ЖЭТФ, 2019, том 155, вып. 3, стр. 446-459

К ПРОБЛЕМЕ ГЕНЕРАЦИИ И РАСПОЗНАВАНИЯ

СОЛИТОННЫХ СОСТОЯНИЙ

ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

A. И. Конюховa,c*, Е. В. Щуркин^a, Л. А. Мельников^b,c,

А. А. Сысолятин^c, К. С. Гочелашвили^c

^a Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского

410012, Саратов, Россия

^b Саратовский государственный технический университет им. Ю. А. Гагарина

410054, Саратов, Россия

^c Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской академии наук

119991, Moсква, Россия

Поступила в редакцию 29 августа 2018 г.,

после переработки 19 октября 2018 г.

Принята к публикации 24 октября 2018 г.

Состояние солитона характеризуется собственными значениями задачи Захарова - Шабата. В оптоволо-

конных линиях связи, использующих собственные значения для кодирования сигнала, скорость пере-

дачи данных может быть значительно увеличена только при развитии оптических методов управления

собственными значениями. В данной работе для генерации заданных наборов комплексных собствен-

ных значений и детектирования солитонных состояний предложено использовать оптические волокна

с синусоидальным изменением дисперсии. Под действием периодического изменения дисперсии много-

солитонные импульсы разделяются на несколько солитонов, распространяющихся с различными груп-

повыми скоростями. Разделение импульсов отражается в изменении действительной и мнимой частей

собственных значений. Данный эффект можно использовать для приготовления фиксированных набо-

ров собственных значений. Распознавание солитонного сигнала может быть реализовано при помощи

анализа импульсов и их спектров на выходе волокна с периодическим изменением дисперсии. На при-

мере солитонов, заданных наборами из четырех собственных значений, показано, что поле на выходе из

волокна соответствует уникальной комбинации спектра и числа импульсов, определяемых начальными

собственными значениями.

DOI: 10.1134/S0044451019030076

пульсы. При использовании пикосекундных импуль-

сов становится актуальным искажение сигнала из-за

1. ВВЕДЕНИЕ

дисперсии и нелинейности. В этой ситуации заслу-

живает внимания использование солитонных схем.

Волоконно-оптические линии связи используют-

ся для передачи большей части мирового объема

Солитоны являются структурно-устойчивыми

данных. Для увеличения пропускной способности

образованиями, т. е. устойчивыми относительно

используется одновременная передача информации

не только малых, но и конечных возмущений,

по нескольким каналам. Однако распараллелива-

например, таких, которые солитон испытывает при

ние данных с использованием разделения сигна-

рассеянии на других солитонах [1]. Именно это

ла по длинам волн, поляризации, амплитуде и фа-

очень привлекательное свойство солитонов лежит

зе, доступные в линейных системах, исчерпывает

в основе их применения в оптических волокнах.

свои возможности. Для увеличения скорости пере-

Однако из-за взаимодействия между солитонами

дачи необходимо использовать ультракороткие им-

[2, 3] использование солитонных импульсов для

прямого кодирования битовой последовательнос-

^* E-mail: kai@optics.sgu.ru, KonukhovAI@info.sgu.ru

ти затруднено. Так, например, два синфазных

446

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

солитона при распространении в волокне при-

рать изменение дисперсии или нелинейности вдоль

тягиваются [4]. В результате расстояние между

волокна [23,24], фазовая кросс-модуляция в систе-

соседними импульсами изменяется, что приводит

ме связанных НУШ [25, 26], вынужденное комбина-

к усложнению детектирования битовых сигналов.

ционное рассеяние [27], фазовая самомодуляция им-

Увеличение временного расстояния между импуль-

пульсов [28, 29]. Распад солитонов, их объединение

сами не решает проблемы взаимодействия [5]. Для

были проанализированы с использованием различ-

ослабления взаимодействия между солитонами

ных нелинейных эволюционных моделей [30-33].

разработаны методы спектральной фильтрации и

Ряд возможностей по управлению солитонами

спектрально-ограниченного усиления

[6]. Однако

предоставляют волокна с переменной по длине дис-

при таком подходе форма солитона искажается,

персией. Оптические солитоны, распространяющие-

и максимальная дистанция его распространения

ся в таких волокнах, удовлетворяют неавтономному

ограничивается.

НУШ с переменными коэффициентами дисперсии и

В работе [7] для кодирования информации бы-

нелинейности [34]. Проблема преобразования фор-

ло предложено использовать собственные значения

мы оптических импульсов при распространении в

задачи Захарова - Шабата [8, 9]. Важным является

волокнах с изменением дисперсии вдоль длины во-

тот факт, что при распространении классических

локна рассмотрена в работе [35]. В волокнах с пе-

солитонов Шредингера дискретный набор собствен-

риодической модуляцией дисперсии солитоны могут

ных значений остается неизменным. Процедура на-

управляться резонансными эффектами. Если пери-

хождения собственных значений получила название

од модуляции возмущения сравним с характерным

нелинейного преобразования Фурье (НПФ) [10-12].

периодом многосолитонного импульса, то он распа-

Нелинейный спектр содержит непрерывную и дис-

дается на несколько фундаментальных солитонов

кретную части (набор собственных значений). На

[23]. В работах [36,37] описаны эксперименты по раз-

основе НПФ реализовано кодирование сигналов с

делению многосолитонных импульсов при помощи

использованием как непрерывной, так и дискрет-

волокна с модуляцией диаметра. Разделение сопро-

ной части нелинейного спектра [13, 14]. Использо-

вождается изменением несущих частот импульсов

вание в оптической связи нелинейного спектра и,

[38]. Распад многосолитонного бризера в волокне с

в частности, дискретных собственных значений де-

переменной дисперсией носит каскадный характер

лает возможным преодоление ограничений, связан-

[39]. Распад бризера происходит через последова-

ных с нелинейным взаимодействием солитонов и с

тельность преобразований двух собственных значе-

керровской самомодуляцией фазы [15,16]. В настоя-

ний. Волокно с периодической модуляцией диспер-

щее время скорость передачи данных в линиях связи

сии может использоваться не только для разделе-

на основе НПФ ограничена отсутствием оптических

ния многосолитонных импульсов, но и для слиянии

методов кодирования и декодирования информации.

солитонов [40,41]. Разделение многосолитонных им-

Обработка сигналов проводится при помощи пре-

пульсов может происходить под действием ступен-

образования оптического сигнала в электрический

чатого изменения дисперсии [42], а также сильного

[17, 18]. Развитие оптических методов управления

поглощения [43]. В экспериментах [44] было реализо-

собственными значениями и нелинейным спектром

вано слияние двух солитонов. В работе [45] показа-

в целом имеет практическое применение при нели-

на возможность разделения многосолитонного им-

нейном мультиплексировании сигналов [7,13,15,19].

пульса за счет начальной фазовой самомодуляции.

Собственные значения определяют амплитуду,

Чирпированный импульс разделяется на несколько

групповую скорость и фазу солитона. Поэтому зада-

фундаментальных солитонов при распространении

ча об управлении собственными значениями напря-

в волокне с аномальной дисперсией.

мую связана с возможностью модификации солито-

В оптических линиях передачи, работающих на

нов оптическими методами. Для модификации со-

основе НПФ, используется тот факт, что спектр соб-

литонов можно использовать возмущения, которые

ственных значений остается неизменным при рас-

описываются дополнительными слагаемыми в нели-

пространении солитонов, подчиняющихся классиче-

нейном уравнении Шредингера (НУШ) [2]. При раз-

скому НУШ. Притяжение, отталкивание, упругие

ных соотношениях между коэффициентами НУШ

столкновения солитонов не изменяют собственные

можно получить различные траектории движения

значения. В то же время для кодирования инфор-

солитона [20]. При наличии возмущений оптические

мации необходимо иметь некоторый механизм, поз-

солитоны могут разрушаться, сливаться или даже

воляющий изменять собственные значения по за-

аннигилировать [21,22]. Роль возмущения могут иг-

просу. Методы управления солитонами, основанные

447

A. И. Конюхов, Е. В. Щуркин, Л. А. Мельников и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

(

)

(

)(

)

на применении специального вида дисперсии, по-

∂ v₁

-iλ q(τ)

v₁

(2)

глощения, усиления, здесь мало подходят, посколь-

∂τ v₂

−q^∗(τ) iλ

v₂

ку трудно реализуемы в стандартных одномодовых

волокнах. Представленные в данной работе резуль-

где τ = t/t₀ — нормированное время, t₀ — длитель-

таты показывают, что для модификации собствен-

ность начального импульса, q(τ) — потенциал, опре-

ных значений и их детектирования можно исполь-

деленный для фиксированного z:

зовать волоконно-оптические методы. Мы надеемся,

√

что подходы, основанные на использовании оптичес-

q(τ) = A (z, τ) t₀

(3)

ких волокон с периодическим изменением диспер-

|β₂|

сии, послужат основой для оптических методов де-

тектирования сигнала в линиях передачи данных,

Функции v_l(τ = -∞, λ) и v_l(τ = ∞, λ), l = 1, 2

использующих НПФ.

связаны через матрицу рассеяния

(

)

2. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

a(λ)

-b^∗(λ^∗)

M =

(4)

ШРЕДИНГЕРА И ЗАДАЧА

b(λ) a^∗(λ^∗)

ЗАХАРОВА - ШАБАТА

Для описания распространения оптических им-

Комплексные величины λ_j, для которых a(λ_j) =

пульсов в одномодовых волокнах используется мо-

= 0, соответствуют солитонным решениям НУШ

дель НУШ [2, 4, 46]. В отсутствие потерь, диспер-

(1). Если a(λ_j ) = 0, то также a^∗(λ^∗j) = 0.

сии высших порядков и вынужденного комбинаци-

Для дискретного набора λ_j можно определить

онного рассеяния уравнение для огибающей A(z, t)

величину

электрического поля имеет вид

b(λ_j )

rj (λj ) =

(5)

∂A

β₂ ∂²A

a^′(λ_j)

= -i

+ iγ|A|²A(z, t),

(1)

∂z

∂t²

где a^′(λ_j ) = (da/dλ)|λ=λj, j = 1,2,...,N, N — число

где

√

солитонов.

A(z, t) = E(z, t) cnϵ₀S_eff /2,

Непрерывная r(λ)

= b(λ)/a(λ) и дискретная

E(z, t) — комплексная амплитуда напряженности

rj (λj ) спектральные функции представляют собой

электрического поля, c — скорость света в вакууме,

НПФ величины q(τ) [10-12].

n — показатель преломления, ϵ₀ — диэлектрическая

При отсутствии решений a(λ_j ) = 0 солитоны не

постоянная, S_eff — эффективная площадь основной

формируются и потенциал q(τ) полностью опреде-

моды волокна [46], z — расстояние, пройденное им-

ляется через r(λ). Собственные значения λ часто

пульсом, t — время в бегущей системе координат.

называют спектральными параметрами. Действи-

Переменные z и t выражаются через истинное время

тельные значения λ определяют непрерывную часть

Θ и координату Z как z = Z, t = Θ - β₁z, где β₁ =

НПФ. Набор комплексных значений λ_j определяют

= (dβ/dω)|ω0 , β = β(ω) — постоянная распростране-

его дискретную часть.

ния основной моды волокна, ω — частота, ω₀ — несу-

Для пояснения физического смысла дискретных

щая частота импульса. Параметр t определяет вре-

величин λ_j рассмотрим солитоны, поля которых не

менной интервал между импульсом, распространя-

перекрываются. Такая ситуация возможна, когда

ющимся с групповой скоростью u = β-11 и исследуе-

групповые скорости всех солитонов различны. При

мым импульсом. Параметр β₂ = (d²β/dω²)|ω0 опре-

z → ∞ все солитоны разделяются и представля-

деляет дисперсию групповой скорости. Коэффици-

ют собой отдельные импульсы. Комплексная ампли-

ент керровской нелинейности γ = (ω₀/c)n₂S-1eff , где

туда j-го фундаментального солитона определяется

n₂ — нелинейный показатель преломления.

следующим образом:

A_j(z, t) = R_j sech(κ_jt - t_j - v_jz)exp[iϕ_j(z, t)] ,

(6)

2.1. Задача рассеяния

Важным свойством НУШ (1) является его пол-

где R_j — амплитуда солитона, κ_j — обратная дли-

ная интегрируемость [8]. Для нахождения солитон-

тельность солитона, τ_j — координата пика импульса,

ных решений уравнению (1) ставится в соответствие

ϕ_j(z, t) — фаза, величина v_j определяет изменение

задача на собственные функции v_l(τ, λ), l = 1, 2 и

групповой скорости солитона: v_g = (1/u+v_j)-1. Ам-

собственные значения λ [10,47,48]:

плитуда, длительность и групповая скорость фун-

448

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

(

)

даментального солитона (6) могут быть выражены

Ψ₂(τ, λ^∗m) =

через дискретные спектральные параметры λ_j [4]:

√

∑

|β₂|

rj (λj ) exp(2iλj τ)

Ψ₁(τ, λ_j)+

R_j =

· 2Imλ_j,

λ^∗m - λ

t₀

j=1

∫

∞

(7)

κ_j =

· 2Imλ_j,

r(γ) exp(2iγτ)

t₀

Ψ₁(τ, γ)dγ,

(11)

2πi

γ-λ^∗

β₂

-∞

v_j =

· 2Reλ_j.

t₀

(

)

Энергия солитона

Ψ₁(τ, λ_m) =

J_j = 2R2jκ-1j = J₀ · 2 Imλ_j,

(8)

∑

r^∗j(λ^∗j)exp(-2iλ^∗jτ)

где J₀ = (2/t₀)|β₂|/γ — энергия фундаментального

Ψ₂(τ, λ^∗j)-

λ_m - λ^∗

солитона (λ₁ = 0.5i) длительность которого равна

j=1

t₀. Средний сдвиг несущей частоты солитона опре-

∫

∞

r^∗(γ)exp(-2iγτ)

деляется дейстивтельной частью собственного зна-

−

Ψ₂(τ, γ^∗)dγ,

(12)

2πi

γ-λ_m

чения [4]:

-∞

ΔΩ =

· 2Reλ_j,

(9)

t₀

где N — число солитонов, соответствующих реше-

нию a(λ_m) = 0, m = 1, . . . , N. Система уравнений

где ΔΩ = ω₂ - ω₁, ω₁ — несущая частота начального

(11), (12) решается для каждого фиксированного

импульса (Re λ_j = 0), ω₂ — несущая частота солито-

момента времени τ. Затем находится поле

на, которому соответствует собственное значение λ_j .

Изменение групповой скорости может быть най-

∑

дено из соотношения

q^∗(τ) = 2i

rj (λj , z) exp(2iλjτ)Ψ12(τ, λj ) -

j=1

Δ(1/u) = -β₂ΔΩ.

(10)

∞

∫

r(λ) exp(2iλτ)Ψ₁₂(τ, λ) dλ.

(13)

Для расчета матрицы M (2) разработано множе-

- π

ство методов [11,47,48]. Среди них можно выделить

−∞

итерационные методы, такие как метод конечных

При отсутствии несолитонной составляющей

разностей, метод Абловица - Ладика, метод послой-

(r(λ) = 0) систему (11), (12) можно упростить [4]. В

ного расчета (layer-peeling method).

этом случае солитонная составляющая вычисляется

Мы использовали метод послойного расчета мат-

по формуле

рицы рассеяния [47]. В алгоритме используется ап-

проксимация потенциала q(τ) ступенчатой функци-

∑

ей. На интервале τ_k < τ ≤ τk+1 (k = 1, . . . , K) вели-

q^∗(τ) = 2i

rj (λj ) exp(2iλj τ) xj ,

(14)

j=1

чина q(τ) = q_k считается постоянной. Матрица рас-

сеяния вычисляется как произведение частичных

где вектор-столбец X = (x₁, . . . , x_N )^T является ре-

матриц, соответствующих потенциалу q(τ) = qk.

шением системы линейных уравнений

Чтобы найти точки λ_j, соответствующие солитон-

ным решениям a(λ_j ) = 0, использовался метод Нью-

(1 - A)X = E,

(15)

тона [48].

где 1 — единичная матрица, E = (1, 1, . . . , 1)^T , эле-

менты матрицы A вычисляются по формуле

2.2. Обратная задача рассеяния

∑

Решение обратной задачи рассеяния позволяет

rj (λj ) exp(2iτLn,j)rⁿ(λⁿ)

A_m,n =

(16)

восстановить форму импульса q(τ) по заданным ве-

L_m,j L_n,j

j=1

личинам r = b/a, r_j (5) и λ_j . Для этого решается

система уравнений Римана - Гильберта относитель-

где L_n,j = λ_n - λ^∗j. Использование решения в виде

но неизвестных функций Ψ₁ = (Ψ₁₁, Ψ₁₂)^T и Ψ₂ =

(14) позволяет находить аналитические выражения

= (Ψ₂₁, Ψ₂₂)^T [11]:

для многосолитонных импульсов.

449

ЖЭТФ, вып. 3

A. И. Конюхов, Е. В. Щуркин, Л. А. Мельников и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

2.3. Модифицированное нелинейное

рассчитаем коэффициенты матрицы рассеяния (4),

уравнение Шредингера с переменными

соответствующей НУШ (1) с фиксированными ко-

коэффициентами

эффициентами дисперсии β₂ = β₂(z_s) и нелинейно-

сти γ = γ(z_s). Здесь

Изменение диаметра волокна приводит к измене-

нию его дисперсионных и нелинейных свойств. Ко-

|β₂|/γ

t_A = t₀

эффициенты нелинейного уравнения Шредингера

|〈β₂〉|/〈γ〉

становятся зависимыми от длины волокна. С учетом

соответствует длительности односолитонного им-

дисперсии третьего порядка, линейного поглощения

пульса, распространяющегося в волноводе с адиа-

и вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР)

батическим (z_m ≫ 1) изменением дисперсии и нели-

уравнение, описывающее распространение импуль-

нейности.

сов в одномодовых волокнах, принимает вид

3) Найдем комплексные собственные значения λ_j

из уравнения a(λ_j ) = 0.

∂A

β₂(z) ∂²A

β₃(z) ∂³A

A(z, t) = - i

Шаги 1-3 повторяются при новом значении z =

∂z

∂t²

∂t³

= z_s. В результате получим собственные значения в

+ iP_NL + N(z, t),

(17)

зависимости от пройденного расстояния, λ_j = λ_j (z).

где α — коэффициент поглощения, N (z, t) — шум

Строго говоря, λ_j (z) не являются характеристиками

усиленной спонтанной эмиссии [10, 12, 16], β₂(z) и

солитонных решений уравнения Шредингера (17) с

β₃(z) — коэффициенты дисперсии:

переменными коэффициентами. Величины λ_j (z) по-

казывают параметры солитонов, как если бы они

β2,3(z) = 〈β2,3〉[1 + β2,3(m) sin(2πz/z_m + ϕ_m)],

(18)

распространялись в волокне с постоянной дисперси-

ей и нелинейностью. На каждом шаге z численное

〈β₂〉 = -12.76 пс²/км, 〈β₃〉 = 0.0761 пс³/км, β2(m) =

решение уравнения (17) анализируется с использо-

= 0.02, β3(m) = 0.095.

ванием данных обратной задачи рассеяния, сформу-

Нелинейная поляризация среды в уравнении (17)

лированной для НУШ с фиксированными коэффи-

включает эффект Керра и ВКР:

циентами дисперсии β₂ и нелинейности γ.

P_NL(z, t) = γ(z)[(1 - f_R)|A|²A + f_RQA(z, t)],

где

3. РАЗДЕЛЕНИЕ ДВУХСОЛИТОННОГО

БРИЗЕРА

γ(z) = 〈γ〉 [1 + 0.028 sin(2πz/z_m)] .

В расчетах использовались величины f_R = 0.18

В отсутствие возмущений НУШ (1) может под-

[46] и 〈γ〉 = 7.1 (Вт · км)-1. Отклик Q(z, t) комбина-

держивать состояния, связанные с несколькими со-

ционно-активной среды аппроксимируется затухаю-

литонами, распространяющимися с одинаковыми

щими колебаниями [4]:

групповыми скоростями. Такие состояния известны

как бризеры. В частном случае начальное поле бри-

∂²Q

∂Q

+ Ω²Q(z, t) = Ω²|A(z, t)|²,

(19)

зера может быть описано гиперболическим секансом

∂t²

T2 ∂t

A(t) = SR₁ sech(t/t₀),

(20)

где T₂

= 32 фс, Ω = 13.1 ТГц. Для моделиро-

√

вания распространения импульсов (17) использова-

где R₁ = t-10

|β₂|/γ, S — параметр, определяющий

лась численная схема с контролем точности вычис-

амплитуду импульса и число собственных значений

лений [49]. Для подавления волн, отраженных от

λ_j [4,8]. Двухсолитонный бризер (1.5 < S < 2.5) име-

границ расчетной области использовались поглоща-

ет мнимые значения λ_j = i(S+1/2-j). В световоде с

ющие граничные условия.

постоянной дисперсией (z_m ≫ 1) бризер характери-

Адаптируем задачу рассеяния для анализа дина-

зуется периодическим изменением формы. Период

мики солитонов в волокне с переменным диаметром.

изменения равен

Алгоритм оценки параметров солитона состоит из

трех этапов.

π t²⁰

z₀ =

(21)

1) Найдем численное решение A(z, t) уравнения

2 |β₂| |λ²² - λ²¹|

(17) на фиксированном расстоянии z = z_s.

При изменении коэффициентов в НУШ (17) бри-

2) Для потенциала

зер стремится принять новые согласованные значе-

√

q(τ) = A(z, t/t_A)t_A

γ(z_s)/|β₂(z_s)|

ния ширины и амплитуды. В результате часть из-

450

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

лучения переходит в несолитонную часть, соответ-

Без учета несолитонной составляющей импульс по-

ствующую дисперсионной волне. При адиабатиче-

ля

ском изменении дисперсии, когда период модуля-

∑

P =-

Re λ_j Im λ_j .

(22^′)

ции достаточно большой (z_m ≫ z₀), бризер успе-

j=1

вает изменить свои параметры без разделения на

Для начального бризера солитоны имеют нулевую

отдельные солитоны. При малом периоде модуля-

действительную часть, Re λ = 0. Поэтому после раз-

ции, z_m ≪ z₀, действие периодической модуляции

деления солитонов сумма (22^′) должна сохранять

дисперсии усредняется. Импульс распространяется

нулевое значение. В спектральном представлении

в виде бризера с излучением дисперсионной волны,

закон сохранения (22) выражает постоянство сред-

что, в свою очередь, приводит к уменьшению ам-

него сдвига частоты

плитуд солитонов, составляющих бризер.

∞

∫

Ситуация радикально меняется, если модуляция

дисперсии происходит при резонансных условиях,

P = Ω|q(Ω)|²dΩ = const,

когда период солитона z₀ (21) сопоставим с пери-

-∞

одом модуляции волокна z_m, т. е. изменение диспер-

где q(Ω) — спектральная амплитуда, Ω = ω - ω₀ —

сии носит существенно неадиабатический характер.

разностная частота [4].

В этом случае бризер разделяется на несколько им-

Характер разделения бризера зависит от фазы

пульсов.

модуляции ϕ_m дисперсии волокна. При ϕ_m

= 0

Разделение двухсолитонного бризера (S

= 2,

(рис. 1б) интенсивность достигает пиковых значе-

λ₁

= 1.5i, λ₂

= 0.5i) при резонансных услови-

ний при z/z₀ = 0.56, z/z₀ = 1.0 и z/z₀ = 1.89. Од-

ях z_m = z₀ показано на рис. 1. Расчеты проводи-

нако самосжатие бризера не является достаточным

лись на основе уравнения (17) без учета поглоще-

для его разделения под действием изменяющейся

ния (α = 0), ВКР (f_R = 0) и дисперсии третье-

дисперсии. Начальный этап распространения бризе-

го порядка (β₃ = 0). Период осцилляций солитона

ра (z/z₀ < 1) соответствует увеличению расстояния

z₀ = 0.158 км. Период модуляции дисперсии (18) вы-

между собственными значениями λ₁ и λ₂ (рис. 1б

бран равным периоду солитона (z_m = z₀). При z = 0

(3)). «Столкновение» решений λ₁ и λ₂ на комплекс-

собственные значения равны λ₁ = 1.5i и λ₂ = 0.5i.

ной плоскости Re λ, Im λ и связанное с этим разде-

При ϕ_m

= π (рис. 1a) модуль коэффициен-

ление бризера на два отдельных солитона происхо-

та дисперсии β₂ на начальном этапе распростране-

дит только при z/z₀ = 1.89. При модуляции фазы

ния (z/z₀ < 0.25) уменьшается. Это способствует

ϕ_m = 0 (рис. 1б) разделение солитонов происходит

сильному самосжатию импульса. После сжатия бри-

позже, чем при ϕ_m = π (рис. 1а). Фаза модуляции

зер разделяется на два фундаментальных солито-

влияет на действительную часть собственных зна-

на с одинаковыми амплитудами (рис. 1а (1)). Со-

чений λ1,2. При ϕ_m = 0 на расстоянии z/z₀ = 3

ответствующие изменения комплексных собствен-

действительная часть Re λ₁ = - Re λ₂ = 0.23. Тог-

ных значений λ₁ и λ₂ показаны на панелях (3), (4)

да как при ϕ_m = π действительная часть достига-

рис. 1а. Видно, что после разделения бризера соб-

ет значения Re λ₁ = - Reλ₂ = 0.32. Эта величина

ственные значения имеют одинаковые мнимые ча-

определяет сдвиг несущей частоты солитона (9).

сти (Imλ₁

= Im λ₂) и разные по знаку действи-

Разделение двухсолитонного бризера позволяет

тельные части (Re λ₁

= -Reλ₂). Мнимая часть

получить импульсы, для которых сдвиг несущей

собственного значения определяет энергию солито-

частоты превышает половину ширины спектра ис-

на (8), а действительная часть — сдвиг частоты

ходного импульса. На рис. 2 показана величина

(9). Поэтому состояния с Im λ₁ = Im λ₂ и Re λ₁ =

мгновенного сдвига частоты, нормированная на об-

= -Reλ₂ характеризуют два фундаментальных со-

ратную длительность импульса,

литона с одинаковыми энергиями, но разными сдви-

⁽∂ϕ⁾

гами несущей частоты.

Δν = t₀

(23)

∂t

t=tmax

Разделение бризера на отдельные солитоны под-

чиняется закону сохранения импульса ([8] гл. I, § 10):

где ϕ

= argA, момент времени t

= t_max соот-

ветствует максимуму интенсивности одного из вы-

⎛

⎞

∫

∞

ходных импульсов. На рис. 2 видно, что при боль-

P = Im^⎝ (q^∗∂_tq)dt⎠.

(22)

шой глубине модуляции дисперсии возможно полу-

чение мгновенного сдвига частоты Δν > 1. Если

−∞

451

A. И. Конюхов, Е. В. Щуркин, Л. А. Мельников и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

1.2

1.0

(1)

1.0

(1)

0.8

(2)

t₀

-1

(3)

1.5

(3)

1.0

0.5

0.3

(4)

-0.3

z/z

Рис. 1. (В цвете онлайн) Разделение двухсолитонного импульса (S = 2) для ϕm = π (а) и ϕm = 0 (б). Длительность

начального импульса TF W HM = 2 пc (t0 = 1.135 пс). Период модуляции дисперсии zm = z0 = 0.158 км. β3 = 0, fR = 0,

α = 0. Сверху вниз: (1) — изменение коэффициента дисперсии β2(z)/〈β2〉 = 1 + β2(m) sin(2πz/zm + ϕm); (2) — динамика

импульса (цветовая шкала показывает диапазон изменения интенсивности I(z, t) = |A(z, t)|² в относительных единицах);

(3) — мнимые части собственных значений λ1, λ2 в зависимости от пройденного расстояния; (4) — действительные части

собственных значений λ1, λ2 в зависимости от пройденного расстояния

входное излучение представляет собой последова-

дит на расстоянии, меньшем периода солитона z₀,

тельность импульсов, то после волокна с периодиче-

как это показано на рис. 1a. При других парамет-

ским изменением дисперсии каждый из импульсов

рах разделение бризера может происходить на рас-

разделяется на два других с различными несущи-

стояниях z ≫ z₀ (см. рис. 1б). Однако на больших

ми частотами. Величина спектрального сдвига Δν

дистанциях модуляция дисперсии ведет к заметно-

является достаточно большой, поэтому одну груп-

му росту несолитонной составляющей, что приводит

пу импульсов можно отделить от другой, используя

к уменьшению энергии отдельных солитонов, опре-

спектральные фильтры, например волоконные брэг-

деляемой Im λ_j (8).

говские фильтры. Такой метод позволяет получить

Важным фактором при практическом примене-

последовательность импульсов со сдвигом несущей

нии частотного разделения импульсов является воз-

частоты [38].

можность перестройки спектральных параметров

Одной из особенностей периодической модуля-

λ_j. При математическом моделировании было по-

ции дисперсии является наличие нескольких резо-

лучено, что величина частотного сдвига и сценарий

нансов при разделении бризера [23]. Основной ре-

разделения двухсолитонного бризера зависят от пе-

зонанс проявляется при периоде модуляции, равном

риода модуляции волокна, фазы модуляции. Однако

периоду солитона z_m = z₀ (см. рис. 2). Следующий

данные параметры не могут изменяться по запро-

резонанс наблюдается при z_m = z₀/3. Данные для

су. Рассмотрим возможность использования в каче-

рис. 2 рассчитаны для короткой дистанции распро-

стве управляющего параметра энергию начального

странения z = z₀, т. е. разделение бризера проиcхо-

импульса (20), которая, в свою очередь, определя-

452

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

2(m)

когда в уравнении (17) учитывается ВКР и коэф-

0.5

фициент дисперсии третьего порядка β₃. За счет

1.4

присутствия ВКР пороговое значение S, при кото-

1.2

ром происходит разделение бризера, уменьшается.

0.4

Разделение бризера становится заметным уже при

S = 1.6. Для двухсолитонного режима величины

0.3

Re λ1,2 достигают экстремума при S = 1.805, то-

1.0

0.9

гда как при отсутствии ВКР максимальное разде-

0.9

ление соответствует S = 2.05 (рис. 3a). При S = 2.2

0.2

0.7

появляется третий солитон, которому соответствует

0.7

0.5

собственное значение λ₃ = -0.27 + 0.38i (рис. 3б).

Дальнейшее увеличение S приводит к нарастанию

0.1

0.5

амплитуды первого солитона и увеличению сдвига

частоты, определяемого Re λ₁. ВКР является неже-

лательным эффектом при разделении бризера, так

как приводит к появлению импульсов с различными

z /z0m

амплитудой и сдвигом частоты. В отсутствие ВКР

бризер разделяется симметрично (Im λ₁

= Im λ₂,

Рис. 2. Мгновенный сдвиг частоты Δν (23) в зависимости

Re λ₁ = - Re λ₂).

от глубины модуляции β2(m) и от величины, обратной пе-

риоду модуляции zm (18). Сдвиг частоты рассчитан для

одного из импульсов, полученных при разделении бризера

второго порядка S = 2 (20). Дистанция распространения

4. РАЗДЕЛЕНИЕ МНОГОСОЛИТОННЫХ

z = z0. α = 0, β3 = 0, fR = 0, N(z,t) = 0

ИМПУЛЬСОВ

На рис. 4 показан распад четырехсолитонного

ет параметр S. Целые значения S совпадают с чис-

импульса (S = 4), заданного формулой (20). На-

лом солитонов, т. е. с числом дискретных собствен-

чальные собственные значения λ₁ = 3.5i, λ₂ = 2.5i,

ных значений λ_j . На рис. 3a показаны изменения

λ₃ = 1.5i и λ₄ = 0.5i. Режимы, показанные на рис. 4а

собственных значений двухсолитонного бризера при

и рис. 4б различаются фазой модуляции дисперсии.

изменении параметра S (20). Возрастание парамет-

Для ϕ_m = π (рис. 4a) модуляция дисперсии при-

ра S до величины 1.67 приводит к преобразованию

водит к разделению солитонов, которым соответ-

двухсолитонного импульса в два отдельных фунда-

ствуют собственные значения λ₃ и λ₄. Так же как

ментальных солитона с одинаковыми амплитудами,

и для двухсолитонного бризера (см. рис. 1), рас-

задаваемыми Imλ. Сдвиг несущей частоты, опреде-

пад бризера происходит через изменение группо-

ляемый Re λ, достигает экстремума при S = 2.05.

вых скоростей двух солитонов таким образом, что

Дальнейшее увеличение параметра S приводит к

Re λ₃ = - Re λ₄. Остальные два солитона (с соб-

уменьшению сдвига частоты и появлению третьего

ственными значениями λ₁, λ₂) формируют новый

солитона при S = 2.45 (рис. 3a). Для двух солитонов

бризер, распространяющийся на несущей частоте

действительные части собственных значений равны

исходного импульса (Re λ₁ = Re λ₂ = 0). Изменение

и противоположны по знаку, Re λ₁ = - Re λ₂. Тре-

дисперсии β₂ = β₂(z) приводит к заметной модуля-

тий солитон имеет Re λ₃ = 0 и распространяется на

ции мнимых частей собственных значений Im λ₁(z),

несущей частоте исходного импульса.

Im λ₂(z). Размах осцилляций составляет величину

Конкурирующим процессом, влияющим на раз-

более чем 20 % от среднего значения Im λ1,2 (панель

деление многосолитонного бризера, является ВКР.

(3) на рис. 4a). При дальнейшем распространении

Под влиянием ВКР от бризера отделяется фунда-

часть энергии солитонов переходит в дисперсион-

ментальный солитон с высокой пиковой интенсив-

ную волну, что приводит к уменьшению Im λ₁, Im λ₂.

ностью [27]. Сдвиг частоты данного солитона воз-

При достижении некоторых резонансных условий

растает с увеличением дистанции распространения.

периодическая модуляция дисперсии может вызвать

Для пикосекундных солитонов распад бризера за

дополнительное разделение бризера, характеризую-

счет ВКР сравним с эффектом модуляции диспер-

щегося собственными значениями λ₁ и λ₂. Каскад-

сии волокна. На рис. 3б показано изменение соб-

ный распад многосолитонного бризера описан в ра-

ственных значений в зависимости от параметра S,

боте [39].

453

A. И. Конюхов, Е. В. Щуркин, Л. А. Мельников и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

Смена фазы модуляции приводит к изменению

та кодируются величинам λ₂ = 1.5i и λ₃ = 2.5i.

динамики бризера. Распад бризера происходит в ре-

Младший бит кодируется величиной λ₄ = 3.5i. Со-

зультате неупругого взаимодействия солитонов, ха-

литон четвертого порядка (S = 4) (20) соответствует

рактеризующихся собственными значениями λ₁ и λ₂

четырем единичным битам «1111». Фундаменталь-

(рис. 4б). Первые два солитона приобретают разные

ный солитон λ₁ = 0.5i соответствует конфигурации

групповые скорости и уходят на периферию расчет-

«1000», солитон второго порядка — «1100» и т. д.

ного окна (панель (2) на рис. 4б). Остальные два со-

Для четырехбитового сигнала существует 15 нену-

литона формируют бризер. При z/z₀ = 3 собствен-

левых сигналов, каждый из которых соответствует

ные значения составляют λ₃ = 1.72i, λ₄ = 0.18i.

определенной четырехбитовой последовательности,

В отличие от режима, показанного на рис. 4a, для

закодированной комбинацией собственных значений

ϕ_m = 0 (рис. 4б) после разделения исходного им-

(таблица).

пульса, z/z₀ > 1.5, собственные значения остаются

На рис. 5 показаны результаты расчетов формы

практически неизменными. Фактически это означа-

импульсов и их спектров после прохождения сигна-

ет, что при дальнейшем распространении модуляция

ла (см. таблицу) волокна с периодическим измене-

дисперсии не оказывает заметного влияния на соли-

нием дисперсии.

тоны.

Односолитонные импульсы с кодировками 0001,

Рассмотрим распад бризера, заданного произ-

0010, 0100 и 1000 не разделяются (рис. 5а). Одна-

вольной комбинацией чисел λ_j. Такая задача инте-

ко периодическая модуляция дисперсии вызывает

ресна с точки зрения идентификации многосолитон-

генерацию несолитонной составляющей (дисперси-

ных импульсов в линиях связи, работающих на осно-

онной волны). В результате спектр выходных им-

ве НПФ [14]. Для построения решений методом об-

пульсов, соответствующих кодировкам 0001, 0010 и

ратной задачи рассеяния требуется задать не только

0100, претерпевает значительные изменения. В спек-

λj , но и функции a(λ), b(λ). Для импульса (20) при

тре выходных импульсов появляются боковые пики

целом S = N решение задачи рассеяния дает вели-

(рис. 5б). Для фундаментального солитона (1000)

чины [4, 8]

модуляция дисперсии не оказывает заметного влия-

∏

ния как на сам импульс (рис. 5а), так и на его

λ-λ_j

a(λ) =

(24)

спектр (рис. 5б). Форма выходного спектра имеет

λ-λ^∗

j=1

вид гиперболического секанса. Бризеры, характери-

b(λ_j ) = (-1)^j,

(25)

зующиеся кодами 1001 и 1010, также не разделяют-

ся. Основной вклад в изменение их спектра вносят

λ_j = i(N + 1/2 - j),

(26)

дисперсионные волны.

где j = 1, . . . , N.

Для остальных типов сигналов (см. таблицу)

Используя соотношения (24)-(26), найдем анали-

происходит разделение бризера на отдельные им-

тические выражения для бризера заданного произ-

пульсы. Во временной области выходное поле пред-

вольной комбинацией четырех собственных значе-

ставляет собой один или несколько импульсов, рас-

ний, λ₁, λ₂, λ₃ и λ₄. Такой бризер будет соответство-

пространяющихся с разными групповыми скоро-

вать четырехбитовому сигналу, где старший бит ко-

стями (рис. 5а). В спектральной области интерфе-

дируется величиной λ₁ = 0.5i. Следующие два би-

ренция импульсов приводит к модуляции спектров

(рис. 5б).

Рис. 5. (В цвете онлайн) Форма импульса (а) и спектр

Для каждого из сигналов, заданных в таблице,

выходного поля (б) в зависимости от комбинаций четы-

выходное поле представлено уникальной комбина-

рех собственных значений, составляющих начальный сиг-

цией спектра и импульсов. В настоящее время в ли-

нал. На каждом из отдельных рисунков двоичное число в

ниях передач, работающих на основе НПФ, детек-

рамке показывает четырехбитовое слово (word), задающее

тирование дискретных собственных значений реа-

комбинацию собственных значений и форму начального

лизовано на основе решения прямой задачи рассея-

сигнала при z = 0 (см. таблицу). Интенсивность сигна-

ния (2) [12-14]. Распад многосолитонного бризера

ла нормирована на начальную величину пиковой интен-

в волокне с периодической модуляцией дисперсии с

сивности фундаментального солитона (1000). Моделиро-

последующим детектированием числа импульсов и

вание проводилось на основе НУШ (17) при t0 = 1.135 пс,

спектра представляет собой некоторый подход для

zm = 0.053 км, ϕm = π, β3 = 0, fR = 0, α = 0. Дистанция

распространения z = 0.792 км

оптического детектирования солитонных состояний

в линиях связи на основе НПФ.

456

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

Таблица. Форма сигнала для различных комбинаций четырех собственных значений, заданных числами 0.5i, 1.5i,

2.5i и 3.5i. Каждая из комбинаций соответствует четырехбитовому слову (word)

λ₁, λ₂, λ₃, λ₄

Word

A(τ)R-11

0, 0, 0, 3.5i

0001

ch(7τ)

0, 0, 2.5i, 0

0010

ch(5τ)

54 - 96 ch(2τ) + 60 ch(4τ)

0, 0, 2.5i, 3.5i

0011

15 ch(τ) - 10 ch(3τ) + 6 ch(5τ) - 3 ch(7τ) + ch(9τ)

0, 1.5i, 0, 0

0100

ch(3τ)

10[11 - 18 ch(2τ) + 6 ch(4τ)]

0, 1.5i, 0, 3.5i

0101

15 ch(τ) - 24 ch(3τ) + 12 ch(5τ) - 4 ch(7τ)

8[-2 + 3 ch(2τ)]

0, 1.5i, 2.5i, 0

0110

6 ch(τ) - 3 ch(3τ) + ch(5τ)

15[15 - 16 ch(2τ) + 4 ch(4τ)]

0, 1.5i, 2.5i, 3.5i

0111

-20 ch(τ) + 36 ch(3τ) - 8 ch(5τ) + ch(7τ)

0.5i, 0, 0, 0

1000

ch(τ)

24[3 - 3 ch(2τ) + ch(4τ)]

0.5i, 0, 0, 3.5i

1001

6 ch(τ) - 11 ch(3τ) + 9 ch(5τ)

6[-3 + 2 ch(2τ)]

0.5i, 0, 2.5i, 0

1010

-3 ch(τ) + 4 ch(3τ)

27 - 32 ch(2τ) + 4 ch(4τ)

0.5i, 0, 2.5i, 3.5i

1011

4 ch(τ) - 4 ch(3τ) + ch(5τ)

0.5i, 1.5i, 0, 0

1100

ch(τ)

57 - 48 ch(2τ)

0.5i, 1.5i, 0, 3.5i

1101

8 ch(τ) - 9 ch(3τ)

0.5i, 1.5i, 2.5i, 0

1110

ch(τ)

0.5i, 1.5i, 2.5i, 3.5i

1111

ch(τ)

5. ВЫВОДЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ

ода и фазы модуляции дисперсии волокна. Управле-

ние солитонами может быть реализовано при помо-

Оптическая обработка сигналов не перестает

щи одномодового оптического волокна. Этим пред-

быть актуальной задачей в плане использования в

лагаемая методика выгодно отличается от способов

оптоволоконных линиях связи, устройствах обра-

управления солитонами на основе спектральной или

ботки информации.

временной фильтрации, специального вида диспер-

В настоящей работе показано, что волокно с

сии или нелинейности.

периодическим изменением дисперсии может быть

Периодическая модуляция диаметра волокна мо-

использовано для изменения скоростей солитонов,

жет быть использована для разделения многосоли-

амплитуд и даже их числа. Параметры выходных

тонных импульсов на фундаментальные солитоны,

импульсов могут изменяться в зависимости от пери-

распространяющиеся с разными групповыми скоро-

457

A. И. Конюхов, Е. В. Щуркин, Л. А. Мельников и др.

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

стями. Разделение бризера на импульсы с различны-

Ю. С. Кившар, Г. П. Aгравал, Оптические соли-

ми несущими частотами позволяет создать много-

тоны. Oт световодов к фотонным кристаллам,

частотный источник пикосекундных импульсов для

Физматлит, Москва (2005).

оптических линий связи с гибридным частотно-вре-

A. Hasegawa and T. Nyu, J. Lightwave Technol. 11,

менным (WDM/TDM) [17,18] уплотнением каналов.

395 (1993).

Групповая скорость солитона связана со сдвигом

несущей частоты, который, в свою очередь, опре-

В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков,

Л. П. Питаевский, Теория солитонов: Метод об-

деляется действительной частью собственного зна-

ратной задачи, Наука, Москва (1980).

чения, Re λ_j . Энергия солитона определяется мни-

мой частью собственного значения, Im λ_j . При раз-

В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, ЖЭТФ 61, 118 (1971).

делении бризера на отдельные солитоны происходит

перераспределение энергий солитонов и их несущих

10.

M. I. Yousefi and F. R. Kschischang, IEEE Trans.

частот, что, в свою очередь, отражается на спектре

Inform. Theory 60, 4312 (2014).

собственных значений.

11.

M. I. Yousefi and F. R. Kschischang, IEEE Trans.

Кодирование с использованием собственных зна-

Inform. Theory 60, 4329 (2014).

чений в настоящее время является перспектив-

ным направлением, поскольку позволяет преодо-

12.

M. I. Yousefi and F. R. Kschischang, IEEE Trans.

леть ограничения, связанные с наличием нелиней-

Inform. Theory 60, 4346 (2014).

ной фазовой модуляции сигнала за счет высокочас-

13.

S. K. Turitsyn, J. E. Prilepsky, S. T. Le et al., Optica

тотного эффекта Керра [15]. Однако скорость пе-

4, 307 (2017).

редачи данных ограничена отсутствием оптических

методов обработки солитонных сигналов. Измене-

14.

Z. Dong, S. Hari, T. Gui et al., IEEE Photon. Tech-

ние собственных значений λ_j в волокне с модуля-

nol. Lett. 27, 1621 (2015).

цией дисперсии позволяет приготавливать заданные

15.

S. T. Le, V. Aref, and H. Buelow, Nature Photon. 11,

наборы комплексных чисел λ_j , используемых для

570 (2017).

кодирования оптического сигнала.

Описанные выше результаты демонстрируют

16.

R.-J. Essiambre, G. J. Foschini, G. Kramer, and

возможность управления параметрами солито-

P. J. Winzer, Phys. Rev. Lett. 101. 163901 (2008).

нов волоконно-оптическими методами. Помимо

17.

A. Tamini and M. M. Kakhki, Adv. Comp. Sci.

практических применений волокна с переменной

Internat. J. 5, 73 (2016).

дисперсией представляют новый инструмент для

изучения физики солитонов.

18.

E. Wong, J. Lightwave Technol. 30, 597 (2012).

19.

А. И. Конюхов, П. А. Маврин, Е. В. Щуркин, Изв.

Работа выполнена при поддержке Российским

Саратовского ун-та, сер. Физика 18, 16 (2018).

научным фондом (грант № 17-12-01564).

20.

D.-Y. Liu, B. Tian, and X.-Y. Xie, Laser Phys. 27,

035403 (2017).

ЛИТЕРАТУРА

21.

B. A. Malomed, Soliton Management in Periodic Sys-

tems, Springer, New York (2006).

1. B. E. Захаров, E. A. Кузнецов, УФН 182, 569

(2012).

22.

W. Królikowski, B. Luther-Davies, C. Denz, and

T. Tschudi, Opt. Lett. 23, 97 (1998).

2. Н. Ахмедиев, А. Анкевич, Солитоны. Нелинейные

импульсы и пучки, Физматлит, Москва (2003).

23.

A. Hasegawa and Y. Kodama, Phys. Rev. Lett. 66,

161 (1991).

3. G. I. Stegeman and M. Segev, Science 286, 1518

(1999).

24.

D. Chao-Qing and C. Wei-Lu, Chinese Phys. B 22,

010507 (2013).

4. С. А. Ахманов, B. A. Выслоух, A. C. Чиркин, Оп-

тика фемтосекундных лазерных импульсов, Нау-

25.

D. Mihalache, D. Mazilu, F. Lederer, and Yu. S. Kiv-

ка, Москва (1988).

shar, Phys. Rev. A 79, 013811 (2009).

5. J. K. Jang, M. Erkintalo, S. G. Murdoch, and

26.

F. Lu, Q. Lin, W. H. Knox, and G. P. Agrawal, Phys.

S. Coen, Nature Photon. 7, 657 (2013).

Rev. Lett. 93, 183901 (2004).

458

ЖЭТФ, том 155, вып. 3, 2019

К проблеме генерации и распознавания солитонных состояний...

27. E. A. Головченко, Е. М. Дианов, А. М. Прохоров,

39. K. C. Гочелашвили, A. A. Сысолятин, А. И. Ко-

В. Н. Серкин, Письма в ЖЭТФ 42, 74 (1985).

нюхов и др., Кратк. сообщ. по физ. ФИАН 44, 52

(2017).

28. А. И. Маймистов, Ю. М. Скляров, КЭ 14, 796

(1987).

40. A. I. Konyukhov, M. A. Dorokhova, L. A. Melnikov,

and A. S. Plastun, Laser Phys. Lett. 12, 055103

29. M. Desaix, L. Helczynski, D. Anderson, and M. Lisak,

(2015).

Phys. Rev. E 65, 056602 (2002).

30. S. Wang, X. Tang, and S. Lou, Chaos, Solitons &

41. А. И. Конюхов, М. А. Дорохова, Л. А. Мельников,

Fractals 21, 231 (2004).

А. С. Пластун, КЭ 45, 1018 (2015).

31. J. Pfeiffer, M. Schuster, A. A. Abdumalikov Jr., and

42. S. Sears, M. Soljacic, M. Segev et al., Phys. Rev. Lett.

A. V. Ustinov, Phys. Rev. Lett. 96, 034103 (2006).

84, 1902 (2000).

32. W. Krolikowski and S. A. Holmstrom, Opt. Lett. 22,

43. A. Hause, C. Mahnke, and F. Mitschke, Phys. Rev.

369 (1997).

A 98, 033814 (2018).

33. T. Okamawari, A. Hasegawa, and Y. Kodama, Phys.

44. S. R. Friberg, Opt. Lett. 16, 1484 (1991).

Rev. A 51, 3203 (1995).

45. D. Krylov, L. Leng, K. Bergman et al., Opt. Lett. 24,

34. V. N. Serkin and A. Hasegawa, Письма в ЖЭТФ

1191 (1999).

72, 125 (2000).

46. G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Acad. Press,

35. N. G. R. Broderick, Opt. Express 18, 24060 (2010).

Amsterdam (2013).

36. A. A. Sysoliatin, E. M. Dianov, A. I. Konyukhov et

47. G. Boffetta and A. R. Osborne, J. Comp. Phys. 102,

al., Laser Phys. 17, 1306 (2007).

252 (1992).

37. A. A. Sysoliatin, A. K. Senatorov, A. I. Konyukhov

et al., Opt. Express 15, 16302 (2007).

48. S. Burtsev, R. Camassa, and I. Timofeyev, J. Comp.

Phys. 147, 166 (1998).

38. A. A. Sysoliatin, A. Belanov, A. Konyukhov et al.,

IEEE J. Select. Topics Quant. Electron. 14,

733

49. O. V. Sinkin, R. Holzlöhner, J. Zweck et al., J. Light-

(2008).

wave Technol. 21, 61 (2003).

459