ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 6 (12), стр. 1181-1187

ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ

ЭНЕРГИИ В ДВУХСЛОЙНЫХ СИСТЕМАХ НЕИДЕНТИЧНЫХ

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

О. С. Ваулинаa,b*, С. В. Кауфман^a, И. И. Лисина^a,b

^a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

141700, Долгопрудный, Московская обл., Россия

^b Объединенный институт высоких температур Российской академии наук

125412, Москва, Россия

Поступила в редакцию 18 февраля 2020 г.,

после переработки 18 июня 2020 г.

Принята к публикации 8 июля 2020 г.

Исследуются условия энергетического обмена в двухслойных ансамблях с двумя разделенными фракция-

ми неидентичных частиц разных размеров, зарядов и температур. Выполнен численный анализ процессов

перераспределения стохастической энергии между различными фракциями частиц, имеющих различную

температуру, в таких системах. Рассмотрено перераспределение стохастической энергии по степеням сво-

боды.

DOI: 10.31857/S0044451020120160

(где Q — заряд частиц, l — расстояние, а λ — длина

экранирования), исследовались ранее в различных

численных и теоретических работах [10, 16-20].

1. ВВЕДЕНИЕ

Большая часть теоретических и численных ра-

бот, посвященных исследованию свойств пылевой

плазмы, имеют дело с идентичными пылевыми час-

Исследования процессов энергетического обме-

тицами, поскольку такие системы легче поддают-

на в системах взаимодействующих частиц вызывает

ся математическому описанию и более просты для

значительный интерес в различных областях науки

понимания. Тем не менее в реальных условиях пы-

и техники (физике плазмы, биологии, физике по-

левые структуры редко содержат идентичные час-

лимеров и т. д.) [1-5]. Ряд актуальных задач каса-

ется особенностей физических характеристик в ан-

тицы. Даже в случае лабораторных исследований

монодисперсные пылевые частицы могут иметь раз-

самблях неидентичных частиц, имеющих различные

личную величину заряда и/или стохастической ки-

заряды, размеры, диэлектрическую проницаемость

нетической энергии в зависимости от их простран-

и т. д. [1-9].

ственного положения [1, 2].

Образование квазидвумерных плазменно-пыле-

Большинство лабораторных исследований пыле-

вых систем, состоящих из нескольких (от одного до

вой плазмы проводится в газовых разрядах раз-

десятков) протяженных слоев заряженных пылевых

личных типов [10-15, 21, 22]. Стохастическая кине-

частиц (макрочастиц), часто наблюдается в усло-

тическая энергия пылевых частиц (их «кинетичес-

виях лабораторной пылевой плазмы ВЧ-разряда

кая температура») в таких условиях может дости-

[10-15]. Процессы формирования протяженных сло-

гать 0.2-5 эВ. Механизмы такого аномального разо-

ев идентичных макрочастиц, взаимодействующих с

грева пылевых частиц обычно связывают с вре-

экранированным потенциалом

менными и/или пространственными изменениями

их зарядов или положения в объеме неоднородной

U = Q2 exp(-l/λ)/l

плазмы [23-27]. Поскольку заряд пылевой частицы

определяется локальными параметрами плазмы в ее

^* E-mail: olga.vaulina@bk.ru

окрестности, мощность источников подкачки энер-

1181

О. С. Ваулина, С. В. Кауфман, И. И. Лисина

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

гии, а соответственно, и кинетическая температура

разных размеров и температур в поле тяжести. (От-

частицы могут существенно изменяться в простран-

метим, что основные причины формирования раз-

стве [1,2]. Источниками неравномерного нагрева си-

дельных фракций для частиц разных размеров в

стемы частиц также могут являться неоднородное

условиях микрогравитации обычно связывают с на-

распределение температуры окружающего газа, ла-

личием термофоретических сил, или сил ионного

зерное излучение, используемое для диагностики и

увлечения [1,2,28-30].)

т. д.

Флуктуации зарядов пылевых частиц, вызван-

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ

ные случайной природой ионных и электронных то-

СЛУЧАЯ ДВУХ ЧАСТИЦ

ков, заряжающих эти частицы, присущи любым ти-

пам плазмы [1, 2]. В условиях лабораторной газо-

На настоящий момент аналитическое решение

разрядной плазмы дополнительная стохастическая

задачи для неидентичных частиц, имеющих раз-

кинетическая энергия для отдельной пылевой час-

личные размеры, массы, заряды и температуру, су-

тицы, связанная с этими флуктуациями, составля-

ществует только для случая двух частиц в линей-

ет ΔT_f

∝ QE²/M [1, 23-25], где E — напряжен-

ном электрическом поле E(r, z) ловушки с цилин-

ность электрического поля в анализируемой систе-

дрической симметрией [8, 9] (с радиальной состав-

ме, необходимая для равновесного положения час-

ляющей E_r = β_rr и вертикальной составляющей

тицы с зарядом Q и массой M в поле действующих

E_z = E0z +β_zz). Здесь r ≡ (x² +y²)1/2 — радиальная

сил. В микрогравитации величина ΔT_f определяет-

координата, z -- вертикальная координата по оси

ся флуктуациями зарядов окружающих частиц пы-

z в направлении силы тяжести, β_r и β_z — величи-

левого облака,

ны градиентов электрического поля, а значение E

определяется балансом сил, действующих в системе.

E ≈ E_int ∼ Q/d²,

Остановимся на случае вертикальной конфигурации

частиц, см. рис. 1.

где d

— среднее расстояние между частицами.

Для двух частиц с разной массой, M₁ = M₂, и за-

Для наземных экспериментов, где основной внеш-

рядами Q₁ = Q₂, в условиях наземных эксперимен-

ней неэлектрической силой является сила тяжести,

тов (где нельзя пренебречь силой тяжести) условия

E ≈ E_int + E_ext, где E_ext ≈ gM/Q.

баланса сил дают [8,9]

Отсутствие простых теоретических моделей

для описания энергетического баланса в системах

g(M₁Q₂ - M₂Q₁) + Q₁Q₂β_z d = (Q₁ + Q₂)F,

(1)

неидентичных заряженных частиц с неоднородным

распределением тепловых источников (источников

где F — сила взаимодействия между частицами.

их стохастической кинетической энергии) затруд-

В случае, когда T⁰¹

= T⁰², где T01(2) — энер-

няет анализ процессов передачи тепла в реальных

гия тепловых источников (которая при числен-

системах.

ном моделировании задачи соответствует их за-

В настоящей работе речь пойдет о механизме

переноса тепла, который не связан с процессами

массопереноса и возникает за счет передачи стоха-

стических колебаний отдельных частиц вблизи их

равновесного положения, что невозможно без вза-

имодействия между частицами системы. Особенно-

сти энергетического обмена в ансамблях неидентич-

ных частиц рассматриваются для условий близких

к условиям лабораторных экспериментов в газораз-

рядной плазме. Представлены аналитические соот-

ношения для случая двух взаимодействующих час-

тиц, которые могут быть полезны для анализа ка-

чественной картины энергетического обмена меж-

ду частицами в протяженных системах. Рассмотре-

Рис. 1. Вертикальная конфигурация двух неидентичных

ны условия перераспределения стохастической ки-

заряженных частиц в электрическом поле ловушки E =

нетической энергии в двухслойных ансамблях с дву-

= E(z,r) с цилиндрической симметрией

мя разделенными фракциями неидентичных частиц

1182

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перераспределение стохастической кинетической энергии...

данной/начальной температуре), уравнения балан-

са энергии можно записать как [8,9]

δT₁ = b²ΔT/(Cν₁),

(2a)

δT₂ = -b²ΔT/(Cν₂).

(2b)

Здесь ΔT = T⁰² - T⁰¹, δT₁₍₂₎ = T₁₍₂₎ - T⁰¹⁽²⁾ — прира-

щение температуры в процессе установления равно-

весия, T₁₍₂₎ — температура частиц для равновесного

состояния системы, а коэффициент C имеет вид

(a₂M₁ - a₁M₂)

b²(ν₁ + ν₂)

C =

(ν₁ + ν₂)M₁M₂

ν₁ν₂

- (a₂ν₁M₁ + a₁ν₂M₂),

(3)

где ν₁₍₂₎ — коэффициенты трения частиц за счет их

столкновений с нейтральными атомами окружаю-

щего газа. При этом для вертикальных смещений

Рис. 2. Зависимости (δT1 - δT2)/2ΔT от ω1/ν1 для двух

частиц при их смещениях в вертикальном (1, 3) и в ра-

частиц в направлении оси z коэффициент

диальном (2, 4) направлениях при βr/βz = 4,

< T⁰² и

d = 0.1 см для M1 = M2 (черные линии) и M2 = 2M1

a₁₍₂₎ = -(Q₁₍₂₎β_z - F^′), b = -F^′,

(серые линии)

а для их радиальных смещений в плоскости xy

a₁₍₂₎ = -(Q₁₍₂₎β_r - F/d), b = F/d.

Иллюстрация зависимостей (δT₁ - δT₂)/ΔT от

ω₁/ν₁, где ω₁ = (Q²¹/d³M₁)1/2, описывающая пере-

Здесь d — расстояние между частицами, F^′ — произ-

распределение энергии в вертикальном и радиаль-

водная силы взаимодействия между частицами в на-

ном направлениях, для двух частиц с кулоновским

правлении оси z. Для кулоновского взаимодействия

взаимодействием при β_r/β_z = 4, T⁰¹ < T⁰² показана

на рис. 2.

F = Q₁Q₂/d², F^′ = -2Q₁Q₂/d³.

Для двух идентичных частиц (Q₁₍₂₎ = Q, M₁₍₂₎ =

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО

= M, ν₁₍₂₎ = ν, a₁₍₂₎ = a) уравнения баланса энер-

МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

гии (2a), (2b) в случае вертикальной конфигурации

Численное исследование процессов энергетиче-

можно записать как [8, 9]

ского обмена выполнялось методом молекулярной

δT₁₍₂₎ = ±b²ΔT/2(b² - ν²Ma).

(4)

динамики Ланжевена для частиц, взаимодейству-

ющих с кулоновским потенциалом, в анизотроп-

В этом случае δT₁ = -δT₂, а при b² ≫ -ν²Ma

ном электрическом поле ловушки с цилиндрической

величина |δT₁₍₂₎| → |ΔT|/2, т. е. энергия равномер-

симметрией. Техника моделирования подробно опи-

но распределяется между частицами системы; при

сана в работах [1,2].

ν → ∞ величина |δT₁₍₂₎| → 0.

Моделирование проводилось для двухслойных

Здесь и далее для теоретических и численных

ансамблей с двумя разделенными фракциями

расчетов мы будем полагать, что плотность мате-

неидентичных частиц разных размеров и темпе-

риала ρ одинакова для различных фракций частиц,

ратур в поле тяжести. Число частиц в каждой

ρ₁ = ρ₂, т.е. отношение их масс M₁/M₂ ∝ (ad1/ad2)³,

из фракций (N₁, N₂) менялось от 50 до 300. От-

где a_di — радиус частицы. Заряды частиц задава-

ношения масс M₂/M₁ изменялись от 1.15 до 1.5,

лись согласно приближению ограниченных орбит

что соответствовало изменению радиусов частиц

(orbit motion limited): Q_i ∝ a_di [1,2], а их коэффици-

ad2/ad1

от

1.05

до 1.15. Отношения температур

енты трения согласно свободно-молекулярному при-

тепловых источников T⁰²/T⁰¹ (или T⁰¹/T⁰²) для час-

ближению ν_i ∝ a2di/M_i [31].

тиц различных фракций изменялись от одного до

1183

О. С. Ваулина, С. В. Кауфман, И. И. Лисина

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

десяти. Заряды и коэффициенты трения задавались

соответственно как Q_i ∝ a_di и ν_i ∝ a-1di, i = 1, 2.

Отношение β_z/β_r варьировалось примерно от

до 20. Величина отношения ω₁₍₂₎/ν₁₍₂₎ изменялась

примерно от 0.5 до 100, где

ω₁₍₂₎ = (Q²¹⁽²⁾/l3pM₁₍₂₎)1/2, l_p = (d² + r_p/4)1/2.

Здесь d — расстояние между слоями частиц разных

фракций, а r_p — среднее расстояние между заря-

женными частицами в слое.

При выбранных параметрах численного модели-

рования величина d составляла около 0.1 см, а r_p

изменялось от 0.05 см до 0.1 см; при этом ω₁/ν₁ ≈

≈ ω₂/ν₂ с точностью до 5 %.

3.1. Перераспределение стохастической

энергии между различными фракциями

частиц с разной температурой

Для анализа процессов перераспределения сто-

хастической энергии между различными фракция-

ми частиц, имеющих различную температуру, тем-

пература тепловых источников T⁰¹⁽²⁾ варьировалась

в пределах примерно от 0.2 эВ до 2 эВ и задавалась

Рис. 3. Иллюстрация положений частиц при N

= 300

одинаковой по степеням свободы (T0(x)i = T0(y)i =

(N1 = 150, N2 = 150) для

/T⁰¹ = 4, и ω1/ν1 ≈ 0.7.

= T0(z)i ≡ T0i, где i = 1,2); при этом температура

Белыми символами показаны частицы массой M1, серы-

тяжелых частиц была больше: T⁰² > T⁰¹.

ми — массой M2 = 1.3M1: а — вид сбоку, б — вид сверху

Иллюстрация положений частиц различной мас-

сы в моделируемой системе при N = 300 (N₁ = 150,

N₂ = 150) для T⁰²/T⁰¹ = 4, и ω₁/ν₁ ≈ 0.7 показана на

рис. 3, парные корреляционные функции g(r) для

частиц в каждом из слоев для тех же параметров

задачи приведены на рис. 4.

В процессе моделирования начальная стохасти-

ческая кинетическая энергия (энергия источников)

перераспределялась от более горячих частиц к ме-

нее горячим. Во всех случаях наблюдаемые распре-

деления скоростей частиц были близки к максвел-

ловским функциям, а их температура была практи-

чески однородна в пределах каждого слоя. Зависи-

мость кинетических температур для частиц разной

массы от расстояния до центра для ω₁/ν₁ ≈ 0.7 и

ω₁/ν₁ ≈ 28 в вертикальном направлении (по оси z)

и в горизонтальной плоскости [x;y] представлена на

рис. 5.

Отметим, что в отличие от случая двух частиц

(см. [9] и рис. 2), фиксировалось равномерное пере-

распределение энергий по степеням свободы:

Рис. 4. Парные корреляционные функции g(r) разной мас-

сы M1 (черная линия) и M2 = 1.3M1 (серая линия) от

T(x)i ≈ T(y)i ≈ T(z)i,

расстояния r/rp при

/T⁰¹ = 4 и ω1/ν1 ≈ 0.7

где i = 1, 2. Данное обстоятельство может быть свя-

зано с интенсивным перераспределением стохасти-

1184

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перераспределение стохастической кинетической энергии...

Рис. 6. Зависимости |δT |/ΔT от ω1/ν1 для заряженных

частиц с кулоновским взаимодействием. Показана абсо-

лютная погрешность расчетов — 0.025

тальной плоскости xy показаны на рис. 6. Абсолют-

ная погрешность расчетов составляла около 0.025.

3.2. Перераспределение стохастической

энергии по степеням свободы

Для исследования процессов перераспределения

стохастической энергии по степеням свободы для

двух различных фракций частиц температура теп-

ловых источников варьировалась в пределах при-

мерно от 0.2 эВ до 2 эВ и задавалась как

Рис. 5. Зависимость отношения кинетических температур

Ti(r)/

для частиц разной массы M1 (белые символы —

T0(x)1 = T0(y)1 = T0(x)2 = T0(y)2 ≡ T0(r),

T1(r)/

) и M2 (серые символы — T2(r)/

) от расстоя-

ния r/rp до центра ловушки при M2/M1 = 1.3,

/T⁰² = 4:

T0(z)1 = T0(z)2 ≡ T0(z),

а — ω1/ν1 ≈ 0.7, б — ω1/ν1 ≈ 28. Сплошные черные линии

показывают заданные температуры частиц (T0i(r)/T⁰², где

где T0(z) > T0(r).

i = 1,2), пунктир — {T02 (r) - T01 (r)}/T02 , треугольники —

В процессе моделирования начальная стохасти-

T(r) в вертикальном направлении (по оси z), кружки —

ческая кинетическая энергия (энергия источников)

T(r) в горизонтальной плоскости xy

перераспределялась по степеням свободы от высо-

ких температур к более низким температурам. Во

всех случаях наблюдаемые распределения скорос-

ческой кинетической энергии по степеням свободы,

тей частиц были близки к максвелловским функ-

невозможным для случая двух частиц.

циям, а их температура по степеням свободы была

Во всех рассмотренных случаях (50 ≤ N₁ = N₂ ≤

практически однородна в пределах каждого слоя.

При всех рассмотренных параметрах численного

≤ 300, 1.15 ≤ M₂/M₁ ≤ 1.5, 0.5 ≤ r_p/d ≤ 1) вели-

моделирования величина перераспределяемой энер-

чина перераспределяемой энергии δT₂ ≈ -δT₁ бы-

гии δT(z)

= -(T(z)1 - T(z)0) ≈ -(T(z)2 - T(z)0) бы-

ла пропорциональна ΔT = (T⁰² - T⁰¹) и определя-

ла пропорциональна разнице температур Δ^cT

лась отношением ξ ≡ ω₁/ν₁ ≈ ω₂/ν₂. Зависимости

= (T0(z) - T0(r)) и определялась отношением ξ ≡

|δT |/ΔT ≡ δT(z) ≈ δT(x) ≈ δT(y) от ω/ν₁ для за-

ряженных частиц с кулоновским взаимодействием

≡ ω₁/ν₁ ≈ ω₂/ν₂; при этом δT(z) ≈ 2(T(r)1 - T0(r)) ≈

в вертикальном направлении по оси z и в горизон-

≈ 2(T(r)2 - T0(r)) ≡ 2δT(r).

1185

ЖЭТФ, вып. 6 (12)

О. С. Ваулина, С. В. Кауфман, И. И. Лисина

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

для протяженных и ограниченных слоев заряжен-

ных частиц. Абсолютная погрешность расчетов для

различных отношений масс частиц M₂/M₁ и значе-

ний параметров экранирования κ составляла не бо-

лее 0.018.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование процессов энергетиче-

ского обмена в диссипативных системах неиден-

тичных взаимодействующих частиц с неоднород-

ным распределением источников тепла и/или лю-

бых других источников стохастической кинетиче-

ской энергии. Рассмотрена теоретическая модель

для анализа энергетического баланса в таких систе-

мах, описывающая перераспределение стохастиче-

Рис. 7. Зависимости |δT(z)|/Δ^cT = |2δT(r)|/Δ^cT от ω1/ν1

ской кинетической энергии между двумя неидентич-

для двух ограниченных (белые символы) и двух протяжен-

ными частицами разных размеров, зарядов и темпе-

ных (серые символы) слоев заряженных частиц при 1 ≤

ратур.

≤ M2/M1 ≤ 1.5. Сплошной черной линией показана ап-

Изучены условия энергетического обмена в двух-

проксимация (5) при c = 18

слойных ансамблях с двумя разделенными фрак-

циями неидентичных частиц. Выполнен числен-

ный анализ процессов перераспределения стохасти-

Аппроксимация полученных численных данных

ческой энергии между разными фракциями час-

дает соотношение

тиц, имеющих различную температуру, в таких сис-

δT(z) ≡ 2δT(r) = Δ^cT/(2 + c/ξ²),

(5)

темах. Рассмотрено перераспределение стохастичес-

кой энергии по степеням свободы.

где c — некоторая постоянная. Для всех рассмотрен-

Полученные результаты не зависели от числа

ных параметров численного моделирования величи-

частиц (при N ≥ 100). Величина перераспределя-

на c ≈ 18.

емой энергии была пропорциональна разнице тем-

Зависимости

ператур различных фракций и/или температур по

|δT(z)|

|δT^x + δT^y|

|2δT(r)|

различным степеням свободы и определялась отно-

≈

≡

шением характерных частот в исследуемых систе-

Δ^cT

мах: ξ ≡ ω₁/ν₁ ≈ ω₂/ν₂.

от ω/ν₁ для двух ограниченных слоев заряженных

Результаты настоящей работы применимы для

частиц с кулоновским взаимодействием приведены

систем с любым типом попарных (взаимных) вза-

на рис. 7. Сплошной черной линией показана ап-

имодействий и могут быть полезны для анализа

проксимация (5) при c = 18.

энергетического обмена в неоднородных системах,

Для проверки независимости полученных ре-

которые представляют интерес в физике плазмы,

зультатов от числа частиц в слое (N₁ = N₂) и от

физике полимеров и коллоидных систем.

отношения их масс (1 ≤ M₂/M₁ ≤ 1.5) было вы-

полнено численное моделирование протяженной си-

Финансирование. Работа выполнена при час-

стемы частиц, взаимодействующих с экранирован-

тичной поддержке Российского фонда фундамен-

ным кулоновским потенциалом, U = Q² exp(-l/λ)/l.

тальных исследований (грант № 18-38-20175), а так-

Моделирование проводилось методом молекулярной

же в рамках Программы Президиума РАН.

динамики Ланжевена с периодическими граничны-

ми условиями в плоскости xy (см. [1-3]) для N = 648

независимых частиц (N₁ = N₂ ≡ N/2) для слу-

ЛИТЕРАТУРА

чаев d ≈ r_p при κ = r_p/λ от нуля до 0.5. Длина

обрезания потенциала составляла порядка 10r_p. Ре-

1. О. С. Ваулина, О. Ф. Петров, В. Е. Фортов,

зультаты расчетов показаны на рис. 7. Можно уви-

А. Г. Храпак, С. А. Храпак, Пылевая плазма (экс-

деть хорошее согласие между численными данными

перимент и теория), Физматлит, Москва (2009).

1186

ЖЭТФ, том 158, вып. 6 (12), 2020

Перераспределение стохастической кинетической энергии...

Complex and Dusty Plasmas, ed. by V. E. Fortov and

17.

H. Totsuji, T. Kishimoto, Y. Inoue et al., Phys. Lett.

G. E. Morfill, CRC Press (2010).

A 221, 215 (1996).

A. Ivlev, G. Morfill, H. Lowen, and C. P. Royall,

18.

H. Totsuji, T. Kishimoto, and C. Totsuji, Phys. Rev.

Complex Plasmas and Colloidal Dispersions: Par-

Lett. 78, 3113 (1997).

ticle-Resolved Studies of Classical Liquids and Solids,

World Scientific, Singapore (2012).

19.

О. С. Ваулина, К. Г. Адамович, И. Е. Дранжевс-

кий, Физика плазмы 31, 562 (2005).

Photon Correlation and Light Beating Spectroscopy,

ed. by H. Z. Cummins and E. R. Pike, Plenum, New

20.

O. S. Vaulina, X. G. Adamovich, and S. V. Vladimi-

York (1974).

rov, Phys. Scripta 79, 035501 (2009).

А. А. Овчинников, С. Ф. Тимашев, А. А. Белый,

21.

Ю. В. Герасимов, А. П. Нефедов, В. А. Синельщи-

Кинетика диффузионно-контролируемых хими-

ков, В. Е. Фортов, Письма в ЖТФ 24, 62 (1998).

ческих процессов, Химия, Москва (1986).

22.

V. E. Fortov, E. A. Nefedov, V. A. Sinel’shchikov,

А. В. Филиппов, И. Н. Дербенев, ЖЭТФ 150, 1262

A. D. Usachev, and A. V. Zobnin, Phys. Lett. A 267,

(2016).

179 (2000).

О. С. Ваулина, ЖЭТФ 149, 218 (2016).

23.

O. S. Vaulina, S. A. Khrapak, O. F. Petrov, and

О. С. Ваулина, ЖЭТФ 151, 982 (2017).

A. P. Nefedov, Phys. Rev. E 60, 5959 (1999).

О. С. Ваулина, С. В. Кауфман, Физика плазмы 46,

24.

R. A. Quinn and J. Goree, Phys. Rev. E 61, 3033

1 (2020).

(2000).

10.

G. A. Hebner, M. E. Riley, and K. E. Greenberg,

25.

O. S. Vaulina, S. A. Khrapak, A. A. Samarian, and

Phys. Rev. E 66, 046407 (2002).

O. F. Petrov, Phys. Scripta 84, 229 (2000).

11.

H. Thomas, G. Morfill, and V. Demmel, Phys. Rev.

26.

О. С. Ваулина, А. П. Нефедов, О. Ф. Петров,

Lett. 73, 652 (1994).

В. Е. Фортов, ЖЭТФ 118, 1319 (2000).

12.

J. B. Pieper, J. Goree, and R. A. Quinn, Phys. Rev.

27.

В. Е. Фортов, О. С. Ваулина, О. Ф. Петров и др.,

E 54, 5636 (1996).

ЖЭТФ 124, 798 (2003).

13.

A. Melzer, A. Homann, and A. Piel, Phys. Rev. E 53,

28.

O. S. Vaulina, Europhys. Lett. 115, 10007 (2016).

2757 (1996).

29.

С. Г. Псахье, К. П. Зольников, Физическая мезо-

14.

O. S. Vaulina, E. V. Vasilieva, O. F. Petrov, and

механика 11, 39 (2008).

V. E. Fortov, Phys. Scripta 84, 025503 (2011).

30.

G. E. Morfill, H. M. Thomas, U. Konopka, H. Ro-

15.

О. С. Ваулина, Е. В. Васильева, Р. А. Тимирханов,

thermel, M. Zuzic, A. Ivlev, and J. Goree, Phys. Rev.

Физика плазмы 37, 1112 (2011).

Lett. 83, 1598 (1999).

16.

H. Totsuji, C. Totsuji, and K. Tsuruta, Phys. Rev.

31.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая ки-

E 64, 066402 (2001).

нетика, Наука, Москва (1979).

1187

12*