ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 4 (10), стр. 738-758

МЕХАНИЗМЫ РЕЗОНАНСНОГО ВЛОЖЕНИЯ

МОЩНОСТИ В МАГНИТОАКТИВНУЮ ПЛАЗМУ

ВЫСОКОЧАСТОТНОГО РАЗРЯДА

И. Н. Карташов^*, М. В. Кузелев^**

Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

119991, Москва, Россия

Поступила в редакцию 24 марта 2020 г.,

после переработки 6 мая 2020 г.

Принята к публикации 6 мая 2020 г.

Рассмотрено возбуждение и поглощение волн в магнитоактивной плазме высокочастотного разряда в

условиях, когда частота генератора меньше электронной циклотронной частоты. Обсуждаются случаи

безграничной плазмы и ограниченной плазмы в цилиндрической геометрии. Рассмотрены различные

режимы возбуждения плазменных волн, различающихся законом дисперсии и поляризацией поля. Мощ-

ность, вкладываемая в плазму, зависит от распределения возбуждающих разряд токов внешнего источ-

ника и от параметра плотности, характеризующего плотность плазмы и поперечные размеры системы. В

наиболее интересном с практической точки зрения случае плазменного цилиндра со свободной поверх-

ностью или плазменного цилиндра, находящегося в достаточно большом проводящем кожухе, в плазме

имеются только потенциальные и непотенциальные косые ленгмюровские волны E-типа, а также сильно

непотенциальная поверхностная волна. Последняя практически не возбуждается внешними токами, теку-

щими по поверхности цилиндра при реально используемых параметрах системы. При больших значениях

параметра плотности эффективное сопротивление плазмы при индуктивном способе возбуждения раз-

ряда оказывается доминирующим. При умеренных и малых значениях наиболее эффективным является

емкостной способ возбуждения волны токами на поверхности плазменного цилиндра.

DOI: 10.31857/S0044451020100168

ство существенно отличает геликонный разряд от

традиционных емкостного и индуктивного высоко-

частотных разрядов в плазме в отсутствие внешне-

1. ВВЕДЕНИЕ

го магнитного поля, в которых не происходит воз-

буждение проникающих электромагнитных волн в

На протяжении нескольких последних десятиле-

плазму с частотой меньше плазменной.

тий в научной литературе широко обсуждаются ге-

Источники плазмы, основанные на геликонном

ликонные разряды и геликонные источники плаз-

разряде, имеют существенно меньшие ограничения

мы, основанные на этом разряде (см. обзоры [1-4]).

по плотности плазмы, связанные с достижением ею

Под геликонным разрядом подразумевается высо-

критического значения для данной частоты генера-

кочастотный разряд, основанный на возбуждении в

тора. Поэтому геликонные источники плазмы явля-

плазме проникающих волн геликонного спектра час-

ются источниками плотной плазмы. Реальные кон-

тот, т.е. частот, превосходящих ионную циклотрон-

центрации электронов геликонной плазмы имеют

ную частоту, но существенно меньших электрон-

значения вплоть до 10¹³ см-3 [1].

ной циклотронной частоты. Наличие внешнего маг-

Уникальные характеристики предопределяют и

нитного поля играет здесь ключевую роль, созда-

широкие практические применения геликонных ис-

вая возможность для возбуждения проникающих в

точников плазмы. Среди возможных приложений

плотную плазму электромагнитных волн с частотой,

следует выделить, прежде всего, использование ге-

значительно меньшей плазменной. Это обстоятель-

ликонных источников плазмы в качестве ионных

^* E-mail: igorkartashov@mail.ru

двигателей космических аппаратов, а также в мик-

^** E-mail: kuzelev@mail.ru

роэлектронике для плазменного нанесения покры-

738

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

тий и травления материалов [5]. В качестве ион-

величиной до 1.5 кГс, зажигался разряд на частоте

ных двигателей исследуются геликонные источники

8 МГц и источником вложения мощности в плаз-

плазмы различных размеров (диаметры 0.5-74 см)

му была возбуждаемая стоячая геликонная волна.

[6]. При этом особое внимание уделяется созда-

В последующих теоретических работах [14-17] бы-

нию источников плазмы малых (диаметр вакуум-

ло указано на возможность существования двух ра-

ной камеры порядка нескольких сантиметров) [7,8] и

диальных распространяющихся мод, одна из кото-

сверхмалых (диаметры 0.2-2 см) [9] размеров. Гели-

рых связывается с геликоном, а другая в настоящее

конные источники плазмы конструктивно содержат

время обычно называется модой Трайвелписа - Го-

в себе систему создания магнитного поля. В работах

улда или косой ленгмюровской волной. Историчес-

[7, 8] для упрощения и миниатюризации конструк-

ки теоретические исследования волновой структу-

ции магнитное поле создается не при помощи тради-

ры ограниченной магнитоактивной плазмы исходи-

ционного соленоида, а постоянным кольцевым маг-

ли из предположений пренебрежения током смеще-

нитом. Размещая разрядную камеру на оси симмет-

ния в уравнениях Максвелла и инерцией электро-

рии кольцевого магнита на некотором удалении от

нов в уравнениях движения (частота поля мала по

кольца, можно создать достаточно однородное маг-

сравнению с электронной циклотронной частотой).

нитное поле в области, занятой разрядом. И хотя

Отказ от второго условия и приводил к появлению

удельный импульс, создаваемый двигателем на ге-

моды Трайвелписа - Гоулда. На наш взгляд, такой

ликонном разряде, меньше удельного импульса хол-

подход с выделением отдельных решений с различ-

ловского двигателя, тем не менее он имеет тенден-

ной поперечной структурой [14-19] не оправдан, по-

цию к улучшению своих характеристик за счет изме-

скольку системой возбуждающих токов формирует-

нения параметров разряда. В частности, в работах

ся единая поперечная структура поля, включающая

[7,8] указывается, что, прикладывая постоянное на-

в себя и фундаментальное решение дифференциаль-

пряжение 50-200 В к торцевой металлической пла-

ного уравнения, соответствующее геликонной волне,

стине разрядной камеры, можно повысить удельный

и фундаментальное решение, соответствующее мо-

импульс до значений, характерных для холловско-

де Трайвелписа - Гоулда. Более правильным было

го двигателя. Следует также отметить, что плаз-

бы выделять предельные случаи единой возбуждае-

менные двигатели на основе геликонного разряда

мой волны с законом дисперсии ω (k_z) в зависимости

не требуют отдельного электронного источника для

от параметров разряда, сопоставляя их с геликон-

своей нейтрализации.

ной волной и косой ленгмюровской волной (модой

Помимо создания источников плотной холодной

Трайвелписа - Гоулда). Именно такой подход и раз-

плазмы за счет развития геликонного разряда, по-

вивается в настоящей работе. Кроме того, мы от-

глощение электромагнитных волн геликонного спек-

кажемся от условия пренебрежения токами смеще-

тра имеет существенное значение как один из ме-

ния, что расширит область применимости получен-

тодов нагрева плазмы в установках управляемо-

ных результатов с ВЧ-диапазона частот на системы

го термоядерного синтеза, в частности, в проектах

с использованием СВЧ-полей [20-24].

ITER и DEMO [10, 11]. Поглощение волн в горя-

В настоящее время геликонные источники плаз-

чей термоядерной плазме осуществляется в основ-

мы представляют собой вакуумную камеру с дав-

ном за счет бесстолкновительного затухания Лан-

лением газа единицы и десятки миллиторр, имею-

дау. Существенным образом от геликонного высоко-

щую диаметр от нескольких миллиметров до десят-

частотного разряда отличаются и параметры плаз-

ков сантиметров и протяженность до значений более

мы и внешнего удерживающего магнитного поля.

метра. Разряд поддерживается системой ВЧ-токов,

При концентрации электронов до 10¹⁴ см-3 и ин-

текущих по антенне, которая может иметь различ-

дукции магнитного поля 5 Тл в токамаке электрон-

ные конфигурации. В настоящей работе мы будем

ные ленгмюровская и циклотронные частоты име-

ориентироваться на параметры разряда, рассмот-

ют один порядок и составляют (5 . . . 10) · 10¹¹ рад/с,

ренные в работах [19,25,26]. Принципиальные схемы

что обеспечивает геликонный диапазон частот, ле-

экспериментальных установок [19,25,26] приведены

жащий в СВЧ-области (сотни мегагерц).

на рис. 1 в [19, 25] и на рис. 2 в [26]. Общей чер-

История исследований геликонных разрядов и

той этих схем является то, что газоразрядная каме-

создания на их основе геликонных источников плаз-

ра представляет собой стеклянный или кварцевый

мы восходит к работе Босвелла [12], которая затем

цилиндр. Его размеры варьировались как по длине

получила свое развитие [13]. В первой из этих работ

10 . . .30 см, так и по диаметру 7 . . . 45 см. Система

в трубке, помещенной во внешнее магнитное поле

из двух катушек создавала внешнее магнитное по-

739

11*

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

ле с индукцией до 400 Гс. Использовались генера-

в цилиндрической геометрии

k′

k⊥ = -id/dr и

⊥

торы ВЧ-сигнала на частотах 2, 4 и 13.56 МГц с

= -i (d/dr + 1/r) с заменой индексов x, y, z в урав-

мощностью до 1000 Вт, подключаемые через согла-

нениях (2) на r, ϕ, z соответственно. При написа-

сующее устройство. Мощность подводилась с помо-

нии системы (2) поля и токи представлялись в виде

щью спиральных антенн различной конфигурации,

ψ exp(-iωt + ik_zz), где ψ — функции декартовой ко-

реализующих как азимутальную, так и продольную

ординаты x или цилиндрической координаты r (за-

составляющие тока [19, 26], и дополнительно через

висимость от координаты y или от азимутального

емкостной канал с помощью обкладок конденсато-

угла ϕ отсутствует).

ра в торцах газоразрядной камеры [25].

В случае безграничной плазмы, полагая ψ (x) =

= const · exp(ik_⊥x) (k_⊥ — поперечное к внешнему

магнитному полю волновое число, которое пока счи-

2. МОДЕЛЬ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

таем заданным), из системы (2) получаем следую-

щие выражения для компонент электромагнитного

Тензор диэлектрической проницаемости хо-

поля:

лодной столкновительной электронной плазмы во

{(

)

4πi

ω⁴

внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси

E_z = -

χ²(k2⊥ + χ²) - g²

j0z +

z, имеет вид (см. § 3 в [27])

ωD₀

c⁴

}

(

)

ω²

⎛

⎞

+k_⊥k_z

k2⊥ + χ²

j0x + ik_⊥k_zg

j0y

ε_⊥ ig

c²

⎜

⎟

{

ε_ij =

⎝ -ig ε_⊥

⎠,

4πi

(

)

E_x = -

k_⊥k_z

k2⊥ + χ²

j0z +

ε_∥

ωD₀

}

(3)

(

)

ω²

ω2Le (ω + iν)

ε_⊥ = 1 -

[

+ χ²

k2⊥ + χ²

j0x + iχ²g

j0y

c²

ω (ω + iν)² - Ω²

(1)

{ (

)

4πi

(

)

ω²

B_y = -

k_⊥ ε_⊥

k2⊥+χ²

+g²

j0z -

ω2Le

cD₀

c²

ε_∥ = 1 -

}

ω (ω + iν)

(

)

ω²

−k_zε_∥

k²

+χ²

j0x - ik_zε_∥g

j0y

ω2LeΩ_e

⊥

g=-

[

c²

ω (ω + iν)² - Ω²

(

)

4πi {

B_z =

k_⊥

ε_⊥k2⊥ + ε_∥χ²

j0y +

cD₀

где ω — частота, ω_Le — ленгмюровская частота элек-

}

+ ik_zk2⊥gj0z + ik_⊥ χ²gj0x

тронов плазмы, ν — эффективная частота столкно-

вений электронов плазмы, Ω_e — электронная цикло-

4πi {

(

)

B_x = -

k_z

ε_⊥k2⊥ + ε_∥χ²

j0y +

тронная частота, i, j = x, y, z в плоской геометрии и

cD₀

(4)

}

i, j = r, ϕ, z в цилиндрической системе координат.

+ ik_⊥k2zgj0z + ik_z χ²gj0x

Уравнения электромагнитного поля с тензором (1)

4πi ω²

{(

)

записываются следующим образом:

E_y =

ε_⊥k2⊥ + ε_∥χ²

j0y +

ωD₀ c²

}

+ ik_⊥k_zgj0z + iχ²gj0x

k_zE_y = -

B_x, k_zE_x -k⊥E_z =

B_y,

где χ² = k2z - ε_⊥ω²/c², χ² = k2⊥ - ε_∥ω²/c², а

k′

E_y =

B_z,

⊥

(

)(

)

ω²

4π

D₀ (ω, k_z) ≡

χ² + k2⊥

χ²ε_∥ + k2⊥ε_⊥

χ².

(5)

k_zB_y =

ε_⊥E_x + i

gE_y + i

j0x,

(2)

c²

4π

Из выражений (3) и (4) следует, что в отсутствие

k_zB_x -

k⊥Bz = iωgEx -

ε_⊥E_y - i

j0y,

токов внешнего источника (j₀ = 0) электромагнит-

4π

k′

ное поле в плазме может быть отличным от нуля,

⊥

B_y = -

ε_∥E_z - i

j0z.

только если ω и k_z удовлетворяют уравнению

Здесь k_z — продольное волновое число (в направ-

D₀ (ω, k_z) = 0,

(6)

лении вдоль внешнего магнитного поля),

k⊥ и

k′

— операторы поперечного волнового числа, j₀ =

являющемуся дисперсионным уравнением для спек-

⊥

= {j0x, j0y, j0z} — вектор плотности тока внешнего

тров собственных волн магнитоактивной плазмы

источника. В плоском случае

k′

= -id/dx, а

(см. § 24 в [28]).

k⊥ =

⊥

740

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

Рис. 1. Частоты электромагнитных волн в магнитоактивной плазме: Ωe > ωLe (а), Ωe < ωLe (б)

Из соотношений (3), (4) видно, что при g = 0

изображенных на рис. 1. Нас здесь интересует толь-

электромагнитное поле в плазме распадается на

ко самая нижняя ветвь, точнее, ее начальный уча-

независимые поля E-типа и B-типа. У полей E-типа

сток, расположенный в низкочастотной длинновол-

отличны от нуля компоненты E_z , E_x, B_y, а возбуж-

новой области. При достаточно больших значениях

даться такие поля могут внешним током с плотнос-

k_⊥ (см. ниже) эта ветвь переходит в упоминавшую-

тью j₀ = {j0x, 0, j0z}. Такой способ возбуждения бу-

ся выше «косую» ленгмюровскую волну или волну

дем называть емкостным. У полей B-типа отлич-

Трайвелписа - Гоулда. Из рис. 1 видно, что назва-

ны от нуля компоненты B_z , B_x, E_y, а возбуждать-

ние «косая» ленгмюровская волна оправдано только

ся такие поля могут внешним током с плотностью

при Ω_e > ω_Le, а при выполнении противоположного

j₀

= {0, j0y, 0}. Такой способ возбуждения полей

неравенства правильнее было бы говорить о «косой»

в плазме будем называть индуктивным. Названия

циклотронной волне. Действительно, в коротковол-

связаны с тем, что в рассматриваемой геометрии

новом пределе при Ω_e > ω_Le ветвь выходит на ω_Le,

компоненты электрического поля E_x, E_z замыкают-

а при Ω_e < ω_Le — на Ω_e. При малых значениях k_⊥

ся на возмущения плотности заряда, а компонента

эта же волна переходит в волну геликонного типа.

E_y замкнута на себя (через бесконечность). Целесо-

Решая уравнение (6) относительно k2z, находим

образность таких названий в полной мере проявля-

квадрат волнового числа интересующей нас низко-

ется при рассмотрении ограниченной плазмы, осо-

частотной волны магнитоактивной плазмы

бенно в цилиндрической геометрии. В отсутствие

(

)

ω²

ε_⊥

внешнего магнитного поля или в бесконечно силь-

k2z(ω) =

ε_⊥ -

k²

⊥

c²

ε_∥

ном внешнем магнитном поле, когда g = 0, емкост-

√

(

)

ной и индуктивный способы возбуждения полей в

ω²

−

k4⊥(ε_⊥ - ε_∥)² - 4

g²ε_∥ k2⊥ -

ε_∥

(7)

плазме независимы. В магнитоактивной плазме это

2ε_∥

c²

не так. Емкостным путем можно возбудить в плаз-

ме поля B-типа, а индуктивным — поля E-типа,

В настоящей работе будет рассмотрен только случай

кроме того, в магнитоактивной плазме существуют

Ω2e < ω2Le. В этом случае при ν = 0 функция (7) по-

поля смешанного типа, которые не относятся ни к

ложительна в области частот ω² < Ω2e, являющейся

E-типу, ни к B-типу. Таким образом, в магнитоак-

областью распространения (существования) интере-

тивной плазме не может быть чисто емкостного или

сующей нас низкочастотной плазменной волны.

чисто индуктивного ВЧ-разряда. Любой разряд яв-

ляется комбинированным независимо от способа его

4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ВИД НИЗКОЧАСТОТНЫХ

создания.

ДИСПЕРСИОННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ДЛЯ

ПЛОТНОЙ И РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ

3. ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Дисперсионное уравнение (6) определяет четыре

Рассмотрим дисперсионное уравнение (6) в низ-

ветви электронных колебаний ω (k_z) (см. § 24 в [28]),

кочастотном пределе ω² ≪ Ω2e, когда формулы (1)

741

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

записываются в виде (для простоты полагаем ν = 0)

Волну (15) принято называть геликоном. При k_⊥ =

= 0 формула (15) дает «классический» геликон-

ный спектр ω = k2zc²Ω_e/ω2Le

(см. § 24 в [28]). Волна

ω2Le

ε_⊥ = 1 +

ε_∥ = -

(8)

со спектром (15) является существенно непотенци-

Ω2e

ω²

ωΩ_e

альной волной, несмотря на выполнение неравенст-

Если предположить, что выполнено неравенство

ва (9).

Таким образом, при увеличении параметра плот-

ω²/k2z ≪ c²/ε_⊥,

(9)

ности плазмы интересующая нас низкочастотная

то из уравнения (6) получается формула

волна трансформируется из косой ленгмюровской

волны (λ_e ≪ 1) в волну типа геликона (λ_e ≫ 1).

k2z

ω2LeΩ2e

При λ_e

порядка единицы тип волны не определен,

ω² =

причем ее фазовая скорость оказывается близкой к

k²

ω2Le + Ω²

⊥

(

)-1

скорости света, а формула (10) несправедлива.

ε_⊥ - 1

k2⊥

× 1+λ_e

(1 + λ_e)

(10)

ε_⊥ k2⊥

+k²

5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН В СЛУЧАЯХ

где введен важный для дальнейшего параметр плот-

ПЛОТНОЙ И РАЗРЕЖЕННОЙ ПЛАЗМЫ

ности плазмы λ_e = ω2Le/k2⊥c² (см. § 3.2, 3.3 в [29]).

Подставляя (10) в неравенство (9), получаем следу-

Вычислим поляризацию волн (13) и (15), кото-

ющее условие применимости решения (10):

рую определим формулой E_x/E_y. При индуктивном

возбуждении плазмы отлична от нуля только ком-

λ_e

≪ 1.

(11)

понента тока источника j0y . Тогда из формул (3) и

ε_⊥ - 1

k2⊥

1+λ_e

(1 + λ_e)

(4) имеем

ε_⊥ k2⊥

+k²

k2⊥ - ε_∥ω²/c²

= -ig

(16)

Неравенство (11) может быть выполнено в двух

E_y

ε_⊥k2⊥ + ε_∥χ²

случаях. В первом случае при малой плотности

Аналогично, при емкостном возбуждении плазмы,

плазмы (или большом значении k_⊥), когда

когда компонента тока j0y = 0, из формул (3) и (4)

ω2Le

имеем

λe =

≪ 1,

(12)

E_x

(k2⊥ + χ²)c²

k2⊥c²

(16a)

E_y

ω²g

из решения (10) получается следующий частотный

Если в плазме возбуждаются собственные волны, а

спектр:

именно этот случай нас сейчас интересует, то ω, k

k2z

ω2LeΩ2e

ω² =

(13)

и k_⊥ удовлетворяют дисперсионному уравнению (6).

k²

ω2Le + Ω²

⊥

При этом формулы (16) и (16a) совпадают. При вы-

Волну с частотой (13) и называют «косой» ленгмю-

полнении неравенства ω² ≪ Ω2e формулы (16) с уче-

ровской волной, что вполне оправдано с тем только

том (8) принимают вид

уточнением, что при Ω_e < ω_Le (т. е. в нашем случае)

(

)-1

логичнее было бы говорить о «косой» циклотронной

E_x

ω2Le (1+λ_e)

k2zc²

= -i

ε_⊥-λ_e

+λ_eε_⊥

(17)

волне. Волна со спектром (13) является потенциаль-

E_y

ωΩ_e

ω²

ной волной, поскольку этот спектр может быть по-

лучен из дисперсионного уравнения (6), если в нем

Полагая выполненным неравенство (12), под-

перейти к пределу c → ∞.

ставляем в (17) частоту «косой» ленгмюровской

Во втором случае неравенство (11) выполняется

волны (13), что приводит к следующему выраже-

и при большой плотности плазмы (или малом зна-

нию:

E_x

ω2Le

Ω2e

чении k_⊥), когда

= -i

(18)

E_y

ωΩ_e ω2Le + Ω

λ_e

ω2Le

λe =

≫ 1,

(14)

Последняя величина при выполнении неравенства

k2⊥c²

(12) велика, что свидетельствует о почти линейной

поляризации волны, а это свойственно именно «ко-

и формула (10) преобразуется к виду

сой» ленгмюровской волне. Поскольку |E_y| ≪ |E_x|,

ω² = k2z(k2z + k2⊥)c⁴Ω2e/ω4Le.

(15)

волна со спектром (13) преимущественно является

742

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

Рис. 2. Волновые числа низкочастотных волн в магнитоактивной плазме: kB (ω), kE (ω), точное решение (22) kz (ω)

(жирные линии) при k_⊥c < ωLe (а) и k⊥c > ωLe (б)

волной E-типа. Чисто волной E-типа «косая» ленг-

следует спектр (13), а из уравнения D_B = 0 следу-

мюровская волна является только при λ_e → 0, или

ет спектр (15). Поэтому D_E можно считать диспер-

при ω → 0.

сионной функцией «косых» ленгмюровских волн, а

Если выполнено неравенство (14), то учитывая

D_B — дисперсионной функцией волн геликонного

(9) и подставляя в (17) частоту (15), имеем

типа. Можно предположить, что система (20) опи-

√

сывает взаимодействие этих волн (см. гл. 3 в [30]).

E_x

k2⊥

Из системы (20) следует точное дисперсионное

(19)

E_y

k²

уравнение

При k2z ≪ k2⊥ величина (19) велика по модулю,

ω²

D_ED_B +

g²k2⊥k2z = χ²D₀(ω, k_z) = 0.

(22)

что свидетельствует о линейной поляризации вол-

c²

ны. Поэтому при k2z ≪ k2⊥ волна со спектром (15)

Поскольку функции χ² и D₀ одновременно в нуль

преимущественно является волной E-типа. Но при

обращаться не могут, а собственные волны в плаз-

k2⊥ ≪ k2z величина (19) близка к i, т.е. поляриза-

ме определяются только дисперсионным уравнени-

ция волны близка к круговой, что свойственно имен-

ем (6) (это, как было показано выше, следует из со-

но геликону. Последнее согласуется с тем, что при

отношений (3), (4)), собственных частот, удовлетво-

k2⊥ ≪ k2z спектр (15) близок к классическому гели-

ряющих уравнению χ² = 0, не существует. Поэто-

конному спектру ω = k2zc²Ω_e/ω2Le. Волну со спект-

му уравнения (6) и (22) определяют один и тот же

ром (15) при k2⊥ ≪ k2z, поскольку |E_x| ≈ |E_y|, ни к

набор собственных частот. Однако выделение в дис-

E-типу, ни к B-типу отнести нельзя.

персионном уравнении множителей (21) позволяет

поставить вопрос о взаимодействии «косых» ленг-

6. О СВЯЗИ ГЕЛИКОНА И КОСОЙ

мюровских волн и волн геликонного типа.

ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ВОЛНЫ

Оказывается, в низкочастотной области резо-

нансное взаимодействие этих волн невозможно, по-

Из уравнений (2) при j₀ = 0 несложно получить

скольку функции (21) ни в одной точке плоскости

следующую систему:

ω, k_z одновременно в нуль не обращаются. Более то-

го, порядок по k2z уравнения (22) (без множителя

D_BE_y = -i

gk_zk_⊥E_z,

χ²) и максимальный порядок уравнений D_E = 0 и

c²

(20)

D_B = 0 совпадают. Каждое из этих уравнений имеет

D_EE_z = -ik_zk_⊥gE_y,

только один положительный корень k2z(ω) > 0, со-

где

ответствующий распространяющейся волне. Таким

образом, взаимодействие «косых» ленгмюровских

D_E = χ²ε_∥ + k2⊥ε_⊥, D_B = χ⁴ + k2⊥χ² -

g²

(21)

волн и волн геликонного типа приводит к их сли-

c⁴

янию в некую комбинированную волну с волновым

— некоторые дисперсионные функции. В низкочас-

числом (7). Сказанное проиллюстрировано на рис. 2,

тотном пределе с учетом (9) из уравнения D_E = 0

на котором представлены нули первого соотношения

743

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

(

)

4π

(

)

ω⁴

(21) k_E (ω), второго соотношения (21) k_B (ω) и реше-

E_z = -i

χ²

k2⊥ + χ²

-g²

j0z,

ωD₀

c⁴

ние точного уравнения (22) k_z (ω). Видно, что при

4π

(

)

уменьшении параметра плотности плазмы волно-

E_x = -i

k_⊥k_z

k2⊥ + χ²

j0z,

(25)

вое число низкочастотной волны ближе к волновому

ωD₀

числу k_E (ω), а при увеличении параметра плотно-

4π ω²

E_y = -

k_⊥k_zgj0z.

сти волновое число приближается к волновому чис-

ωD₀

c²

лу k_B (ω). В общем случае, т. е. при промежуточ-

И наконец, при поперечном емкостном способе j0z =

ных значениях параметра плотности плазмы λ_e, тип

= j0y = 0, и из формул (3) и (4) следует

интересующей нас волны не определен: это слож-

4π

ная продольно-поперечная электромагнитная волна

E_z = -i

k_⊥k_z(k2⊥ + χ²)j0x,

ωD₀

смешанного типа.

4π

(

)

E_x = -i

χ²

k2⊥ + χ²

j0x,

(26)

ωD

7. ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЕ

4π ω²

E_y = -

χ²gj0x.

СПОСОБЫ ВЛОЖЕНИЯ МОЩНОСТИ В

ωD₀

c²

ПЛАЗМУ

Поскольку формулы (23)-(26) достаточно сложны,

Для вычисления плотности мощности W , пере-

рассмотрим предельные случаи.

даваемой плазме внешним источником, следует ис-

пользовать формулы (3) и (4) и учесть столкнове-

ния в плазме. Исходим из формулы W = 〈j · E〉,

8. ВЛОЖЕНИЕ МОЩНОСТИ В ПЛАЗМУ

где E — вектор напряженности электрического по-

ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ КОСОЙ

ля, компоненты которого определены в (3), (4), j —

ЛЕНГМЮРОВСКОЙ ВОЛНЫ

вектор плотности тока, наведенного в плазме, а уг-

ловые скобки означают усреднение по времени. Вы-

При выполнении неравенства (12) в плазме воз-

ражая плотность тока через напряженность поля и

буждается «косая» ленгмюровская волна E-типа со

диэлектрическую проницаемость, имеем

спектром (13). Дисперсионная функция (5) в этом

случае может быть записана следующим образом:

[

(

)

(

)

W =

ε^′′

|E_x|² + |E_y|2

⊥

D₀ (ω, k_z) =

k2z + k2⊥

^D (ω, k_z) ,

8π

]

(27)

+ ε′′∥ |E_z|² - 2g′′ Im(E^∗xE_y) ,

(23)

(

)

^D (ω, k_z) =

k2zε_∥ + k2⊥ε_⊥

где индекс два штриха означает мнимую часть. При

В низкочастотном пределе выражение (13) являет-

получении (23) используется материальное уравне-

ся решением уравнения

D= 0. Случаю очень мало-

ние

го параметра плотности плазмы соответствует фор-

j_i = σ_ijE_j =

(ε_ij - δ_ij ) E_j ,

мальный предельный переход c → ∞, осуществляя

4πi

который в формулах (25) и (26) легко получаем ис-

где σ_ij — тензор проводимости плазмы, δ_ij — символ

комый результат. В случае продольного емкостного

Кронекера. В случае индуктивного способа возбуж-

способа из формул (25) имеем

дения волн в плазме при вычислении полей следует

4π

положить j0x = j0z = 0. При этом из формул (3) и

E_z = -i

k2zj0z,

ωD

(4) находим

(28)

4π

E_x = -i

k_⊥k_zj0z, E_y = 0.

E_z =

k_⊥k_zg

j0y,

ωD

ωD₀

c²

Подставляя выражения (28) в формулу (23), нахо-

4π

E_x =

χ²g

j0y,

(24)

дим следующее выражение для мощности, выделя-

ωD₀

c²

емой в плазме при продольном емкостном способе

4π ω

E_y = i

(ε_⊥k2⊥ + ε_∥χ²)j0y.

возбуждения «косой» ленгмюровской волны:

ωD₀

c²

2π

Емкостных способов возбуждения волн в плазме мо-

WC∥ =

k2z(

)₂

(

)₂ |j0z|² .

(29)

жет быть два. При продольном емкостном способе

+ Im

j0x = j0y = 0 и из формул (3) и (4) имеем

744

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

4π

Используя известное выражение для мощности, вы-

E_z = -i

k_⊥k_zj0x,

ωD

деляемой в электрической цепи на сопротивлении R

(31)

переменным током, Q = I²R/2, введем эффективное

4π

E_x = -i

k2⊥j0x, E_y = 0,

удельное сопротивление плазмы ρ_C∥ = 2W_C∥/ |j0z |²

ωD

при продольном емкостном способе подключения¹⁾.

4π

Тогда из выражения (29) имеем

ρ_C⊥ =

k2⊥

(32)

(

)₂

(

)₂ .

+ Im

4π

ρ_C∥ =

k2z(

)₂

(

)₂ .

(30)

+ Im

Выражения (30) и (32) содержат одинаковый мно-

житель, зависящий от частоты и определяющий ре-

Аналогично для поперечного емкостного способа из

зонансные свойства. Приведем его явное выражение

формул (26) находим

для случая ν ≪ ω ≪ Ω_e:

(

)

k2z + k2⊥ω²/Ω2e

ω2Leν

(

)₂

(

)₂ = ω³

(33)

ω² [k2⊥ (1 + ω2Le/Ω²)ω2 - k2zω2Le]2 + (k2z + k2⊥ω2/Ω2e)2 ω4Le

ν²

+ Im

В случае индуктивного способа возбуждения

(пропорциональная ε^′′⊥) к возбуждению волн отно-

формальный предельный переход c → ∞ недостато-

шения не имеет. Тем не менее, она также содержит

чен, поскольку дает нулевой результат, что видно из

резонанс ω ≈ Ω_e, обусловленный резонансной рас-

выражений (24), в которых члены, пропорциональ-

качкой полем внешнего источника циклотронных

ные ω²/c², следует оставить (других просто нет). Ве-

колебаний электронов плазмы. Циклотронный ре-

личины D₀ и χ² преобразуются так же, как в случае

зонанс нас здесь не интересует, поскольку лежит в

емкостных методов. В результате получаем

области слишком высоких частот.

Сравнивая эффективные удельные сопротивле-

4π k_⊥k_z

E_z =

j0y,

ния при различных способах возбуждения «косой»

ωD k2⊥ +k^z

c²

ленгмюровской волны, имеем

4π k2⊥

E_x =

j0y,

(34)

ωD k2⊥ +k^z

c²

ω⁴

ρ_L =

|g|² ρ_C⊥, ρ_C∥ =

ρ_C⊥.

(36)

4π

(k2⊥c² + k2zc²)²

E_y = i

j0y.

⊥

ω (k2⊥ + k2z) c2

Таким образом, эффективные удельные сопротивле-

При подстановке выражений (34) в формулу (23)

ния при емкостных способах возбуждения примерно

пренебрежем величиной g^′′ по сравнению с ε^′′⊥ и

одинаковы и существенно больше, чем эффективное

ε^′′∥ (что допустимо при |ω + iν| ≪ Ω_e). В результа-

те, для эффективного удельного сопротивления при

удельное сопротивление при индуктивном способе

возбуждения.

индуктивном способе возбуждения «косой» ленгмю-

ровской волны имеем

4π

ρ_L =

9. ВЛОЖЕНИЕ МОЩНОСТИ В ПЛАЗМУ

ω (k2⊥c² + k2zc²)²

ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ ГЕЛИКОНА

⎛

⎞

⎜

⎟

Рассмотрим теперь случай, когда выполнено

⎝|g|²

k2⊥(

)₂

(

)₂ + ε^⊥′

⎠.

(35)

неравенство (14) и в плазме возбуждается электро-

+ Im

магнитная волна геликонного типа. Случаю очень

Выражение (35) состоит из двух частей. Первая

большого параметра плотности плазмы соответству-

часть резонансная. Именно она отвечает за возбуж-

ет формальный предельный переход k_⊥ → 0. При

дение «косой» ленгмюровской волны. Вторая часть

этом

¹⁾ Определенное таким образом эффективное удельное сопротивление плазмы совпадает с вещественной частью удельного

комплексного импеданса плазменного разряда, рассчитанного в работе [31].

745

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

D₀ (ω, k_z) = ε_∥(ω)D⁽⁺⁾ (ω, k_z)D(-) (ω, k_z),

(37)

D(±) (ω, k_z) = χ² ± g

c²

а формулы (24) принимают вид

4π

E_z = 0, E_x = -

j0y,

ωD⁽⁺⁾D(-)

c⁴

(38)

4π

E_y = i

χ²j0y.

ωD⁽⁺⁾D(-) c²

Заметим, что дисперсионное уравнение D(-) = 0 как

раз и определяет классический геликонный спектр

ω = k2zc²Ω_e/ω2Le, а решения уравнения D⁽⁺⁾ = 0 ле-

жат вне интересующей нас низкочастотной области.

Рис. 3. Эффективные удельные сопротивления плазмы

при различных способах возбуждения: поперечный емкост-

Подставляя выражения (38) в формулу (23), вычис-

ной (1), продольный емкостной (2) и индуктивный (3)

ляя эффективное удельное сопротивление и прене-

брегая, как и прежде, величиной g^′′, имеем

Выражение (42) вообще не содержит резонанса на

4π

ε^′′⊥

ρ_L =



геликонной частоте. Зато имеется резонанс на ленг-

_D(+)

²

2 c4

D(-)

мюровской частоте, описывающий резонансное ем-

(



)



²

костное возбуждение ленгмюровской волны ω

ω²



|g|² ω

ε_⊥

(39)

^k



= ω_Le, являющейся согласно (37) собственной вол-

c⁴

c²

ной. Этот резонанс нас здесь не интересует, посколь-

ку лежит в области слишком высоких частот.

Считая, что выполнены неравенства ν, ω ≪ Ω_e и

условие (9), преобразуем выражение (39) к следую-

В случае поперечного емкостного способа из

формул (26) имеем

щему виду:

4π

E_z = 0, E_x = i

χ²j0x,

k4zc⁴Ω2e + ω4Leω

ρ_L = 4πω

ωD⁽⁺⁾D(-) c²

(43)

(k2zc²Ω_e + ω2Leω)²

4π

ω⁴

E_y =

gj0x.

νωω2Le

ωD⁽⁺⁾D(-) c⁴

(40)

(k2zc²Ω_e - ω2Leω)² + ν²ω²ω4Le/Ω²

Формулы (43) отличаются от формул (38) с точнос-

тью до знака только заменой E_x ↔ E_y и j0y ↔ j0x

Общая формула (39) и ее упрощенный вариант опре-

Поскольку согласно (23) мощность определяется

деляют эффективное удельное сопротивление при

суммой квадратов модулей этих компонент, эффек-

индуктивном способе возбуждения в плазме волны

тивные удельные сопротивления при индуктивном и

геликонного типа.

поперечном емкостном способах возбуждения плаз-

Перейдем теперь к емкостным способам возбуж-

мы совпадают, т. е.

дения. В случае продольного емкостного способа,

полагая в формулах (25) k_⊥ = 0, имеем

ρ_C⊥ = ρ_L.

(44)

4π

Что касается продольного емкостного способа, то

E_z = -i

j0z, E_x = 0, E_y = 0.

(41)

эффективное удельное сопротивление при возбуж-

ωε_∥

дении геликона, согласно (42), невелико, поскольку

Подстановка выражений (41) в формулу (23) и вы-

резонанс на геликонной частоте отсутствует.

ражение для эффективного удельного сопротивле-

Результаты расчета эффективных удельных

ния дает

сопротивлений с использованием общих формул

(24)-(26) представлены на рис. 3. Расчеты были

4π

ε^′′∥

проведены при следующих параметрах: Ω_e/ω_Le =

ρ_C∥ =



|j0z|² =

²

= 0.2, ν/ω_Le = 0.005, kz = k⊥ и λe = 1. Выбор

^ε_∥

параметров обусловлен тем, что, с одной стороны,

νω2Le

= 2π

(42)

рассчитывался промежуточный случай, когда прос-

(ω² - ω2Le)² + ν²ω4Le

/ω²

тые формулы (30), (32), (35) и (39), (40), (42) не

746

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

применимы, а тип волны не определен. С другой

представляет собой однородный цилиндр радиуса R,

стороны, данные параметры характерны для ре-

а токи источника текут по поверхности плазменного

альных экспериментов, с тем лишь ограничением,

цилиндра, т. е.

что в экспериментах используются цилиндрические

j0ϕ(r) = j0ϕδ(r - R), j0z(r) = j0zδ(r - R),

(47)

газоразрядные камеры. Максимум эффективного

удельного сопротивления приходится на частоту,

где j0z,ϕ — поверхностные плотности токов, кото-

близкую к частоте волны в плазме при выбранном

рые считаются заданными. Обычно в экспериментах

значении k_z . Эта частота совпадает с минимальным

продольный ток j0z равен нулю или мал по сравне-

корнем дисперсионного уравнения (6). Видно, что

нию с азимутальным током. Мы здесь, для общно-

при λ_e = 1 самое низкое эффективное удельное со-

сти изложения, учитываем обе составляющие тока

противление имеет место при индуктивном методе

источника. Из формул (47) следует, что в плазме

возбуждения волн в плазме. Однако при больших

(0 ≤ r < R) и вне плазмы (r > R) уравнения (45)

параметрах плотности плазмы, что соответствует

являются однородными, а наличие токов источника

условиям многих экспериментов [19, 25, 26], самые

следует учитывать с помощью условий на границе

высокие эффективные удельные сопротивления

r = R. Уравнения (45) записаны для общего случая

плазмы реализуются при индуктивных и попе-

произвольной зависимости диэлектрических прони-

речных емкостных способах возбуждения волн

цаемостей и токов источника от r, поэтому гранич-

(формулы (39), (40) и (42)).

ные условия получаются с учетом формул (47) пря-

мо из уравнений (45) и имеют вид

}

^{ dE_ϕ

ω 4π

10. ОСОБЕННОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

{E_ϕ}_R = 0,

= -i

j0ϕ,

dr_R

c c

ГЕОМЕТРИИ

{E_z}_R = 0,

(48)

Случай пространственно-ограниченной плаз-

}

^{ε_⊥ dE_z

4π

мы, особенно в цилиндрической геометрии, имеет

-k_z

E_ϕ

j0z,

χ²

важные особенности, поэтому заслуживает отдель-

ного рассмотрения, тем более что многочисленные

где фигурные скобки означают разность значений

экспериментальные исследования проводятся с осе-

при R + 0 и R - 0. В области r < R, где плазма

симметричными цилиндрическими плазменными

однородна, уравнения (45) можно записать в виде

(

)

структурами. Учитывая специфику цилиндриче-

ω²

k_z

ской геометрии, положим радиальную плотность

k⊥k⊥+χ²-ω4

g²

E_ϕ = -i

k⊥Ez ,

c⁴

χ²

c²

χ²

тока внешнего источника j0r равной нулю. Тогда из

)

(49)

⁽ε_⊥

уравнений (2) получаются следующие уравнения:

k′

⊥

k⊥ + ε∥ Ez = -ikz

⊥

E_ϕ.

χ²

(

)

ω⁴

При r > R полагаем ε_⊥ = ε_∥ = 1, g = 0, χ² = k2z -

k⊥k⊥ + χ² -

g²

E_ϕ =

c⁴

χ²

- ω²/c² ≡ χ²⁰ и уравнения (45) записываем следую-

k_z

щим образом:

= -i

k⊥Ez + i4πωj0ϕ,

(

)

(

)

c²

χ²

c c

(45)

k′

k⊥k⊥ + χ⁰

E_ϕ = 0,

⊥

k⊥ + χ⁰

E_z = 0.

(50)

k′ ε⊥

k⊥Ez + ε∥Ez =

^⊥χ²

Решения уравнений (49) должны быть ограничены в

4π

= -ik_zk^′ g_⊥

E_ϕ - i

j0z,

нуле, а решения уравнений (50) должны обращаться

χ²

в нуль на бесконечности. Возможен вариант, когда

плазменный цилиндр заключен в цилиндрический

и соотношение для радиальной составляющей на-

пряженности электрического поля:

проводящий кожух с радиусом R₀ > R. В этом слу-

чае вместо ограниченности на бесконечности гра-

k_z

ничные условия для уравнений (50) берутся в виде

E_r =

k⊥Ez + i

gE_ϕ.

(46)

χ²

c²χ²

E_z (R₀) = E_ϕ (R₀) = 0.

(51)

Азимутальный ток j0ϕ имеет индуктивную при-

Ограниченное в нуле решение уравнений (49)

роду, а природа продольного тока j0z емкостная —

имеет вид (см. § 3.1 в [29])

он обязательно связан с продольной модуляцией

плотности заряда внешнего источника. Исходя из

E_ϕ = A₁J₁ (κ₁r) + A₂J₁ (κ₂r) ,

(52)

условий эксперимента, предполагаем, что плазма

E_z = β (κ₁)A₁J₀ (κ₁r) + β (κ₂)A₂J₀ (κ₂r) ,

747

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

∫

где

[

(

)

⎧

W =

ε^′′

⊥

|E_r(r)|² + |E_ϕ(r)|2

8π

⎨

(

)

ω²

κ21,2 =

ε_⊥ + ε_∥

χ² - g²

]

2ε_⊥ ⎩

c²

+ ε′′∥ |E_z(r)|²

- 2g^′′ Im(E^∗r(r)E_ϕ(r)) 2πr dr,

(56)

⎫

√[

]₂

⎬

(

)

ω²

и получается выражение для мощности внешнего

ε_⊥ - ε_∥

χ² + g²

+ 4ε_∥g²k²

(53)

c²

^z c² ⎭

источника, выделяемой на единицу длины плазмен-

ного цилиндра. В общем случае выражение для

k_zgκ

мощности оказывается чрезвычайно громоздким и

β(κ) = -

(54)

κ²ε_⊥ + χ²ε_∥

неинформативным, поэтому приводить его здесь не

имеет смысла. Целесообразнее привести результаты

Вне плазмы удобно взять следующие ограниченные

конкретных расчетов, что и будет сделано в даль-

на бесконечности решения уравнений (50):

нейшем, а также рассмотреть предельные случаи.

E_ϕ = BK₁ (χ₀r) ≡ BZ₁ (χ₀r) ,

(55)

E_z = CK₀ (χ₀r) ≡ CZ₀ (χ₀r) ,

11. СПЕКТРЫ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН

а смысл обозначений Z0,1 (χ₀r) будет понятен из

ПЛАЗМЕННОГО ЦИЛИНДРА

дальнейшего. Если имеется проводящий кожух и

используются граничные условия (51), то решения

Предварительно выясним отличия спектров низ-

уравнений (50) записываются в виде

кочастотных волн плазменного цилиндра от спек-

(

)

тров низкочастотных волн безграничной плазмы.

K₁ (χ₀R₀)

E_ϕ = B K₁ (χ₀r) - I₁ (χ₀r)

≡

Из формулы (13) видно, что при увеличении по-

I₁ (χ₀R₀)

перечного волнового числа k_⊥ частота ω уменьша-

≡ BZ1 (χ₀r) ,

ется (ω ∝ k-1⊥), а из формулы (15) следует прямо

(

)

(55a)

K₀ (χ₀R₀)

противоположное — частота ω с ростом k_⊥ возрас-

√

E_z = C K₀ (χ₀r) - I₀ (χ₀r)

≡

тает (ω ∝

k2⊥ + k

). В случае пространственно-

I₀ (χ₀R₀)

безграничной плазмы k_⊥ может быть любым, но

≡ CZ0 (χ₀r).

в плазменном цилиндре k_⊥ принимает дискретный

Использование обозначений Z0,1 позволяет случаи

набор значений k_⊥n, соответствующих различным

отсутствия и наличия внешнего кожуха рассматри-

поперечным модам цилиндра. Известно, что с рос-

вать единообразно. При R₀ → ∞ решения (55a) пе-

том номера моды n числа k_⊥n возрастают. Поэто-

реходят в (55).

му частоты косых ленгмюровских волн плазменно-

Ограниченное решение (52) уравнений (49) пред-

го цилиндра с ростом номера моды уменьшаются,

ставлено в виде суперпозиции двух фундаменталь-

а частоты геликоноподобных волн с ростом номе-

ных решений. Однако не следует эти фундаменталь-

ра моды увеличиваются, что приводит к «переме-

ные решения отождествлять с геликоном и косой

шиванию» частот волн разного типа. Кроме того, в

ленгмюровской волной. Коэффициенты в (52) и (55)

цилиндрической геометрии имеется двойной набор

или (55a) определяются из граничных условий (48)

собственных значений k_⊥n и соответствующих им

и, таким образом, в системе возбуждается смесь ге-

собственных функций, что связано с несовпадени-

ликона и косой ленгмюровской волны. Лишь в от-

ем цилиндрических операторов поперечного волно-

k′

дельных случаях, при специально подобранных па-

вого числа

k⊥ и

⊥

. Частоты косых ленгмюровских

раметрах системы, возможно обращение в нуль од-

волн формируются в основном одним набором соб-

ного из коэффициентов A1,2 (по терминологии [32] —

ственных значений k_⊥n, а частоты геликоноподоб-

антирезонансные условия).

ных волн — другим набором. В волноводе с анизот-

Дальнейшие действия сводятся к следующему.

ропной плазмой разные наборы собственных значе-

Решения (52) и (55) подставляются в граничные

ний k_⊥n оказываются связанными между собой (че-

условия (48) и определяются постоянные A1,2, B и

рез граничные условия для электромагнитного по-

C. Потом из выражений (52) и (46) определяют-

ля), чем и обусловлена сложная структура частот-

ся компоненты напряженности электрического по-

ных спектров плазменного цилиндра.

ля в плазме. И, наконец, компоненты поля E_z , E_r

Подход, основанный на неравенстве (9), в цилин-

и E_ϕ подставляются в цилиндрический аналог фор-

дрическом случае оказывается не очень удобным.

мулы (23)

Поэтому выберем метод исследования, отличный от

748

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

использованного в случае безграничной плазмы. По-

величины (57) оказываются комплексными (из-за

скольку нас интересуют низкочастотные длинновол-

отрицательности подкоренного выражения). Поэто-

новые возмущения плазмы, проведем в формулах

му компоненты поля, определяемые формулами (59)

(52)-(54) предельный переход ω → 0, k_z → 0, пред-

и (60), при Z < Z₀ не совсем обычные — они вы-

полагая при этом, что предел отношения ω/k_z при

ражаются через функции Бесселя комплексного ар-

k_z → 0 существует и является конечным. Заметим,

гумента. Обычно поля выражаются через функции

что такой предел, как видно из решения (10), суще-

Бесселя или чисто вещественного, или чисто мнимо-

ствует и в случае безграничной плазмы. Более то-

го аргументов (как и в нашем случае при Z > Z₀).

го, случай безграничной плазмы вполне может быть

Можно сказать, что величина Z₀ является «крити-

рассмотрен предельным переходом ω → 0, kz →

ческой» для структуры поля плазменного цилиндра.

→ 0. Однако при этом члены более высокого, чем

Величина Z по формулам (см. (58))

k2z, порядка в правой части формул (10) и (15) по-

k2zc²

лучить нельзя. Нельзя с помощью предельного пе-

ω² =

β =

√

(62)

рехода получить и классический геликонный спектр

1+Z

k_zc

1+Z

ω = k2zc²Ω_e/ω2Le. Поэтому при рассмотрении плаз-

определяет частоты и фазовые скорости низкоча-

менного цилиндра в пределе ω → 0, k_z → 0 нель-

стотных волн плазменного цилиндра. Очевидно,

зя одновременно переходить к случаю безграничной

что формулы (62) применимы не только в преде-

плазмы R → ∞, или k_⊥ → 0.

ле ω → 0, но и для конечных частот, лишь бы было

В результате предельного перехода ω → 0, k_z →

выполнено неравенство ω ≪ Ω_e и были применимы

→ 0 соотношения (53) преобразуются к виду

приближенные формулы (8), использованные при

{

получении (57)-(60). Нас в дальнейшем будут инте-

λ_e

κ21,2R² =

(Z - 2b) ±

ресовать величины β — безразмерные фазовые ско-

2(1 + b)

√

}

рости, равные отношению фазовых скоростей низ-

Z² - 4(Z + 1)b

≡q21,2,

(57)

кочастотных волн к скорости света.

где

12. СЛУЧАЙ ПРОВОДЯЩЕГО ЦИЛИНДРА

k2zc

Z =

- 1 ∈ (0,∞),

СО СПЛОШНЫМ ПЛАЗМЕННЫМ

ω²

(58)

ЗАПОЛНЕНИЕМ

ω2Le

λe =

R², b =

c²

Ω²

Начнем с не самого интересного для приложе-

—

ний в физике газового разряда случая R = R₀

Параметр λ_e в цилиндрическом случае играет роль

проводящий цилиндр со сплошным плазменным за-

параметра плотности плазмы, введенного ранее в

полнением. Подставляя выражения (59) в гранич-

(10). В том же пределе из соотношений (52) имеем

ные условия (51), получим следующее дисперсион-

ное уравнение:

E_ϕ = A₁J₁ (q₁ξ) + A₂J₁ (q₂ξ),

√

E_z = -

λ_eb(Z + 1) ×

(59)

q₁P (q₂)J₁ (q₂)J₀ (q₁) -

(

)

q₁

q₂

- q₂P (q₁)J1 (q₁)J0 (q₂) = 0.

(63)

× A₁J0 (q₁ξ)

+A₂J₀ (q₂ξ)

P (q₁)

P (q₂)

На рис. 4 представлены безразмерные фазовые ско-

где ξ = r/R, а P (q) = q²(1+b)-λ_e(Z -b). Используя

рости плазменных волн β (λ_e), полученные числен-

формулу (46), также находим

ным решением уравнения (63) при b = ω2Le/Ω2e =

√

[

(

)

= 25. Диапазон изменения параметра плотности λ_e

ω_Le

q²¹(Z + 1)

(58) взят достаточно широким, охватывающим все

E_r = i

A₁J₁ (q₁ξ)

ω Z-b

P (q₁)

возможные случаи плотности плазмы и поперечных

(

)]

q²²(Z + 1)

размеров системы на экспериментальных установ-

+ A₂J1 (q₂ξ)

(60)

P (q₂)

ках [19,25,26]. Штриховыми линиями отмечены кри-

тическая фазовая скорость β₀ = 1/√1 + Z0 и мак-

√

Из формул (57) следует, что при

симальная фазовая скорость β_max = 1/

1 + 2b (см.

(

√

)

ниже). Область малых β на рисунке не изображена.

Z < Z₀ = 2b 1 +

1 + 1/b

(61)

Можно показать, что все кривые β (λ_e) начинаются

749

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Рис. 4. Фазовые скорости волн проводящего цилиндра

Рис. 5. Параметр связи волн сплошного плазменного ци-

со сплошным плазменным заполнением в низкочастотном

линдра

пределе

в точке λ_e = 0, β = 0. Для каждого λ_e имеется

счетное множество фазовых скоростей, а каждый

элемент этого множества соответствует некоторой

поперечной моде плазменного цилиндра. Представ-

ленные на рис. 4 кривые β (λ_e) являются немонотон-

ными (за исключением самой верхней кривой), что

отражает сложную природу различных поперечных

мод. Будем нумеровать эти моды сверху вниз β₁ >

>β₂ >...>β_n >...

Чтобы разобраться в структуре представленных

на рис. 4 кривых β_n (λ_e), запишем дисперсионное

уравнение (63) в виде

J₁ (q₂)J₀ (q₁) = Q(Z, b)J₁ (q₁)J₀ (q₂),

Рис. 6. Фазовые скорости невзаимодействующих волн про-

(63a)

водящего цилиндра со сплошным плазменным заполнени-

q₂P (q₁)

Q(Z, b) =

ем

q₁P (q₂)

и рассмотрим его в области 0 < β < β₀ (или Z > Z₀).

где μ0m — нули функции Бесселя нулевого порядка,

В этой области для приближенного решения урав-

μ1m — нули функции Бесселя первого порядка. Фа-

нения (63a) можно применить методы теории слабо

зовые скорости β (λ_e), найденные из уравнений (64),

связанных волн (см. гл. 3 в [30]). Действительно, ве-

представлены на рис. 6, на котором очевидно про-

личина Q(Z, b) при Z > Z₀ (безразмерная фазовая

сматривается та же структура, что и на рис. 4. Фа-

скорость β < β₀, β₀ изображена штриховой лини-

зовые скорости β (λ_e), полученные из первого урав-

ей на рис. 4) является малым параметром, что вид-

нения (64), возрастают при увеличении λ_e, а фазо-

но из рис. 5, на котором величина Q(Z, b) изобра-

вые скорости, найденные из второго уравнения (64),

жена как функция (Z - Z₀) /Z₀. Представленная на

при увеличении λ_e убывают. Имеющаяся на рис. 4

рис. 5 кривая практически не зависит от параметра

«раздвижка» кривых в точках их пересечения, обу-

b = ω2Le/Ω2e.

словлена взаимодействием волн. Напомним, что в

В нулевом приближении по параметру связи

случае рис. 6 взаимодействием волн пренебрегалось

Q(Z, b) дисперсионное уравнение (63a) распадается

(полагалось Q(Z, b) = 0).

на два уравнения:

Ранее мы отмечали, что в цилиндрической гео-

J₀ (q₁) = 0 → q²¹ = μ20m,

метрии имеется двойной набор поперечных соб-

(64)

J₁ (q₂) = 0 → q²² = μ21m,

ственных значений, определяемых нулями функций

750

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

Бесселя μ0m и μ1m. В нулевом приближении по па-

Сравнивая (69) и (15), заключаем, что волны со

раметру связи Q(Z, b) эти наборы независимы. Од-

спектром (69) являются геликоноподобными волна-

нако в рамках точного дисперсионного уравнения

ми.

(63) они связаны, а поэтому различные попереч-

Таким образом, высокие (n ≥ 2) поперечные мо-

ные моды переходят друг в друга, что несложно

ды проводящего цилиндра со сплошным плазмен-

увидеть, сравнивая рис. 4 и 6. Удобно ввести неко-

ным заполнением при малом значении параметра

торое эффективное собственное значение, включа-

плотности плазмы λ_e являются косыми ленгмюровс-

ющее оба набора собственных значений нулевого

кими волнами, а при больших λ_e они становят-

по связи волн приближения. Учитывая неравенства

ся волнами геликонного типа. Трансформация типа

√

μ₀₁ < μ₁₁ < μ₀₂ < μ₁₂ < . . ., определим эффектив-

волны происходит при λ_e ≈ μ2n

1 + 1/b. Все про-

ное собственное значение формулой

исходит примерно так же, как и в пространствен-

{

√

но-безграничной плазме, где трансформация типа

μ0n,

λ_e < μ21(n-1)

1 + 1/b,

μ_n (λ_e) =

√

волны имеет место при λ_e ∼ 1. Заметим, что фор-

μ1(n-1), λ_e > μ20n

1 + 1/b,

(65)

мула (66) является цилиндрическим аналогом фор-

n = 2,3,...

мулы (10).

Важная особенность волн проводящего цилинд-

Используя величины (65), решения обоих уравнений

ра со сплошным плазменным заполнением связана

(64) можно записать в виде

с основной поперечной модой n = 1. При малом зна-

λ_eμ2n

чении параметра плотности плазмы эта мода опре-

β2n (λ_e) =

(λ_e + μ2n) [μ2n + b (λ_e + μ2n)]

(66)

деляется формулами (68), в которых k⊥1 = μ₀₁/R,

т. е. является обычной косой ленгмюровской волной.

n = 2,3,...

Однако при увеличении параметра плотности плаз-

Решения первого уравнения

(64) (возрастающие

мы трансформации этой моды в волну геликонного

кривые на рис. 6) формулы (66) определяют при вы-

типа не происходит. Анализ формул (57) и уравне-

полнении неравенств

ния (63), а также результаты численных расчетов

√

λe < μⁿ

1 + 1/b,

(67)

свидетельствуют о наличии следующего предельно-

го соотношения:

а решения второго уравнения (64) (убывающие кри-

вые на рис. 6) формулы (66) определяют при выпол-

→

λe ≫ μ⁰n : β¹ = βmax =

нении противоположного неравенства. Формально,

1 + 2b

√

при λ_e = μ2n

1 + 1/b функции (66) достигают мак-

Ω2e

→ω²¹ =k2zc²

(70)

симального значения β2n = β²⁰. На самом деле, этот

Ω2e + 2ω²

вывод нуждается в уточнении, поскольку при при-

Предельная волна (70) является существенно непо-

ближении β к β₀ величина Z стремится к Z₀, пара-

тенциальной, хотя при Ω2e ≪ ω2Le ее фазовая ско-

метр связи волн Q(Z, b) → 1 (см. рис. 5) и уравне-

рость мала по сравнению со скоростью света. В этом

ния (64) становятся неприменимыми. По этой при-

смысле она ближе к волнам геликонного типа, чем

чине неравенства в определении (65) должны быть

к косым ленгмюровским волнам.

достаточно сильными.

Отдельного внимания заслуживает структура

При выполнении сильного неравенства (67) и с

напряженности электрического поля этой волны.

учетом определения (65) из (66) находим

Поскольку β₁ > β₀, то величины (57) оказывают-

λ_e

ся комплексными. Поэтому компоненты поля (59)

β2n =

→ω2n =

μ20n(1 + b)

и (60) не только осциллируют, но и возрастают к

границе плазменного цилиндра, причем тем силь-

k2z

ω2LeΩ2e

n = 2,3,...,

(68)

нее, чем больше параметр плотности плазмы. Та-

k²

ω2Le + Ω²

⊥n

ким образом поле волны при больших λ_e прижато к

где k_⊥n = μ_n/R. Сравнивая выражения (68) и (13),

границе r = R, как у поверхностной волны (рис. 7,

приходим к выводу, что волна со спектром (68)

компонента E_r построена без множителя ω_Le/ω в

является косой ленгмюровской волной. Аналогич-

формуле (60)), поэтому такую волну естественно на-

но при выполнении сильного обратного неравенства

звать квазиповерхностной плазменной волной. Рас-

(67) из формулы (66) имеем

четы также показывают, что компоненты напряжен-

μ2n

Ω2e

ности электрического поля E_z и E_ϕ

в этой волне

β2n =

→ω2n =k2zk2⊥nc⁴

(69)

bλ_e

ω⁴

примерно равны (на рис. 7 они с графической точно-

751

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Рис. 7. Компоненты поля квазиповерхностной плазмен-

Рис. 8. Фазовые скорости волн плазменного цилиндра ра-

ной волны: Eϕ, Ez (сплошные линии, совпадают с гра-

диуса R в проводящем кожухе радиуса R0 = 3R. Моды с

фической точностью), Er (штриховая линия) при b = 25,

номерами n ≥ 2, b = 25, низкочастотный предел

λe = 50, R0 = R

пределе ω → 0, k_z → 0 (точнее ωR/c ≪ 1 и k_zR ≪ 1)

стью совпадают). Значение параметра b = ω2Le/Ω2e,

формулы (55a) можно записать в виде

для которого выполнено построение рисунка, сов-

падает со значением, использованным для рис. 4. В

E_ϕ = B (R₀/r - r/R₀), E_z = C ln(R₀/r).

(73)

качестве значения параметра плотности (λ_e = 50)

Подставляя выражения (59) и (73) в граничные

использовано одно из характерных промежуточных

условия (48) (при j0ϕ = j0z = 0) и исключая постоян-

значений по оси абсцисс на рис. 4.

ные A1,2, B и C, получаем следующее дисперсионное

Из формул (59) и (60) в нулевом приближе-

уравнение:

нии по параметру связи волн Q(Z, b) несложно по-

лучить выражения для компонент напряженнос-

U (q₁) V (q₂) - U (q₂) V (q₁) = 0,

(74)

ти электрического поля косых ленгмюровских волн

(спектр (68))

где

E_zn = AJ₀ (μ0nr/R),

R₀/R - R/R₀

U (q) = J₁(q) + qJ′1(q)

ω_LeΩ_e

R₀/R + R/R₀

E_rn = i

√

AJ₁ (μ0nr/R) ,

(71)

(

)

Ω2e + ω²

q²

V (q) = J₁(q)

1 - (1 + b)

(75)

E_ϕn ≈ 0, n = 1, 2, . . .,

P (q)

ln (R₀/R) + J₀(q)

и волн геликонного типа (спектр (69))

× Z-b

P (q)

E_ϕn = AJ₁ (μ1nr/R),

Связь между константами в решении (59) определя-

Ω_e

μ21n

ется формулой

E_rn = i

c²AJ₁ (μ1nr/R),

(72)

ωω²

R²

A₂ = -A₁U (q₁) /U (q₂).

(76)

E_zn ≈ 0, n = 2, 3, . . .

) волн с

Безразмерные фазовые скорости β_n (λ_e

Здесь A — постоянная величина.

номерами n ≥ 2, полученные при численном реше-

нии уравнения (74) при R₀ = 3R и b = 25, представ-

лены на рис. 8. Параметры для построения выбра-

13. СЛУЧАЙ ПЛАЗМЕННОГО ЦИЛИНДРА

ны такими же, как и в случае полного заполнения

СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

плазмой проводящего цилиндра. Радиус металличе-

Перейдем теперь к рассмотрению более важного

ского кожуха R₀ = 3R значительно превосходит ра-

случая R < R₀. Этот случай, как сейчас будет пока-

диус плазмы R, что близко к случаю плазменного

зано, нетривиально отличается от случая R = R₀. В

столба со свободной поверхностью. Из рис. 8 видно,

752

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

Рис. 9. Компоненты поля поверхностной волны Eϕ и Ez

Рис. 10. Фазовые скорости поверхностной моды пламенно-

при b = 25, λe = 50, R0 = 3R

го цилиндра в проводящем кожухе при b = 25, отношения

R0/R указаны рядом с кривыми

во-первых, полное отсутствие сложной структуры,

представленной на рис. 4. Связано это с отсутстви-

из рис. 9, на котором представлены компоненты ее

ем геликоноподобных волн. Во-вторых, в диапазоне

поля E_ϕ и E_z в области [0, R₀], затухающие в обе

фазовых скоростей от β₀ до β_max вообще нет какой-

стороны от границы плазменного цилиндра. Пара-

либо волны. На самом деле такая волна есть, но ее

метры для построения выбраны соответствующими

фазовая скорость существенно выше — она принад-

рис. 7 и 8.

лежит диапазону от β_max до единицы. Речь об этой

Поверхностная волна оказывается существенно

волне пойдет ниже.

непотенциальной, причем ее фазовая скорость зна-

Кривые, представленные на рис. 8, при умерен-

чительно превосходит фазовые скорости всех волн,

ных значениях параметра λ_e соответствуют обыч-

которые рассматривались нами ранее. Для системы

ным косым ленгмюровским волнам E-типа. В част-

с R₀ = 3R фазовая скорость β1 (λ_e) представлена

ности, сохраняется формула (68), в которую вмес-

на рис. 10 (верхняя кривая); максимальная фазовая

то μ0n входят другие собственные числа, зависящие

скорость β = β_max в системе с R₀ = R обозначена на

от R/R₀. Поле косых ленгмюровских волн экспо-

рис. 10 штриховой прямой. Диапазон изменения па-

ненциально затухает в вакуумную область r > R,

раметра плотности λ_e сужен по сравнению с рис. 6

поэтому изменение собственных чисел незначитель-

и 8, поскольку поведение при больших значениях λ_e

но, и условием применимости формулы (68) при

из графика угадывается.

R < R₀ по-прежнему можно считать неравенство

Рисунки 8, 9 построены для конкретного слу-

(67). При выполнении противоположного неравенст-

чая R0 = 3R. Естественно, что при уменьшении

ва, как видно из рис. 8, фазовые скорости стремят-

R₀ должен когда-то получиться результат, близкий

ся к β₀, что позволяет предположить существование

(совпадающий при R₀ = R) к представленному на

следующего спектра (вместо геликона (69)):

рис. 4. Оказывается, что в диапазоне λ_e от нуля до

= 1.5R никакие структуры,

двухсот вплоть до R₀

β2n ≈ β²⁰ → ω2n>1 ≈

присутствующие на рис. 4, не проявляются. Толь-

Ω2e

ко при меньших R₀ начинает наблюдаться некото-

≈k2zc²

(

(77)

√

Ω2e + 2ω²

1 + Ω2e/ω²

рое сходство между рис. 8 и рис. 4. Заметим, что

случаи очень больших параметров плотности λ_e мы

Существенно непотенциальные волны со спектра-

не рассматривали, поскольку руководствовались в

ми (77) будем называть непотенциальными косыми

первую очередь потребностями реальных экспери-

ленгмюровскими волнами.

ментов [19, 25, 26].

Рассмотрим теперь первую (основную) радиаль-

Наиболее сильно радиус кожуха R₀ влияет на

ную моду в системе с R = R₀, фазовая скорость

фазовую скорость основной поверхностной волны

которой β₁ (λ_e) на рис. 8 не показана. Эта мода яв-

β₁ (λ_e). На рис. 10 представлены скорости β₁ (λ_e)

ляется настоящей поверхностной волной, что видно

при различных отношениях радиусов кожуха и

753

ЖЭТФ, вып. 4 (10)

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

плазменного цилиндра R₀/R. Видно, что при умень-

вий (48), E_ϕ = 0. Тогда ограниченное в нуле решение

шении отношения R₀/R фазовые скорости значи-

второго уравнения (78) запишем в виде

тельно уменьшаются (линия β₁ (λ_e) в случае R₀/R =

E_z(r < R) = AJ₀ (k_pr) , k2p = -k2zε_∥/ε_⊥,

(79)

= 1 расположена ниже штриховой прямой). При

R₀/R → ∞ во всем диапазоне параметров плотности

а вне плазменного цилиндра справедливы решения

плазмы λ_e имеем β₁ (λ_e) → 1, т. е. в низкочастотной

(55), в которых χ₀ = k_z, т. е.

области у поверхностной волны плазменного цилин-

E_z(r > R) = CZ₀ (k_zr) .

(80)

дра в безграничном пространстве ω = k_zc (см. § 3.2,

3.4 в [29]).

Подставляя решения (80) и (79) в третье и четвер-

Подводя итоги, заключаем, что в плазменном ци-

тое граничные условия (48), находим постоянные A,

линдре во внешнем магнитном поле, находящемся в

C и далее вычисляем компоненты напряженности

достаточно большом (R₀ > 1.5R) проводящем кожу-

электрического поля в плазменном цилиндре:

хе, геликоноподобные волны при экспериментально

4π

Z₀ (k_zR)

реализуемых плотностях плазмы отсутствуют. Име-

E_z(r) = i

k_z D_p (ω, k_z; Ω_e)jzJ⁰(kpr),

ются только потенциальные и непотенциальные «ко-

(81)

сые» ленгмюровские волны E-типа, а также силь-

4π

Z₀ (k_zR)

E_r(r) = -

j0zJ₁ (k_pr) ,

но непотенциальная поверхностная волна. Резонанс-

k_p D_p(ω, k_z; Ω_e)

ное возбуждение столь непотенциальной волны в

где

ВЧ-разряде вряд ли возможно. Действительно, час-

тоте ω = 10⁸ рад/c соответствует длина световой

D_p (ω, k_z; Ω_e) = J₀(k_pR)Z′0 (k_zR) +

√

волны порядка 20 м, что больше размера любой экс-

+ε_⊥

-ε_∥/ε_⊥ J₁(k_pR)Z₀ (k_zR)

(82)

периментальной установки.

— дисперсионная функция потенциальных волн

плазменного цилиндра во внешнем магнитном по-

14. ВЛОЖЕНИЕ МОЩНОСТИ В

ле (штрихом обозначено дифференцирование по все-

ОГРАНИЧЕННУЮ ПЛАЗМУ

му аргументу). Подставляя выражения (81) в фор-

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

мулу (56), можем найти выражение для мощности

внешнего источника, выделяемой на единицу дли-

Рассмотрим теперь возбуждение волн плазмен-

ны плазменного цилиндра при емкостном способе

ного цилиндра внешними источниками. Ограничим-

возбуждения. Поскольку ток в обмотке в условиях

ся случаями достаточно больших отношений R₀/R.

Из проведенного в предыдущем разделе анализа

реальных экспериментов не задан, а определяется

из закона Ома для полной цепи с согласованным по

следует, что при этом резонансное возбуждение по-

нагрузке генератором, приведем результаты для эф-

верхностной моды плазменного цилиндра невозмож-

фективного сопротивления плазмы, которое можно

но. Возбуждаться могут только высшие радиаль-

ввести по аналогии с плоским случаем (см. выше).

ные моды n ≥ 2. При умеренной плотности плазмы

Далее, будем рассматривать плазменный цилиндр

(неравенство (67)) фазовые скорости этих мод малы

длиной π/k_z . Тогда полное эффективное сопротив-

и определяются формулами (68). Следовательно, в

ление плазмы при емкостном способе возбуждения

ВЧ-разряде при умеренной плотности плазмы могут

есть

возбуждаться только потенциальные «косые» ленг-

2πk_z

Z²⁰(k_zR)

мюровские волны E-типа, что мы и рассмотрим.

R_C =

|ε_⊥| |D_p (ω, k_z; Ω_e)|²

В силу потенциальности волн проведем в уравне-



S1

ниях (49) формальный предельный переход c → ∞.

ε^′′∥ |ε_⊥| S₀ + ε^′′⊥

^ε_∥

(83)

В результате получим следующую систему:

R²

∫

d 1 d

(rE_ϕ) - k2zE_ϕ = 0,

S0,1 =

|J0,1(k_pr)|² r dr.

dr r dr

(78)

dE_z

ε_∥

-k²

E_z = k_z

(rE_ϕ) .

Резонансные свойства величины

(83) опреде-

r dr

^zε_⊥

ε_⊥

r dr

ляются, как и положено, нулями дисперсионной

При емкостном способе возбуждения плазмы, с

функции (82). В отличие от случая безгранич-

которого начнем, j0ϕ = 0. Поэтому, как видно из пер-

ной плазмы, случай плазменного цилиндра харак-

вого уравнения (78) и первых двух граничных усло-

теризуется большим числом резонансов. Уравнение

754

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

D_p (ω, k_z; Ω_e) = 0 имеет бесконечное множество кор-

где

ней ω_n (k_z). Как было показано выше, корни с n ≥ 2

определяют частоты объемных «косых» ленгмюров-

D_p (ω, k_z; 0) = I₀ (k_zR)Z′0 (k_zR) -

ских волн, а волна с частотой ω₁ (k_z ) является по-

(88)

- ε_∥I1 (k_zR)Z0 (k_zR)

верхностной волной. Выше было показано, что для

описания поверхностной волны потенциальное при-

— дисперсионное уравнение, определяющее часто-

ближение может быть непригодно. Однако, если эта

ты рассматриваемого плазменного цилиндра в от-

волна непотенциальная, то в ВЧ-разряде она не воз-

сутствие внешнего магнитного поля (см. (82)). Ком-

буждается и может быть исключена из рассмотре-

понента поля E_r(r) вычисляется из (84) и (87) по

ния. Если же поверхностная волна возбуждается, то

формуле (46) и при ω² ≪ k2zc² определяется выра-

является потенциальной. В этом случае она автома-

жением

тически учитывается в формуле (83).

Рассмотрим теперь при выполнении неравенства

4π ω

E_r(r) =

Rj0ϕZ₁ (k_zR)

(67) индуктивный способ возбуждения волн в плаз-

c c

ε_⊥ - ε_∥

(

√

)

менном цилиндре, для чего положим j0z = 0, а ази-

ε_∥ D_p (ω, k_z; 0)

× I1 (k_zr) +

J₁ (k_pr)

(89)

мутальный ток j0ϕ будем считать отличным от ну-

ε_⊥ D_p (ω, k_z; Ω_e)

ля. Поскольку для E_ϕ справедливо первое уравне-

ние (78), в плазменном цилиндре E_ϕ(r) = AI₁ (k_z r),

При выводе формулы (89) не делалось ника-

а вне плазменного цилиндра справедливо первое ре-

ких ограничений на величину циклотронной часто-

шение (55) (при χ₀ = k_z ). Тогда, используя первые

ты Ω_e. Поэтому в (87) и (89) можно осуществить

два граничные условия (48), вычисляем постоянные

предельный переход Ω_e → 0. Используя формулы

(

)

A и B и для азимутальной составляющей напряжен-

(1), имеем g/

ε_⊥ - ε_∥

= (ω + iν) /Ω_e. При Ω_e → 0

ности электрического поля внутри плазменного ци-

функция J₀ (k_pr) стремится к I₀ (k_zr), а функция

линдра имеем

J₁ (k_pr) переходит в iI₁ (k_zr), поэтому выражения

4π ω

(85) и (87) при Ω_e

→ 0 содержат неопределеннос-

E_ϕ(r) = i

Rj0ϕZ₁ (k_zR)I₁ (k_zr) , r < R.

(84)

c c

ти 0/0. Раскрывая данные неопределенности, мож-

но показать, что E_z,r ∝ Ω_e/ω → 0, а это означает

Подставляя (84) в правую часть второго уравнения

невозможность индуктивного возбуждения в плаз-

системы (78), записываем его следующее общее ре-

ме волны E-типа в отсутствие внешнего магнитного

шение (ограниченное в нуле):

поля. Такой же результат получается и в пределе

4π ω

E_z(r) = i

Rj0ϕZ₁ (k_zR)

I₀ (k_zr) +

Ω_e → ∞.

c c

ε_⊥ - ε_∥

Подставляя (87) и (89) в формулу (56), получа-

+ AJ₀ (k_pr) , r < R.

(85)

ем следующее выражение для эффективного сопро-

тивления плазменного цилиндра при индуктивном

Вне плазменного цилиндра E_z (r) определяется вто-

способе возбуждения:

рой формулой (55).

Граничные условия для функций E_z (r) следуют

8πk_z

⁽ω

)₂ ω²

из (48) и при выполнении неравенства ω² ≪ k2zc²

R_L =

ω c

c²

записываются в виде

(

)

(

)

{

}

ω² + ν²

Z²¹ (k_zR)

dE_z

ε^′′⊥G₁ + ε^′′

∥

G₀

(90)

{E_z }_R = 0,

ε_⊥

= k_z{g}_RE_ϕ(R),

(86)

Ω2e |D_p (ω, k_z; Ω_e)|2

dr_R

где

где учтена непрерывность E_ϕ(r). Подставляя вто-

рое выражение (55), выражения (84) и (85) в гра-

∫

ничные условия (86) и исключая постоянные A и C,

G₀ =

|D_p (ω, k_z; Ω_e) I₀ (k_zr) -

получаем следующее выражение для продольной со-

ставляющей напряженности электрического поля в

плазменном цилиндре:

- Dp (ω,k_z;0)J0 (k_pr)|2 rdr,

(91)

∫ 

4π ω



E_z(r) = i

Rj0ϕZ₁ (k_zR)

G₁ =

Dp (ω, kz; Ωe)I1 (kzr) +

c c

ε_⊥ - ε_∥

(

)

D_p (ω, k_z; 0)

√



× I0 (k_zr) -

J₀ (k_pr)

(87)



D_p (ω, k_z; Ω_e)

-ε_∥/ε_⊥D_p (ω, k_z; 0)J₁ (k_pr)

r dr.

755

12*

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Рис. 11. Эффективное сопротивление плазменного ци-

Рис. 12. Эффективное сопротивление плазменного ци-

линдра при емкостном способе возбуждения

линдра при индуктивном способе возбуждения

15. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Формула

(90) получена в предположении, что

|ω + iν| ≪ Ωe, что позволило в выражении (56)

В работе рассмотрено возбуждение волн в

пренебречь под интегралом слагаемыми, пропорцио-

магнитоактивной плазме высокочастотного раз-

нальными |E_ϕ|² и g^′′.

ряда в условиях ω ≪ Ω_e < ω_Le. В безграничной

плазме в зависимости от плотности плазмы (или

Рассмотрим некоторые результаты расчетов по

поперечного волнового числа распространяющейся

полученным выше формулам. Зададим следующие

волны) дисперсионная зависимость и поляризация

параметры плазменного цилиндра, характерные для

волны имеют существенно различные характеры.

экспериментальных установок [19, 25, 26]: ω_Le

При λ_e

≪ 1 возбуждается потенциальная косая

= 5·10⁹ рад/c, Ω_e = 10⁸ рад/c, R = 5 см, ν = 10⁶ с-1,

ленгмюровская волна (мода Трайвелписа - Гоул-

k_z = 0.3 см-1 (L ≈ 10 см), при этом параметр плот-

да). В обратном предельном случае возбуждается

ности λ_e ≈ 0.7. На рис. 11 представлен результат

существенно непотенциальная волна геликонного

расчета по формуле (83) зависимости от частоты ω

типа. Мощность, вкладываемая в плазму, как

эффективного сопротивления плазмы при емкост-

функция параметра плотности λ_e зависит от рас-

ном способе возбуждения. Наблюдаются достаточно

пределения возбуждающих токов. В случае, когда

интенсивные резонансы на объемных волнах (68) с

в плазме возбуждается косая ленгмюровская волна,

номерами n = 2, 3, 4, заметен также резонанс на пя-

эффективное удельное сопротивление плазмы (и

той поперечной моде. Резонансы на более высоких

вкладываемая в плазму мощность) максимальны

поперечных модах при взятом значении ν не разре-

при емкостных способах возбуждения волны. В

шаются. Не наблюдается также резонанс на поверх-

обратном предельном случае, когда в плазме воз-

ностной волне. Этот резонанс есть, но он располо-

буждается волна геликонного типа, эффективные

жен в существенно более высокочастотной области.

удельные сопротивления плазмы при индуктивном

На рис. 12 представлены результаты расчета эф-

и поперечном емкостном (токами, поперек оси

фективного сопротивления плазмы при индуктив-

системы) способах возбуждения совпадают и пре-

ном способе возбуждения разряда. Величина эф-

вышают эффективное удельное сопротивление при

фективного сопротивления оказывается примерно

продольном емкостном способе возбуждения. При

на два порядка ниже, чем при емкостном способе

этом поперечный емкостной способ возбуждения

возбуждения. Эта ситуация соответствует случаю

оказывается наиболее эффективным и в области

безграничной плазмы на рис. 3, когда индуктив-

промежуточных значений параметра плотности

ный способ возбуждения при λ_e ≈ 1 оказывался са-

λ_e. Случай ограниченной плазмы в цилиндри-

мым неэффективным. При более высокой плотности

ческой геометрии имеет ряд особенностей. Так,

плазмы, когда λ_e ≫ 1, эффективное сопротивление

проводящий цилиндр со сплошным плазменным

плазмы при индуктивном способе возбуждения бу-

заполнением помимо набора косых ленгмюровских

дет доминирующим.

волн при λ_e ≪ 1 и набора волн геликонного типа

756

ЖЭТФ, том 158, вып. 4 (10), 2020

Механизмы резонансного вложения мощности...

в обратном предельном случае имеет непотен-

S. Shinohara et al., IEEE Trans. Plasma Sci. 46, 252

циальную волну, прижатую к границе плазмы

(2018).

(квазиповерхностная плазменная волна). В случае

10.

В. Л. Вдовин, Физика плазмы 39(2), 115 (2013)

плазменного цилиндра со свободной поверхностью

[V. L. Vdovin, Plasma Phys. Rep. 39(2), 95 (2013),

или плазменного цилиндра, находящегося в доста-

DOI: 10.1134/S1063780X13020037].

точно большом (R₀ > 1.5R) проводящем кожухе,

геликоноподобные волны при экспериментально

11.

C. Lau et al., Nucl. Fusion 58, 066004 (2018), DOI:

реализуемых плотностях плазмы отсутствуют.

10.1088/1741-4326/aab96d.

Имеются только потенциальные и непотенциаль-

12.

R. W. Boswell, Phys. Lett. A 33, 457 (1970), DOI:

ные косые ленгмюровские волны E-типа, а также

10.1016/0375-9601(70)90606-7.

сильно непотенциальная поверхностная волна.

Последняя практически не возбуждается внешними

13.

R. W. Boswell, Plasma Phys. Control. Fusion 26,

токами, текущими по поверхности цилиндра при

1147 (1984).

реально используемых параметрах системы. При

14.

R. W. Boswell, Australian J. Phys. 25, 403 (1972),

высокой плотности плазмы, когда λ_e ≫ 1, эффек-

DOI: 10.1071/PH720403.

тивное сопротивление плазмы при индуктивном

способе возбуждения оказывается доминирующим.

15.

R. W. Boswell, J. Plasma Phys. 31, 197 (1984), DOI:

При умеренных и малых значениях λ_e наиболее

10.1017/S0022377800001550.

эффективным является емкостной способ возбуж-

16.

F. F. Chen, Plasma Phys. Control. Fusion 33, 339

дения волны токами на поверхности плазменного

(1991), DOI: 10.1088/0741-3335/33/4/006.

цилиндра.

17.

K. P. Shamrai and V. B. Taranov, Plasma Phys.

Финансирование. Исследование выполнено

Control. Fusion 36, 1719 (1994).

при финансовой поддержке Российского фонда

18.

D. Arnush, Phys. Plasmas 7,

3042

(2000), DOI:

фундаментальных исследований в рамках научного

10.1063/1.874157.

проекта № 19-08-00625.

19.

E. A. Kralkina et al., AIP Advances 8, 035217 (2018),

DOI: 10.1063/1.5023631.

ЛИТЕРАТУРА

20.

H. Tamura et al., IEEE Trans. Plasma Sci. 46, 3662

(2018).

1. S. Shinohara, Adv. Phys. X 3, 1420424 (2018), DOI:

10.1080/23746149.2017.1420424.

21.

Д. С. Степанов, А. В. Чеботарев, Э. Я. Школьни-

ков, ТВТ 57, 347 (2019) [D. S. Stepanov, A. V. Che-

2. S. Isayama, S. Shinohara, and T. Hada, Plasma

botarev, and E. Y. Shkol’nikov, High Temp. 57, 316

Fusion Res. 13, 1101014 (2018), DOI: 10.1585/pfr.

(2019), DOI: 10.1134/S0018151X19030155].

13.1101014.

22.

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев, ТВТ 56, 346 (2018)

3. F. F. Chen, Plasma Sources Sci. Technol. 24, 014001

[I. N. Kartashov and M. V. Kuzelev, High Temp. 56,

(2015), DOI: 10.1088/0963-0252/24/1/014001.

334 (2018), DOI: 10.1134/S0018151X18030100].

4. Е. А. Кралькина, УФН 178, 519 (2008) [E. A. Kral’-

23.

И. Н. Карташов, М. В. Кузелев, ЖЭТФ 156, 355

kina, Phys. Usp. 51,

493

(2008), DOI: 10.1070/

(2019) [I. N. Kartashov and M. V. Kuzelev, JETP

PU2008v051n05ABEH006422].

129, 298 (2019), DOI: 10.1134/S106377611907015X].

5. S. Samukawa et al., J. Phys. D: Appl. Phys.

24.

И. С. Абрамов, Е. Д. Господчиков, А. Г. Шалашов,

45, 253001 (2012), DOI: 10.1088/0022-3727/45/25/

ЖЭТФ 156, 528 (2019) [I. S. Abramov, E. D. Gos-

253001.

podchikov, and A. G. Shalashov, JETP 129, 444

(2019), DOI: 10.1134/S106377611907001X].

6. S. Shinohara et al., IEEE Trans. Plasma Sci. 42, 1245

(2014).

25.

E. A. Kralkina et al., Plasma Sources Sci. Technol.

26, 055006 (2017), DOI: 10.1088/1361-6595/aa61e6.

7. F. F. Chen, Phys. Plasmas 21, 093511 (2014), DOI:

10.1063/1.4896238.

26.

E. A. Kralkina et al., Plasma Sources Sci. Technol.

25, 015016 (2016), DOI: 10.1088/0963-0252/25/1/

8. F. F. Chen, IEEE Trans. Plasma Sci. 43, 195 (2015).

015016.

757