ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 740-754

СКОБКИ ПУАССОНА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

А. Я. Мальцевa*, С. П. Новиков^a,b

^a Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

^b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 20 октября 2020 г.,

после переработки 20 октября 2020 г.

Принята к публикации 21 октября 2020 г.

Рассматриваются гамильтоновы структуры гидродинамического типа и некоторые их обобщения. Об-

суждаются вопросы о структуре и специальных формах соответствующих скобок Пуассона и связь таких

структур с теорией интегрирования систем гидродинамического типа.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040180

Скобки (1.1) в гидродинамике обычно связаны с

гамильтонианами гидродинамического типа, т. е. га-

мильтонианами вида

1. ВВЕДЕНИЕ

∫

H = PH (U(x)) dⁿx,

(1.2)

Данная работа будет посвящена гамильтоновым

где n

— размерность рассматриваемой задачи.

структурам, играющим в настоящее время важней-

Нетрудно видеть, что гамильтонианам

(1.2) в

шую роль во многих областях математики и мате-

гамильтоновой структуре

(1.1)

соответствуют

матической физики. А именно, мы будем, главным

системы вида

образом, рассматривать здесь гамильтоновы струк-

туры гидродинамического типа и некоторые их важ-

U^νt = V^νiμ (U(x)) Uμxi,

(1.3)

ные обобщения. Традиционно, гамильтоновы струк-

ν, μ = 1, . . ., N , i = 1, . . ., n.

туры гидродинамического типа связаны со скоб-

ками Пуассона, возникающими в гидродинамике и

Скобка (1.1) и система (1.3) записаны в наиболее

представляющими собой скобки для соответствую-

общей форме, не отражающей никакой специфики

щих гидродинамических плотностей. Скобки тако-

гидродинамических переменных U(x). Нетрудно ви-

го типа представляют собой, как правило, выраже-

деть, что приведенная форма является инвариант-

ния первого порядка по пространственным произ-

ной по отношению к любым “точечным” заменам пе-

водным и могут быть представлены в следующем

ременных

Ũ= Ũ(U)при соответствующих преобра-

общем виде:

зованиях величин g^νμi(U), b^νμiλ(U) и V^νiμ(U). Вместе

с тем, конечно, в реальной гидродинамике каждая

переменная, как правило, имеет свой особый фи-

{U^ν(x), U^μ(y)} == g^νμi (U(x)) δ_xi (x - y)+

зический смысл, а соответствующие скобки (1.1) и

+ b^νμiλ(U(x))U^λxiδ(x - y),

(1.1)

системы (1.3) обладают связанной с этим дополни-

тельной структурой. Как хорошо известно [1], в наи-

где U(x) — полный набор гидродинамических плот-

более простом случае баротропного течения идеаль-

ностей в рассматриваемой задаче.

ной жидкости скобки Пуассона плотности жидкости

ρ(x) и компонент ее скорости vⁱ(x) могут быть за-

^* E-mail: maltsev@itp.ac.ru

писаны в виде

740

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

{ρ(x), ρ(y)} = 0,

{vⁱ(x), ρ(y)} = ∇_xi δ(x-y),

переменных для гамильтоновых структур в гидро-

)

⁽∂v

∂vⁱ

(1.4)

динамике является весьма важной задачей, связан-

{vⁱ(x), v^k(y)} =

δ(x - y),

ρ(x)

∂x_i

∂x^k

ной с описанием многих особенностей соответству-

ющих течений, включая их топологические особен-

а соответствующий такому течению гамильтониан

ности (см. [12, 13]).

имеет при этом вид

Ниже мы покажем, что во многих случаях для

∫ (

)

скобок гидродинамического типа естественным яв-

ρv

H =

+ ϵ(ρ) d³x.

ляется более расширенное определение канониче-

ской формы. Кроме того, помимо канонической

Чрезвычайно важным свойством скобки (1.4) яв-

формы скобки (1.1) чрезвычайно важной при иссле-

ляется то, что условие

довании соответствующих гамильтоновых систем

является также другая (диагональная) форма этой

rotv(x) = 0

(1.5)

скобки. Последнее обстоятельство будет наиболее

очевидно в случае одной пространственной размер-

сохраняется при любой гамильтоновой динамике

ности, где теория таких скобок (и их обобщений) яв-

жидкости. Определяя при этом потенциал течения

ляется основой теории интегрируемых систем гид-

Φ(x) согласно стандартной формуле

родинамического типа. Часто бывают важны и дру-

гие структуры скобок Пуассона (1.1), в частности,

v(x) = ∇Φ(x),

их ли-алгебраическая структура (см. [14-16]).

К обобщениям гамильтоновых структур гидро-

легко проверить, что переменные ρ(x) и Φ(x) зада-

динамического типа можно отнести структуры, со-

ют каноническую скобку Пуассона

держащие одновременно гидродинамические и фа-

{ρ(x), ρ(y)} = 0,

{Φ(x), Φ(y)} = 0,

зовые переменные, структуры, объединяющие гид-

(1.6)

родинамическую и ли-алгебраическую части, струк-

{Φ(x), ρ(y)} = δ(x - y).

туры, содержащие высшие производные и нелокаль-

Можно отметить также, что по своему физичес-

ные добавки и т. п. Огромное многообразие чрез-

кому смыслу переменные ρ(x) могут быть отнесены

вычайно важных структур такого типа было рас-

к переменным типа действия, а переменные Φ(x) —

смотрено Дзялошинским и Воловиком в работе [17].

к угловым (фазовым) переменным. Как также хо-

В частности, как было показано в [17], к огромно-

рошо известно, введение канонических переменных

му множеству приложений гамильтоновых струк-

для скобки (1.4) в более общем случае завихрен-

тур, обобщающих структуры гидродинамического

ных течений является более сложным и связано с

типа, относятся описание упругой динамики кри-

определением переменных Клебша для таких тече-

сталлов с примесями и дефектами, динамики жид-

ний (см. [2]).

ких кристаллов, динамики магнетиков самых раз-

Гамильтоновы структуры (1.1) возникают так-

личных типов, а также спиновых стекол.

же и для более общего случая небаротропных тече-

ний, а также уравнений магнитной гидродинамики

2. ОДНОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ

[3]. Можно показать, что как в баротропном, так и

СТРУКТУРЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

в более общем небаротропном случае, введение ка-

ТИПА

нонических переменных (переменных Клебша) для

гамильтоновых структур связано с представлени-

В случае одной пространственной переменной

ем соответствующих уравнений в виде лагранже-

системы гидродинамического типа имеют вид

вой системы со связями (см. [4,5]). Более того, дан-

ный подход оказывается плодотворным и при описа-

U^νt = V^νμ (U) U^μx.

(2.1)

нии неизэнтропических течений классической жид-

кости, а также сверхтекучести [6]. Можно отме-

Матрица V^νμ (U) является матрицей линейного

тить, что в последнем случае лагранжев и гамиль-

преобразования на касательном пространстве мно-

тонов подходы часто оказываются важной состав-

гообразия с координатами U, в частности, она обла-

ляющей не только в описании определенных аспек-

дает соответствующим законом преобразования при

Ũ= Ũ(U).

тов динамики сверхтекучей жидкости, но и в уста-

точечных заменах

новлении уравнений такой динамики в целом (см.

Система (2.1) является гиперболической в неко-

[7-11]). В общем случае построение канонических

торой области значений U, если в каждой точке этой

741

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

области все собственные значения V^νμ(U) являют-

Как было показано Дубровиным и Новиковым,

ся вещественными, а соответствующие собственные

выражение (2.3) с невырожденным тензором g^νμ(U)

векторы образуют базис в касательном пространст-

определяет скобку Пуассона на пространстве полей

ве. Система (2.1) называется строго гиперболиче-

U(x) в том и только том случае, если:

ской в некоторой области, если в каждой точке этой

1) Тензор g^νμ(U) определяет симметричную

области собственные значения V^νμ(U) вещественны

псевдориманову метрику нулевой кривизны с

и попарно различны.

верхними индексами на пространстве параметров

В случае двухкомпонентных систем (т.е. U =

(U¹, . . . , U^N );

= (U¹, U²)) каждая строго гиперболическая система

2) Величины

(2.1) может быть приведена к диагональному виду

Γ^νμλ = -g_μσb^σνλ

R^νt = v^ν (R) R^νx

(2.2)

где g^νσ(U) g_σμ(U) = δ^νμ, являются символами Крис-

с помощью вещественной замены переменных R =

тоффеля для соответствующей метрики g_νμ(U).

= R(U). В случае N ≥ 3, однако, такое приведение,

Как следует из приведенных выше утверждений,

вообще говоря, не всегда возможно. В общем случае

любая скобка Дубровина - Новикова может быть за-

строго гиперболическая система (2.1) может быть

писана в канонической форме [18]

локально приведена к диагональной форме (с помо-

щью вещественной замены координат), если соот-

{n^ν(x), n^μ(y)} = ϵ^νδ^νμδ^′(x - y), ϵ^ν = ±1

(2.4)

ветствующий ей тензор Хантьеса тождественно ра-

вен нулю. В координатной форме компоненты тен-

после перехода к плоским координатам n^ν = n^ν (U)

зора Хантьеса могут быть записаны в виде

метрики g_νμ(U). Естественно ввести при этом груп-

пу точечных канонических преобразований скобки

H^νμλ(U) =

(2.4), которая, как легко видеть, совпадает в этом

= V νσ (U)V στ (U)N^τμλ(U) - V νσ (U)N^στλ(U)V τμ (U)-

случае с соответствующей группой O(K, N - K).

Функционалы

- V νσ (U)N^σμτ(U)V τλ (U) + N^νστ(U)V σμ (U)V τλ (U),

где N^νμλ(U) — тензор Нейенхейса оператора V^νμ (U):

∫

N^ν =

n^ν(x)dx

∂V^νλ

∂V^νμ

-∞

N^νμλ(U) = V^σμ(U)

- V σλ (U)

∂U^σ

∂V^σμ

∂V^σλ

являются аннуляторами скобки Дубровина - Нови-

+ V νσ (U)

- V νσ (U)

кова, в то время как функционал

∂U^λ

∂U^μ

В общем случае функции R(U), удовлетворяю-

∫

∑

щие в силу системы (2.1) уравнению

P =

ϵ^ν(n^ν)²(x)dx

-∞

ν=1

R_t = v(U)R_x

представляет функционал импульса для скоб-

для какой-либо функции v(U), называются инва-

ки (2.3).

риантами Римана системы (2.1). При этом система

Часто бывает удобно также записывать канони-

(2.1) может обладать некоторым набором независи-

ческую форму скобки Дубровина - Новикова в более

мых инвариантов Римана, количество которых, од-

общем виде:

нако, недостаточно для полной диагонализации сис-

темы.

{n^ν(x), n^μ(y)} = η^νμ δ^′(x - y),

Гамильтонова теория систем (2.1) связана, преж-

де всего, с локальными одномерными скобками

где η^νμ — произвольная постоянная (невырожден-

Пуассона гидродинамического типа, введенными

ная) симметрическая матрица. Нетрудно видеть,

Дубровиным и Новиковым [18]. Скобка Дубровина -

что группа (точечных) канонических преобразова-

Новикова на пространстве полей (U¹(x), . . . , U^N (x))

ний скобки Пуассона расширяется при этом до

имеет вид

GL_N (R).

В случае если N — четное, N = 2K, и метри-

{U^ν(x), U^μ(y)} =

(U) имеет сигнатуру (K, K), можно выбрать

ка g_νμ

= g^νμ(U)δ^′(x - y) + b^νμλ(U) U^λx δ(x - y).

(2.3)

плоские координаты (a¹, . . . , a^K , b¹, . . . , b^K ) таким

742

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

образом, что соответствующие ненулевые скобки

Другая важная форма скобки Дубровина - Нови-

Пуассона примут вид

кова — диагональная форма. Она соответствует слу-

чаю, когда координаты U^ν являются ортогональны-

{a^α(x), b^β(y)} = δ^αβ δ^′(x - y).

ми координатами для метрики g_νμ(U), и, соответст-

венно, тензор g^νμ(U) в определении (2.3) имеет диа-

В этом случае, проводя вещественное нелокаль-

гональную форму. Такая форма скобки Дуброви-

ной преобразование

на - Новикова тесно связана с теорией интегрируе-

∫

мых систем гидродинамического типа.

Φ^α(x) = a^α(x)dx,

Новиковым была высказана гипотеза, что все

системы гидродинамического типа, приводимые к

мы получаем скобку Пуассона в канонической фор-

форме (2.2) и являющиеся гамильтоновыми по от-

ме

ношению к какой-либо скобке (2.3), являются инте-

грируемыми. Эта гипотеза была доказана Царевым

{b^α(x), b^β(y)} = 0,

{Φ^α(x), Φ^β(y)} = 0,

в работе [20], где был предложен метод интегриро-

вания таких систем (обобщенный метод годографа).

{Φ^α(x), b^β(y)} = δ^αβ δ(x - y).

Построение решений системы (2.2) методом Ца-

В некоторой степени особенную роль играют так-

рева состоит в нахождении коммутирующих с ней

же скобки Пуассона, являющие линейными по коор-

систем (коммутирующих потоков), имеющих такой

динатам U(x):

же вид, характеристические скорости w^ν (R) кото-

рых удовлетворяют при этом системе уравнений

{U^ν(x), U^μ(y)} =

(

)

∂_μw^ν

∂_μv^ν

μ=ν

(2.6)

= (b^νμλ + b^μνλ ) U^λ + g^νμ

δ^′(x - y)+

w^μ - w^ν

v^μ - v^ν

+ b^νμλU^λx δ(x - y),

(2.5)

(∂_μ ≡ ∂/∂R^μ).

Каждое из решений w(R) = (w¹(R), . . . , w^N (R))

b^μνλ = const, gνμ0 = const.

системы (2.6) порождает решение R(x, t) системы

Координаты U(x) при этом, как правило, естест-

(2.2), определяемое из алгебраической системы

венно связаны с рассматриваемой задачей, а са-

w^ν(R) = t v^ν(R) + x, ν = 1, . . ., N.

ми скобки (2.5) описываются ли-алгебраическими

структурами. В случае одной пространственной пе-

Система (2.6) для функции w^ν (R) представляет

ременной классификация соответствующих алгебр

собой переопределенную систему линейных уравне-

Ли, а также допустимых коциклов на них была по-

ний с переменными коэффициентами, условия сов-

строена в работе [19], где в частности, была открыта

местности которой имеют вид

связь таких скобок с теорией фробениусовых и ква-

(

)

(

)

зифробениусовых алгебр.

∂_μv^ν

∂_λv^ν

∂_λ

=∂_μ

(2.7)

Скобка (2.3) имеет также две другие важные

v^μ - v^ν

v^λ - v^ν

формы на пространстве полей U(x). Первая из

ν = μ, μ = λ, λ = ν.

них — «лиувиллева» форма [16, 18], имеющая вид

Как можно показать (см. [20, 21]), выполнение

{U^ν(x), U^μ(y)} =

условий (2.7) обеспечивает в случае общего поло-

(

)

жения полноту решений системы (2.6), достаточную

∂γ^νμ

= γ^νμ(U) + γ^μν(U) δ^′(x - y) +

U^λx δ(x - y)

для (локального) решения общей задачи Коши соот-

∂U^λ

ветствующей системы (2.2).

для некоторых функций γ^νμ(U).

Как было показано в работе [20], условие га-

Лиувиллева форма скобки Дубровина - Новико-

мильтоновости системы (2.2) по отношению к лю-

ва называется также физической и соответствует

бой скобке Дубровина - Новикова влечет за собой

случаю, когда интегралы от координат U^ν

соотношения

(2.7) и, таким образом, позволяет

проинтегрировать эту систему методом Царева. В

+^∞

действительности, множество диагональных систем,

I^ν =

U^ν(x)dx

удовлетворяющих условию (2.7), заметно шире, чем

-∞

совокупность таких же систем, гамильтоновых по

коммутируют друг с другом.

отношению к локальной скобке Пуассона, поэтому

743

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

все диагональные системы, удовлетворяющие усло-

2) Величины

виям (2.7), были названы Царевым полугамильтоно-

выми. Как оказалось позднее, в класс полугамильто-

Γ^νμγ = -g_μλ b^λνγ

новых систем попадают также системы, являющи-

являются символами Кристоффеля для соответ-

еся гамильтоновыми по отношению к обобщениям

ствующей метрики g_νμ(U);

скобки Дубровина - Новикова — слабонелокальной

3) Аффиноры wν(k)λ(U) и тензор кривизны мет-

скобке Мохова - Ферапонтова и скобке Ферапонто-

рики R^ντμλ(U) удовлетворяют условиям

ва. Дадим здесь соответствующие определения:

Скобкой Мохова - Ферапонтова [22] на простран-

g_ντ wτ(k)μ = g_μτ wτ(k)ν,

∇_νwμ(k)λ = ∇_λwμ(k)ν,

(2.10)

стве полей U(x) называется скобка, представимая в

виде

∑ (

)

R^ντμλ =

e_k wν(k)μwτ(k)λ - wτ(k)μw^ν

(2.11)

(k)λ

{U^ν(x), U^μ(x)} = g^νμ(U)δ^′(x - y)+

k=1

[w_k, w_k′ ] = 0

+ b^νμλ(U)Uλx δ(x - y) +

cU^νx sgn(x - y)Uμy .

(2.8)

(коммутативность).

Общей скобкой Ферапонтова [23-26] на прост-

Ферапонтовым было указано также, что соотно-

ранстве полей U(x) называется скобка вида

шения (2.10), (2.11) являются соотношениями Гаус-

са - Кодацци для подмногообразия M^N с плоской

{U^ν(x), U^μ(y)} =

нормальной связностью в псевдоевклидовом про-

странстве EN+g. При этом тензор g_νμ играет роль

= g^νμ(U)δ^′(x - y) + b^νμλ(U)Uλx δ(x - y)+

первой квадратичной формы M^N , а w(k) — роль

∑

e_k wν(k)λ(U)U^λx sgn(x - y)×

операторов Вейнгартена, соответствующих «парал-

k=1

лельным» полям единичных нормалей n_k [23-26].

Кроме того, Ферапонтовым было показано, что

× wμ(k)δ(U)U^δy, e_k = ±1.

(2.9)

скобка (2.9) получается как результат ограничения

Аналогично сформулированным ранее услови-

по Дираку скобки Дубровина - Новикова, опреде-

ленной в пространстве EN+g для подмногообразия

ям для функций g^νμ(U) и b^νμλ(U) для скобки Дуб-

ровина - Новикова, можно сформулировать условия

M^N [24].

для коэффициентов в выражениях (2.8) и (2.9), при

Каноническая форма скобки Мохова - Ферапон-

выполнении которых соответствующие выражения

това, записанная в плотностях аннуляторов, а также

определяют скобки Пуассона на пространстве по-

выражение для функционала импульса этой скобки

были предложены в работе [27].

лей U(x). Именно, выражение (2.8) с невырожден-

ным тензором g^νμ(U) определяет скобку Пуассона

Канонические формы (а также канонические

на пространстве полей U(x) в том и только том слу-

функционалы) общих слабонелокальных скобок Фе-

чае, если [22]:

рапонтова были исследованы в работе [28]. По опре-

1) Тензор g^νμ(U) определяет симметричную

делению, скобка (2.9) имеет в переменных n = n(U)

каноническую форму, если выполняются соотноше-

псевдориманову метрику постоянной кривизны c (с

верхними индексами) на пространстве параметров

ния

(U¹, . . . , U^N );

2) Величины

{n^ν(x), n^μ(y)} =

(

)

∑

Γ^νμγ = -g_μλ b^λνγ

= ϵ^νδ^νμ - e_k fν(k)(n)fμ(k)(n) δ^′(x - y)-

k=0

являются символами Кристоффеля для соответ-

∑

(

)

ствующей метрики g_νμ(U).

e_k fν(k)(n)

fμ(k)(n)δ(x - y)+

k=0

Выражение (2.9) с невырожденным тензором

∑

(

)

(

)

g^νμ(U) определяет скобку Пуассона на пространстве

e_k fν(k)(n)

sgn(x - y) fμ(k)(n)

полей U(x) в том и только том случае, если [23]:

k=0

1) Тензор g^νμ(U) определяет симметричную

псевдориманову метрику с верхними индексами на

(ϵ^ν = ±1) для некоторых функций fν(k)(n), таких что

пространстве параметров (U¹, . . . , U^N );

fν(k)(0, . . ., 0) = 0.

744

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

Здесь можно отметить, что каноническая фор-

Любая скобка (2.9) с невырожденным тензором

ма скобки Ферапонтова в общем случае определена

g^νμ(U) имеет также локальный функционал им-

неоднозначно. Наиболее естественно связывать ка-

пульса P на пространствах LU0 , имеющий форму

ноническую форму скобки (2.9) с какой-либо фик-

(

)

∫

∑

сированной точкой U₀ на многообразии параметров

P =

ϵ^νn^νn^ν +

e_k

h^kh^k dx,

U. С точкой U₀ естественно при этом связать про-

ν=1

k=1

−∞

странство «петель», начинающихся и заканчиваю-

щихся в точке U₀, т. е. пространство LU0 отображе-

где функции n(U) и h(U) отвечают точке U₀ [29].

В работе [28] была также предложена Лиувилле-

ний

R → {U},

ва (физическая) форма общих скобок Ферапонтова,

таких что

имеющая вид

U(x) → U₀, x → ±∞.

{U^ν(x), U^μ(y)} =

С геометрической точки зрения, построение ка-

(

)

∑

нонических координат, отвечающих точке U₀, свя-

= γ^νμ + γ^μν - e_kfν(k)f^μ

δ^′(x - y)+

(k)

зано с упомянутым выше вложением многообразия

k=1

параметров M^N в псевдоевклидово пространство

(

)

∂γ^νμ

∑

EN+g, определяемое скобкой (2.9). А именно, рас-

U^λx - e_k (fν(k))_x f^μ

δ(x - y) +

(k)

∂U^λ

смотрим соответствующее вложение

k=1

M^N → EN+g

∑

e_k (fν(k))_x sgn(x - y)(fμ(k))_y

и выберем (псевдо)евклидову систему координат в

k=1

EN+g с началом в точке U₀ ∈ M^N ⊂ EN+g так,

с некоторыми функциями γ^νμ(U) и fν(k)(U).

чтобы первые N координат касались подмногообра-

Скобка (2.9) имеет физическую форму в коорди-

зия M^N в точке U₀, а оставшиеся g были ортого-

натах U^μ в том и только том случае, если интегралы

нальны M^N в этой точке. Ограничение первых N

∫

координат в EN+g на M^N и задают в этом случае

набор канонических координат n^ν(U), отвечающих

J^ν = U^ν(x)dx

точке U₀. Ограничение оставшихся g координат на

-∞

подмногообразие M^N задает еще g дополнительных

порождают набор локальных коммутирующих пото-

функций h^k(U), также играющих важную роль.

ков в силу скобки (2.9).

Значения (вектор)функций f(k)(n) в приведенной

Скобка Ферапонтова (2.9) представляет собой

выше канонической форме совпадают со значения-

наиболее общий вид (одномерной) слабонелокаль-

ми проекций базисных параллельных полей норма-

ной скобки гидродинамического типа. С другой сто-

лей к M^N в пространстве EN+g на плоскость, каса-

роны, скобки Ферапонтова, как правило, связаны

тельную к M^N в точке U₀. В частности, для скоб-

лишь с интегрируемыми системами гидродинами-

ки Мохова - Ферапонтова, соответствующей случаю

√

ческого типа, поскольку содержат интегрируемые

(псевдо)сферы в EN+1, мы имеем f^ν =

|c| n^ν .

структуры внутри себя. Согласно гипотезе Ферапон-

Как можно показать (см. [28]), соответствующие

това [26], все диагонализуемые полугамильтоновы

функционалы

системы являются гамильтоновыми по отношению к

+^∞

скобкам (2.9), если допустить наличие бесконечного

N^ν = n^ν(x)dx

числа членов в их нелокальной части. Эта гипоте-

-∞

за была, в частности, подтверждена в работе [30]

для довольно широкого класса полугамильтоновых

задают аннуляторы скобки (2.9) на пространстве

систем. Данная гипотеза рассматривалась также в

LU0. Функционалы

работах [31, 32]. Надо сказать, однако, что в общей

+^∞

формулировке строгое доказательство этой гипоте-

H^k = h^k(x)dx

зы пока не получено.

-∞

В то же время, скобки (2.3) и (2.8) связаны

являются при этом гамильтонианами, порождающи-

со значительно более широким классом систем, не

ми потоки

предполагающих интегрируемости, и являются, в

U^νt = wν(k)μ(U)U^μx

этом смысле, более распространенными в реальных

на пространстве LU0 в силу скобки (2.9).

приложениях.

745

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Как в случае скобки Дубровина - Новикова, так

разий [36,37], параметризующих решения уравнения

и в случае слабонелокальных скобок Мохова-Фера-

ВДВВ, описывающие топологические теории. Более

понтова и Ферапонтова, диагональная форма мет-

того, дальнейшим развитием теории фробениусовых

рики g_νμ является наиболее тесно связанной с тео-

многообразий стала теория «слабодисперсионных»

рией интегрирования систем (2.1). При этом про-

деформаций таких гамильтоновых структур, даю-

блема диагональных координат для плоских мет-

щих поправки к топологическим теориям [38, 39].

рик, являлась, как известно, классической пробле-

Кроме того, во множестве примеров важнейшую

мой дифференциальной геометрии на протяжении

роль играют координаты, в которых скобка Пуассо-

многих лет. Нельзя не сказать здесь, что в послед-

на становится линейной по полям, где явно проявля-

нее время в решении этой проблемы получены новые

ются ли-алгебраические аспекты рассматриваемой

весьма важные достижения [33,34], связанные с ме-

задачи.

тодом обратной задачи рассеяния. При этом можно

Еще одним важным обобщением локальных ско-

отметить, что теория скобок Пуассона также послу-

бок гидродинамического типа являются неоднород-

жила стимулирующим фактором при рассмотрении

ные скобки Пуассона, имеющие в общем случае вид

этой классической задачи.

Надо сказать, однако, что диагональная форма

{U^ν(x), U^μ(y)} = g^νμi (U(x)) δ_xi (x - y)+

[

]

скобок Пуассона не является, конечно, единственно

+ b^νμiλ(U(x)) U^λxi + h^νμ(U) δ(x - y).

(2.13)

важной при рассмотрении вопросов интегрируемо-

сти систем гидродинамического типа. Так, напри-

Скобки (2.13) представляют собой в действи-

мер, канонические координаты скобок играют наи-

тельности пары согласованных скобок, поскольку

более важную роль при рассмотрении бигамильто-

как ее гидродинамическая часть (т. е. (1.1)), так и

новых структур (см. [35]), имеющихся у подавляю-

конечномерная часть h^νμ(U) δ(x - y) определяют

щего большинства интегрируемых иерархий. На-

самостоятельные скобки Пуассона на пространстве

помним здесь, что основу бигамильтоновой структу-

полей U(x), согласованные между собой. Можно ви-

ры составляет пара согласованных скобок Пуассона,

деть, кроме того, что тензор h^νμ(U) должен опреде-

{. . . , . . .}₁ и {. . ., . . . }₂, т. е. скобок, любая линейная

лять простую конечномерную скобку на простран-

комбинация которых

стве с координатами U.

Скобки (2.13), как нетрудно видеть, связаны

{. . ., . . . }₁ + λ{. . . , . . .}₂

(2.12)

прежде всего с неоднородными системами гидроди-

также определяет скобку Пуассона. Построение би-

намического типа:

гамильтоновых иерархий, как правило, начинается

U^νt = V^νiμ (U) Uμxi + f^ν(U)

при этом с аннуляторов или некоторых каноничес-

ких функционалов, связанных с одной из гамиль-

на пространстве полей U(x).

тоновых структур и играющих роль «родоначаль-

Теория скобок (2.13) также в значительной ме-

ников» соответствующих иерархий. Как мы видели

ре нетривиальна и содержит множество интересных

выше, в случае скобок гидродинамического типа та-

геометрических и алгебраических структур. Так, в

кие функционалы связаны именно с каноническими

частности, для одномерных скобок Пуассона

координатами скобки. Можно добавить, что канони-

ческие координаты n^ν (λ) для всего пучка (2.12) яв-

{U^ν(x), U^μ(y)} = g^νμ (U(x)) δ^′(x - y)+

ляются производящими функциями для всех плот-

[

]

b^νμλ (U)U^λx + h^νμ(U)

δ(x - y)

(2.14)

ностей гамильтонианов рассматриваемой иерархии,

производящих высшие потоки.

верно следующее утверждение [40]:

Нельзя не упомянуть здесь о важной роли со-

Если метрика g^νμ (U) невырождена, то преобра-

гласованных локальных гамильтоновых структур

зованием координат U = U(n) скобка (2.14) приво-

для квантовой теории поля, открытой Дубровиным

дится к виду

в 1990-х. Как было показано Дубровиным, специ-

альные пары согласованных скобок Дубровина - Но-

{n^ν(x), n^μ(y)} = η^νμ δ^′(x - y)+

[

]

викова дают классификацию топологических тео-

c^νμλ n^λ + d^νμ

δ(x - y),

рий поля, возникающих в качестве приближений

в различных теоретико-полевых моделях. Так, па-

где коэффициенты η^νμ, c^νμλ, d^νμ постоянны, c^νμλ

ра согласованных скобок Дубровина - Новикова ле-

представляют собой структурные константы полу-

жит в основе определения фробениусовых многооб-

простой алгебры Ли с метрикой Киллинга η^νμ, а

746

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

d^νμ = -d^μν — произвольный коцикл на этой алгеб-

медленных модуляций (метода Уизема) многофаз-

ре.

ных решений интегрируемых иерархий. Как впер-

В качестве важного примера системы, связанной

вые было показано Уиземом [44], усредненные урав-

со скобкой (2.14), можно привести задачу n-волн

нения, описывающие эволюцию медленно модули-

рованных параметров однофазных решений уравне-

M_t - ϕ(M_x) = [M, ϕ(M)] ,

(2.15)

ния КдФ представляют собой систему гидродина-

где M = (M_ij ) - (n × n) — матрица с нулевым сле-

мического типа, приводимую к диагональной фор-

дом (возможно, с дополнительными симметриями),

ме. Как было затем показано в работе [45], это за-

ϕ(M) = (λ_ijM_ij), являющаяся гамильтоновой по от-

мечательное свойство присуще также и уравнени-

ношению к скобке вида (2.14) с d^νμ = 0, с квадра-

ям медленных модуляций (уравнениям Уизема) для

тичным гамильтонианом.

многофазных решений КдФ. Можно здесь сразу от-

Как хорошо известно (см. [41]), система (2.15) ин-

метить, что построение многофазных решений для

тегрируема методом обратной задачи рассеяния при

интегрируемых иерархий тесно связано с методами

λ_ij = (a_i - a_j)/(b_i - b_j).

алгебраической геометрии в теории обратной зада-

Заметим здесь также, что гамильтоновы струк-

чи рассеяния (см. [46-52]). Как следствие этого, ме-

туры (2.14) имеют и дальнейшие обобщения. Так,

тоды теории медленных модуляций для интегриру-

в частности, в работе [42] были рассмотрены неод-

емых систем также связаны самым тесным обра-

нородные скобки Пуассона, отвечающие метрикам

зом с алгебро-геометрическими конструкциями. В

постоянной кривизны (скобкам Мохова - Ферапон-

частности, именно методы алгебраической геомет-

това).

рии позволили установить диагонализуемость урав-

В заключение данного раздела, можно отметить,

нений Уизема для многофазных решений КдФ в ра-

что скобки (2.3), а также (2.8), (2.9), (2.14) представ-

боте [45]. Будучи универсальным подходом в теории

ляют выделенные классы более общих локальных

интегрируемых систем, методы алгебраической гео-

одномерных теоретико-полевых скобок

метрии позволяют в действительности установить

также аналогичный факт для большинства иерар-

{ϕⁱ(x), ϕ^j(y)} =

хий, интегрируемых методом обратной задачи рас-

∑

сеяния. Таким образом, системы уравнений медлен-

= Bij(k)(ϕ,ϕ_x,...)δ(k)(x - y)

(2.16)

ных модуляций для интегрируемых иерархий пред-

k≥0

ставляют собой важнейший класс диагонализуемых

и слабонелокальных скобок

систем гидродинамического типа.

∑

{ϕⁱ(x), ϕ^j(y)} =

Bij(k)(ϕ, ϕ_x, . . . )δ(k)(x - y)+

Как мы уже сказали, для интегрирования диаго-

k≥0

нальных систем гидродинамического типа, как пра-

∑

вило, требуется их гамильтоновость. В ряде случаев

κ_ks Si(k)(ϕ, ϕ_x, . . .)sgn(x - y)×

гамильтоновость систем уравнений может быть свя-

k,s=1

зана с их лагранжевым формализмом, что, как пра-

× Sj(s)(ϕ, ϕ_y, . . . ),

(2.17)

вило, позволяет определить соответствующую га-

мильтонову структуру в канонической форме. Вмес-

где κ_ks

— некоторая произвольная (постоян-

те с процедурой построения уравнений медленных

ная) квадратичная форма, i

= 1, . . . , n, ϕ(x)

модуляций Уиземом [44] была также предложена

= (ϕ¹(x), . . . , ϕⁿ(x)).

процедура усреднения локальных лагранжианов (в

Как и в случае скобок гидродинамического ти-

том числе и при наличии «псевдофаз») и получения

па, скобки (2.16) могут быть связаны с весьма ши-

локального лагранжева формализма для «усреднен-

роким многообразием систем эволюционного типа, в

ной системы». Надо сказать, однако, что локальные

то время как скобки (2.17) возникают, как правило,

лагранжевы структуры имеются далеко не у всех

при изучении интегрируемых иерархий (см. [28,43]).

интересных систем эволюционного типа

ϕ^it = Qⁱ(ϕ, ϕ_x, . . .),

(3.1)

3. ГАМИЛЬТОНОВЫ СТРУКТУРЫ И

ТЕОРИЯ МЕДЛЕННЫХ МОДУЛЯЦИЙ

и наиболее общим для таких систем является, как

Развитие теории интегрирования одномерных

правило, наличие более общего гамильтонова фор-

систем гидродинамического типа в действительно-

мализма со скобкой Пауссона (2.16) (или (2.17)) и

сти происходило в тесной связи с развитием теории

гамильтонианом

747

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

+∞

При этом мы выбираем параметры U^ν в виде

H = h(ϕ,ϕ_x,...)dx.

(3.2)

U^ν = 〈P^ν〉 на соответствующих решениях рассмат-

-∞

риваемого нами семейства.

Можно видеть, что метод Дубровина и Новикова

Для построения гамильтоновых структур урав-

в описанной форме связан с консервативной формой

нений медленных модуляций в общем случае Дубро-

системы уравнений медленных модуляций, а именно

виным и Новиковым [16, 18] была предложена про-

с формой

цедура «усреднения» локальных скобок Пуассона

(2.16), дающая скобку вида (2.3) для системы Уизе-

U^νT = 〈Q^ν〉_X, ν = 1, . . ., N,

(3.6)

ма. Дадим здесь краткое описание этой процедуры.

В методе Уизема мы предполагаем, что система

где

(3.1) имеет конечно-параметрическое семейство ква-

∂

зипериодических решений

P^νt ≡

Q^ν(ϕ, ϕ_x, . . . )

∂x

ϕⁱ(x, t) = Φⁱ (k(U)x + ω(U)t + θ₀, U),

(3.3)

в силу системы (3.1). Можно показать также, что

скобка (3.5) имеет в общем случае лиувиллеву фор-

где θ = (θ1, . . . , θm), k(U) = (k1(U), . . . , km(U)),

му. Интегралы от координат U^ν (X) дают в рассмат-

ω(U) = (ω¹(U), . . . , ω^m(U)) и Φⁱ(θ, U) задают се-

риваемом случае набор N коммутирующих интегра-

мейство 2π-периодических по всем θα функций,

лов системы (3.6), а плотностью гамильтониана для

зависящих от дополнительных параметров U

системы (3.6) является усредненная плотность га-

= (U¹, . . . , U^N ).

мильтониана исходной системы 〈h〉(X).

В методе Уизема мы производим растяжение

Здесь можно также отметить, что все интегра-

X = ϵx, T = ϵt (ϵ → 0) обеих координат x и t и

лы I^μ порождают коммутирующие потоки к системе

считаем параметры U функциями «медленных» ко-

(3.1) в силу соответствующей скобки (2.16), так что

ординат X и T .

можно, наряду со временем t, рассматривать также

Метод Дубровина и Новикова основывается на

зависимость всех решений от дополнительных вре-

существовании N (равного числу параметров U^ν се-

мен t^μ (μ = 1, . . . , N). При этом также верны соот-

мейства m-фазных решений (3.1)) локальных инте-

ношения

гралов

∫

∂

P^νtμ ≡

Q^νμ(ϕ, ϕ_x, . . .)

I^ν = P^ν(ϕ, ϕ_x, . . .)dx,

∂x

коммутирующих с гамильтонианом и друг с другом:

для некоторых функций Q^νμ(ϕ, ϕ_x, . . . ), а соответ-

ствующее семейство решений

(3.3) представляет

{I^ν, H} = 0,

{I^ν, I^μ} = 0,

(3.4)

также семейство m-фазных решений для коммути-

и может быть описан ниже следующим образом.

рующих потоков с некоторыми другими значениями

Вычислим попарные скобки Пуассона плотно-

величин

стей P^ν, имеющие форму

∑

ω^μ(U) = (ω1μ(U), . . . , ω^mμ(U)).

{P^ν(x), P^μ(y)} =

A^νμk(ϕ, ϕ_x, . . .)δ(k)(x - y),

k≥0

Системы Уизема для коммутирующих потоков

где

Aνμ0(ϕ, ϕ_x, . . .) ≡ ∂_xQ^νμ(ϕ, ϕ_x, . . . )

U^νTμ = 〈Q^νμ〉X

согласно (3.4). Соответствующая скобка Дуброви-

на - Новикова на пространстве функций U(X) имеет

представляют при этом коммутирующие потоки для

системы (3.6) и являются гамильтоновыми по отно-

вид

шению к скобке (3.5) с гамильтонианами

{U^ν(X), U^μ(Y )} = 〈Aνμ1〉(U)δ^′(X - Y )+

∫

∂〈Q^νμ〉

U^λX δ(X - Y ),

(3.5)

H^μ = U^μ(X)dX.

∂U^λ

-∞

где 〈. . . 〉 означает усреднение на семействе m-фаз-

ных решений (3.1), задаваемое формулой

В общем случае обоснование метода Дуброви-

∫

на - Новикова требует определенных условий пол-

〈F 〉 =

F (Φ, k^α(U)Φ_θα, . . . ) d^mθ.

ноты и регулярности соответствующего семейства

(2π)^m

m-фазных решений (3.1) [53].

748

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

Отметим здесь, что процедура Дубровина - Но-

ку в координатах (k¹, . . . , k^m, U¹, . . . , U^N-m) в фор-

викова допускает также обобщение на случай сла-

ме (3.7), (3.8) и

бо-нелокальных гамильтоновых структур, позволя-

ющее получать скобки (2.9) для системы Уизема пу-

{U^ν(X), U^μ(Y )} = 〈Aνμ1〉(U)δ^′(X - Y )+

тем усреднения скобок (2.17) для исходной систе-

мы [54]. В целом, эта процедура является довольно

∂〈Q^νμ〉

U^λXδ(X-Y ), ν, μ = 1, . . ., N-m.

(3.9)

удобной как для случая интегрируемых иерархий,

∂U^λ

так и в более общей ситуации.

Представление усредненной скобки в виде

Запись усредненных скобок Пуассона в диаго-

(3.7)-(3.9) связано в действительности еще с одним

нальной форме для интегрируемых иерархий, так

важным (эквивалентным) представлением системы

же как и запись в этой форме соответствующих

уравнений медленных модуляций, разделяющим

систем Уизема, связана с алгебро-геометрическими

уравнения эволюции фаз

методами обратной задачи рассеяния [18, 21, 55, 56].

Более детально, как и в случае диагонализации са-

S^αT = ω^α(S_X, U)

мих систем Уизема, диагональные координаты для

усредненных скобок Пуассона для таких иерархий

(SαX ≡ kα) и уравнения переноса, которые могут

связаны с точками ветвления римановых поверх-

быть записаны в виде баланса части законов сохра-

ностей, определяющих соответствующие m-фазные

нения

решения исходной системы. Как уже было отмече-

но выше, диагональная форма таких скобок наи-

U^νT = 〈Q^ν〉_X, ν = 1, . . ., N - m.

более тесно связана с процедурой интегрирования

соответствующих систем гидродинамического типа.

Представление скобки в виде (3.7)-(3.9) можно

Можно отметить также, что и построение наиболее

также назвать смешанным представлением усред-

интересных решений усредненных уравнений также

ненной скобки, в котором частично используются

опирается на алгебро-геометрические методы (см.,

канонические и частично — лиувиллевы перемен-

например, [57-68]).

ные. В одномерном случае, как уже было сказано,

Остановимся здесь также на канонических фор-

скобка может быть полностью приведена к постоян-

мах усредненных скобок.

ному виду, при этом можно подобрать переменные

J = (J₁,...,J_m), n = (n¹,...,nN-2m), такие что

Одной из особенностей канонической формы

усредненных скобок Пуассона [44, 53, 69, 70] явля-

{k^α(X), J_β(Y )} = δ^αβ δ^′(X - Y ),

ется то, что все величины k^α(X) являются частью

канонических координат усредненной скобки и, та-

ким образом, представляют часть плоских коорди-

{n^q(X), n^p(Y )} = ϵ^q δ^qp δ^′(X - Y )

нат для соответствующей метрики g^νμ(U), удовле-

(остальные скобки равны нулю).

творяющих соотношениям

Соотношения

{k^α(X), k^β(Y )} = 0.

(3.7)

{S^α(X), J_β(Y )} = δ^αβ δ(X - Y ),

{n^q(X), n^p(Y )} = ϵ^q δ^qp δ^′(X - Y ),

Кроме того, можно показать, что скобки Пуассо-

на k^α(X) с плотностями U^ν (Y ) могут быть записаны

приближаясь к обычной терминологии в теории ско-

в виде

бок Пуассона, можно было бы назвать также псев-

доканонической формой скобок гидродинамическо-

(

)

{k^α(X), U^ν(Y )} = ω^αν(X)δ(X - Y )

(3.8)

го типа.

Как было отмечено в [71], использование мо-

дифицированной процедуры Дубровина - Новикова

Как было показано в работе [71], соотношения

и представление усредненной скобки в виде (3.7)-

(3.7), (3.8) позволяют также модифицировать про-

(3.9) является особенно удобным в случае несколь-

цедуру Дубровина - Новикова, уменьшив требуемое

ких пространственных переменных. В следующем

количество коммутирующих интегралов исходной

разделе мы более подробно обсудим «многомерные»

системы до N -m и представляя усредненную скоб-

скобки Пуассона.

749

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

4. МНОГОМЕРНЫЕ СКОБКИ

щего положения. В частности (см. [73]), невырож-

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ

денная скобка (1.1) может быть приведена к посто-

ОБОБЩЕНИЯ

янному виду в некоторых координатах n = n(U), ес-

ли хотя бы одна из метрик gνμi0 (U) образует неосо-

Мы перейдем теперь к более общим многомер-

бые пары со всеми остальными метриками, т. е. кор-

ным скобкам вида (1.1)

ни любого из уравнений

(

)

{U^ν(x), U^μ(y)} =

det gνμi0 (U) - λ g^νμi(U)

= 0, i = i₀

= gνμi (U(x)) δ_xi(x-y)+b^νμiλ(U(x))U^λxi δ(x-y),

отличны друг от друга.

Приведенное выше условие является условием

наиболее полная теория которых была построена в

общего положения, тем не менее, оно часто наруша-

работах [40, 72, 73].

ется в важных примерах. В частности, скобки Пуас-

Мы рассмотрим случай невырожденных ско-

сона, отвечающие алгебрам Ли векторных полей в

бок (1.1), а именно, потребуем, чтобы все тензоры

Rⁿ (N = n, n ≥ 2):

g^νμi(U) были невырожденными:

{pⁱ(x), p^j(y)} = pⁱ(x)δ_xj (x - y) - p^j(y)δ_yi (y - x)

det g^νμi(U) = 0, i = 1, . . . , n.

и описывающие n-мерную гидродинамику, не могут

Как и в одномерном случае, здесь также можно

быть приведены к постоянному виду. То же самое

утверждать, что все тензоры g^νμi(U) представляют

верно и в отношении ряда других важных примеров

собой плоские метрики на пространстве параметров

скобок гидродинамического типа.

U, в то время как величины

Можно утверждать [40, 72, 73], что в общем слу-

чае любая невырожденная скобка (1.1) может быть

Γ^νμλi = -g_μσib^σνiλ

приведена к линейной (неоднородной) форме

задают соответствующие символы Кристоффеля. В

{U^ν(x), U^μ(y)} =

общем случае, для определения корректной скобки

((

)

Пуассона коэффициенты g^νμi(U) и b^νμiλ(U) должны

= b^νμiλ +b^μνi

U^λ + g^νμi

δ_xi (x - y)+

удовлетворять целому ряду нетривиальных соотно-

+ b^νμiλU^λxi δ(x - y),

(4.1)

шений [40, 73], в частности, все выражения

μνi

= const, gνμi0 = const

{U^ν(x), U^μ(y)}(i) =

с помощью точечной замены координат.

= gνμi (U(x)) δ^′(x - y) + b^νμiλ(U(x)) Uλx δ(x - y)

Можно видеть, что теория невырожденных ско-

бок Пуассона в случае нескольких пространствен-

определяют в этом случае одномерные скобки Пуас-

ных переменных связана в самом общем случае

сона, согласованные друг с другом.

с теорией бесконечномерных алгебр Ли. Ряд важ-

По аналогии с одномерным случаем можно опре-

ных классификационных результатов, относящихся

делить каноническую форму невырожденной скоб-

к теории многомерных скобок (4.1) и соответствую-

ки Пуассона (1.1) как скобку постоянного вида:

щим им ли-алгебраических структур, был получен

{n^ν(x), n^μ(y)} = η^νμi δ_xi (x - y),

в работе [72]. В целом, однако, полная задача клас-

сификации таких скобок пока окончательно не ре-

где все η^νμi = const.

шена.

Как нетрудно видеть, все функционалы

Надо сказать, что диагональная форма скобки

∫

Пуассона в случае многих пространственных пере-

N^ν = n^ν(x)dⁿx

менных уже не играет той важной роли, какую она

играет в одномерном случае. Как следует из резуль-

являются в этом случае аннуляторами скобки (1.1).

татов работы [73], в случае двух пространственных

В отличие от одномерного случая, однако, невы-

переменных обе метрики, gνμ1(U) и gνμ2(U), могут

рожденности скобки (1.1) здесь оказывается в об-

быть приведены к диагональному виду преобразова-

щем случае недостаточно для возможности ее при-

нием координат, если они образуют неособую пару.

ведения к каноническому виду с помощью некото-

В случае n ≥ 3 одновременное приведение всех мет-

рой точечной замены координат, и требуется нало-

рик g^νμi(U) к диагональному виду, вообще говоря,

жение еще некоторых дополнительных условий об-

невозможно.

750

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

Так же, как и в одномерном случае, для много-

сказать при этом, что величины Sαx («сверхтекучие

мерных скобок (1.1) можно определить лиувиллеву

скорости») являются уже переменными гидродина-

форму, имеющую вид

мического типа и могут естественно использоваться

при заменах «гидродинамических переменных»

{U^ν(x), U^μ(y)} =

(

)

U^ν →

Ũ^ν (S_x,U).

= γ^νμi(U) + γ^μνi(U) δ_xi(x - y)+

(

)

Мы здесь рассмотрим в некотором смысле невы-

+ γ^νμi(U) δ(x - y)

рожденный случай, когда матрица частот ω^αν имеет

xⁱ

полный ранг:

и соответствующую ситуации, когда все функциона-

rank|| ω^αν (S_x, U)|| = m

лы

∫

I^ν = U^ν(x)dⁿx

(N -m ≥ m). Как можно показать [74], в этом случае

всегда можно перейти к новым гидродинамическим

коммутируют друг с другом.

переменным

В заключение, нам бы хотелось рассмотреть еще

(

)

одно обобщение скобок гидродинамического типа, а

U →

Q (S_x, U) , N (S_x, U)

именно, скобки, содержащие фазовые переменные

Q_α(x) = Q_α (S_x1, . . . , S_xd , U(x)) , α = 1, . . ., m,

{S^α(x), S^β(y)} = 0,

N^l(x) = N^l (S_x1, . . . , S_xd , U(x)) , l = 1, . . ., N -2m,

{S^α(x), U^ν(y)} = ω^αν(U, S_x)δ(x - y),

(4.2)

в которых скобка (4.2) примет вид

{S^α(x), S^β(y)} = 0,

{U^ν(x), U^μ(y)} = g^νμi (U, S_x)δ_xi (x - y)+

{S^α(x), Q_β(y)} =, δ^αβ δ(x - y),

+b^νμiλ (U, S_x)U^λxi δ(x-y)+f^νμijα (U, Sx)S^xi_xj δ(x-y).

{

}

S^α(x), N^l(y)

= 0,

(4.3)

Как уже было указано выше, скобки такого ти-

{Q_α(x) , Q_β(y)} = J_αβ [S_x, N] (x, y),

па возникают, например, при усреднении локальных

{

}

гамильтоновых структур в многомерном случае. В

Q_α(x), N^l(y)

= Jlα [S_x,N](x, y),

{

}

действительности, такие скобки встречаются и во

N^l(x), N^q(y)

= J^lq [S_x,N](x, y).

многих других случаях, где переменные S(x) мо-

Коммутаторы J_αβ [S_x, N] (x, y), J^lα [S_x, N] (x, y)

гут иметь самый различный смысл (классические

и J^lq [S_x,N](x, y) задаются при этом выражениями

или квантовые фазы, фазы параметра порядка и

гидродинамического типа, аналогичными представ-

т. п.). В частности, скобки такого вида неоднократ-

ленным в (4.2), здесь, однако, они зависят лишь от

но встречаются в работе [17]. К еще более общим

переменных S(x) и N(x). Нетрудно показать так-

скобкам подобного типа можно отнести также скоб-

же, что величины J^lq [S_x, N] (x, y) определяют при

ки, где фазовые переменные не коммутируют меж-

этом скобку Пуассона на пространстве полей N(x)

ду собой, а отвечают некоторой ли-алгебраической

при любых фиксированных значениях S(x).

структуре (см. [17]). Как было также отмечено вы-

Как нетрудно видеть, переменные Q_α(x) и N^l(x)

ше, скобки описанного вида могут встречаться так-

определены с точностью до преобразований

же и в «чистой» гидродинамике, например, при опи-

сании потенциальных течений. Довольно часто в ка-

Q_α(x) → Q_α(x) + f_α (S_x, N(x)) ,

честве переменных U(x) выбираются плотности за-

конов сохранения, а гидродинамическая часть скоб-

ки (4.2) имеет «лиувиллеву» форму.

N^l(x) → N^′l (S_x, N(x)) ,

Нас будет интересовать здесь общая структура

где

скобок (4.2), и в частности, возможность приведе-





_∂N′l







ния таких скобок к некоторым каноническим фор-

det

= 0.





^∂N^k

мам, близким к рассматривавшимся выше. С фи-

Довольно часто бывает интересна ситуация, ко-

зической точки зрения, фазовые переменные S(x)

гда переменные N^l(x) не возникают (N = 2m), и

являются выделенными, поэтому естественно в дей-

скобка (4.2) приводится к виду

ствительности рассматривать замены координат, со-

храняющие неизменными переменные S(x) и преоб-

{S^α(x), S^β(y)} = 0,

разующие лишь оставшиеся координаты U(x). Надо

751

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

{S^α(x), Q_β(y)} = δ^αβ δ(x - y),

(4.4)

Что касается общих скобок (4.3), здесь также

можно поставить вопрос о дальнейшем приведении

их к канонической форме и, в частности, о разделе-

{Q_α(x), Q_β(y)} = Ω^iαβ(S_x) δ_xi (x - y)+

нии скобок для переменных (S(x), U(x)) и N(x). В

+ Γ^ijαβγ(S_x) Sγxixj δ(x - ^y)

действительности, такая возможность нередко воз-

никает в конкретных примерах и, в частности, в

(Γijαβγ ≡ Γjiαβγ).

теории медленных модуляций для многомерных си-

Тождества Якоби

стем. Можно показать, однако, что в самом общем

случае приведение скобок (4.3) к такой канониче-

{{Q_α(x) , Q_β(y)} , Q_γ (z)} + c.p. ≡ 0

ской форме с помощью преобразования «гидроди-

дают теперь соотношения

намического типа» невозможно [74].

В завершение отметим, что скобки (4.2) часто

δJ_αβ[S_x](x, y)

δJ_βγ[S_x](y, z)

δJ_γα[S_x](z, x)

≡0

имеют естественное продолжение и на расширен-

δS^γ(z)

δS^α(x)

δS^β(y)

ное фазовое пространство, в котором переменные

vαi = Sαxi могут считаться полностью независимы-

для функционалов J_αβ [S_x](x, y), означающих замк-

ми. Продолжения такого типа до некоторой степени

нутость 2-формы

естественно называть «завихрениями» скобок (4.2).

∫

Такие продолжения естественно возникают не толь-

J_αβ[S_x] (x, y)δS^α(x) ∧ δS^β(y)dⁿxdⁿy

ко, к примеру, в гидродинамике, при переходе от по-

тенциальных течений к завихренным, но и, напри-

на пространстве полей (S¹(x), . . . , S^m(x)).

мер, при описании движения сверхтекучих жидко-

Скобки (4.4) принадлежат к общему классу ско-

стей, несущих квантовые вихревые структуры внут-

бок, названных в [75] «вариационно допустимы-

ри своего объема, и др. Важные примеры таких «за-

ми». Вариацинно допустимая форма скобок Пуассо-

вихрений» скобок типа (4.2) приведены в работе [17].

на непосредственно связана с возможностью лагран-

жева описания соответствующих динамических сис-

тем и, как было показано в [75], такие скобки при-

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

водят в общем случае к нетривиальному лагранже-

ву представлению гамильтоновых систем, где функ-

В работе представлен краткий обзор скобок

ционал Лагранжа представляет собой 1-форму, об-

Пуассона гидродинамического типа и их специаль-

ладающую нетривиальными топологическими свой-

ных обобщений. Рассмотрены вопросы, связанные

ствами.

с различными формами таких скобок и, в частнос-

В нашем случае надо помнить, что при приведе-

ти, с представлениями, обобщающими канонические

нии скобки (4.4) к каноническому виду мы ограни-

формы скобок Пуассона в рассматриваемой ситуа-

чены лишь преобразованиями «гидродинамического

ции. Рассмотрена связь скобок гидродинамического

типа», представленными выше. Как было показано в

типа с теорией алгебр Ли в случаях одной и несколь-

работе [74], любая скобка (4.4) может быть локально

ких пространственных переменных. Особенно по-

приведена к каноническому виду

дробно описана связь рассматриваемых структур с

теорией интегрирования систем гидродинамическо-

{S^α(x), S^β(y)} = 0,

го типа в одномерном случае.

{S^α(x), Q_β(y)} = δ^αβ δ(x - y),

Финансирование. Исследование С. П. Н. вы-

{Q_α(x), Q_β(y)} = 0

полнено при поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (грант № 20-01-00157).

с помощью преобразования

Q_α(x) → Q_α(x) + f_α (S_x).

ЛИТЕРАТУРА

Как следствие, в этом случае соответствующая

гамильтонова система может быть записана также

1. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 11, 592 (1941).

в лагранжевой форме с лагранжианом «гидродина-

2. Г. Ламб, Гидродинамика, ОГИЗ, Москва (1947).

мического типа»:

∫ [

]

3. P. J. Morrison and J. M. Greene, Phys. Rev. Lett.

Q_α(X)S^αt - 〈P_H〉(S_x, Q(X)) dⁿxdt = 0,

45, 790 (1980).

752

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Скобки Пуассона гидродинамического типа и их обобщения

Б. И. Давыдов, ДАН СССР 69, 165 (1949).

27.

М. В. Павлов, Докл. РАН 339, 21 (1994).

И. М. Халатников, ЖЭТФ 23, 169 (1952).

28.

A. Ya. Maltsev and S. P. Novikov, Physica D 156, 53

(2001).

В. Л. Покровский, И. М. Халатников, Письма в

ЖЭТФ 23, 653 (1976).

29.

A. Ya. Maltsev, Int. J. Math. Math. Sci. 32, 587

(2002).

В. В. Лебедев, И. М. Халатников, ЖЭТФ 73, 1537

(1977).

30.

Л. В. Богданов, Е. В. Ферапонтов, ТМФ 116, 113

(1998).

I. M. Khalatnikov and V. V. Lebedev, Phys. Lett.

31.

V. Zakharov, In the book: Monographs AMS/MAA

A 61, 319 (1977).

Series, The Legacy of the Inverse Scattering

В. В. Лебедев, И. М. Халатников, ЖЭТФ 75, 2312

Transform in Applied Mathematics, Contemporary

(1978).

Mathematics, Vol.

301

(2002), DOI:http://dx.doi.

org/10.1090/conm/301.

10.

Г. Е. Воловик, В. С. Доценко (мл.), Письма в

ЖЭТФ 29, 630 (1979).

32.

О. И. Мохов, Фундамент. и прикл. матем. 21, 171

(2016).

11.

Г. Е. Воловик, В. С. Доценко (мл.), ЖЭТФ 78, 132

(1980).

33.

V. E. Zakharov, Duke. Math. J. 94, 103 (1998).

12.

E. A. Kuznetsov and A. V. Mikhailov, Phys. Lett.

34.

И. М. Кричевер, Функц. анализ и его прил. 31, 32

A 77, 37 (1980).

(1997).

13.

В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, УФН 167, 1137

35.

F. Magri, J. Math. Phys. 19, 1156 (1978).

(1997).

36.

B. A. Dubrovin, Nucl. Phys. B 379, 627 (1992).

14.

В. И. Арнольд, Математические методы класси-

37.

B. A. Dubrovin, arXiv: math.AG/9807034.

ческой механики, Наука, Москва (1974).

38.

B. A. Dubrovin and Y. Zhang, arXiv:math.DG/

15.

В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, в сб.

0108160.

Итоги науки и техники, Сер. Современные про-

блемы математики, Т. 3, ВИНИТИ, Москва (1985).

39.

B. Dubrovin, Si-Qi Liu, and Youjin Zhang, arXiv:

math.DG/0410027.

16.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, УМН 44, 29 (1989).

40.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, ДАН СССР 279,

17.

I. E. Dzyaloshinskii and G. E. Volovik, Ann. Phys.

294 (1984).

125, 67 (1980).

41.

В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,

18.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, ДАН СССР 270,

Л. П. Питаевский, Теория солитонов: метод об-

781 (1983).

ратной задачи, под ред. С. П. Новикова, Наука,

Москва (1980).

19.

А. А. Балинский, С. П. Новиков, ДАН СССР 283,

1036 (1985).

42.

О. И. Мохов, Е. В. Ферапонтов, Функц. анализ и

его прил. 28, 60 (1994).

20.

С. П. Царев, ДАН СССР 282, 534 (1985).

43.

B. Enriquez, A. Orlov, and V. Rubtsov, Письма в

21.

С. П. Царев, Изв. АН СССР, Сер. матем. 54, 1048

ЖЭТФ 58, 677 (1993).

(1990).

44.

Дж. Уизем, Линейные и нелинейные волны, Мир,

22.

О. И. Мохов, Е. В. Ферапонтов, УМН 45, 191

Москва (1977).

(1990).

45.

H. Flaschka, M. G. Forest, and D. W. McLaughlin,

23.

Е. В. Ферапонтов, Функциональный анализ и его

Comm. Pure Appl. Math. 33, 739 (1980).

приложения 25, 37 (1991).

46.

С. П. Новиков, Функциональный анализ и его при-

24.

Е. В. Ферапонтов, Функциональный анализ и его

ложения 8:3, 54 (1974).

приложения 26, 83 (1992).

47.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, ЖЭТФ 67, 2131

25.

Е. В. Ферапонтов, ТМФ 91, 452 (1992).

(1974).

26.

E. V. Ferapontov, Amer. Math. Soc. Transl. (2), 170,

48.

Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, ДАН СССР 219,

33 (1995).

531 (1974).

753

ЖЭТФ, вып. 4

А. Я. Мальцев, С. П. Новиков

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

49.

А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, ТМФ 23, 51 (1975).

62.

А. В. Гуревич, А. Л. Крылов, Г. А. Эль, Письма в

ЖЭТФ 54, 104 (1991).

50.

А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, Функц. анализ и его

прил. 9, 69 (1975).

63.

А. В. Гуревич, А. Л. Крылов, Г. А. Эль, ЖЭТФ

101, 1797 (1992).

51.

Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков,

УМН 31, 55 (187) (1976).

64.

Fei Ran Tian, Comm. Pure Appl. Math. 46, 1093

(1993).

52.

Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков,

ДАН СССР 229, 15 (1976).

65.

Т. Грава, УМН 54, 169 (1999).

53.

A. Ya. Maltsev, SIGMA 8, 103 (2012).

66.

Т. Грава, ТМФ 122, 58 (2000).

54.

A. Ya. Maltsev, Int. J. Math. Math. Sci. 30, 399

67.

T. Grava, Math. Phys. Anal. Geom. 4, 65 (2001).

(2002).

68.

T. Grava and Fei-Ran Tian, Comm. Pure Appl.

55.

Б. А. Дубровин, Функц. анализ и его прил. 24, 25

Math. 55, 1569 (2002).

(1990).

69.

С. П. Новиков, А. Я. Мальцев, УМН 48, 155 (1993).

56.

В. Л. Алексеев, УМН 50, 165 (1995).

70.

А. Я. Мальцев, М. В. Павлов, Функц. анализ и его

57.

А. В. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 65, 590

прил. 29, 7 (1995).

(1973).

71.

A. Ya. Maltsev, J. Math. Phys. 56, 023510 (2015).

58.

А. В. Гуревич, Л. П. Питаевский, ЖЭТФ 93, 871

(1987).

72.

О. И. Мохов, Функциональный анализ и его при-

ложения 22, 92 (1988).

59.

В. В. Авилов, И. М. Кричевер, С. П. Новиков,

ДАН СССР 295, 345 (1987).

73.

О. И. Мохов, Функциональный анализ и его при-

ложения 42, 39 (2008).

60.

И. М. Кричевер, Функц. анализ и его прил. 22, 37

(1988).

74.

A. Ya. Maltsev, J. Math. Phys. 57, 053501 (2016).

61.

Г. В. Потёмин, УМН 43, 211 (1988).

75.

С. П. Новиков, УМН 37, 3 (1982).

754