ЖЭТФ, 2020, том 158, вып. 2 (8), стр. 309-313
© 2020
ВРЕМЕННАЯ АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТИ ВЫЖИВАНИЯ
В ПРИБЛИЖЕНИИ ЭФФЕКТИВНОЙ СРЕДЫ
ПРИ ЗАХВАТЕ ЧАСТИЦ НА ЛОВУШКИ В СРЕДАХ
С АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИЕЙ
В. Е. Архинчеев*
Laboratory of Applied Physics, Advanced Institute of Materials Science, Ton Duc Thang University
700000, Ho Chi Minh City, Vietnam
Faculty of Applied Sciences, Ton Duc Thang University
700000, Ho Chi Minh City, Vietnam
Поступила в редакцию 28 января 2020 г.,
после переработки 28 января 2020 г.
Принята к публикации 11 февраля 2020 г.
Исследована проблема захвата частиц, диффундирующих аномальным степенным образом, на погло-
щающие ловушки в приближении эффективной среды. Установлена новая более медленная степенная
временная асимптотика вероятности выживания частиц на больших временах. Этот результат обусловлен
аномальным характером диффузии частиц в сильно анизотропных средах.
DOI: 10.31857/S0044451020080088
Необходимо подчеркнуть, что описанный выше
результат (1) относится к случаю так называемой
1. ВВЕДЕНИЕ
обычной диффузии. Под обычной диффузией мы
подразумеваем такие случайные блуждания, при
Проблема диффузии частиц в средах с погло-
которых среднеквадратичное смещение линейно по
щающими ловушками изучалась во многих работах
времени:
[1-3]. В случае временных задержек на ловушках
и последующего освобождения она преобразуется в
〈X2(t)〉 ∝ Dt.
(2)
проблему Сontinuous Time Random Walk (CTRW)
В приближении эффективной среды получается ре-
[4,5]. Захват на ловушки также представляет суще-
зультат (1).
ственный интерес для описания диффузно-контро-
Однако в настоящее время известны много сто-
лируемых химических реакций и изучался во мно-
хастических процессов, носящих аномальный суб-
гих работах [6-8]. Для случая полностью поглоща-
диффузионный характер, т. е. со степенной зависи-
ющих ловушек и в приближении эффективной сре-
мостью среднеквадратичного смещения от време-
ды, когда предполагается равномерное распределе-
ни [9, 10]:
ние поглощающих ловушек по пространству, было
показано, что вероятность выживания частиц, диф-
〈X2(t)〉 ∝ tk, k < 1.
(3)
фундирующих обычным образом, равна [3]
Соответственно, возникает вопрос об изменении вре-
W (t, c) ∝ W0 exp(-Dtc2).
(1)
менной зависимости (1) в случае аномальных диф-
фузионных процессов. Исследованию этого вопроса
Здесь D — коэффициент диффузии, c — концентра-
в приближении эффективной среды и посвящена на-
ция ловушек в одномерном случае. Соответственно,
стоящая статья. В разд. 2 дано краткое введение в
возникает характерное время диффузии на расстоя-
проблему захвата частиц на ловушки. В разд. 3 вве-
нии порядка среднего расстояния между ловушка-
дено обобщенное диффузионное уравнение дробного
ми: tc = 1/Dc2.
порядка. В разд. 4 исследована вероятность выжи-
* E-mail: valeriy.arkhincheev@tdtu.edu.vn
вания частиц в средах с поглощающими ловушка-
309
В. Е. Архинчеев
ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020
ми при аномальных субдиффузионных процессах. В
Как известно, для описания субдиффузионных про-
разд. 5 обсуждены полученные результаты.
цессов предложен аппарат дробного дифференциро-
вания [11, 12]. В частности, в модели гребешковой
структуры [13-16] было выведено обобщенное урав-
2. ПРОБЛЕМА ЗАХВАТА
нение дробного порядка:
ДИФФУНДИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ В СРЕДАХ
)
С ЛОВУШКАМИ
(∂1/2
∂2
-Deff
g(t, x) = 0.
(9)
∂t1/2
∂x2
Напомним коротко известные результаты. Со-
Здесь Deff
= D1/2√D2 — эффективный коэф-
гласно общему подходу [1-3] строится решение стан-
фициент диффузии вдоль оси гребешковой струк-
дартного уравнения диффузии,
туры. Более подробно вывод уравнения изложен
∂W(x,t)
∂2W(x, t)
в Приложении. Функция Грина этого уравнения
=D
,
(4)
∂t
∂x2
в (k, t)-представлении имеет вид функции Мит-
таг - Лефлера [11]:
со следующими начальными и граничными услови-
ями:
∫
∞
(
)
D2(τ)2
G(k, 0, t) =
τ exp
-D1k2τ -
×
1-c
4t
W (x, 0) =
,
W (xi, t) = W (xi+1, t) = 0.
(5)
0
L
√
D32
Здесь L — длина одномерной цепочки, xi, xi+1 — ко-
×
√
∂τ.
(10)
πD1t3
ординаты поглощающих ловушек вдоль одномерной
линии. Полученное решение имеет вид
Легко проверить, что среднеквадратичное смещение
вдоль оси гребешковой структуры зависит от време-
{
∑
4
1
} sin(kn(x-xi))
ни субдиффузионным способом:
W (x, t) =
exp
-
Dk2nt
(6)
L
2
knli
n=0
1
∂2G(k, t)
〈X2(t)〉 =
=
G(k, t)
∂k2
Далее решение усредняется по случайному располо-
k=0
√
жению поглощающих ловушек:
∂2 ln G(k, t)
t
=
∝D1
(11)
∂k2
D2
k=0
∫
∑
∑
Выражение для среднеквадратичного смещения
W (t) = Wi =
W (x, t) dx.
(7)
необходимо нормировать, поскольку число частиц
i
i xi
на оси не сохраняется:
Полученное таким образом соответствующее усред-
2D2
G(k, 0, t) ∝
√
(12)
ненное решение и описывает вероятность выжива-
πD1t
ния частиц после захвата на поглощающие ловушки.
В случае равномерного распределения ловушек по
4. ВЕРОЯТНОСТЬ ВЫЖИВАНИЯ ЧАСТИЦ
пространству, что соответствует приближению эф-
В СРЕДАХ С ПОГЛОЩАЮЩИМИ
фективной среды, получим результат (1).
ЛОВУШКАМИ ПРИ АНОМАЛЬНЫХ
СУБДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССАХ
3. УРАВНЕНИЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
В настоящем разделе построим решение для
ДИФФУЗИИ И ФУНКЦИЯ ГРИНА
уравнения дробного порядка с указанными выше на-
ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ,
чальными и граничными условиями. По аналогии с
ОПИСЫВАЮЩИЕ АНОМАЛЬНЫЕ
формулой (4) будем искать решение в виде разложе-
СУБДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ния по собственным функциям и с использованием
Однако в настоящее время известны много сто-
полученного выше выражения (9):
хастических процессов, носящих аномальный суб-
∫
∞
(
)
диффузионный характер, т. е. со степенной зависи-
∑
D2(τ)2
W (kn, t) =
anϕn exp
-D1k2nτ-
×
мостью среднеквадратичного смещения от време-
4t
n=0
0
ни [9, 10]:
√
D32 τ
×
√
∂τ.
(13)
〈X2(t)〉 ∝ tk, k < 1.
(8)
πD1t3
310
ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020
Временная асимптотика вероятности выживания. . .
Здесь собственные функции равны
Как отмечалось выше, приближение эффектив-
ной среды соответствует равномерному распределе-
ϕn = sin(kn(x - xi)) ,
(14)
нию поглощающих ловушек по пространству, т. е.
расстояние между ловушками равно среднему гео-
где kn = 2πn/li, li = |xi+1 - xi| и an — коэффици-
метрическому от концентрации ловушек (в одномер-
енты разложения по собственным функциям. Соот-
ном случае):
ветственно, искомая функция вероятности W диф-
фундирующих частиц равна
l=c-1.
(20)
∫
∑
∑
Следовательно, уравнение диффузии в прибли-
W (t) = Wi =
W (x, t) dx.
(15)
жении эффективной среды преобразуется к эффек-
i
xi
тивному уравнению релаксации:
Рассмотрим приближение эффективной среды с
∂1/2W(kn, t)
= -Deff π2c2W(kn, t).
(21)
равномерным распределением ловушек по прост-
∂t1/2
ранству, т. е. в качестве функции распределения
Уравнение (21) описывает релаксацию основной гар-
возьмем распределение в виде
моники n = 1. Таким образом, приходим к уравне-
f (l) = δ(l - c-1).
(16)
нию релаксации в дробных производных, см. так-
же [18]. Решение уравнения дробного порядка имеет
Тогда выражение для вероятности выживания час-
степенной вид, соответствующий результату (17):
тиц примет вид
√
t
W (t) ∝ A
,
(22)
∫
∞
∫
∞
(
)
∑
tc
π2n2
D2(τ)2
W (t) ∝
exp
-D1
τ-
×
l2
4t
где A — постоянный коэффициент.
n=0 0
0
√
D32 τ
× δ(l - c-1)√
dτ dl ∝
πD1t3
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
∫∞
(
) √
D2(τ)2
D32 τ
Обсудим полученные результаты. С математиче-
∝ exp
-D1π2c2τ-
√
dτ.
4t
πD1t3
ской точки зрения было получено решение уравне-
0
ния дробного порядка по времени с поглощающи-
После соответствующих вычислений получим
ми граничными условиями. Далее было выполнено
усреднение по распределению ловушек в простран-
√D2
стве в приближении эффективной среды. Как из-
W (t) ∝
√
×
вестно, приближение эффективной среды соответ-
πD1t
(
)
))
ствует равномерному распределению ловушек, по-
√t
(t
(√ t
× 1+
exp
erfc
(17)
этому после усреднения по распределению ловушек
tc
tc
tc
пространственная часть уравнения диффузии пре-
вращается в постоянную и, следовательно, уравне-
Здесь erfc(x) — известная функция ошибок [17]. Со-
ответственно, на малых временах t ≪ tc получим
ние диффузии превращается в эффективное урав-
нение релаксации дробного порядка (21). Согласно
степенное убывание:
[18-20] решение уравнения дробного порядка по вре-
2√D2
мени зависит от времени степенным образом:
W (t) ∝
√
(18)
πD1t
W (t) ∝ B(t)α.
(23)
Ниже мы приведем альтернативный способ по-
лучения этой асимптотики. Для этого вернемся к
Здесь B — постоянная величина, α — критический
уравнению диффузии дробного порядка (7). С уче-
индекс, описывающий релаксационное поведение си-
том разложения по собственным функциям вида (4)
стемы и связанный с показателем уравнения дроб-
получим в (k, t)-представлении
ного порядка. В нашем случае этот индекс равен α =
= -1/2.
∂1/2W (kn, t)
В случае субдиффузионных процессов из-за
= -Deff k2nW(kn, t).
(19)
∂t1/2
более медленного перемещения диффундирующих
311
В. Е. Архинчеев
ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020
частиц со временем вероятность попадания на
эффициент диффузии Dxx отличен от нуля только
ловушки уменьшается и, следовательно, вероят-
при y = 0 [14, 15]:
ность выживания должна стать больше. Другими
словами, функциональная зависимость вероятности
Dxx = D1δ(y),
(A.1)
выживания от времени должна быть более слабая,
чем экспоненциальная зависимость (1), как в случае
т. е. x-компонента диффузионного тока равна
обычной диффузии. Такому поведению соответству-
ет или дробно-экспоненциальная асимптотика, или
∂N
Jx = -Dxx
(A.2)
степенная асимптотика. Следовательно, установ-
∂x
ленная степенная зависимость (22) соответствует
Диффузия вдоль ребер структуры носит обычный
приведенному выше качественному рассуждению.
характер: Dyy = D2.
Однако заранее такую степенную зависимость
Следовательно, случайные блуждания на гре-
временной асимптотики вероятности выживания
бешковой структуре описываются тензором диффу-
предсказать затруднительно. В рамках развитого
зии:
подхода асимптотика на больших временах (22) в
(
)
приближении эффективной среды была получена
D1δ(y)
0
Dij =
(A.3)
двумя способами: решением уравнения диффузии
0
D2
с поглощающими граничными условиями (9) и с
Используя закон Фика для диффузионного тока с
использованием эффективного релаксационного
тензором диффузии (A.3), Jd = -D∇N, получим
уравнения (21).
уравнение диффузии.
Полученные результаты могут быть использова-
Далее сделаем преобразование Лапласа по вре-
ны при описании диффузно-контролируемых реак-
мени и преобразование Фурье по x-координате:
ций [6, 7, 20, 21]. В частности, медленное степенное
убывание вероятности выживания частиц со време-
[
]
∂2
нем приведет к более интенсивному взаимодействию
s+D1k2δ(y) - D2
G(s, k, y) = δ(y). (A.4)
∂y2
частиц и увеличению интенсивности течения реак-
ции.
Здесь G(s, k, y) — функция Грина уравнения с на-
чальными условиями в виде точечного источника
δ(x)δ(y)δ(t). Будем искать выражение для функции
ПРИЛОЖЕНИЕ
Грина в виде
Вывод уравнения дробного порядка в
гребешковой модели
G(s, k, y) = g(s, k) exp(-λ|y|).
(A.5)
Напомним коротко о гребешковой модели. Впер-
Подставляя (A.5) в уравнение (A.4), получим регу-
вые она была введена для описания субдиффузии на
лярное уравнение и уравнение с сингулярной час-
перколяционных кластерах [13]. Эта модель состо-
тью δ(y):
ит из проводящей оси (аналог скелета перколяцион-
[
]
ных кластеров) и ребер, перпендикулярно прикреп-
s-D2λ2
G(s, k, y) = 0,
(A.6)
ленных к оси (см. рисунок), и отражает основную
особенность случайных блужданий в неоднородных
средах — аномальный характер.
[
]
Диффузия в гребешковой модели вдоль оси x
D1k2 + 2λD2
δ(y)g(s, k, y) = δ(y).
(A.7)
возможна только при y = 0. Это значит, что ко-
Как результат, получим эффективное уравнение
диффузии дробного порядка для случайных блуж-
даний вдоль оси гребешковой структуры:
)
(∂1/2
∂2
-Deff
g(t, x) = 0.
(A.8)
∂t1/2
∂x2
Гребешковая модель: ось и ребра, прикрепленные к оси
312
ЖЭТФ, том 158, вып. 2 (8), 2020
Временная асимптотика вероятности выживания. . .
ЛИТЕРАТУРА
11. J. Klafter and R. Metzler, Phys. Rep. 339, 1 (2000).
1. A. A. Овчинников, А. А. Белый, Теор. эксп. химия
12. Applications of Fractional Calculus in Physics, ed. by
2, 405 (1966).
R. Hilfer, World Sci., Singapoure (2000), pp. 1-85.
2. Г. В. Рязанов, ТМФ 10, 271 (1972).
13. G. Weiss and S. Havlin, Physica A 134, 474 (1986).
3. И. М. Лифшиц, УФН 83, 617 (1964).
14. В. Е. Архинчеев, Э. М. Баскин, ЖЭТФ 97, 810
(1991).
4. E. W. Montroll and G. H. Weiss, J. Math. Phys. 6,
167 (1965).
15. V. E. Arkhincheev, Physica A 307, 131 (2002).
5. J. Klafter and I. M. Sokolov, First Steps in Random
16. V. E. Arkhincheev, Chaos 17, 043102 (2007).
Walks, Oxford Univ. Press, Oxford (2011).
17. Я. Б. Зельдович, A. Д. Мышкис, Элементы мате-
6. F. Benitez, C. Duclut, H. Chaté et al., Phys. Rev.
матической физики, Наука, Москва (1973).
Lett. 117, 100601 (2016).
18. В. Е. Архинчеев, Письма в ЖЭТФ 52, 1007 (1990).
7. Sang Bub Lee, In Chan Kim, C. A. Miller, and S. Tor-
19. S. Samko, A. Kilbas, and O. Marichev, Fractional
quato, Phys. Rev. B 39, 11833 (1989).
Integrals and Derivatives: Theory and its Applica-
8. I. Fouxon and M. Holzner, Phys. Rev. E 94, 022132
tions, Gordon and Breach, New York (1993).
(2016).
20. G. J. Lapeyre and M. Dentz, Phys. Chem. Chem.
9. В. В. Учайкин, ЖЭТФ
124,
903
(2003)
Phys. 19, 29 (2017), DOI: 10.1039/C7CP02971C.
[V. V. Uchaikin, JETP 97, 810 (2003)].
21. V. E. Arkhincheev, Scientific Reports, Nature Publ.
10. R. Metzler and J. Klafter, Adv. Chem. Phys. 116,
Group 9, 15269 (2019), DOI: 10.1038/s41598-019-
223 (2001).
51362-y.
313
