АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2019, том 96, № 10, с. 795-814

УДК 521.172

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВНЕСОЛНЕЧНЫХ ПЛАНЕТНЫХ

СИСТЕМ HD 39194, HD 141399 И HD 160691

¹Уральский федеральный университет им. Первого Президента России Б. Н. Ельцина,

Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 05.03.2019 г.; после доработки 17.04.2019 г.; принята к публикации 29.04.2019 г.

Авторами построена осредненная численно-аналитическая теория движения второго порядка по

массам планет для четырехпланетной задачи. Гамильтониан и уравнения движения даны в координатах

Якоби и записаны в элементах второй системы Пуанкаре. Эксцентрические и облические элементы

Пуанкаре сохранены в уравнениях движения вплоть третьей степени. В работе рассматривается

орбитальная эволюция трехпланетной системы HD 39194 и четырехпланетных систем HD 141399,

HD 160691 (μ Ara). Численное интегрирование уравнений движения проводится для набора начальных

условий, в которых неизвестные и известные из наблюдений с ошибками элементы орбит варьи-

руются в допустимых пределах. Определены диапазоны изменения элементов орбит в зависимости

от начальных условий. Предположение о стабильности наблюдаемых планетных систем позволяет

исключить начальные условия, ведущие к экстремальному росту эксцентриситетов и наклонов орбит.

Выявлены начальные условия, при которых элементы орбит сохраняются малыми на всем интервале

моделирования. Показан способ, позволяющий сузить диапазон возможных значений неизвестных

элементов орбит и определить их наиболее вероятные, с точки зрения стабильности, значения.

DOI: 10.1134/S000462991909007X

1. ВВЕДЕНИЕ

метода заключается в исключении из гамильто-

ниана короткопериодических возмущений, опреде-

ляемых слагаемыми, содержащими средние дол-

Построенная авторами осредненная численно-

готы, что позволяет в дальнейшем существенно

аналитическая теория движения второго порядка

увеличить шаг интегрирования уравнений движе-

по массам планет применяется для исследования

ния. Алгоритм построения осредненного гамильто-

орбитальной эволюции внесолнечных планетных

ниана и уравнений движения в средних элементах

систем. При построении теории движения оску-

рассмотрен авторами в работе [7]. В настоящей

лирующий гамильтониан четырехпланетной задачи

работе используется осредненный гамильтониан,

записывается в системе координат Якоби [1], ко-

построенный с точностью до 2 степени по малому

торая наиболее удобна для использования в рам-

параметру и до 4 степени по эксцентрическим и

ках планетной задачи. Далее строится разложе-

облическим элементам Пуанкаре (которые про-

ние гамильтониана в ряд Пуассона по степеням

порциональны соответственно эксцентриситету и

малого параметра и по каноническим элементам

наклону орбиты). Уравнения движения в средних

второй системы Пуанкаре [2]. В данной системе

элементах построены с точностью до 3 степени

имеется только один угловой элемент — средняя

по указанным элементам орбит. Преобразование

долгота, что позволяет существенно упростить уг-

между оскулирующими и средними элементами

ловую часть разложения [3]. В качестве малого

задается функциями замены переменных. Приме-

параметра задачи выбрано отношение суммы масс

нение построенной теории движения для моде-

планет системы к массе звезды. Алгоритм и свой-

лирования орбитальной эволюции апробировано

ства разложения гамильтониана в оскулирующих

авторами на примере планет-гигантов Солнечной

элементах подробно описаны авторами в работе [4].

системы в работе [8].

Далее проводится осреднение гамильтониана

В работе рассматривается характер орбиталь-

ной эволюции двух внесолнечных четырехпланет-

задачи с помощью метода Хори-Депри [5, 6]. Суть

ных систем HD 141399, HD 160691 (μ Ara) и одной

^*E-mail: perminov12@yandex.ru

трехпланетной системы HD 39194. Элементы ор-

^**E-mail: Eduard.Kuznetsov@urfu.ru

бит внесолнечных планетных систем, получаемые

795

796

ПЕРМИНОВ и др.

из наблюдений, известны с ошибками, некоторые

эксцентриситетов и наклонов орбит — в этих пре-

же элементы, в силу специфики используемых

делах функции сохраняют свои Д’Аламберовские

методов наблюдений, не определяются. В насто-

свойства. В работе [11] показано, что оценки

ящей работе на основе моделирования динами-

Д’Аламберовских радиусов близки к оценкам

ческой эволюции систем HD 39194, HD 141399

радиусов сходимости рядов по эксцентриситетам

и HD 160691 определяются допустимые значения

и наклонам орбит, внутри которых разложения

орбитальных параметров. Все неизвестные и из-

функций в ряды еще сохраняют свои аналитические

вестные с ошибками элементы орбит в планет-

свойства.

ных системах варьируются в допустимых пределах,

что определяет набор всех возможных начальных

условий для численного интегрирования уравнений

2. ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМ.

движения.

ВАРЬИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТ

По результатам моделирования определяются

Все приведенные в данном разделе физиче-

диапазоны изменения элементов орбит в зависи-

ские характеристики звезд и их планетных систем,

мости от начальных условий. Предположение, что

включая массы, элементы орбит и их погрешности,

наблюдаемые планетные системы эволюционируют

взяты в соответствии с каталогом внесолнечных

достаточно долгое время и являются устойчивыми,

планетных систем exoplanet.eu [12].

позволяет исключить начальные условия, приво-

Планетная система звезды HD 39194 открыта

дящие к экстремальному росту эксцентриситетов

по измерениям лучевой скорости (методом допле-

и наклонов орбит, и выявить те, при которых

ровской спектроскопии) в обсерватории Ла Силья

указанные элементы сохраняются малыми на всем

в 2011 г., имеет в составе три супер-Земли [13]

интервале моделирования. Это позволяет сузить

и находится на расстоянии 25.9 пк в созвездии

диапазон возможных значений неизвестных эле-

Столовой Горы. Спектральный класс звезды K0V,

ментов орбит и определить их наиболее вероятные

а видимая звездная величина m_V = 8.08^m. Дан-

значения, при которых система остается стабиль-

ные о массе звезды отсутствуют, поэтому, прини-

ной на длительных интервалах времени.

мая во внимание ее спектральный класс, значение

Уравнения движения численно интегрируются

массы было выбрано равным M_∗ = 0.72M_⊙, где

методом Эверхарта 7 порядка [9] на интервале вре-

M_⊙ — масса Солнца. Кроме того, дополнительно

мени 1 млн. лет с шагом 1000 лет. Начальные усло-

было проведено моделирование для массы M_∗ =

вия для численного интегрирования определяют-

= 0.85M_⊙.

ся следующим образом: барицентрические кепле-

Звезда главной последовательности HD 141399

ровские элементы орбит планет преобразуются в

находится в созвездии Волопаса на расстоянии

элементы Пуанкаре в координатах Якоби, затем

36.17 пк, имеет спектральный класс K0V и види-

с помощью функций замены переменных выпол-

мую звездную величину m_V = 7.2^m. Масса звезды

няется переход к средним элементам. Дальнейшая

M_∗ = (1.07 ± 0.08)M_⊙. В 2014 г. по результатам

эволюция системы рассматривается уже в сред-

обработки данных 10-летних наблюдений лучевой

них элементах. Контроль точности интегрирования

скорости (обсерватория Кека и Ликская обсерва-

проводится сравнением текущего значения энергии

системы с ее начальным значением.

тория) вокруг звезды HD 141399 была обнаружена

система из четырех планет с минимальными масса-

Следует отметить, что применяемая нами тео-

ми порядка массы Юпитера [14].

рия движения позволяет исследовать орбитальную

эволюцию систем с умеренными значениями на-

Звезда HD 160691 находится на расстоянии

клонов и эксцентриситетов орбит. Поэтому, если

15.3 пк в созвездии Жертвенника (μ Ara). Спек-

в процессе моделирования орбитальной эволюции

тральный класс звезды G3 IV-V, видимая звезд-

системы происходит существенный рост эксцен-

ная величина m_V = 5.15^m, масса звезды M_∗ =

триситетов и наклонов, то точные значения эле-

= (1.08 ± 0.05)M_⊙. На данный момент в системе

ментов орбит не могут быть определены в рам-

HD 160691 известно четыре планеты, обнаружен-

ках рассматриваемой теории движения. Можно

ные методом доплеровской спектроскопии. Первая

говорить лишь о том, что качественное поведение

из них (μ Ara b) открыта в 2000 г. на Англо-

эксцентриситетов и наклонов соответствует росту

австралийском телескопе [15]. Наличие второй

вплоть до экстремальных значений. Но поведение

планеты (сейчас она известна как μ Ara e) было

системы после начала подобного роста элементов

подтверждено в 2004 г. [16]. В том же году была

орбит невозможно исследовать количественно в

обнаружена третья планета (μ Ara c) по наблю-

рамках построенной теории движения.

дениям в обсерватории Ла Силья [17]. Далее в

В соответствии с работой

[10] для рядов,

2006 г. двумя независимыми группами [18, 19] была

представляющих уравнения движения, были вы-

предложена модель изменения лучевой скорости

числены значения Д’Аламберовских радиусов для

звезды, включающая еще одну планету (μ Ara d).

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

797

Таблица 1. Известные из наблюдений параметры планетной системы HD 39194

Планета

M sinI, M_J

0.0117 ± 0.001

0.0187 ± 0.00148

0.0162 ± 0.0026

a, а.е.

0.0519 ± 0.0008

0.0954 ± 0.0016

0.172 ± 0.0029

0.2 ± 0.1

0.11 ± 0.006

0.2 ± 0.16

P, сутки

5.6363 ± 0.0008

14.025 ± 0.0051

33.941 ± 0.0353

Таблица 2. Известные из наблюдений параметры планетной системы HD 141399

Планета

M sinI, M_J

0.451 ± 0.03

1.33 ± 0.08

1.18 ± 0.08

0.66 ± 0.1

a, а.е.

0.415 ± 0.011

0.689 ± 0.02

2.09 ± 0.06

5 ± 1.5

0.04 ± 0.02

0.048 ± 0.009

0.074 ± 0.025

0.26 ± 0.22

ω,^◦

270 ± 80

220 ± 40

220 ± 30

350 ± 20

P, сутки

94.44 ± 0.05

201.99 ± 0.08

1069.8 ± 6.7

5000+560-2000

Таблица 3. Известные из наблюдений параметры планетной системы HD 160691

Планета

M sinI, M_J

0.03321

0.5219

1.676

1.814

a, а.е.

0.09094

0.921

1.5 ± 0.02

5.235

0.172 ± 0.04

0.0666 ± 0.0122

0.128 ± 0.017

0.0985 ± 0.0627

ω,^◦

212.7 ± 13.3

189.6 ± 9.4

22 ± 7

57.6 ± 43.7

P, сутки

9.6386 ± 0.0015

310.55 ± 0.83

643.25 ± 0.9

4205.8 ± 758.9

Введение новой планеты позволило уменьшить

апоастре с учетом максимально возможных значе-

значительные на тот момент эксцентриситеты

ний эксцентриситетов не превышает 0.24 а.е.

ранее известных планет.

Определим систему координат, в которой будет

рассматриваться движение планет. В силу произ-

Известные из наблюдений параметры планет-

вольности выбора основной плоскости планетной

ных систем HD 39194, HD 141399 и HD 160691 и

системы определим ее совпадающей в начальный

приведены соответственно в табл. 1, 2 и 3 вместе

момент времени с плоскостью орбиты внутренней

с их погрешностями. Поскольку планеты во всех

планеты для систем HD 39194 и HD 141399. Та-

системах открыты методом доплеровской спектро-

ким образом, в начальный момент наклон орбит

скопии, то для них известны только минималь-

внутренних планет (HD 39194 b и HD 141399 b)

ные значения масс M sin I, приведенные в массах

по определению будет равен 0^◦. Если плоскость

Юпитера M_J, где I — угол наклона плоскости ор-

орбиты совпадает с основной плоскостью, то дол-

биты к картинной плоскости. Кроме того, известны

гота восходящего узла не определена. Поэтому

большие полуоси орбит a, их эксцентриситеты e

для определенности полагаем долготу восходящего

и периоды обращения планет P . Для обеих че-

узла равной 0^◦.

тырехпланетных систем дополнительно известны

В системе HD 160691 самая внешняя планета

аргументы перицентров орбит.

является самой массивной. Очевидно, что в про-

Все планетные системы обладают умеренны-

цессе орбитальной эволюции положение плоско-

ми значениями эксцентриситетов орбит. Следует

сти данной орбиты будет изменяться наименьшим

отметить, что трехпланетная система HD 39194

образом. Поэтому определим основную плоскость

является компактной: расстояние всех планет в

планетной системы HD 160691 совпадающей в

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

798

ПЕРМИНОВ и др.

Таблица 4. Оценки радиусов сходимости рядов, представляющих уравнения движения, по эксцентриситетам

и наклонам орбит планет

Система

HD 39194

HD 141399

HD 160691

Планета

R_e

0.42

0.19

0.34

0.22

0.26

0.15

0.52

0.66

0.15

0.29

0.52

R_i,^◦

начальный момент времени с плоскостью планеты

больших полуосей орбит близки к нулю (подтвер-

HD 160691 e. Положим долготу восходящего узла

ждено оценками функций замены переменных для

орбиты этой планеты равной 0^◦. Наклоны орбит

больших полуосей).

всех оставшихся планет в системах принимаются

равными друг другу и варьируются в диапазоне от

0^◦ до 45^◦ с шагом 5^◦.

3. ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

СИСТЕМЫ HD 39194

Различные пространственные конфигурации

планет на орбитах достигаются варьированием

Для системы HD 39194 построены карты экс-

как долгот восходящих узлов Ω, так и аргументов

тремальных значений элементов орбит в зависимо-

перицентров ω. Для обеих четырехпланетных си-

сти от начальных орбитальных конфигураций пла-

стем долготы восходящих узлов орбит варьируются

нет для различных начальных значений наклонов и

с шагом 90^◦. В системе HD 141399 аргументы

эксцентриситетов. Рассмотрим вначале эволюцию

перицентра первой и второй планет варьируются

системы для значения массы звезды M_∗ = 0.72M_⊙.

с шагом 40^◦ в пределах допустимых значений,

аргумент перицентра третьей планеты — с шагом

На рис. 1, 2 и 3 в качестве примера пред-

ставлены карты максимальных эксцентриситетов

30^◦, для четвертой — не варьируется. В системе

HD 160691 варьируется только аргумент перицен-

и наклонов орбит планет HD 39194 b, c и d со-

тра последней планеты, принимая три значения —

ответственно. Рис. 1 соответствует случаю, когда

минимальное, среднее и максимальное (так как

начальные значения наклонов орбит двух внешних

он известен с большой ошибкой). В системе HD

планет системы c и d равны i₀ = 5^◦. Для случаев,

39194 как аргументы перицентров, так и долготы

представленных на рис. 2 и 3, начальные значения

восходящих узлов варьируются с шагом 45^◦.

наклонов равны i₀ = 10^◦ и i₀ = 15^◦ соответствен-

но. Начальные значения эксцентриситетов орбит

Все эксцентриситеты орбит планет принима-

e_b = 0.2, e_c = 0.11, e_d = 0.2.

ются поочередно равными минимальным, средним

и максимально допустимым значениям в соответ-

На всех рисунках комбинации долгот восходя-

ствии с табл. 1-3.

щих узлов расположены по горизонтали, аргумен-

ты перицентров — по вертикали. Внутри каждого

Массы планет выбираются равными своим ми-

участка с фиксированными значениями долготы

нимальным значениям, без учета погрешности. Ва-

узла Ω_c и аргумента перицентра ω_b указанные

рьирование масс планет проводится только для

элементы орбит остальных планет варьируются во

системы HD 160691, путем изменения наклона ос-

всем диапазоне с шагом 45^◦, что в итоге дает

новной плоскости системы к картинной плоскости.

32768 комбинаций начальных условий.

Большие полуоси орбит не варьируются.

В соответствии с [10, 11] вычислены оценки

Для начальных значений наклонов i₀ = 0^◦, 5^◦

теоретических радиусов сходимости по эксцентри-

характер распределения максимально достижимых

значений эксцентриситетов орбит всех планет ана-

ситетам R_e и по наклонам орбит R_i для рядов,

представляющих уравнения движения планетных

логичен показанному на рис. 1 для всех начальных

систем HD 39194, HD 141399 и HD 160691. Дан-

значений эксцентриситетов. Как видно из рис. 1,

ные оценки приведены в табл. 4. Если значения

области начальных значений, для которых рост

эксцентриситетов и наклонов орбит планет лежат

эксцентриситетов наименьший (или наибольший),

в пределах, указанных в табл. 4, то гарантируется

линейно смещаются вдоль значения аргумента пе-

сходимость рядов уравнений движения и, как след-

рицентра второй планеты (HD 39194 c) с ростом

ствие, применимость построенной теории движе-

долгот узлов второй и третьей планет (c и d). Для

ния в данных условиях. Оценки радиусов сходимо-

начальных значений наклонов i₀ = 10^◦ распреде-

сти получены для номинальных значений больших

ление максимальных значений эксцентриситетов

полуосей и эксцентриситетов орбит, приведенных

принимает характер “решетки”, в “ячейках” кото-

в табл. 1, 2 и 3 при условии, что возмущения

рой рост эксцентриситетов минимален, а в “узлах”

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

802

ПЕРМИНОВ и др.

Таблица 5. Максимально достижимые значения средних эксцентриситетов и наклонов орбит планет системы

HD 39194 для значения массы звезды M_∗ = 0.72M_⊙

i₀,^◦

e₀

e_max

i_max,^◦

e₀

e_max

i_max,^◦

e₀

e_max

i_max,^◦

0.1

0.115-0.178

0.104

0.104-0.107

0.04

0.040-0.122

0.2

0.20-0.39

0.110

0.184-0.27

0.20

0.20-0.22

0.3

0.39-0.62

0.116

0.28-0.44

0.36

0.36-0.41

0.1

0.114-0.198

0.104

0.104-0.135

0.04

0.040-0.123

0.2

0.20-0.41

0.110

0.184-0.28

0.20

0.20-0.26

0.3

0.39-0.64

0.116

0.28-0.45

0.36

0.36-0.42

0.1

0.114-0.26

0.104

0.104-0.167

0.04

0.040-0.147

0.2

0.21-0.47

0.110

0.188-0.31

0.20

0.20-0.28

0.3

0.39-0.68

0.116

0.28-0.47

0.36

0.36-0.43

0.1

0.128-0.49

0.104

0.104-0.29

0.04

0.048-0.26

0.2

0.20-0.59

0.110

0.188-0.38

0.20

0.20-0.34

0.3

0.40-0.79

0.116

0.29-0.50

0.36

0.36-0.47

0.1

0.147-0.66

0.104

0.104-0.41

0.04

0.056-0.36

0.2

0.20-0.75

0.110

0.191-0.47

0.20

0.20-0.41

0.3

0.40-0.95

0.116

0.31-0.58

0.36

0.36-0.53

0.1

0.194-0.87

0.104

0.105-0.54

0.04

0.082-0.49

0.2

0.30-0.96

0.110

0.21-0.60

0.20

0.20-0.51

0.3

0.50-1

>90

0.116

0.30-0.83

0.36

0.36-0.80

0.1

0.42-1

>90

0.104

0.23-0.80

0.04

0.157-0.78

0.2

0.38-1

>90

0.110

0.25-0.83

0.20

0.20-0.77

0.3

0.52-1

>90

0.116

0.34-0.84

0.36

0.36-0.83

0.1

0.47-1

>90

0.104

0.23-0.83

0.04

0.145-0.81

0.2

0.45-1

>90

0.110

0.26-0.85

0.20

0.20-0.84

0.3

0.53-1

>90

0.116

0.39-0.87

0.36

0.36-0.85

0.1

0.40-1

>90

0.104

0.20-0.89

0.04

0.147-0.88

0.2

0.49-1

>90

0.110

0.29-0.91

0.20

0.20-0.88

0.3

0.59-1

>90

0.116

0.39-0.95

0.36

0.36-0.93

0.1

0.20-1

>90

0.104

0.13-0.95

0.04

0.105-0.93

0.2

0.51-1

>90

0.110

0.29-0.97

0.20

0.20-0.95

0.3

0.63-1

>90

0.116

0.40-0.99

0.36

0.36-0.98

начальных значений наклонов и эксцентриситетов,

сделать

вывод,

что существуют комбинации на-

реализуются наименьшие и наибольшие значения

чальных значений долгот восходящих узлов и аргу-

e_max и наибольшие значения i_max. Анализ диапазо-

ментов перицентров, при которых эксцентриситеты

нов значений e_max при i₀ ≥ 25^◦ в табл. 5 позволяет

орбит сохраняют малые и умеренные значения,

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

803

Таблица 6. Сравнение максимально достижимых значений средних эксцентриситетов и наклонов орбит планет

системы HD 39194 для различных масс звезды

i₀,^◦

M_∗, M_⊙

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

0.72

0.20-0.39

0.18-0.27

0.20-0.22

0.85

0.20-0.39

0.18-0.27

0.20-0.25

0.72

0.20-0.41

0.18-0.28

0.20-0.26

0.85

0.20-0.41

0.18-0.28

0.20-0.25

0.72

0.21-0.47

0.19-0.31

0.20-0.28

0.85

0.21-0.47

0.19-0.31

0.20-0.28

0.72

0.20-0.59

0.19-0.38

0.20-0.34

0.85

0.20-0.59

0.19-0.38

0.20-0.34

0.72

0.20-0.75

0.19-0.47

0.20-0.41

0.85

0.20-0.72

0.19-0.46

0.21-0.41

0.72

0.30-0.96

0.21-0.60

0.20-0.51

0.85

0.36-0.91

0.21-0.57

0.20-0.51

0.72

0.38-1

>90

0.25-0.83

0.20-0.77

0.85

0.43-1

0.28-0.67

0.26-0.65

0.72

0.45-1

>90

0.26-0.85

0.20-0.84

0.85

0.46-1

>90

0.26-0.78

0.20-0.76

0.72

0.49-1

>90

0.29-0.91

0.20-0.88

0.85

0.52-1

>90

0.33-0.87

0.21-0.85

0.72

0.51-1

>90

0.29-0.97

0.20-0.95

0.85

0.58-1

>90

0.31-0.94

0.20-0.91

обеспечивая устойчивую динамическую эволюцию

рицентров орбит варьировались с шагом 90^◦ для

системы. Эти области соответствуют условию Ω_c ≈

одного набора начальных значений эксцентрисите-

≈Ω_d.

тов — e_b = 0.2, e_c = 0.11, e_d = 0.2. В табл. 6 дано

сравнение значений e_max и i_max для двух значений

В то же время существуют комбинации началь-

масс звезды — 0.72 и 0.85M_⊙. Из табл. 6 видно, что

ных условий, приводящие к значительному росту

для значений i₀ ≤ 25^◦ максимально достижимые

эксцентриситетов и, возможно, к флипам орбит

значения элементов орбит совпадают для разных

(переходу от прямого движения к обратному). Сле-

значений масс центральной звезды.

дует помнить, что флипы здесь проявляются как

артефакт аналитической теории, поскольку в дан-

ных условиях значения наклонов орбит превышают

4. ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

значения радиусов сходимости рядов уравнений

СИСТЕМЫ HD 141399

движения (табл. 4), внутри которых функции со-

храняют свои аналитические свойства. Реальная

На рис. 4-7 представлены карты максималь-

эволюция системы в этом случае, в том числе и дей-

ных эксцентриситетов орбит планет HD 141399

ствительное наличие флипов, может быть изучена

b (рис. 4), HD 141399 c (рис. 5), HD 141399 d

только численными методами.

(рис. 6) и HD 141399 e (рис. 7). Данные на рис. 4-7

Дополнительно проведено моделирование ор-

соответствуют случаю, когда начальные значения

битальной эволюции системы HD 39194 для зна-

наклонов орбит трех внешних планет системы c, d и

чения массы звезды M_∗ = 0.85M_⊙. При этом зна-

e равны i₀ = 15^◦. Начальные значения эксцентри-

чения долгот восходящих узлов и аргументов пе-

ситетов орбит — e_b = 0.04, e_c = 0.048, e_d = 0.074,

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

806

ПЕРМИНОВ и др.

e_e = 0.26. Как и ранее, комбинации долгот восхо-

(в том числе к возможным флипам орбит). Отме-

дящих узлов орбит расположены по горизонтали,

тим, что для случая i₀ = 45^◦, как следует из табл. 8,

аргументы перицентров — по вертикали.

существуют начальные условия, при которых экс-

центриситет орбиты ближайшей к звезде планеты

Для начальных значений наклонов i₀ ≤ 15^◦

распределение максимально достижимых значений

(HD 160691 c) сохраняет малые значения на всем

эксцентриситетов орбит относительно начальных

интервале моделирования.

значений долгот узлов и перицентров орбит анало-

В табл. 9 приведены максимальные значения

гично показанному на рис. 4-7 для всех начальных

средних эксцентриситетов e_max и наклонов орбит

значений эксцентриситетов. Для значений i₀ ≤ 20^◦

i_max для различных масс планет. Варьирование

области минимального роста наклона орбиты

масс планет происходит через изменение значе-

лежат вблизи равных между собой начальных

ния угла наклона I основной плоскости системы

значений долгот восходящих узлов второй и

к картинной плоскости, входящей в комбинацию

третьей планет (Ω_c ≈ Ω_d). При i₀ ≥ 25^◦ эти области

M sin I, значение которой известно. Данные при-

полностью исчезают.

ведены для начальных значений эксцентрисите-

В табл. 7 в зависимости от начальных усло-

тов орбит e_c = 0.172, e_d = 0.0666, e_b = 0.128, e_e =

вий приведены максимально достижимые на ин-

= 0.0985. Различные значения угла I соответству-

тервале моделирования значения эксцентрисите-

ют следующим массам планет (в массах Юпитера):

тов e_max и наклонов i_max орбит планетной системы

— M_c = 0.038, M_d = 0.603, M_b = 1.935, M_e =

HD 141399. При i₀ ≤ 15^◦ эксцентриситеты орбит

= 2.095 при I = 60^◦;

всех планет сохраняются малыми (или умеренны-

— M_c = 0.066, M_d = 1.044, M_b = 3.352, M_e =

ми для планеты HD 141399 e в случае высокой

= 3.628 при I = 30^◦;

начальной эксцентричности ее орбиты) на всем

— M_c = 0.128, M_d = 2.016, M_b = 6.476, M_e =

интервале времени 1 млн. лет для всех начальных

= 7.009 при I = 15^◦.

условий, что обеспечивает динамическую устойчи-

Из анализа данных в табл. 9 видно, что орбиты

вость планетной системы. При i₀ = 20^◦ эксцен-

двух внешних наиболее массивных планет системы

триситеты орбит могут как сохранять свои малые

(b и e) динамически устойчивы в широком диапа-

значения, так и достигать экстремально больших

зоне масс. Увеличение их масс приводит к тому, что

значений, в зависимости от соответствующих ком-

орбиты первой и второй планет в системе (c и d)

бинаций начальных значений долгот восходящих

становятся менее устойчивыми при значениях i₀ ≤

узлов и аргументов перицентров. В случае i₀ =

≤ 10^◦ — происходит рост эксцентриситетов орбит

= 20^◦ подавляющее большинство начальных усло-

до более высоких значений.

вий приводят к значительному росту эксцентриси-

тета и, возможно, к флипам орбиты ближайшей к

звезде планеты.

6. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ

ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ

5. ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

Осредненный гамильтониан планетной задачи

СИСТЕМЫ HD 160691

во втором приближении можно представить в

координатах Якоби в виде суммы h = h₀ + μh₁ +

В табл. 8 в зависимости от начальных усло-

вий приведены максимально достижимые значения

+ μ²h₂, где h₀ — невозмущенный (кеплеровский)

эксцентриситетов и наклонов орбит планетной си-

гамильтониан задачи, μh₁ — слагаемые первого

стемы HD 160691.

приближения возмущающей функции, μ²h₂ —

Начальное значение наклона орбиты внешней

слагаемые второго приближения возмущающей

планеты системы (HD 160691 e) не варьируется и

функции, μ — малый параметр задачи. В слагае-

равно нулю для всех комбинаций начальных усло-

мых второго приближения естественным образом

вий. Эксцентриситет внутренней планеты системы

возникают знаменатели [7], представляющие собой

линейные комбинации средних частот движения

(HD 160691 c) сохраняет умеренные значения при

планет вида (n_iν_i - n_jν_j)^m, где n_i, n_j ∈ Z, m ∈

i₀ ≤ 10^◦ для всех начальных значений эксцентри-

√

ситетов орбит. При i₀ ≥ 15^◦ для трех внешних пла-

∈ N, ν_k = κ2k/a3k — средняя частота движения

нет системы существуют комбинации начальных

значений долгот восходящих узлов и аргументов

k-той планеты, κ2k — ее гравитационный параметр,

перицентров, при которых эксцентриситеты орбит

a_k — большая полуось орбиты. В случае линейной

сохраняют свои малые и умеренные значения на

соизмеримости средних частот движения планет

всем интервале численного интегрирования. Также

значения некоторых знаменателей становятся

в случае i₀ ≥ 15^◦ существуют начальные условия,

равными нулю (или достаточно близкими к ну-

приводящие к значительному росту эксцентрисите-

лю), что приводит к росту значений слагаемых

та и наклона орбиты ближайшей к звезде планеты

гамильтониана, содержащих данные знаменатели.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

807

Таблица 7. Максимально достижимые значения средних эксцентриситетов и наклонов орбит планет системы

HD 141399

i₀,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

Начальные значения эксцентриситетов: e_b = 0.02, e_c = 0.039, e_d = 0.049, e_e = 0.04

0.024-0.088

0.040-0.058

0.053-0.067

0.038-0.067

0.023-0.088

0.042-0.058

0.053-0.068

0.038-0.067

0.021-0.085

0.040-0.059

0.054-0.068

0.038-0.067

0.020-0.085

0.040-0.079

0.052-0.081

0.038-0.073

0.020-0.90

0.045-0.58

0.055-0.46

0.038-0.47

0.53-1

>90

0.33-0.71

0.22-0.59

0.082-0.61

0.52-1

>90

0.34-0.82

0.153-0.70

0.065-0.73

0.58-1

>90

0.36-0.91

0.185-0.81

0.127-0.84

0.73-1

>90

0.62-0.97

0.56-0.89

0.39-0.90

0.90-1

>90

0.63-1

>90

0.61-0.93

0.36-0.96

Начальные значения эксцентриситетов: e_b = 0.04, e_c = 0.048, e_d = 0.074, e_e = 0.26

0.035-0.112

0.055-0.085

0.081-0.183

0.26-0.28

0.034-0.111

0.055-0.085

0.082-0.184

0.26-0.28

0.033-0.109

0.055-0.085

0.081-0.190

0.26-0.28

0.030-0.117

0.053-0.149

0.087-0.24

0.26-0.30

0.038-0.94

0.060-0.63

0.093-0.51

0.26-0.53

0.56-1

>90

0.34-0.74

0.22-0.62

0.26-0.65

0.60-1

>90

0.41-0.84

0.33-0.72

0.26-0.75

0.71-1

>90

0.44-0.92

0.28-0.82

0.28-0.86

0.61-1

>90

0.39-0.98

0.38-0.89

0.27-0.92

0.73-1

>90

0.37-1

>90

0.29-0.96

>90

0.26-0.98

Начальные значения эксцентриситетов:e_b = 0.06, e_c = 0.057, e_d = 0.099, e_e = 0.48

0.051-0.145

0.073-0.123

0.187-0.35

0.48-0.50

0.050-0.144

0.075-0.125

0.186-0.35

0.48-0.50

0.051-0.143

0.075-0.128

0.184-0.39

0.48-0.50

0.053-0.182

0.076-0.23

0.166-0.43

0.48-0.51

0.074-1

>90

0.094-0.74

0.206-0.63

0.48-0.63

0.55-1

>90

0.35-0.85

0.30-0.69

0.48-0.70

0.60-1

>90

0.31-0.91

0.24-0.80

0.48-0.84

0.61-1

>90

0.50-0.98

0.35-0.85

0.48-0.86

0.85-1

>90

0.68-1

>90

0.55-0.93

0.48-0.97

0.61-1

>90

0.31-1

>90

0.40-0.96

0.48-0.98

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

808

ПЕРМИНОВ и др.

Таблица 8. Максимально достижимые значения средних эксцентриситетов и наклонов орбит планет системы

HD 160691

i₀,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

Начальные значения эксцентриситетов: e_c = 0.132, e_d = 0.0544, e_b = 0.111, e_e = 0.0358

0.018-0.28

0.107-0.25

0.108-0.134

0.038-0.049

0.018-0.28

0.105-0.25

0.108-0.134

0.038-0.050

0.020-0.31

0.079-0.25

0.109-0.136

0.038-0.055

0.028-0.78

0.057-0.46

0.110-0.23

0.039-0.109

0.092-1

>90

0.128-0.66

0.111-0.31

0.039-0.21

0.141-1

>90

0.129-0.81

0.112-0.41

0.039-0.25

0.78-1

>90

0.131-0.82

0.117-0.48

0.039-0.32

0.70-1

>90

0.135-0.96

0.124-0.56

0.038-0.35

0.48-1

>90

0.142-1

>90

0.110-0.65

0.038-0.39

0.064-1

>90

0.153-1

>90

0.110-0.68

0.038-0.31

Начальные значения эксцентриситетов: e_c = 0.172, e_d = 0.0666, e_b = 0.128, e_e = 0.0985

0.050-0.33

0.133-0.29

0.129-0.156

0.101-0.114

0.051-0.33

0.131-0.29

0.129-0.156

0.101-0.114

0.057-0.34

0.093-0.29

0.130-0.165

0.101-0.119

0.061-0.83

0.057-0.51

0.129-0.24

0.102-0.150

0.088-1

>90

0.156-0.68

0.130-0.34

0.102-0.21

0.181-1

>90

0.156-0.84

0.130-0.44

0.102-0.24

0.30-1

>90

0.158-0.86

0.132-0.48

0.102-0.32

0.74-1

>90

0.163-0.95

0.135-0.56

0.101-0.39

0.54-1

>90

0.173-1

>90

0.128-0.65

0.102-0.43

0.116-1

>90

0.189-1

>90

0.125-0.73

0.102-0.46

Начальные значения эксцентриситетов: e_c = 0.212, e_d = 0.0788, e_b = 0.145, e_e = 0.1612

0.081-0.37

0.153-0.33

0.145-0.183

0.164-0.178

0.082-0.37

0.144-0.33

0.145-0.184

0.164-0.179

0.092-0.39

0.105-0.33

0.145-0.20

0.164-0.184

0.095-0.84

0.099-0.60

0.147-0.31

0.164-0.20

0.131-1

>90

0.182-0.73

0.148-0.37

0.164-0.26

0.41-1

>90

0.182-0.86

0.147-0.46

0.164-0.29

0.82-1

>90

0.183-0.88

0.149-0.54

0.165-0.37

0.75-1

>90

0.188-0.98

0.147-0.60

0.165-0.41

0.60-1

>90

0.20-1

>90

0.147-0.67

0.164-0.44

0.197-1

>90

0.22-1

>90

0.142-0.74

0.164-0.44

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

809

Таблица 9. Сравнение максимально достижимых значений средних эксцентриситетов

орбит планет системы

HD 160691 для различных масс планет

i₀,^◦

i,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

e_max

i_max,^◦

0-10

0.17-0.79

0.20-0.52

0.15-0.23

0.11-0.13

0.05-0.50

0.12-0.37

0.13-0.18

0.10-0.12

0.04-0.37

0.10-0.30

0.13-0.17

0.10-0.12

0.18-0.95

>90

0.23-0.52

0.15-0.27

0.11-0.17

0.06-1

>90

0.12-0.53

0.13-0.25

0.10-0.17

0.06-0.80

0.07-0.52

0.13-0.27

0.10-0.16

0.19-1

>90

0.23-0.64

0.15-0.29

0.11-0.17

0.08-1

>90

0.12-0.69

0.13-0.34

0.10-0.20

0.06-1

>90

0.15-0.66

0.13-0.27

0.10-0.23

0.26-1

>90

0.23-0.79

0.15-0.42

0.11-0.25

0.21-1

>90

0.12-0.82

0.13-0.43

0.10-0.27

0.31-1

>90

0.15-0.83

0.13-0.42

0.10-0.27

0.47-1

>90

0.23-0.91

0.15-0.49

0.11-0.33

0.31-1

>90

0.12-0.82

0.13-0.51

0.10-0.34

0.52-1

>90

0.15-0.93

0.13-0.50

0.10-0.32

Таблица 10. Знаменатели, входящие в слагаемые осредненного гамильтониана задачи

m=1

m = 1, 2

(ν_i - 3ν_j )^m

(3ν_i - ν_j )^m

(ν_k)^m

(ν_i - ν_j )^m

(5ν_i - 6ν_j)^m

(6ν_i - 5ν_j )^m

(3ν_i - 5ν_j )^m

(5ν_i - 3ν_j)^m

(ν_i - 2ν_j )^m

(2ν_i - ν_j )^m

(6ν_i - 7ν_j)^m

(7ν_i - 6ν_j )^m

(5ν_i - 7ν_j )^m

(7ν_i - 5ν_j)^m

(2ν_i - 3ν_j )^m

(3ν_i - 2ν_j)^m

(7ν_i - 8ν_j)^m

(8ν_i - 7ν_j )^m

(7ν_i - 9ν_j )^m

(9ν_i - 7ν_j)^m

(3ν_i - 4ν_j )^m

(4ν_i - 3ν_j)^m

(8ν_i - 9ν_j)^m

(9ν_i - 8ν_j )^m

(9ν_i - 11ν_j)^m

(11ν_i - 9ν_j)^m

(4ν_i - 5ν_j )^m

(5ν_i - 4ν_j)^m

(9ν_i - 10ν_j)^m

(10ν_i - 9ν_j )^m

Построенная теория движения предполагает, что

может свидетельствовать о наличии резонанса,

вклад возмущающей функции в значение гамильто-

тем более сильного, чем больше значение данной

ниана в каждом последующем приближении теории

разности. Таким образом, используемая нами

(первом, втором и т.д.) пропорционален малому

теория движения может оказаться неприменимой

параметру задачи μ в соответствующей степени

вблизи резонанса средних движений ввиду экс-

(первой, второй и т.д.). Если разность между

значениями возмущающей функции в первом

тремального роста значений некоторых слагаемых

приближении теории μh₁ и во втором приближе-

гамильтониана. Отметим, что значение малого

нии теории μ²h₂ превышает величину заведомо

параметра для всех рассматриваемых планетных

большую малого параметра, например,

√μ, то это систем выбрано равным μ = 0.001.

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

810

ПЕРМИНОВ и др.

Ввиду усечения рядов, представляющих разло-

жение гамильтониана задачи, до заданных степе-

ней по эксцентрическим и облическим элементам

второй системы Пуанкаре, для исследования орби-

тальной эволюции нами используется конкретная

реализация теории движения для заданного набора

знаменателей. Список знаменателей, входящих в

v_j

слагаемые гамильтониана задачи в рамках насто-

ящей теории движения, приведен в табл. 10. Ин-

дексы средних частот пробегают значения 1 ≤ i <

v_i

j ≤ 4, 1 ≤ k ≤ 4.

Для рассматриваемых планетных систем был

выполнен поиск резонансных областей и опре-

Рис. 8. Геометрическая трактовка критерия № 2.

делены их границы по значениям масс планет и

больших полуосей орбит. Для каждого знаменате-

резонанс. Настоящий критерий введен по следу-

ля в слагаемых гамильтониана задачи проводится

варьирование масс и больших полуосей орбит пла-

ющим соображениям. Разность частот n_iν_i - n_jν_j

нет, средние движения которых входят в линейную

в знаменателе может быть недостаточно мала и

соответствующее слагаемое не будет резонансным.

комбинацию знаменателя. Большие полуоси орбит

планет варьируются в пределах наблюдательных

Квадрат разности (n_iν_i - n_jν_j)² может стать уже

погрешностей (если таковые имеются), приведен-

достаточно малым для этого. На рис. 8 показана

ных в табл. 1, 2 и 3, и принимаются равными своим

геометрическая трактовка данного критерия (кри-

минимальным, средним и максимально возможным

терий № 1 геометрически очевиден). Плоскость

значениям. Массы планет варьируются в диапа-

ν_iν_j является касательной к параболическому ци-

зоне от минимально возможных (см. табл. 1, 2 и

линдру. Пересечение обоих поверхностей проис-

3) до максимально допустимых значений (не более

ходит вдоль прямой ν_i = kν_j, где k = n_j/n_i. Если

13 масс Юпитера — теоретический предел массы

значения частот средних движений лежат на дан-

планеты). Большие полуоси орбит и массы пла-

ной прямой, то это соответствует условию точного

нет, частоты которых не входят в знаменатели, не

резонанса.

варьируются. При оценке значений возмущающей

3. Если критерии 1 и 2 не выполняются, то об-

функции эксцентрические и облические элементы

ласть точного резонанса лежит вне области опре-

орбит принимаются равными своим максимально

деления (варьирования) больших полуосей орбит

допустимым значениям — в определении данных

и масс планет. Далее для всех значений варьи-

элементов [2] тригонометрическая часть прини-

руемых параметров вычисляется величина Δ =



мается равной единице, а массы — максимально

^μh₁/μ²h₂. Случаи, в которых Δ >√μ, объяс-

возможными. Это позволяет дать оценку возмуща-

няются влиянием резонанса в средних движениях

ющей функции сверху.

планет.

Рассмотрим далее критерии поиска резонансов,

Следуя приведенным выше критериям (крите-

связанные со знаменателями.

рии 1 и 2 не выполнялись нигде в области варьиру-

емых параметров), найдены следующие резонанс-

1. Уравнение (n_iν_i - n_jν_j) = 0, где n_i, n_j =

ные соотношения частот в системах HD 141399 и

= const, задает пересечение плоскости z = n_iν_i -

HD 160691, приведенные соответственно в табл. 11

-n_jν_j сплоскостьюz = 0, чтосоответствует усло-

и 12. В первых двух столбцах табл. 11 и 12 ука-

вию резонанса. Если при варьировании масс и

заны значения больших полуосей орбит планет,

больших полуосей орбит и, как следствие, средних

в третьем столбце даны диапазоны масс планет,

частот ν_i, ν_j происходит смена знака величины

приведенные в массах Юпитера M_J , в последнем

n_iν_i - n_jν_j, то это означает переход через точный

столбце приведены соотношения частот, линейные

резонанс.

комбинации которых близки к нулю для указанных

2. Уравнение (n_iν_i - n_jν_j)² = 0, где n_i, n_j =

в предыдущих столбцах параметров.

= const, задает прямую пересечения параболиче-

Для системы HD 141399 в табл. 11 приводится

ского цилиндра z = (n_iν_i - n_jν_j )² и касательной

только одно значение большой полуоси внешней

к нему плоскости z = 0, что соответствует усло-

планеты (минимально возможное с учетом наблю-

вию резонанса. Если при варьировании средних

дательной ошибки), так как для остальных ва-

частот ν_i и ν_j происходит сначала убывание, а

рьируемых значений большой полуоси малые зна-

затем возрастание (или наоборот) величины n_iν_i -

менатели не появляются. Как видно из табл. 11,

− n_jν_j, то это говорит о переходе через точный

для минимальных значений масс планет и средних

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

811

Таблица 11. Положение резонансных областей в планетной системе HD 141399

a_i, а.е.

a_j, а.е.

Диапазоны масс, M_J

ni : nj

i = 1, j = 2 (внутренняя пара планет)

0.404

0.669

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7

1:2

0.689

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7

1 : 1, 1 : 2, 2 : 3

0.709

m₁ = 0.451, m₂ ≈ 13

1 : 1, 1 : 2, 2 : 3

0.415

0.669

m₁ ≤ 7, m₂ ≤ 13 или m₁, m₂ ≈ 13

1:2

m₁ ≥ 7, m₂ = 1.33 или m₁, m₂ ≈ 13

1 : 1, 2 : 3

m₁ ≈ 13, m₂ = 1.33

3:4

0.689

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7

1 : 1, 1 : 2

0.709

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7

1 : 1, 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4

0.426

0.669

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7 или m₁ ≥ 7, m₂ = 1.33

1 : 1, 2 : 3

m₁ ≤ 7, m₂ ≤ 13 или m₁ ≈ 13, m₂ ≥ 7

1:2

0.689

m₁ ≤ 7, m₂ ≤ 13 или m₁, m₂ ≈ 13

1:2

m₁ ≥ 7, m₂ = 1.33

3:4

m₁ ≥ 7, m₂ ≤ 13

1 : 1, 2 : 3

0.709

m₁ = 0.451, m₂ ≥ 7

1 : 2, 3 : 4

i = 3, j = 4 (внешняя пара планет)

2.03

3.5

m₃ = 1.18, m₄ ≈ 7

1 : 1, 2 : 3, 3 : 4, 3 : 5

m₃ = 1.18, m₄ ≥ 7

1 : 2, 1 : 3, 2 : 3

2.09

m₃ = 1.18, m₄ ≈ 7 или m₃ ≥ 7, m₄ ≤ 13

2 : 3, 3 : 4, 3 : 5, 4 : 5

m₃ ≤ 7, m₄ ≥ 7 или m₃ ≈ 13, m₄ ≤ 13

1 : 1, 1 : 2, 1 : 3, 2 : 3

m₃ ≥ 7, m₄ ≥ 7

3 : 4, 5 : 6, 5 : 7

2.15

m₃ = 1.18, m₄ ≈ 13 или m₃ ≥ 7, m₄ ≤ 13

1:2

m₃ ≥ 7, m₄ = 0.66

4:5

m₃ ≥ 7, m₄ ≥ 7

1:3

m₃ ≥ 7, m₄ ≤ 13

2 : 3, 3 : 4, 3 : 5

m₃ ≈ 13, m₄ = 0.66

1:1

значений больших полуосей орбит, для которых

ся численное интегрирование уравнений движения.

проводится интегрирование уравнений движения,

Оценка значения возмущающей функции в первом

малые знаменатели в слагаемых гамильтониана не

приближении μh₁ = -4.484 × 10-7, во втором при-

возникают.

ближении μ²h₂ = -3.218 × 10-8. Вклад слагаемых

В системе HD 160691 для больших полуосей

со знаменателями (ν₂ - 2ν₃) и (ν₂ - 2ν₃)² в значе-

a₂ = 0.921 а.е., a₃ = 1.5 а.е. и для масс планет

ние величины μ²h₂ составляет -3.205 × 10-8.

m₂ = 0.5219M_J , m₃ = 1.676M_J (вторая и третья

планеты) возникает резонанс средних движений

В условиях данного резонанса для несколь-

1 : 2. Данные значения больших полуосей и масс

ких вариантов начальных условий, различающих-

являются номинальными, для которых проводит-

ся значениями долгот восходящих узлов планет,

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

812

ПЕРМИНОВ и др.

Таблица 12. Положение резонансных областей в планетной системе HD 160691

a₂, а.е.

a₃, а.е.

Диапазоны масс, M_J

n₂

: n₃

0.921

1.48

m₂ ≥ 7, m₃ = 1.676

2 : 3, 3 : 5

m₂ ≤ 13, m₃ ≤ 13

1:2

m₂ ≈ 13, m₃ = 1.676

1 : 1, 3 : 4

1.50

m₂ = 0.5219, m₃ ≤ 13 или m₂ ≈ 7, m₃

≤

1:2

или m₂ ≈ 13, m₃ ≤ 13

1:2

m₂ ≥ 7, m₃ = 1.676

2 : 3, 3 : 4, 3

m₂ ≥ 7, m₃ ≤ 13

1:1

m₂ ≈ 13, m₃ = 1.676

4:5

1.52

m₂ = 0.5219, m₃ ≤ 13 или m₂ ≈ 7, m₃

1.676

1:2

m₂ ≥ 7, m₃ = 1.676

1 : 1, 2 : 3, 3

: 4, 3 : 5, 4 : 5

m₂ ≈ 13, m₃ ≈ 7

3:5

m₂ ≈ 13, m₃ ≤ 13

1 : 1, 1 : 2

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

100

125

150

175

200

t, тыс. лет

Рис. 9. Эволюция оскулирующих эксцентриситетов орбит планет системы HD 160691 для начальных значений наклонов

внутренних планет i0 = 5^◦ и начальных значений эксцентриситетов ec = 0.172, ed = 0.0666, eb = 0.128, ee = 0.0985.

Данные численного моделирования.

проведено моделирование орбитальной эволюции с

времени 200 тыс. лет для одного выбранного набо-

использованием численного симплектического ин-

ра начальных условий.

тегратора 4 порядка из набора программ NBI — N-

На рис. 10 показана эволюция средних эксцен-

body integration [20]. Интегрирование проводилось

триситетов орбит в рамках численно-аналитиче-

с шагом 1 сутки на интервале времени 1 млн. лет.

ской теории для тех же начальных условий. Срав-

нение между собой характера эволюции элемен-

На рис. 9 в качестве примера представлены резуль-

тов орбит в обоих рассмотренных случаях поз-

таты эволюции оскулирующих эксцентриситетов

воляет сделать вывод о возможности применения

орбит планет системы HD 160691 на интервале численно-аналитической теории для исследования

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

813

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

100

125

150

175

200

t, тыс. лет

Рис. 10. Эволюция средних эксцентриситетов орбит планет системы HD 160691 для начальных значений наклонов

внутренних планет i0 = 5^◦ и начальных значений эксцентриситетов ec = 0.172, ed = 0.0666, eb = 0.128, ee = 0.0985.

Данные численно-аналитической теории.

орбитальной эволюции в условиях данного резо-

полуосей орбит. Для этого варьированием указан-

нанса. В обоих случаях эволюция эксцентрисите-

ных параметров была проведена оценка знамена-

тов орбит сохраняет свой характер на интервале

телей в слагаемых разложения гамильтониана, и, в

времени 1 млн. лет.

соответствии с выбранными критериями, сделаны

выводы о наличии и границах резонансов средних

Планетная система HD 39194 является нерезо-

движений.

нансной для всех значений варьируемых парамет-

ров.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа выполнена при поддержке Российского

фонда фундаментальных исследований, грант

В работе качественно исследована орбитальная

эволюция трех внесолнечных планетных систем

№ 18-32-00283 мол_а, постановления № 211

HD 39194, HD 141399 и HD 160691 с помощью

Правительства Российской Федерации (контракт

осредненной теории движения на интервале време-

№ 02.A03.21.0006) и Министерства образования

ни 1 млн лет. Численное интегрирование уравнений

и науки Российской Федерации (базовая часть

движения проводилось для различных начальных

государственного задания, РК № AAAA-A17-

значений эксцентриситетов, наклонов, долгот вос-

117030310283-7).

ходящих узлов и аргументов перицентров орбит

планет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

По итогам моделирования орбитальной эволю-

ции выявлены начальные условия, приводящие к

1. К. Мюррей, С. Дермотт Динамика Солнечной

экстремальному росту эксцентриситетов и накло-

системы (М.: ФизМатЛит, 2010).

нов, который может привести планетную систему к

2. М. Ф. Субботин Введение в теоретическую

потере стабильности и разрушению. В противном

астрономию (М.: Наука, 1968).

3. К. Шарлье Небесная механика (М.: Наука, 1966).

случае, если элементы орбит сохраняются малыми,

4. А. С. Перминов и Э. Д. Кузнецов, Астрон. вестник.

то систему можно считать динамически устойчи-

49, 469 (2015).

вой.

5. К. В. Холшевников Асимптотические методы

Показанный в статье способ позволяет опреде-

небесной механики (Л.: Изд-во Лен. ун-та. 1985).

лить наиболее вероятные значения неизвестных из

6. S. Ferraz-Mello, CM&DA 43, 69 (1988).

наблюдений долгот узлов и аргументов перицен-

7. А. С. Перминов и Э. Д. Кузнецов, Астрон. вестник.

тров, а также сузить диапазон возможных значений

50, 450 (2016).

наклонов и эксцентриситетов орбит.

8. А. С. Перминов и Э. Д. Кузнецов, Астрон. вестник.

Для рассмотренных планетных систем выпол-

52, 239 (2018).

нен поиск резонансных областей, определены их

9. E. Everhart, Cel. Mech. 10, 35 (1974).

границы по значениям масс планет и больших

10. К. В. Холшевников, Астрон. журнал. 78, 669 (2001).

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 96

№ 10

2019