Коллоидный журнал, 2023, T. 85, № 1, стр. 3-18

ВВЕДЕНИЕ

Около сорока лет назад появилась первая статья об электромагнитном излучении осциллирующей капли воды [1]. С тех пор опубликовано много статей на эту тему, см., например, [2], а основная идея расчета использована и для расчета акустического излучения от осциллирующей капли [3, 4]. Основная идея расчета проста для восприятия: ускоренно движущиеся заряды излучают электромагнитные волны. Заряд капли идеально электропроводной жидкости находится на поверхности капли и при осцилляциях ее поверхности двигается с ускорением и, следовательно, излучает электромагнитные волны Частота осцилляций, как показывают расчеты, становится комплексной [1]. Вещественная часть комплексной частоты определит частоту осцилляций капли, а мнимая часть – потери энергии при осцилляциях. А так как в капле идеальной жидкости не может быть потерь энергии кроме как на излучение, то декремент затухания осцилляций определит интенсивность излучения.

Изложенная выше идея и положена в основу расчета интенсивности акустического излучения заряженной капли, подвешенной в суперпозиции гравитационного и электростатического полей. Накладываемое требование нахождения заряженной капли в условиях электростатического подвеса не приводит к ограничению общности рассмотрения, поскольку капли естественного происхождения (т.е. капли облаков и туманов) a priory существуют в условиях подвешивания в суперпозиции гравитационного и электростатических полей (внутриоблачного или приземного). В искусственных условиях со времен Милликена [5–8] с такими каплями приходится иметь дело в электростатических подвесах, в экспериментах по получению высокочистых веществ и прецизионному измерению величины коэффициента поверхностного натяжения или при проверке критерия электростатической неустойчивости Релея.

ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть имеется изолированная заряженная капля идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ${{\rho }_{1}}$. Примем, что капля неподвижно висит в суперпозиции коллинеарных полей: электростатического ${{\vec {E}}_{0}}$ (внутриоблачного или приземного, однородного хотя бы в малой окрестности капли) и гравитационного $\vec {g}$ полей. Принимая центр масс капли неподвижным, внешнее электростатическое поле ${{\vec {E}}_{0}}$ направим в сторону противоположную гравитационному полю $\vec {g}$. Положим, что исходная капля является равновеликой по объему сфере радиуса $R$. Для идеально проводящей жидкости заряд капли $Q$ равномерно распределен по ее поверхности. В качестве внешней среды примем идеальную сжимаемую диэлектрическую среду с плотностью ${{\rho }_{2}}$ и диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{{{\text{ex}}}}}$, в которой звук распространяется со скоростью $\upsilon $. Коэффициент межфазного поверхностного натяжения $\sigma $.

Согласно [9–12] электрическое поле вызывает деформацию исходной сферической формы: капля с осью симметрии z, направленной параллельно электрическому полю ${{\vec {E}}_{0}}$, принимает форму, близкую к вытянутому вдоль ${{\vec {E}}_{0}}$ сфероиду. В качестве малого параметра, характеризующего отклонение сфероидальной поверхности от сферы, примем квадрат эксцентриситета сфероидальной капли ${{e}^{2}} = 9w{\text{/}}\left( {1 - W} \right)$ [12], где величина параметра Релея $W = {{Q}^{2}}{\text{/}}64{{\pi }^{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{{{\text{ex}}}}}{{R}^{3}}\sigma $ характеризует электрогидродинамическую устойчивость капли по отношению к собственному заряду [5], а величина параметра Тейлора $w = {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{{{\text{ex}}}}}E_{0}^{2}R{\text{/}}4\sigma $ определяет устойчивость капли по отношению к зарядам, индуцированым внешним электростатическим полем [13].

Для оценки порядка малости ${{e}^{2}}$ отметим, что размеры одиночных капель в жидкокапельных системах естественного происхождения (туманы, облака, дождь) изменяются от единиц микрометров до единиц миллиметров. Принимая, что средние электрические характеристики рассматриваемых капель $Q = 1 \times {{10}^{{ - 14}}}$ Кл, ${{E}_{0}} = 50$ В/см, получим диапазон возможного изменения величины малого параметра ${{e}^{2}}$ от $9 \times {{10}^{{ - 9}}}$ (при $R = 1$ мкм) до $2 \times {{10}^{{ - 5}}}$ (при $R = 3.5$ мм).

В виду теплового движения молекул жидкости равновесная поверхность капли возмущается осцилляциями весьма малой амплитуды $\left| \xi \right|\sim \sqrt {\kappa T{\text{/}}\sigma } $, где $\kappa $ – постоянная Больцмана, $T$ – абсолютная температура [4]. Для любых жидкостей, включая жидкие металлы, оценки показывают, что тепловая амплитуда осцилляций не превосходит 1 Å. Однако при наличии внешних силовых воздействий типа обтекания капли потоком воздуха при падении капли дождя или восходящим потоком для облачной капли амплитуда капиллярных осцилляций $\left| \xi \right|$ может увеличиваться до десятков процентов от радиуса капли [15, 16]. Величина отношения амплитуды $\left| \xi \right|$ к равновесному радиусу $R$ образует малый параметр $\varepsilon \equiv \left| \xi \right|{\text{/}}R \ll 1$. В дальнейшем при проведении численных оценок будем принимать $\varepsilon = 0.1$. В этой связи обсуждаемая задача содержит два независимых малых параметра $\varepsilon $ и ${{e}^{2}}$ различных порядков величины, причем: ${{e}^{2}} \ll \varepsilon $.

Математическую постановку и решение задачи проведем в сферической системе координат $\left( {r,\;\theta ,\;\varphi } \right)$, начало которой совпадает с положением центра масс равновесной капли. Для упрощения последующих вычислений воспользуемся осесимметричной постановкой, и в сферических функциях будем опускать зависимость от азимутальной координаты $\varphi $.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Уравнение, задающее возмущенную поверхность капли в любой момент времени $t$, запишем в виде:

где $r(\theta )$ – равновесная сфероидальная форма капли, $\xi (\theta ,t)$ – волновое возмущение, порождаемое тепловыми осцилляциями капли: $\max \left| \xi \right| \ll R$.

Положим движения жидкости в капле и во внешней среде безвихревыми с малыми амплитудами: ${\text{rot}}\;{{\vec {V}}_{j}}(r,\theta ,t) = 0_{{}}^{{}}$. Тогда поле скоростей ${{\vec {V}}_{j}}(r,\theta ,t)$ внутри ($j = 1$) и вне капли ($j = 2$) определяется градиентами потенциалов ${{\psi }_{j}}(r,\theta ,t)$: ${{\vec {V}}_{j}}(r,\theta ,t) = \nabla {{\psi }_{j}}(r,\theta ,t)$ [17]. Отметим, что возмущение границы раздела внутренней и внешней сред $\xi (\theta ,t)$, поля скоростей ${{\vec {V}}_{j}}(r,\theta ,t)$, гидродинамических потенциалов ${{\psi }_{j}}(r,\theta ,t)$ и давления ${{P}_{j}}(r,\theta ,t)$ являются величинами первого порядка.

Обозначим потенциал электростатического поля в окрестности капли $\Phi (r,\theta )$. Он связан с напряженностью электрического поля ${{\vec {E}}_{0}}$ соотношением ${{\vec {E}}_{0}} = - \nabla \Phi (r,\theta )$. Постоянный потенциал поверхности капли обозначим ${{\Phi }_{s}}(t)$.

Математическая модель решаемой задачи, описывающая капиллярные осцилляции заряженной капли, находящейся в однородных электростатическом и гравитационном полях, имеет вид:

Потребуем также выполнения дополнительных интегральных условий: неизменности объема, отсутствия движения центра масс капли и сохранения ее полного заряда:

В этих выражениях ${{\varepsilon }_{0}}$ – электродинамическая постоянная, $k = \frac{{\operatorname{Re} {{\omega }_{n}}}}{\upsilon }$ – волновое число, ${{P}_{j}}$ – давления внутри ($j = 1$) и вне капли ($j = 2$), ${{P}_{{0j}}}$ – постоянные давления в капле и среде, ${{P}_{{QE}}}$ – давление электрического поля на поверхность идеально проводящей капли, ${{P}_{g}}$ – давление поля силы тяжести, ${{P}_{\sigma }}$ – капиллярное (лапласовское) давление, $\vec {n}$ – единичный вектор положительной нормали к поверхности капли $F\left( {r,\theta ,t} \right) = r - r\left( \theta \right) - \xi \left( {\theta ,t} \right) = 0$, вычисляемый в общем случае соотношением $\vec {n}\left( {r,\theta ,t} \right) = \nabla F{\text{/}}\left| {\nabla F} \right|$.

Решение задачи (2)–(10) будем искать классическими методами теории возмущений в линейном приближении по малому параметру $\varepsilon $ [18]. В рамках метода прямого разложения искомые величины $\xi (\theta ,t)$, ${{\psi }_{j}}(r,\theta ,t)$, $\Phi (r,\theta ,t)$, а также давления ${{P}_{j}}\left( {r,\theta ,t} \right)$, ${{P}_{{QE}}}\left( {r,\theta ,t} \right)$, ${{P}_{g}}$, ${{P}_{\sigma }}\left( {r,\theta ,t} \right)$ в динамическом граничном условии (7), представим в виде асимптотических разложений:

где верхний индекс “0” относится к величинам, имеющим нулевой порядок по $\varepsilon $, и обозначает равновесное состояние системы, а верхний индекс “1” соответствует величинам первого порядка по $\varepsilon $, возникающих из-за возмущения равновесной поверхности капли.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ ПО $\varepsilon $

Подставляя данные разложения в исходную систему уравнений (2)–(10) и собирая слагаемые $\sim {\kern 1pt} {{\varepsilon }^{0}}$, выделим задачу нулевого порядка по безразмерной амплитуде осцилляций $\varepsilon $:

имеющую решение:

где уравнение (19) является условием неподвижности центра масс заряженной капли, находящейся в коллинеарных гравитационном и электростатическом полях.

В выше записанных выражениях ${{P}_{n}}\left( \mu \right)$ – полином Лежандра порядка $n$ ($n$ – целое число) [19], $h(\theta )$ – функция, характеризующая отклонение равновесной поверхности от исходной сферической, $\Phi _{s}^{{\left( 0 \right)}}$ – постоянное значение электрического потенциала вдоль невозмущенной поверхности, ${{\vec {n}}_{0}}(r,\theta )$ – единичный вектор нормали к поверхности вытянутого вдоль поля равновесного сфероида, ${{\vec {e}}_{r}}$, ${{\vec {e}}_{\theta }}$ – радиальный и полярный орты сферических координат.

Уравнение (18) показывает, что в линейном по квадрату эксцентриситета ${{e}^{2}}$ приближении равновесная форма поверхности капли описывается вытянутым в направлении электрического поля сфероидом. При этом наличие собственного заряда $Q$ на капле приводит к увеличению величины ее эксцентриситета (в отличие от незаряженной капли в электрическом поле).

Выражение (16) для равновесного электрического потенциала представляет суперпозицию электрических потенциалов в окрестности заряженного сфероида и вблизи незаряженного сфероида, расположенного во внешнем электрическом поле. Расчет потенциала (16) приведен в “Приложении I”.

Отметим, что в реальных условиях некоторая часть водяных капель естественного и искусственного происхождения может принимать сплюснутую сфероидальную форму [20–22]. Так для заряженной капли в электрическом поле, имеющей равновесную форму сплюснутого сфероида с ориентированной по полю осью симметрии, все вышеприведенные выражения будут отличаться лишь знаком при ${{e}^{2}}$ [23, 24].

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ ПО ε

После подстановки асимптотических разложений (11) в систему уравнений (2)–(10), приравняем друг другу величины $\sim {\kern 1pt} \varepsilon $ и получим задачу первого порядка малости:

где $P_{j}^{{\left( 1 \right)}}$, $P_{{QE}}^{{\left( 1 \right)}}$, $P_{g}^{{\left( 1 \right)}}$, $P_{\sigma }^{{\left( 1 \right)}}$ – добавки к давлениям (17), появляющиеся из-за возмущения равновесной поверхности капли.

Будем считать, что зависимость от времени исходных функций $\xi (\theta ,t)$, ${{\psi }_{1}}(r,\theta ,t)$, ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ является периодической $\sim \exp \left( {i{{\omega }_{n}}t} \right)$.

Возмущение сфероидальной формы капли, вызванное волновым движением в ней, может быть записано в виде ряда по осесимметричным полиномам Лежандра:

Гармоническое решение уравнения Лапласа (20) с учетом условия (22) ограниченности гидродинамического потенциала ${{\psi }_{1}}(r,\theta ,t)$ в центре масс капли естественно искать в виде разложения:

Полагая, что потенциал поля скоростей движения внешней среды ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ представляется в виде гармонически изменяющейся во времени функции, из волнового уравнения (21) придем к однородному уравнению Гельмгольца:

В случае осесимметричных осцилляций капли решение этого уравнения для потенциала ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ с учетом условия излучения Зоммерфельда на бесконечности (23) определится в виде:

Здесь $h_{n}^{{\left( 2 \right)}}\left( z \right)$ – сферическая функция Бесселя третьего рода [19, 25].

Отметим, что в разложениях (28)–(30) амплитудные множители ${{M}_{n}}$, ${{A}_{n}}$, ${{B}_{n}}$ при полиномах Лежандра имеют первый порядок малости по безразмерной амплитуде $\varepsilon $.

Подставим (3.ПII)–(5.ПII), (6.ПII), (14.ПII) из “Приложения II ” в динамическое граничное условие (25) и после несложных математических преобразований получим дисперсионное уравнение:

Чтобы выявить физическую интерпретацию решений уравнения (31), воспользуемся представлением сферической функции Бесселя $h_{n}^{{\left( 2 \right)}}\left( z \right)$ для целого значения индекса $n$ в виде степенного ряда [19, 26]:

При малом значении аргумента ${{z}_{0}} = kR \ll 1$ для функций ${{H}_{0}}$ и ${{G}_{3}}$, входящих в дисперсионное соотношение (31), получим следующие асимптотики:

Используя (32), найдем реальную $\operatorname{Re} {{\omega }_{n}}$ и мнимую $\operatorname{Im} {{\omega }_{n}}$ части уравнения (31) в виде:

где $\operatorname{Re} \omega _{n}^{2} = \omega _{n}^{{'2}}$ соответствует квадрату частоты собственных осцилляций заряженной сфероидальной капли в электростатическом поле, а $\operatorname{Im} {{\omega }_{n}} = {{\eta }_{n}}$ определяет декремент затухания, обусловленный потерями энергии капиллярных осцилляций капли в сжимаемой среде на излучение звуковых волн.

Согласно (47) на рис. 1а, 1б представлены зависимости частоты осцилляций капель $\omega _{2}^{'}$, связанные с возбуждением второй колебательной моды $n = 2$, от величины собственного заряда $Q$ вплоть до критических значений Q_кр [27] для указанного радиуса. Видно, что облачные капли излучают акустические волны на ультразвуковых частотах. Однако капли большего размера (дождевые капли) излучают на звуковых частотах, воспринимаемых человеческими органами слуха. Из приведенных графиков следует, что отсутствие заряда $Q = 0$ соответствует частоте осцилляций $\omega _{2}^{'}$ незаряженной капли в электрическом поле, а наличие собственного заряда на капле $Q \ne 0$ приводит к уменьшению частоты излучения: чем $Q$ ближе к критическому значению Q_кр, тем больше снижается частота.

Из рис. 2а, 2б, полученных по (34), можно видеть, что при изменении заряда капли $Q$ от нуля до критических значений Q_кр для указанных размеров облачной и дождевой капель, величина декремента затухания $\eta $ уменьшается.

На рис. 3а, 3б иллюстрируется тенденция изменения декремента затухания $\eta $ от радиуса $R$ внутриоблачной и дождевой капель при различных значениях заряда $Q$. Видно, что при стремлении заряда $Q$ к его критическому значению ${{Q}_{{{\text{кр}}}}}$($Q \to {{Q}_{{{\text{кр}}}}}$) декремент затухания возрастает и при достижении максимального значения весьма быстро уменьшается.

ИНТЕНСИВНОСТЬ АКУСТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Принимая длину акустической волны $\lambda $ много большей линейного размера капли $R$ ($\lambda \gg R$), вычислим полную мощность излучаемого звука осциллирующей каплей по известной формуле [28]:

В (35) скорость частиц внешней среды ${{\vec {V}}_{2}}(r,\theta ,t)$ определяется нормальной компонентой, в линейном приближении по $1/r$ равной:

где ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ выражается (2.ПII).

Потенциал внешней среды ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ будем искать на больших расстояниях $r$ от поверхности капли, определяемых условиями $r \gg \lambda $, $R \ll r$, т.е. в волновой зоне акустического поля. Для этого в ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ оставим лишь члены, наименее быстро убывающие с ростом $r$. В (2.ПII) раскладывая в ряд по $z = kr$ в области $kr \gg 1$ сферическую функцию Бесселя $h_{n}^{{\left( 2 \right)}}\left( z \right)$ и ее производную ${{\partial }_{z}}\left( {h_{n}^{{\left( 2 \right)}}\left( z \right)} \right)$ по $z = {{z}_{0}} = kR$ в приближении $kR \ll 1$, запишем ${{\psi }_{2}}(r,\theta ,t)$ в виде суперпозиции расходящихся сферических волн

Используя (37), из (36) найдем поле скоростей движения внешней среды:

имеющее в рассматриваемом приближении только радиальную составляющую.

Чтобы получить аналитическое выражение для интенсивности звукового излучения, входящее в (35) среднее значение величины $\overline {V_{2}^{2}} $ рассчитаем по соотношению $\overline {{{{\left| {{{V}_{2}}} \right|}}^{2}}} = {{\left| {{{V}_{2}}} \right|}^{2}}{\text{/}}2$. Умножим (38) на комплексно сопряженное ему выражение и учтем свойство ортогональности полиномов Лежандра. Подставляя в получившееся выражение волновое число $k = \frac{{\omega _{n}^{'}}}{\upsilon }$, найдем из (35) мощность акустического излучения единичной осциллирующей заряженной капли в присутствии внешнего электростатического поля в окончательном виде:

где $\omega _{n}^{'}$ находится (33).

Несложно видеть, что соотношение (39) в отличие от приведенного в [4] выражения для интенсивности излучения акустических волн незаряженной каплей, осциллирующей в электростатическом поле, содержит частоты $\omega _{n}^{'}$, $\omega _{{n \pm 2}}^{'}$, зависящие от собственного заряда $Q$ капли, характеризуемого параметром Релея $W$.

Если же положить напряженность электрического поля ${{E}_{0}} = 0$, из (39) придем к мощности звукового излучения заряженной капли, осциллирующей в отсутствие внешнего электрического поля:

Используя (39) с учетом (33), проведем оценку интенсивности акустического излучения от объектов различных жидкокапельных систем естественного происхождения.

Возможный источник излучения звуковых волн в конвективных облаках связан с осцилляциями мелких капель, типичные размеры которых колеблются в пределах от 3 до 30 мкм, а наибольшая концентрация приходится на диапазон 3–7 мкм. Согласно [29] концентрация таких капель в грозовом облаке составляет порядка 10³ см^–3. Появление заряда на отдельных облачных каплях связано с механизмами электризации капель при захвате воздушных ионов и фазовых переходах, перераспределения зарядов в результате дробления, коагуляции и столкновения капель разных размеров. При этом осцилляции капель большой амплитуды объясняются микрофизическими внутриоблачными процессами: гидродинамическим и электрическим взаимодействием с соседними частицами, разбрызгиванием капель в результате их электростатической неустойчивости, слиянием крупных капель с более мелкими [30]. Для численных оценок положим, что капля осциллирует с амплитудой ${{M}_{n}} = 0.1R$ в результате возбуждения основной колебательной моды $n = 2$.

Приведем средние характеристики единичной водяной капли: ${{\rho }_{1}} = 1 \times {{10}^{3}}$ кг/м³, $\sigma = 73 \times {{10}^{{ - 3}}}$ Н/м, $Q = 7 \times {{10}^{{ - 14}}}$ Кл ($\sim {{Q}_{{{\text{кр}}}}}$ при $R = 3$ мкм и $\sim 0.03{{Q}_{{{\text{кр}}}}}$ при $R = 30$ мкм), ${{E}_{0}} = 50$ В/см ($\sim 3 \times {{10}^{{ - 4}}}{{E}_{{{\text{0кр}}}}}$ при $R = 3$ мкм и ${{\sim }}1 \times {{10}^{{ - 3}}}{{E}_{{{\text{0кр}}}}}$ при $R = 30$ мкм), где ${{Q}_{{{\text{кр}}}}}$, ${{E}_{{{\text{0кр}}}}}$ – критические значения заряда и напряженности электрического поля. Примем также ${{\varepsilon }_{0}} = 8.85 \times {{10}^{{ - 12}}}$ Ф/м, ${{\varepsilon }_{{{\text{ex}}}}} = 1$, ${{\rho }_{2}} = 1.3$ кг/м³, $\upsilon = 330$ м/с. Тогда из (39) для капли размером $R = 3$ мкм несложно получить $I\sim 6 \times {{10}^{{ - 13}}}$ мкВт на частоте ${{\omega }_{2}} \approx 3$ МГц. При радиусе капли $R = 8$ мкм мощность ее звукового излучения составляет $I\sim 8 \times {{10}^{{ - 14}}}$ мкВт на частоте ${{\omega }_{2}} \approx 1$ МГц. При $R = 30$ мкм интенсивность излучения равна $I\sim 7 \times {{10}^{{ - 15}}}$ мкВт и идет на частоте ${{\omega }_{2}} \approx 147$ кГц.

Грозовое облако протяженностью 10 км, состоящее из ансамбля осциллирующих капель одинакового размера $R = 30$ мкм, обладает уже значительной мощностью акустического излучения ${{I}_{{in}}}\sim 3 \times {{10}^{6}}$ мкВт (в $5 \times {{10}^{{20}}}$ раз выше по сравнению с излучением одиночной капли) на ультразвуковой частоте $147$ кГц.

Используя вышеприведенные характеристики, оценим по порядку величины интенсивность излучения звуковых волн от капель дождя. Согласно данным натурных измерений [31] характерные размеры дождевых капель изменяются в диапазоне от $R = 0.025$ см до $R = 0.35$ см. Однако более мелкие капли радиусом от $R = 0.01$ см до $R = 0.025$ см, образующиеся в результате слияния облачных капелек, относятся к мороси, а более крупные капли $R > 0.35$ см при падении в воздухе разрушаются из-за аэродинамического сопротивления. Заряд дождевой капли примем $Q = 2 \times {{10}^{{ - 12}}}$ Кл ($\sim 0.04{{Q}_{{{\text{кр}}}}}$ при $R = 0.025$ см и $\sim 7 \times {{10}^{{ - 4}}}{{Q}_{{{\text{кр}}}}}$ при $R = 0.35$ см). Тогда из (39) для дождевой капли радиуса $R = 0.025$ см получим звуковое излучение мощностью $I\sim 1 \times {{10}^{{ - 16}}}$ мкВт на частоте ${{\omega }_{2}} \approx 6$ кГц. Если же размер капли возрастает на порядок $R = 0.025$ см, то интенсивность акустического излучения уменьшается на два порядка величины $I\sim 1 \times {{10}^{{ - 18}}}$ мкВт и соответствует частоте ${{\omega }_{2}} \approx 0.2\;{\text{кГц}}$. Интенсивность излучения наиболее крупной дождевой капли $R > 0.35$ см составляет $I\sim 5 \times {{10}^{{ - 19}}}$ мкВт и приходится на частоту ${{\omega }_{2}} \approx 0.1\;{\text{кГц}}$.

Принимая концентрацию дождевых капель $R = 0.025$ см, по справочным данным [30] равную 0.3 см^–3, из (39) несложно найти, что интегральная интенсивность звукового излучения на границе пространства объемом 1 км³, занятого ливневым дождем, будет $I\sim 3 \times {{10}^{{ - 2}}}$ мкВт на частоте $ \approx 6$ кГц.

На рис. 4а, 4б показан характер зависимости интенсивности излучения $I$ от заряда $Q$ облачной и дождевой капель, рассчитанного по (39), аналогичный рис. 2а, 2б. При расчетах принимались те же значения физических величин, что и на рис. 2а, 2б.

На рис. 5а, 5б продемонстрированы зависимости интенсивности акустического излучения $I$ от характерного размера облачной и дождевой капель $R$. Приведенные кривые, построенные при тех же значениях собственного заряда, которые были использованы в расчетах к рис. 3а, рис. 3б, повторяют характер зависимости декремента затухания $\eta $ от радиуса капли $R$.

Расчеты показывают, что частоты и величины декремента затухания и интенсивности акустического излучения от величины индуцированного в капле электрического заряда: $q = 3\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{{{\text{ex}}}}}{{E}_{0}}{{R}^{2}}$, весьма слабы.

Кроме сказанного выше, источниками акустического излучения являются приземные туманы, имеющие типичные размеры капель 2–10 мкм с максимальной концентрацией, приходящейся на 3–5 мкм [2.ПII], которые в ультразвуковом диапазоне излучают акустические волны достаточно большой мощности.

Расчеты показывают, что при увеличении номера колебательной моды $n$ на единицу излучаемая мощность акустических волн уменьшается на два порядка величины.

Согласно (39) с ростом напряженности электростатического поля интенсивность излучения возрастает крайне слабо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Показано, что акустическое излучение мелких облачных капель создается в ультразвуковом диапазоне частот, при этом его интенсивность на три порядка величины превышает интенсивность излучения крупных дождевых капель, создающих акустическое излучение в диапазоне слышимых звуковых волн. Показано, что в отличие от незаряженной капли, осциллирующей в электростатическом поле, наличие собственного заряда приводит к снижению частоты и мощности излучения: при стремлении собственного заряда к его критическому значению частота осцилляций капли может быть уменьшена в 1.5 раза, а мощность излучения – на порядок. При этом влияние индуцированного заряда (в отличие от собственного заряда) на интенсивность излучения весьма мало. Для сильно заряженных капель граница между ультразвуковыми и слышимыми звуковыми волнами смещается в область меньших размеров капель, генерирующих излучение большей мощности.