ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 5 (11), стр. 866-875

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ В КИРАЛЬНЫХ МАГНЕТИКАХ:

РАСЧЕТЫ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

А. М. Белемукa*, С. М. Стишов^a,b

^a Институт физики высоких давлений Российской академии наук

108840, Троицк, Москва, Россия

^b Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 19 января 2020 г.,

после переработки 7 июля 2020 г.

Принята к публикации 7 июля 2020 г.

Обсуждаются фазовые переходы в киральных магнетиках по данным расчетов классическим методом

Монте-Карло. В качестве модели используется спин-решеточный гамильтониан системы классических

спинов, в котором учитывается обменное взаимодействие между спинами и взаимодействие Дзялошин-

ского - Мориа. Рассмотрено поведение магнитной теплоемкости, магнитной восприимчивости, интенсив-

ности брэгговского рассеяния в зависимости от параметров модели. Проводится сравнение с экспери-

ментальными данными.

DOI: 10.31857/S0044451020110115

ной структуры в этих материалах происходит в ре-

зультате слабого фазового перехода первого рода из

парамагнитного в упорядоченное спиральное состо-

1. ВВЕДЕНИЕ

яние. Фазовый переход характеризуется наличием

Настоящая работа фактически является обшир-

первого резкого максимума теплоемкости при тем-

ным дополнением к статье [1], что генетически свя-

пературе фазового перехода T_c и наличием второго

зывает ее с работами А. С. Боровика-Романова, по-

флуктуационного максимума («плеча»), представ-

священными слабым ферромагнетикам, к каковым

ляющего собой второй пологий максимум теплоем-

в полной мере можно отнести так называемые ки-

кости, расположенный немного выше T_c. Наличие

ральные магниты. Киральные магниты — метал-

резкого максимума и плеча обнаруживается также в

лические соединения MnSi, FeGe, полупроводник

других термодинамических и транспортных харак-

Fe1-xCo_xSi, непроводящий мультиферроик с лока-

теристиках этих материалов, а именно, в коэффици-

лизованными магнитными моментами Cu₂OSeO₃ —

енте теплового расширения, производной электросо-

составляют класс материалов, характеризуемый на-

противления от температуры, коэффициенте зату-

личием двух конкурирующих взаимодействий, об-

хания звука [4].

менного взаимодействия и взаимодействия Дзяло-

шинского - Мориа (ДМ) [2,3]. Названные киральные

Помимо необычных температурных зависимо-

магнетики имеют нецентросимметричную кубичес-

стей (аномалий) теплоемкости, магнитной воспри-

кую структуру с пространственной группой P 2₁3,

имчивости и других термодинамических величин,

что обусловливает существование кирального взаи-

связанных с гелимагнитным фазовым переходом,

имеются также убедительные данные о наличии

модействия ДМ. В нулевом магнитном поле кон-

куренция между ферромагнитным обменным вза-

сильных спиновых флуктуаций при температурах,

имодействием и взаимодействием ДМ ведет к об-

значительно больших температуры гелимагнитного

разованию спиральной магнитной структуры, при-

фазового перехода T_c. Экспериментальные данные

чем ось спирали направлена вдоль кристаллографи-

по малоугловому рассеянию нейтронов указывают

ческой оси [111]. Образование спиральной магнит-

на наличие ферромагнитных флуктуаций, однород-

но распределенных по всему q-пространству [5, 6],

^* E-mail: abel@hppi.troitsk.ru

при температурах значительно выше T_c. Однако с

866

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Фазовые переходы в киральных магнетиках. ..

приближением к T_c характер флуктуаций меняется.

Данные вычислений методом Монте-Карло позво-

При температурах несколько выше T_c в области пле-

ляют выяснить приближенный характер пересече-

ча киральные флуктуации локализованы в сфери-

ния кривых теплоемкости и условия возникновения

ческом слое с радиусом, равным волновому вектору

вольхардтовской инвариантности [16]. Определяю-

спирали q_h. Наконец, при T_c резкие магнитные брэг-

щим здесь служит наличие относительно большого

говские пики появляются в направлении 〈111〉, что

параметра взаимодействия ДМ и слабость магнит-

и означает переход в спирально-упорядоченную фа-

ных полей.

зу с периодом модуляций λ_h = 2π/q_h. Поведение ки-

В последнем разделе работы мы обсуждаем воз-

ральной системы в магнитном поле также представ-

можность моделирования зависимости температуры

ляет большой интерес. Так, в области плеча теорети-

фазового перехода от давления. Эта зависимость су-

чески предсказано возникновение различных слож-

щественно разная для гелимагнетика с коллективи-

ных магнитных структур, что находит подтвержде-

зированными электронами, MnSi, и гелимагнетика с

ние в экспериментах [7-10].

локализованными спинами, Cu₂OSeO₃ [17]. Оказы-

В настоящей работе мы исследуем природу фазо-

вается, что, вводя определенные модельные пред-

вого перехода в киральных магнитах на основе клас-

ставления об эволюции эффективных параметров

сического метода Монте-Карло. В качестве гамиль-

спин-решеточного гамильтониана от давления, мож-

тониана гелимагнетика рассмотрим спин-решеточ-

но приближенно получить правильный ход зависи-

ный гамильтониан, включающий гейзенберговское

мости критической температуры от давления [18].

обменное взаимодействие между спинами и взаимо-

действие ДМ. Эта модель позволяет правильно опи-

сать фазовую диаграмму MnSi в переменных тем-

2. ПРИРОДА МАГНИТНОГО ФАЗОВОГО

ПЕРЕХОДА

пературы и магнитного поля (T, B) [11]. При ва-

риации амплитуды D взаимодействия ДМ эта мо-

В качестве модели кирального магнетика рас-

дель ведет к необычным магнитным свойствам, воз-

сматривается гамильтониан системы классических

никающим благодаря конкуренции обменного вза-

спинов S_r = (Sxr, Syr, Szr) единичной длины, |S_r| = 1,

имодействия и взаимодействия ДМ [12]. В частно-

размещенных в узлах простой кубической решет-

сти, эта конкуренция приводит к тому, что плечо

ки. Взаимодействие между спинами моделируется с

в термодинамических характеристиках при магнит-

помощью обменного взаимодействия и взаимодейст-

ном фазовом переходе возникает вследствие возму-

вия ДМ [11, 19]:

щения виртуального ферромагнитного фазового пе-

∑[

]

рехода второго рода геликоидальными флуктуация-

H_hm = -

J_rr′ S_r ·S_r′ +D_rr′ (S_r ×S_r′ )·n_rr′

(1)

ми, возникающими благодаря взаимодействию ДМ.

r,r

′

Другими словами, плечо можно интерпретировать

как ферромагнитный фазовый переход второго ро-

Амплитуды J_rr′ обменного взаимодействия и D_rr′

да, размытый геликоидальными флуктуациями, ко-

взаимодействия ДМ предполагаются ненулевыми

торые в конечном счете конденсируются в спираль-

для взаимодействия ближайших соседей (J, D) и

но-упорядоченную фазу. Это заключение хорошо со-

для четвертых ближайших соседей (J^′, D^′), единич-

гласуется с термодинамическими данными экспери-

ный вектор n_rr′ направлен от узла r к узлу r^′. Сум-

ментов в MnSi [13].

мирование по r идет по всей решетке, суммирование

В рамках спин-решеточного гамильтониана так-

по r^′ — по половине первых ближайших соседей уз-

же удается учесть коллективизированный характер

ла r (r^′ = r + x, r + ŷ, r + z) и по половине четвертых

электронной подсистемы в MnSi. Для этого ампли-

ближайших соседей (r^′ = r + 2x, r + 2ŷ, r + 2z), по-

туда спиновой переменной на узле рассматривается

стоянная решетки принята равной единице, a = 1.

как флуктуирующая переменная. На этом пути уда-

Обменное взаимодействие между ближайшими

ется найти зависимость плеча от величины введен-

соседями (J > 0) стремится установить ферромаг-

ных продольных спиновых флуктуаций [14].

нитное спиновое упорядочение, в то время как вза-

Другим интересным экспериментальным фак-

имодействие ДМ стремится развернуть спины бли-

том, касающимся поведения гелимагнетиков, явля-

жайших соседей друг относительно друга на некото-

ется существование «вольхардтовской» инвариант-

рый угол. Результирующий угол разворота θ опре-

ности [13,15], когда кривые зависимости теплоемко-

деляется отношением между амплитудами J и D,

сти от температуры, измеренные при разных значе-

tg θ

= D/J. Взаимодействие между четвертыми

ниях магнитного поля, пресекаются в одной точке.

ближайшими соседями (узлы r^′ на расстоянии 2a

867

А. М. Белемук, С. М. Стишов

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис. 1. (В цвете онлайн) а) Поведение теплоемкости для спин-решеточного гамильтониана (1) при вариации параметра D.

б) Температурные зависимости магнитной восприимчивости при различных значениях D, приведенных на рис. а

от узла r) введено, чтобы компенсировать анизо-

гий максимум (плечо), который затем расплывется

тропию, возникающую при переходе от непрерыв-

и постепенно пропадает при D > 1. При D > 0.3

ного распределения спинов к дискретному; соответ-

помимо плеча наблюдается также отчетливый рез-

ствующие амплитуды взаимодействия фиксированы

кий максимум теплоемкости (первый максимум теп-

и равны J^′ = -J/16 и D^′ = -D/8 [11]. Введение до-

лоемкости при T_c), отвечающий фазовому перехо-

полнительных амплитуд J^′ и D^′ позволяет правиль-

ду первого рода в спиновой системе. Наличие пле-

но описать положение границы скирмионной фазы

ча в поведении теплоемкости с высокотемператур-

на плоскости (B, T ) при наложении внешнего маг-

ной стороны от первого максимума связано с разру-

нитного поля B [11].

шением ферромагнитного фазового перехода второ-

Вычисления [12] проводились с помощью класси-

го рода и вызвано интенсивными геликоидальными

ческого метода моделирования Монте-Карло и алго-

флуктуациями.

ритма Метрополиса на кубической решетке L×L×L

На температурных зависимостях магнитной вос-

с периодическими граничными условиями, исполь-

приимчивости (рис. 1б) также наблюдается наличие

зовался размер решетки L = 30. Ниже параметр

максимума, величина которого значительно умень-

обменного взаимодействия положен равным едини-

шается с ростом D, а сама зависимость χ(T) прини-

це, J = 1, соответственно температура выражена в

мает форму, близкую к ступеньке.

единицах J, теплоемкость и магнитная восприимчи-

На рис. 2 показана зависимость теплоемкости от

вость — в безразмерных единицах.

линейного размера системы L. В низкотемператур-

Очевидно, что модель, описываемая гамильто-

ной фазе значению параметра взаимодействия ДМ

нианом (1), имеет разные основные состояния при

D = 1.1 соответствует спираль с периодом, прибли-

D = 0 и J = 0. Поэтому при конкурирующих об-

зительно равным восьми постоянных решетки, λ_h =

менном и ДМ-взаимодействиях происходят сильные

= 8a (при a = 2.4 нм это соответствует периоду мо-

флуктуации, которые при некотором значении отно-

дуляций 190Å, наблюдаемому в MnSi). Видно, что

шения D/J приводят к изменению характера фазо-

размер системы практически не влияет на характер

вого перехода, а именно, от второго рода к первому.

перехода и форму кривой C(T ). То, что при темпе-

На рис. 1 показано поведение теплоемкости C(T) и

ратуре T_c происходит именно переход первого рода,

магнитной восприимчивости χ(T ) системы при из-

следует из формы кривой распределения плотности

менении параметра взаимодействия ДМ. При D <

энергии системы P (E/N), N = L³, показанной на

< 0.3 на кривой C(T) явно наблюдается максимум,

вставке к рис. 2. Распределение P(E/N) имеет двух-

унаследованный от сингулярного поведения тепло-

пиковую структуру, характерную для фазового пе-

емкости C(T ) ферромагнетика (D = 0) при непре-

рехода первого рода.

рывном фазовом переходе и размытый киральными

флуктуациями (рис. 1а). С увеличением D макси-

Эволюция спиновой конфигурации с температу-

мум теплоемкости постепенно превращается в поло-

рой показана на рис. 3. Приведены тепловое среднее

868

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Фазовые переходы в киральных магнетиках. ..

Рис. 2. (В цвете онлайн) Зависимость теплоемкости от

размера L системы для амплитуды взаимодействия ДМ

D = 1.1. Вставка — функция распределения плотности

энергии P (E/N) при температуре перехода Tc = 0.86.

Двухпиковая структура функции P (E/N) свидетельству-

ет о фазовом переходе первого рода

〈S_r〉 и профиль брэгговской интенсивности

I(q) ∝ |〈S_q〉|²,

∑

Рис. 3. (В цвете онлайн) Конфигурация спинов 〈Sr〉 в

〈S_q〉 =

〈S_r〉eiq·r.

плоскости xy (слева) и соответствующий профиль брэг-

говской интенсивности I^∗, спроектированной на плоскость

Показана проекция функции I(q) на плоскость

(qx, qy) (справа), при температурах ниже и выше темпера-

∑

(q_x, q_y), I^∗(q_x, q_y) =

I(q). Значению D = 1.1 от-

туры перехода Tc ≃ 0.86 для амплитуды ДМ-взаимодей-

ствия D = 1.1. Спины с положительным (отрицательным)

вечает температура перехода T_c ≃ 0.86. При темпе-

значением Sz показаны красным (синим). Размер спинов

ратуре ниже температуры перехода (T = 0.80) спи-

пропорционален |〈Sr〉|. Расстояния в обратном простран-

ны приобретают структуру спирали, профиль брэг-

стве выражены в единицах 2π/L

говской интенсивности при этом имеет двухпиковую

структуру в точках, отвечающих проекции векто-

постепенно плавятся с увеличением температуры, и

ра спирали ±Q на плоскость (q_x, q_y). Немного выше

система переходит в парамагнитное состояние. Со-

T_c (T = 0.90) распределение спинов сильно меня-

ответственно, с повышением температуры профиль

ется, профиль брэгговской интенсивности несколь-

брэгговской интенсивности из кольцеобразной фор-

ко размывается и имеет четырехпиковую структу-

мы постепенно трансформируется в размытое пятно

ру. При дальнейшем увеличении температуры про-

около нулевого волнового вектора.

филь брэгговской интенсивности трансформируется

в кольцеобразную форму (T = 1.20). Внимательный

3. ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ

анализ спиновой конфигурации показывает, что су-

ществуют узлы с нулевым значением среднего спи-

Зонные гелимагнетики типа MnSi имеют разные

на, 〈S_r〉 = 0. Такие конфигурации появляются в

локальные магнитные моменты в магнитно-упоря-

полиспиральных состояниях, теоретически предска-

доченном и парамагнитном состояниях, что гово-

занных для двумерных моделей с ДМ-взаимодейст-

рит о наличии продольных спиновых флуктуаций

вием [20] или для модели Гейзенберга на треуголь-

(ПСФ) в системе. Поэтому нет причины предпо-

ной решетке [21]. Итак, при температурах, соот-

лагать фиксированной величину спина при ненуле-

ветствующих или лежащих около максимума пле-

вых температурах в спин-решеточной модели. ПСФ

ча теплоемкости, спиновые конфигурации отвеча-

можно ввести в модель (1), используя не фиксиро-

ют полиспиральным спиновым состояниям, которые

ванные, а переменные спиновые амплитуды |S_r| на

869

А. М. Белемук, С. М. Стишов

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Рис.

5. (В цвете онлайн) Распределения брэгговской

интенсивности I(q) в плоскости (qx, qz ) (qy

при температурах, отвечающих точкам максимума плеча

теплоемкости C(T ), показанной на рис. 4, для кривой C0

Рис. 4. (В цвете онлайн) Зависимости энергии ПСФ от ве-

при T = 1.12 (а) и кривой C5 при T = 1.25 (б). Соответ-

личины спина (а) и соответствующие температурные за-

ствующие распределения спинов представлены на рис. 6

висимости теплоемкости (б)

каждом узле [14]. Энергию ПСФ можно аппрокси-

мировать полиномом по степеням |S_r| [22]. Таким

образом, к гамильтониану H_hm (1) добавляется до-

полнительное слагаемое

∑

H_lf =

E(S_r), E(S_r) = a₁S2r + a₂S4r + a₃S6r, (2)

Рис. 6. (В цвете онлайн) Спиновая конфигурация 〈Sr〉 в

плоскости xy (z = 20) соответствует пологому максиму-

учитывающее зависимость энергии ПСФ E(S_r) от

му кривой C(T ), показанному на рис. 4 для кривой C0

величины локального момента S_r = |S_r|, образу-

при T = 1.12 (а) и для кривой C5 при T = 1.25 (б). Со-

ющегося на узле r. При этом величина S_r теперь

ответствующие распределения брэгговской интенсивности

трактуется как новая независимая флуктуирующая

представлены на рис. 5

переменная.

Коэффициенты разложения E(S_r) по степеням

S_r зависят от зонной структуры материала и на-

вая C₀, которая отвечает профилю E₀ с наибольшей

ходятся из зонных расчетов ab initio [23]. Мы рас-

глубиной, практически не отличается от соответ-

смотрим приближение, в котором коэффициенты

ствующей кривой в модели с фиксированной дли-

a₁, a₂, a₃ вводятся эмпирическим путем как внеш-

ной спина |S_r| = 1. С уменьшением глубины |E| по-

ние заданные параметры. Равновесное значение ве-

ложение температуры T_c фазового перехода первого

личины спина на узле r, m = 〈S_r〉, определяет-

рода медленно смещается в сторону более высоких

ся положением минимума

S и глубиной

E функ-

температур, при этом амплитуда и ширина плеча

циональной зависимости E(S), которые являются

заметно увеличиваются. Экспериментально наблю-

двумя основными параметрами, характеризующими

даемые зависимости теплоемкости C(T) [2-4] имеют

профиль функции E(S).

достаточно выраженный профиль плеча и более со-

Интересно исследовать поведение теплоемкости

ответствуют кривым, представленным на рис. 4 и

для различных форм энергии ПСФ E(S). Рассмот-

учитывающим ПСФ.

рим, например, несколько профилей для функции

На рис. 5 показано распределение брэгговской

E(S), показанных на рис. 4. Функции E_i(S) имеют

интенсивности I(q) в плоскости (q_x, q_z ). Приведе-

минимум при одном значении

S = 1, но различные

ны два характерных распределения интенсивности,

значения глубины ямы

^E. Профиль E₀(S) с макси-

первое (a) соответствует самому глубокому профи-

мальным значением глубины отвечает отношению

лю (E₀), а второе (б) самому мелкому (E₅) профилю

E|/J ≃ 24, которое используется при расчетах в же-

энергии продольных спиновых флуктуаций. Темпе-

лезе [22]. Остальные профили E_i, i = 1, . . . , 5, харак-

ратуры выбраны таким образом, чтобы они соответ-

теризуются меньшими значениями глубины

^E. Со-

ствовали максимуму плеча теплоемкости, показан-

ответствующие этим данным теплоемкости для зна-

ной на рис. 4. Спиновые конфигурации приведены

чения D = 0.75 приведены на рис. 4. Видно, что кри-

на рис. 6. Интенсивность в центральной точке q = 0

870

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Фазовые переходы в киральных магнетиках. ..

Рис. 7. (В цвете онлайн) Зависимости теплоемкости от температуры для различных значений приложенного внешнего

поля B и параметра D

равна нулю, в то время как для гейзенберговского

4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ВОЛЬХАРДТА

ферромагнетика распределение I(q) в парамагнит-

Еще одним интересным экспериментальным

ной фазе при T > T_c имело бы вид пятна с центром в

свидетельством необычных свойств гелимагнети-

q = 0. Распределение I(q) имеет форму кольца, что

ков служит наличие инвариантности Вольхардта

совпадает с результатами многих экспериментов по

в поведении теплоемкости [13, 24]. Оказывается,

малоугловому рассеянию нейтронов [5,6]. Отметим,

что кривые теплоемкости C(T ), измеренные в

что приближенная кольцеобразная форма распреде-

различных магнитных полях, пресекаются в одной

ления интенсивности получается как для подавлен-

точке пересечения Вольхардта T^∗ [15]. Эта точка

ных ПСФ (глубокий минимум E(S)), так и для раз-

видна в магнитных полях вплоть до B ≃ 0.5 Tл

витых ПСФ (мелкий профиль E(S)). Радиус коль-

[24, 25]. Эта точка лежит на высокотемператур-

ца q₀ также не зависит от глубины профиля E(S),

ной стороне плеча и, что интересно отметить,

а определяется единственным образом отношением

совпадает с точкой перегиба кривой магнитной

взаимодействия ДМ и константы обменного взаимо-

восприимчивости χ(T) [24, 26]. Более того, точка

действия.

пересечения Вольхардта отчетливо видна также

и в поведении теплоемкости в нулевом внешнем

магнитном поле, что проиллюстрировано нами

Наличие пиков интенсивности I(q) при конеч-

выше на рис. 1. Здесь пересекаются в одной точке

ных q₀ указывает на существование некоторой хоро-

теплоемкости, вычисленные для различных вели-

шо определенной внутренней магнитной структуры.

чин амплитуды взаимодействия ДМ, что также

Распределение спинов, иллюстрирующее кольцевой

служит проявлением инвариантности Вольхардта.

профиль интенсивности I(q), показано на рис. 6.

Для расчета поведения теплоемкости в магнит-

Представленное распределение показывает тепловое

ном поле к гамильтониану (1) следует добавить сла-

среднее 〈S_r〉 в некоторой плоскости решетки спинов

гаемое, учитывающее взаимодействие магнитных

(так как средние величины спинов малы, |〈S_r〉| ≃

моментов с внешним магнитным полем,

≃ 0.1, для наглядности длина спинов домножена на

некоторый множитель). Показанное распределение

∑

H_m = -B · S_r.

напоминает магнитные вихри. Также имеются узлы

с почти нулевым значением намагниченности (т. е.

среднего спина 〈S_r〉). Вектор намагниченности вра-

На рис. 7 показана зависимость теплоемкости для

щается в двух взаимно перпендикулярных направ-

нескольких значений амплитуды взаимодействия

лениях, что напоминает флуктуирующие фрагмен-

ДМ [16]. Для малых D (D = 0.3) при увеличении

ты скирмионной решетки.

B плечо быстро смещается в сторону высоких тем-

871

А. М. Белемук, С. М. Стишов

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020



∂C(T,B)

∂²S



ператур, при этом ширина плеча увеличивается. Ин-



вариантность Вольхардта отсутствует, кривые теп-

∂B

∂T∂B

T^∗



лоемкости пересекаются друг с другом при разных

∂²M(T, B)



температурах. С увеличением амплитуды D анома-

≈ T^∗Bχ^′′(T^∗) = 0.

(3)



∂T²

T^∗

лия плеча расширяется, профили кривых теплоем-

кости становятся более плоскими. При D = 0.75

Линейную зависимость намагниченности M от по-

пересечение кривых C(T ) происходит почти в од-

ля B убедительно продемонстрировал эксперимент

ной точке, около T^∗ ≃ 1.3, а при D = 1.0 пересе-

[24]: в MnSi линейная зависимость M ∝ B наблю-

чение видно при T^∗ ≃ 1.4. Более тщательный ана-

далась вплоть до полей B ≃ 0.5 Tл. С микроско-

лиз [16] показывает, что на самом деле пересечение

пической точки зрения, точка перегиба кривой маг-

происходит в некоторой узкой области около ука-

нитной восприимчивости χ(T ) возникает вследствие

занных точек. При этом чем больше D, тем мень-

сильного взаимодействия между киральными флук-

ше ширина этой области. Максимум плеча в обо-

туациями, которые подавляют рост корреляционной

их случаях расположен около T ≃ 1.0 и не меняет-

длины при уменьшении температуры [26]. Точка пе-

ся с увеличением магнитного поля. Имеется также

ресечения Вольхардта также видна и на рис. 1, где

острый пик теплоемкости, характерный для перехо-

кривые теплоемкости в нулевом магнитном поле пе-

да первого рода, который виден при малых полях.

ресекаются в одной точке при изменении параметра

Анализ функции распределения энергии показыва-

D. В этом случае существование точки пересечения

ет, что при D = 0.75 переход будет переходом пер-

следует из правила сумм для изменения энтропии

вого рода при B ≲ 0.05, а при D = 1.0 при B ≲ 0.1.

по отношению к D в высокотемпературном режиме,

При увеличении поля острый пик перехода первого

а параметром, сопряженным к D, будет служить ве-

рода сменяется размытым пиком перехода второго

личина волнового вектора спирали, определяющего

рода [16].

длину модуляций в спиральной фазе.

Объяснить появление точки пересечения Воль-

Резюмируя, отметим, что хотя взаимодействие

хардта при температуре T^∗ можно следующим об-

ДМ и ответственно за существование точки пере-

разом [15]. Во-первых, в высокотемпературном пре-

сечения Вольхардта и количественно характеризует

деле существует правило сумм для изменения эн-

силу киральных флуктуаций в системе, тем не ме-

тропии S(T, B) по отношению к изменению поля B.

нее оно не определяет положения самой точки пе-

Поскольку в спиновых системах при высоких темпе-

ресечения T^∗. Масштаб температуры T^∗ по порядку

ратурах (выше характерного масштаба взаимодей-

величины совпадает с параметром обменного взаи-

ствия в системе, как, например, обмена J в нашем

модействия J. Точное положение T^∗ определяется в

случае) величина S(T, B) выходит на не зависящую

результате взаимодействия киральных и ферромаг-

от поля константу, то производная

нитных флуктуаций. Увеличение магнитного поля

∞

∫

∂S(T,B)

dT^′ ∂C(T^′, B)

размывает аномалию плеча и ведет к перераспреде-

лению веса плеча теплоемкости в сторону высоких

∂B

T^′

∂B

температур, что и приводит к феномену инвариант-

должна равняться нулю. Отсюда следует, что суще-

ности Вольхардта [13].

ствует такая точка T^∗(B), в которой



∂C(T,B)

5. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ДАВЛЕНИЯ



= 0.



∂B

T^∗

Хорошо известно, что при увеличении давления

Во-вторых, может оказаться, что положение точки

температура фазового перехода T_c уменьшается и

T^∗ не зависит или почти не зависит от величины по-

стремится к нулю в большинстве магнетиков с кол-

ля B, это и будет означать наличие инвариантности

лективизированными электронами. Типичным при-

Вольхардта [15]. Второе условие всегда будет выпол-

мером такого поведения служит фазовый переход в

няться в слабых полях, т. е. в линейном режиме, ко-

MnSi [2]. Противоположным примером служит по-

гда намагниченность прямо пропорциональна полю,

ведение T_c в изоляторе Cu₂OSeO₃, в котором T_c

M (T ) = χ(T )B, и если магнитная восприимчивость

растет с увеличением давления. На рис. 8 приве-

χ(T ) имеет точку перегиба при некотором T^∗, т. е.

ден пример эволюции производной электросопро-

χ^′′(T)|_T∗ = 0. Тогда из соотношения Максвелла для

тивления по температуре, dρ/dT , в MnSi при изме-

свободной энергии, (∂S/∂B)T = (∂M/∂T )B , нахо-

нении внешнего давления [4,25]. Известно, что зави-

дим [15]

симость dρ/dT точно воспроизводит все термодина-

872

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Фазовые переходы в киральных магнетиках. ..

Рис. 8. (В цвете онлайн) Экспериментальные зависимос-

ти производной электросопротивления от температуры в

MnSi при различных значениях приложенного внешнего

давления [4,25]

мические особенности магнитного фазового перехо-

да в MnSi, а именно, имеется почти полное совпаде-

ние зависимости dρ/dT (приведенной к соответству-

ющим единицам) с поведением теплоемкости C(T ).

Поэтому поведение dρ/dT можно рассматривать как

Рис. 9. Фазовые диаграммы гелимагнетика Cu2OSeO3 (а)

полный аналог поведения теплоемкости C(T ) под

и MnSi (б) в зависимости от температуры и приложенно-

го давления [17]. Кривая 1 показывает эволюцию первого

действием давления.

резкого максимума теплоемкости, кривая 2 — смещение

Видно, что с увеличением давления первый рез-

флуктуационного максимума (плеча) теплоемкости

кий максимум и второй пологий максимум начина-

ют смещаться как целое в сторону низких темпе-

ратур, при этом ширина плеча несколько уменьша-

ется. При более высоких давлениях (не проиллю-

дели в гамильтониане модели (1) следует явно за-

стрированных на рис. 8) первый резкий максимум,

дать вид зависимостей амплитуд взаимодействия J

характеризующий фазовый переход первого рода,

и D от давления [18]. Определение характера эво-

расплывается и сливается с плечом в один неболь-

люции амплитуд взаимодействия от давления тре-

шой максимум, который может указывать на раз-

бует знания эволюции электронной зонной структу-

мытый фазовый переход второго рода. Соответству-

ры материала под давлением, что можно найти из

ющая зависимость температуры фазового перехода

зонных расчетов ab initio [23].

от давления в MnSi, T_c = T_c(P), воспроизведена на

Рассмотрим приближение, в котором изменение

рис. 9. На этом же рисунке в качестве противопо-

давления эффективно можно описать как измене-

ложного примера проиллюстрировано поведение T_c

ния величин амплитуд J и D. Рассчитанные кривые

в гелимагнитном изоляторе Cu₂OSeO₃, в котором

теплоемкости C(T), см. рис. 1 и 2, зависят от при-

первый пик и плечо смещаются при приложении

веденной температуры T/J. Если предположить,

давления в сторону высоких температур [17]. Таким

что с увеличением давления происходит эффектив-

образом, для термодинамических функций гелимаг-

ное уменьшение спин-спинового обменного взаимо-

нетиков характерна нетривиальная зависимость от

действия (параметра J), то это будет приводить к

внешнего давления, зависящая от материала гели-

сужению флуктуационного максимума (плеча), что

магнетика.

очень похоже на то, что происходит с увеличением

Для описания влияния давления на фазовый пе-

давления в MnSi. Такое поведение можно смодели-

реход в рамках эффективной спин-решеточной мо-

ровать, предположив, что давление и параметр об-

873

А. М. Белемук, С. М. Стишов

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

флуктуационного максимума (плеча) на кривой

теплоемкости является следствием виртуального

ферромагнитного фазового перехода второго рода,

разрушенного геликоидальными флуктуациями. В

результате область плеча характеризуется сложной

спиновой структурой, возникающей из-за конку-

рирующих ферромагнитных и геликоидальных

флуктуаций. При понижении температуры систе-

ма не может перейти в упорядоченное состояние

непрерывным образом, происходит переход к спи-

ральной структуре посредством перехода первого

рода. Таким образом, конкурирующая природа

взаимодействий есть основной фактор, обусловли-

вающий наличие фазового перехода первого рода

в геликоидальных магнетиках со взаимодействие

Рис. 10. (В цвете онлайн) Зависимости температуры фа-

ДМ. Коллективизированную природу магнитного

момента в MnSi можно приближенно учесть в

зового перехода Tc, температуры второго максимума Th и

ширины плеча W от константы обменного взаимодействия

рамках спин-решеточного гамильтониана, вводя

J (a) и 1 - J² (б); D = 0.8J

дополнительную степень свободы, связанную с

амплитудой спиновой переменной на узле. Ока-

зывается, что такой учет существенно меняет

мена связаны соотношением P ∝ 1-J², что соответ-

величину флуктуационного максимума (плеча), в

ствует эмпирической зависимости T_c ∝ (P_c - P )1/2

частности, амплитуда плеча значительно растет

используемой для описания зависимости T_c от P в

с ростом продольных спиновых флуктуаций; при

ряде зонных магнетиков [27]. Соответствующие за-

этом структура зависимости C(T) остается той

висимости температуры фазового перехода T_c, тем-

же самой, т. е. имеются резкий первый максимум

пературы второго максимума T_h и ширины плеча W

теплоемкости и плечо. При этом также сохраняется

как функции от P ∝ 1-J² хорошо передают кривую

структура зависимости брэгговской интенсивности

зависимости T_c(P) в MnSi и показаны на рис. 10б.

в q-пространстве, а именно, плечу теплоемкости

Мы предполагаем также, что вдоль линии перехода

отвечает кольцеобразная структура брэгговской

T_c(P) отношение D/J эффективно убывает с уве-

интенсивности.

личением давления, что соответствует подавлению

первого максимума теплоемкости.

Финансирование. Работа поддержана Рос-

Другим сценарием поведения параметра J слу-

сийским фондом фундаментальных исследований

жит пример гелимагнетика Cu₂OSeO₃ с локализо-

(гранты №№ 19-02-00509, 18-02-00183) (А. М. Б. и

ванными спинами. Здесь увеличение давления ведет

С. М. С.) и Российским научным фондом (грант

к уменьшению расстояния между спинами и, следо-

№17-12-01050) (С. М. С).

вательно, к увеличению параметра обменного взаи-

модействия J. Соответствующие зависимости T_c, T_h

и W как функции от P ∝ J показаны на рис. 10a.

ЛИТЕРАТУРА

Они хорошо передают кривую зависимости T_c(P ) в

Cu₂OSeO₃, показанную на рис. 9а.

1. А. Е. Петрова, С. М. Стишов, ЖЭТФ 158, 213

(2020).

2. С. М. Стишов, А. Е. Петрова, УФН 181, 1157

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(2011).

В итоге можно заключить, что классический

метод моделирования Монте-Карло спиновой сис-

3. С. М. Стишов, А. Е. Петрова, УФН 187, 1365

темы с конкурирующими взаимодействиями J

(2017).

и D хорошо воспроизводит экспериментальные

данные, полученные для зонного магнетика MnSi

4. A. E. Petrova and S. M. Stishov, J. Phys.: Condens.

и изолятора Cu₂OSeO₃. При этом, возникновение

Matter 21, 196001 (2009).

874

ЖЭТФ, том 158, вып. 5 (11), 2020

Фазовые переходы в киральных магнетиках. ..

S. V. Grigoriev, S. V. Maleyev, A. I. Okorokov,

16.

A. M. Belemuk and S. M. Stishov, Phys. Rev. B 101,

Yu. O. Chetverikov, R. Georgii, P. Böni, D. Lamago,

144426 (2020).

H. Eckerlebe, and K. Pranzas, Phys. Rev. B 72,

17.

V. A. Sidorov, A. E. Petrova, P. S. Berdonosov,

134420 (2005).

V. A. Dolgikh, and S. M. Stishov, Phys. Rev. B 89,

C. Pappas, E. Lelièvre-Berna, P. Falus, P. M. Bentley,

100403(R) (2014).

E. Moskvin, S. Grigoriev, P. Fouquet, and B. Farago,

18.

A. M. Belemuk and S. M. Stishov, Sol. St. Comm.

Phys. Rev. Lett. 102, 197202 (2009).

267, 6 (2017).

S. Seki, J.-H. Kim, D. S. Inosov, R. Georgii, B. Kei-

mer, S. Ishiwata, and Y. Tokura, Phys. Rev. B 85,

19.

A. Hamann, D. Lamago, Th. Wolf, H. V. Löhneysen,

220406(R) (2012).

and D. Reznik, Phys. Rev. Lett. 107, 037207 (2011).

T. Adams, A. Chacon, M. Wagner, A. Bauer,

20.

M. Ezawa, Phys. Rev. B 83, 100408 (2011).

G. Brandl, B. Pedersen, H. Berger, P. Lemmens, and

C. Pfleiderer, Phys. Rev. Lett. 108, 237204 (2012).

21.

T. Okubo, S. Chung, and H. Kawamura, Phys. Rev.

Lett. 108, 017206 (2012).

E. Moskvin, S. Grigoriev, V. Dyadkin, H. Eckerlebe,

M. Baenitz, M. Schmidt, and H. Wilhelm, Phys. Rev.

22.

P.-W. Ma and S. L. Dudarev, Phys. Rev. B 86,

Lett. 110, 077207 (2013).

054416 (2012).

10.

S. V. Grigoriev, N. M. Potapova, E. V. Moskvin,

23.

J. Kübler, J. Phys.: Condens. Matter 18, 9795 (2006).

V. A. Dyadkin, Ch. Dewhurst, and S. V. Maleyev,

Письма в ЖЭТФ 100, 238 (2014).

24.

A. Bauer, A. Neubauer, C. Franz, W. Münzer,

M. Garst, and C. Pfleiderer, Phys. Rev. B 82, 064404

11.

S. Buhrandt and L. Fritz, Phys. Rev. B 88, 195137

(2010).

(2013).

25.

S. M. Stishov, A. E. Petrova, S. Khasanov, G. K. Pa-

12.

A. M. Belemuk and S. M. Stishov, Phys. Rev. B 95,

nova, A. A. Shikov, J. C. Lashley, D. Wu, and

224433 (2017).

T. A. Lograsso, J. Phys.: Condens. Matter 20, 235222

(2008).

13.

S. M. Stishov and A. E. Petrova, Phys. Rev. B 94,

140406(R) (2016).

26.

M. Janoschek, M. Garst, A. Bauer, P. Krautscheid,

R. Georgii, P. Böni, and C. Pfleiderer, Phys. Rev.

14.

A. M. Belemuk and S. M. Stishov, Phys. Rev. B 97,

B 87, 134407 (2013).

144419 (2018); J. Phys.: Condens. Matter 31, 135801

(2019).

27.

P. Mohn, Magntism in the Solid State, An Introduc-

tion, Springer, Berlin (2006).

15.

D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 78, 1307 (1997).

875