ЖЭТФ, 2020, том 157, вып. 4, стр. 624-629

МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ

ПУЗЫРЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ РОСТА.

ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

А. С. Черноскутов^a, Л. М. Мартюшевa,b*

^a Уральский государственный технический университет

620002, Екатеринбург, Россия

^b Институт промышленной экологии Уральского отделения Российской академии наук

620219, Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 11 ноября 2019 г.,

после переработки 11 ноября 2019 г.

Принята к публикации 28 ноября 2019 г.

Проведен линейный анализ на морфологическую устойчивость круглого пузыря, нестационарно расту-

щего в двумерной жидкости. Изменением температуры и вязкостью пренебрегается, среды считаются

несжимаемыми, а давление внутри пузырька считается постоянным. Начиная с некоторого критическо-

го размера (кинетической спинодали), наблюдается переход от устойчивого к неустойчивому росту, что

является принципиальным отличием от известного решения для трехмерного случая. Получено прибли-

женное уравнение для расчета спинодали.

DOI: 10.31857/S0044451020040057

но либо для наиболее практически важных трех-

мерных случаев (в частности, при кристаллизации

[4,7-10], кипении [15-17]), либо для квазидвумерных

1. ВВЕДЕНИЕ

случаев (в частности, при вытеснении одной жид-

кости другой в ячейке Хеле - Шоу [2,3,11-14]). Рас-

Неустойчивые процессы в двухфазных средах

четов морфологической устойчивости фазовой гра-

очень распространены в природе, в частности при

ницы для двумерных неравновесных систем прак-

кристаллизации, кипении, течении жидкостей [1-6].

тически нет. Авторы знают лишь одно направление

Важной характеристикой подобных процессов явля-

работ, в котором изучается морфологическая устой-

ется форма движущейся границы раздела фаз и ее

чивость при кристаллизации в квазистационарных

морфологическая устойчивость. Если поверхность

условиях изначально круглой частицы [7, 10]. При

раздела оказывается морфологически не устойчи-

этом никаких новых эффектов в результате реше-

вой, то возникает переход от одной ее формы к

ния данной задачи по сравнению с трехмерным

другой (часто существенно более сложной). Подоб-

случаем не было обнаружено. Имелись лишь неко-

ные переходы относят к кинетическим (морфологи-

торые количественные отличия. Одной из причин

ческим, неравновесным) фазовым переходам. Инте-

этого являлось рассмотренное квазистационарное

ресно отметить, что, как и для равновесных фазо-

приближение. Вместе с тем, как известно из фи-

вых переходов, здесь наблюдаются переходы разно-

зики классических (равновесных) фазовых перехо-

го рода, вводится понятие спинодали и бинодали,

дов, пространственная размерность системы имеет

а также существует неравновесный потенциал, опи-

очень важное значение для фазового перехода. В

сывающий морфологический переход. Эти примеры

частности, для ряда широко используемых моде-

можно найти в многочисленных работах (см., напри-

лей (в частности, модели Изинга) при изменении

мер, [5-17]).

размерности системы переход может вообще исчез-

Подавляющее большинство анализов на морфо-

нуть [18, 19]. Теоретически интересно найти подоб-

логическую устойчивость границ раздела выполне-

ный пример в случае неравновесных (кинетических)

морфологических переходов. Здесь необходимо так-

^* E-mail: leonidmartyushev@gmail.com

624

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Морфологическая устойчивость поверхности пузыря. ..

же отметить, что рассмотрение эволюции формы

задачи, это движение описывается уравнением Бер-

межфазной границы двумерных систем при нерав-

нулли, которое совместно с уравнением непрерывно-

новесных условиях не только имеет академический

сти в безразмерном виде имеет вид

интерес, но и приобретает в настоящее время особое

∫

∂φ

практическое значение в связи огромным внимани-

R-

dp =

(∇φ)²,

(2.1)

ем к двумерным материалам.

∂R

В данной работе рассматривается морфологиче-

∇²φ = 0,

(2.2)

ская устойчивость растущего газового пузырька в

жидкости в динамическом (инерционном) режиме

где

R₌ dR/dt — скорость роста пузыря, R — радиус

роста. Ранее данная задача неоднократно в разных

пузыря, t — время, φ — потенциал безразмерной ско-

приближениях решалась в трехмерном случае для

рости (v = -∇φ), который на большом расстоянии

сферического пузыря [1, 15-17]. В рамках линей-

от пузырька удовлетворяет выражению φ|R∞ = 0.

ного анализа морфологической устойчивости бы-

Для приведения к безразмерному виду использова-

ло обнаружено, что поверхность подобного пузы-

лись R_c, ρ и поверхностное натяжение σ между дву-

ря в нестационарном приближении асимптотически

мя средами:

всегда морфологически устойчива по отношению к

бесконечно малым гармоническим возмущениям по-

R_c

R_∞

π, R_∞ =

R_c =

верхности. Таким образом, для трехмерной системы

R_c

π₀-π_∞

отсутствует неравновесный морфологический пере-

ход при наличии бесконечно малых воздействий

Отметим, что в двумерной среде размерности σ, π

(другими словами, отсутствует кинетическая спино-

и ρ соответственно [Н], [Н·м-1] и [кг·м-2].

даль). Изменится ли принципиально решение этой

Рассмотрим возмущение круглой фазовой грани-

задачи, если рассмотреть двумерный случай (рост

цы бесконечно малым гармоническим возмущением

круглого пузырька)? Этот вопрос является интерес-

моды n. Уравнение для возмущенной поверхности r_s

ным с теоретической точки зрения и в литературе

в полярной системе координат (r, ϕ) и безразмерном

рассмотрен не был. Поэтому, целью данной работы

виде запишется в виде

стало аналитическое решение подобной двумерной

задачи в нестационарном приближении.

rs = R + δ cos(nφ),

(2.3)

где δ — амплитуда возмущения.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В этом случае потенциал скоростей удовлетворя-

ет следующему граничному условию:

Имеется двумерная система с круговой симмет-



рией. Система размера R_∞ заполнена жидкостью,

∂φ

∂δ



=R˙ +

Rcos(nϕ),

(2.4)

в центре имеется круглый газовый пузырек. Разме-



∂n

∂R

ры пузыря относительно малы, R_c ≪ R ≪ R_∞, где

R_c — некоторый минимальный радиус пузыря. Бу-

где n — нормаль к поверхности.

дем считать, что плотность жидкости ρ значительно

Можно показать, что в линейном порядке [12]

выше плотности газа. Рассматривается так называ-



емое динамическое приближение [15-17], т. е. прене-

∂φ

δn ∂φ



sin(nϕ).

(2.5)



 δ

брегается изменениями температуры и вязкостью в

∂n

∂r

r2 ∂ϕ

газе и жидкости, эти среды считаются несжимаемы-

ми, а давление внутри пузырька считается постоян-

Перепад давления на границе раздела удовлетворя-

ным π₀. Это приближение в литературе, связанной

ет граничному условию [18]

с парообразованием при кипении, иногда называют

инерционным [1]. Давление в жидкости π изменя-

p₀ - p|rs = K,

(2.6)

ется и на расстоянии R_∞ от пузырька равно π_∞

(π₀ > π_∞). Движение предполагается безвихревым

где K — кривизна поверхности в плоскости движе-

(потенциальным).

ния, которая в линейном порядке имеет вид [12]

Для описания роста пузыря достаточно рассмот-

реть задачу о движении лишь жидкости, ограни-

K =

(n² - 1) cos(nϕ).

(2.7)

ченной поверхностью пузыря. Исходя из постановки

R²

625

ЖЭТФ, вып. 4

А. С. Черноскутов, Л. М. Мартюшев

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О

Решение (3.3)-(3.8) приводит к следующему дву-

МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

мерному аналогу уравнения Рэлея - Плессета для

нахождения R:

Представим давление и потенциал скоростей сте-

(

)

)(

)

пенным рядом, ограничившись первым порядком

⁽R_∞

R² + RR -

R²R˙²

по δ:

R²

∞

φ(r, φ) = φ⁰(r) + δφ¹(r, ϕ),

(3.1)

=1-

(3.15)

p(r, ϕ) = p⁰(r) + δp¹(r, ϕ).

(3.2)

где учтено, что согласно принятой процедуре при-

ведения к безразмерному виду p₀ - p_∞ = 1.

Подставим (3.1), (3.2), (2.5), (2.7) в (2.1), (2.2),

Решение (3.9)-(3.14) приводит к амплитудному

(2.4), (2.6) и разложим в ряд Тейлора каждое сла-

уравнению

гаемое вблизи R. Приравнивая коэффициенты в по-

(

)

лучившихся выражениях при нулевом и при первом

∂²δ

∂δ

порядке по δ, получим две системы уравнений для

R² +

^R+2

∂R²

∂R

вычисления φ⁰, p⁰ и φ¹, p¹:

(

)

(n² - 1)n

∇²φ⁰ = 0,

(3.3)

−δ

(n - 1) -

= 0.

(3.16)

R³

∂φ

⁽∂φ⁰)²

R-

p⁰ = p0∞ +

(3.4)

∂R

∂r

Согласно (3.15), принимая во внимание началь-

ные условия R(0) = 1 и

^R(0) = ω (где ω — некоторая

с граничными условиями

скорость в начальный момент), в приближении R ≪



≪ R_∞, получим



∂φ



=R˙,

(3.5)

√



∂r

r=R

f (R)

R₌

(3.17)

p₀ - p⁰|r=R = 1/R,

(3.6)

R ln(R_∞/R)

p⁰|r=R∞ = p_∞,

(3.7)

где f(R) = ((1 - R)² + ω² ln R_∞)/R.

φ⁰|r=R∞ = 0

(3.8)

Отметим, что в рассматриваемом двумерном

случае зависимость скорости невозмущенного пузы-

ря от его размера описывается достаточно сложной

∇²φ¹ = 0,

(3.9)

функцией (рис. 1). В трехмерном случае скорость в

рамках рассматриваемых приближений оказывает-

∂φ

∂δ

Rφ¹

∂φ⁰ ∂φ¹

p¹ = p1∞ +

R₊

(3.10)

ся постоянной (т. е. зависимость размера пузыря от

∂R

∂R δ

∂r

времени являлась линейной функцией) [1, 17, 20].

с граничными условиями

Используя (3.17), из (3.16) получим



(

)

∂²φ⁰



∂φ¹

∂²δ

∂δ



cos(nϕ) +



g(R) +

∂r²



∂r



∂R²

∂R

r=R

∂δ

))

cos(nϕ),

(3.11)

⁽n-1

n(n²-1)

⁽R_∞

∂R δ

−δ

g(R)-

= 0,

(3.18)

R²f(R)

где



∂p⁰



)



cos(nϕ) + p¹



r=R

⁽R - 1 - f(R)

∂r

r=R

g(R) =

f (R)

2 ln(R_∞/R)

n² - 1

cos(nϕ),

(3.12)

R²

Решение (3.18) будем проводить с использованием

стандартных начальных условий [17]:



p¹|r=R∞ = 0,

(3.13)

∂δ



δ(R₀) = δ₀,



= 0,

(3.19)



φ¹|r=R∞ = 0.

(3.14)

∂R

R=R0

626

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Морфологическая устойчивость поверхности пузыря. ..

тах предполагалась бесконечно малой, то, если поль-

зоваться терминологией равновесной теории фазо-

0.45

вых переходов, R_s является спинодалью морфоло-

гического перехода. Примеры поведения изменения

0.44

амплитуды в процессе роста пузыря вблизи крити-

0.43

ческого радиуса показаны на рис. 3. Важно отме-

тить, что в классическом трехмерном случае [15-17]

0.42

спинодаль отсутствует: рост всегда был морфоло-

= 100

гически устойчивым. Качественное различие меж-

0.41

ду решениями, по-видимому, может быть объяснено

0.40

ролью поверхностного натяжения, отвечающего за

морфологическую устойчивость поверхности пузы-

0.39

ря. При трехмерном росте по сравнению с двумер-

= 1

0.38

ным отношение площади границы к объему больше

и, как следствие, роль стабилизирующего фактора

0.37

также оказывается больше. Это количественное раз-

500

1000

1500

2000

личие приводит в рассматриваемой нестационарной

задаче к наблюдаемому эффекту.

Рис. 1. Зависимость изменения скорости роста пузыря от

Найдем уравнение для R_s. Поскольку нас инте-

его размера при различных начальных скоростях роста ω,

ресует начальная стадия потери устойчивости (т. е.

R∞ = 10⁶

в непосредственной близости от R₀), это позволя-

ет существенно упростить анализ уравнения (3.18).

Представим решение в виде ряда и примем во вни-

R<R_s

мание (3.19):



∂δ



δ(R) = δ₀(R₀)+



(R-R₀) + . . . ≈ δ₀.

(3.20)



Время

∂R

R>R_s

Подставив (3.20) в (3.18), получим выражение для

приближенного определения R_s:

)

⁽R_∞

⁽R_∞)

2n(n + 1)ln

- 2ln

(R_s - 1) +

R_s

Рис. 2. Зависимость изменения амплитуды возмущения от

⁽R_∞)

времени. (Штриховыми линиями показана невозмущенная

+ f(R_s)ln

+ f(R_s) = 0.

(3.21)

граница раздела фаз)

R_s

На рис. 4 видно, что найденное на основе (3.21)

где R₀, δ₀ — соответственно некоторые начальные

значение R_s является очень хорошим приближени-

радиус и амплитуда (1 ≪ R₀ ≪ R_∞).

ем. Действительно, расхождение между R_s, числен-

Точное аналитическое решение (3.18), (3.19) най-

но определенным на основе приближенного (3.21), и

ти не удается. Численный анализ показывает, что

точного (3.18) уравнений составляет не более 0.2 %.

при определенном R₀ = R_s скорость роста амплиту-

Согласно результатам расчета (рис. 4), можно за-

ды возмущения меняет знак с отрицательного на по-

ключить, что критический размер устойчивости пу-

ложительный. Другими словами, амплитуда возму-

зыря увеличивается с увеличением моды возмуще-

щения с некоторого момента начинает возрастать, и

ния и размера среды, в которой происходит его вы-

движущаяся граница газ-жидкость становится мор-

теснение. Это поведение качественно совпадает с ре-

фологически неустойчивой. Это схематично проде-

зультатами работ [7,8,12], в которых проводился ли-

монстрировано на рис. 2.

нейный морфологический анализ границы раздела

Значение R_s назовем критическим размером (ра-

фаз при кристаллизации и при вытеснении несме-

диусом). Так как амплитуда возмущения при расче-

шивающихся жидкостей.

627

А. С. Черноскутов, Л. М. Мартюшев

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

, 10^-10

R =R0+

2.0

= 1

1.5

= 1

1.5

n = 2

n = 4

1.0

= 50

1.0

0.5

= 50

0.5

600

700

800

900

1000

1100

1500 1600

1700

1800

1900 2000

-0.5

-1.0

–1.5

-1.5

-2.0

-2.5

-2.0

Рис. 3. Зависимость скорости роста амплитуды возмущения от размера пузыря вблизи критического радиуса Rs. Дан-

ные зависимости получены при численном решении (3.18) и (3.19) для n = 2, 4 и ω = 1, 50, а также δ0 = 1, ε = 0.01,

R∞ = 10⁶

R_s, 10³

5.0

n = 6

4.5

4.0

= 100

= 1

3.5

n = 4

3.0

n = 4

2.5

n = 2

2.0

1.5

n = 2

1.0

0.5

0.1

0.5

1.0

5.0

10.0

0.1

0.5

1.0

5.0

10.0

R , 10⁶

Рис. 4. Зависимость критического радиуса Rs от R∞ при различных значениях возмущающих мод n и ω. Численные

решения (3.18) и (3.21) показаны соответственно точками и сплошными линиями

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

на в нестационарной постановке. Обнаружено,

что в отличие от трехмерного случая существует

критический размер, до которого движение мор-

В данной работе решена задача о морфоло-

гической устойчивости движущейся двумерной

фологически устойчиво, а после — не устойчиво.

Таким образом, показано, что для неравновесных

двухфазной границы газ-жидкость в динамическом

(инерционном) приближении. Задача рассмотре-

морфологических переходов, как и для равно-

628

ЖЭТФ, том 157, вып. 4, 2020

Морфологическая устойчивость поверхности пузыря. ..

весных, размерность задачи существенна для

9. Л. М. Мартюшев, Е. М. Сальникова, Е. А. Чер-

возникновения перехода.

вонцева, ЖЭТФ 125, 1128 (2004).

10. L. M. Martyushev, in Beyond the Second Law.

Финансирование. Исследование выпол-

Entropy Production and Non-equilibrium Systems, ed.

нено при частичной финансовой поддержке

By R. C. Dewar, C. H. Lineweaver, R. K. Niven,

гранта

№1.4539.2017/8.9 и в рамках контракта

and K. Regenauer-Lieb, Springer-Verlag, Berlin,

№02.A03.21.0006.

Heidelberg (2014), p. 383.

11. L. Paterson, J. Fluid Mech. 113, 513 (1981).

12. L. M. Martyushev and A. I. Birzina, J. Phys. Con-

ЛИТЕРАТУРА

dens. Matter 20, 045201 (2008).

13. Л. М. Мартюшев, А. И. Бирзина, Письма в ЖЭТФ

1. C. E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics,

99, 516 (2014).

Oxford Univ. Press, NY, Oxford (1995).

14. Л. М. Мартюшев, Р. Д. Бандо, Е. А. Червонцева,

2. D. Bensimon, L. P. Kadanoff, S. Liang et al., Rev.

Письма в ЖЭТФ 108, 35 (2018).

Mod. Phys. 58, 977 (1986).

15. M. S. Plesset, J. Appl. Phys. 25, 96 (1954).

3. G. M. Homsy, Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 271 (1987).

16. M. S. Plesset and T. P. Mitchell, Quart. Appl. Math.

12, 419 (1956).

4. D. A. Kessler, J. Koplik, and H. Levin, Adv. Physics

17. L. M. Martyushev, A. I. Birzina, and A. S. Soboleva,

37, 255 (1988).

Physica A 499, 170 (2018).

5. E. Ben-Jacob and P. Garik, Nature 343, 523 (1990).

18. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая

6. A. Hill, Nature 348, 426 (1990).

физика, Часть 1, Наука, Москва (1995).

7. Л. М. Мартюшев, В. Д. Селезнев, И. Е. Кузнецова,

19. Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явле-

ЖЭТФ 118, 149 (2000).

ния, Мир, Москва (1973).

8. Л. М. Мартюшев, И. Е. Кузнецова, В. Д. Селезнев,

20. N. A. Kudryashov and D. I. Sinelshchikov, Phys. Lett.

ЖЭТФ 121, 363 (2002).

A 379, 798 (2014).

629