ЖЭТФ, 2021, том 159, вып. 4, стр. 735-739

КОМБИНИРОВАННЫЕ ДЕФЕКТЫ

В ФЕРРОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ НЕМАТИКАХ

Е. И. Кац^*

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

142432, Черноголовка, Московская обл., Россия

Поступила в редакцию 12 октября 2020 г.,

после переработки 19 октября 2020 г.

Принята к публикации 19 октября 2020 г.

Весьма важная и влиятельная идея о так называемых комбинированных топологических дефектах, была

предложена впервые в космологии (см., например, основополагающую работу [1]) для описания возник-

новения различных топологических дефектов на ранних стадиях эволюции вселенной. Эта идея позднее

была детально разработана теоретически и подтверждена тонкими экспериментами на сверхтекучем

гелии-3, проведенными группой исследователей из Лаборатории Низких Температур в Хельсинки и инс-

титутов физических проблем им. П. Л. Капицы и теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской

академии наук. В настоящей публикации, мотивированной именно этими исследованиями, возможность

таких комбинированных дефектов иллюстрируется на значительно менее экзотическом примере жидких

кристаллов.

Статья для специального выпуска ЖЭТФ, посвященного 90-летию И. Е. Дзялошинского

DOI: 10.31857/S0044451021040179

кристаллов вплоть до первых десятилетий 21-ого ве-

ка. Однако сказанное выше не означает, что фун-

даментальная наука о жидких кристаллах закон-

1. ВВЕДЕНИЕ

чена и единственной мотивацией для продолжения

изучения жидких кристаллов остались многообеща-

Для меня участие в этом юбилейном выпуске

ющие практические приложения жидких кристал-

ЖЭТФ не только большая честь и возможность вы-

лов. Фундаментальная физика жидких кристаллов

сказать свое поздравление И. Е. Дзялошинскому.

совсем не закончена. Более того, обнаруживаются

Фактически, именно И. Е. Дзялошинский внедрил

и идентифицируются новые типы жидких кристал-

в отечественную науку (и проиллюстрировал в се-

лов (например, нематики с модулированной струк-

рии работ в 70-ые годы прошлого 20-ого века) поня-

турой, так называемые twist-bend, в основном состо-

тие о жидких кристаллах как объекта, подлежаще-

янии которого имеется ненулевая деформация кру-

го изучению методами теоретической физики. По-

чения (twist) и поперечного изгиба (bend) поля ди-

этому работа о жидких кристаллах, направленная

ректора), см., например, [7,8]. Еще более впечатляет

в данный юбилейный сборник, является для меня

открытие ферроэлектрического нематика N_F [9,10].

естественным выражением благодарности юбиляру,

Интересно отметить, что возможность существова-

от которого автор впервые узнал об их существова-

ния такой системы была предсказана теоретически

нии.

более 100 лет тому назад, одним из создателей кван-

С тех пор жидкие кристаллы уже перестали

товой механики М. Борном [11], однако до работы [9]

быть просто промежуточным состоянием некото-

все попытки экспериментального обнаружения N_F

рых органических веществ. Многочисленные обзо-

были неудачны.

ры и монографии (см., например, [2-6] и цитиро-

ванную там литературу), могут быть использованы

Разумеется, это открытие [9] стимулирует много

для ознакомления с достижениями физики жидких

новых исследований, посвященных ферроэлектри-

ческим нематикам. Собственно, некоторые возмож-

^* E-mail: efim.i.kats@gmail.com

ные направлениях таких работ обсуждаются авто-

735

Е. И. Кац

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

рами публикаций [9, 10]. Данная статья посвяще-

где Z₂ — это группа из двух элементов, e и e² = 1.

на одному из таких направлений. Дело в том, что

Основная и обманчиво простая идея о применении

в системах с несколькими типами упорядочения с

теории гомотопии к описанию топологических де-

нетривиальными пространствами вырождения со-

фектов сводится к наблюдению за изменением фи-

ответствующих параметров порядка возможно су-

зического параметра порядка на замкнутом конту-

ществование так называемых комбинированных де-

ре (размерности n), окружающем изучаемый де-

фектов (отметим, что об этом факте упомянуто в

фект. При этом топология дефекта определяется со-

комментарии Лаврентовича [10]). Многочисленные

ответствующим элементом π_n фундаментальной го-

примеры этих комбинированных дефектов (возни-

мотопической группы. Фундаментальные гомотопи-

кающих в таких, казалось бы, далеких друг от дру-

ческие группы для P² (см., например, [14]) таковы:

га объектах, как бесконечная вселенная или сверх-

π₁(P²) = Z₂, π₂(P²) = Z ,

(2)

текучий He-3 в нанопористой матрице) приведены

и проанализированы в работах [12, 13]. В этой за-

где Z

— группа целых чисел. Отсюда следует,

метке будет предложен еще один пример системы с

что в нематической фазе возможны топологичес-

комбинированными дефектами, но уже, так сказать,

ки стабильные линейные дефекты (дисклинации)

из обыденного мира существующих при комнатных

с полуцелыми топологическими зарядами ±1/2 и

температурах жидких кристаллов.

нуль-мерные дефекты (монополи, называемые в

нематиках ежами) с целочисленными топологиче-

скими зарядами ±N. Эквивалентность (или не эк-

2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ДЛЯ

вивалентность) ежей с разноименными зарядами за-

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДОВ

висит от наличия в системе дисклинаций.

I -N -NF

В полярной фазе N_F дискретная симметрия n →

→ -n нарушена. Соответственно пространство вы-

Для системы, о которой пойдет речь в данной ра-

рождения полярного параметра порядка это сфера

боте, существенно наличие двух относительно близ-

S². Соответственно фундаментальные гомотопиче-

ких слабых (т. е. близких к непрерывным) фазовых

ские группы в этом случае

переходов первого рода: I-N (где I — изотропная

π₁(S²) = 0, π₂(S²) = Z,

(3)

жидкость, обладающая полной трехмерной симмет-

рией вращений и трансляций, а N — нематичес-

однако теперь положительные и отрицательные за-

кий жидкий кристалл), где эта исходная полная

ряды ежей определены одназначно, так как то-

симметрия понижается до одноосной вращательной

пологически стабильные линейные дефекты (пер-

симметрии D_∞h (вращений на произвольный угол

вая фундаментальная гомотопическая группа три-

вокруг одной выделенной оси, задаваемой единич-

виальна) вообще отсутствуют.

ным вектором n (n ≡ -n) директором при сохране-

На этом месте можно было бы закончить описа-

нии полной трансляционной симметрии). Следую-

ние топологических дефектов в фазах N и N_F , если

щий при понижении температуры фазовый переход

бы оба перехода I-N и I-N_F были бы полностью

в ферроэлектрическую фазу N_F нарушает аполяр-

независимы друг от друга. Однако из того обстоя-

ную симметрию директора n ≡ -n. Фактически, по

тельства, что оба фазовых перехода не изолирова-

определению абсолютной температуры T , оба пере-

ны, следует, что нематический директор, сохраняя

хода в существующих при комнатных температурах

часть своей свободы, может быть определен и в фа-

(T ≃ 300 K) жидких кристаллах близки, так как

зе N_F . При конечной энергии зацепления директора

области стабильности фаз ΔT ≃ (20-50) K всегда

n и ферроэлектрической поляризации P

удовлетворяет неравенству ΔT < T .

F_int = γ_int(n · P)² ,

(4)

Все возможные топологические дефекты, суще-

ствующие в нематической фазе N и в ферроэлект-

в N_F можно ввести характерный пространственный

рической фазе N_F , хорошо изучены и известны [15].

масштаб

Пространство вырождения параметра порядка в фа-

√

ξ_int =

K/γ_int ,

(5)

зе N является проективной плоскостью P², (т. е.

сфера, факторизованная из-за аполярной симмет-

где K — модуль ориентационной упругости Франка

рии n → -n по антиподальным точкам):

[2]. Соответственно на масштабах r < ξ_int нематиче-

ский директор сохраняет свои степени свободы и, та-

P² = S²/Z₂ ,

(1)

ким образом, существует возможность образования

736

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

Комбинированные дефекты в ферроэлектрических нематиках

линейных сингулярностей (дисклинаций). Однако в

Следовательно, все топологически защищенные в

фазе N_F первая фундаментальная гомотопическая

нематической фазе объекты сохраняют свои топо-

группа π₁ тривиальна и потому свободные дискли-

логические заряды и в ферроэлектрической нема-

нации не могут быть топологически стабильными.

тической фазе N_F .

Однако при фазовом переходе N-N_F нарушается

В общем случае проведенное выше простое рас-

дискретная группа симметрии n → -n. Такое нару-

смотрение не позволяет различить, какие из этих

шение симметрии может приводить к наличию двух

дефектов могут существовать сами по себе (т. е. как

вырожденных состояний системы, что приводит к

свободные), а какие обязаны быть связаны в комби-

возможности существования в фазе N_F доменных

нированные дефекты. Полный анализ требует зна-

стенок. В свою очередь, эти доменные стенки могут

ния точной последовательности относительных го-

топологически «защитить» дисклинации, связыва-

мотопических групп. В такой последовательности

ющие доменные стенки.

относительные гомотопические классы πk+1(R₁, R₂)

Интересно отметить, что космологическая ди-

отображаются в гомотопические классы меньшей

намика такого рода дефектов (струн топологичес-

размерности π_k(R₂). Однако в нашем случае свобод-

ки защищенных доменными стенками) была изу-

ные дисклинации в фазе N_F запрещены (π₁(S²) = 0)

чена в рамках калибровочных моделей в работах

и потому допустимы только комбинированные де-

[16, 17]. Вне зависимости от конкретных характе-

фекты: дисклинации, связывающие доменные стен-

ристик физической системы такой комбинирован-

ки.

ный дефект требует для своего описания использо-

Имеется также и другой тип комбинированных

вания так называемых относительных гомотопичес-

дефектов. Поскольку для обоих многообразий (R₁

ких групп, краткое описание которых будет пред-

R₂) гомотопическая группа π₂ не тривиальна, в фа-

ставлено в следующем разделе.

зе N_F возможны два типа монополей (ежей): сво-

бодные ежи с однозначно определяемой их тополо-

гическим зарядом структурой π₂(S²) = Z, а также

3. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ

ГРУППЫ ДЛЯ ОПИСАНИЯ

комбинированные дефекты.

КОМБИНИРОВАННЫХ ДЕФЕКТОВ В

Хотя в принципе можно себе представить конфи-

ФЕРРОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ НЕМАТИКЕ NF

гурацию полей директора и вектора электрической

Возможность комбинированных дефектов свя-

поляризации, в которой точечный дефект (еж) огра-

ничивает линейный дефект (дисклинацию), такой

зана с существованием вблизи фазового перехода

N_F -N двух пространственных (и энергетических)

комбирированный дефект не является топологичес-

ки устойчивым (только энергетические соображе-

масштабов, на которых имеют место отличные друг

от друга симметрии пространств вырождения R₁ и

ния, связанные с анизотропной энергией Франка

или энергией диполь-дипольного взаимодействия,

R₂. Для описания объектов инвариантных на обо-

их многоообразиях R₁ и R₂ используются относи-

могут стабилизировать такой не топологический

тельные гомотопические группы π_n(R₁, R₂). В рабо-

комбинированный дефект). Однако существует дру-

гая возможность. Если в нематическом жидком кри-

те [12] была предложена элегантная процедура вы-

числения относительных гомотопических групп. А

сталле присутствуют одновременно точечные и ли-

нейные дефекты (ежи и дисклинации), то при об-

именно, для интересующего нас случая с двумя фа-

зовыми переходами I-N и N-N_F пространство вы-

ходе вокруг дисклинации еж превращается в анти-

ежа (меняется знак топологического заряда, см., на-

рождения

R₁ = G/S²,

пример, [15]). В ферроэлектрическом нематическом

жидком кристалле такое преобразование с измене-

где G — первичная (исходная) группа симметрии

нием знака точечного дефекта (ежа) требует пересе-

изотропной жидкости. С другой стороны,

чения доменной стенки (топологически стабильной

R₂ = P²/S²

в фазе N_F ). Я благодарю рецензента этой работы,

указавшему на это обстоятельство. Многочисленные

и, следовательно,

примеры аналогичных топологически защищенных

R₁/R₂ = GS²/S²P² = G/P² .

(6)

комбинированных дефектов (образующих в сверхте-

кучем He-3 и некоторых космологических теориях

Таким образом, мы находим, что

«бусы» струн и монополей) могут быть найдены в

π_n(R₁, R₂) ≃ π_n(P²) .

(7)

работах [18-20].

737

ЖЭТФ, вып. 4

Е. И. Кац

ЖЭТФ, том 159, вып. 4, 2021

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

поляризацией (и из-за взаимодействия (4) также и

к модуляции директора n). Так называемая splay

Изучены комбинированные топологические де-

нематическая фаза [22], является одной из возмож-

фекты на примере недавно открытого ферроэлек-

ных структур, возникающих из-за упомянутой выше

трического жидкого кристалла. Показано, что воз-

неустойчивости однородного ферроэлектрического

можно существование таких комбинированных де-

нематика. Однако описанная в этой работе класси-

фектов двух типов: дисклинаций, связывающих до-

фикация комбинированных дефектов применима и

менные стенки, и цепочек монополей (ежей) с их

в этом случае.

зеркальными отображениями в доменных стенках —

антимонополями (антиежами). На момент написа-

Благодарности. Я глубоко признателен

ния этой статьи, насколько это известно автору,

Г. Е. Воловику за подробные обсуждения идеологии

нет экспериментального подтверждения существо-

комбинированных топологических дефектов, сти-

вания комбинированных дефектов в ферроэлектри-

мулировавшие эту работу.

ческом нематике. На теоретическом фронте также

остаются открытыми интересные вопросы о динами-

ке комбинированных дефектов, их взаимодействии

ЛИТЕРАТУРА

друг с другом, со свободными дефектами и мягкими

(гидродинамическими) степенями свободы жидкого

T. W. Kibble, J. Phys. A Math. Gen. 9, 1387 (1976).

кристалла. Практически не изучены (и не только

P. G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid

в жидких кристаллах, а вообще в физике упорядо-

Crystals, Clarendon Press, Oxford (1993).

ченных конденсированных сред) структуры, связан-

P. Oswald and P. Pieranski, Smectics and Columnar

ные с редко обсуждаемыми в физической литера-

Liquid Crystals, Taylor and Francis, New York

туре фундаментальными гомотопическими группа-

(2006).

ми высшего чем n = 2 порядка. Среди них особый

М. Клеман, О. Д. Лаврентович, Основы физики

интерес именно для жидких кристаллов представ-

частично упорядоченных сред, Физматлит, Моск-

ляет гомотопическая группа π₃. Дело в том, что

ва (2007).

π₃ описывает топологию так называемых текстур,

т. е. неоднородных распределений параметра поряд-

I.-C. Khoo, Liquid Crystals (2d edition), Wiley, New

ка, поэтому строго говоря не дефектов, но не своди-

York (2007).

мых малыми деформациями к тривиальным конфи-

L. M. Blinov, Structure and Properties of Liquid

гурациям. Вспомогательная и непростая задача это

Crystals, Springer, New York (2011).

вычисление гомотопической группы π₃. Например,

A. Mertelj, L. Cmok, N. Sebastian, R. J. Mandle,

для пространства вырождения S² известен резуль-

R. R. Parker, A. C. Whitwood, J. W. Goodby, and

тат Хопфа π₃(S²) = Z (и целые числа, заряды Z,

M. Copic, Phys. Rev. X 8, 041025 (2018).

называются инвариантами Хопфа). Изучение этого

круга вопросов выходит за рамки данной работы и

M. Chiappini, T. Drwenski, R. van Roij, and M. Dijk-

stra, Phys. Rev. Lett. 123, 068001 (2019).

является предметом отдельного рассмотрения.

Отметим в заключение, что нематическая фер-

Xi Chen, E. Korblova, D. Dong, X. Wei, R. Shao,

роэлектрическая фаза с однородной поляризацией

L. Radzihovsky, M. Glaser, J. E. Maclennan, D. Bed-

может оказаться неустойчивой по отношению фазы

rov, D. M. Walba, and N. A. Clark, Proc. Natl. Acad.

с модулированной поляризацией [21]. Дело в том,

Sci. USA 117, 14021 (2020).

что для полярного и четного по отношению к ин-

10.

O. D. Lavrentovich, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 117,

версии времени вектора электрического дипольно-

14629 (2020).

го момента всегда имеет место диполь-флексо-ди-

11.

M. Born, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 30, 614

поль-взаимодействие вида

(1916).

F_fp = β₁P²(∇P) + β₂P∇(P²).

(8)

12.

G. E. Volovik and K. Zhang, Phys. Rev. Res. 2,

023263 (2020).

Такое взаимодействие (запрещенное симметрией по

13.

J. T. Makinen, V. V. Dmitriev, J. Nissinen, J. Rysti,

отношению к обращению времени в ферромагнети-

G. E. Volovik, A. N. Yudin, K. Zhang, and V. B. El-

ках) при достаточно большой величине коэффици-

tsov, Nature Communications 10, 237 (2019).

ентов взаимодействия β₁ и β₂ приводит к энерге-

тической выгодности структур с модулированной

14.

G. E. Volovik, Письма в ЖЭТФ 109, 509 (2019).

738