ЖЭТФ, 2019, том 156, вып. 1 (7), стр. 176-188

О МЕХАНИЗМЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ СО СДВИГОМ

В. П. Воротилин^*

Институт прикладной механики Российской академии наук

125040, Москва, Россия

Поступила в редакцию 14 января 2019 г.,

после переработки 14 января 2019 г.

Принята к публикации 1 февраля 2019 г.

Как результат анализа некоторых фактов турбулентных течений, объяснение которых выходит за рам-

ки существующих полуэмпирических теорий, в частности, оценки высоты эффективной шероховатости

в трубах с распределенной шероховатостью, характеризуемой двумя и более параметрами размерно-

сти длины, представлен вариант теории турбулентных течений в каналах с гладкими и шероховатыми

стенками с единым механизмом динамического взаимодействия (механизмом трения) турбулентного по-

тока с его границами — стенками канала или внешним ламинарным потоком. Получены выражения для

обобщенного закона трения, описывающие турбулентное течение при всех допустимых значениях чисел

Рейнольдса — от режима течения с гладкими стенками до режима с полным проявлением шероховатых

элементов, — и для песочной шероховатости, согласующиеся с экспериментальными данными Никурад-

зе. Одним из выводов теории стало утверждение, что единственным источником турбулентности для

турбулентных течений в каналах и струях являются вихри, образующиеся у стенок каналов и на свобод-

ных границах турбулентных струй, и только через эти вихри происходит перенос кинетической энергии

от среднего течения к энергии турбулентных пульсаций. Наглядно разницу механизмов ламинарного и

турбулентного режимов течения можно представить условной формулой (24).

DOI: 10.1134/S0044451019070174

Приведенные соображения обычно молчаливо при-

нимаются как само собой разумеющиеся истины и в

данном случае упомянуты в связи с попытками аль-

1. ВВЕДЕНИЕ

тернативного подхода к решению рассматриваемых

проблем турбулентных течений.

Несмотря на не иссякающий на протяжении

десятилетий поток публикаций, посвященных

Мотивом для постановки данной задачи явил-

теоретическим и прикладным задачам турбу-

ся вывод работы [18], что для турбулентных струй

лентных течений [1-10], остается множество, как

единственным источником турбулентности являют-

отмечено в обзорной статье [1], трудно решаемых

ся вихри, образующиеся в результате механизма

вопросов, касающихся как общего понимания меха-

турбулентного трения внешнего течения на грани-

низма турбулентности, так и конкретных расчетов,

це струи. И только через эти вихри осуществля-

в частности расчетов турбулентных течений в ка-

ется перенос кинетической энергии от среднего те-

налах с шероховатыми стенками [11-15]. При этом

чения к энергии турбулентных пульсаций. В каче-

согласно сложившимся взглядам на турбулент-

стве замыкающего уравнения было получено урав-

ность, расчет поля скоростей практически всегда

нение баланса «турбулентной» жидкости с выраже-

оставался основной целью теоретических моделей,

нием для скорости захвата жидкости внешней сре-

предназначенных для решения конкретных задач

ды, по форме обобщающим эмпирическую корреля-

турбулентных течений [16, 17], поскольку скорость

цию, предложенную в работе [19]. Отсюда, посколь-

как искомая переменная входит в усредненные

ку течения в каналах и струях, согласно класси-

уравнения Навье - Стокса, являющиеся базовыми

ческим представлениям о механизме турбулентных

уравнениями для последующих разработок мо-

течений [20], объединялись в единый класс турбу-

дельных методов описания турбулентных течений.

лентных течений, характеризуемый общим терми-

ном «турбулентные течения со сдвигом», и модели-

^* E-mail: VPVorotilin@yandex.ru

ровались на основе понятия турбулентной вязкости,

176

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

возникает естественная потребность и для течений

s песчинок, в режиме с полным проявлением шеро-

в каналах (но теперь с учетом известных фактов

ховатости, т. е. в пределе Re → ∞, для K_s можно

вихреобразования у стенок гладких каналов [6-8])

написать выражение

обосновать механизм турбулентности, подобный по-

K_s = s,

(2)

лученному ранее для турбулентных струй [18].

а для гладкого канала по той причине, что на стенку

импульс передается под действием сил вязкого тре-

2. ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ

ния, единственная комбинация размерности длины

может быть записана в виде

2.1. Проблема турбулентного течения в

каналах с распределенной шероховатостью

K_s = γ_νν/v_∗,

(3)

Одной из практически важных задач турбулент-

где γ_ν — некоторая универсальная константа (в фор-

ных течений, на примере которой будет предприня-

муле (2) аналогичная константа отсутствует из-за

та попытка обоснования нового механизма турбу-

того, что она традиционно включается в состав кон-

лентности, является расчет коэффициента трения в

станты B).

каналах с распределенной шероховатостью, харак-

В том случае, когда для описания шероховатой

теризуемой двумя и более параметрами размерно-

поверхности имеется не менее двух параметров раз-

сти длины — высотой h выступа шероховатости,

мерности длины, например h и p, логика сообра-

расстоянием p между соседними выступами и т. д.

жений размерности перестает работать, вследствие

Напомним некоторые исходные факты, касающиеся

чего при определении K_s необходимо учитывать

этой проблемы. На основе многочисленных экспери-

какие-то особенности структуры потока вблизи гра-

ментальных данных [20-22] установлено, что закон

ницы стенки. Установить характер этих особенно-

трения для турбулентных течений как в гладких,

стей и получить для них количественные оценки, ре-

так и в шероховатых каналах независимо от типа

шая уравнения движения, по-прежнему невозмож-

шероховатости может быть представлен в виде

но. Однако, поскольку течение в ядре турбулентно-

(

)

го потока, находящегося под влиянием случайных и

+ B,

(1)

v_∗

K_s

хаотических турбулентных пульсаций, должно быть

малочувствительным к деталям течения у стенки,

где u — средняя по поперечному сечению канала

√

можно предположить, что параметр K_s будет отра-

скорость потока, v_∗ =

τ/ρ — динамическая ско-

жать только самые общие свойства обтекания вы-

рость, τ — касательное напряжение на стенке, ρ —

ступов шероховатости, при описании которых мож-

плотность жидкости, κ и B — универсальные кон-

но обойтись без обращения к уравнениям движения.

станты, R — характерный размер канала (ширина

плоского канала или радиус трубы), K_s — высота эк-

2.2. Обоснование предлагаемой методики

вивалентной песочной шероховатости, являющаяся

оценки K_s

некоторой характеристикой течения у поверхности

стенки канала.

Одно из направлений поиска физического смыс-

В общем случае произвольных чисел Рейнольд-

ла этого параметра можно связать с известным фак-

са Re = 2uR/ν, где ν — коэффициент молекуляр-

том логарифмической зависимости профиля скорос-

ной вязкости, параметр K_s, в соответствии с дан-

ти от координаты y, отсчитываемой по нормали от

ным ему определением, может быть функцией ве-

поверхности стенки в глубь потока:

личин h, p, v_∗, ν и т. д., т. е. всех тех независимых

(

)

и искомых переменных, которые каким-либо спо-

+B₁,

(4)

v_∗

K_s

собом могут быть связаны с локальными условия-

ми течения у стенки. Теоретические методы расче-

где B₁ — константа, которая для стенки с песоч-

та зависимости K_s от указанных величин, не счи-

ной шероховатостью (т. е. при K_s = s и Re → ∞)

тая многочисленных эмпирических корреляций, от-

равна 8.5. При y → 0 правая часть соотношения

сутствуют. Только в двух особых случаях течения

(4) имеет логарифмическую особенность. Это озна-

явный вид этой зависимости может быть получен

чает, что у границы стенки должен существовать

из соображений размерности. Для течений в канале

некоторый примыкающий к ней слой жидкости тол-

с песочной шероховатостью, характеризуемой един-

щиной δ, в пределах которого соотношение (4) те-

ственным геометрическим параметром — размером

ряет свою справедливость. Поскольку по тем или

177

ЖЭТФ, вып. 1 (7)

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

иным причинам жидкость у стенки тормозится, па-

как некоторый неподвижный слой жидкости, взаи-

раметру δ можно придать смысл толщины затормо-

мосвязь параметра K_s с застойными зонами, в соот-

женной жидкости, откуда приближенно можно при-

ветствии с ранее данным его истолкованием, можно

нять, что при y = δ скорость потока обращается

представить в виде

в нуль. Поскольку δ и K_s имеют размерность дли-

∑

K_s =

V_i,

(6)

ны, естественно предположить, что их связь может

быть представлена прямо пропорциональной зави-

где V_i — объем зоны за i-м выступом, а суммирова-

симостью

ние ведется по всем выступам на заданной единич-

K_s = γδ,

(5)

ной площади поверхности стенки.

где γ — некоторая численная константа.

2.3. Формулы и оценки для шероховатости в

Предположение о существовании указанного

виде прямоугольных вставок и сравнение

слоя заторможенной жидкости не подразумевает,

результатов расчета с экспериментом

что течение в нем перестает быть турбулентным, и

поэтому и δ, и K_s по-прежнему имеют смысл пара-

Подходящим объектом для проверки сделанных

метров, характеризующих свойства турбулентных

предположений и выводимых на их основе расчет-

структур потока. Теперь поиск способов оценки K_s

ных формул является турбулентное течение в тру-

принимает более конкретные очертания. Именно,

бах с шероховатостью в виде прямоугольных коль-

в зоне пристенного течения необходимо выделить

цевых вставок, обзор множества эксперименталь-

такую гидродинамическую структуру, которая, с

ных исследований которых можно найти, например,

одной стороны, являлась бы уникальным звеном в

в [24]. Методика оценки объема застойных зон раз-

цепи передачи импульса от потока к стенке, а с дру-

личается для далеко и близко расставленных высту-

гой, могла бы быть описана такими параметрами

пов и зависит от того, какой из параметров, h или

течения, усредненному значению некоторой ком-

h₁ = (p - b)/A, где b — ширина выступа, больше.

бинации которых можно было бы придать смысл

Картина течения и застойных зон для обоих вари-

толщины слоя жидкости, примыкающего к поверх-

антов размещения выступов показана на рис. 1.

ности стенки. В качестве кандидата для искомой

При h₁ ≥ h, т. е. когда линия отрыва пересека-

структуры естественным образом напрашиваются

ется со стенкой канала (рис. 1a), учитывается весь

отрывные застойные зоны, всегда образующиеся

объем зоны, ограниченной задней стенкой выступа,

за выступами шероховатости при обтекании их

стенкой канала и поверхностью отрыва потока. При

внешним турбулентным потоком. Действительно,

h₁ < h (рис. 1б) линия отрыва упирается в перед-

отрывное обтекание препятствия является необхо-

нюю стенку следующего выступа на высоте от по-

димым условием для передачи импульса от потока

верхности стенки y₁ = h - h₁ (при h₁ ≥ h полагаем

к стенке за счет разности статических давлений на

y₁ = 0). Естественно предположить, что для этого

передней и задней стенках выступа. При этом ко-

случая при подсчете K_s необходимо будет учиты-

эффициент сопротивления будет зависеть только от

вать только ту часть объема застойных зон, которая

формы выступа, а не от коэффициента молекуляр-

лежит выше уровня y = y₁. Действительно, если бы

ной вязкости. Наличие стационарных застойных зон

на указанном уровне проходила твердая стенка, то

за выступами отдельно стоящих элементов шерохо-

для K_s была бы применима та же методика расче-

ватости, примыкающих к стенке канала и имеющих

та, что и для варианта, изображенного на рис. 1a. С

ограниченную протяженность, подтверждается

другой стороны, физический смысл вывода общей

визуальными наблюдениями [23, 24], согласно кото-

формулы для K_s связан с механизмом взаимодей-

рым усредненное по времени положение границы

ствия отрывных вихрей с ядром турбулентного по-

отрыва имеет постоянный угол наклона, α, к стенке

тока, безразличным к факту присутствия или от-

канала такой, что ctg α ≡ A ≈ 6-8.

сутствия твердой стенки. Поэтому величина K_s при

Универсальной характеристикой отрывной за-

наличии стенки на уровне y = y₁ должна остаться

стойной зоны, присущей шероховатым выступам

без изменения и при ее отсутствии. Отсюда выра-

любого типа, является ее объем. Отсюда, посколь-

жение для K_s в соответствии с его определением (6)

ку средний объем застойных зон на единице пло-

принимает вид

щади поверхности стенки имеет размерность дли-

{

ны и для турбулентного потока, не чувствительного

Aϕh²/2p,

h₁ ≥ h,

K_s =

(7)

к деталям течения у стенок, будет восприниматься

(p - b)²ϕ/2Ap, h₁ < h,

178

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

h₁

Рис. 1. Схема расположения выступов шероховатой поверхности стенки канала и обтекания их турбулентным потоком с

образованием отрывных застойных зон для случаев далеко (h < h1, рис. 1a) и близко (h > h1, рис. 1б) стоящих друг от

друга выступов шероховатости, где h1 = (p - b)/A, α — угол отрыва потока

где величина ϕ = 1 - 2h/3R учитывает кривизну

наты y на расстояние h - h₁ в глубь потока можно

поперечного сечения трубы.

записать в виде

Для проверки полученной формулы можно срав-

нить данные по измерению коэффициента трения,

v_∗

определяемого соотношениями

^⎧1

⁽y-y₁)

⎨

+B_s, R > y > δ₁ = K_s+y₁,

)₂

K_s

(9)

⁽v_∗

R∇P

c_f = 2

(8)

⁼⎩^κ

δ₁ > y > 0.

ρu²

где второе равенство задает связь c_f с градиен-

Константа B_s при этом будет равна безразмерной

том давления ∇P вдоль трубы, с рассчитанными из

скорости u_s на поверхности слоя. Несмотря на то что

уравнения (1), подставляя в него K_s из формулы

слой неподвижен, ее значение из-за эффекта цирку-

(7). Однако при такой методике сравнения остается

ляции жидкости в застойных зонах будет несколь-

неизвестным значение константы B, для вычисле-

ко больше нуля — поток как бы слегка скользит

ния которой пришлось бы использовать саму про-

над слоем застойных зон. Полагая, что интенсив-

веряемую формулу, что понизило бы ее предсказа-

ность циркуляций равна интенсивности турбулент-

тельную ценность. Поэтому, с точки зрения боль-

ных пульсаций, для u_s можно написать оценку u_s =

шей полноты использования физических представ-

= B_s ≈ 1. Проинтегрировав выражение (9) по по-

лений теории, вместо уравнения (1) удобнее обра-

перечному сечению канала, получим закон трения,

титься к соотношению (4), задающему логарифми-

отличающийся от формулы (1) только тем, что в

ческое распределение скоростей по поперечному се-

нем учтены малые поправки, связанные с сужением

чению трубы. По предположению, этот закон дол-

свободного сечения трубы, а для константы B при

жен выполняться вплоть до некоторого малого рас-

условии малости величин K_s и y₁ можно написать

стояния δ от стенки канала. Естественным шагом

равенство

дальнейшего развития теории будет допущение, что

величины δ и K_s совпадают (ранее предполагалась

B=B_s -

(10)

2κ

только, что они связаны прямо пропорциональной

зависимостью (5)). Физически это допущение, если

Таким образом, в рамках предлагаемой теории кон-

не гнаться за несущественными подробностями те-

станта B однозначно определяется через другие фи-

чения у стенок, должно означать, что логарифми-

зически осмысленные характеристики турбулентно-

ческий профиль скорости формируется сразу же за

го течения.

пределами неподвижного, хотя и сильно турбулизо-

Расчетные формулы содержат три универсаль-

ванного слоя застойных зон толщиной K_s. Отметим,

ных константы: κ, A и B_s. Значения первых двух

что подобный подход использовался при выводе за-

задаются исходя из известных фактов турбулент-

кона трения для турбулентных течений в гладких

ных течений: κ = 0.4, A = 8, а вместо первона-

каналах [21]. Выражение для скорости с учетом слоя

чальной оценочной величины константы B_s = 1 с

застойных зон K_s и сдвига начала отсчета коорди-

целью некоторого улучшения общей картины срав-

179

12*

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Таблица

(p - b)/h b/h

h/R

K_s/h

100c^theorf

100c^expf

Ссылка

0 a b

19.2

0.8

0.08

0.185

0.885

0.939

[25]

Рис. 2. Картина обтекания турбулентным потоком песоч-

8.8

0.081

0.382

1.145

1.044

ной шероховатости стенки канала, моделируемой плотно-

18.6

0.08

0.193

0.894

0.911

упакованными полусферами радиуса s, где верхняя грани-

′

ца отрывной зоны потока обозначена линией a^′c

77.4

0.08

0.048

0.592

0.602

156

0.08

0.024

0.492

0.468

нения было принято B_s = 0.75. Соответственно кон-

3.72

0.202

0.205

1.641

1.556

станта B в формулах (1), (10) будет равна -3. Ре-

зультаты сравнения теории и эксперимента пред-

9.6

0.201

0.353

1.591

1.662

[26]

ставлены в таблице. Приведенные в ней эксперимен-

2.67

0.166

0.332

1.553

1.583

тальные данные и соответствующие им геометриче-

ские параметры шероховатости взяты из имеющейся

2.67

0.169

0.102

1.302

1.319

в [24] обзорной таблицы данных различных авторов.

2.67

0.172

0.045

1.127

1.148

Из анализа представленных в таблице данных

1.33

0.083

0.297

1.054

1.147

видно, что определяемые из уравнения (1) коэф-

на основе теоретической фор-

фициенты трения c_f

1.33

0.083

0.433

1.222

1.169

мулы (7) для параметра K_s согласуются с экспе-

риментальными данными для широкого диапазона

1.33

0.083

0.204

1.036

1.104

значений геометрических параметров шероховатых

1.33

0.084

0.090

0.866

0.924

поверхностей с существенно различающимися спо-

0.02

0.394

0.721

0.698

собами подсчета объема застойных зон в обоих ва-

риантах этой формулы. При этом для измеряемых

0.031

0.392

0.837

0.819

в эксперименте коэффициентов трения c_f средняя

0.008

0.265

0.507

0.495

величина отклонения составила 6.0 %.

0.012

0.199

0.537

0.583

2.4. Оценка параметра K_s для песочной

0.012

0.319

0.596

0.595

шероховатости в опытах Никурадзе [22]

0.012

0.264

0.561

0.525

[27]

Отметим, что хотя проверка предложенной ин-

1.67

0.02

0.096

0.522

0.474

терпретации параметра K_s как среднего объема от-

рывных застойных зон, образующихся за выступа-

1.67

0.02

0.155

0.581

0.661

ми шероховатых элементов, проведена на примере

1.67

0.02

0.216

0.630

0.710

прямоугольных выступов, методика его численной

оценки останется справедливой и для любых дру-

0.5

1.6

0.031

0.014

0.394

0.377

гих типов шероховатых элементов, от формы кото-

1.6

0.031

0.095

0.599

0.555

рых будет зависеть лишь геометрия и объем застой-

ных зон. В качестве примера проведем расчет K_s

8.97

0.97

0.02

0.395

0.726

0.675

для песочной шероховатости в режиме ее полного

9.48

1.94

0.04

0.389

0.899

0.892

проявления, т. е. при Re → ∞, моделируя ее систе-

[23]

мой плотноупакованных полусфер. Условная схема

9.74

3.88

0.08

0.379

1.138

1.145

отрывного обтекания полусферы высотой s, сопри-

19.6

1.94

0.04

0.195

0.723

0.764

касающейся со следующей по потоку, представлена

на рис. 2.

39.4

1.94

0.04

0.097

0.593

0.600

Все реально объемные фигуры получаются вра-

щением изображенных на рис. 2 плоских фигур во-

круг оси x на угол 180^◦. Полный объем отрывной за-

180

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

стойной зоны занимает объем криволинейного тре-

2.5. Соотношения для коэффициента

угольника a^′c^′d. По той же причине, что и ранее для

сопротивления отдельного элемента

близко стоящих прямоугольных выступов, из него

шероховатой поверхности

необходимо вычесть объем треугольника b^′c^′d (ли-

Отметим, что в предложенной методике расче-

ния b^′c^′ отмечает уровень полного погружения по-

та K_s отсутствуют явные указания на механизм пе-

лусфер в слой застойных зон). Таким образом, ис-

редачи импульса на стенку канала. Это обстоятель-

комый объем есть объем треугольника a^′b^′c^′. Разде-

ство позволяет предположить, что в теории имеются

лив его на 4s² — площадь лежащей под ним стенки,

возможности для дальнейших обобщений, расширя-

получим формулу для расчета K_steor:

ющих область ее использования при описании дру-

гих типов турбулентных течений и, в частности, та-

K_steor =

t(1 - t)² ×

ких, как рассматриваемые далее турбулентные те-

[

√

]

× 3 + 14t - 16t² - 32t³ - 2(5 - 16t²)

t+t²

чения с учетом влияния вязкости, т. е. при Re < ∞.

Для реализации намеченного плана обобщений

√

где t = sin α ≡ 1/

A² + 1. Подставив значение кон-

рассмотрим задачу об определении доли касатель-

станты A = 8, получим

ного напряжения τ_i, приходящейся на i-й элемент

шероховатости из всех, расположенных на единич-

K_steor = 0.044s.

ной площади поверхности стенки. Касательное на-

пряжение τ связано со всеми τ_i суммой

Сравним этот результат с величиной K_s, кото-

рую можно вывести на основе известных экспери-

∑

τ = ρv2∗ =

τ_i.

(11)

ментальных данных. Для предела Re → ∞, согласно

классическим результатам теории и эксперимента,

профиль скорости задается выражением (4). Заме-

Как следует из общих представлений предлагаемой

тим, что в этой формуле (при K_s = s) параметр s

теории, параметр τ является функцией только сум-

лишен какого-либо физического смысла как харак-

мы объемов V застойных зон всех выступов, а τ_i

теристики течения в окрестности шероховатой стен-

может зависеть от V и V_i. Отсюда, дифференцируя

ки, а числовое слагаемое B₁ = 8.5 в ее правой час-

выражение (11) один раз по V_i, а другой по V_j и вы-

ти есть экспериментально определяемая константа.

читая друг из друга обе формулы, с учетом равенств

Преобразуем ее к виду, аналогичному формуле (9),



∑



т. е. переведя часть константы в правой части, рав-

∂τ

∂τ_i

∂τ_k



ную β₁ = 7.75, в множитель при параметре s под



∂V_i

∂V

∂V_i

∂V

V_k

знаком логарифма, положив κβ₁ ≡ 3.1 = ln(1/β₂). В

результате получим β₂ = 0.045. Обозначим произве-

находим



дение β₂s как

∂τ_i



∂τ_j



= ϕ(V ).



K^exps = 0.045s.

∂V_i

∂V_j

Теперь, в рамках предлагаемой теории, это есть уже

Здесь обе производные приравнены некоторой

четкая геометрическая характеристика турбулент-

функции ϕ(V ) на том основании, что каждая из

ного течения — слой отрывных застойных зон, от-

них помимо V может зависеть только от «своего»

деляющий область с логарифмическим распределе-

аргумента V_i или V_j и, следовательно, в силу равен-

нием скорости от стенки канала. Его величина со-

ства не зависят ни от одного из них. Интегрируя

ставляет примерно 1/22 размера s песчинок и, как

первое из полученных уравнений по V_i при посто-

видим, очень близка к рассчитанной чисто теоре-

янном V , приходим к соотношению τ_i = ϕ(V )V_i,

тически без использования экспериментальных дан-

которое с целью представить искомую величину

ных.

ϕ(V ) в безразмерной форме перепишем в виде

Последующее рассмотрение различных след-

ствий и обобщений теории и, в частности, рассмат-

τ_i = ρϕ(V )(V_i/V )u².

(12)

риваемые далее турбулентные течения с учетом

влияния вязкости, т. е. при Re < ∞, будем вести,

Полученная формула выражает квадратичный за-

не уточняя конкретный вид шероховатых поверх-

кон сопротивления по средней скорости потока для

ностей и наряду с обозначением K_s для суммы

отдельного выступа на шероховатой стенке. Его от-

застойных зон на единице поверхности стенки

личие от аналогичного закона для отрывного ла-

используя V (объем).

минарного обтекания препятствий состоит в том,

181

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

что коэффициент трения теперь не является конс-

роль либо искомых, либо независимых переменных,

тантой, величина которой зависит только от фор-

образуя однопараметрическое многообразие турбу-

мы обтекаемого выступа, а представляет собой неко-

лентных режимов течений в каналах. Так, напри-

торую функцию переменной V , определяющую об-

мер, если заданы u и u_si, то искомой величиной

щие условия течения в шероховатом канале. В то

является τ. Если же заранее известно, что τ = 0,

же время влияние геометрических свойств высту-

т. е. рассматривается безнапорное течение, то расче-

пов оказалось представленным существенно более

ту подлежат средняя скорость потока, создаваемая

простой зависимостью c_f от единственной универ-

относительным движением стенок канала, и величи-

сальной характеристики отрывного обтекания вы-

на τ_i на стенках. Для плоского течения Куэтта, при

ступов — объема застойной зоны, вошедшего в ка-

котором одна из стенок (пусть с индексом «1») непо-

честве множителя в правую часть соотношения (12).

движна (us1 = 0), а другая движется со скоростью

Чтобы определить вид функции ϕ(V ), подставим τ_i

us2, из уравнения (15) находим

из (12) в правую часть (11). Суммируя по i, нахо-

us2

дим τ = ρϕ(V )u² или v_∗/u = ϕ1/2. Откуда, с учетом

√

(16)

V₁/V₂

формулы (1) получим выражение

(

)

]-2

Если стенки канала имеют одинаковую шерохо-

^[1

ϕ(V ) =

(13)

ватость, то получается известный результат: сред-

няя скорость равна половине скорости движения

стенки, что в рамках классического подхода с оче-

2.6. Обобщенный закон трения для каналов

видностью следует из центральной симметрии про-

с подвижными стенками

филя скорости относительно оси канала. Однако

для стенок, различающихся структурой шерохова-

Поскольку каждый выступ шероховатости по

той поверхности (например, когда одна стенка глад-

смыслу теории взаимодействует с турбулентным по-

кая, а другая шероховатая), условия симметрии на-

током, не «ощущая» индивидуального воздействия

рушаются. В этом случае при расчете течения Ку-

других выступов, на следующем шаге обобщений

этта на основе полуэмпирической теории для учета

естественно предположить, что любой отдельно взя-

асимметрии поля скоростей приходится прибегать

тый выступ останется невосприимчив и к возмож-

к различного рода искусственным предположениям

ным перемещениям остальных выступов вдоль сте-

и гипотезам, не вытекающим из самой теории. Для

нок канала. Отсюда для выступа, движущегося с

сравнения отметим, что при выводе общих формул

произвольной скоростью u_si, можно написать соот-

(14), (15) и как их следствия выражения (16) истин-

ношение, аналогичное квадратичному закону сопро-

ный характер распределения скоростей по сечению

тивления (12). С учетом того, что относительный

канала оказался несущественной подробностью тео-

знак τ_i зависит от того, больше или меньше u_si сред-

рии.

ней скорости потока, и с условием того, что τ_i > 0

Но если механизм, от которого зависят τ, τ_i, u,

при u > u_si, обобщенное выражение для τ_i предста-

не чувствителен к реальному значению скорости,

вим в виде

то любые попытки подмены точного решения при-

τ_i = ρϕ(V )V (V_i/V )(u - u_si)|u - u_si|.

(14)

ближенными на основе модельного описания поля

скоростей скорее всего приведут к утрате указан-

Подставив τ_i из соотношения (14) в правую часть

ного механизма в модельных уравнениях и, следо-

формулы (11), получим обобщенный закон трения,

вательно, к невозможности адекватного предсказа-

учитывающий произвольные перемещения высту-

ния значений τ, τ_i, u. Заметим, что эти же выводы

пов вдоль потока по стенкам канала:

можно было сделать, и не зная конкретного значе-

∑

V_i

ния ϕ(V ) в соотношениях (13), (14), а тот факт, что

τ = ρϕ(V )

(u - u_si)|u - u_si|.

(15)

для частного случая течения в каналах с неподвиж-

ными стенками использовались данные о логариф-

Область использования уравнения (15) по срав-

мическом профиле скорости, можно рассматривать

нению с привычным законом трения, записанным,

как некоторый удобный способ вычисления указан-

например, в виде формул (1), (8) или (11), расширя-

ной константы. С учетом сделанных обобщений об-

ется благодаря появлению новых независимых пара-

ратимся к намеченной ранее проблеме учета вязких

метров u_si. Теперь переменные u и τ в зависимости

эффектов для течений в гладких и шероховатых ка-

от внешних условий решаемой задачи могут играть

налах при Re < ∞.

182

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

2.7. Обобщение метода застойных зон для

величину которой получим из уравнения движения

турбулентных течений с учетом вязкости,

в вязком подслое v2∗ν = ν du/dy при y = δ_s = γν/v_∗ν:

т. е. при Re < ∞

u_s = γv_∗ν.

Механизм влияния вязкости имеет двоякую при-

Будучи усреднены по времени и длине канала та-

роду. С одной стороны, вязкость является причиной

кие застойные зоны, так же как и стационарные за-

диссипации турбулентной энергии в объеме потока и

стойные зоны, могут быть охарактеризованы неко-

гашения турбулентных пульсаций у стенок канала.

торым объемом, величину которого на единице по-

Благодаря ее тормозящему влиянию у поверхнос-

верхности стенки из соображений размерности мож-

ти стенки образуется вязкий подслой толщиной δ, в

но записать в виде

который турбулентные пульсации не проникают. Из

соображений размерности так же, как и ранее при

V_ν = γ_νν/v_∗ν,

(18)

выводе формулы (3), величину δ можно оценить со-

отношением

где γ_ν — константа, та же, что и в формуле (3), по-

скольку для гладких каналов обе формулы должны

δ_i = γν/v_∗i,

(17)

совпадать.

Тот факт, что предложенный механизм действи-

тельно возможен, находит подтверждение в экспери-

где γ — некоторая константа, v_∗i — локальное зна-

ментальных работах по визуализации турбулентных

чение динамической скорости на гладких (i = ν) и

течений [6-8], в которых обнаружено существование

шероховатых (i = r) участках. Заметим, что форму-

отрывных вихрей, зон заторможенного и ускорен-

лы (3) и (17) при внешнем сходстве имеют разный

ного течений вблизи поверхности гладкой стенки.

физический смысл и поэтому значения констант γ_ν

и γ в этих формулах совпадать не обязаны. Влия-

Но отметим, что в настоящей работе предсказание

существования отрывных структур у стенок глад-

ние вязкого торможения на турбулентное течение

в шероховатом канале можно описать как резуль-

ких каналов сделано чисто умозрительным путем,

как само собой напрашивающееся обобщение физи-

тат уменьшения эффективной высоты шероховато-

ческого смысла роли шероховатых элементов, как

сти на величину, равную толщине примыкающего к

формирующих отрывные вихри у стенок каналов.

стенке вязкого подслоя. Так, в формуле (7), зада-

Поэтому упомянутые экспериментальные факты, а

ющей K_s для распределенной шероховатости в ви-

также, например, аналитическое решение [9], под-

де прямоугольных вставок, вместо h следует подста-

тверждающие факт существования подобных струк-

вить h_δ = h - δ_r.

тур, представляют интерес прежде всего с точки

С другой стороны, для турбулентных течений в

зрения описания деталей картины турбулентных те-

каналах с гладкими стенками параметр K_s, как вид-

чений у стенок каналов.

но из формулы (3), зависит от коэффициента мо-

При подсчете суммы объемов застойных зон от

лекулярной вязкости. Отсюда, исходя из естествен-

твердых выступов и гладких участков, величину

ного понимания роли шероховатости как одного из

объема V_ν необходимо умножить на S_ν — долю за-

факторов формирования и интенсификации турбу-

нимаемой им площади поверхности стенки. Отсюда

лентности, вторую функцию вязкости можно свя-

общее выражение для K_s, учитывающее совместный

зать с процессами турбулизации течения в гладких

вклад шероховатых элементов и гладких участков,

каналах. Можно предположить, что на границе вяз-

может быть записано в виде

кого подслоя и ядра турбулентного потока вслед-

ствие, например, эффектов неустойчивости течения

K_s = V_r + S_νV_ν,

(19)

вблизи поверхности стенки образуются участки за-

торможенной жидкости, играющие роль шерохова-

где в первом слагаемом суммы аналогичный множи-

тых выступов. С вершин этих формирований про-

тель площади под застойными зонами шероховатых

исходит срыв потока, и за ними, как и за твердыми

выступов S_r = 1 - S_ν отсутствует, поскольку, со-

выступами, образуются застойные зоны. Их отличие

гласно формуле (6), параметр V_r изначально опре-

от стационарных застойных зон лишь в том, что воз-

деляется как величина, приходящаяся на единицу

никают они в случайных местах на стенках канала, в

площади поверхности.

случайные моменты времени и перемещаются вдоль

Полученные оценочные соотношения содержат

стенок с некоторой скоростью u_s, равной скорости

две новых константы, γ и γ_ν , для определения ко-

потока на внешней границе ламинарного подслоя,

торых можно использовать известные результаты

183

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

расчетов и эксперимента для течений в гладких ка-

L_r = A(h - δ_r)/p — долю протяженности застойной

налах. Поскольку в литературе встречается множе-

зоны. Переходя далее к безразмерным переменным с

ство примерно равнозначных вариантов записи фор-

радиусом трубы R в качестве характерного масшта-

мул для профиля скорости и закона трения, для

ба длины и средней скоростью потока u — масштаба

определенности выбор источника необходимых дан-

скорости, объемы V_i застойных зон на гладких и ше-

ных был остановлен на монографии [21], в соответ-

роховатых участках канала запишем в виде

ствии с которым для константы γ принято значение

2γ_ν

γ = 5, а закон трения для гладких каналов пред-

V_ν =

v_∗ν Re

ставляется в виде

(21)

A(h - δ_r)²

V_r =

⁽Rv_∗ν )

+ 1.75.

v_∗ν

где δ_r = 2γ_r/v_∗r Re, γ_r — константа толщины вяз-

Аналогичное выражение для u/v_∗ν найдем из урав-

кого подслоя, принимаемая равной ранее введенной

нения (15) для турбулентных течений в гладких ка-

константе γ для гладких участков, т. е. γ_r = 5. Пом-

налах, т. е. при V = V_ν . С учетом приведенных выше

ня, что τ_i = v2∗i, формулы (14) можно рассматривать

выражений для ϕ(V ) и u_s получим

как уравнения для искомых величин v_∗i. С учетом

выражений (21) для искомых величин V_i преобразу-

⁽Rv_∗ν )

u_s

+B+

(20)

ем их к виду

v_∗ν

γ_νν

v_∗ν

2γ_ν(1 - γ_rv_∗ν)

где, напомним, константа B = -3. Приравняв друг

v3∗νV ϕ(V ) -

= 0,

другу обе формулы, находим выражение и числен-

(22)

h-δ_r

ное значение константы γ_ν :

v2∗rV ϕ(V ) -

= 0,

γ_ν = 0.15e^κγ ≈ 1.1.

где V ≡ K_s, а функция ϕ(V ) задается соотношени-

ем (13).

Получили, что толщина гипотетически введен-

Результаты расчетов коэффициента трения c_f

ного слоя застойных зон над вязким подслоем ока-

(в виде комбинации λ = 400c_f ) для турбулентных

залась равной примерно 1/5 его толщины, и в дан-

течений в трубах с шероховатостью в форме пря-

ном контексте этот результат можно рассматривать

моугольных вставок для ряда значений параметра

как пример косвенного подтверждения результатов

шероховатости p/h и соответствующие им опытные

предлагаемой теории.

данные работы [23] приведены на рис. 3.

На рис. 3 видно, что результаты теории удо-

2.8. Расчет трения в шероховатых каналах

влетворительно согласуются с экспериментом. По-

при произвольных числах Рейнольдса

скольку предложенный метод оценки влияния вяз-

Re < ∞

кости на объем застойных зон за прямоугольными

В качестве примера использования полученных

выступами оказался успешным, представляет инте-

обобщений теории рассмотрим турбулентное тече-

рес применить его к другим типам шероховатости

ние для описанного ранее типа шероховатой поверх-

и, в частности, к песочной шероховатости, элемен-

ности в виде прямоугольных выступов высотой h

ты которой моделируются полусферами. Погруже-

с расстоянием p между ними. Задача решается на

ние песчинок в вязкий подслой толщиной δ_r отме-

основе двух уравнений (14) для долей касательных

чено штриховой линией на рис. 2. Объем застойной

напряжений τ_i на гладких и шероховатых участках,

зоны V_r определяется как часть ее полного объема,

связывающих τ_i с объемом застойных зон V_i на этих

лежащая выше штриховой линии. Пара уравнений,

участках. Отметим, что, поскольку, по определе-

на основе которых рассчитываются коэффициенты

нию, величина τ_i рассчитывается на единицу площа-

трения, аналогична системе (22) для прямоуголь-

ди поверхности стенки, в выражении для локальной

ных вставок, но с иной зависимостью объемов V_i

динамической скорости ν_∗r в окрестности шерохо-

и площадей S_i от параметра δ_r, учитывающей гео-

ватого выступа должна быть учтена доля площади

метрические особенности фигур, изображенных на

поверхности стенки S_r, занятой отрывной застойной

рис. 2. Результаты расчетов (сплошные кривые) и

√

зоной за выступом шероховатости, v_∗r =

τ_r/ρS_r.

экспериментальные данные Никурадзе [22] (точки)

Для прямоугольных вставок S_r следует заменить на

для песочной шероховатости с отношением радиуса

184

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

трубы к размерам песчинок в интервале от 15 до 507

показаны на рис. 4.

Представленные на рис. 4 экспериментальные

данные соответствуют классическим представлени-

ям о постепенном выходе шероховатости из вязко-

го подслоя. Точнее, эти представления сформиро-

вались под влиянием указанных экспериментов. В

то же время из приведенных на рис. 4 результатов

расчета видно, что теоретические кривые «не ви-

дят» начального этапа выхода песчинок из вязкого

подслоя, причем этот эффект усиливается по мере

уменьшения их размера. С позиций предлагаемой

теории расхождение с экспериментом можно объ-

яснить исходя из характера приведенных на рис. 3

10³

10⁴

10⁵

кривых 4 и 5 для больших значений отношения p/h,

т. е. редко стоящих выступов шероховатых элемен-

тов. Можно предположить, что для в целом одно-

Рис. 3. Теоретические зависимости (сплошные кривые) ко-

эффициента трения λ = 400c_f от числа Рейнольдса в тру-

родной структуры песчинок, пусть очень редко, но

бах с распределенной шероховатостью в виде прямоуголь-

встречаются песчинки больших размеров, вклад ко-

ных вставок с h/R = 0.04 и рядом значений параметра p:

торых в трение начинает проявляться раньше, чем

кривая 1 — p/h = 10; 2 — p/h = 20; 3 — p/h = 40, и соот-

для основной массы песчинок заданного размера.

ветствующие им опытные данные (точки) из работы [22]:

Пока большинство песчинок скрыто в вязком под-

кривые 4 и 5 для p/h = 400 и p/h = 800, а также кривые

слое, их влияние на коэффициент сопротивления бу-

6 и 7 для турбулентного и ламинарного режимов течения

дет таким же, как и для кривых 4 и 5 на рис. 3.

в гладких трубах как иллюстрация иного характера изме-

нения коэффициента трения с ростом числа Рейнольдса

2.9. О механизме тепло- и массопереноса в

каналах с шероховатыми стенками

Одной из практически важных проблем турбу-

лентного течения в шероховатых каналах является

оценка влияния шероховатости на эффективность

процесса тепло- и массопереноса, характеризуемо-

го числом Нуссельта Nu. Известно, что шерохова-

тость способствует интенсификации этих процессов

[11]. Однако экспериментальные исследования по-

казали также, что по мере возрастания числа Рей-

нольдса наступает момент, когда эффективность

тепломассообменного процесса начинает снижаться.

Поскольку во многих случаях справедлива оценка

Nu ∼ 1/δ, причину этого явления, не останавли-

ваясь на деталях исследования проблемы в целом,

10³

10⁴

10⁵

достаточно пояснить оценкой влияния шероховатых

выступов на толщину δ_ν вязкого подслоя на глад-

Рис. 4. Кривые зависимости коэффициента трения λ =

ких участках канала с прямоугольными вставками

= 400c_f от числа Рейнольдса в трубах с песочной шерохо-

в пределе Re → ∞. В этом пределе, как видно из

ватостью с относительным размером песчинок R/s от 15

уравнений (21), величина δ_ν ≡ V_ν → 0 пропорцио-

до 507: точки — измерения Никурадзе [22]; сплошные кри-

вые — соответствующие им расчеты данной теории; штри-

нальна 1/ Re и V ≃ V_r. Отсюда из первого уравне-

ховые кривые — расчеты по подгоночной формуле Коулб-

ния (22) для параметра динамической скорости на

рука и Уайта [21]; кривые 7 и 8 — те же, что и 7 и 6 на

гладких участках находим

рис. 3

v_∗ν = γ_∞ Re-1/3,

185

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

где

лентности, лежащих в основе существующих мо-

(

)

1/3

2γ_ν

делей и методов расчета турбулентных течений. В

γ_∞ =

V_rϕ(V_r)

частности, выше было отмечено, что при турбулент-

ном режиме распределение скоростей не является

— некоторая функция от V_r, т. е. величина, завися-

тем определяющим фактором течения, на основе

щая только от геометрических параметров высту-

которого можно было бы установить закономерно-

пов. Соответственно для толщины ламинарного под-

сти движения турбулентных потоков. Но если меха-

слоя на гладких участках с учетом ранее получен-

низм, от которого зависят такие динамические па-

ных оценок (21) имеем оценку

раметры турбулентных течений, как τ, c_f , v_∗ и т. д.,

δ_ν

γ_r

не чувствителен к истинному распределению скоро-

≡

v_∗ν Re

γ_∞ Re2/3

стей, то любые попытки его расчета на основе по-

луэмпирических моделей (не считая подгонок) ско-

Таким образом, получили, что в пределе Re → ∞

рее всего приведут к утрате указанного механизма

толщина ламинарного подслоя уменьшается, как

в модельных уравнениях и, следовательно, к невоз-

Re-2/3. Для сравнения укажем, что для целиком

можности их адекватной оценки.

гладких труб толщина ламинарного подслоя при

Поясним сказанное сопоставлением особенностей

возрастании Re уменьшается значительно быстрее,

ламинарного и турбулентного режимов течения.

При любом из них и любых условиях вихреобразо-

δ_ν

γ_r

вания у стенок канала (гладких или шероховатых)

v_∗ν Re

уравнение баланса между затрачиваемой кинетиче-

т. е. практически пропорционально Re-1, поскольку

ской энергией потока на преодоление трения у сте-

зависимость v_∗ν(Re) имеет логарифмический харак-

нок канала и скоростью диссипации кинетической

тер.

энергии потока ε с учетом соотношения (8), связы-

Полученные оценки дают полное представление

вающего ∇P и c_f , можно представить в виде

о роли шероховатости в процессах переноса тепла и

ε = c_fρu³/R.

(23)

массы во всем диапазоне чисел Рейнольдса. При от-

носительно небольших значениях Re выступы пол-

При ламинарном режиме течения первич-

ностью погружены в вязкий подслой и процессы пе-

ным является процесс формирования параболичес-

реноса протекают с равной интенсивностью как в

кого профиля скорости, в соответствии с которым

гладких, так и шероховатых каналах. С ростом Re

из уравнений движения и энергии вначале рассчи-

выступы все более выступает из вязкого подслоя

тываются величины ∇P и ε независимо от наличия

и соответственно усиливаются эффекты турбулиза-

или отсутствия выступов шероховатости (при этом,

ции и процессы переноса. Однако при очень боль-

чтобы пренебречь искажениями в профиле скоро-

ших Re толщина вязкого подслоя на гладких участ-

сти, предполагается выполненным условие h ≪ R),

ках будет уменьшаться медленнее, чем в гладком

а коэффициент трения c_f определяется формаль-

канале, и относительная скорость тепломассообмен-

ным равенством (8). Течение же в окрестности вы-

ных процессов начнет снижаться. Измерения пока-

ступов в зависимости от их формы за счет сгущения

зали [24], что зависимость отношения Nu_r / Nu_ν от

или разряжения линий тока подстраивается таким

Re имеет вид выпуклой кривой, проходящей через

образом, чтобы на стенке получались определяемые

максимум при некотором значении Re_cr и затем на-

заданным значением ∇P значения касательного на-

чинающей снижаться.

пряжения τ.

При турбулентном режиме первичным в про-

цессе переноса импульса является механизм отрыв-

3. О МЕХАНИЗМЕ ПЕРЕНОСА ИМПУЛЬСА,

ного обтекания выступов шероховатых элементов

ВИХРЕОБРАЗОВАНИИ И ДИССИПАЦИИ

(или возмущений ламинарного подслоя у стенок в

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

гладком канале). Сток импульса на стенку проис-

ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

ходит за счет разности статических давлений на пе-

Результаты предлагаемой теории видятся не

реднюю и заднюю стенки выступа. Его величина из-

только в универсальной применимости получаемых

начально задается соотношениями (14), (15), а ∇P

на ее основе соотношений, но также в тех общих вы-

определяется той же формулой (8), которой ранее

водах, к которым она приводит относительно фун-

формально задавалась величина c_f . Наглядно ре-

даментальных понятий и представлений о турбу-

жимы ламинарного и турбулентного течений и раз-

186

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

О механизме турбулентных течений со сдвигом

ницу между ними, т. е. что первично и что вторично,

Из результатов предлагаемой теории как одно-

можно представить формулой (8), записав ее в виде

го из альтернативных вариантов механизма турбу-

лентности следует, что работа внешнего источника

−→ R∇P /ρu².

(24)

lam

силы первоначально затрачивается на энергию от-

←

−

рывных вихрей, а все последующие развивающие-

Образующиеся при отрывном обтекании высту-

ся во времени и пространстве процессы, связанные

пов вихри снабжают ядро турбулентного потока пе-

с формированием усредненного профиля скорости

реносимой ими кинетической энергией, необходи-

и касательного напряжения, происходят без допол-

мой для поддержания данного уровня интенсивно-

нительных затрат энергии при уже установившемся

сти турбулентных пульсаций в стационарном состо-

вдоль потока значении ∇P .

янии, а с другой стороны, взаимодействуют с за-

стойными зонами и обеспечивают согласующийся

с энергетическими потерями перенос импульса на

4. НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ И ПУТИ

стенки канала. Подчиняясь единым законам отрыв-

ДАЛЬНЕЙШИХ ОБОБЩЕНИЙ

ных течений, эти процессы должны приводить к од-

ним и тем же результатам измеряемых характери-

Разработана теория и получены соотношения,

стик обтекания. В частности, между энергией, пере-

описывающие закон сопротивления для разнообраз-

даваемой отрывным вихрям в турбулентном потоке

ных типов турбулентных течений, включая течения

в канале, и коэффициентом трения на его стенках,

в шероховатых и гладких каналах, напорные (тече-

должно выполняться равенство (23). Эта формула

ние Пуазейля) и безнапорные (течение Куэтта) те-

выводится как интегральное уравнение баланса ки-

чения во всем диапазоне чисел Рейнольдса, начи-

нетической энергии для всего объема турбулентно-

ная от режима течения с гидравлически гладкими

го потока, и, следовательно, величина ε выража-

стенками и до режима с полным проявлением шеро-

ет общие энергетические потери течения в канале.

ховатых элементов. Раскрыт физический смысл по-

Из представленной схемы взаимодействия потока с

нятия эффективной шероховатости K_s как средней

выступами шероховатой поверхности и эксперимен-

толщины отрывных застойных зон, образующихся

тально подтвержденного факта зависимости c_f от

за выступами шероховатых элементов и получены

объема отрывных застойных зон следует вывод о

выражения для K_s в случаях шероховатости в виде

том, что в объеме потока не существует других меха-

прямоугольных вставок и песочной шероховатости

низмов передачи кинетической энергии потока тур-

Никурадзе, справедливость которых подтверждена

булентным пульсациям, кроме как через отрывные

сравнением с экспериментальными данными. Тео-

вихри, образующиеся у поверхности стенки.

рия основана на единой для всех типов течений идее

Вывод о том, что турбулентный поток получа-

образования отрывных застойных зон у стенок ка-

ет энергию от внешних источников только через

нала. Эта идея вводится в качестве некоего постула-

посредство образующихся у стенок отрывных вих-

та, который, очевидно, невозможно вывести из об-

рей, расходится с традиционно физическим пони-

щих уравнений движения сплошной среды, но, за-

манием механизма этого процесса, основанным на

метим, ни она, ни ее следствия не могут и проти-

законах движения вязкой жидкости, но по анало-

воречить этим уравнениям, поскольку нигде с ни-

гии применяемым к режиму турбулентного движе-

ми не пересекаются и не являются их каким-либо

ния. Формально выводимый закон логарифмическо-

невыводимым упрощением. Можно только говорить

го распределения скоростей для простейшего вари-

о том, не противоречит ли она соображениям здра-

анта турбулентного течения в каналах на основе по-

вого смысла и экспериментальным данным, или, на-

нятия турбулентной вязкости фактически эквива-

оборот, эти соображения и эксперименты дают по-

лентен записи из соображений размерности выраже-

вод для ее дальнейшего использования и обобщений.

ния для производной скорости в виде du/dy = α/y,

Проведенные исследования показали ее плодотвор-

где α — некоторая константа [3,28], и поэтому турбу-

ность. Начав с чисто утилитарной задачи опреде-

лентная вязкость не является единственно возмож-

ления K_s для канала с распределенной шерохова-

ным физическим механизмом формирования поля

тостью, путем последовательной разработки одной

скоростей. Тот же результат, например, в работе

и той же идеи удалось прийти к обобщенным со-

[29], был получен на основе сращивания асимпто-

отношениям (17), (18) и (20), (21), охватывающим

тических разложений скорости вблизи и вдали от

широкий спектр различных турбулентных течений.

стенок канала.

187

В. П. Воротилин

ЖЭТФ, том 156, вып. 1 (7), 2019

Дальнейшие шаги обобщений, которые позволи-

12.

H. Herwig, D. Gloss, and T. Wenterodt, J. Fluid

ли бы распространить теорию на более сложные

Mech. 613, 35 (2008).

структуры турбулентных потоков, например тече-

13.

K. A. Flack and M. P. Schultz, Phys. Fluids 26,

ние в диффузорах, течения со свободными грани-

101305 (2014).

цами, пограничный слой на пластине и т. д., связа-

ны с необходимостью вводить дополнительные, чет-

14.

A. Busse, M. Thakkar, and N. D. Sandham, J. Fluid

ко сформулированные правила их описания. Кроме

Mech. 810, 196 (2017).

того, каждый из упомянутых типов течений обла-

15.

M. Thakkar, A. Busse, and N. D. Sandham, J. Fluid

дает такими, присущими только ему особенностями,

Mech. 837, 1 (2018).

исследование которых могло бы составить самосто-

ятельную задачу разработки общей теории.

16.

Zhen-Su She, Xi Chen, and Fazle Hussain, J. Fluid

Mech. 827, 322 (2017).

17.

Xi Chen, Fazle Hussain, and Zhen-Su She, J. Fluid

ЛИТЕРАТУРА

Mech. 850, 401 (2018).

I. Marusic, B. J. McKeon, P. A. Monkewitz,

18.

В. П. Воротилин, ЖЭТФ 153, 313 (2018).

H. M. Nagib, A. J. Smits, and K. R. Sreenivasan,

Phys. Fluids 22, 065103 (2010).

19.

B. R. Morton, G. I. Taylor, and J. S. Turner, Proc.

R. Soc. Lond. A 234, 1 (1956).

A. J. Smits, B. J. McKeon, and I. Marusic, Ann. Rev.

20.

A. A. Townsend, The Structure of Turbulent Shear

Fluid Mech. 43, 353 (2011).

Flow, Cambridge Univ. Press (1980).

T. B. Nickels, I. Marusic, S. Hafez, N. Hutchins, and

21.

Г. Шлихтинг, Теория пограничного слоя, Наука,

M. S. Chong, Phil. Trans. Roy. Soc. Amer. 365, 807

Москва (1969).

(2007).

22.

J. Nikuradse, Laws of Flow in Rough Pipes, NACA

И. И. Вигдорович, ЖЭТФ 144, 413 (2013).

Technical Memorandum 1292, Washington (1950).

И. И. Вигдорович, ЖЭТФ 146, 1063 (2014).

23.

R. L. Webb, E. R. G. Eckert, and R. J. Goldstein,

Int. J. Heat Mass Transfer 14, 601 (1971).

T. Theodorsen, in Proc. 2nd Midwest. Conf. Fluid

Mech., March 17-19, Ohio State University, Colum-

24.

M. Dalle Donne and L. Meyer., Int. J. Heat Mass

bus (1952), p. 1.

Transfer 20, 583 (1977).

S. J. Kline, W. C. Reynolds, F. A. Schraub, and

25.

W. Nunner, FofschHft, Ver. Dt. Ing. 455 (1956).

P. W. Runstadler, J. Fluid Mech. 30, 741 (1967).

26.

R. Koch, FofschHft, Ver. Dt. Ing. 469, Ser. B, 24, 1

E. R. Corino and R. S. J. Brodkey, J. Fluid Mech.

(1958).

37, 1 (1969).

27.

I. Gargaund and G. Paumard, CEA-R-2464 (1964).

A. E. Perry and M. S. Chong, J. Fluid Mech. 119,

173 (1982).

28.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных

сред, Гостехиздат, Москва (1953).

10.

R. J. Adrian, Phys. Fluids 19, 041301 (2007).

29.

C. B. Millikan, in Proc. 5^th Intern. Congr. Appl.

11.

J. Jimenez, Ann. Rev. Fluid Mech. 36, 173 (2004).

Mech., Cambridge, Mass. (1938), p. 386.

188