Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 1, стр. 33-46

1. Введение. Теме изгибных колебаний протяженных подземных сооружений, в частности, трубопроводов посвящено значительно меньшее число работ, чем изучению продольных сейсмических движений таких сооружений в направлении их протяженности. На то существуют, по крайней мере, два объяснения ([1], гл. 9). Первое из них состоит в том, что при землетрясениях деформации в осевом направлении трубы, как правило, заметно превышают ее деформации от изгиба. Второе объяснение связано с многократно подтвержденным на практике наблюдением о примерно одинаковых поперечных колебаниях трубопроводов и грунта, за исключением случаев очень сильных землетрясений. Даже когда трубопроводы соединяются со смотровыми колодцами, то как трубопроводы, так и колодцы колеблются одинаково с грунтом. Последнее положение служит экспериментальным обоснованием простейшей инженерной теории “жесткого защемления” трубы в грунте (согласно которой движения грунта и трубопровода совпадают) для случая изгибных колебаний трубопровода. Считается, что названная теория дает верхнюю границу для сейсмических нагрузок, и потому, она до сих пор широко используется в качестве расчетной базы в принятых нормах по сейсмостойкому строительству (см., например, [2]).

Более сложное взаимодействие трубопровода с грунтом при изгибных колебаниях описывается моделью “балки на упругом основании”. Достаточно полный обзор работ этого направления содержится в монографии О’Рурке [3].

Т. Рашидов и соавторы предложили модель взаимодействия с грунтом, в которой силы взаимодействия при изгибных колебаниях (так же, как и при продольных) считаются пропорциональными относительному перемещению, равному разности между перемещением грунта в сейсмической волне (вдали от трубопровода) и перемещением самого трубопровода. Описание метода и ссылки на предшествующие работы содержатся в монографии [4]. Дифференциальные уравнения изгибных колебаний выписываются в предположении, что изгибные колебания трубы и “грунтового стержня”, замещающего трубопровод, одинаковы, если совпадают их погонные массы. Такое предположение будет верным, если изгибная жесткость трубы совпадает с “изгибной жесткостью” грунтового стержня, что может реализоваться в весьма редких случаях.

Изгибные колебания протяженных подземных трубопроводов, рассматриваемых как тонкостенные цилиндрические оболочки изучались методом конечных элементов в работах [5, 6] (здесь же можно найти ссылки и на другие работы авторов по этому предмету). Однако в них динамика взаимодействия между трубопроводом и грунтом полностью игнорируется и считается, что сейсмические волны без искажения падают на оболочку.

Попытка решения задачи об изгибных колебаниях трубопровода под воздействием сейсмических волн, рассматривая совместные движения трубы и окружающего его упругого грунта, была предпринята К. Токи и Ш. Такада в статье [7], опубликованной в малоизвестном издании (“Бюллетене Института предупреждения катастроф” Киотского университета). Однако допущенные авторами ошибки не дают возможности считать, что задача для грунта решена и цель авторов достигнута.

Настоящая статья посвящена рещению этой задачи (названной нами внешней задачей Похгаммера – Кри) и исследованию на основе этого решения изгибных сейсмических колебаний подземного трубопровода. В соответствующих местах ниже указано в чем состоят принципиальные упущения работы [7].

2. Преобразование динамических уравнений Ламе в отдельные уравнения для объемного расширения и компонент вектора вращения в цилиндрических координатах. Уравнения движения упругой среды в перемещениях (уравнения Ламе), записанные в векторной форме [8]

справедливы в такой же форме не только в декартовой, но и в любой ортогональной криволинейной системе координат, если операторы grad, div и rot выписаны в этой системе.

В цилиндрической системе координат $\left( {r,~{{\theta }},~z} \right)$, в которой компоненты вектора перемещений u частиц среды обозначены через ${{u}_{r}}$, ${{u}_{{{\theta }}}}$, ${{u}_{z}}$, векторное уравнение (2.1) записывается в виде системы уравнений (А. Ляв [9], гл. XII):

где обозначает объемное расширение, а компоненты вектора вращения $2{\mathbf{\omega }} = {\text{rot}}~{\mathbf{u}}$ задаются соотношениями

При этом компоненты (2.4) удовлетворяют тождественно равенству div(2ω) = = ${\text{div(rot}}~{\mathbf{u}}{\text{)}} \equiv 0$, т.е. равенству

Таким образом, только две компоненты вектора ${\mathbf{\omega }}$ являются независимыми и, следовательно, компоненты вектора перемещений могут быть выражены через объемное расширение и любые две из компонент вектора вращения.

Векторное уравнение (2.1) или связанная система уравнений (2.2) могут быть приведены в цилиндрических координатах к частично разделенной системе отдельных уравнений для Δ и компонент ${{{{\omega }}}_{z}}$, ${{{{\omega }}}_{r}}$. После того как эти функции найдены, компонента вращения ${{{{\omega }}}_{{{\theta }}}}$ может быть найдена (при необходимости) из тождества (2.5). Действительно, применяя сначала к уравнению (2.1) операцию ${\text{div}}$ и пользуясь известным из векторного анализа тождеством ${\text{div}}\left( {{\text{rot}}~{\mathbf{a}}} \right) \equiv 0$ (для любого вектора a), получаем, что

где входящий в правую часть оператор Лапласа в цилиндрических координатах определен выражением

Применим теперь к уравнению (2.1) операцию rot. Тогда, пользуясь тождеством ${\text{rot}}\left( {{\text{grad}}{\mathbf{a}}} \right) \equiv 0$, имеем

Выпишем уравнение (2.8) для компоненты ${{{{\omega }}}_{z}}$ в цилиндрических координатах, пользуясь определением ротора,

Выражая сумму двух последних слагаемых в правой части этого уравнения через ${{{{\omega }}}_{z}}$ при помощи тождества (2.5) получаем окончательно отдельное волновое уравнение для этой компоненты

в котором оператор Лапласа ${{\nabla }^{2}}$ определен формулой (2.7).

Запишем теперь проекцию уравнения (2.8) на ось r,  т.е. уравнение для компоненты ${{{{\omega }}}_{r}}$:

Если из правой части этого уравнения исключить с помощью тождества (2.5) члены, содержащие ${{{{\omega }}}_{{{\theta }}}}$, приходим к уравнению

Уравнение (2.10) упрощается введением новой неизвестной функции ${{{{\Omega }}}_{r}} = r{{{{\omega }}}_{r}}$ и приводится к виду в котором часть, зависящая от ${{{{\omega }}}_{r}}$, сводится к волновому оператору

Таким образом, связанная система динамических уравнений Ламе (2.2) сведена к отдельным волновым уравнениям (2.6), (2.9) для объемного расширения Δ и третьей компоненты вектора вращения ${{{{\omega }}}_{z}}$ и к уравнению (2.10) или (2.11) для компоненты вращения ${{{{\omega }}}_{r}}$, содержащему еще и функцию ${{{{\omega }}}_{z}}$. Уравнение (2.11) может быть проинтегрировано как неоднородное волновое уравнение после того, как функция ${{{{\omega }}}_{z}}$ определена из отдельного уравнения (2.9). Нахождение трех функций Δ, ${{{{\omega }}}_{z}}$ и ${{{{\omega }}}_{r}}$ достаточно для вычисления компонент вектора перемещений частиц среды, поскольку функция ${{{{\omega }}}_{{{\theta }}}}$ может быть определена из тождества (2.5) при известных ${{{{\omega }}}_{z}}$ и ${{{{\omega }}}_{r}}$.

Полученный выше результат хотя и является простым обобщением изложения, данного в трактате А. Лява (для случая, когда все упомянутые функции являются элементарными гармоническими функциями t и $z$ и зависимость их от θ дается простыми функциями $\cos {{\theta }}~$ или $\sin {{\theta }}$), однако он, по-видимому, не был известен до сих пор в общем случае произвольной зависимости названных функций от всех переменных и может представлять интерес при решении нестационарных динамических задач теории упругости в цилиндрических координатах.

3. Постановка и точное решение внешней задачи Похгаммера–Кри. По аналогии с постановкой задачи об изгибных колебаниях упругого кругового цилиндра сформулируем задачу об изгибных колебаниях неограниченной упругой среды, занимающей пространственную область, внешнюю по отношению к круговому цилиндру.

Первоисточниками по первой задаче (которую будем называть внутренней задачей) являются работы Похгаммера [10] (1876 г.) и Кри [11] (1886 г.). Предельно ясное решение внутренней задачи дано А. Лявом в его трактате по математической теории упругости [9]. Поэтому, отсылая за подробностями к трактату [9], ограничимся кратким изложением постановки внешней задачи, обращая, прежде всего, внимание на существующие отличия в этих постановках.

Чтобы прийти к стационарным изгибным колебаниям области, внешней по отношению к круговому цилиндру, рассмотрим, как и в случае кругового цилиндра [9], класс решений динамических уравнений теории упругости, выписанных в п. 2, в которых все компоненты вектора перемещений являются гармоническими функциями времени $t$ и координаты z (измеряемой вдоль оси цилиндра), принимая, кроме того, что ${{u}_{r}}$ и ${{u}_{z}}$ пропорциональны $\cos {{\theta }}$, а ${{u}_{{{\theta }}}}$ пропорционально $\sin {{\theta }}$, т.е.

где $U,~V,~W$ являются функциями r. Тогда, согласно формулам (2.3), (2.4), имеем и уравнения (2.6), (2.9), (2.10) (эквивалентные уравнениям Ламе в цилиндрических координатах) принимают вид: где

В соотношениях (3.6) c₁ и c₂ есть скорости распространения продольных и поперечных волн в упругой среде. Предполагается, что правые части этих соотношений положительны, т.е. что фазовая скорость распространения возмущений (3.1) вдоль оси z больше скоростей ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$ (это условие не оговорено А. Лявом [9], однако подразумевается выполненным). Такая ситуация реализуется, например, при падении наклонной волны на подземный трубопровод [12]. Если это не так, то возможен только случай, когда ${{h}^{2}} < 0$, т.е. ${{c}_{2}} < c < {{c}_{1}}$. Тогда решение уравнения (3.3)$~$должно быть взято не в виде функции Ханкеля, как ниже, а в виде функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (т.е. в виде модифицированной функции).

Уравнения (3.3), (3.4) являются уравнениями Бесселя, а (3.5) сводится к уравнению Бесселя после подстановки в него решения (3.4) для $\widetilde {{{{{\omega }}}_{z}}}$ и нахождения частного решения полученного таким образом неоднородного уравнения.

А. Лявом показано, что ограниченные на оси цилиндра r = 0 решения уравнений (3.3)–(3.5) в виде бесселевых функций первого рода приводят к изгибным колебаниям кругового цилиндра.

При решении задачи о стационарных колебаниях в области, внешней по отношению к круговому цилиндру, требуется, для обеспечения единственности, искать решения уравнений (3.3)–(3.5), удовлетворяющие условиям излучения Зоммерфельда на бесконечности (см., например, [8, 13])

Физически условия (3.7) означают, что для выделения единственных решений недостаточно требования убывания их при $r \to \infty $ (все функции Бесселя, кроме модифицированных первого рода, исчезают на бесконечности), а необходимо, чтобы они образовывали волны, уходящие на бесконечность. Решения же уравнений (3.3)–(3.5) в виде функций Бесселя первого и второго рода (используемые во внутренней задаче) образуют стоячие волны и не удовлетворяют условиям (3.7), а из решений этих уравнений в виде функций Ханкеля, образующих бегущие волны, только функции первого рода $H_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( {hr} \right)$ и $H_{1}^{{\left( 1 \right)}}\left( {{{\kappa }}r} \right)$ образуют волны уходящие на бесконечность, при умножении на принятую выше для всех функций Δ, ${{{{\omega }}}_{{{\beta }}}}$ экспоненциальную зависимость по времени в виде ${{e}^{{ - ipt}}}$ (формулы (3.2)). Последнее утверждение легко устанавливается с помощью известных асимптотических представлений функций Ханкеля для больших значений аргумента [14] (функции Ханкеля второго рода образуют волны, приходящие из бесконечности).

Замечание 1. Отметим, что если, как и в книге А. Лява, взять временную зависимость для функций в (3.2) в виде ${{e}^{{ + ipt}}}$, то условия излучения (3.7) должны быть записаны со знаком плюс перед вторыми слагаемыми и решения уравнений (3.3)–(3.5), удовлетворяющие таким условиям, будут функции Ханкеля второго рода $H_{1}^{{\left( 2 \right)}}\left( {hr} \right)$ и $H_{1}^{{\left( 2 \right)}}\left( {{{\kappa }}r} \right)$.

Учитывая сказанное, имеем решения уравнений (3.3) и (3.4), удовлетворяющие условиям излучения (3.7), в следующем виде:

В этих решениях для удобства в дальнейших вычислениях произвольные константы A и C взяты с множителями ${{\left( {p{\text{/}}{{c}_{1}}} \right)}^{2}}$ и ${{{{\kappa }}}^{2}}$.

Подставляя выражение (3.9) для $\widetilde {{{{{\omega }}}_{z}}}$ в уравнение (3.5) и интегрируя полученное таким образом неоднородное уравнение Бесселя, приходим к решению

удовлетворяющему условию излучения (3.7).

Найденные значения для $\tilde {\Delta }$, $\widetilde {{{{{\omega }}}_{z}}}~$, $\widetilde {{{{{\omega }}}_{r}}}$ (формулы (3.8)–(3.10)) приводят к следующим соотношениям для перемещений

Подставляя эти выражения в формулы (3.1), мы получим решения уравнений (2.2).

Решение внутренней задачи Похгаммера–Кри, аналогичное (3.11), вместо функций Ханкеля содержит функции Бесселя первого рода (и первого порядка) [9] и потому, в силу равенства ${{J}_{1}}\left( 0 \right) = 0$, на оси r = 0 перемещение W (или u_z) равно нулю. Поэтому точки цилиндра, лежащие на оси r = 0 движутся в плоскости, перпендикулярной оси (совершают изгибные колебания). Причем это положение имеет место при произвольных константах A и B, входящих в выражение для W. Но точки вне оси не остаются в процессе движения в перпендикулярной к оси цилиндра плоскости, т.е. $W \ne 0$ при $r \ne 0$. Или, иначе, имеет место дилатация (нарушение закона плоских сечений). Однако, поскольку аргументы Бесселевых функций определены равенствами

в которых ${{\Lambda }} = 2{{\pi /\gamma }}$ есть длина волн (3.1), а фазовая скорость распространения их вдоль оси z, то $W \approx 0$, если Следовательно, во внутренней задаче Похгаммера–Кри колебания цилиндра будут тем ближе к чисто изгибным, чем меньше радиус цилиндра в сравнении с длиной волны.

В решении рассматриваемой внешней задачи Похгаммера–Кри можно добиться равенства W = 0 на поверхности цилиндра (полости) r = a, что, согласно решению (3.11), выполнено, если константы A и $B$ связаны соотношением

Однако (так же, как и в описанной выше ситуации во внутренней задаче Похгаммера–Кри) невозможно добиться, чтобы W = 0 при всех $r > a$. Но, в силу непрерывности функций Ханкеля при любом конечном значении аргумента, будет выполнено приближенное равенство $W \approx 0$, если .

Следовательно, при выполнении соотношения (3.13), точки среды, находящиеся в окрестности цилиндрической поверхности малой по размеру в сравнении с длиной волны, будут при движениях, подчиняющихся законам (3.11), мало отклоняться от плоскости, перпендикулярной оси цилиндрической полости (т.е. будут совершать приближенно изгибные колебания).

Потребуем теперь, чтобы эти изгибные колебания происходили (приближенно) в одном каком-нибудь направлении, скажем, в направлении прямой, от которой отсчитывается угол ${{\theta }}$. Это направление примем за ось x декартовой системы координат $\left( {x,y,z} \right)$, вводимой здесь наряду с цилиндрической. Указанное требование выполнено, если точки поверхности цилиндра r = a движутся в направлении x, т.е. когда

Подставляя в условие (3.14) перемещения U и $V$ из (3.11), получаем, что оно будет выполнено, если

где обозначено

Таким образом, формулы (3.11), в которых константы B и $C$ выражены соотношениями (3.13), (3.15) через единственную константу A, дают решение внешней задачи Похгаммера–Кри об изгибных колебаниях внешности кругового цилиндра. Неизвестная константа A определяется из дополнительного краевого условия на цилиндрической поверхности r = a. Так, в задаче о совместных изгибных колебаниях бесконечной упругой среды и трубопровода, таким условием служит условие непрерывности (равенства) перемещений трубы и точек среды, примыкающих к поверхности трубы, в направлении изгиба (т.е. в направлении оси $x$).

Во внутренней задаче Похгаммера–Кри соотношение (3.14) так же, как и условие W = 0, выполнено при произвольных константах, входящих в выражения для перемещений, подобных (3.11). Однако, равенство (3.14) даже для точек, лежащих на оси r = 0, так же, как и во внешней задаче выполнено уже только приближенно, когда радиус цилиндра мал в сравнении с длиной волны (это обстоятельство не отмечено А. Лявом [9]).

Указанное выше различие, состоящее в том, что во внутренней задаче Похгаммера–Кри все три константы в выражениях для перемещений остаются неопределенными при изгибных колебаниях, связано с тем что в ней существуют собственные колебания только при определенных (собственных) частотах, выводимых из условий отсутствия напряжений на боковой поверхности цилиндра. В то время как во внешней задаче (с неограниченной областью) все частоты являются собственными.

Замечание 2. К. Токи и Ш. Такада утверждают в работе [7], что они нашли решение рассмотренной в настоящем пункте задачи, в котором во всех точках области (внешности кругового цилиндра) перемещения в направлении оси цилиндра равны нулю (W = 0). Как показано выше такого решения не существует. Можно добиться только, чтобы названные перемещения были равны нулю на цилиндрической поверхности (при выполнении соотношения (3.13) между константами) и малости W в окрестности этой поверхности, размер (диаметр) которой мал в сравнении с длиной сейсмической волны (ситуация здесь вполне аналогична той, что возникает во внутренней задаче Похгаммера–Кри, как отмечено выше). Токи и Такада сразу выписывают свое решение в виде первых двух соотношений из (3.11), полагая в них B = 0. Такое предположение заметно упрощает последующие выкладки (нахождение оставшихся двух констант), однако полученные авторами результаты не дают решения внешней задачи Похгаммера–Кри, поскольку, как видно из третьего уравнения (3.11) перемещения W в их решении остаются произвольными.

4. Вычисление поперечной силы при заданном поперечном перемещении границы полости во внешней задаче Похгаммера–Кри. Прежде всего установим, что при выполнении всех условий п. 3 и при одной, пока произвольной, константе A в решении внешней задачи Похгаммера–Кри, перемещения всех точек сечения $z = {\text{const}}$ цилиндрической поверхности $r = a$ в направлении оси x, т.е. в направлении изгиба, одинаковы (не зависят от угла ${{\theta }}$). Действительно, поскольку, в силу принятых соотношений (3.1), перемещения вдоль осей r и ${{\theta }}$ равны ${{U}_{r}} = U$$\cos {{\theta }}$, ${{V}_{{{\theta }}}} = V$$\sin {{\theta }}$, то

Используя теперь в полученном выражении для ${{U}_{x}}$ условие (3.14), получаем

Выражения (4.1) представляют собой одно условие, а не два, поскольку, в силу найденных выше зависимостей между A, $B$ и $C$ ((3.13), (3.15)), $U$ и $ - V$ совпадают при $r = a$.

Если в цилиндрическую полость помещены цилиндрический стержень или труба, то полученный результат (4.1) позволяет обеспечить условие прилипания, т.е. условие непрерывности перемещений среды и стержня на его поверхности. Отсюда и находится последняя неопреденная константа A в полученном в п. 3 решении. Действительно, пусть перемещение стержня/трубы в произвольном сечении в направлении оси x (в направлении изгиба) есть ${{\mathcal{U}}_{1}}$ (или ${{u}_{1}} = {{\mathcal{U}}_{1}}{{e}^{{i\left( {{{\gamma }}z - pt} \right)}}}$). Следовательно, сагласно (4.1) и (3.11),

Записывая равенства (3.13) и (3.15) в виде $B = {{m}_{1}}A$, $C = {{m}_{2}}A$, где обозначено

получаем из (4.2) значение константы A через заданное перемещение ${{\mathcal{U}}_{1}}$ в направлении изгиба:

Вычислением константы A по формуле (4.4) завершается окончательное решение внешней задачи Похгаммера–Кри, сформулированной в п. 3. Радиальные и тангенциальные перемещения точек среды в этом решении принимают, в соответствии с представлениями (3.1), вид

В формулах (4.5) величины ${{m}_{1}}$, ${{m}_{2}}$ и $A$ определены выражениями (4.3) и (4.4).

Легко установить, что сила, действующая стержень или трубопровод при перемещении его в направлении оси x, дается равенством (напомним, что угол ${{\theta }}$ отсчитывается против часовой стрелки от этой оси)

Здесь ${{\sigma }_{{rr}}}$ и ${{\sigma }_{{r{{\theta }}}}}$ представляют собой физические компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат; они выражаются через физические компоненты тензора малых деформаций так же, как компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты тензора деформаций в декартовой системе координат (однако, при записи закона Гука в компонентах тензоров напряжений и деформаций в цилиндрической системе координат, как и в любой криволинейной ортогональной системе, необходимо в шаровой части единичный тензор Кронекера заменить на метрический тензор системы координат, на что, иногда, ошибочно не обращается внимания [15]).

При вычилении физических компонент напряжений по закону Гука используем полученное выше выражение для объемного расширения (3.8). Кроме того, при вычислении физических компонент деформаций по известным формулам [16]

в них, а значит, и в соответствующие физические компоненты напряжений войдут вторые производные функций Ханкеля. Исключим вторые производные функций Ханкеля в этих выражениях, пользуясь тем, что функции Ханкеля удовлетворяют соответствующим уравнениям Бесселя. Далее, первые производные функций Ханкеля первого порядка исключим пользуясь известной формулой ([17], ч. III, формула (3.1.1)):

Упрощенные таким образом выражения для физических компонент напряжений приводятся после простых, но несколько длинных выкладок, к следующему виду

Подставляя найденные напряжения (4.8) в формулу (4.6), получаем

Следовательно, принимая во внимание значение константы A из (4.4), имеем для погонной силы (силы, действующей на поверхности элемента трубы единичной длины) окончательный результат

где

В формулах (4.10) введены безразмерные параметры $\bar {h} \equiv ha$, $~{{\bar {\kappa }}} \equiv \kappa a$, а безразмерная величина $\mathcal{Z}$ есть умноженный на $a$ знаменатель правой части соотношения (4.4) для коэффициента A, после исключения из него производных функций Ханкеля по формуле (4.7).

5. Изгибные колебания трубопровода в неограниченной упругой среде при воздействии сейсмическх волн. Пусть цилиндрическую полость в рассмотренной в предыдущих пунктах задаче занимает трубопровод круглого сечения (с внешним радисом a и внутренним радиусом b). И пусть поперечные колебания трубопровода совершаются из-за воздействия на него сейсмической волны

в которой перемещения частиц направлены в направлении оси x.

Обозначим возникающие при падении волны (5.1) поперечные перемещения трубопровода в направлении оси x через $\hat {u} = \hat {\mathcal{U}}{{e}^{{i(\gamma z - pt)}}}$. Получаемая при этом задача для грунта (среды) отличается от рассмотренной выше тем, что ее решение на бесконечности ($r \to \infty $) должно стремиться к волне (5.1). Поскольку не существует функций Бесселя, принимающих конечные значения на бесконечности (они либо стремятся к нулю, либо не ограничены), представим $\hat {u}$ в виде

Тогда u должно исчезать на бесконечности и задача ее нахождения совпадает с внешней задачей Похгаммера–Кри, рассмотренной в пп. 3,4. Только при записи условия прилипания на поверхности трубы (при нахождении константы A) и в в выражении (4.9) для силы, действующей на трубопровод, необходимо в п. 4 положить ${{\mathcal{U}}_{1}}\, = \,\mathcal{U}\, = \, - {\kern 1pt} {{\mathcal{U}}_{0}}\, + \,\hat {\mathcal{U}}$.

Следовательно, сила, действующая на трубопровод в задаче для u, согласно (4.9), равна

где множитель  f определен теми же формулами (4.10).

Эта же сила (5.2) действует на трубопровод и в полной задаче (для $\hat {u}$), поскольку если бы трубопровод двигался по закону падающей волны (5.1), то никаких сил на него со стороны грунта не действовало бы. Ситуация здесь аналогична той, что возникает в хорошо изученной задаче о продольных колебаниях трубопровода под воздействием сейсмических волн. В обоих случаях сила, действующая на трубопровод со стороны упругого грунта, пропорциональна относительному перемещению трубы (или, вернее, “глобальному” относительному перемещению, под которым понимается разность между перемещениями частиц грунта в сейсмической волне вдали от трубопровода и перемещениями самого трубопровода).

Уравнение поперечных (изгибных) колебаний трубопровода составляется как обычно (см., например, [18]), рассматривая динамическое равновесие дифференциального (малого) элемента трубы между произвольными сечениями z и $z + dz$). Это уравнение, выражающее равновесие суммы перерезывающих сил, действующих в сечениях z и $z + dz$, силы инерции и распределенной поперечной силы (5.3), записывается следующим образом:

Здесь ${{\rho '}}$ и E соответственно плотность и модуль Юнга материала трубопровода, $~S = \pi ({{a}^{2}} - {{b}^{2}})$ площадь его поперечного сечения, а I – момент инерции сечения трубы относительно нейтрального (не деформированного) диаметра, расположенного в данном случае вдоль оси y, так что I = I_y (I равен моменту инерции сечения относительно оси y).

Подставляя в уравнение (5.4) выражения для перемещений (5.1), (5.2), получаем для безразмерной амплитуды изгибных колебаний трубопровода (амплитуды, отнесенной к амплитуде падающей сейсмической волны) соотношение

в котором значение  f определено выражениями (4.10).

Тот же результат можно получить составляя уравнение относительного движения трубопровода (движения относительно среды, возмущенной падающей волной), путем введения функции ${v} = \hat {u} - {{u}_{0}}$. Такой путь принят в упомянутой выше работе К. Токи и Ш. Такады [7]. Однако полученное ими уравнение содержит неточность так же, как и уравнение для относительных продольных колебаний, приведенное там же [19]. Эта неточность связана с тем, что переносное движение, представляемое падающей волной (5.1), не является движением грунта как абсолютно твердого тела и потому в уравнении относительного движения трубопровода необходимо учесть не только силу инерции переносного движения, но и член, содержащий четвертую производную u₀ по z.

6. Анализ решения и выводы. Изучим поведение полученного решения (5.5) в наиболее естественном для сейсмической задачи случае, когда длина сейсмической волны значительно (на порядок или несколько порядков) превосходит радиус трубопровода. Для этого используем известные (см., например, [20]) представления функций Ханкеля

для малых значений аргумента (в нашем случае эти аргументы, определяемые равенствами (3.12), являются действительными и положительными). Тогда верны следующие асимптотические преставления для параметров и функций, входящих в решение (5.5), при :

Обозначая через ${{c}_{0}} = \sqrt {E{\text{/}}\rho '} $ стержневую скорость распространения волн в трубе и имея ввиду, что момент инерции его кольцевого поперечного сечения относительно диаметра $I = \pi ({{a}^{4}} - {{b}^{4}}){\text{/}}4$, получаем при помощи соотношений (6.1) окончательное выражение для безразмерной (относительной) амплитуды изгибных колебаний трубопровода

где

Отметим, что теми же соотношениями (6.2), (6.3) определяются амплитуды (а значит, максимальные значения) изгибающего момента $M = - EI{{\partial }^{2}}\hat {u}{\text{/}}\partial {{z}^{2}}$ и перерезывающей силы $Q = \partial M{\text{/}}\partial z$, отнесенные к соответствующим значениям, которые они имели бы, если бы движение трубопровода происходило по закону падающей волны (5.1).

На рис. 1 приведен график относительной амплитуды Y в функции от аргумента ξ (отношения длины сейсмической волны к примерно полутора диаметрам трубы) для железного трубопровода, когда окружающий его грунт является сухой глиной. При построении графика приняты следующие численные значения параметров: $b{\text{/}}a = 0.9$, ${{\rho }} \approx 1.64$ г/см³, ${{\rho '}} \approx 7.87$ г/см³, ${{c}_{1}} = 2.0 \times {{10}^{3}}$ м/с, ${{c}_{2}} = 0.4 \times {{10}^{3}}$ м/с, $c = 2.4 \times {{10}^{3}}$ м/с, ${{c}_{0}} = 5.17 \times {{10}^{3}}$ м/с (числовые значения для глины взяты из справочника [21]).

Интервал изменения аргумента ${{\xi }}$ принят от 10 и выше, что охватывает практически весь имеющий интерес интервал изменения этого аргумента в сейсмической задаче. Дело в том, что при длинах волн сравнимых и, тем более, меньших диаметра трубопровода его движение не может описываеться уравнением изгибных колебаний стержня.

Главный вывод, следующий из рассмотренного примера, а также и из общей формулы (5.5), состоит в том, что амплитуды поперечных перемещений трубопровода (а также амплитуды моментов и перерезывающих сил) не превышают амплитуд, вычисленных на основе простейшей инженерной теории, в которой поперечные перемещения считаются совпадающими с перемещениями в сейсмической волне (на рис. 1 решение этой теории изображено линией). Тем самым, полученный результат дает, по-видимому, первое теоретическое обоснование и оценку точности инженерной теории “жесткого защемления” подземного трубопровода в грунте для случая его изгибных колебаний.

Отметим, что полученный К. Токи и Ш. Такада результат в [7] не может считаться достоверным из-за неверного решения внешней задачи Похгаммера–Кри и пропущенного члена в уравнении относительного движения трубопровода. Авторы также не обратили внимания на то, что в их решении амплитуда колебаний трубопровода всегда больше амплитуды падаюшей сейсмической волны, что физически никак не обосновано.

В знаменателе формулы (5.5) первый член пропорционален квадрату отношения радиуса трубы к длине сейсмической волны (), а третий член – обратной величине ${{({{\Lambda /}}a)}^{2}}$. Поэтому влияние жесткости трубопровода на изгиб будет сказываться в случае сравнительно коротких сейсмических волн, в случае же длинных волн трубопровод будет следовать колебаниям грунта в сейсмической волне.

Благодарности. Результаты работы доложены на семинаре “Прочность и разрушение материалов и конструкций” в Институте проблем механики РАН. Автор выражает благодарность руководителю семинара профессору Е.И. Шифрину и участникам семинара за обсуждение результатов и полезные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-08-00024.