ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 5, стр. 805-813

ИССЛЕДОВАНИЕ СОЕДИНЕНИЙ PdMnSn И PtMnSn,

ИМЕЮЩИХ СТРУКТУРУ C1_b, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

РАСЧЕТОВ ab initio

Н. Ариканa*, Я. Г. Илдизb**, Г. Д. Илдиз^c

^a Department of Mathematics and Science, Education Faculty, Ahi Evran University, 40100, Kırsehir, Turkey

^b Department of Electronics and Automation, Kırıkkale University, 71450, Kırıkkale, Turkey

^c Department of Physics, Faculty of Arts and Sciences, Kırıkkale University, 71450, Kırıkkale, Turkey

Поступила в редакцию 9 июня 2019 г.,

после переработки 8 сентября 2019 г.

Принята к публикации 20 сентября 2019 г.

(Перевод с английского)

FIRST-PRINCIPLES STUDY ON PdMnSn AND PtMnSn

COMPOUNDS IN C1_b STRUCTURE

Nihat Arıkan, Yasin Göktürk Yıldız, Gökçen Dikici Yıldız

С помощью расчетов ab initio в рамках теории функционала электронной плотности в обобщенном гра-

диентном приближении исследованы электронные, механические и решеточно-колебательные свойства

соединений PdMnSn и PtMnSn, имеющих структуру C1_b, а также их стабильность. Вычисленные посто-

янные решетки PdMnSn и PtMnSn находятся в согласии с опубликованными ранее экспериментальными

и теоретическими данными. Константы упругости для PdMnSn и PtMnSn со структурой C1_b были по-

лучены с помощью метода расчета энергий деформации. Для полученных значений трех независимых

констант упругой деформации оба соединения обладают механической стабильностью в кристаллической

структуре типа C1 и удовлетворяют критериям стабильности. Для указанных соединений были рассчи-

таны электронная структура, полная и парциальная плотности состояний, а также полный магнитный

момент и проведено сравнение с уже известными результатами. Динамические свойства соединений

PdMnSn и PtMnSn были исследованы с помощью теории возмущения функционала электронной плот-

ности. Оба вещества обладают динамической стабильностью благодаря отсутствию мнимых фононных

частот. Дополнительно было найдено, что удельные теплоемкости обоих соединений быстро возрастают

в интервале температур от нуля до 300 К.

DOI: 10.31857/S0044451020050065

[1], и полугейслеровы сплавы, имеющие общую фор-

мулу XYZ и кристаллизующиеся по типу AlLiSi

(C1_b) [2-4]. Здесь X — это типичный тяжелый пе-

1. ВВЕДЕНИЕ

реходный металл, Y — редкоземельный или пере-

Тройные сплавы Гейслера относятся к двум от-

ходный металл, а Z — элемент основной подгруп-

дельным семействам, в которые входят так назы-

пы. Во многих работах, использующих различные

ваемые полные сплавы Гейслера, которые кристал-

экспериментальные и теоретические подходы, иссле-

лизуются в структуре L2₁ и имеют формулу X₂YZ

довалась структура, фазовые переходы, конфигура-

ция электронных зон, свойства химических связей,

^* E-mail: narikan@ahievran.edu.tr

зарядовой плотности, перенос зарядов и механичес-

^** E-mail: gokturk@kku.edu.tr

805

Н. Арикан, Я. Г. Илдиз, Г. Д. Илдиз

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

кие свойства соединения PtMnSn [5-19]. Структур-

вые свойства. Поиск по имеющейся литературе по-

ные и магнитные свойства соединения PtMnSn из-

казал, что опубликованных данных по фононным

мерялись с помощью рентгеновских, магнитных и

свойствам обоих соединений нет. Для того чтобы

ЯМР-методов, как описано в работе [5]. В работе

разобраться в них, в этой работе проведены рас-

[6] был измерен магнитный момент PtMnSn и дру-

четы ab initio свойств основного состояния соеди-

гих C1_b-соединений. Кристаллическая структура и

нений PdMnSn и PtMnSn в фазе C1_b, включая по-

магнитные свойства PtMnSn исследовались с помо-

стоянные решетки, электронную зонную структуру,

щью рентгеновского и магнитного анализов [7]. В

упругие, термодинамические, фононные свойства, а

работе [8] были измерены поля сверхтонкой струк-

также пластичность.

туры с помощью техники зависящих от времени воз-

мущенных угловых корреляций (PAC). Мессбауэ-

ровские измерения, а также измерения намагничен-

2. МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ

ности и измерения методом рентгеновской порош-

ковой дифракции были выполнены для разупоря-

Расчеты ab initio проводились с использо-

доченных ферромагнетиков PtMnSn в работе [10].

ванием пакета компьютерных программ Quan-

С помощью метода линейных орбиталей (LMTO)

tum-ESPRESSO [19]. Для обменно-корреляционного

в работе [11] были вычислены электронная струк-

потенциала мы использовали приближение PBE

тура и спектры рентгеновского магнитного круго-

[20]. Волновые функции раскладывались по базису

вого дихроизма для соединения PtMnSn. В работе

плоских волн с обрезкой по кинетической энергии

[12] были исследованы электронная структура, хи-

40 Ry для структуры C1_b. Зарядовая плотность

мическая связь, плотность заряда, перенос заряда

электронов вычислялась с обрезкой по кинетичес-

и магнитные свойства соединения PtMnSn с помо-

кой энергии 400 Ry. Порог сходимости выбирался

щью метода LMTO в представлении сильной связи

равным 10-9 Ry с величиной смешивания β = 0.7

(TB) в приближении атомных сфер (ASA). Устой-

для обеспечения адекватной точности результатов.

чивость структуры, электронные свойства, констан-

Сходимость по энергии в

мRy на атом была

ты упругости, фазовые переходы и магнитные свой-

обеспечена посредством выбора сетки 10 × 10 × 10

ства соединения PtMnSn изучались в работе [13]

k-точек Монкхорста - Пака [21], покрывающей всю

при использовании пакета программ VASP. Кроме

зону Бриллюэна.

того, структура электронных зон и упругие свой-

Для того чтобы найти полную дисперсию фоно-

ства соединения PtMnSn были определены с помо-

нов и плотность состояний, мы определяли восемь

щью программы VASP с обобщенным градиентным

динамических матриц на сетке q-точек размером

приближением (GGA) [14, 15]. В работе [3] была

4 × 4 × 4. Для определения динамических матриц

определена кристаллическая структура и измерены

при любых значениях волновых векторов исполь-

микроструктурные и магнитные свойства соедине-

зовалась обратная свертка Фурье. Используя вы-

ния PtMnSn. Температура Кюри, кристаллографи-

численные значения фононных частот и плотности

ческие и магнитные свойства соединения PtMnSn

состояний, с помощью квазигармонического подхо-

на основе марганца исследовались в публикации

да (QHA) [22] мы определили зависимость удельной

[16]. Температуры Кюри и Нееля, величины маг-

теплоемкости при постоянном объеме C_v от темпе-

нитных моментов, удельного электрического сопро-

ратуры.

тивления, частоты плазменных колебаний, часто-

Одним из источников важной информации о

ты релаксации и оптическое сопротивление соеди-

механических и динамических свойствах материа-

нения PtMnSn в кристаллической структуре C1_b

лов являются константы упругости. Для кубиче-

были опубликованы в работе [17]. Доступных дан-

ских материалов имеются три независимые констан-

ных для соединения PdMnSn крайне мало. В рабо-

ты упругости (C₁₁, C₁₂, C₄₄). Значения этих трех

те [18] исследовалась спиновая проекция электрон-

констант упругости использовались при определе-

ной зонной структуры соединения PdMnSn в фазе

нии разности энергий возмущенной и невозмущен-

C1_b с помощью метода присоединенных сфериче-

ной ячеек решетки. Вначале можно вычислить кон-

ских волн. Свойства фононов важны для понима-

станты упругости, а затем определить связанные с

ния динамических свойств твердых тел. Знание фо-

ними параметры кристаллической решетки, такие

нонных свойств необходимо для понимания физи-

как модуль объемного сжатия (B), модуль сдвига

ческих свойств, включая фазовые переходы, термо-

(G) и модуль Юнга (E). Модуль объемного сжатия

динамическую устойчивость, транспортные и тепло-

является мерой сопротивляемости материала, под-

806

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Исследование соединений PdMnSn и PtMnSn...

3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Исследованные соединения PdMnSn и PtMnSn

являются полугейслеровыми сплавами и кристал-

лизуются в фазе C1_b, соответствующей простран-

ственной группе F 43m (№ 216). Структура типа C1_b

соединений PdMnSn и PtMnSn, состоящая из одной

молекулы с тремя атомами на элементарную ячейку,

а также спины атомов Mn, ориентированные вдоль

оси c, показаны на рис. 1. Таким образом, информа-

ция о структуре этих материалов полностью опре-

деляется величиной параметра решетки a. Чтобы

определить структурные характеристики соедине-

ний PdMnSn и PtMnSn, выполнялись вычисления

полных энергий как функций параметра решетки.

На основе вычисленных полных энергий, пользуясь

Рис. 1. Структура C1_b-соединений PdMnSn и PtMnSn и

уравнением состояния Мурнагана [23], мы опреде-

спины атомов Mn, ориентированные вдоль оси c

ляли параметры структуры, а именно, постоянную

решетки (a), модуль объемного сжатия (B) и его

производную по давлению (B^′). Вычисленные па-

вергнутого всестороннему сжатию, и дается форму-

раметры структуры соединений PdMnSn и PtMnSn

лой

приведены в табл. 1, и там же приведено сравнение

с имеющимися данными. Параметр решетки a, мо-

дуль объемного сжатия и его производная по давле-

B = (C₁₁ + 2C₁₂)/3.

(1)

нию приведены в табл. 1 вместе с опубликованными

ранее экспериментальными и теоретическими значе-

Модуль сдвига, обозначаемый G, определяется как

ниями [5-13]. В большинстве теоретических работ,

отношение сдвигового напряжения к величине де-

несмотря на то что в них используются разные вы-

формации сдвига:

числительные подходы, получается близкий к экспе-

риментальному значению параметр решетки, кото-

G = (C₁₁ - C₁₂ + 3C₄₄)/5.

(2)

рый варьируется в довольно широком диапазоне от

6.129Å до 6.264 Å. Параметр решетки, рассчитан-

Модуль Юнга является мерой твердости материала

ный нами для соединения PtMnSn, оказался мень-

и рассчитывается на основании объемного модуля и

ше, чем значения, полученные в эксперименте. При

модуля сдвига:

расчетах в обобщенном градиентном приближении

(GGA) экспериментальное значение параметра ре-

E = 9BG/(3B + G).

(3)

шетки оказывается больше. Однако в ряду соедине-

ний с платиной, содержащих Sn, Sb, Te, происходит

Фактор анизотропии (A) кристаллов кубической

небольшой рост числа валентных электронов и наб-

симметрии определяет величину анизотропии в

людается уменьшение параметра решетки [11]. Как

сравнении с изотропным материалом, информация

и в случае TiNiSn, расчеты в приближениях LDA

о которой является важной в технике:

и GGA весьма сильно недооценивают величину па-

2C₄₄

раметра решетки, в то время как данные экспери-

(4)

C₁₁ - C₁₂

мента демонстрируют противоположную тенденцию

и переоценивают его [24]. Мы сделали расчет сум-

Коэффициент Пуассона (σ) дает детальную инфор-

марных магнитных моментов соединений PdMnSn

мацию о типе химической связи в веществе и опре-

и PtMnSn. Суммарный магнитный момент спла-

деляется как степень продольного растяжения при

вов Гейслера подчиняется простому правилу Слэте-

поперечном сжатии:

ра - Полинга (СП-правило) [25] M = Z - 18, где Z —

(

)

полное количество валентных электронов в элемен-

тарной ячейке. Величина Z определяется как сум-

σ=

(5)

ма количеств электронов с основным направлением

807

Н. Арикан, Я. Г. Илдиз, Г. Д. Илдиз

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Таблица 1. Вычисленные значения постоянной решетки a, модуля объемного сжатия B и полного магнитного

момента PdMnSn и PtMnSn

Соединение

Ref.

a,Å

B, ГПа

B^′, ГПа

M,μ_B

PdMnSn

Данная работа

6.095

5.43

3.61

PtMnSn

Данная работа

6.068

96.5

5.87

3.591

Экспер. [3]

6.261

3.50

Экспер. [5]

6.201

3.04

Теория [6]

3.60

Экспер. [7]

6.241

3.25

Экспер. [8]

3.95

FLAPW [9]

6.204

3.96

Экспер. [10]

6.262

3.45

FP-LMTO [11]

6.182

3.88

TB-LMTO-ASA [12]

6.264

3.54

VASP [13]

6.264

3.54

VASP [14]

6.129

3.487

VASP [15]

6.222

3.693

Экспер. [16]

6.264

3.42

Экспер. [17]

3.57

Таблица 2. Вычисленные константы упругости (Cij₁ ) соединений PdMnSn и PtMnSn

Соединение

Ref.

C₁₁

C₁₂

C₄₄

P_C = C₁₂ - C₄₄

PdMnSn

Данная работа

113.339

95.630

9.290

86.340

PtMnSn

Данная работа

139.574

110.926

12.526

98.400

Ref. [13]

214.65

141.01

35.09

105.920

VASP [14]

103

VASP [15]

134

спина (вверх) и неосновным направлением (вниз).

что согласуется с СП-правилом. Вычисленные сум-

Таким образом, для Z имеем

марные магнитные моменты вдоль оси c приведе-

ны в табл. 1 вместе с известными из других ра-

Z = N↑ +N↓,

бот экспериментальными и теоретическими значе-

(6)

M = N↑ -N↓→ M = Z - 2N↑ .

ниями [5-17].

Вычисленные суммарные магнитные моменты ока-

Константы упругости характеризуют механичес-

зались равны 3.61μ_B и 3.591μ_B для ферромагнит-

кие свойства материала и часто бывают полезны

ных соединений соответственно PdMnSn и PtMnSn,

при оценке его механической стабильности. Рас-

808

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Исследование соединений PdMnSn и PtMnSn...

Таблица 3. Вычисленные значения модуля сдвига G, B/G, модуля Юнга E, коэффициента Пуассона σ, фактора

анизотропии A для соединений PdMnSn и PtMnSn

Соединение

G, ГПа

B/G

E, ГПа

PdMnSn

Данная работа

101.533

9.113

11.141

26.547

0.45

1.05

PtMnSn

Данная работа

120.477

13.216

9.115

38.171

0.44

0.87

VASP [13]

129.77

35.78

3.626

98.305

0.37

0.95

VASP [14]

6.214

39.861

0.42

0.27

VASP [15]

108

3.857

72.205

0.39

1.59

PdMnSn

больше, чем полученные в работах [14,15], но мень-

ше, чем полученные в работе [13]. Используя зна-

чения констант упругости, мы оценили и проанали-

зировали механическую стабильность обоих соеди-

нений. Критерии Борна механической стабильнос-

E_F

ти [26] для кубических структур имеют следующий

–2

вид:

-4

C₄₄ > 0, (C₁₁ - C₁₂)/2 > 0,

-6

(7)

-8

B = (C₁₁ + 2C₁₂)/3 > 0.

-10

W L

Как следует из табл. 2, эти критерии выполняют-

PtMnSn

ся, таким образом, можно сделать вывод о том, что

оба соединения являются механически стабильны-

ми в фазе C1_b. Давление Коши P_C = C₁₁ - C₄₄

является весьма полезной величиной для предска-

зания типа связи в веществах. Если характер хими-

E_F

ческой связи в веществе ковалентный, значение P_C

–2

отрицательно. Если в материале есть металлические

-4

зоны, значение P_C положительно. Как следует из

-6

табл. 1, вычисленные значения P_C для обоих мате-

-8

риалов положительны и свидетельствуют о наличии

–10

K X

W L

металлических зон. Согласно критерию Пью [27],

Рис. 2. Профили энергетических зон для обеих ориента-

величина отношения B/G, как правило, может ис-

ций электронного спина соединений PdMnSn и PtMnSn:

пользоваться для получения данных о хрупкости и

сплошные линии — спин вверх, штриховые линии — спин

пластичности материалов. Отношение B/G для пла-

вниз

стичных материалов превышает 1.75, а для хрупких

материалов оно меньше, чем 1.75. Модуль объемного

сжатия, модуль сдвига, модуль Юнга, коэффициент

считанные значения B, C₁₁, C₁₂, C₄₄ соединений

Пуассона и коэффициент анизотропии приведены в

PtMnSn и PdMnSn приведены в табл. 2 вместе с

табл. 3 вместе с данными других работ для срав-

данными, вычисленными в других работах [13-15].

нения [13-15]. Из табл. 3 следует, что согласно рас-

Насколько мы смогли определить по имеющимся

считанным значениям B/G, оба вещества являются

публикациям, в литературе нет ни эксперименталь-

пластичными. Сравнение коэффициента Пуассона с

ных, ни расчетных данных для констант упругос-

критическими значениями в диапазоне 0 < σ < 0.5

ти PdMnSn, таким образом, наши расчеты для фа-

является простым способом определения типа связи

зы C1_b могут быть приняты в качестве оценочных

в кристалле. Если коэффициент Пуассона σ = 0.1,

для будущих исследований. Вычисленные нами зна-

тип связи в материале ковалентный. Если коэффи-

чения констант упругости для PtMnSn оказались

циент Пуассона σ равен 0.25, связь в материале но-

809

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Исследование соединений PdMnSn и PtMnSn...

PdMnSn

Полная

W L0

0.1

0.2

0.3

0.4

PDOS

PtMnSn

Полная

K X

W L0

0.10

0.20

0.30

PDOS

Рис. 4. Кривые фононной дисперсии и плотности фононных состояний в PdMnSn и PtMnSn вдоль нескольких линий

высокой симметрии зоны Бриллюэна

сит ионный характер. Согласно найденным величи-

более полное представление об электронных свой-

нам коэффициента Пуассона, оба соединения харак-

ствах этих материалов, на рис. 3 показаны вычис-

теризуются ионно-металлическим взаимодействием.

ленные полные и парциальные плотности электрон-

Профили зон PdMnSn и PtMnSn, зависящие от на-

ных состояний. Нижние зоны, лежащие в диапазоне

правления спина, были рассчитаны с использовани-

энергий между -2 эВ и -4 эВ, в обоих соединениях

ем теории функционала электронной плотности в

для спинов, направленных как вверх, так и вниз, в

обобщенном градиентном приближении. Они пока-

основном состоят из d-электронов Pd, Pt, Mn. Самая

заны на рис. 2. Как видно на рис. 2, уровни Ферми

низкоэнергетическая часть спектра в районе -8 эВ в

(E_F ), изображенные горизонтальными штриховыми

обоих соединениях образована преимущественно s-

линиями, в некоторых диапазонах энергий пересека-

состояниями атомов Sn. Электроны на уровне Фер-

ются с профилями зон, соответствующих направле-

ми в основном находятся в состояниях 3d, 4d Pt и

нию спина вверх и вниз. Видно, что в обоих соеди-

небольшая их доля находится в 3d-состояниях Mn

нениях электроны с проекцией спина, направлен-

в PdMnSn и PtMnSn, а вклад от d-состояний Sn

ной вверх, и с проекцией спина, направленной вниз,

невелик. Для PtMnSn эти результаты согласуются

имеют металлический характер. В опубликованных

с опубликованными ранее результатами теоретиче-

работах нет результатов для PdMnSn, с которыми

ских расчетов. На рис. 4 показаны фононные спек-

можно было бы провести сравнение, а что касается

тры полугейслеровых сплавов PdMnSn и PtMnSn

PtMnSn, наш результат согласуется с результатами

в фазе C1_b вдоль высокосимметричных направле-

других теоретических работ [11-15,18]. Как хорошо

ний зоны Бриллюэна. В пределах зоны Бриллюэна

видно на рис. 2, вычисленные профили электронных

нет мнимых частот фононов, что свидетельствует

зон для обоих соединений похожи. Чтобы получить

о динамической стабильности обоих соединений в

811

Н. Арикан, Я. Г. Илдиз, Г. Д. Илдиз

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

C_V(R)

заны удельные теплоемкости при постоянном объ-

еме соединений PdMnSn и PtMnSn, рассчитанные

как функции температуры в диапазоне 0-1500 К. В

PtMnSn

обоих соединениях наблюдается быстрый рост теп-

PdMnSn

лоемкости с температурой вплоть до T = 300 К, а

затем она насыщается, приближаясь к пределу Дю-

лонга - Пти [28]. К сожалению, в литературе нет со-

ответствующих данных, с которыми мы могли бы

провести сравнение этих результатов.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование соединений PdMnSn и

300

600

900

1200

1500

PtMnSn при помощи теории функционала электрон-

T, K

ной плотности (DFT) в приближении обобщенно-

Рис. 5. Удельные теплоемкости PdMnSn и PtMnSn при

го градиента плотности (GGA) с целью опреде-

постоянном объеме как функции температуры

ления структурных, электронных и колебательных

свойств этих материалов. Вычисленные значения

постоянной решетки и модуля объемного сжатия со-

фазе C1_b. На элементарную ячейку полугейслеро-

единений PdMnSn и PtMnSn сравнивались с тео-

вых сплавов PdMnSn и PtMnSn приходится по три

ретическими и экспериментальными результатами

атома. Таким образом, имеются всего девять ветвей

ранее опубликованных работ. Используя рассчитан-

фононного спектра, включающих три акустические

ные значения констант упругости, мы проанали-

ветви и шесть оптических ветвей. В обоих веще-

зировали механическую стабильность обоих соеди-

ствах поперечные акустические моды вдоль направ-

нений. На основании этих значений получено, что

лений (Γ-X) и (Γ-L) двукратно вырождены бла-

оба исследованных соединения являются механиче-

годаря симметрии. В обоих соединениях фононные

ски стабильными. Хрупкость и пластичность обо-

спектры очень похожи.

их материалов исследовались при помощи крите-

Вследствие различия масс атомов в элементар-

рия Пью, и было найдено, что оба соединения яв-

ной ячейке в обоих соединениях фононные спектры

ляются пластичными. Кроме того, пластичность со-

можно отнести к двум отдельным областям, разде-

единения PtMnSn была подтверждена сравнением

ленным полосой запрещенных энергий. Как хоро-

отношения B/G с величиной коэффициента Пуас-

шо видно на рис. 4, одна из этих областей нахо-

сона σ. Исследованы электронные зонные струк-

дится в низкочастотной части спектра между ну-

туры обоих материалов в фазе C1_b и было най-

лем и 4 ТГц, а вторая находится в высокочастот-

дено, что они демонстрируют металлическое пове-

ной части спектра между 7 ТГц и 8 ТГц. В обоих

дение. Вычисленные значения давления Коши P_C

соединениях низкочастотная часть спектра с часто-

оказались положительными, что подтверждает ме-

той ниже 4 ТГц содержит девять фононных мод. К

таллический характер электронных зон. С помо-

высокочастотной области относятся три оптические

щью теории линейного отклика исследованы фонон-

ветви, и эти фононные ветви характеризуются мень-

ные спектры в фазе C1_b полугейслеровых сплавов

шей дисперсией, чем другие оптические ветви, при-

PdMnSn и PtMnSn вдоль высокосимметричных на-

надлежащие низкочастотной области. Чтобы луч-

правлений зоны Бриллюэна. Для обоих соединений

ше понять фононные спектры, нужно посмотреть на

вычисленные фононные спектры свидетельствуют

полную и парциальные плотности фононных состоя-

об их динамической стабильности, поскольку мни-

ний на рис. 4 (панель справа). Для обоих соединений

мые частоты фононов отсутствуют. Дополнительно,

низкочастотная область до 2 ТГц состоит из коле-

помимо фононных свойств, мы исследовали и про-

баний всех трех атомов, благодаря наличию между

анализировали термодинамические свойства обоих

ними слабых сил связи. Более высокочастотные оп-

соединений. Удельная теплоемкость быстро возрас-

тические моды между 7 ТГц и 8 ТГц в основном

тает вплоть до температуры 300 К, а затем ее зна-

вызваны колебаниями атомов Mn. Удельную тепло-

чение выходит на уровень насыщения, приближаясь

емкость при постоянном объеме (C_V ) можно посчи-

к пределу Дюлонга - Пти. К сожалению, сравнение

тать как функцию температуры, используя квази-

с ранее опубликованными результатами невозможно

гармоническое приближение (QHA). На рис. 5 пока-

ввиду их отсутствия.

812

ЖЭТФ, том 157, вып. 5, 2020

Исследование соединений PdMnSn и PtMnSn...

ЛИТЕРАТУРА

15.

A. Jain, S. P. Ong, G. Hautier et al., Appl. Mater. 1,

011002 (2013).

P. Villars and L. D. Calvert, Pearson’s Handbook of

Crystallographic Data for Intermetallic Phases, 2nd

16.

P. G. van Engen, K. H. J. Buschow, R. Jongebreur,

ed., ASM International, Materials Park, OH (1991).

and M. Erman, Appl. Phys. Lett. 42, 202 (1983).

L. Offernes, P. Ravindran, C. W. Seim, and A. Kjek-

17.

M. M. Kirillova, A. A. Makhnev, E. I. Shreder,

shus, J. Alloys Comp. 458, 47 (2008).

V. P. Dyakina, and N. B. Gorina, Phys. Stat. Sol.

(b) 187, 231 (1995).

M. J. Otto, R. A. M. van Woerden, P. J. van der Valk

et al., J. Phys.: Cond. Matter 1, 2341 (1989).

18.

E. SasıoǦlu, L. M. Sandratskii, and P. Bruno, Phys.

Rev. B 77, 064417 (2008).

M. J. Otto, H. Feil, R. A. M. van Woerden et al., J.

Magn. Magn. Mater. 70, 33 (1987).

19.

S. Baroni, A. Dal Corso, S. de Gironcoli et al.,

QuantumESPRESSO: Open-Source Package for Re-

K. Watanebe, J. Phys. Soc. Jpn. 28, 302 (1970).

search in Electronic Structure, Simulation, and Opti-

mization, http://www.pwscf.org/,2005.

R. A. de Groot, F. M. Mueller, P. G. van Engen, and

K. H. J. Buschow, Phys. Rev. Lett. 50, 2024 (1983).

20.

J. P. Perdew, K. Burke, and M. Ernzerhof, Phys. Rev.

Lett. 80, 891 (1998).

M. Masumoto and K. Watanabe, Trans. Jpn. Inst.

Met. 14, 408 (1970).

21.

H. J. Monkhorst and J. D. Pack, Phys. Rev. B 13,

5188 (1976).

B. Lindgren, K. Pernestal, S. Bedi, and E. Karlsson,

J. Phys. F 7, 2405 (1977).

22.

E. I. Isaev, QHA Project. http://qe-forge.org/qha

(2013).

S. E. Kulkova, S. V. Eremeev, T. Kakeshita, S. S. Kul-

kov, and G. E. Rudenski, Mater. Trans. 47, 599

23.

F. D. Murnaghan, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 30, 244

(2006).

(1944).

10.

E. A. Görlich, R. Kmieć, K. Latka et al., Phys. Stat.

24.

D. Wee, B. Kozinsky, B. Pavan, and M. Fornari, J.

Sol. (a) 30, 331 (1975).

Electronic Mater. 41, 977 (2012).

11.

I. Galanakis, S. Ostanin, M. Alouani, H. Dreyssé, and

25.

I. Galanakis, P. Mavropoulos, and P. H. Dederichs, J.

J. M. Wills, Phys. Rev. B 61, 4093 (2000).

Phys. D: Appl. Phys. 39, 765 (2006).

12.

L. Offernes, P. Ravindran, and A. Kjekshus, J. Alloys

26.

M. Born and K. Huang, Dynamical Theory of Crystal

Comp. 439, 37 (2007).

Lattices, Oxford University Press, New York (1954).

13.

A. Amudhavalli, R. Rajeswarapalanichamy, and

27.

S. F. Pugh, The London, Edinburgh, and Dublin

K. Iyakutti, J. Alloys Comp. 708, 1216 (2017).

Philos. Mag. J. Sci. 45, 823 (1954).

14.

M. De Jong, W. Chen, T. Angsten et al., Scientific

28.

A. Petit and P. Dulong, Ann. Chem. Phys. 10, 395

Data 2, 150009 (2015).

(1819).

813