Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 5, стр. 141-151
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕГОСЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ЗЕМНОГО ПОЛЮСА
В. В. Перепёлкин a, *, И. В. Скоробогатых a, Мьо Зо Аунг a
a Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия
* E-mail: vadimkin1@yandex.ru
Поступила в редакцию 29.12.2020
После доработки 06.01.2021
Принята к публикации 14.01.2021
Аннотация
Определены приливные деформации в рамках модели вязкоупругой Земли, обусловленные ее движением по инерции вокруг центра масс. Полученные выражения полюсного прилива отличаются от общепринятой модели диссипативными слагаемыми. Эти слагаемые определяются скоростью движения полюса, а не его положением. Проведен анализ динамики движения земного полюса на чандлеровской частоте с учетом полюсного прилива. Показано, что оптимальная аппроксимация параметров полюсного прилива согласно общепринятой модели, не приводит к оптимальной аппроксимации параметров установившегося колебания полюса.
1. Введение. Ранее, до 1970 года, точность измерений не позволяла наблюдать приливные деформации, возникающие из-за переменности центробежного потенциала. Это стало возможным с 1970 г. после создания сверхпроводящего гравиметра, позволяющего регистрировать малые вариации ускорения силы тяжести.
Следствием переменности центробежного потенциала, который определяется не только скоростью осевого вращения, но и положением мгновенной оси вращения в теле Земли, является зависимость геопотенциала от движения земного полюса [1, 2]. Из-за смещения главных осей инерции деформируемой Земли происходит изменение ее центробежных моментов инерции [3]. При этом деформации вязкоупругой мантии сопровождаются диссипацией энергии, что должно приводить к изменению структурных свойств модели полюсного прилива, введением слагаемых, определяемых вариациями центробежных моментов инерции или вариациями коэффициентов тессеральной гармоники геопотенциала [4, 5].
Следствием вязкости мантии Земли является малое смещение полюсного прилива и сдвиг фазы колебаний центробежных моментов инерции относительно колебаний земного полюса. Это смещение достаточно мало. Однако, для исследования движения земного полюса оно представляет значительный интерес и определяет амплитуду необходимого возмущения для поддержания установившегося чандлеровского колебания.
В данной статье для модели вязкоупругой Земли найдены вариации центробежных моментов инерции, вызванные квазипериодическим смещением оси вращения в теле Земли. Рассмотрено их сравнение с моделью, рекомендованной к учету Международной службой вращения Земли (МСВЗ) [1]. Сопоставляются основные свойства теоретического полюсного прилива согласно представленной модели и модели, рекомендованной МСВЗ. Движение земного полюса изучается на основе динамических уравнений Эйлера–Лиувилля с учетом вариаций коэффициентов геопотенциала, обусловленных приливными деформациями мантии Земли. Дан сравнительный анализ динамики движения земного полюса на чандлеровской частоте с учетом предложенной модели полюсного прилива и модели, рекомендованной МСВЗ.
2. Вариации центробежных моментов инерции деформируемой Земли. В работах [7, 8] был рассмотрен один из способов определения вариаций центробежных моментов инерции, вызванных полюсным приливом. Наряду с рассмотренным ранее подходом воспользуемся и другим способом. При тех же предположениях определим деформации вязкоупругого слоя осесимметричной Земли, возникающие при ее движении по инерции вокруг центра масс с помощью модального подхода [9, 10]. Модель Земли в грубом приближении представляет собой вязкоупругое твердое тело, состоящее из центральной части (ядра) и вязкоупругой мантии. При этом считается, что относительные перемещения точек подвижной среды на границе между ядром и мантией отсутствуют, а внешняя граница свободна. Вследствие предположения о малости деформаций мантии Земли будем рассматривать процесс деформирования в квазистатическом приближении.
Вектор упругого смещения задается в цилиндрических координатах, к которым делается переход от декартовых координат, связанных с твердой частью модели Земли (начало координат – центр масс Земли, ось x3 направлена по ее оси симметрии, оси x2 и x1 в экваториальной плоскости, перпендикулярной оси x3).
Вектор перемещения u представим в виде ряда по собственным формам упругих колебаний Земли:
(2.1)
${\mathbf{u}} = \sum\limits_{k.i = 0}^\infty {({{q}_{{ki}}}{{{\mathbf{V}}}_{{ki}}} + {{p}_{{ki}}}{{{\mathbf{W}}}_{{ki}}})} $(2.2)
$\begin{gathered} ({{{\mathbf{V}}}_{{ki}}},{{{\mathbf{V}}}_{{lm}}}) = \int\limits_\Omega {{{{\mathbf{V}}}_{{ki}}}{{{\mathbf{V}}}_{{lm}}}dx = {{\delta }_{{(ki)(lm)}}}} \\ ({{{\mathbf{W}}}_{{ki}}},{{{\mathbf{W}}}_{{lm}}}) = \int\limits_\Omega {{{{\mathbf{W}}}_{{ki}}}{{{\mathbf{W}}}_{{lm}}}dx = {{\delta }_{{(ki)(lm)}}}} \\ ({{{\mathbf{V}}}_{{ki}}},{{{\mathbf{W}}}_{{lm}}}) = 0 \\ \end{gathered} $Здесь символ Кронекера имеет индексы (ki)(lm). В цилиндрических координатах формы запишутся в виде [11]:
Здесь через ${{U}_{{km}}}(\rho ,z)$, ${{V}_{{km}}}(\rho ,z)$, ${{W}_{{km}}}(\rho ,z)$ обозначены коэффициенты в выражениях координат собственных форм, при этом очевидно, что вообще говоря ${{V}_{{km}}}(\rho ,z) \ne \left| {{{{\mathbf{V}}}_{{km}}}} \right|$, ${{W}_{{km}}}(\rho ,z) \ne \left| {{{{\mathbf{W}}}_{{km}}}} \right|$.
Вариации тензора инерции определим из уравнений деформаций, которые согласно [9, 10], можно представить в виде:
(2.3)
$\begin{gathered} {\mathbf{D}} = {\text{diag}}(\nu _{{0m}}^{2},\nu _{{1m}}^{2},\nu _{{1m}}^{2},\nu _{{2m}}^{2},\nu _{{2m}}^{2}) \\ {\mathbf{P}} = ((\omega _{1}^{2} + \omega _{2}^{2} + 2\omega _{3}^{2}){{c}_{{0m11}}} + (\omega _{1}^{2} + \omega _{2}^{2}){{c}_{{0m33}}}, - 2{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}{{b}_{{1m32}}}, \\ \end{gathered} $Здесь ${{\omega }_{1}},\;{{\omega }_{2}},\;{{\omega }_{3}}$ – компоненты вектора мгновенной угловой скорости вращения Земли; $\nu _{{im}}^{2}$ – квадрат частоты собственных колебаний, которая соответствует формам ${{{\mathbf{V}}}_{{im}}},{{{\mathbf{W}}}_{{im}}}$; постоянные коэффициенты ${{c}_{{0m11}}}$, ${{c}_{{0m33}}}$, ${{c}_{{1m13}}}$, ${{c}_{{2m11}}}$, ${{b}_{{1m12}}}$, ${{b}_{{1m32}}}$ определяются геометрией области Ω, то есть фигурой Земли; χ – безразмерный диссипативный коэффициент $\chi \ll 1$; b – положительная константа, такая что χb – время релаксации.
Уравнения (2.3) описывают квазистатические деформации Земли. Предполагается, что свободные колебания уже затухли вследствие вязкого трения. Поэтому в уравнениях опущены инерционные члены со вторыми производными по времени.
Модальные переменные ${{p}_{{km}}},{{q}_{{km}}}$ при k > 2 определяются однородными уравнениями вида (2.3), поэтому в квазистатическом приближении имеем
Решение системы уравнений (2.3) можно представить в виде ряда по степеням χ [11]:
В данной работе ограничимся первым приближением и решение системы (2.3) будем искать в виде:
Используя приближенные выражения для нормальных координат
(2.4)
$\begin{gathered} {{q}_{{1m}}} = - \nu _{{1m}}^{{ - 2}}2{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}{{b}_{{1m32}}} + \chi b\nu _{{1m}}^{{ - 2}}2{{b}_{{1m32}}}({{{\dot {\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}} + {{\omega }_{2}}{{{\dot {\omega }}}_{3}}) \\ {{p}_{{1m}}} = - \nu _{{1m}}^{{ - 2}}2{{\omega }_{1}}{{\omega }_{3}}{{c}_{{1m13}}} + \chi b\nu _{{1m}}^{{ - 2}}2{{c}_{{1m13}}}({{{\dot {\omega }}}_{1}}{{\omega }_{3}} - {{\omega }_{1}}{{{\dot {\omega }}}_{3}}) \\ \end{gathered} $Тензор инерции Земли J = J[u] будет зависеть от вектора перемещений u. Без учета квадратичных членов по u, представим J в виде суммы постоянной и варьируемой частей:
(2.5)
${{J}_{{11}}} = 2\int\limits_\Omega {({{x}_{2}}} {{u}_{2}} + {{x}_{3}}{{u}_{3}}){{\rho }_{0}}dx,\quad {{J}_{{22}}} = 2\int\limits_\Omega {({{x}_{1}}} {{u}_{1}} + {{x}_{3}}{{u}_{3}}){{\rho }_{0}}dx$С учетом (2.4) запишем выражения для центробежных моментов инерции Земли:
(2.6)
$\begin{gathered} {{J}_{{12}}} = {{J}_{{21}}} = \pi \int\limits_{\Omega {\kern 1pt} *} {{{\rho }_{0}}{{r}^{2}}({{U}_{{2m}}} + {{V}_{{2m}}})dx{\kern 1pt} *{{q}_{{2m}}}} \\ {{J}_{{13}}} = {{J}_{{31}}} = 2\pi \int\limits_{\Omega {\kern 1pt} *} {{{\rho }_{0}}{{r}^{2}}{{W}_{{1m}}}dx{\kern 1pt} *{{p}_{{1m}}}} \\ {{J}_{{23}}} = {{J}_{{32}}} = 2\pi \int\limits_{\Omega {\kern 1pt} *} {{{\rho }_{0}}{{r}^{2}}{{W}_{{1m}}}dx{\kern 1pt} *{{q}_{{1m}}}} \\ \end{gathered} $Здесь через dx* обозначено интегрирование по области $\Omega {\kern 1pt} *$, представляющей собой область Ω, взятую после интегрирования по цилиндрической координате φ. Интегралы в выражениях (2.6) являются константами поскольку берутся по неизменной области. Обозначив (аналогично [5]):
(2.7)
$\begin{gathered} {{J}_{{12}}} = {{J}_{{21}}} = {{\rho }_{0}}2{{b}_{{2m12}}}{{q}_{{2m}}} \\ {{J}_{{13}}} = {{J}_{{31}}} = {{\rho }_{0}}2{{b}_{{1m32}}}{{p}_{{1m}}} \\ {{J}_{{23}}} = {{J}_{{32}}} = {{\rho }_{0}}2{{b}_{{1m32}}}{{q}_{{1m}}} \\ \end{gathered} $Наибольшими по величине будут J13, J23, которые, подставив формулы (2.4) в (2.7), можно представить в виде:
(2.8)
${{J}_{{13}}} = a{{\omega }_{1}} + b{{\dot {\omega }}_{1}},\quad {{J}_{{23}}} = a{{\omega }_{2}} + b{{\dot {\omega }}_{2}},\quad a < 0,\quad b > 0$Коэффициенты в (2.8) определяются реологией мантии Земли. Вариации центробежных моментов инерции (2.8) идентичны выражениям, полученным в работе [8]. Учет центробежных моментов инерции (2.8) приводит к наличию малых диссипативных слагаемых в уравнениях движения земного полюса.
3. Оценка параметров модели полюсного прилива. Наибольшим по величине слагаемым из разложения геопотенциала $W$в ряд по сферическим гармоникам является слагаемое ${{W}_{2}}$ [2]:
(3.1)
${{W}_{2}} = \frac{{G{{m}_{E}}R_{E}^{2}}}{{{{R}^{3}}}}\mathop \sum \limits_{m = 0}^2 [{{c}_{{2m}}}\cos m\lambda + {{s}_{{2m}}}\sin m\lambda ]P_{2}^{m}(\cos \theta )$Коэффициенты зональной (при m = 0), тессеральной (при m = 1) и секториальной (при m = 2) гармоник в ${{W}_{2}}$ известным образом выражаются через осевые и центробежные моменты инерции Земли следующим образом [2]:
(3.2)
$\begin{gathered} {{c}_{{20}}} = \frac{{{{J}_{{11}}} + {{J}_{{22}}} - 2{{J}_{{33}}}}}{{2{{m}_{E}}R_{E}^{2}}},\quad {{c}_{{21}}} = \frac{{{{J}_{{13}}}}}{{{{m}_{E}}R_{E}^{2}}},\quad {{s}_{{21}}} = \frac{{{{J}_{{23}}}}}{{{{m}_{E}}R_{E}^{2}}} \\ {{c}_{{22}}} = \frac{{{{J}_{{22}}} - {{J}_{{11}}}}}{{4{{m}_{E}}R_{E}^{2}}},\quad {{s}_{{22}}} = \frac{{{{J}_{{12}}}}}{{2{{m}_{E}}R_{E}^{2}}} \\ \end{gathered} $Зависимость коэффициентов тессеральной гармоники геопотенциала от координат земного полюса xp, yp определяется общепринятой моделью полюсного прилива [1]:
(3.3)
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta {{c}_{{21}}}} \\ {\delta {{s}_{{21}}}} \end{array}} \right] = 1.333 \times {{10}^{{ - 9}}}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{x}_{p}}} \\ {{{y}_{p}}} \end{array}} \right] + 0.0115\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{y}_{p}}} \\ {{{x}_{p}}} \end{array}} \right]} \right){\text{ }}$Изменение центробежных моментов инерции ${{\tilde {J}}_{{13}}}$, ${{\tilde {J}}_{{23}}}$, соответствующие этой модели, согласно (3.3) и (3.2), можно представить в виде:
(3.4)
${{\tilde {J}}_{{13}}} = a{{\omega }_{1}} - c{{\omega }_{2}},\quad {{\tilde {J}}_{{23}}} = a{{\omega }_{2}} + c{{\omega }_{1}},\quad a < 0,\quad c > 0$Выражения (3.4) отличаются от (2.8) диссипативными слагаемыми с коэффициентами b и c. Диссипативные слагаемые в (2.8) приводят к переменному сдвигу фазы полюсного прилива относительно положения полюса, в то время как соответствующие слагаемые из (3.4) приводят к постоянному сдвигу фазы, то есть к “запаздыванию” полюсного прилива на постоянный угол.
Рассмотрим различия выражений (2.8) и (3.4) более подробно. Компоненты ω1, ω2 вектора мгновенной угловой скорости согласно [12, 13] содержат две основные компоненты – чандлеровское колебание и годичное колебание:
(3.5)
$\begin{gathered} {{\omega }_{1}} = {{a}_{{ch}}}\cos {{\alpha }_{{ch}}} + {{a}_{h}}\cos {{\alpha }_{h}} \hfill \\ {{\omega }_{2}} = {{a}_{{ch}}}\sin {{\alpha }_{{ch}}} + {{a}_{h}}\sin {{\alpha }_{h}} \hfill \\ \end{gathered} $Здесь ach, ah – амплитуды чандлеровского и годичного колебаний соответственно, а ${{\alpha }_{{ch}}} = 2\pi Nt + \alpha _{{ch}}^{0}$, ${{\alpha }_{h}} = 2\pi t + \alpha _{h}^{0}$ – их фазы, которым соответствуют чандлеровская (N = 0.843 цикл/год) и годичная (1 цикл/год) частоты.
В уравнениях (3.5) движения полюса перейдем к полярным координатам (амплитуде движения полюса A и полярному углу ψ), используя замену ω1 = Acosψ, ω2 = Asinψ. Амплитуда результирующего движения полюса дается выражением [14]:
(3.6)
$A = \sqrt {a_{{ch}}^{2} + a_{h}^{2} + 2{{a}_{{ch}}}{{a}_{h}}\cos \left( {{{\alpha }_{{ch}}} - {{\alpha }_{h}}} \right)} $Как следует из (3.6) амплитуда полюсного прилива пропорциональна амплитуде колебаний полюса $\sqrt {{{{({{{\tilde {J}}}_{{13}}})}}^{2}} + {{{({{{\tilde {J}}}_{{23}}})}}^{2}}} = \sqrt {{{a}^{2}} + {{c}^{2}}} A$. Таким образом, фазы амплитуды полюсного прилива согласно (3.4) и амплитуды колебаний полюса A не зависят от времени, совпадают и равны $\alpha _{{ch}}^{0} - \alpha _{h}^{0}$. Из (3.3) следует, что сдвиг фазы полюсного прилива по отношению к положению полюса – около 0.65°. От сдвига фазы полюсного прилива зависят параметры возмущения с чандлеровской частотой, необходимого для поддержания наблюдаемого колебания. Кроме того, постоянный сдвиг фазы приводит к линейной системе дифференциальных уравнений движения земного полюса. Для вариаций центробежных моментов инерции, определяемых выражениями (2.8) сдвиг фазы окажется переменной величиной.
Теперь вычислим амплитуду полюсного прилива, описываемого выражениями (2.8):
(3.7)
$\sqrt {{{{({{J}_{{13}}})}}^{2}} + {{{({{J}_{{23}}})}}^{2}}} \approx {{[({{a}^{2}} + {{\left( {b\pi (N + 1)} \right)}^{2}}){{A}^{2}} - 4ab\pi (N - 1){{a}_{{ch}}}{{a}_{h}}\sin \left( {{{\alpha }_{{ch}}} - {{\alpha }_{h}}} \right)]}^{{1/2}}}$Как следует из (3.7), фаза амплитуды полюсного прилива будет сдвинута по отношению к фазе амплитуды колебаний полюса.
Предположим, что наблюдаемый полюсный прилив описывается выражениями (2.8), а (3.4) является оптимальной в среднеквадратическом смысле аппроксимацией наблюдаемого полюсного прилива с известными параметрами a и c. Для сравнения установившихся режимов колебания полюса при различных моделях полюсного прилива (2.8) и (3.2) необходимо оценить коэффициент b. Для этого найдем наименьшее отклонение модели (2.8) от модели (3.4):
(3.8)
$\sigma = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \frac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {{{{({{J}_{{13}}} - {{{\tilde {J}}}_{{13}}})}}^{2}}dt} \to \mathop {\min }\limits_b $Используя (3.5) выражения (2.8) перепишем в следующем виде:
(3.9)
$\begin{gathered} \, - b\pi \left( {N - 1} \right)\left[ {(\xi + 1){{a}_{{ch}}}\sin {{\alpha }_{{ch}}} - (\xi - 1){{a}_{h}}\sin {{\alpha }_{h}}} \right] \\ {{J}_{{23}}} = a{{\omega }_{2}} + b\pi \left( {(1 + \xi )N + 1 - \xi } \right){{\omega }_{1}} + \\ \end{gathered} $Введенный в (3.9) параметр ξ позволяет в условии (3.9) минимизацию по параметру b заменить минимизацией по параметру ξ.
Теперь неизвестный коэффициент b можно найти из соответствия коэффициентов при ω2 в выражениях (3.8) и (3.4), которое приводит к равенству $c = b\pi \left( {(1 + \xi )N + 1 - \xi } \right)$. Величина σ после предельного перехода в (3.8) оказывается независимой от параметров t, T, а оптимальное значение $\xi {\kern 1pt} *$ будет найдено из (3.8). Тогда неизвестный коэффициент b найдем из уравнения $c = b\pi \left( {(1 + \xi {\kern 1pt} *)N + 1 - \xi {\kern 1pt} *} \right)$.
Подставляя в условие (3.8) выражения ${{J}_{{13}}}$, ${{J}_{{23}}}$ из (3.9) и ${{\tilde {J}}_{{13}}}$, ${{\tilde {J}}_{{23}}}$ из (3.4) с учетом $c = b\pi \left( {(1 + \xi )N + 1 - \xi } \right)$ функция $\sigma $ окажется квадратичной по параметру ξ, минимум которой достигается при ξ*. Как следует из расчетов $\xi {\kern 1pt} * = 0.18$. Теперь, приближенно можно определить отношение ${b \mathord{\left/ {\vphantom {b a}} \right. \kern-0em} a} \cong 0.002$, которое в пределах принятой точности определения коэффициентов из (3.3), выполняется и для ξ = 0. Используя это значение найдем из (3.7) сдвиг фазы амплитудной модуляции, который составляет примерно 18 часов.
Для иллюстрации сдвига фазы амплитудной модуляции полюсного прилива приведем на рис. 1 сравнение графиков амплитуды A полюса, амплитуд Apt, ${{\tilde {A}}_{{pt}}}$ полюсного прилива согласно моделям (2.8) и (3.4) соответственно (сплошные линии) и приближенной амплитуды (3.7) (пунктирная линия). По оси ординат на графике отложена обезразмеренная амплитуда, достигающая максимума при значении 2.2 и минимума при значении 0.2. По оси абсцисс отложено время в годах. На графике показано расхождение в фазе амплитудных модуляций в окрестности минимума амплитуды. Для улучшения наглядности на графиках рис. 1 отношение b/a было увеличено в 10 раз. Так как фазовый сдвиг приближенно пропорционален отношению b/a, что следует из выражения (3.7), то запаздывание амплитудной модуляции окажется увеличенным в 10 раз.
Сравнение амплитуд Apt полюсного прилива модели (2.8) при различных параметрах ξ ($\xi = 1$, $\xi = 0$, $\xi = - 1$) показано на рис. 2 . Из рисунка видно, что среднее значение сдвига фазы амплитуды Apt относительно амплитуды A колебаний полюса существенно больше отклонения фазы при изменении параметра $ - 1 \leqslant \xi \leqslant 1$. Если $\left| \xi \right| > 1$, то среднеквадратическое отклонение в (3.9) становится больше минимального более, чем в два раза и увеличивается по квадратичному закону при увеличении $\xi $.
Таким образом, отличие реального полюсного прилива от рекомендуемой модели (3.3) приведет к сдвигу амплитуды полюсного прилива.
4. Установившиеся чандлеровские колебания земного полюса. Рассмотрим как влияет выбор модели полюсного прилива на стационарный режим чандлеровских колебаний. Согласно [12, 13] модель движения полюса может быть получена из динамических уравнений Эйлера–Лиувилля с переменным тензором инерции
(4.1)
$J{\mathbf{\dot {\omega }}} + {\mathbf{\omega }} \times J{\mathbf{\omega }} = {\mathbf{M}} - \dot {J}{\mathbf{\omega }}$Здесь J – матрица переменного тензора инерции.
В первом приближении уравнения движения полюса представляются в виде [12]:
(4.2)
$\begin{gathered} {{{\dot {x}}}_{p}} - {{N}_{x}}{{y}_{p}} = - j_{{qr}}^{0} + {{\mu }_{x}},\quad {{x}_{p}}({{t}_{0}}) = {{x}_{0}} \\ {{{\dot {y}}}_{p}} + {{N}_{y}}{{x}_{p}} = - j_{{pr}}^{0} + {{\mu }_{y}},\quad {{y}_{p}}({{t}_{0}}) = {{y}_{0}} \\ \end{gathered} $Рассмотрим вначале установившийся режим чандлеровских колебаний с учетом диссипативных слагаемых в $j_{{pr}}^{0}$, $j_{{qr}}^{0}$ вида (3.4) и при возмущении только с чандлеровской или близкой к ней частотами:
(4.3)
$\begin{gathered} {{\mu }_{x}} = {{\mu }_{{ch}}}\sin ({{N}_{1}}t + {{\delta }_{{ch}}}),\quad {{\mu }_{y}} = {{\mu }_{{ch}}}\cos ({{N}_{1}}t + {{\delta }_{{ch}}}) \\ j_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{s}_{2}}{{y}_{p}},\quad j_{{pr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} - {{s}_{2}}{{x}_{p}} \\ \end{gathered} $Положительные коэффициенты s1, s2 пропорциональны коэффициентам из (3.3), т.е. ${{s}_{2}}{\text{/}}{{s}_{1}} = c{\text{/}}a$. В такой постановке задачи ${{N}_{1}} = 2\pi N$ – наблюдаемая чандлеровская частота.
Перейдя к новым переменным
запишем амплитуду A и поправку в частоту $\Delta \psi $ в стационарном режиме при N1 = N:(4.4)
$A = {{\mu }_{{ch}}}{{(s_{1}^{2} + s_{2}^{2})}^{{ - 1/2}}},\quad {\text{tg}}\Delta \psi = {{s}_{2}}s_{1}^{{ - 1}}$Так как определяемой из наблюдений является частота N1, введем $\tilde {N} \cong {{N}_{x}} \approx {{N}_{y}}$. В предельном случае при устремлении N1 к $\tilde {N} - {{s}_{1}}$ чувствительность амплитуды стационарного режима к коэффициенту s2 будет возрастать и достигнет максимума.
Для приливных выступов вида (2.8)
(4.5)
$j_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{s}_{3}}{{\dot {x}}_{p}},\quad j_{{pr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} + {{s}_{3}}{{\dot {y}}_{p}}$Теперь рассмотрим установившиеся чандлеровские колебания в более общем случае – при учете возмущений с близкой к чандлеровской N1 и годичной ${{\nu }_{h}}$ частотами:
Приливные выступы вида $\begin{array}{*{20}{c}} {j_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{s}_{3}}{{{\dot {x}}}_{p}},}&{j_{{pr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} + {{s}_{3}}{{{\dot {y}}}_{p}}} \end{array}$ в уравнениях движения полюса (4.2) можно приближенно заменить выражениями
(4.6)
$\tilde {j}_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{\tilde {s}}_{3}}{{y}_{p}},\quad \tilde {j}_{{pr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} - {{\tilde {s}}_{3}}{{x}_{p}}$Из соотношений $c = b\pi \left( {(1 + \xi )N + 1 - \xi } \right)$ и ${{s}_{3}}{\text{/}}{{s}_{1}} = b{\text{/}}a$ при ξ = 0 коэффициент s2 выражается через s3:
Из (4.7) можно оценить коэффициент ${{\tilde {s}}_{3}}$:
Соотношение (4.9) показывает что, применение модели движения полюса в рамках общепринятой модели полюсного прилива может приводить к искажению параметров установившегося чандлеровского колебания. Например, если движение полюса находится интегрированием дифференциальных уравнений (4.2) по известной правой части. Причем амплитуда колебаний зависит не только от выбора модели полюсного прилива, но и от длительности интервала оценки коэффициента диссипативного слагаемого.
На рис. 3 приводится разность $\Delta {{x}_{p}}$, $\Delta {{y}_{p}}$ установившихся движений полюса, полученных в результате интегрирования уравнений (4.2) при учете выражений полюсного прилива (2.8) и (3.4). Величины μx, μy были найдены из уравнений (4.2), используя аппроксимацию данных наблюдений МСВЗ движения полюса с помощью выражений вида (3.5) на временном интервале с 2010 по 2017 гг. Из графика следует, что разности Δxp, Δyp обусловлены в основном различием в амплитудах чандлеровской компоненты решений. Если сделать замену $j_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{\tilde {s}}_{3}}{{y}_{p}},$ $j_{{qr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} - {{\tilde {s}}_{3}}{{x}_{p}}$ с учетом (4.9) вместо $j_{{pr}}^{0} = {{s}_{1}}{{x}_{p}} - {{s}_{3}}{{\dot {x}}_{p}},$ $j_{{qr}}^{0} = - {{s}_{1}}{{y}_{p}} + {{s}_{3}}{{\dot {y}}_{p}}$, то в разностях Δxp, Δyp останется только годичное колебание (рис. 4 ). Из-за того, что разность между чандлеровской и годичной частотами не мала, амплитуда годичного колебания в Δxp, Δyp оказывается малой. При этом, как показано на рис. 3 , амплитуда разности чандлеровского колебания двух моделей с учетом выражений полюсного прилива (2.8) и (3.4) достигает 10% по отношению к амплитуде наблюдаемого чандлеровского колебания, что является весьма существенным. В то время как невязка колебаний, вычисленных по моделям с учетом (4.5) и (4.6) содержит только годичную компоненту амплитуда которой не превышает 0.5% по отношению к амплитуде годичного колебания полюса. Таким образом, поправка в коэффициенте модели полюсного прилива (4.9) приводит к оптимальной аппроксимации чандлеровского колебания. Однако, как следует из рис. 1 и рис. 2 сдвиг амплитудной модуляции в этом случае учтен не будет и разность Δxp, Δyp, показанная на рис. 4 является следствием неучета сдвига амплитудной модуляции полюсного прилива.
Таким образом, если диссипативные слагаемые полюсного прилива определяются не положением полюса, а его скоростью, то оптимальная аппроксимация параметров полюсного прилива, описываемого общепринятой моделью, не приводит к оптимальной аппроксимации параметров установившегося колебания полюса.
5. Выводы. Показано, что для модели вязкоупругой Земли полюсный прилив зависит от координат полюса и от его скорости. Это приводит к сдвигу фазы (запаздыванию) амплитуды полюсного прилива относительно амплитуды колебаний полюса. Изменение структуры модели полюсного прилива в свою очередь влияет на оценку параметров установившегося чандлероского колебания, а ошибка определения амплитуды установившегося чандлеровского колебания может достигать 10%. То есть, аппроксимация параметров полюсного прилива, описываемого общепринятой моделью, не приводит к оптимальной аппроксимации параметров установившегося колебания полюса.
Корректировка установившегося чандлеровского колебания может быть выполнена изменением диссипативных слагаемых общепринятой модели полюсного прилива в уравнениях движения полюса. Однако, сдвиг амплитудной модуляции полюсного прилива в этом случае учтен не будет, что приведет к некоторому изменению амплитуды годичного колебания (на 0.5%).
Список литературы
International Earth Rotation and Reference Systems Service – IERS Annual Reports (http://www.iers.org).
Munk W.H., MacDonald G.J.F. The Rotation of the Earth. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1960. = Манк У., Макдональд Г. Вращение Земли. М.: Мир, 1964. 384 с.
Филиппова А.С. Динамический анализ колебательного процесса полюса Земли // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 6. С. 26–38.
Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Кумакшев С.А. Основные свойства и особенности движения Земли относительно центра масс // Доклады РАН. 2014. Т. 458. № 5. С. 547–550.
Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Крылов С.С. Колебания полюса Земли с учетом флуктуационно-диссипативных возмущений // Доклады РАН. 2016. Т. 471. № 6. С. 665–670.
Марков Ю.Г., Михайлов М.В., Перепёлкин В.В., Почукаев В.Н., Рожков С.Н., Семенов А.С. Анализ влияния различных возмущающих факторов на высокоточный прогноз орбит космических аппаратов // Космические исследования. 2016. Т. 54. № 2. С. 164–172.
Егармин Н.Е. Влияние упругих деформаций на тензор инерции твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 1980. № 6. С. 43–48.
Акуленко Л.Д., Перепелкин В.В. Движение земного полюса при нестационарных возмущениях // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 5. С. 142–149.
Марков Ю.Г., Миняев И.С. О влиянии внутренних степеней свободы на движение осесимметричного упругого тела вокруг центра масс // Изв. РАН. МТТ. 1991. № 1. С. 12–18.
Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В., До Чунг Бо О влиянии упругих деформаций на поступательно-вращательное движение тела в центральном гравитационном поле сил // Космонавтика и ракетостроение. 2015. № 1 (80). С. 106–113.
Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1986. 192 с.
Климов Д.М., Акуленко Л.Д., Шматков А.М. Разделение и спектральный анализ колебаний земного полюса // Доклады РАН. 2015. Т. 464. № 3. С. 288–292.
Кумакшев С.А. Гравитационно-приливная модель колебаний земного полюса // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 2. С. 48–53.
Акуленко Л.Д., Климов Д.М., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В. Колебательно-вращательные процессы в движении Земли относительно центра масс: интерполяция и прогноз // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 6. С. 6–29.
Global Geodynamic Project (http:// isdc.gfz-potsdam.de)
Hu X.-G., Liu L.-T., Ducarme B., Xu H.J. and Sun H.P. Estimation of the pole tide gravimetric factor at the chandler period through wavelet filtering // Geophys. J. Intern. 2007. V. 169. P. 821–829. https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.2007.03330.x
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела