ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 3 (9), стр. 521-527

ТЕМПЕРАТУРНО-ЗАВИСИМОЕ МАГНИТОСОПРОТИВЛЕНИЕ

ОДНОСЛОЙНОГО ГРАФЕНА

Г. Ю. Васильева^a, П. С. Алексеев^a, Ю. Б. Васильевa*, А. П. Дмитриев^a,

В. Ю. Качоровский^a, Д. Смирнов^b, Х. Шмидтb**, Р. Хаугb**

^a Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук

194021, Санкт-Петербург, Россия

^b Institut für Festkörperphysik, Universität Hannover

30167, Hannover, Germany

Поступила в редакцию 26 марта 2019 г.,

после переработки 26 марта 2019 г.

Принята к публикации 23 апреля 2019 г.

Выполнены измерения магнитосопротивления образцов однослойного графена с различными типами

рассеивающих примесей в широком интервале температур и магнитных полей. Показано, что в образ-

цах с короткодействующим беспорядком магнитосопротивление пропорционально квадратному корню

из величины магнитного поля, за исключением случаев сравнительно низких концентраций, когда оно

является линейным. Проанализирована корневая зависимость величины магнитосопротивления от тем-

пературы и получено хорошее согласие с теоретическими расчетами. Эти результаты свидетельствуют о

том, что наличие корневого магнитосопротивления в малых магнитных полях можно рассматривать как

характерную особенность однослойного графена с короткодействующим беспорядком.

DOI: 10.1134/S0044451019090153

ментальное обнаружение магнитосопротивления

в таком важном для электроники материале как

1. ВВЕДЕНИЕ

графен представляет немалый интерес.

Экспериментальные исследования транспорт-

В настоящей работе мы сообщаем об измерениях

ных явлений являются одним из главных направ-

магнитосопротивления четырех образцов однослой-

лений в физике твердого тела, так как позволяют

ного графена с качественно разными зависимостя-

получить важную информацию о механизмах

ми проводимости от напряжения на затворе. Мы

рассеяния, ответственных за электропровод-

обнаружили корневую зависимость магнитосопро-

ность, теплопроводность и многие другие свойства

тивления в двух образцах (A и D), в которых эта

конкретных материалов и структур. Особенно

зависимость сублинейна, что характерно для гра-

информативны опыты по измерению зависимости

фена с короткодействующим беспорядком [5, 6]. В

сопротивления от приложенного к изучаемому об-

двух других образцах (B и C) она не сублинейна и

разцу магнитного поля. Теоретически показано [1],

режим корневого магнитосопротивления не наблю-

что в материалах с линейным законом дисперсии

дался. Полученные в наших экспериментах зависи-

и короткодействующим беспорядком в области

мости сопротивлений образцов A и D от магнитно-

классически сильных магнитных полей должно на-

го поля находятся в хорошем качественном согла-

блюдаться положительное магнитосопротивление,

сии с теоретическими расчетами во всем диапазоне

пропорциональное квадратному корню из вели-

магнитных полей и температур. Из сказанного мож-

чины магнитного поля H (отметим, что корневая

но сделать вывод, что наличие в сравнительно ма-

зависимость сопротивления от поля возможна и в

лых магнитных полях корневой зависимости магни-

материалах с квадратичной дисперсией, но лишь

тосопротивления в конкретном образце однослойно-

в квантовом пределе

[2-4]). Ясно, что экспери-

го графена указывает на то, что в этом образце до-

^* E-mail: galya_vasilyeva@mail.ru

минирует рассеяние на короткодействующем беспо-

^** H. Schmidt, R. Haug.

рядке.

521

Г. Ю. Васильева, П. С. Алексеев, Ю. Б. Васильев и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

2. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

, кОм^-1

R_xx, кОм

R_xy, кОм

T = 1.5 K

Чешуйки однослойного графена были изготов-

1.5

лены путем микромеханического расщепления при-

1.0

родного графита. В качестве подложки использова-

лись кремниевые пластины, покрытые пленкой из

0.5

оксида кремния толщиной 330 нм. Чешуйки одно-

-10

слойного графена были идентифицированы по оп-

-40

тическому контрасту и впоследствии подтверждены

V_g, B

измерениями в сильных магнитных полях: осцилля-

Рис. 1. a) Проводимость в зависимости от напряжения на

ции Шубникова - де Гааза имеют минимумы, а хол-

затворе в нулевом магнитном поле для образцов A, B, C, D.

ловское напряжение — плато при факторах запол-

Штриховые линии демонстрируют отклонения от линей-

нения ν = 2, 6, 10, 14 (см. рис. 1б), что указывает на

ных зависимостей. Стрелки показывают положение точки

то, что наши образцы графена действительно одно-

электронейтральности. б) Продольное сопротивление Rxx

слойные. Образец А отжигался при 300^◦C в атмо-

и холловское сопротивление Rxy измерены в образце B

сфере Не₂ в течение 3 ч, а образцы В и D очища-

при T = 1.5 K и H = 120 кЭ

лись зондом установки AFM, что позволяет значи-

тельно уменьшить концентрацию заряженных при-

месей на поверхности графена [7]. Образец С не от-

В функция σ(V_g) является суперлинейной, а для об-

жигался и оставался таким, каким был получен из-

разца С проводимость почти точно пропорциональ-

начально. Подвижность носителей оценивалась как

на |V_g - V_D| во всем диапазоне изменения V_g.

6500 см²/В · с в образцах А и В, 2500 см²/В · с в

Различие в характере зависимости проводимости

D и 1000 см²/В·с в С. Два образца (В и C) бы-

σ(V_g ) для разных образцов, по-видимому, отражает

ли изготовлены в геометрии мостика Холла, D —

различие механизмов рассеяния носителей заряда в

в форме прямоугольника, а образец А имел непра-

этих образцах [8-11]. Анализируя поведение прово-

вильную форму первоначальной чешуйки. Концент-

димости на рис. 1а, можно оценить значимость раз-

рацию n носителей в образцах можно варьировать

ных механизмов рассеяния. Так, строго линейное и

до 5·10¹² см-2, прикладывая напряжение к проводя-

суперлинейное поведение зависимости σ(V_g) типич-

щей подложке, которая выступает в качестве затво-

но для случая рассеяния на заряженных примесях с

ра. Магнитосопротивление измерялось с помощью

кулоновским потенциалом [12]. Поэтому мы можем

синхронных усилителей с низкочастотными токами

сделать вывод, что в образцах В и С доминирует

(f = 17.7 Гц, I = 100 нА) в диапазоне температур

этот механизм рассеяния.

1.5-200 К в магнитных полях до 12 Тл.

Известно, что проводимость графена как функ-

ция затворного напряжения V_g часто демонстрирует

сублинейное поведение [10,11]. В работах [5,6] было

3. РЕЗУЛЬТАТЫ

показано, что степень сублинейности функции σ(V_g )

На рис. 1а показаны зависимости проводимости

увеличивается, когда возрастает роль рассеяния на

σ от напряжения V_g на затворе для исследуемых

дефектах с короткодействующим потенциалом. Как

образцов. Напряжения V_D, при которых функции

отмечалось в работе [13], асимметрия кривых σ(V_g)

σ(V_g ) достигают минимума, соответствуют так на-

относительно точки V_g = V_D, наблюдавшаяся в на-

зываемой точке электронейтральности (точке Дира-

ших опытах на образцах А и D (см. рис. 1a), также

ка), когда концентрации электронов и дырок оди-

указывает на существенную роль рассеяния элект-

наковы. Образцы различаются степенями легирова-

ронов и дырок на дефектах с короткодействующим

ния, задающими положения точки Дирака. Образцу

потенциалом.

С отвечает положение точки Дирака при V_D = 38 В,

Таким образом, сублинейность и асимметрия

что сильно отличает этот образец от остальных:

кривых σ(V_g ) для образцов А и D указывают на то,

VD = 5 В в образце А, VD = 8 В в образце D и VD =

что в этих образцах рассеяние носителей на дефек-

= 12.4 В в образце В. Штриховые прямые на рис. 1а

тах с короткодействующим потенциалом является

проведены с целью показать, что зависимость σ(V_g )

существенным, в частности, значительно более ин-

имеет разный характер для разных образцов: для

тенсивным, чем в образцах В и С. Для всех образцов

образцов А и D проводимость σ(V_g) изменяется суб-

были проведены измерения зависимостей сопротив-

линейно c ростом разности |V_g - V_D|, для образца

ления от магнитного поля H при различных напря-

522

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Температурно-зависимое магнитосопротивление. . .

H = 0

при затворном напряжении V_g в точке электроней-

0.4

тральности V_g = V_D и вдали от нее. Для образца D

1 - 8 B (ТЭН)

со-

вдали от точки электронейтральности V_g = V_D

2 - 11.6 B

0.3

противление как функция магнитного поля в доста-

3 - 12 B

точно широком диапазоне магнитных полей (мень-

4 - 13 B

0.2

5 - 14 B

ше 20 кЭ) хорошо описывается корневой зависимос-

тью ρ(H) ∝ H1/2 (cм. рис. 2a). На этом рисунке

0.1

представлены измеренные значения магнитосопро-

тивления (сплошные линии) с наложенными на них

T = 45 K

графиками функции H1/2 со сдвигом a + AH1/2 с

соответствующим образом подобранными парамет-

H, кЭ

рами a и A (штриховые линии). Для образцов В и С

H = 0

как вблизи, так и вдали от точки электронейтраль-

1 - 12.6 B (ТЭН)

ности корневая зависимость магнитосопротивления

0.2

2 - 14 B

не наблюдалась (cм. рис. 2б,в).

3 - 16 B

4 - 18 B

В работе [1] была предсказана корневая зависи-

5 - 21 B

мость магнитосопротивления для однослойного гра-

0.1

6 - 23.6 B

фена с короткодействующими дефектами при до-

статочно высоких температурах. Наличие такой за-

висимости в образцах А и D, для которых прове-

денный выше анализ зависимостей σ(V_g) указыва-

ет на существенную роль короткодействующих де-

H, кЭ

фектов, при одновременном отсутствии корневого

H = 0

магнитосопротивления в остальных образцах согла-

0.05

суется с предсказаниями теории [1] и свидетель-

1 - -25 B

34 B

ствует в пользу того, что наблюдаемое в образцах

–9 B

58 B

А и D магнитосопротивление объясняется механиз-

3 - 22 B

74 B

мом, предложенным в работе [1]. Достаточно дале-

ко от точки электронейтральности корневая зависи-

мость магнитосопротивления отсутствует, как того

и требует теория [1]. Отсутствует оно и в окрест-

ности точки электронейтральности. Действительно,

как видно на рис. 2a,б, в образцах В и С в точке

-0.05

электронейтральности наблюдается линейное маг-

H, кЭ

нитосопротивление. В работах [14-16] было теоре-

Рис. 2. а) Зависимости магнитосопротивления (сплошные

тически показано, что в электрон-дырочной системе

линии) образца D с короткодействующим беспорядком для

в точке электронейтральности возможен режим ли-

нескольких значений напряжения Vg на затворе; подгонка

нейного магнитосопротивления. Этот эффект наб-

(штриховые линии 2-5) соответствует квадратному корню

людался в работе [17] в образце двухслойного гра-

из величины магнитного поля; линия 1 — линейному маг-

фена. Разумно предположить, что наблюдавшееся в

нитосопротивлению в точке электронейтральности (ТЭН).

настоящей работе линейное магнитосопротивление в

б) Магнитосопротивление образца B для разных значений

точке электронейтральности однослойного графена

Vg; штриховая линия показывает линейную зависимость

также объясняется предложенным в работах [14-16]

магнитосопротивления в ТЭН. в) Магнитосопротивление

механизмом.

образца C для разных значений Vg. На рис. 2а,б кривые

Следует отметить также, что отсутствие кор-

сдвинуты для лучшей видимости

невого магнитосопротивления в точке электронейт-

ральности и ее окрестности [18] может быть связано

не только с «включением» в этой области механиз-

жениях на затворе. Результаты этих измерений для

ма линейного магнитосопротивления, но и с измене-

образцов D, В и С показаны на рис. 2. Мы построи-

нием характера рассеяния по мере приближения к

ли на каждом из этих рисунков несколько графи-

точке электронейтральности. В реальных образцах

ков зависимости сопротивления от магнитного поля

важную роль играет рассеяние носителей заряда на

523

Г. Ю. Васильева, П. С. Алексеев, Ю. Б. Васильев и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

-1

/ H= 0

A, 10¹²

эВ

A, 10¹²

эВ

6.5

0.4

Vg^{= 11.6В}

6.0

5.5

0.2

1 - 45 K

11.6 В

9В

60 K

5.0

3 - 100 K

100

160

100

150

4 - 150 K

T, K

-1

A, 10¹²

эВ

A, 10¹²

эВ

H, кЭ

2.5

1.0

2.0

Рис. 3. Экспериментальные зависимости магнитосопро-

тивления образца D (с короткодействующим беспорядком)

1.5

при разных температурах T (кривые смещены для луч-

0.5

шей видимости). Штриховые линии соответствуют корне-

1.0

11.6 В

13.6 В

вой зависимости магнитосопротивления

100

150

100

150

T, K

заряженных примесях с кулоновским потенциалом,

Рис. 4. Зависимости коэффициента A (см. основной текст)

от температуры, полученные из экспериментальных дан-

интенсивность которого возрастает с уменьшением

ных для Vg = 11.6 В (а) и рассчитанные согласно теории

энергии носителей [8], тогда как интенсивность рас-

[1] для Vg = 9 В (б), 11.6 В (в), 13.6 В (г)

сеяния носителей на короткодействующих дефек-

тах, наоборот, уменьшается с уменьшением энер-

гии носителя [8], что и приводит к исчезновению

/ H= 0

корневой зависимости магнитосопротивления вбли-

0.8

зи V_g = V_D.

Измерения магнитосопротивления для образца

0.4

H²

T <<

Vg = 0 В

D показали, что эффект корневого магнитосопро-

T = 55 K

тивления сохраняется с повышением температуры.

На рис. 3а представлены результаты измерений маг-

H, кЭ

нитосопротивления этого образца при температурах

/ H= 0

T = 45, 60, 100, 150 K при фиксированном затвор-

IV*

ном напряжении V_g = 11.6 В. Сплошная линия со-

III

ответствует экспериментальным данным, а штри-

III*

ховые — подгоночным кривым вида Δρ(H)/ρ₀ =

II*

= a + AH1/2. Анализ этих кривых показывает, что

H₁

H₂

H₃

H₄

H₅

коэффициент A увеличивается с температурой, как

H, кЭ

это видно на рис. 4а. Такое увеличение соответству-

Рис. 5. а) Измеренное магнитосопротивление образца A в

ет предсказанию теории [1] и будет более подробно

диапазоне магнитных полей H = 0-70 кЭ. б) Плотность

рассмотрено в следующем разделе. Для образца А

состояний в графене в магнитном поле (сплошная линия)

была измерена зависимость магнитосопротивления

и производная распределения Ферми (штриховая линия)

от магнитного поля в более широком диапазоне маг-

при низких и высоких температурах согласно теории [1].

нитных полей при V_g = 0 (рис. 5). Заметим, что зна-

в,г) Магнитосопротивление графена, рассчитанное соглас-

чение V_g = 0 находится недалеко от точки Дирака

но теории [1] для μ ≪ T (в) и μ ≫ T (г) (подробности см.

для этого образца, V_D = 5 В.

работу [1])

Минимум магнитосопротивления при H = 64 кЭ

связан с возникновением шубниковских осцилля-

статочно высоких температур (см. рис. 5б). Хоро-

ций, поэтому будем обсуждать магнитосопротивле-

шо видны три участка графика магнитосопротивле-

ние только в магнитных полях, меньших H = 64 кЭ,

ния с различным характером зависимости ρ(H)/ρ₀

где оно определяется, по-видимому, характером рас-

(см. рис. 5a). Как обсуждалось выше, в малых

сеяния носителей на дефектах и заселенностью

магнитных полях (до H

= 16 кЭ) наблюдается

большого числа близких уровней Ландау из-за до-

корневое магнитосопротивление ρ(H)/ρ₀

∝ H1/2.

524

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Температурно-зависимое магнитосопротивление. . .

При высоких полях (выше H

= 30 кЭ) кривая

близка к плоским волнам, и где состояния носи-

также может быть хорошо описана зависимостью

телей являются существенно квантовыми. Именно,

ρ(H)/ρ₀ ∝ H1/2 [19]. Между этими участками в по-

при ε < ε^∗ электронные состояния отвечают хорошо

лях 16 кЭ < H < 30 кЭ зависимость сопротивления

разделенным уровням Ландау с плотностью состо-

от магнитного поля описывается функцией с выпук-

яний, отличной от нуля в некоторых окрестностях

лостью, отличной по знаку от выпуклости на участ-

этих уровней и равной нулю вне их (квантовая об-

ках H < 16 кЭ и H > 30 кЭ. Такой ход магни-

ласть), а при ε > ε^∗ состояния отвечают сильно пе-

тосопротивления согласуется с теорией [1], которая

рекрывающимся уровням Ландау с плотностью со-

предсказывает, что в достаточно больших магнит-

стояний, близкой к своему значению в отсутствие

ных полях кривая магнитосопротивления состоит из

магнитного поля.

трех участков с немонотонными изменениями про-

Для случая высоких температур T ≫ μ (здесь

изводной dρ(H)/dH: ρ(H)/ρ₀ ∝ H1/2 в очень малых

μ > 0 — химический потенциал, отсчитываемый от

и очень больших магнитных полях и ρ(H)/ρ₀ ∝ H²

точки Дирака) теория [1] предсказывает, что магни-

или ρ(H)/ρ₀ ∝ H3/2 (см. рис. 5б) в промежуточных

тосопротивление Δρ(H)/ρ₀ зависит от магнитного

магнитных полях (см. рис. 5в,г). Такое поведение

поля корневым образом как в области малых маг-

очень похоже на экспериментальное наблюдавшееся

нитных полей, ε^∗ < T , так и в области очень боль-

магнитосопротивление для образца А (ср. рис. 5a и

ших магнитных полей, ε^∗ > T²/μ (см. рис. 5в). Для

рис. 5в,г).

случая низких температур, μ ≫ T , теория [1] также

Наконец, отметим, что в образце С с низкой по-

предсказывает, что магнитосопротивление пропор-

движностью (высокой плотностью дефектов), см.

ционально корню из магнитного поля как в слабых,

рис. 1, было обнаружено отрицательное магнитосо-

так и в сильных магнитных полях (см. рис. 5г), од-

противление во всем диапазоне напряжений затво-

нако границы такого поведения даются более слож-

ра за исключением некоторых значений V_g, соответ-

ными выражениями (подробности см. в работе [1]).

ствующих очень высоким плотностям дырок и очень

В слабых магнитных полях магнитосопротивле-

малым плотностям электронов (cм. рис. 2в).

ние дается формулой

Δρ(H, T )

√

4. СОПОСТАВЛЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ

= A(T )ε^∗ ∝

(2)

ρ₀

Проведем более подробное сопоставление полу-

где A(T ) = 3.18 exp(-μ/T )/T для μ ≫ T и A(T ) =

ченных экспериментальных результатов по корнево-

= 0.78/T для μ ≪ T. Для данных, представленных

му магнитосопротивлению графена с предсказания-

на рис. 5а, расчет химического потенциала для из-

ми теории [1].

вестной геометрии структуры (см. разд. 3) при на-

Ключевой энергетический масштаб теории [1] да-

пряжении затвора V_g = 0 дает μ = 66 мэВ. Таким

ется формулой

√

образом, для температуры T = 55 K = 4.7 мэВ,

ℏv

ℏev

√

при которой были получены данные, представлен-

ε^∗ =

√γ

(1)

l_m

√c

ные на рис. 5а, мы имеем μ ≫ T . В этом случае

где v

— скорость носителей в графене, l_m

теория [1] предсказывает, что корневое магнитосо-

√

cℏ/eH — магнитная длина, γ = ετ(ε)/ℏ — без-

противление должно быть экспоненциально малым,

размерный параметр, который не зависит от ε, ко-

а именно, пропорциональным exp(-μ/T ) (см. выра-

гда время рассеяния носителей определяется рассе-

жение (2)). Можно было бы ожидать, что в связи с

янием на примесях с короткодействующим потен-

последним фактом корневое магнитосопротивление

циалом, τ(ε) — время рассеяния носителей, а имен-

вряд ли могло бы наблюдаться экспериментально.

но, квантовое время жизни электрона или дырки в

Тем не менее, как видно на рис. 5а, корневая зави-

данном состоянии, пропорциональное 1/ε для слу-

симость сопротивления от магнитного поля хорошо

чая рассеяния на примесях с короткодействующим

видна на экспериментальной кривой.

потенциалом.

Чтобы объяснить это противоречие предполо-

Плотность состояний носителей, ν(ε), изображе-

жим, что в нашей системе имеется крупномасштаб-

на на рис. 5б для случая электронов (энергия ε по-

ная геометрическая неоднородность и неоднородное

ложительна). Зависящий от магнитного поля энер-

распределение дефектов. Эти факторы приводят к

гетический параметр ε^∗ = ε^∗(H) разделяет на оси

наличию в системе плавного случайного потенциа-

энергии области, где состояния носителей являют-

ла большой амплитуды, дополнительного к коротко-

ся квазиклассическими, волновая функция которых

действующему потенциалу примесей. При условии,

525

Г. Ю. Васильева, П. С. Алексеев, Ю. Б. Васильев и др.

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

что корреляционная длина этого случайного потен-

Для сопоставления теоретических и эксперимен-

циала достаточно велика, рассеянием носителей на

тальных зависимостей A(T ) мы, во-первых, опреде-

нем можно пренебречь. При этом, однако, плавный

лили экспериментальную зависимость коэффициен-

потенциал сдвигает локальное положение точки Ди-

та A от термодинамической температуры T из под-

рака относительно уровня химического потенциала

гонки экспериментальных кривых магнитосопро-

в образце, вследствие чего химический потенциал,

тивления на рис. 3 по формулам (1) и (2) (результи-

отсчитанный от точки вырождения спектра элек-

рующая экспериментальная зависимость представ-

тронов и дырок, становится пространственно флук-

лена на рис. 4а). Во-вторых, для всех кривых на

туирующей величиной. Это приводит к существен-

рис. 3 мы вычислили, используя выражение для

ному изменению проводимости и магнитосопротив-

плотности состояний носителей в графене, химиче-

ления образца. Действительно, учет таких локаль-

ский потенциал μ(T, V_g) как функцию T и V_g для

ных флуктуаций положения уровня химического по-

заданных значений напряжения. По полученной за-

тенциала эквивалентен наличию эффективной тем-

висимости μ(T, V_g) мы определили зависимость ко-

пературы Teff = Tdis + T, где T — термодинами-

эффициента A от величин T , T_dis и μ, считая, что

ческая температура, а T_dis — поправка к ней, обу-

в формулы для A (см. текст после формулы (2))

словленная плавным беспорядком и учитывающая

в качестве температуры входит эффективная тем-

флуктуацию начала отсчета энергии по образцу за

пература T_eff , включающая в себя вклады как от

счет плавного потенциала. Соотношение между T и

плавного потенциала T_dis = 20 мэВ, так и от термо-

T_dis может быть произвольным, в частности возмо-

динамической температуры T : T_eff = T_dis + T .

жен случай T_eff ≫ T . Разумно предположить, что

Мы проанализировали полученные теоретичес-

с целью учета наличия плавного беспорядка во всех

кие зависимости A(T_eff , μ) = A(T + Tdis, μ) для

формулах теории [1] следует использовать именно

нескольких напряжений затвора V_g, близких к зна-

величину T_eff вместо термодинамической темпера-

чению V_g = 11.6 В, при котором были измерены

туры T.

зависимости магнитосопротивления на рис. 3. На

рис. 4б представлен результат расчета A(T ) для на-

О существовании такого плавного потенциала

пряжения затвора V_g = 9 В. Видно, что эта зависи-

из-за неоднородного распределения дефектов в об-

мость очень хорошо соответствует эксперименталь-

разцах графена на подложке сообщалось в рабо-

ной зависимости, представленной на рис. 4а. Теоре-

те [9]. Грубая оценка амплитуды этого потенциала

тическая зависимость A(T) значительно хуже соот-

на основе температурной зависимости проводимости

ветствует экспериментальной зависимости A(T) при

[20] в нулевом магнитном поле дает T_dis ≈ 20 мэВ.

V_g = 11.6 В, чем при V_g = 9 В. Такое несоответствие

Используя это значение T_dis и приведенное выше

может быть обусловлено неопределенностью поло-

значение химического потенциала μ, получаем кор-

жения точки вырождения спектра, ε = 0, в образце

невую зависимость магнитосопротивления от маг-

в целом из-за наличия плавного случайного потен-

нитного поля с амплитудой, близкой к эксперимен-

циала и связанной с ним неопределенностью опреде-

тально измеренной (см. рис. 5а). Используя урав-

ления зависимости химического потенциала μ(T, V_g)

нение (1) для ε^∗ и полученное значение μ, из под-

от величины затворного напряжения V_g.

гонки экспериментальных зависимостей Δρ(H)/ρ₀

находим значение параметра γ для короткодейству-

ющего потенциала в образце: γ = 3.6. Напомним,

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

что в теории [1] предполагалось неравенство γ ≫ 1.

Значение γ = 3.6 показывает, что условия примени-

Показано, что в образцах однослойного графена,

мости теории [1] в экспериментах были выполнены

в которых преобладает рассеяние на короткодей-

с не очень хорошей, но все же достаточной точно-

ствующем беспорядке, в слабых магнитных полях

стью, чтобы могло наблюдаться качественное согла-

наблюдается корневая зависимость сопротивления

сие теории и эксперимента. Измерение зависимости

от величины магнитного поля. Кроме того, в таких

амплитуды корневого магнитосопротивления A от

образцах наблюдаются предсказанная теорией

термодинамической температуры T дает дополни-

температурная зависимость коэффициента при

тельное свидетельство в пользу того, что наблюдае-

корневом магнитосопротивлении в малых магнит-

мое магнитосопротивление обусловлено рассеянием

ных полях и немонотонное изменение производной

носителей на дефектах с короткодействующим по-

магнитосопротивления в более сильных полях.

тенциалом и описывается теорией [1].

Это позволяет сделать вывод о том, что корне-

526

ЖЭТФ, том 156, вып. 3 (9), 2019

Температурно-зависимое магнитосопротивление. . .

вая зависимость магнитосопротивления является

A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres et al.,

характерным свойством однослойного графена с

Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

короткодействующим беспорядком.

S. Das Sarma, S. Adam, E. H. Hwang et al., Rev.

Mod. Phys. 83, 407 (2011).

Благодарности. Авторы благодарят И. В. Гор-

ного за плодотворные обсуждения результатов.

10.

S. V. Morozov, K. S. Novoselov, M. I. Katsnelson et

al., Phys. Rev. Lett. 100, 016602 (2008).

Финансирование. Один из авторов (Г. Ю. В.)

11.

Y.-W. Tan Y. Zhang, K. Bolotin et al., Phys. Rev.

выполнила экспериментальные исследования при

Lett. 99, 246803 (2007).

поддержке Российского научного фонда (грант

№17-72-10134).

12.

T. Stauber, N. M. R. Peres, and F. Guinea, Phys.

Rev. B 76, 205423 (2007).

13.

N. M. R. Peres, J. Phys.: Condens. Matter 21, 323201

ЛИТЕРАТУРА

(2009).

14.

P. S. Alekseev, A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi, et al.,

1. P. S. Alekseev, A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi et al.,

Phys. Rev. Lett. 114, 156601 (2015).

Phys. Rev. B 87, 165432 (2013).

15.

P. S. Alekseev, A. P. Dmitriev, I. V. Gornyi et al.,

2. T. Ando and Y. Uemura, J. Phys. Soc. Jpn. 36, 959

Phys. Rev. B 95, 165410 (2017).

(1974).

16.

P. S. Alekseeva, I. V. Gornyi, A. P. Dmitriev et al.,

3. I. A. Dmitriev, A. D. Mirlin, D. G. Polyakov et al.,

Semiconductors 51, 766 (2017).

Rev. Mod. Phys. 84, 1709 (2012).

17.

G. Yu. Vasileva, D. Smirnov, Yu. L. Ivanov et al.,

4. N. H. Shon and T. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 67, 2421

Phys. Rev. B 93, 195430 (2016).

(1998).

18.

G. Yu. Vasileva, P. S. Alekseev, Yu. L. Ivanov et al.,

5. K. Nomura and A. H. MacDonald, Phys. Rev.

JETP Letters 96, 471 (2012).

Lett. 98, 076602 (2007).

19.

Отметим, что в сильных магнитных полях корне-

6. E. H. Hwang, S. Adam, and S. Das Sarma, Phys. Rev.

вое магнитосопротивление может маскироваться

Lett. 98, 186806 (2007).

осцилляциями Шубникова - де Гааза.

7. A. M. Goossens, V. E. Calado, A. Barreiro et al.,

20.

E. V. Kurganova, S. Wiedmann, A. J. M. Giesbers et

App. Phys. Lett. 100, 073110 (2012).

al., Phys. Rev. B 87, 085447 (2013).

527