ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 5, стр. 851-865

СКОРОСТЬ ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ ПОД ВЛИЯНИЕМ

ПОЛЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ (0, 1)^∗ ЛАГЕРРА - ГАУССА

Т. Б. Миладиновичa*, С. Симич^b, Н. Данилович^b, М. З. Еремич^c

^a Institute for Information Technologies, University of Kragujevac

34000, Kragujevac, Serbia

^b Faculty of Science, University of Kragujevac

34000, Kragujevac, Serbia

^c Clinical Center Kragujevac, Department of Nuclear Medicine

34000, Kragujevac, Serbia

Поступила в редакцию 18 сентября 2020 г.,

после переработки 18 сентября 2020 г.

Принята к публикации 29 сентября 2020 г.

(Перевод с английского)

INFLUENCE OF (0,1)* LAGUERRE-GAUSSIAN FIELD DISTRIBUTION

ON TUNNELING IONIZATION RATE

T. B. Miladinović, S. Simić, N. Danilović, M. Z. Jeremić

В рамках АДК-теории исследована туннельная ионизация атома аргона под влиянием излучения титан-

сапфирового лазера. Рассмотрен случай поля лазерного излучения радиальной поляризации с распре-

делением (0, 1)* Лагерра - Гаусса (ЛГ), имеющим форму бублика. Было проанализировано поведение

скорости переходов, считая что (0, 1)* ЛГ-моды могут возникать со случайной или однородной поляри-

зацией трех типов (линейной, круговой или эллиптической). Вычислена скорость переходов в простейшем

случае, а также в случае, когда в уравнение включен начальный импульс покидающего атом электро-

на. Кроме того, проанализировано влияние модификации исходного потенциала ионизации электрона

на скорость переходов. В простейшем случае полученные результаты соответствуют ожидаемым, но в

случае включения в рассмотрение дополнительных эффектов скорость перехода характеризуется двумя

пиками в некоторой точке выхода электрона из барьерной области.

DOI: 10.31857/S0044451021050011

чения электрон может покинуть атом посредством

туннельной, многофотонной, надпороговой иониза-

ции (НПИ) или ионизации, сопровождающейся по-

1. ВВЕДЕНИЕ

давлением барьера (ПБИ). Когда лазерное излуче-

ние достаточно сильно, если напряженность элек-

В течение последних пятидесяти лет взаимодей-

трического поля излучения сравнима с напряженно-

ствию лазерного излучения и вещества были посвя-

стью атомного поля (F ≤ F_a, F_a = 5 · 10⁹ В/см), оно

щены многие работы [1-4]. Одним из наиболее су-

деформирует кулоновский потенциал и формиру-

щественных результатов этого взаимодействия яв-

ет потенциальный барьер, через который электрон

ляется ионизация, относящаяся к квантовым про-

может туннелировать. Туннельная ионизация про-

цессам, которые важно понимать детально. В за-

исходит очень быстро вблизи максимума интенсив-

висимости от интенсивности поля лазерного излу-

ности поля излучения в месте, где потенциальный

барьер сильнее всего подавлен излучением. Тунне-

^* E-mail: tanja.miladinovic@gmail.com

851

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

лирование электрона через потенциальный барьер

и корректировки его деградации можно использо-

можно описывать с использованием различных тео-

вать теплопроводящее волокно [24] или оптическое

ретических подходов. Подход Ландау - Лифшица к

волокно со ступенчатым показателем преломления

описанию туннелирования [5] является квазиклас-

[25]. Также можно улучшить качество радиально-

сическим. Теория Келдыша показывает, что много-

поляризованного луча посредством преобразования

фотонная ионизация и туннельная ионизация явля-

(0, 1)^∗ ЛГ-моды со спиральной фазой и случайной

ются по сути одним и тем же процессом, протекаю-

либо однородной поляризацией и радиальной (0, 1)^∗

щим при разных частотах лазерного излучения [6].

ЛГ-моды в близкий к гауссовому луч [26], где ЛГ —

В теории используется параметр Келдыша γ, кото-

это кольцевое распределение интенсивности Лагер-

рый представляет собой отношение лазерной часто-

ра - Гаусса радиально-поляризованного света. В ре-

ты ω и частоты туннелирования ω_t, γ = ω/ω_t. Этот

зультате такого преобразования (0, 1)^∗ ЛГ-мода со

параметр используется для того, чтобы различить

спиральной фазой и радиальная (0, 1)^∗ ЛГ-мода

области туннельной ионизации (γ ≪ 1) и много-

имеют различные распределения поля и фазы [27].

фотонных процессов (γ ≫ 1). Переломов, Попов и

Разделить эти две моды, имеющие распределения в

Терентьев (ППТ) получили точный вид множителя

форме бублика, можно на основании их различных

перед экспонентой в формуле для скорости перехо-

поляризаций и фаз. Явное различие этих мод про-

дов, который приводится в [7]. Основываясь на тео-

является после прохождения через линейный поля-

рии Келдыша, Аммосов, Делоне и Крайнов получи-

ризатор или элемент спиральной фазы (ЭСФ) [27].

ли формулу для скорости ионизации сколь угодно

Туннельная ионизация, которая происходит в

сложно устроенных атомов и ионов (теория АДК)

радиально-поляризованном лазерном поле, до сих

[8], которая используется наиболее часто.

пор не обсуждалась в рамках теории АДК. Этому

Как видно, процесс туннельной ионизации очень

вопросу посвящено настоящее исследование. В на-

сложный и зависит от ряда параметров, таких как

шей работе анализируется влияние распределений

частота излучения ω, напряженность электрическо-

(0, 1)^∗ ЛГ со спиральной фазой и распределений с

го поля излучения F и энергия связи электрона I_p.

радиальной (0, 1)^∗ ЛГ-модой на скорость туннель-

Основными переменными, зависящими от этих па-

ных переходов. Обсуждается скорость переходов в

раметров и дающими важную информацию о про-

случае, когда потенциал ионизации покидающего

текающих процессах, являются скорость переходов,

атом электрона не возмущен и когда его началь-

энергия электрона и угловое распределение. Для то-

ный импульс равен нулю. Дополнительно рассмот-

го чтобы проанализировать процесс ионизации, сле-

рен случай, когда начальный импульс не равен ну-

дует рассмотреть влияние различных поляризаций

лю, а также случай, в котором учитывается возму-

и пространственно-временного распределения поля

щение потенциала ионизации посредством пондеро-

лазерного излучения на эти переменные. Случаи ли-

моторного потенциала и сдвига Штарка. Для этого

нейной, круговой и эллиптической поляризаций уже

была исследована зависимость скорости перехода от

были рассмотрены [9-13], и значения некоторых пе-

прикладываемого электрического поля, азимуталь-

ременных в каждом из них получились различны-

ного угла φ и угла θ, который характеризует гео-

ми. Пространственные и временные параметры ла-

метрию спирального пучка. Это позволило изучить

зерного луча, гауссовы или лоренцевы, влияют на

влияние распределения поля (0, 1)^∗ Лагерра - Гаусса

скорость переходов, энергию электронов и угловое

на параметр Келдыша и на пондеромоторный потен-

распределение [14-17]. Развитие оптических техно-

циал покидающего атом электрона.

логий позволило исследовать эти процессы с помо-

Структура статьи следующая. Раздел 2 посвя-

щью радиально или азимутально поляризованных

щен используемой теоретической модели. В разд. 3

оптических лучей. Особые свойства этих лучей обу-

приводятся результаты и дано их обсуждение. Раз-

словили повышенный интерес к их использованию

дел 4 представляет собой заключение. На протя-

во многих областях, например для улавливания час-

жении всей статьи используются атомные единицы

тиц [18], ускорения электронов [19], микроскопии

(ℏ = m_e = |e| = 1).

[20], обработки материалов [21]. Хорошо сфокусиро-

ванный радиально-поляризованный луч имеет силь-

ное продольное электрическое поле [22], но качество

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

этого луча подвержено ухудшению, причиной чего

может быть неконцентрическое выравнивание осей

Начнем с краткого обзора, посвященного тун-

луча и стержневой накачки [23]. Для усиления луча

нельной ионизации. Сильное поле лазерного излуче-

852

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

ния низкой частоты (I > 10¹⁴ Вт/см²) вызывает воз-

и определяется следующими выражениями для слу-

мущение кулоновского потенциала, что приводит к

чаев соответственно линейной, круговой и эллипти-

возможности туннелирования электрона. Скорость

ческой поляризаций:

ионизации w показывает, как много актов иониза-

U_p,lin = F²/4ω², U_p,cir = F²/2ω²,

ции происходит в единицу времени в постоянном

поле на протяжении одного периода приложенного

U_p,elip = (F²(1 - ϵ²))/(2ω²(1 + ϵ²)),

переменного поля. Наиболее важные атомные пара-

метры и параметры лазерного излучения, которые

ϵ — это параметр эллиптичности, значение которого

нужны для расчета скоростей ионизации, приводят-

лежит в интервале (0,1). Для линейно-поляризован-

ся ниже. Ионизация происходит только при усло-

ного света ϵ = 0, а для случая круговой поляриза-

вии получения электроном определенного количе-

ции ϵ = ±1 [29]. Рост потенциала означает, что для

ства энергии. Поскольку энергии всех фотонов оди-

ионизации требуется больше фотонов, чем обычно

наковы и определяются угловой частотой лазерного

[30]. Кроме того, сдвиг энергии, который происхо-

излучения ω, требуемое число фотонов n равно

дит исключительно в течение лазерного импульса,

т. е. сдвиг Штарка, меняет уровни энергии основного

I_p

состояния атомов, что усложняет их ионизацию [31].

+ 1,

(1)

На основное состояние влияет только квадратичный

сдвиг Штарка δE = αF²/4 [32], где α — статическая

где I_p — это потенциал ионизации, ω — энергия фо-

поляризуемость атома [33]. Учитывая все вышепере-

тона, n — целое число.

численные факторы, можно записать эффективный

Аммосов, Делоне и Крайнов (АДК) использова-

потенциал ионизации в следующем виде [32]:

ли квазиклассический подход и получили выраже-

ние для скорости туннельной ионизации [8], которая

(3)

I^effp = I_p + U_p + δE.

экспоненциально растет с напряженностью электри-

ческого поля. Без учета и с учетом начального им-

На основании уравнения(2) видно, что скорость пе-

пульса электрона [28] это выражение имеет вид

рехода максимальна, когда p, т. е. начальный им-

[

]

пульс испускаемого электрона, равен нулю, и эта

2(2I_p)3/

скорость должна уменьшаться с ростом p. Для на-

w ∝ exp -

шей работы важно проанализировать влияние на-

[

]

(2)

2(2I_p)3/

p²γ³

чального импульса испускаемого электрона на ско-

w_p ∝ exp -

3ω

рость перехода непосредственно после покидания

области кулоновского потенциального барьера. В

где p — это начальный импульс электрона, γ — пара-

этот момент электрон покидает атом и начинает

метр Келдыша, который имеет разные значения для

двигаться по классической траектории под воздей-

разных поляризаций лазерного излучения, линей-

ствием одновременно поля лазерного излучения и

ной, круговой и эллиптической. Они будут приведе-

поля родительского иона. Для описания движения

ны ниже. Видно, что скорость туннельной иониза-

электрона подходящими являются параболические

ции АДК зависит от потенциала ионизации I_p, рав-

координаты (ξ, η, ϕ) [5]. Выражение для начального

ного энергии вершины эффективного потенциально-

импульса электрона можно записать в следующем

го барьера, заряда ионизованного атома Z, а также

виде: [34]:

от свойств лазерного излучения, в частности интен-

(√

(

√

))

сивности I, напряженности электрического поля F ,

p(η) =

Fη-1+

1/η

Fη-1

/2,

(4)

энергии фотона ω и лазерной поляризации. Соот-

ношение между интенсивностью и напряженностью

где η — параболическая координата. Электрон по-

электрического поля дается равенством I = F².

кидает атом в точке ηexit ≈ 1/F, таким образом

При увеличении интенсивности лазерного излу-

значение координаты η внутри барьера удовлетво-

чения или уменьшении энергии фотона выполняет-

ряет условию 1 ≪ η ≪ η_exit, а вне барьера η > η_exit

ся соотношение U_p > |I_p| > ω, где U_p — это понде-

[34]. Важно подчеркнуть, что импульс сохраняется

ромоторный потенциал, в этом случае электронный

вдоль классической траектории, если полная энер-

потенциал ионизации может увеличиться |I_p| + U_p.

гия системы не зависит от координаты η [5]. В этом

Пондеромоторная энергия характеризует интенсив-

случае p_η = p.

ность осциллирующего движения свободного элек-

На электронную ионизацию влияет поляризация

трона во внешнем переменном электрическом поле

поля лазерного излучения, и мы попытались выяс-

853

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

нить, имеет ли радиальная поляризация преимуще-

F^cirsp(r, φ) = F₀

√ρe-ρ/2(e^-iφe_x - e^-iφe_y).

(10)

ства по сравнению с линейной и круговой поляриза-

Из приведенных уравнений следует, что распределе-

цией, если использовать ее для величин, описываю-

ния поля, которые могут иметь линейную или кру-

щих этот квантовый процесс. Теоретический анализ

говую (в общем случае эллиптическую) поляриза-

показывает, что радиально-поляризованные пучки

ции, зависят только от азимутального угла φ [39].

можно преобразовать в линейно-поляризованные

Распределение поля (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной

гауссовы пучки и наоборот [35, 36]. Форма пучков

поляризацией дается выражением

является существенной характеристикой, позволяю-

щей различить их. Радиально-поляризованные пуч-

F_rp(r, φ) = F_rp,x(r, φ)e_x + F_rp,y(r, φ)e_y,

(11)

ки имеют форму бублика (с нулевой интенсивно-

стью в центре). В случае линейно-поляризованного

где e_x и e_y являются единичными векторами вдоль

гауссова пучка интенсивность максимальна в цен-

направлений x и y, и эту моду можно выразить с по-

тре. Описанное выше преобразование можно осу-

мощью ортогональных линейных поляризаций или

ществить с использованием двух мод радиально-

как суперпозицию мод с правой и левой круговыми

поляризованного пучка, (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спираль-

поляризациями. В частности, суперпозиция (0, 1)^∗

ной фазой и (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляриза-

ЛГ-моды со спиральной фазой правой поляризации

цией. У этих мод одинаковое распределение интен-

и (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спиральной фазой левой поля-

сивности в форме бублика, но совершенно разные

ризации записывается в виде [35, 40, 41]:

распределения поля. Пространственные распределе-

ния этих мод можно выразить с помощью когерент-

F_rp(r, φ) = F₀

√ρe-ρ/2[e^-iφ(e_x + e_yeiπ/2) +

ной суперпозиции двух ортогональных вырожден-

+ e^iφ(e_x + e_ye-iπ/2)].

(12)

ных ЛГ-мод [37,38] с пространственной модуляцией

поляризации.

Это уравнение можно переписать в виде

Распределение поля (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спираль-

ной фазой записывается в следующем виде [27]:

F_rp(r, φ) = 2F₀

√ρe-ρ/2(e_x cos φ + e_y cos φ).

(13)

Fsp(r, φ) = F0

√ρe-ρ/2e^±iφ,

(5)

Такая суперпозиция дает линейно-поляризованный

луч [37]. Соответствующие распределения интенсив-

где r и φ — цилиндрические координаты, ρ

ностей можно рассчитать по формуле [38]

= 2r²/R², R — размер гауссова пучка, r(φ) = ae^kφ —

уравнение в полярных координатах, посредством

I(r, φ) = F^∗F.

(14)

которого задается спираль; a, k являются парамет-

рами, а знак «±» зависит от выбора спиральности.

Для исследования процесса туннельной иониза-

(0, 1)^∗ ЛГ-моды могут возникать с произвольной или

ции рассмотрим влияние эффективного потенциала

однородной поляризацией (линейной, круговой или

ионизации, начального импульса испускаемого элек-

эллиптической) [27, 35].

трона, а также двух указанных распределений поля

В частности, распределения электрического по-

(0, 1)^∗ ЛГ-мод на скорость туннельных переходов.

ля (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спиральной фазой для случаев

Скорости переходов для (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спи-

линейной и круговой поляризаций даются выраже-

ральной фазой с различными поляризациями дают-

ниями

ся следующими выражениями [30, 42, 43]:

F^linsp(r, φ) = F₀

√ρ e-ρ/2e^-iφ(e_x + e_y),

(6)

√

F^linsp(r, φ)D

3F^linsp(r, φ)n∗3

F^cirsp(r, φ) = F₀

√ρe-ρ/2e^-iφ(e_x + e_yeiπ/2),

(7)

w_sp,lin =

8πZ

πZ³

где e_x и e_y являются единичными векторами вдоль

[

]

2(2I^effp )3/2

p(η)²γ³

осей x и y. Электрическое поле для линейной поля-

× exp

(15)

3F^linsp(r, φ)

3ω

ризации переписывается в виде

F^linsp(r, φ) = F₀

√ρe-ρ/2 cos φ e_x · e_y.

(8)

F^cirsp(r, φ)D

Электрические поля для круговых правой и ле-

wsp,cir =

8πZ

вой поляризаций записываются с противоположны-

[

]

ми индексами спиральности [37].

2(2I^effp )3/2

p(η)²γ³

× exp

(16)

3F^cirsp(r, φ)

3ω

F^cirsp(r, φ) = F₀

√ρe-ρ/2e^iφ(e_x + e_y),

(9)

854

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

√

F^cirsp(r, φ)

F^cirsp(r, φ)D²

измеряется в микронах, a = 0.57 (1.08 · 10⁴ ат. ед.).

w_sp,elip =

Константа k = tg θ. Угол θ является параметром

π (1 - ϵ²) (2

)3/2

8πZ

[

]

спиральной геометрии и принимает значения в

2(2I^effp)3/2

p(η)²γ³

диапазоне [-90^◦, 90^◦]. Константа k = 0.414 и k = 1.0

× exp

(17)

3F^cirsp(r, φ)

3ω

для θ = 22.5^◦ и θ = 45^◦, и может быть рассчитана

√

по приведенной выше формуле для любого другого

где n^∗ = Z/

2I_p — это эффективное главное кван-

угла θ из указанного диапазона [38].

товое число ионизованного состояния, F^lin — напря-

В этой работе мы хотим продемонстрировать,

женность электрического поля для линейной поля-

что поведение важных физических величин можно

ризации лазерного излучения, а F^cir — для круговой

проанализировать с помощью разных мод в широ-

поляризации, I — интенсивность лазерного излуче-

ком диапазоне интенсивностей лазерного поля.

ния и D = ((4Z³)/(F n∗4))n∗. Переменные n^∗ и D

На рис. 1-4 показано поведение скорости перехо-

выписаны для рассматриваемого случая.

да, вызванного (0, 1)^∗ ЛГ-модой со спиральной фа-

Для изучения скорости переходов в случае (0, 1)^∗

зой, без учета дополнительных эффектов. На рис. 1

ЛГ-моды с радиальной поляризацией использова-

демонстрируется скорость перехода при разных ази-

ны модифицированные выражения скоростей пере-

мутальных углах. Видно, что изменение азимуталь-

ходов с линейной поляризацией и соответствующи-

ного угла оказывает лишь незначительное влияние

ми этому случаю значениями переменных.

на скорость перехода вплоть до углов порядка 40^◦.

Используемая нами теория дает возможность рас-

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

чета скоростей перехода при величинах азимуталь-

Покидание атома одного электрона в результате

ного угла менее 50^◦. При φ = 20^◦ скорость перехода

ионизации нарушает стабильную электронную кон-

достигает максимального значения при интенсивно-

фигурацию. Нашей задачей является определение

сти лазерного излучения I = 8 · 10¹⁷ Вт/см². При

интенсивности поля лазерного излучения, при ко-

дальнейшем росте угла она медленно уменьшается.

торой появится возможность туннелирования элек-

Считая, что азимутальный угол φ принимает

трона. Потенциал ионизации первого электрона в

значения из диапазона [-180^◦, 180^◦] шириной 360^◦,

валентной оболочке атома Ar равен I_p = 0.5791 в

вычислим скорость перехода при отрицательных

атомных единицах, а заряд иона равен Z = 1. Ско-

значениях азимутального угла. В отличие от обла-

рость туннельных переходов чувствительна к час-

сти положительных углов, при уменьшении азиму-

тоте лазерного излучения. Это обусловило выбор

тального угла в сторону более отрицательных зна-

титан-сапфирового лазера, работающего на длине

чений скорость перехода быстро уменьшается. На

волны λ = 800 нм. В этом случае энергия фото-

рис. 2 показана скорость перехода для отрицатель-

на составляет ω = 0.5696, а напряженности элек-

ных значений углов, которая демонстрирует похо-

трических полей линейной и круговой поляризаций

жие зависимости от интенсивности, как и в случае

√

можно вычислить по формулам F_lin = 5.4 · 10-9

положительных углов, но имеет несколько меньшие

√

F_cir = 3.7 · 10-9

I в атомных единицах.

значения. Распределение поля ЛГ (0, 1)^∗ со спираль-

Далее изучим скорость туннельных переходов,

ной фазой ограничивает величину угла, который

вызванных двумя радиально-поляризованными

можно использовать в вычислениях (в данном слу-

(0, 1)^∗ ЛГ-модами, а именно (0, 1)∗ ЛГ-модой со

чае -35^◦).

спиральной фазой и (0, 1)^∗ ЛГ-модой с радиальной

На разных панелях рис. 3 показаны результаты

поляризацией. Радиально-поляризованный луч

вычислений для случая линейно-поляризованного

можно использовать для получения сфокусирован-

лазерного излучения, имеющего распределение ЛГ

ного пятна гораздо меньшего размера, чем в случае

(0, 1)^∗ со спиральной фазой, в зависимости от вели-

использования лучей со стандартной линейной или

чины азимутального угла, который меняется в диа-

круговой поляризациями [44, 45]. Размер лазерного

пазоне [0, 45^◦], при фиксированной интенсивности.

пятна может составлять по порядку величины

Кривые на всех панелях рис. 3 имеют максимум при

несколько миллиметров

(15-30

мм), но может

угле φ = 30^◦ за исключением кривой при интен-

иметь и меньшие размеры микронного порядка

сивности лазерного излучения 10¹⁸ Вт/см², на кото-

(3-60 мкм). Считаем, что диаметр луча фиксиро-

рой скорость перехода при этом значении угла рав-

ван и составляет 3 мкм (5.7 · 10⁴ ат.ед.). Укажем

на нулю. На зависимости скорости перехода, соот-

параметры, которые определяют логарифмическую

ветствующей этой интенсивности, можно наблюдать

спираль r(φ)

= ae^kφ. Для значения r, которое

два максимума при углах φ = 4.4^◦ и φ = 43^◦. Мак-

855

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 1. Скорость перехода, вызванного лазерным излучением с линейной поляризацией, характеризуемым распределе-

нием поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, как функция интенсивности лазерного излучения для разных азимутальных

углов

симальная скорость перехода уменьшается вместе с

лов θ = 0 и θ = 90^◦ можно генерировать плоские

интенсивностью лазерного излучения. Диапазон уг-

волны, поляризованные соответственно в радиаль-

лов, при которых происходит туннельная иониза-

ном и азимутальном направлениях. В случае проме-

ция, сужается. Это вызвано малостью возмущений

жуточных значений угла можно генерировать ряд

атомных уровней при низкой интенсивности лазер-

волн, имеющих геометрию очень интересных спира-

ного излучения.

лей [38]. Ограничим наш анализ значениями углов

Чтобы дополнить наш анализ, исследуем зависи-

от 0 до значений, приближающихся к 90^◦ (рис. 4).

мость скорости перехода (без учета дополнительных

Видно, что скорость перехода возрастает с углом θ.

эффектов) от угла θ, который является параметром

При угле θ = 90^◦ волна поляризована исключитель-

спиральной геометрии луча, для случая распреде-

но в азимутальном направлении, поэтому этот слу-

ления поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой. Для уг-

чай не включен в наш расчет.

856

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

Рис. 2. Скорость перехода, вызванного лазерным излучением с линейной поляризацией, характеризуемым распреде-

лением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, как функция интенсивности лазерного излучения при фиксированных

отрицательных значениях азимутальных углов

Расширим наш анализ, включив в рассмотрение

начального импульса испускаемого электрона, пон-

дополнительные эффекты, влияющие на скорость

деромоторного потенциала и сдвига Штарка.

перехода. Мы рассчитали три зависимости скорости

перехода при разных поляризациях поля с распре-

Согласно теории возмущений сдвиг уровня опре-

делением ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, а именно

деляется колебательной энергией свободного элек-

при линейной, круговой и эллиптической поляриза-

трона в поле. При большой напряженности поля F и

циях. Зависимости этих скоростей перехода от ин-

маленькой частоте ω сдвиг может быть очень боль-

тенсивности в диапазоне 1·10¹⁴-5·10¹⁷ Вт/см² при-

шим. Сдвиг Штарка уровня при сильном возбуж-

ведены на рис. 5, 8, 9. Помимо интенсивности ла-

дении может превышать невозмущенное значение

зерного излучения, скорость переходов зависит от

энергии связи электрона. Вследствие указанных эф-

фектов скорость ионизации уменьшается. В первую

857

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 3. Скорость перехода, вызванного лазерным излуче-

нием с линейной поляризацией, характеризуемым распре-

делением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, как функ-

ция азимутального угла при фиксированной интенсивно-

сти лазерного излучения

очередь это является результатом учета пондеромо-

ностях 2.17 · 10¹⁶ Вт/см² и 7.81 · 10¹⁶ Вт/см². Мы

торного потенциала, и в небольшой степени — вклю-

предполагаем, что такое поведение максимумов обу-

чения в рассмотрение эффекта Штарка. Приводи-

словлено влиянием атомного ядра, поскольку точка

мые ниже графики подтверждают эти наши ожида-

выхода электрона из атома располагается ближе к

ния.

его ядру, чем в случае больших значений η.

В случае луча радиальной поляризации, рас-

Анализ полученных результатов для

(0, 1)^∗

пределение поля которого характеризуется (0, 1)^∗

ЛГ-моды со спиральной фазой и линейной поляри-

ЛГ-модой со спиральной фазой, на зависимости ско-

зацией показывает, что учет начального импульса

рости перехода появляются два пика, хотя в бо-

покидающего атом электрона приводит к услож-

лее ранних работах был получен только один пик.

нению вида зависимости скорости перехода от

На зависимостях скорости перехода порядок макси-

интенсивности лазерного излучения. Для набора

мумов для первого пика (левого, соответствующего

фиксированных параметров и значений коорди-

меньшей интенсивности лазерного излучения) про-

наты η

< 10, которая определяет точку выхода

тивоположен порядку максимумов для второго пика

электрона из атома, второй член уравнения

(4)

(правого, соответствующего большей интенсивности

приводит к двум пикам на зависимости скорости

излучения). Эти пики располагаются при интенсив-

перехода. Близость к атомному ядру и зависимость

858

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

Рис. 4. Скорость перехода, вызванного лазерным излуче-

нием с линейной поляризацией, характеризуемым распре-

делением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, как функ-

ция интенсивности лазерного излучения для четырех раз-

ных значений угла θ

от огибающей электронной волны (в неоднород-

ном электрическом поле) приводит к нарушению

непрерывности электронных переходов. Наблю-

даемый слева пик, соответствующий конечной

скорости перехода, увеличивается при включении

в рассмотрение описанных выше эффектов. Этот

результат должен быть подвергнут эксперименталь-

ной проверке. С ростом координаты η второй член

Рис. 5. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

в уравнении для импульса уменьшается, что при-

зерным излучением с линейной поляризацией, характери-

водит к уменьшению левого пика. Положение пика

зуемым распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фа-

определяется обратной зависимостью импульса от

зой, с учетом описанных в тексте эффектов (верхняя па-

напряженности поля в этом же члене.

нель). На нижней панели более подробно показан левый

Более подробное исследование показывает, что

пик

два пика появляются при малых значениях коорди-

наты η, а при больших ее значениях эти пики пере-

крываются (виден единственный пик) (рис. 6).

Подчеркнем, что ионизующий переход сдвигает-

При наличии общих черт, отмеченных выше, ско-

ся в сторону меньшей интенсивности лазерного из-

рости перехода на этих двух рисунках имеют разные

лучения с увеличением η (рис. 6, 7). Можно видеть,

величины. Так, скорость перехода при интенсивнос-

что для η = 100 максимум скорости перехода нахо-

ти I = 2.31·10¹⁶ Вт/см² (левый пик) имеет большее

дится при интенсивности I ∼ 10¹⁴ Вт/см², что со-

значение, когда атом находится в поле излучения

гласуется с результатами нашей предыдущей рабо-

круговой поляризации.

ты [28].

Чтобы яснее представить поведение скорости пе-

На рис. 8 и 9 показаны скорости переходов, вы-

рехода, на трехмерном графике (рис. 10) изображе-

званных лазерным излучением соответственно с эл-

на ее зависимость от интенсивности лазерного из-

липтической и круговой поляризациями, последняя

лучения и от азимутального угла. Эта зависимость

может рассматриваться как частный случай эллип-

имеет сложный характер. Скорость перехода не яв-

тической поляризации. Для каждой из поляризаций

ляется постоянно возрастающей функцией азиму-

излучения на зависимостях видны два пика, причем

тального угла или интенсивности. Для некоторых

максимумы находятся при одних и тех же значени-

значений интенсивности скорость перехода растет с

ях интенсивностей излучения 2.31 · 10¹⁶ Вт/см² и

азимутальным углом φ вплоть до 15^◦, в диапазоне

7.11 · 10¹⁷ Вт/см².

от 15^◦ до 35^◦ ее значение приближается к нулю, за-

859

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 6. Скорость ионизующего перехода, вызванного лазерным излучением с линейной поляризацией, характеризуемым

распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой, для разных значений координаты η. Зависимость w^psp,lin показана

сплошной черной линией, wp,Upsp,lin — штриховой линией, wp,Up,Ssp,lin — пунктирной линией

В заключение, обсудим влияние (0, 1)^∗ ЛГ-моды

со спиральной фазой на параметры, от которых

непосредственно зависит скорость перехода. Для

этого проанализируем поведение параметра Келды-

ша и пондеромоторный потенциал (рис. 11, 12).

Чтобы исследовать параметр Келдыша, запишем

√

2I_p/F), из которого непосред-

его в виде γ = ω(

ственно видно влияние эффективного потенциала

ионизации I^effp и распределения напряженности по-

ля лазерного излучения F . Как можно видеть, за-

висимости, описывающие поведение параметра Кел-

дыша при обычных линейной или круговой поля-

ризациях, а также величина параметра Келдыша

Рис. 7. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

при этих поляризациях для распределения поля ЛГ

зерным излучением с линейной поляризацией, характери-

(0, 1)^∗ со спиральной фазой экспоненциально убы-

зуемым распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фа-

вают с интенсивностью лазерного излучения. Кро-

зой, для η = 100

ме того, из этих данных следует, что (0, 1)^∗ ЛГ-мода

со спиральной фазой оказывает большее влияние на

тем рост скорости перехода с азимутальным углом

параметр Келдыша в поле линейной поляризации

снова возобновляется.

(рис. 11).

860

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

Рис. 9. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

Рис. 8. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

зерным излучением с круговой поляризацией, характери-

зерным излучением с эллиптической поляризацией, харак-

зуемым распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фа-

теризуемым распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной

зой, с учетом описанных в тексте эффектов (верхняя па-

фазой, с учетом описанных в тексте эффектов (верхняя

нель). На нижней панели более подробно показан левый

панель). На нижней панели более подробно показан левый

пик

Результат влияния (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спираль-

ной фазой на пондеромоторный потенциал пока-

зан на рис. 12. Проведено исследование пондеромо-

торного потенциала в поле лазерного излучения с

линейной, круговой и эллиптической поляризаци-

ями как с учетом так и без учета распределения

поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой. Для одних

и тех же значений параметров величины потенци-

ала оказываются разными в зависимости от при-

сутствия/отсутствия (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спиральной

фазой. Пондеромоторный потенциал принимает бо-

лее низкие значения при учете распределения поля

Рис. 10. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

ЛГ (0, 1)^∗, а самый большой эффект наблюдается

зерным излучением с распределением поля ЛГ (0, 1)^∗ со

для U_p,lin.

спиральной фазой как функция азимутального угла φ и

Дополнительно было проанализировано поведе-

интенсивности лазерного излучения I на трехмерном гра-

ние скорости ионизующего перехода и параметров,

фике

которые на него влияют, для атома в поле (0, 1)^∗

861

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Рис. 11. Параметр Келдыша в линейно-поляризованном поле лазерного излучения (левая панель) и в поле с круговой

поляризацией (правая панель) для распределения поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой как функция интенсивности

излучения в диапазоне I = (10¹⁴- 5 · 10¹⁷ Вт/см²) при фиксированном значении азимутального угла φ = π/6

Рис. 12. Пондеромоторный потенциал в однородном поле (левая панель) и пондеромоторный потенциал в поле (0, 1)^∗

ЛГ-моды со спиральной фазой (правая панель) как функция интенсивности лазерного излучения в диапазоне I = (10¹⁴-

5 · 10¹⁷ Вт/см²) при фиксированном значении азимутального угла φ = π/6 и эллиптичности ϵ = 0.3

ЛГ-моды с радиальной поляризацией (рис. 13). Ско-

На рис. 14 видно, что при фиксированном значе-

рость перехода была рассчитана на основании урав-

нии азимутального угла φ = π/6 параметр Келдыша

нения (16) для лазерного излучения круговой поля-

имеет разные значения в случаях однородного рас-

ризации с распределением поля в виде радиально-

пределения лазерного поля круговой поляризации

поляризованной (0, 1)^∗ ЛГ-моды. Эта поляризация

и распределения поля в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с ра-

представляет собой частный случай эллиптической

диальной поляризацией. Величина параметра Кел-

поляризации. Поведение скорости перехода при раз-

дыша уменьшается с ростом интенсивности лазер-

ных значениях эллиптичности ϵ тоже изучалось.

ного излучения, а расстояние между кривыми γ_cir и

Было показано, что значения эллиптичности в ин-

γ_rp,cir при данном значении интенсивности меняет-

тервале от 0 до 1 не оказывают влияния на скорость

ся. Величина пондеромоторного потенциала также

перехода.

меняется, когда распределения поля принимает вид

(0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляризацией. Соот-

ветствующие зависимости построены на рис. 15. По-

На рис. 14, 15 показаны зависимости парамет-

добно случаю (0, 1)^∗ ЛГ-моды со спиральной фазой,

ра Келдыша и пондеромоторного потенциала от ин-

учет распределения поля в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с

тенсивности лазерного излучения с распределением

радиальной поляризацией приводит к увеличению

поля в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляри-

пондеромоторного потенциала.

зацией.

862

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

Рис. 14. Параметр Келдыша в присутствии лазерного из-

лучения круговой поляризации с распределением поля

в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляризацией как

функция интенсивности излучения в диапазоне I = (10¹⁴-

5 · 10¹⁷ Вт/см²) при фиксированном значении азимуталь-

ного угла φ = π/6

Рис. 13. Скорость ионизующего перехода, вызванного ла-

зерным излучением круговой поляризации с распределе-

нием поля в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляри-

зацией, с учетом описанных в тексте эффектов (верхняя

панель). На нижней панели более подробно показан левый

пик

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рис. 15. Пондеромоторный потенциал в присутствии ла-

зерного излучения круговой поляризации с распределени-

В работе изучается туннельная ионизация атома

ем поля в виде (0, 1)^∗ ЛГ-моды с радиальной поляриза-

аргона в сильном поле. Проанализированы зависи-

цией как функция интенсивности излучения в диапазоне

мости скоростей туннельных переходов от началь-

I = (10¹⁴-5 · 10¹⁷ Вт/см²) при фиксированном значении

ного импульса и эффективного потенциала иони-

азимутального угла φ = π/6

зации (включающего сдвиг Штарка и пондеромо-

торный потенциал) в случае, когда распределе-

ние поля соответствует форме бублика, описывае-

лее продемонстрировано, как учет дополнительных

мой радиально-поляризованным лучом (0, 1)^∗ Ла-

эффектов влияет на скорость перехода, вызванно-

герра - Гаусса. Представлены зависимости скорос-

го полем лазерного излучения с линейной, круговой

тей перехода без учета дополнительных эффектов

или эллиптической поляризацией и распределением

в поле линейно-поляризованного лазерного излуче-

ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой. Также было прове-

ния с распределением ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фа-

дено сравнение параметра Келдыша и пондеромо-

зой для фиксированных значений азимутального уг-

торного потенциала в поле лазерного излучения с

ла от интенсивности излучения и наоборот, от угла

линейной или круговой поляризацией без специаль-

при фиксированной интенсивности, а также зависи-

ного распределения поля и имеющего распределение

мости от спиральной геометрии луча (угла η). Да-

ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой.

863

Т. Б. Миладинович, С. Симич, Н. Данилович, М. З. Еремич

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Основные выводы данной работы состоят в сле-

цию атома. Множество дополнительных параметров

дующем:

влияют на скорость перехода, и существует режим,

Скорость перехода зависит от азимутального уг-

в котором на ее зависимости появляются два пика,

ла. Для углов в диапазоне от φ = 0 до φ = 40^◦

что дает важную информацию о процессе иониза-

скорость перехода увеличивается, а затем медленно

ции. Представляется интересным продолжить эти

уменьшается. Это уменьшение становится заметным

теоретические исследования, а также проверить уже

при угле φ = 50^◦. Зависимость скорости перехода

полученные результаты экспериментально.

от азимутального угла более заметна при его отри-

цательных значениях. Скорость перехода непрерыв-

Финансирование. Работа выполнена при

но уменьшается соответственно при φ = -5^◦, -10^◦,

поддержке министерства Образования, Науки

-20^◦, -30^◦ и при φ = -35^◦ ее значение в шесть

и Технологического Развития республики Сер-

раз меньше, чем при φ = 0. На зависимости от уг-

бия, а также Университета города Крагуевац —

ла φ при фиксированной интенсивности лазерного

Институт информационных технологий (грант

излучения 10¹⁸ Вт/см² существуют два пика, а с

№451-03-68/2020-14/200378), Факультет естествен-

уменьшением интенсивности один из пиков исчезает

ных наук (грант № 451-03-68/2020-14/200122).

и происходит сужение кривой скорости перехода.

Показано, что геометрия спирального луча влия-

ет на скорость перехода. Как следует из полученных

ЛИТЕРАТУРА

результатов, скорость перехода растет со значением

N. I. Shvetsov-Shilovski, D. Dimitrovski, and

угла.

L. B. Madsen, Phys. Rev. A 85, 023428 (2012).

В случае линейной поляризации поля излучения

было найдено, что кривая скорости перехода рас-

J. E. Calvert, Han Xu, A. J. Palmer et al., Sci. Rep.

щепляется на два довольно близко расположенных

6, 34101 (2016).

пика. Возникновение и положения двух пиков обу-

Y. H. Lai, J. Xu, U. B. Szafruga et al., Phys. Rev.

словлены учетом начального импульса испускаемо-

A 96, 063417 (2017).

го электрона в уравнении для определения скоро-

сти перехода и зависимостью начального импульса

N. I. Shvetsov-Shilovski, M. Lein, and K. Tőkési, Eur.

Phys. J. D 73, 37 (2019).

от координаты η и напряженности поля. Показано,

что с ростом η второй пик исчезает, а переходы сдви-

L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mecha-

гаются в область меньшей интенсивности лазерного

nics: Non Relativistic Theory, Nauka, Moscow (1989).

излучения.

L. V. Keldysh, Sov. Phys. JETP 20, 1307 (1965).

Появление двух пиков происходит и в случаях

эллиптической или круговой поляризаций. Первый

A. M. Perelomov, V. S. Popov, and M. V. Terent’ev,

пик ниже в случаях линейной и эллиптической по-

Sov. Phys. JETP 23, 924 (1966).

ляризаций, но для круговой поляризации он выше.

V. M. Ammosov, N. B. Delone, and V. P. Krainov,

Влияние распределения ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной

Sov. Phys. JETP 64, 1191 (1986).

фазой на параметр Келдыша и на пондеромотор-

ный потенциал противоположно. Учет распределе-

V. S. Popov, JETP 91, 48 (2000).

ния поля ЛГ (0, 1)^∗ со спиральной фазой приводит

10.

C. L. Wang, X. Y. Lai, Z. L. Hu et al., Phys. Rev.

к уменьшению пондеромоторного потенциала, что

A 90, 013422 (2014).

проявляется наиболее ярко в случае линейной поля-

ризации излучения, в то время как параметр Кел-

11.

M. Yuan, P. P. Xin, T. S. Chu, and H. P. Liu, Opt.

дыша увеличивается.

Exp. 25, 23493 (2017).

Также показано, что учет распределения поля

12.

J. Cai, Y. J. Chen, Q. Z. Xia et al., Phys. Rev. A 96,

ЛГ (0, 1)^∗ с радиальной поляризацией приводит к

033413 (2017).

изменениям скорости перехода, параметра Келды-

ша и пондеромоторного потенциала, аналогичным

13.

R. Wang, Q. Zhang, D. Li et al., Opt. Exp. 27, 6471

изменениям при учете спиральной моды.

(2019).

В заключение отметим, что существует широкий

14.

M. Lein, J. Mod. Opt. 58, 1188 (2011).

диапазон значений интенсивностей лазерного излу-

чения, его поляризации и распределения электри-

15.

D. G. Arbó, C. Lemell, and J. Burgdörfer, J. Phys.:

ческого поля, в котором можно исследовать иониза-

Conf. Ser. 635, 012003 (2015).

864

ЖЭТФ, том 159, вып. 5, 2021

Скорость туннельной ионизации под влиянием поля. . .

16.

W. Quan, M. Yuan, S. Yu et al., Opt. Exp. 24, 23248

32.

E. A. Volkova, A. M. Popov, and O. V. Tikhonova,

(2016).

JETP 113, 394 (2011).

17.

A. S. Stodolna, F. Lépine, T. Bergeman et al., Phys.

33.

J. Mitroy, M. S. Safronova, and C. W. Clark, J. Phys.

Rev. Lett. 1133, 103002 (2014).

B: At., Mol. Opt. Phys. 43, 20201 (2010).

18.

H. Moradi, V. Shahabadi, E. Madadi et al., Opt. Exp.

34.

D. Bauer, Theory of Laser Matter Interaction,

27, 7266 (2019).

Max-Planck Institute, Heidelberg (2002).

19.

M. Kaur and D. N. Gupta, IEEE Trans. Plasma Sci.

35.

G. Machavariani, N. Davidson, Y. Lumer et al., 2007

45, 2841 (2017).

European Conference on Lasers and Electro-Optics

and the International Quantum Electronics Conferen-

20.

Y. Kozawa, T. Hibi, A. Sato et al., Opt. Exp. 19,

ce, Munich (2007).

15947 (2011).

36.

D. J. Armstrong, M. C. Phillips, and A. V. Smith,

21.

C. Hnatovsky, V. G. Shvedov, and W. Krolikowski,

Opt. Exp. 21, 12651 (2013).

Appl. Opt. 42, 3550 (2003).

22.

S. Quabis, R. Dorn, M. Eberler et al., Opt. Commun.

37.

C. Maurer, A. Jesacher, S. Fürhapter et al., New J.

179, 1 (2000).

Phys. 9, 78 (2007).

23.

I. Moshe, S. Jackel, Y. Lumer et al., CLEO/Europe

38.

J. Ouyang, W. Perrie, O. J. Allegre et al., Opt. Exp.

and EQEC 2011 Conference Digest, OSA Technical

23, 12562 (2015).

Digest (CD), Optical Society of America (2011).

39.

V. E. Lembessis and M. Babiker, Phys. Rev. A 81,

24.

T. L. Jefferson-Brain, C. R. Smith, M. D. Burns et

033811 (2010).

al., Appl. Phys. B 125, 167 (2019).

40.

J. Courtial, D. A. Robertson, K. Dholakia et al.,

25.

Y. Ma, Opt. Rev. 19, 39 (2012).

Phys. Rev. Lett. 81, 4828 (1998).

26.

R. Oron, N. Davidson, A. A. Friesem, and E. Hasman,

41.

S. Vyas, Y. Kozawa, and Y. Miyamoto, Opt. Exp. 23,

Opt. Lett. 25, 939 (2000).

33970 (2015).

27.

G. Machavariani, Y. Lumer, I. Moshe, and S. Jackel,

42.

N. B. Delone and V. P. Krainov, Multiphoton Pro-

Opt. Commun. 271, 190 (2007).

cesses in Atoms, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg

(2000).

28.

V. M. Ristić, T. B. Miladinović, and M. M. Radulović,

Laser Phys. 18, 1183 (2008).

43.

C. Z. Bisgaard and L. B. Madsen, Amer. J. Phys. 72,

29.

H. R. Reiss, Phys. Rev. Lett. 101, 043002 (2008).

249 (2004).

30.

N. B. Delone and V. P. Krainov, Phys. Usp. 41, 469

44.

R. Dorn, S. Quabis, and G. Leuchs, Phys. Rev. Lett.

(1998).

91, 233901 (2003).

31.

N. B. Delone and V. P. Krainov, Phys. Usp. 42, 669

45.

K. M. Tanvir Ahmmed, C. Grambow, and A. M. Kiet-

(1999).

zig, Micromachines 5, 1219 (2014).

865

ЖЭТФ, вып. 5