1D — длина ондулятора, определяе-

V =

(ζ - x)² g² (x) dx.

(38)

мая расстоянием, на котором интенсивность элек-

тромагнитного излучения достигает максимального

При ζ > ζ_r, учитывая пределы интегрирования

значения,

по x, тройной интеграл в формуле (37) запишем в

)1/3

виде

⁽Kλ_u)2/3(I_b

ρ1D =

γ-10,

4πr_b

∫

ζr

∫

ζ1

∫

ζ1

∫

dζ₁

dx dy + dζ₁ dx

dy +

Ib = π|e|vz0r^bnb, IA =

= 17 кА.

|e|

ζr

y∗(ζ1)

∫

Поэтому для определения энергетического разбро-

са, обусловленного радиационным взаимодействи-

+ dζ₁

dx.

ем электронов на стадии спонтанного излучения

ζr

(z < L_u), можно пренебречь начальным энергети-

В первом и втором слагаемых этого выражения

ческим разбросом электронов, считая, что элект-

можно непосредственно проинтегрировать по y,

роны являются моноэнергетическими: w (p_zs)

учитывая подынтегральные выражения в уравне-

= δ (p_zs - pz0). В этом случае, используя уравнения

нии (37). В третьем слагаемом поменяем порядок

(11), (12) и (21), (22), в которых переменную θ за-

интегрирования по y и x, проинтегрируем по y. За-

меним на y = cos θ, а вместо r^′ введем новую пере-

тем, меняя всюду порядок интегрирования по ζ₁ и

менную x = γ2z0k_ur^′ (y + βz0), выражение для сред-

x, проинтегрируем по ζ₁ в каждом слагаемом. В ре-

него квадратичного разброса продольного импульса

зультате формула (37) примет вид

можно записать в виде

πe⁴K⁴n_b

∫

ζr

〈(Δp_z)²〉 =

(36)

c²k_u

V =

(ζ - x)² g² (x) dx +

[

]

∫

∫ζ

∫1

x⁸

(ζ - x)2 1-

g² (x) dx.

(39)

V = dζ1 (ζ - ζ₁) dy (βz0 + y)³ ×

(ζ2r

+x²)⁴

ζr

∫

Легко видеть, что при ζ = ζ_r формулы (39) и (38)

dx g² (x) ,

(37)

совпадают, как это и должно быть.

Асимптотические значения выражений (38) и

(39) при ζ > 1 и ζ_r > 1 получим, интегрируя в этих

где

(

)

формулах с точностью до слагаемых, обратно про-

cosx

g (x) =

sinx + 2

порциональных ζ и ζ_r:

x²

{

ψ_m (y),

0 ≤ y ≤ y∗ (ζ₁),

V =

ζ³, ζ < ζ_r;

x_max =

)

(40)

ζ₁,

y_∗ (ζ₁) < y ≤ 1,

⁽ζ

V =ζ3rA

ζ >ζ_r,

(

)

ζ_r (βz0+y)

ζ²¹-ζ2r

где

ψ_m (y) =

√

y_∗ (ζ₁) = max

βz0

1-y²

ζ²¹+ζ²

(

)

^[5

35⁽

π^)]

2πr_b

A(x) =

x² - 1

arctg x -

ζ =k_uz, ζ₁ =k_uz₁, ζ_r =βz0γz0r_bk_u =

λ_⊥

1+x²

− 4xln

+ 3(x - 1) +

Преобразуем формулу (37) к более простому ви-

ду. При ζ ≤ ζ_r верхний предел интегрирования по

Можно показать, что поправка к решению (40) при

x не зависит от y. Поэтому в уравнении (37) сна-

ζ > ζ_r > 1 имеет вид

чала проинтегрируем по y, а затем, меняя порядок

(

)

интегрирования по ζ₁ и x, проинтегрируем по ζ₁. В

⁽ζ

V -ζ3rA

B₃

результате получим

ζ_r

873

В. В. Огнивенко

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 1. (В цвете онлайн) Зависимости функции Y

√

Рис. 2. Зависимости нормированного разброса продоль-

V /ζ^r от нормированной продольной координаты z/zr ,

ного импульса 〈(Δpz)²〉/m²c² от координаты z. Числа у

полученные численно (цветные кривые) для значений

кривых обозначают длину волны излучения λ в ангстре-

r_b/λ_⊥ = 1 (красная), 2 (зеленая), 4 (синяя) и на осно-

мах

вании формулы (40) (пунктирная кривая)

где

пропорциональна обратной степени ζ_r, в то время

(

)

как главный член V пропорционален ζ3r.

B₃ (x) ≈

x² - 1

(4 arctg x - π - 3) +

[

(

)]

Как известно, уменьшение длины электромаг-

+ 4x

ln 2 - ln

1+x-2

- x + 2.

нитной волны, излучаемой электронами при дви-

жении в ондуляторе, достигается путем увеличения

Легко убедиться, что в предельном случае ζ ≫ 1,

энергии электронов. Поэтому представляет интерес

ζr ≫ 1 выражение (40) совпадает с выражением

определить разброс по импульсам, обусловленный

(28), а также с соответствующим выражением ра-

радиационными эффектами, для разных значений

боты [1]. Заметим, что в этой работе зависимость

энергии электронов. На рис. 2 приведены зависи-

разброса по импульсам от координаты z найдена в

мости 〈(Δp_z)²〉/m²c² от z, вычисленные по форму-

предположении, что g² = 1/2.

лам (36), (38) и (39), когда параметры ондулято-

На рис. 1 приведены графики, полученные чис-

ра, радиус и ток пучка остаются постоянными, а

ленным интегрированием уравнений (38) и

(39)

энергия пучка увеличивается. Вычисления проведе-

(цветные кривые) и полученные согласно форму-

√

ны для значений H₀ = 1.4 кГс, λ_u = 4 см, I_b =

ле (40) (пунктирная кривая). Величина

V/ζ3r про-

= 5 кА, r_b = 50 мкм (n_b = 1.32· 10¹⁶ см-3), которые

порциональна среднеквадратичному значению про-

примерно соответствуют параметрам эксперимен-

дольного импульса электронов:

тов [4-6]. Кривые соответствуют длине волны излу-

чения λ: 2Å (черная), 1.5Å (красная), 1Å (зеленая),

√

〈(Δp_z)²〉1/2

V/ζ3r =

0.5Å (синяя), при энергии электронов E_b = mc²γ₀:

mcν

5.76 ГэВ (черная), 6.65 ГэВ (красная), 8.15 ГэВ (зе-

где

леная), 11.53 ГэВ (синяя). Зависимости от коорди-

)₂ (

)1/2

наты z рассчитаны до значений L_u. Кружками (бе-

⁽Kγz0

γ3z0r_er_bI_b

ν =βz0k_u

re = e²/mc².

лыми) на кривых обозначены значения разброса по

γ₀

импульсам в координатах z_rel, в которых смещение

электронов относительно равновесной траектории,

Заметим, что для ультрарелятивистских электронов

вследствие радиационного разброса по импульсам,

〈(Δp_z)²〉 = m²c²〈(Δγ)²〉.

достигает половины длины электромагнитной вол-

Как видно из рис. 1, при z ≫ z_r ≡ βz0γz0r_b (прак-

ны:

тически при z > 3z_r) приближенные формулы (40)

достаточно хорошо передают зависимость V от z/z_r.

√

Это связано с тем, что поправка к выражению (40)

2z_rel

〈(Δp_z )²〉 |z=z

= γ2z0pz0λ.

rel

874

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Увеличение разброса по импульсам. . .

При энергии электронов, соответствующей длине

z ≪ z_c соответствует предброуновскому движению

волны излучения 2Å (черная кривая), расстояние

электронов в электромагнитном поле.

z_rel больше L_u. Черный кружок на синей кривой со-

Что же касается расстояния z_c, то оно равно по

ответствует смещению электронов на длину элект-

порядку величины расстоянию, за время прохожде-

ромагнитной волны λ.

ния которого τ_c (τ_c = z_с/v_z) тепловой разлет двух

Из рис. 2 видно, что разброс по импульсам уве-

электронов относительно друг друга достигает по-

личивается по мере движения электронов в онду-

ловины длины электромагнитной волны: v_thτ_c

√

ляторе, а также с ростом энергии электронов. Рас-

2λ/π ≈ λ/2. Здесь использовано соотношение

стояние z_rel также увеличивается с ростом энергии

p_th = mγ₀γ2z0v_th. Действительно, по порядку вели-

электронов. Это связано с тем, что расстояние z_rel

чины скорость v_th равна разности продольных ско-

обратно пропорционально относительному разбросу

ростей двух электронов. Поэтому v_thz/v_z дает то

по продольному импульсу, который, как следует из

смещение, на которое изменяется расстояние между

формул (36) и (40), при z > z_r обратно пропорцио-

двумя электронами за время z/v_z. Само же время

нален γ1/20. Заметим, что длина ондулятора L_u за-

τ_c (время хаотизации) не зависит ни от плотности

висит от энергии электронов линейно. Поэтому от-

пучка, ни от силы парного взаимодействия электро-

носительное расстояние z_rel/L_u, на котором смеще-

нов и представляет собой продолжительность «син-

ние электронов в продольном направлении относи-

хронного» взаимодействия двух электронов. За это

тельно равновесной траектории достигает половины

время фаза силы, действующей на электрон (проб-

длины электромагнитной волны, уменьшается с рос-

ный) со стороны электрона-излучателя, меняется в

том энергии электронов.

пределах от 0 до π: ψ (t + τ) - ψ (t) ≤ π при τ ≤ τ_c.

На расстояниях, значительно бóльших z_c (или,

другими словами, по прошествии отрезка времени,

7. ВЫВОДЫ

достаточно большого по сравнению с τ_c), сила пар-

ного взаимодействия претерпевает существенное из-

Таким образом, в данной работе исследована

менение, она стремится к значению, не зависяще-

диффузия по импульсу в потоке ультрарелятивист-

му от первоначального значения этой силы. В ре-

ских электронов, взаимодействующих между собой

зультате этого на больших расстояниях (z ≫ z_r)

посредством создаваемых ими электромагнитных

коэффициент диффузии не зависит от координаты,

полей при движении в ондуляторе. С помощью ме-

а среднеквадратичный разброс по продольному им-

тода нахождения коэффициентов диффузии в про-

пульсу пропорционален z1/2. В этом случае реали-

странстве импульсов непосредственно из динамики

зуется кинетический этап диффузии электронов в

движения отдельных частиц под действием суммар-

импульсном пространстве, их движение становит-

ной силы со стороны каждой из них, в приближении

ся полностью случайным. Заметим, что при z_c ≪

малого значения параметра ондулятора получены

≪ z < z_r коэффициент диффузии зависит линейно

явные выражения для скорости изменения среднего

от координаты z. Это связано с увеличением чис-

квадратичного продольного импульса электронов с

ла электронов-излучателей, в области влияния ко-

учетом их начального разброса по импульсу.

торых находится пробный электрон. При этом уве-

Показано, что на начальном этапе движения

личение числа таких электронов-излучателей про-

пучка, когда пройденное им расстояние в ондуля-

исходит благодаря увеличению линейных размеров

торе мало по сравнению с расстоянием z_c, средне-

области влияния с ростом z.

квадратичный разброс 〈(Δp_z)²〉1/2 линейно зависит

Как следует из приведенных выше расчетов, ра-

от координаты z при z > z_r. Это связано с тем, что

диационное взаимодействие электронов может при-

при z ≪ z_c силы парного взаимодействия электро-

водить к увеличению энергетического разброса в

нов друг с другом посредством электромагнитных

пучках, которые используются для получения ко-

волн практически не меняются по мере движения

герентного электромагнитного излучения наномет-

пучка. На расстояниях z < z_r, помимо постоянства

рового и более коротковолнового диапазонов длин

сил парного взаимодействия, происходит увеличе-

волн. Действительно, на входе в ондулятор такие

ние числа электронов-излучателей, в области вли-

пучки должны иметь малый энергетический раз-

яния которых находится пробный электрон. Поэто-

брос. На начальной стадии самопроизвольного уси-

му при z < z_r среднеквадратичный разброс увели-

ления спонтанного излучения отдельные электроны

чивается пропорционально z3/2 (см. [1]). В целом

движутся в некогерентном электромагнитном поле

эволюция электронов в пространстве импульсов при

своих соседей под действием случайных сил. Это

875

В. В. Огнивенко

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

приводит к случайным отклонениям импульса элек-

ЛИТЕРАТУРА

тронов от среднего значения и увеличению их энер-

В. В. Огнивенко, ЖЭТФ 142, 1067 (2012).

гетического разброса. Например, для электронного

пучка и ондулятора с параметрами, приведенными

В. В. Огнивенко, ЖЭТФ 149, 230 (2016).

выше (см. рис. 2), увеличение энергетического раз-

Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории

броса в результате радиационной релаксации может

в статистической физике, Гостехиздат, Москва

препятствовать получению когерентного излучения

(1946).

с длиной волны меньшей одного ангстрема.

При движении релятивистских электронов по

P. Emma, R. Akre, J. Arthur et al., Nature Photon.

4, 641 (2010).

криволинейным траекториям их энергетический

разброс может изменяться также из-за квантовых

Hitoshi Tanaka, Makina Yabashi et al., Nature

флуктуаций, обусловленных дискретностью случай-

Photon. 6, 540 (2012).

ных актов излучения фотонов отдельными электро-

H. Weise and W. Decking, Proc. 38th Free-Electron

нами [15-17]. Увеличение энергетического разброса

Laser Conf., USA, Santa Fe (2017), p. 9.

электронов при движении в ондуляторе, связанного

с квантовыми флуктуациями излучения, рассмотре-

R. Ganter, G. Aeppli, J. Alex et al., Proc.

но в работе [18]. При K² ≪ 1 выражение для энер-

39th Free-Electron Laser Conf., Germany, Hamburg

гетического разброса, обусловленного квантовыми

(2019), p. 753.

эффектами, принимает вид

А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев,

Интегралы и ряды, т. 1, Элементарные функции,

〈(Δγ)²〉_qf = λ_cr_eγ⁴⁰k3uK²z,

Наука, Москва (1981).

Справочник по специальным функциям с форму-

где λ_c = ℏ/mc = 3.86 · 10-11см. Отношение энер-

лами, графиками и математическими таблица-

гетического разброса, обусловленного классическим

ми, под ред. М. Абрамовица, И. Стиган, Наука,

(неквантовым) эффектом, к разбросу, обусловлен-

Москва (1979); Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Спе-

ному квантовыми флуктуациями излучения, при

циальные функции. Формулы, графики, таблицы,

z > z_r можно записать в виде

Наука, Москва (1977).

10.

Д. Уленбек, Д. Форд, Лекции по статистической

〈(Δγ)²〉

K²I_bλ_uz

механике, Мир, Москва (1965).

〈(Δγ)²〉_qf

2γ³⁰I_Ar_bλ_c

11.

В. П. Силин, Введение в кинетическую теорию

газов, Наука, Москва (1971).

Так, например, для параметров электронного пуч-

ка и ондулятора, представленных выше (см. рис. 2),

12.

P. Sprangle and R. A. Smith, Phys. Rev. A 21, 293

на расстоянии z_rel превышение энергетического раз-

(1980).

броса, обусловленного классическим радиационным

13.

K. J. Kim, Nucl. Instr. Meth. A 250, 396 (1986).

эффектом 〈(Δγ)²〉, по сравнению с разбросом из-за

квантовых флуктуаций излучения 〈(Δγ)²〉_qf дости-

14.

С. Pellegrini, Particle Accelerators 33, 159 (1990).

гает примерно 5.8 · 10² при λ = 0.5Å и 2.6 · 10³

15.

А. А. Соколов, И. М. Тернов, ДАН СССР 97, 823

при λ = 1.5Å. Таким образом, увеличение энерге-

(1954).

тического разброса в электронных пучках, необхо-

димых для реализации самопроизвольного усиления

16.

M. Sands, Phys. Rev. 97, 470 (1955).

спонтанного излучения при движении в ондуляторе,

17.

А. А. Коломенский, А. Н. Лебедев, ЖЭТФ 30, 207

будет определяться классическими радиационными

(1956).

эффектами, обусловленными влиянием некогерент-

ных электромагнитных полей на движение электро-

18.

E. L. Saldin, E. A. Schneidmiller, and M. V. Yurkov,

нов.

Nucl. Instr. Meth. A 381, 545 (1996).

876